หลักสูตรวิดีโอ "รับ A" ประกอบด้วยหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นในการผ่านการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยคะแนน 60-65 คะแนน ทำภารกิจทั้งหมด 1-13 ของการสอบ Profile Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ให้สมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีที่รวดเร็วแนวทางแก้ไข ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งานการสอบ Unified State ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนที่จะยัดเยียด คำอธิบายที่ชัดเจนของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของส่วนที่ 2 ของการสอบ Unified State

พื้นที่ผิวของปิรามิด ในบทความนี้เราจะดูปัญหาของปิรามิดปกติ ฉันขอเตือนคุณว่าปิรามิดปกติคือปิรามิดที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ด้านบนของปิรามิดถูกยื่นไปตรงกลางของรูปหลายเหลี่ยมนี้

ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดดังกล่าวเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วความสูงของสามเหลี่ยมนี้ลากจากจุดยอด ปิรามิดปกติเรียกว่าอะโพเธม SF – อะโพเธม:

ในประเภทของปัญหาที่นำเสนอด้านล่าง คุณต้องค้นหาพื้นที่ผิวของปิรามิดทั้งหมดหรือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง บล็อกได้กล่าวถึงปัญหาหลายประการกับปิรามิดปกติแล้ว โดยมีคำถามในการค้นหาองค์ประกอบ (ความสูง ขอบฐาน ขอบด้านข้าง)

ใน งานสอบ Unified Stateตามกฎแล้วจะมีการพิจารณาปิรามิดรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และหกเหลี่ยมปกติ ฉันไม่เห็นปัญหาใด ๆ กับปิรามิดห้าเหลี่ยมและปิรามิดเจ็ดเหลี่ยมทั่วไป

สูตรสำหรับพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดนั้นง่าย - คุณต้องหาผลรวมของพื้นที่ฐานของปิรามิดและพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง:

พิจารณางาน:

ด้านข้างของฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 72 ขอบด้านข้างคือ 164 จงหาพื้นที่ผิวของปิรามิดนี้

พื้นที่ผิวของปิรามิดเท่ากับผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างและฐาน:

*พื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสามเหลี่ยมสี่อันที่มีพื้นที่เท่ากัน ฐานของปิรามิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

เราสามารถคำนวณพื้นที่ด้านข้างของปิรามิดได้โดยใช้:

ดังนั้น พื้นที่ผิวของปิรามิดคือ:

คำตอบ: 28224

ด้านข้างของฐานของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 22 ขอบด้านข้างมีค่าเท่ากับ 61 ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนี้

ฐานของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติคือฐานหกเหลี่ยมปกติ

พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนี้ประกอบด้วยพื้นที่หกรูปสามเหลี่ยมเท่ากันโดยมีด้าน 61,61 และ 22:

มาหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรของเฮรอน:

ดังนั้น พื้นที่ผิวด้านข้างคือ:

คำตอบ: 3240

*จากปัญหาที่นำเสนอข้างต้น พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างสามารถหาได้โดยใช้สูตรสามเหลี่ยมอื่น แต่สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องคำนวณระยะกึ่งกลางของหน้าแข้ง

27155. ค้นหาพื้นที่ผิวของปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติซึ่งมีด้านฐานเป็น 6 และมีความสูงเป็น 4

ในการหาพื้นที่ผิวของปิรามิด เราต้องรู้พื้นที่ฐานและพื้นที่ผิวด้านข้าง:

พื้นที่ฐานคือ 36 เนื่องจากเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 6

พื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสี่หน้าซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน ในการที่จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้น คุณจำเป็นต้องรู้ฐานและความสูงของมัน (apothem):

*พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูงที่วาดมายังฐานนี้

ฐานรู้แล้วว่ามีค่าเท่ากับหก มาหาความสูงกัน. ลองพิจารณาดู สามเหลี่ยมมุมฉาก(เน้นด้วยสีเหลือง):

ขาข้างหนึ่งมีค่าเท่ากับ 4 เนื่องจากนี่คือความสูงของปิรามิด ส่วนขาอีกข้างมีค่าเท่ากับ 3 เนื่องจากเท่ากับครึ่งหนึ่งของขอบฐาน เราสามารถหาด้านตรงข้ามมุมฉากได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือ:

ดังนั้น พื้นที่ผิวของปิรามิดทั้งหมดคือ:

คำตอบ: 96

27069 ด้านข้างของฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 10 ขอบด้านข้างมีค่าเท่ากับ 13 จงหาพื้นที่ผิวของปิรามิดนี้

27070 ด้านข้างของฐานของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 10 ขอบด้านข้างเท่ากับ 13 จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดนี้

นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติอีกด้วย ในพีระมิดปกติ ฐานคือโครงที่ยื่นออกไปในมุมฉากของพื้นผิวด้านข้าง ดังนั้น:

ป- เส้นรอบวงฐาน ล- แนวกึ่งกลางของปิรามิด

*สูตรนี้อิงจากสูตรพื้นที่สามเหลี่ยม

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการได้มาของสูตรเหล่านี้ อย่าพลาด ติดตามการตีพิมพ์บทความต่างๆนั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

คือรูปที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมใดๆ และใบหน้าด้านข้างแสดงด้วยรูปสามเหลี่ยม จุดยอดของพวกเขาอยู่ที่จุดเดียวกันและตรงกับยอดปิรามิด

ปิรามิดสามารถเปลี่ยนแปลงได้ - สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, หกเหลี่ยม ฯลฯ สามารถกำหนดชื่อได้ขึ้นอยู่กับจำนวนมุมที่อยู่ติดกับฐาน
ปิรามิดที่ถูกต้องเรียกว่าปิระมิดซึ่งมีด้านฐาน มุม และขอบเท่ากัน นอกจากนี้ในปิรามิดดังกล่าวพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างจะเท่ากัน
สูตรพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือผลรวมของพื้นที่ผิวทุกด้าน:
นั่นคือในการคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดโดยพลการคุณต้องค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละอันแล้วบวกเข้าด้วยกัน หากปิรามิดถูกตัดทอน ใบหน้าของมันจะแสดงเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู มีอีกสูตรหนึ่งสำหรับปิรามิดปกติ ในนั้นพื้นที่ผิวด้านข้างจะคำนวณผ่านกึ่งปริมณฑลของฐานและความยาวของระยะกึ่งกลางของฐาน:

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่พื้นผิวด้านข้างของปิรามิด
ให้พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติได้รับ ด้านฐาน ข= 6 ซม. ระยะกึ่งกลาง ก= 8 ซม. จงหาพื้นที่ผิวข้าง

ที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติจะมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ก่อนอื่น เรามาหาเส้นรอบวงกันก่อน:

ตอนนี้เราสามารถคำนวณพื้นที่พื้นผิวด้านข้างของปิรามิดของเราได้:

ในการหาพื้นที่รวมของรูปทรงหลายเหลี่ยม คุณจะต้องหาพื้นที่ฐานของมัน สูตรสำหรับพื้นที่ฐานของปิรามิดอาจแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับว่ารูปหลายเหลี่ยมใดอยู่ที่ฐาน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานฯลฯ

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิดที่กำหนดโดยเงื่อนไขของเรา เนื่องจากปิระมิดเป็นแบบปกติ จึงมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่ฐาน
พื้นที่สี่เหลี่ยมคำนวณโดยสูตร: ,
โดยที่ a คือด้านข้างของจัตุรัส สำหรับเราคือ 6 ซม. ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ฐานของปิรามิดคือ:

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาพื้นที่รวมของรูปทรงหลายเหลี่ยม สูตรพื้นที่ของปิรามิดประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ฐานและพื้นผิวด้านข้าง

• ปัญหาที่ 1. ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด
• ปัญหาที่ 2. ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

ปัญหาที่ 1- ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดปกติ

สารละลาย.

ที่ฐานของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมปกติจะมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่
ดังนั้น เพื่อแก้ปัญหา เราจะใช้คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมปกติ:

เรารู้ความสูงของสามเหลี่ยมจากจุดที่เราหาพื้นที่ของมันได้
ชั่วโมง = √3/2a
ก = ชั่วโมง / (√3/2)
ก = 3 / (√3/2)
ก = 6 / √3

โดยที่พื้นที่ฐานจะเท่ากับ:
S = √3/4 ก 2
ส = √3/4 (6 / √3) 2
ส = 3√3

การหาพื้นที่หน้าด้านข้าง ให้คำนวณส่วนสูง KM จากโจทย์นี้ มุม OKM คือ 45 องศา
ดังนั้น:
ตกลง / MK = cos 45
ลองใช้ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติและแทนที่ค่าที่ทราบ

ตกลง / MK = √2/2

พิจารณาว่า OK เท่ากับรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ แล้ว
ตกลง = √3/6a
ตกลง = √3/6 * 6/√3 = 1

แล้ว
ตกลง / MK = √2/2
1/เอ็มเค = √2/2
เอ็มเค = 2/√2

พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความสูงและฐานของรูปสามเหลี่ยม
ด้าน = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

ดังนั้น พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดจะเท่ากับ
ส = 3√3 + 3 * 6/√6
ส = 3√3 + 18/√6

คำตอบ: 3√3 + 18/√6

ปัญหาที่ 2- ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติ

สารละลาย.

เนื่องจากฐานของพีระมิดรูปสามเหลี่ยมปกติเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า AO จึงเป็นรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบฐาน
(ต่อจากนี้)

เราค้นหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมด้านเท่าจากคุณสมบัติของมัน

โดยที่ความยาวของขอบของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติจะเท่ากับ:
AM 2 = MO 2 + AO 2
ความสูงของปิรามิดนั้นทราบตามเงื่อนไข (10 ซม.), AO = 16√3/3
เช้า 2 = 100 + 256/3
เช้า = √(556/3)

แต่ละด้านของปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมหน้าจั่วเราพบได้จากสูตรแรกที่แสดงด้านล่าง

S = 1/2 * 16 ตร.วา((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 ตร.ม.((556/3) - 64)
S = 8 ตร.ม.(364/3)
S = 16 ตร.ม.(91/3)

เนื่องจากพีระมิดปกติทั้งสามหน้ามีขนาดเท่ากัน พื้นที่ผิวด้านข้างจึงเท่ากับ
3S = 48 √(91/3)

คำตอบ: 48 √(91/3)

ปัญหาที่ 3. ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดปกติ

ด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติคือ 3 ซม. และมุมระหว่างหน้าด้านข้างกับฐานของปิรามิดคือ 45 องศา หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด.

สารละลาย.
เนื่องจากปิระมิดเป็นแบบปกติ จึงมีสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ที่ฐาน ดังนั้นพื้นที่ฐานจึงเป็น


ดังนั้น = 9 * √3/4

การหาพื้นที่หน้าด้านข้าง ให้คำนวณส่วนสูง KM จากโจทย์นี้ มุม OKM คือ 45 องศา
ดังนั้น:
ตกลง / MK = cos 45
มาใช้ประโยชน์กันเถอะ

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากับผลคูณของระยะกึ่งกลางของฐานและครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของฐาน

สำหรับพื้นที่ผิวทั้งหมด เราเพียงแต่บวกพื้นที่ฐานเข้ากับด้านหนึ่ง

พื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากับผลคูณของระยะกึ่งเส้นรอบวงของฐานและระยะกึ่งกลางของฐาน

การพิสูจน์:

ถ้าด้านข้างของฐานคือ a จำนวนด้านคือ n ดังนั้นพื้นผิวด้านข้างของพีระมิดจะเท่ากับ:

a l n/2 = a n l/2 = pl/2

โดยที่ l คือเส้นตั้งฉากกึ่งกลางของพีระมิด และ p คือเส้นรอบวงของฐานของพีระมิด ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สูตรนี้อ่านได้ดังนี้:

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉากในของปิรามิด

พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดคำนวณโดยสูตร:

ส เต็ม = ส ด้านข้าง +ส ขั้นพื้นฐาน

หากพีระมิดไม่แน่นอน พื้นผิวด้านข้างจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง

ปริมาตรของปิรามิด

ปริมาณปิรามิดเท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของพื้นที่ฐานและส่วนสูง

การพิสูจน์. เราจะเริ่มจากปริซึมสามเหลี่ยม ขอให้เราวาดระนาบผ่านจุดยอด A" ของฐานด้านบนของปริซึม และขอบตรงข้าม BC ของฐานล่าง ระนาบนี้จะตัดปิรามิดสามเหลี่ยม A" ABC ออกจากปริซึม เราจะสลายส่วนที่เหลือของปริซึมให้เป็นวัตถุแข็ง โดยวาดระนาบผ่านเส้นทแยงมุม A"C และ B"C ของใบหน้าด้านข้าง ผลที่ได้ทั้งสองร่างก็เป็นปิรามิดเช่นกัน เมื่อพิจารณาว่าสามเหลี่ยม A"B"C" เป็นฐานของหนึ่งในนั้น และ C เป็นจุดยอด เราจะเห็นว่าฐานและความสูงของมันเหมือนกับปิรามิดตัวแรกที่เราตัดออก ดังนั้น ปิรามิด A"ABC และ CA"B"C" มีขนาดเท่ากัน นอกจากนี้ ทั้งปิรามิดใหม่ CA"B"C" และ A"B"BC ก็มีขนาดเท่ากันเช่นกัน ซึ่งจะชัดเจนถ้าเราหาสามเหลี่ยม BBC" และ B"CC " เป็นฐาน “ ดวงอาทิตย์มีจุดยอด A ร่วมกัน” และฐานของพวกมันอยู่ในระนาบเดียวกันและเท่ากัน ดังนั้นปิรามิดจึงมีขนาดเท่ากัน ดังนั้น ปริซึมจึงถูกสลายออกเป็นปิรามิดสามอันที่มีขนาดเท่ากัน ปริมาตรของแต่ละรายการเท่ากับหนึ่งในสามของปริมาตรของปริซึม โดยทั่วไปแล้ว ปริมาตรของปิรามิด n-gonal จะเท่ากับหนึ่งในสามของปริมาตรของปริซึมที่มีความสูงเท่ากันและเท่ากัน ( หรือเท่ากับ) ฐาน เมื่อนึกถึงสูตรที่แสดงปริมาตรของปริซึม V=Sh เราจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย: V=1/3Sh