Приведение пространственной системы сил к простейшему виду. Частные случаи приведения произвольной пространственной системы сил к центру. Приведение к паре

Приведение системы сил к центру

Вопросы

Лекция 6

3. Условия равновесия произвольной системы сил

1. Рассмотрим произвольную систему сил . Выберем произвольную точку О за центр приведения и, воспользовавшись теоремой о параллельном переносе силы, перенесем все силы системы в данную точку, не забывая при переносе каждой силы добавлять присоединенную пару сил.

Полученную таким образом систему сходящихся сил заменим одной силой , равной главному вектору исходной системы сил. Образовавшуюся при переносе систему пар сил заменим одной парой с моментом , равным геометрической сумме моментов всех пар сил (т.е. геометрической суммой моментов исходной системы сил относительно центра О ).

Такой момент называется главным моментом системы сил относительно центра О (рис. 1.30).

Рис. 1.30. Приведение системы сил к центру

Итак, любую систему сил всегда можно заменить всего двумя силовыми факторами - главным вектором и главным моментом относительно произвольно выбранного центра приведения . Очевидно, что главный вектор системы сил не зависит от выбора центра приведения (говорят, что главный вектор инвариантен по отношению к выбору центра приведения). Очевидно также, что главный момент таким свойством не обладает, поэтому необходимо всегда указывать, относительно какого центра определяется главный момент.

2. Приведение системы сил к простейшему виду

Возможность дальнейшего упрощения произвольных систем сил зависит от значения их главного вектора и главного момента, а также от удачного выбор центра приведения. При этом возможны следующие случаи:

a) , . В данном случае система приводится к паре сил с моментом , значение которого не зависит от выбора центра приведения.

б) , . Система приводится к равнодействующей, равной , линия действия которой проходит через центр О .

в) , и взаимно перпендикулярны. Система приводится к равнодействующей, равной , но не проходящей через центр О (рис. 1.31).

Рис. 1.31. Приведение системы сил к равнодействующей

Заменим главный момент парой сил , как показано на рис. 1.31. Определим R из условия, что M 0 = R h . Затем отбросим на основании второй аксиомы статики уравновешенную систему двух сил , приложенных в точке О .

г) и параллельны. Система приводится к динамическому винту, с осью, проходящей через центр О (рис. 1.32).

Рис. 1.32. Динамический винт

д) и не равны нулю и при этом главный вектор и главный момент не параллельны и не перпендикулярны друг другу. Система приводится к динамическому винту, но ось не проходит через центр О (рис. 1.33).

Рис. 1.33. Самый общий случай приведения системы сил

Случай I.

Если главный вектор системы сил равен нулю и ее главный момент относительно центра приведения равен нулю, то силы взаимно уравновешиваются.

Случай II.

Если главный вектор системы сил равен нулю, а ее главный момент относительно центра приведения не равен нулю, то силы приводятся к паре сил. Момент этой пары сил равен главному моменту системы сил относительно центра приведения.

В этом случае главные моменты системы сил относительно всех точек пространства геометрически равны.

Случай III.

Если главный вектор системы сил не равен нулю, а ее главный момент относительно центра приведения равен нулю, то силы приводятся к равнодействующей , линия действия которой проходит через центр привидения.

Случай IV. и .

Если главный момент системы сил относительно центра приведения перпендикулярен к главному вектору, то силы приводятся к равнодействующей , линия действия которой не проходит через центр приведения (рис. 145).

Случай V. и .

Если главный момент системы сил относительно центра приведения не перпендикулярен к главному вектору, то силы приводятся к двум скрещивающимся силам или к силовому винту (динаме), т.е. к совокупности силы и пары сил, плоскость которой перпендикулярна к силе.

Приведение к двум скрещивающимся силам (рис. 147):

Уравнения равновесия различных систем сил

Для сил, произвольно расположенных в пространстве, соответствуют два условия равновесия:

Модули главного момента и главного вектора для рассматриваемой системы сил определяются по формулам:

Условия выполняются только при соответствующих им шести основных уравнения равновесия сил, расположенных произвольно в пространстве:

Первые три уравнения называют уравнениями моментов сил относительно осей координат, а последние три - уравнениями проекций сил на оси.

Формы уравнений равновесия плоской системы сил

Для сил, произвольно расположенных на плоскости, имеются два условия равновесия:

Два условия равновесия сил, произвольно расположенных на плоскости, можно выразить в виде системы трех уравнений:

Эти уравнения называются основными уравнениями равновесия плоской системы сил. Центр моментов и направление осей координат для этой системы уравнений можно выбирать произвольно.

Существует и две другие системы трех уравнений системы сил.

При этом в системе ось u не должна быть перпендикулярна прямой проходящей через точки A и B.

Так как главные моменты системы сил относительно двух центров равны нулю, то рассматриваемая система сил не приводится к паре сил. Проекция равнодействующей на любую ось равна сумме проекций составляющих сил, т.е. следовательно, предполагаемая равнодействующая Таким образом, система сил не приводится ни к паре сил, ни к равнодействующей, а, следовательно, уравновешивается.

где точки A, B, C не лежат на одной прямой. В этом случае силы не приводятся к паре сил, так как главные моменты сил относительно трех центров равны нулю. Силы не приводятся и к равнодействующей, так как если она существует, то линия ее действия не может пройти через три точки не лежащие на одной прямой. Таким образом, система сил не приводится ни к паре сил, ни к равнодействующей, а, следовательно, уравновешивается.

Центр параллельных сил

При сложении двух параллельных сил две параллельные приводятся к одной силе - равнодействующей, линия действия которой направлена параллельно линиям действия сил. Равнодействующая приложена в точке делящей прямую, на расстояния обратно пропорциональные величинам сил.

Поскольку силу можно переносить по линии ее действия, то точка приложения равнодействующей не определена. Если силы повернуть на один и тот же угол и вновь произвести сложение сил, то получим другое направление линии действия равнодействующей. Точка пересечения этих двух линий равнодействующих может рассматриваться как точка приложения равнодействующей, не изменяющая своего положения при повороте всех сил одновременно на один и тот же угол. Такая точка называется центром параллельных сил.

Теорема (о параллельном переносе силы в любую точку). Силу, приложенную к ATT, не изменяя оказываемого ею на тело действия, можно переносить параллельно ей самой в любую точку ATT, прибавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда она переносится.

Доказательство. Пусть на ATT действует сила F, приложенная в точке А. По аксиоме 2 статики в любой точке тела мы можем приложить уравновешенную систему сил F, F ", например в точке В (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Пусть F"= F. Тогда полученную систему из трех сил можно рассматривать как систему, состоящую из силы F" и добавленной пары сил F", F с моментом т = m B {F). ?

Приведем еще две теоремы, которые могут быть полезны при решении задач. Первая из них - это теорема Эйлера - Сомова.

Теорема. Произвольная пространственная система сил, действующая на ATT, может быть приведена к двум силам (кресту сил), одна из которых приложена в произвольно выбранной точке А ТТ.

Вторая - теорема Вариньона для произвольной плоской системы сил, которая является частным случаем теоремы Эйлера - Сомова.

Теорема. Произвольная плоская система сил эквивалентна системе двух сил, лежащих в этой плоскости.

? Приведение системы сил к одному центру Теорема (основная теорема статики). Действие любой произвольной системы сил на А ТТ эквивалентно действию в произвольной точке А этого ATT главного вектора 1 F этой системы сил и пары сил с моментом М А, который равен главному моменту системы сил относительно центра приведения А 2 .

Доказательство. Пусть на ATT действует произвольная система сил F { _ n . Выберем произвольно точку А тела в качестве центра приведения (рис. 4.2) и перенесем в эту точку все силы согласно теореме о параллельном переносе силы.

Рис. 4.2. К основной теореме статики: приведение к простейшему виду произвольной системы сил

При таком переносе в точке А будут приложены две группы векторов:

1) векторы сил F{_ n = F x _ n и 2) векторы добавленных моментов #и ЛО б,1 = m A (F\_„). ССС F x "_ n можно заменить равнодействующей F = ^Fj, а система пар эквивалентна одной паре с моментом

м л = !

В частном случае расположения всех сил в одной плоскости - плоская система сил - система сил сводится к главному вектору и скалярному главному моменту (так как направление вектора главного момента известно, он перпендикулярен плоскости расположения сил).

Сила F, равная геометрической/векторной сумме всех сил системы, называется главным вектором системы сил.

Момент М А, равный геометрической/векторной сумме моментов всех сил относительно центра А, называется главным моментом системы сил.

Таким образом, механическое действие любой пространственной системы сил на ATT характеризуется двумя обобщенными парамет-

• 1 Определение главного вектора и главного момента системы сил см. ниже в этой главе.
• 2 При этом F не зависит от выбора центра Л (другими словами, главный вектор системы сил является инвариантом системы сил), а значения М А в общем случае зависит от положения центра приведения (другими словами, главный момент системы сил не является инвариантом системы сил).

рами: главным вектором и главным моментом. Определение этих величин можно выполнить либо геометрическим построением, либо числовыми расчетами по формулам:

Если надо найти углы, то вычисляются направляющие косинусы главных векторов:

? Частные случаи приведения систем сил

Эти случаи формально связаны с равенством нулю значений главных векторов системы сил.

I случай. Приведение произвольной плоской системы сил:

• 1) F= О, М Л - 0 - система сил находится в равновесии;
• 2) F - О, М А Ф М А,
• 3) FФ О, М А - 0 - система сил приводится к одному главному вектору (приложенному в центре приведения А), который в данном случае является равнодействующей силой;
• 4) F Ф О, М А Ф 0 - система сил приводится к одной силе - главному вектору системы сил, приложенному в точке В (рис. 4.3), которая в данном случае является равнодействующей силой.

Рис. 4.3.

На рис. 4.3 расстояние ЛВ = d, являющееся плечом силы, вычисляется из условия М А - F ? d.

II случай. Приведение произвольной пространственной системы сил:

• 1)F= О, М А = 0 - система сил находится в равновесии;
• 2) F= О, М А Ф 0 - система сил сводится к одной паре с моментом М А, величина которого не зависит от выбора центра приведения;
• 3) FФ О, М А = 0 - система сил сводится к одной равнодействующей F
• 4) Гф О, М А Ф 0:
  • а) F А. М А - система сил приводится к одной равнодействующей, которая приложена в точке В такой, что ЛВ = d = MJF (см. рис. 4.3);
  • б) F М А - система сил (рис. 4.4) в данном случае называется динамическим/силовым винтом, или просто динамой. Прямая, вдоль которой направлен главный вектор, называется осью динамы, или центральной осью системы сил.

Рис. 4.4.

Под действием такой системы сил свободное тело совершает винтовое движение. При аналитическом задании ось динамы, проходящей через полюс А, имеет уравнения:

где - параметр динамы, имеющий размерность длины.

Действительно, пусть М 0 = ^Г(#;. х/с) - главный момент системы сил F i с равнодействующей F(X, У, Z) = относительно центра О и М А = ^(я, х/Д - главный момент той же системы сил при приведении к центру А (рис. 4.5, а). Так как /*, = ОА + я, то М Л = М 0 - ОА х ^F i = М 0 - ОА х F. Условие коллинеарности главного вектора и главного момента для точки А записывается следующим образом: pF = М А, где р - параметр винта, имеющий размерность длины. Откуда имеем

и, приравнивая коэффициенты при ортах слева и справа, получим искомое уравнение центральной оси динамы;

Рис. 4.5, а. К выводу уравнения центральной оси динамы

в) если главный вектор и главный момент образуют между собой угол ф, отличный от нуля и л/2, то система сил приводится к динаме F, М р ось которой проходит через точку В такую, что AB=MJF{ рис. 4.5,б).

Рис. 4.5, б. Произвольное расположение главного вектора системы сил и главного момента

Как видим, элементами динамы являются главный вектор F системы сил и момент динамы М р М А на направление главного вектора, т.е. = М А соБф.

Откуда имеем

Основными статическими инвариантами 1 системы сил являются главный вектор Ри момент динамы, равный проекции главного момента М А на направление главного вектора. Для вектора F это утверждение очевидно. Для момента динамы можно заметить, что М А = М 1{ + М ± , откуда M A F= M l{ F+ M L F, или M A F = М п F.

Поскольку вектор /’постоянен, отсюда следует, что и проекция главного момента на его направление тоже постоянна.

? Условия равновесия

Системы сил по геометрическим признакам делятся на следующие виды:

• 1) система сходящихся сил, т.е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке;
• 2) произвольная плоская система сил, т.е. сил, линии действия которых расположены в одной плоскости;
• 3) система параллельных сил - плоская и пространственная, т.е. сил, линии действия которых параллельны;
• 4) произвольная пространственная система сил.

Если на Л ТТ действует кроме системы сил также система моментов, то можно каждый момент этой системы представить в виде пары сил и, таким образом, свести систему моментов к системе сил.

Основное условие равновесия статики (в векторной форме):

Для равновесия Л ТТ под действием пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы сил относительно любого центра приведения были равны нулю 1:

Проецируя эти два векторных уравнения на координатные оси выбранной СО, получим шесть скалярных уравнений, или аналитическую форму условий равновесия:

Таким образом, для равновесия ATT под действием пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю.

Эти же условия можно сформулировать в геометрической форме: для равновесия ATT под действием пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник и многоугольник моментов были замкнутыми.

Условия равновесия, выраженные в аналитической форме (4.1а), часто называют также уравнениями равновесия. Если число неизвестных превышает число уравнений равновесия, то задача является статически неопределенной. Как видим, в общем случае задача на равновесие тела может иметь шесть неизвестных величин.

Совет! Для получения наиболее простых уравнений равновесия {каждое из которых содержит минимальное число неизвестных ) можно координатные оси проводить перпендикулярно наибольшему числу неизвестных сил, а в качестве центра приведения выбирать точки на пересечении линий действия наибольшего числа неизвестных сил.

• ? Частные случаи условий равновесия
• 1. Система сходящихся сил с центром сил в точке А. Условие равновесия для нее в векторной форме сводится к одному уравнению

1а. Пространственная система сходящихся сил. Уравнения равновесия для такой системы в аналитической форме примут вид:

16. Плоская система сходящихся сил. Уравнения равновесия для такой системы в аналитической форме, считая, что силы расположены в плоскости, параллельной плоскости Оху, примут вид:

2. Плоская система сил с силами, расположенными в плоскости Оху:

Для статической определенности в этом случае число неизвестных не должно превышать трех. Эти же уравнения можно дать в других, эквивалентных аналитических формах:

где прямая ВС не перпендикулярна оси Ох.

Еще одна форма условий равновесия:

где А, В, С не лежат на одной прямой и принадлежат плоскости Оху.

3. Параллельные системы сил:

За. Параллельные системы сил в пространстве, считая их расположенными параллельно оси Оу. Тогда из шести уравнений (4.1а) первое, третье и шестое обратятся в тождество (независимо от того, находится данная система сил в равновесии или нет):

36. Параллельные системы сил на плоскости, считая их расположенными в одной плоскости Оху параллельно оси Оу:

или в другой форме:

4. Для произвольной пространственной системы сил условие равновесия уже было показано ранее в данной главе - это основное условие равновесия статики (4.1).

Пример 1 (приведение системы сил к простейшему виду). Определить главный вектор R* и главный момент М 0 заданной системы сил Р х, Р 2 , Р 2 , Р 4 относительно центра О и установить, к какому простейшему виду приводится эта система. Размеры параллелепипеда (рис. 4.6), а также модули и направления сил указаны в таблице.

При выполнении задания необходимо сделать следующее:

• 1) изобразить заданную систему сил, выполнив построение параллелепипеда в масштабе, показав угол хОу на чертеже равным 135°; сокращение размеров по оси Ох принять равным 1:2;
• 2) выбрав систему координатных осей, определить модуль и направление главного вектора заданной системы сил по его проекциям на координатные оси и изобразить R* на чертеже;

Рис. 4.6. К примеру 1: исходный параллелепипед

• 3) вычислить главный момент заданной системы сил относительно центра О по его проекциям на координатные оси и изобразить М 0 на чертеже;
• 4) вычислить наименьший главный момент заданной системы сил;
• 5) на основании результатов вычислений главного вектора и наименьшего главного момента М* установить, к какому простейшему виду приводится заданная система сил. При этом необходимо сделать следующее:
  • а) если заданная система сил приводится к паре сил, то показать момент этой пары, приложив его к точке О;
• 6) если заданная система сил приводится к равнодействующей, то найти уравнения линии действия равнодействующей, определить точки пересечения этой линией координатных плоскостей и изобразить на чертеже;
• в) если заданная система сил приводится к динаме (силовому винту), то найти уравнения центральной оси, определить точки пересечения этой осью координатных плоскостей и изобразить /?* иМ*на чертеже.

Решение. 1. Определение главного вектора заданной системы сил. Заданная система сил показана на рис. 4.7.

Рис. 4.7. К примеру 1: приложенная система сил Предварительно определяем

В данном случае cos а = 0,6 и sin а = 0,8.

Проекции главного вектора на оси координат:

Модуль главного вектора Направляющие косинусы:

В соответствии с исходными данными получаем Х= 10,6 Н, У= 10,0 Н; Z= -12,8 Н; R* = 19,4 Н; cos(R, i) = 0,547, cos(R, j) = 0,515, cos(R, k) = = -0,660.

Главный вектор показан на рис. 4.8.

Рис. 4.8.

2. Определение главного момента заданной системы сил относительно центра О.

Главные моменты заданной системы сил относительно координатных осей:

Модуль главного момента:

Направляющие косинусы:

В результате вычислений имеем: М х = -200 Н см; М = 384 Н см; М, = -200 Н см; cos(М 0 , i ) = -0,419; cos(M 0 ,j) = 0,805; cos(M 0 , к) - - -0,419.

Главный момент показан на рис. 4.8.

3. Вычисление наименьшего главного момента заданной системы сил :

По этой формуле получаем: ЛГ = 221 Н см.

4. Так как R* Ф 0 и Л/* * 0, то заданная система сил приводится к динаме {силовому винту).

Уравнение центральной оси таково:

Из этих трех уравнений независимыми являются только два. Подставляя в два из этих уравнений найденные числовые значения величин, находим:

Значения координат точек пересечения центральной осью координатных плоскостей, определенные с помощью этих уравнений, приведены в таблице.

Центральная ось системы показана на рис. 4.8.

Примечание. Если силы приводятся к равнодействующей, т.е. R* ф 0 и М" = 0, то уравнения линии действия равнодействующей:

где X, У, Z - проекции равнодействующей силы на координатные оси; М х, М у, М. - главные моменты заданной системы сил относительно координатных осей. Из этих трех уравнений независимыми являются только два.

• Инвариантной называется величина, не зависящая от выбора СК и остающаяся поэтому при различных преобразованиях систем координат постоянной. В данном случае эти величины остаются постоянными при различных выборах центра приведения.
• Эти условия будут достаточными для равновесия ATT, если в начальныймомент времени оно покоилось в выбранной инерциальной СО. Обычнов инженерной практике за таковую систему выбирают СО, связаннуюс Землей.

Рассмотрим некоторые частные случаи предыдущей теоремы.

1. Если для данной системы силR = 0, M 0 = 0, то она находится в равновесии.

2. Если для данной системы силR = 0, M 0  0, то она приводится к одной паре с моментом M 0 = m 0 (F i). В этом случае величина M 0 не зависит от выбора центра О.

3. Если для данной системы силR  0, то она приводится к одной равнодействующей, причем если R  0 и M 0 = 0, то система заменяется одной силой, т.е. равнодействующей R, проходящей через центр О; в случае если R  0 и M 0  0, то система заменяется одной силой, проходящей через некоторую точку С, причем ОС = d(OCR) и d = |M 0 |/R.

Таким образом, плоская система сил, если она не находится в равновесии, приводится или к одной равнодействующей (когда R  0) или к одной паре (когда R = 0).

Пример 2. К диску приложены силы:

(рис. 3.16) привести эту систему сил к простейшему виду.

Решение: выберем систему координат Оху. За центр приведения выберем точку О. Главный векторR:

R x = F ix = -F 1 cos30 0 – F 2 cos30 0 +F 4 cos45 0 = 0; Рис. 3.16

R y = F iy = -F 1 cos60 0 + F 2 cos60 0 – F 3 + F 4 cos45 0 = 0. Поэтому R = 0.

Главный момент системы М 0:

М 0: = m 0 (F i) = F 3 *a – F 4 *a*sin45 0 = 0, где а – радиус диска.

Ответ: R = 0; М 0 = 0; тело находится в равновесии.

Привести к простейшему виду систему силF 1 , F 2 , F 3, изображенную на рисунке (рис. 3.17). Силы F 1 и F 2 направлены по противоположным сторонам, а сила F 3 – по диагонали прямоугольника ABCD, сторона AD которого равна a. |F 1 | = |F 2 | = |F 3 |/2 = F.

Решение: направим оси координат так, как это показано на рисунке. Определим проекции всех сил на оси координат:

Модуль главного вектора R равен:
;
.

Направляющие косинусы будут:
;
.

Отсюда: (х,R) = 150 0 ; (y, R) = 60 0 .

Определим главный момент системы сил относительно центра приведения А. Тогда

m A = m A (F 1) + m A (F 2) + m A (F 3).

Учитывая, чтоm A (F 1) = m A (F 3) = 0, так как направление сил проходит через точку А, тогда

m A = m A (F 2) = F*a.

Таким образом система сил приведена к силе R и паре сил с моментом m A , направленном против часовой стрелки (рис. 3.18).

Ответ: R = 2F; (х,^ R) = 150 0 ; (y,^ R) = 60 0 ; m A = F*a.

Вопросы для самоконтроля

Что такое момент силы относительно центра?

Что такое пара сил?

Приведение произвольной плоской системы сил к данному центру?

Сложение параллельных сил?

Литература: , , .

Лекция 4. Условия равновесия произвольной плоской системы сил

Основная форма условий равновесия. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю:

F ix = 0; F iy = 0; m 0 (F i) = 0.

Вторая форма условий равновесия: Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно каких-либо двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ох не перпендикулярную к прямой АВ, были равны нулю:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; F ix = 0.

Третья форма условий равновесия (уравнение трех моментов): Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма всех этих сил относительно любых трех центров А, В, С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

m A (F i) = 0; m B (F i) = 0; m С (F i) = 0.

Пример 1. Определить реакции заделки консольной балки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, одной сосредоточенной силы и двух пар сил (рис. 4.1); интенсивность нагрузкиq = 3*10 4 H/м; F = 4*10 4 H; m 1 = 2*10 4 H*м; m 2 = 3*10 4 H*м. BN = 3м; NC = 3м; CA = 4м.

Решение:

По принципу освобождаемости от связей заменим связи соответствующими реакциями. При жесткой заделке в стене возникает сила реакцииR A неизвестного направления и неизвестным моментом m А (рис. 4.2). Распределенную нагрузку заменим эквивалентной сосредоточенной силой Q, приложенной в точке К (ВК = 1,5м). Выберем систему координат ВХУ и составим условия равновесия балки в основной форме:

проекции сил на ось Х: - Fcos45 0 – R Ax = 0 (1)

проекции сил на ось Y: -Q - Fsin45 0 + R Ax = 0 (2)

сумма моментов:m A (F) = m 1 – m 2 + m A + Q*KA + F”*CA = 0 (3)

СилуF разложим в точке С на две взаимно перпендикулярные составляющие F” и F’; сила F’ момента относительно точки А не создает, так как линия действия силы проходит через точку А. Модуль силы F” = Fcos45 0 = F(2) 1/2 /2.

Подставляя численные значения в уравнения (1), (2) и (3), получим:

Вданной системе трех уравнений имеются три неизвестные, поэтому система имеет решение и притом только единственное.

4*10 4 *0,7 = R Ax R Ax = 2.8*10 4 H

3*10 4 *3 – 4*10 4 *0.7 + R Ay = 0 R Ay = 11.8*10 4 H

m A – 10 4 + 3*10 4 *3*8.5 + 4*10 4 *2.8 = 0 m A = - 86.8*10 4 H*м

Ответ: R Ax = 2.8*10 4 H; R Ay = 11.8*10 4 H; m A = - 86.8*10 4 H*м.

Пример 2. Определить реакции опор А, В, С и шарнира D составной балки (рис. 4.3).

q = 1,75*10 4 H/м; F = 6*10 4 H; P = 5*10 4 H.

Решение: По принципу освобождаемости от связей заменим связи соответствующими реакциями.

Распределенную нагрузкуq заменим эквивалентной сосредоточенной силой Q = q*KA, приложенной в точке М (АМ = 2м). Количество неизвестных сил реакции: R Ax , R Ay , R B , R C и две пары составляющих сил реакции в шарнире D.

Рассмотрим отдельно реакции в шарниреD. Для этого рассмотрим отдельно балки AD и DE (рис. 4.5а, 4.5б).

По третьему закону Ньютона в шарниреD на балку KD действует система сил R Dx и R Dy , а на балку DE система сил противоположная: R’ Dx и R’ Dy , причем модули сил попарно равны, т.е. R Dx = R Dx и R Dy = R Dy . Это внутренние силы составной балки, поэтому количество неизвестных сил реакции составляет шесть. Для их определения надо составить шесть независимых уравнений состояний равновесия. Возможны следующие варианты составления уравнений состояния.

Составляем условия равновесия для всей конструкции (3 уравнения) и для отдельного элемента этой конструкции: балки KD или балки DE. При составлении уравнений равновесия для всей конструкции внутренние силы не учитываются, так как при суммировании они взаимно уничтожаются.

Уравнения условия равновесия для всей конструкции:

R Ax – Fcos60 0 = 0

Q - R Ay – Fsin60 0 + R B + R C – P = 0

m A (F) = Q*m A – Fsin60 0 *AN + R B *AB + R C *AC – P*AE = 0

Уравнения условия равновесия для элемента DE:

R’ Dy , + R C – P*DE = 0

M D (F) = R C *DC – P*DE = 0

Таким образом составлено шесть независимых уравнений с шестью неизвестными, поэтому система уравнений имеет решение и причем только единственное. Решая систему уравнений определим неизвестные силы реакции.

Задачи на тему

7.1 К вершинам куба приложены по направлениям ребер силы, как указано на рисунке. Каким условиям должны удовлетворять модули сил F1, F2, F3, F4, F5 и F6, чтобы они находились в равновесии?
РЕШЕНИЕ

7.2 По трем непересекающимся и непараллельным ребрам прямоугольного параллелепипеда действуют три равные по модулю силы P. Какое соотношение должно существовать между ребрами a, b и c, чтобы эта система приводилась к одной равнодействующей?
РЕШЕНИЕ

7.3 К четырем вершинам A, H, B и D куба приложены четыре равные по модулю силы: P1=P2=P3=P4=P, причем сила P1 направлена по AC, P2 по HF, P3 по BE и P4 по DG. Привести эту систему к простейшему виду.
РЕШЕНИЕ

7.4 К правильному тетраэдру ABCD, ребра которого равны a, приложены силы: F1 по ребру AB, F2 по ребру CD и F3 в точке E середине ребра BD. Величины сил F1 и F2 какие угодно, а проекции силы F3 на оси x, y и z равны +F25√3/6; -F2/2; -F2√(2/3). Приводится ли эта система сил к одной равнодействующей? Если приводится, то найти координаты x и z точки пересечения линии действия равнодействующей с плоскостью Oxz.
РЕШЕНИЕ

7.5 К вершинам куба, ребра которого имеют длину 5 см, приложены, как указано на рисунке, шесть равных по модулю сил, по 2 Н каждая. Привести эту систему к простейшему виду.
РЕШЕНИЕ

7.6 Систему сил: P1=8 Н, направленную по Oz, и P2=12 Н, направленную параллельно Oy, как указано на рисунке, где OA=1,3 м, привести к каноническому виду, определив величину главного вектора V всех этих сил и величину их главного момента M относительно произвольной точки, взятой на центральной винтовой оси. Найти углы α, β и γ, составляемые центральной винтовой осью с координатными осями, а также координаты x и y точки встречи ее с плоскостью Oxy.
РЕШЕНИЕ

7.7 Три силы P1, P2 и P3 лежат в координатных плоскостях и параллельны осям координат, но могут быть направлены как в ту, так и в другую сторону. Точки их приложения A, B и C находятся на заданных расстояниях a, b и c от начала координат. Какому условию должны удовлетворять величины этих сил, чтобы они приводились к одной равнодействующей? Какому условию должны удовлетворять величины этих сил, чтобы существовала центральная винтовая ось, проходящая через начало координат?
РЕШЕНИЕ

7.8 К правильному тетраэдру ABCD с ребрами, равными a, приложена сила F1 по ребру AB и сила F2 по ребру CD. Найти координаты x и y точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Oxy.
РЕШЕНИЕ

7.9 По ребрам куба, равным a, действуют двенадцать равных по модулю сил P, как указано на рисунке. Привести эту систему сил к каноническому виду и определить координаты x и y точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Oxy.
РЕШЕНИЕ

7.10 По ребрам прямоугольного параллелепипеда, соответственно равным 10 м, 4 м и 5 м, действуют шесть сил, указанных на рисунке: P1=4 Н, P2=6 Н, P3=3 Н, P4=2 Н, P5=6 Н, P6=8 Н. Привести эту систему сил к каноническому виду и определить координаты x и y точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Oxy.
РЕШЕНИЕ

7.11 Равнодействующие P=8000 кН и F=5200 кН сил давления воды на плотину приложены в средней вертикальной плоскости перпендикулярно соответствующим граням на расстоянии H=4 м и h=2,4 м от основания. Сила веса G1=12000 кН прямоугольной части плотины приложена в ее центре, а сила веса G2=6000 кН треугольной части на расстоянии одной трети длины нижнего основания треугольного сечения от вертикальной грани этого сечения. Ширина плотины в основании b=10 м, в верхней части a=5 м; tg α=5/12. Определить равнодействующую распределенных сил реакции грунта, на котором установлена плотина.
РЕШЕНИЕ

7.12 Вес радиомачты с бетонным основанием G=140 кН. К мачте приложены сила натяжения антенны F=20 кН и равнодействующая сил давления ветра P=50 кН; обе силы горизонтальны и расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях; H=15 м, h=6 м. Определить результирующую реакцию грунта, в котором уложено основание мачты.