Как найти общую площадь фигуры. Площадь фигур на клетчатой бумаге. Полная инструкция (2020). Помещение прямоугольной или квадратной формы

В геометрии площадь фигуры является одной из основных численных характеристик плоского тела. Что такое площадь, как ее определять у различных фигур, а также какие свойства она имеет - все эти вопросы мы рассмотрим в данной статье.

Что такое площадь: определение

Площадь фигуры - это число единичных квадратов в этой фигуре; неформально выражаясь, это размер фигуры. Чаще всего, площадь фигуры обозначается как «S». Её можно измерить с помощью палетки или прибора планиметр. Также площадь фигуры можно вычислить, зная основные ее размеры. Например, площадь треугольника можно вычислить по трем различным формулам:

Площадь прямоугольника равна произведению его ширины на длину, а площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число π=3,14.

Свойства площади фигуры

• площадь равна у равных фигур;
• площадь всегда неотрицательна;
• единицей измерения площади является площадь квадрата со стороной, равной 1 единице длины;
• если фигура разделена на две части, то общая площадь фигуры равна сумме площадей составляющих ее частей;
• фигуры, равные по площади, называются равновеликими;
• если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не может превосходить площади второй.

Теорема 1.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Докажем что площадь S квадрата со стороной a равна a 2 . Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n равных квадратов так, как показано на рисунке 1. геометрия площадь фигура теорема

Рисунок 1.

Так как сторона квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна. Сторона каждого маленького квадрата равна, т.е. равна а. Из этого следует, что. Теорема доказана.

Теорема 2.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне (рис.2.):

S = a * h.

Пусть ABCD - данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть для определенности угол A острый (рис.2.).

Рисунок 2.

Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB. Площадь трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника AEB. Опустим перпендикуляр DF из вершины D на прямую CD. Тогда площадь трапеции AECD равна сумме площадей прямоугольника AEFD и треугольника DFC. Прямоугольные треугольники AEB и DFC равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника AEFD, т.е. равна AE * AD. Отрезок AE - высота параллелограмма, опущенная к стороне AD , и, следовательно, S = a * h. Теорема доказана.

Теорема 3

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту (рис.3.):

Рисунок 3.

Доказательство.

Пусть ABC - данный треугольник. Дополним его до параллелограмма ABCD, как показано на рисунке (рис.3.1.).

Рисунок 3.1.

Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и CDA. Так как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABC. Высота параллелограмма, соответствующая стороне CB, равна высоте треугольника, проведенной к стороне CB. Отсюда следует утверждение теоремы, Теорема доказана.

Теорема 3.1.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (рис 3.2.).

Рисунок 3.2.

Доказательство.

Введем систему координат с началом в точке С так, чтобы B лежала на положительной полуоси C x , а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле, где h - высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т.е. h=b sin C. Следовательно, . Теорема доказана.

Теорема 4.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы его оснований на высоту (рис.4.).

Рисунок 4.

Доказательство.

Пусть ABCD - данная трапеция (рис.4.1.).

Рисунок 4.1.

Диагональ AC трапеции разбивает ее на два треугольника: ABC и CDA.

Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников.

Площадь треугольника ACD равна площадь треугольника ABC равна. Высоты AF и CE этих треугольников равна расстоянию h между параллельными прямыми BC и AD, т.е. высоте трапеции. Следовательно, . Теорема доказана.

Площади фигур имеют огромное значение в геометрии, как в науке. Ведь площадь это одна из важнейших величин в геометрии. Без знания площадей невозможно решить множество геометрических задач, доказать теоремы, обосновать аксиомы. Площади фигур имели огромное значение много веков назад, но не утратили своего значения в современном мире. Понятия площадей используются во многих профессиях. Они применяются в строительстве, проектирование и во многих других видах деятельности человека. Из этого можно сделать вывод,что без развития геометрии, в частности понятий о площадях, человечество не смогло бы такой большой прорыв в области наук и технике.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
   Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
   
2. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
   
3. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
   Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
   
где S - площадь треугольника,
- длины сторон треугольника,
- высота треугольника,
- угол между сторонами и,
- радиус вписанной окружности,
R - радиус описанной окружности,

Формулы площади квадрата

1. Формула площади квадрата по длине стороны
   Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
2. Формула площади квадрата по длине диагонали
   Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
   

   S =	1	2
   	2

где S - Площадь квадрата,
- длина стороны квадрата,
- длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

где S - Площадь прямоугольника,
- длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
   Площадь параллелограмма
2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
   Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
   

   a · b · sin α

где S - Площадь параллелограмма,
- длины сторон параллелограмма,
- длина высоты параллелограмма,
- угол между сторонами параллелограмма.

Формулы площади ромба

1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
   Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
2. Формула площади ромба по длине стороны и углу
   Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
   Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
где S - Площадь ромба,
- длина стороны ромба,
- длина высоты ромба,
- угол между сторонами ромба,
1 , 2 - длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

1. Формула Герона для трапеции

   Где S - Площадь трапеции,
   - длины основ трапеции,
   - длины боковых сторон трапеции,
   

Класс: 5

На мой взгляд, задача учителя – не только научить, а развить познавательный интерес у учащегося. Поэтому, когда возможно, связываю темы урока с практическими задачами.

На занятии учащиеся под руководством учителя составляют план решения задач на нахождение площади «сложной фигуры» (для расчеты сметы ремонта), закрепляют навыки решения задач на нахождение площади; происходит развитие внимания, способности к исследовательской деятельности, воспитание активности, самостоятельности.

Работа в парах создает ситуацию общения между теми, кто имеет знания и теми, кто их приобретает; в основе такой работы лежит повышение качества подготовки по предмету. Способствует развитию интереса к процессу учения и более глубокому усвоению учебного материала.

Урок не только систематизирует знания обучающихся, но и способствует развитию творческих, аналитических способностей. Применение задач с практическим содержанием на уроке позволяет показать востребованность математических знаний в повседневной жизни.

Цели урока:

Образовательные:

• закрепление знаний формул площади прямоугольника, прямоугольного треугольника;
• анализ заданий на вычисление площади “сложной” фигуры и способов их выполнения;
• самостоятельное выполнение заданий для проверки знаний, умений, навыков.

Развивающие:

• развитие приёмов умственной и исследовательской деятельности;
• развитие умения слушать и объяснять ход решения.

Воспитательные:

• воспитывать у учащихся навыки учебного труда;
• воспитывать культуру устной и письменной математической речи;
• воспитывать дружеское отношение в классе и умение работать в группах.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование:

• Математика: учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов и др., М.: «Мнемозина», 2010.
• Карточки для групп учащихся с фигурами для вычисления площади сложной фигуры.
• Чертёжные инструменты.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
   а) Теоретические вопросы (тест).
   б) Постановка проблемы.
3. Изученного нового материала.
   а) поиск решения проблемы;
   б) решение поставленной проблемы.
4. Закрепление материала.
   а) коллективное решение задач;
   Физкультминутка.
   б) самостоятельная работа.
5. Домашнее задание.
6. Итог урока. Рефлексия.

Ход урока

I. Организационный момент.

Урок мы начнём вот с таких напутствующих слов:

Математика, друзья,
Абсолютно всем нужна.
На уроке работай старательно,
И успех тебя ждёт обязательно!

II. Актуализация знаний.

а) Фронтальная работа с сигнальными карточками (у каждого ученика карточки с числами 1, 2, 3, 4; при ответе на вопрос теста ученик поднимает карточку с номером правильного ответа).

1. Квадратный сантиметр – это:

1. площадь квадрата со стороной 1 см;
2. квадрат со стороной 1 см;
3. квадрат с периметром 1 см.

2. Площадь фигуры, изображённой на рисунке, равна:

1. 8 дм;
2. 8 дм 2 ;
3. 15 дм 2 .

3. Справедливо ли утверждение, что равные фигуры имеют равные периметры и равные площади?

4. Площадь прямоугольника определяется по формуле:

1. S = a 2 ;
2. S = 2 (a + b);
3. S = a b.

5. Площадь фигуры изображённой на рисунке, равна:

1. 12 см;
2. 8 см;
3. 16 см.

б) (Постановка проблемы). Задача. Сколько надо краски, чтобы покрасить пол, который имеет следующую форму (см. рис.), если на 1 м 2 расходуется 200 г краски?

III. Изучение нового материала.

Что же мы должны узнать, чтобы решить последнюю задачу? (Найти площадь пола, который имеет вид «сложной фигуры».)

Учащиеся формулируют тему и цели урока (если необходимо учитель помогает).

Рассмотрим прямоугольник ABCD . Проведём в нем линию KPMN , разбив прямоугольник ABCD на две части: ABNMPK и KPMNCD.

Чему равна площадь ABCD ? (15 см 2)

Чему равна площадь фигуры ABMNPK ? (7 см 2)

Чему равна площадь фигуры KPMNCD ? (8 см 2)

Проанализируйте полученные результаты. (15= = 7 + 8)

Вывод? (Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.)

S = S 1 + S 2

Как можно применить это свойство для решения нашей задачи?(Разобьём сложную фигуру на части, найдём площади частей, затем площадь всей фигуры.)

S 1 = 7 2 = 14 (м 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (м 2)
S 3 = 7 3 = 21 (м 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (м 2)

Давайте составим план решения задач на нахождение площади «сложной фигуры»:

1. Разбиваем фигуру на простые фигуры.
2. Находим площади простых фигур.

а) Задача 1. Сколько потребуется плитки, чтобы выложить площадку следующих размеров:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60 – 30) 20 = 600 (дм 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (дм 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (дм 2)

Есть ли другой способ решения? (Рассматриваем предложенные варианты.)

Ответ: 2100 дм 2 .

Задача 2. (коллективное решение на доске и в тетрадях.) Сколько требуется м 2 линолеума для ремонта комнаты, имеющей следующую форму:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (м 2)
S 2 = ((5 – 3) 2) : 2 = 2 (м 2)
S = 6 + 2 = 8 (м 2)

Ответ: 8 м 2 .

Физкультминутка.

А теперь, ребята, встали.
Быстро руки вверх подняли.
В стороны, вперед, назад.
Повернулись вправо, влево.
Тихо сели, вновь за дело.

б) Самостоятельная работа (обучающего характера).

Учащиеся разбиваются на группы (№ 5–8 более сильные). Каждая группа – ремонтная бригада.

Задание бригадам: определите, сколько надо краски, чтобы покрасить пол, имеющий форму фигуры, изображённой на карточке, если на 1 м 2 требуется 200 г краски.

Вы эту фигуру строите своей тетради и записывая все данные, приступаете к выполнению задания. Можете обсуждать решение (но только в своей группе!). Если какая-то группа справляется с заданием быстро, то ей – дополнительное задание (после проверки самостоятельной работы).

Задания для групп:

V. Домашнее задание.

п. 18, № 718, № 749.

Дополнительное задание. План-схема Летнего сада (Санкт-Петербург). Вычислить его площадь.

VI. Итоги урока.

Рефлексия. Продолжи фразу:

• Сегодня я узнал…
• Было интересно…
• Было трудно…
• Теперь я могу…
• Урок дал мне для жизни…