สภาวะสมดุลของระบบกำลังเชิงพื้นที่ตามอำเภอใจ สมการสมดุลของแรงระนาบและระบบอวกาศ วิธีที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหา

20. เงื่อนไขเพื่อความสมดุลของระบบกำลังเชิงพื้นที่:

21. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับแรงไม่ขนานกัน 3 แรง:เส้นการกระทำของแรงสามแรงที่ไม่ขนานกันซึ่งมีความสมดุลซึ่งกันและกันซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกันจะตัดกันที่จุดหนึ่ง

22. ปัญหาที่สามารถกำหนดได้แบบคงที่- ปัญหาเหล่านี้เป็นปัญหาที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีสถิตยศาสตร์แบบเข้มงวด เช่น ปัญหาที่จำนวนไม่ทราบค่าไม่เกินจำนวนสมการสมดุลของแรง

ระบบที่ไม่แน่นอนคงที่คือระบบที่จำนวนปริมาณที่ไม่ทราบเกินจำนวนสมการสมดุลอิสระสำหรับระบบแรงที่กำหนด

23. สมการสมดุล ระบบแบนแรงขนาน:

AB ไม่ขนานกับ F i

24. กรวยและมุมแรงเสียดทาน:อธิบายตำแหน่งจำกัดของแรงกระทำภายใต้อิทธิพลของความเท่าเทียมกันที่อาจเกิดขึ้นได้ กรวยแรงเสียดทานมีมุม (φ)

หากแรงกระทำเคลื่อนผ่านนอกกรวยนี้ ความสมดุลก็เป็นไปไม่ได้

มุม φ เรียกว่า มุมเสียดสี

25. ระบุมิติของสัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน:ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตและแรงเสียดทานแบบเลื่อนเป็นปริมาณไม่มีมิติ ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจากการกลิ้งและแรงเสียดทานแบบหมุนมีมิติเป็นความยาว (มม. ซม. ม.)

26. สมมติฐานพื้นฐานที่ทำขึ้นเมื่อคำนวณโครงถักที่กำหนดแบบคงที่แบบแบน:- แท่งทรัสถือว่าไม่มีน้ำหนัก - การยึดแท่งในโหนดโครงถักแบบบานพับ - โหลดภายนอกใช้เฉพาะที่โหนดของโครงถักเท่านั้น - ก้านตกอยู่ใต้ข้อต่อ

27. ความสัมพันธ์ระหว่างแท่งและโหนดของโครงถักที่กำหนดแบบคงที่คืออะไร?

S=2n-3 – โครงถักที่กำหนดได้แบบคงที่อย่างง่าย, จำนวน S ของแท่ง, จำนวน n ของโหนด,

ถ้าส<2n-3 –не жесткая ферма, равновесие возможно, если внешние силы будут одинаково соотноситься

S>2n-3 – โครงถักไม่แน่นอนคงที่ มีการเชื่อมต่อเพิ่มเติม + การคำนวณการเสียรูป

28. โครงถักที่กำหนดคงที่ต้องเป็นไปตามเงื่อนไข:ส=2n-3; S คือจำนวนแท่ง n คือจำนวนโหนด

29. วิธีการตัดปม:วิธีนี้ประกอบด้วยการตัดโหนดของโครงถักออกด้วยจิตใจ การใช้แรงภายนอกและปฏิกิริยาของแท่งกับพวกมัน และสร้างสมการสมดุลสำหรับแรงที่ใช้กับแต่ละโหนด สันนิษฐานตามอัตภาพว่าแท่งทั้งหมดถูกยืดออก (ปฏิกิริยาของแท่งจะถูกดึงออกจากโหนด)

30. วิธีริทเตอร์:เราวาดระนาบซีแคนต์ที่ตัดโครงออกเป็น 2 ส่วน ส่วนจะต้องเริ่มต้นและสิ้นสุดนอกโครงถัก คุณสามารถเลือกส่วนใดก็ได้ให้เป็นวัตถุแห่งความสมดุล ส่วนนี้ผ่านไปตามแท่งและไม่ผ่านโหนด แรงที่ใช้กับวัตถุที่มีความสมดุลจะก่อให้เกิดระบบแรงตามอำเภอใจ ซึ่งสามารถวาดสมการสมดุลได้ 3 แบบ ดังนั้นเราจึงดำเนินการส่วนนี้โดยรวมแท่งไว้ไม่เกิน 3 แท่งซึ่งไม่ทราบกำลัง

คุณลักษณะหนึ่งของวิธี Ritter คือการเลือกรูปแบบของสมการในลักษณะที่สมการสมดุลแต่ละสมการรวมปริมาณที่ไม่ทราบจำนวนหนึ่งไว้ด้วย ในการทำเช่นนี้เรากำหนดตำแหน่งของจุด Ritter เป็นจุดตัดของแนวการกระทำของแรงที่ไม่รู้จักสองตัวและเขียนสมการของช่วงเวลาที่เกี่ยวข้อง จุดเหล่านี้

หากจุดริทเตอร์อยู่ที่อนันต์ ดังนั้นในฐานะสมการสมดุล เราจะสร้างสมการของการฉายภาพบนแกนที่ตั้งฉากกับแท่งเหล่านี้

31. ริทเตอร์ พอยท์-จุดตัดของแนวการกระทำของกองกำลังที่ไม่รู้จักทั้งสอง หากจุดริทเตอร์อยู่ที่อนันต์ ดังนั้นในฐานะสมการสมดุล เราจะสร้างสมการของการฉายภาพบนแกนที่ตั้งฉากกับแท่งเหล่านี้

32. จุดศูนย์ถ่วงของรูปปริมาตร:

33. จุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงแบน:

34. จุดศูนย์ถ่วงของโครงสร้างแกน:

35. จุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้ง:

36. จุดศูนย์ถ่วงของเซกเตอร์วงกลม:

37. จุดศูนย์ถ่วงของกรวย:

38. จุดศูนย์ถ่วงของซีกโลก:

39. วิธีการค่าลบ:หากของแข็งมีโพรง เช่น โพรงที่มวลของมันถูกนำออกไปจากนั้นเราจะเติมโพรงเหล่านี้ลงในร่างกายที่มั่นคงและกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของร่างโดยนำน้ำหนักปริมาตรพื้นที่ของโพรงด้วยเครื่องหมาย "-"

40. ค่าคงที่ที่ 1:ค่าคงที่ที่ 1 ของระบบแรงเรียกว่าเวกเตอร์หลักของระบบแรง เวกเตอร์หลักของระบบแรงไม่ได้ขึ้นอยู่กับจุดศูนย์กลางของการลดลง R=∑ F i

41. ค่าคงที่ที่ 2:ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักของระบบแรงสำหรับจุดศูนย์กลางการลดลงใดๆ จะเป็นค่าคงที่

42. ในกรณีใดระบบแรงที่ขับเคลื่อนด้วยสกรูกำลัง?ในกรณีที่เวกเตอร์หลักของระบบแรงและโมเมนต์หลักที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางของการลดลงไม่เท่ากับศูนย์และไม่ตั้งฉากกัน ระบบแรงสามารถลดเป็นสกรูกำลังได้

43. สมการของแกนลานกลาง:

44. M x - ปีR z + zR y = pR x ,
M y - zR x + xR z = pR y ,
M z - xR y + yR x = pR z

45. โมเมนต์ของแรงสองสามแรงเป็นเวกเตอร์-เวกเตอร์นี้ตั้งฉากกับระนาบการกระทำของทั้งคู่และมุ่งไปในทิศทางที่มองเห็นการหมุนของทั้งคู่ทวนเข็มนาฬิกา ในโมดูลัส โมเมนต์เวกเตอร์จะเท่ากับผลคูณของแรงหนึ่งของทั้งคู่และไหล่ของทั้งคู่ โมเมนต์เวกเตอร์ของปรากฏการณ์คู่หนึ่ง เวกเตอร์ฟรีและสามารถนำไปใช้กับจุดใดก็ได้ของร่างกายแข็งเกร็ง

46. ​​​​หลักการปลดปล่อยจากความสัมพันธ์:ถ้าพันธะถูกละทิ้ง จะต้องถูกแทนที่ด้วยแรงปฏิกิริยาจากพันธะ

47. เชือกรูปหลายเหลี่ยม-นี่คือการสร้างกราฟัสติกส์ ซึ่งสามารถใช้เพื่อกำหนดแนวการทำงานของระบบระนาบผลลัพธ์ของแรงเพื่อค้นหาปฏิกิริยาของส่วนรองรับ

48. ความสัมพันธ์ระหว่างเชือกกับรูปหลายเหลี่ยมกำลังคืออะไร:ในการค้นหาแรงที่ไม่รู้จักในรูปแบบกราฟิกในรูปหลายเหลี่ยมของแรง เราใช้จุด O (ขั้ว) เพิ่มเติม ในรูปหลายเหลี่ยมของเชือกเราจะพบผลลัพธ์ การเคลื่อนที่ซึ่งเข้าไปในรูปหลายเหลี่ยมของแรงเราจะพบแรงที่ไม่ทราบ

49. เงื่อนไขเพื่อความสมดุลของระบบแรงคู่:เพื่อความสมดุลของแรงคู่ที่กระทำต่อวัตถุที่เป็นของแข็ง โมเมนต์ของแรงคู่ที่เท่ากันจะต้องมีค่าเท่ากับศูนย์จึงจำเป็นและเพียงพอ ข้อพิสูจน์: เพื่อสร้างสมดุลของแรงคู่หนึ่ง จำเป็นต้องใช้คู่ปรับสมดุล กล่าวคือ แรงคู่หนึ่งสามารถปรับให้สมดุลได้ด้วยแรงอีกคู่หนึ่งที่มีโมดูลัสเท่ากันและมีโมเมนต์ที่มีทิศทางตรงกันข้าม

จลนศาสตร์

1. วิธีการระบุการเคลื่อนที่ของจุดทั้งหมด:

วิธีธรรมชาติ

ประสานงาน

เวกเตอร์รัศมี

2. จะหาสมการวิถีการเคลื่อนที่ของจุดโดยใช้วิธีพิกัดเพื่อระบุการเคลื่อนที่ได้อย่างไรเพื่อให้ได้สมการวิถีโคจร จุดวัสดุด้วยวิธีการระบุพิกัดจำเป็นต้องแยกพารามิเตอร์ t ออกจากกฎการเคลื่อนที่

3. ความเร่งของจุดที่พิกัด วิธีการระบุการเคลื่อนไหว:

2 จุดเหนือ X

เหนือ y 2 จุด

4. ความเร่งของจุดโดยใช้วิธีเวกเตอร์เพื่อระบุการเคลื่อนไหว:

5. ความเร่งของจุดที่ วิธีธรรมชาติงานการเคลื่อนไหว:

= = * +วี* - ก= + ; * - วี* .

6. ความเร่งปกติเท่ากับเท่าใด และมีทิศทางอย่างไร?– มุ่งตรงไปยังศูนย์กลางตามแนวรัศมี

กลับ การเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนของจุด (ร่างกาย)– การเคลื่อนไหวที่จุด (ร่างกาย) มีส่วนร่วมในการเคลื่อนไหวหลายอย่างพร้อมกัน (เช่น ผู้โดยสารที่เคลื่อนที่ไปตามรถม้าที่กำลังเคลื่อนที่) ในกรณีนี้ จะมีการใช้ระบบพิกัดการเคลื่อนที่ (Oxyz) ซึ่งทำให้การเคลื่อนที่ที่กำหนดสัมพันธ์กับระบบพิกัดคงที่ (หลัก) (O 1 x 1 y 1 z 1) การเคลื่อนไหวที่สมบูรณ์ชื่อจุด การเคลื่อนไหวสัมพันธ์กับระบบพิกัดคงที่ การเคลื่อนไหวสัมพัทธ์– การเคลื่อนไหวสัมพันธ์กับระบบพิกัดการเคลื่อนที่ (การเคลื่อนที่ไปรอบ ๆ รถม้า) การเคลื่อนไหวแบบพกพา– ความเคลื่อนไหวของระบบเคลื่อนที่ พิกัดสัมพันธ์กับจุดจอดนิ่ง (การเคลื่อนที่ของรถ) ทฤษฎีบทการบวกความเร็ว- -orts (เวกเตอร์หน่วย) ของระบบพิกัดเคลื่อนที่ ออร์ตหมุนรอบแกนชั่วขณะ ดังนั้นความเร็วของจุดสิ้นสุด ฯลฯ Þ: , - – ความเร็วสัมพัทธ์. - ความเร็วในการบรรทุก: :
ดังนั้น ความเร็วสัมบูรณ์ของจุด = ผลรวมเรขาคณิตของความเร็วแบบพกพา (v e) และความเร็วสัมพัทธ์ (v r) โมดูล: ฯลฯ เงื่อนไขของนิพจน์ที่กำหนดความเร่ง: 1) – ความเร่งของขั้ว O; 2) 3) – ความเร่งสัมพัทธ์ของจุด; . 4) เราได้รับ: .: สามพจน์แรกแสดงถึงความเร่งของจุดในการเคลื่อนที่แบบพกพา: – ความเร่งของขั้ว O; – ความเร่งในการหมุน – การเร่งความเร็ว เช่น ทฤษฎีบทการบวกความเร่ง (ทฤษฎีบทโคริโอลิส) , ที่ไหน – ความเร่งโบลิทาร์ (ความเร่งโบลิทาร์) – ในกรณีของการเคลื่อนที่แบบพกพาที่ไม่สามารถแปลได้ ความเร่งสัมบูรณ์ = ผลรวมทางเรขาคณิตของความเร่งแบบพกพา แบบสัมพันธ์ และความเร่งแบบโบลิทาร์ การเร่งความเร็วของโบลิทาร์มีลักษณะดังนี้: 1) การเปลี่ยนแปลงในโมดูลและทิศทางของความเร็วแบบพกพาของจุดเนื่องจากการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ 2) การเปลี่ยนแปลงทิศทางของความเร็วสัมพัทธ์ของจุดเนื่องจากการเคลื่อนที่ของการแปลแบบหมุน โมดูลัสความเร่งของโบลิทาร์: а с = 2×|w e ×v r |×sin(w e ^ v r) ทิศทางของเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยกฎผลคูณเวกเตอร์ หรือตามกฎ Zhukovsky: การฉายภาพของความเร็วสัมพัทธ์บนระนาบ ตั้งฉากกับความเร็วเชิงมุมแบบพกพาจะต้องหมุน 90 o ในทิศทางการหมุน คอริโอลิส เอซี = 0 ในสามกรณี: 1) เรา =0 เช่น ในกรณีของการเคลื่อนที่ของการแปลหรือในขณะที่การหมุนของมุม ความเร็วที่ 0; 2) วี อาร์ =0; 3) บาป(เรา e ^ v r)=0 เช่น Ð(w e ^ v r)=0 เมื่อความเร็วสัมพัทธ์ v r ขนานกับแกนของการหมุนเชิงแปล ในกรณีของการเคลื่อนที่ในระนาบเดียว มุมระหว่าง v r และเวกเตอร์ w e = 90 o, sin90 o =1 และ c =2×w e ×v rการเคลื่อนไหวร่างกายแข็งทื่อที่ซับซ้อน - หากวัตถุมีส่วนร่วมในการหมุนทันทีทันใดรอบแกนหลายแกนที่ตัดกันที่จุดหนึ่ง ดังนั้น . ในกรณีของการเคลื่อนที่เป็นทรงกลมของวัตถุที่แข็งเกร็ง ซึ่งเป็นจุดหนึ่งที่ยังคงนิ่งอยู่ตลอดการเคลื่อนที่ เรามีสมการการเคลื่อนที่ของทรงกลม: Y=f 1 (t); q=ฉ 2 (t); เจ=ฉ 3 (ต) Y – มุมนำหน้า, q – มุมน็อต, j – มุมการหมุนที่เหมาะสม – มุมออยเลอร์ ความเร็วเชิงมุมของ precession, อ่างทอง ความเร็วของน็อต, ส่วนโค้ง สค. การหมุนของตัวเอง , – โมดูลของความเร็วเชิงมุมของวัตถุรอบแกนชั่วขณะ ผ่านการฉายภาพลงบนแกนพิกัดคงที่: – สมการจลนศาสตร์ของออยเลอร์ บวกการหมุนรอบแกนขนาน 2 แกน. 1) การหมุนมีทิศทางในทิศทางเดียว w=w 2 +w 1 , C คือจุดศูนย์กลางความเร็วชั่วขณะและแกนการหมุนชั่วขณะผ่านไป , - 2) การหมุนมีทิศทางไปในทิศทางที่ต่างกัน , w=w 2 -w 1 เอส – ทันที ศูนย์สค. และทันที แกนหมุน - เมื่อหมุนรอบแกน || เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมจะรวมกันในลักษณะเดียวกับเวกเตอร์แรงขนาน 3) หมุนสองสามรอบ– การหมุนรอบแกน ||-th นั้นมีทิศทางที่แตกต่างกันและความเร็วเชิงมุมมีขนาดเท่ากัน ( – คู่ของความเร็วเชิงมุม) ในกรณีนี้ v A =v B ผลลัพธ์การเคลื่อนที่ของร่างกายคือการเคลื่อนที่แบบแปลน (หรือแบบแปลทันที) ด้วยความเร็ว v=w 1 ×AB - โมเมนต์ของความเร็วเชิงมุมคู่หนึ่ง (การเคลื่อนที่เชิงแปลของสัมพัทธ์ของแป้นเหยียบจักรยาน ไปที่เฟรม) ทันที จุดศูนย์กลางของความเร็วอยู่ที่อนันต์ เพิ่มการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุน- 1) ความเร็วของการเคลื่อนที่เชิงแปล ^ ไปยังแกนของการหมุน - การเคลื่อนที่ของระนาบ - ขนาน - การหมุนรอบแกนทันที Рр ด้วยความเร็วเชิงมุม w=w" 2) การเคลื่อนไหวของสกรู– การเคลื่อนที่ของร่างกายประกอบด้วยการเคลื่อนที่แบบหมุนรอบแกน Aa โดยมีมุม sk w และการแปลด้วยความเร็ว v||Aa. แกน Aa คือแกนของสกรู ถ้า v และ w อยู่ในทิศทางเดียว แสดงว่าสกรูอยู่ทางขวา ถ้าคนละทิศทางก็จะอยู่ทางซ้าย เรียกว่าระยะทางที่เดินทางระหว่างการปฏิวัติหนึ่งครั้งโดยจุดใด ๆ ของร่างกายที่วางอยู่บนแกนของสกรู ระยะพิทช์ของใบพัด – ชม. ถ้า v และ w คงที่ ดังนั้น h= =const; โดยมีระยะห่างคงที่ (×)M ใดๆ ที่ไม่ได้อยู่บนแกนสกรูจะอธิบายเป็นเส้นเกลียว มุ่งตรงไปยังเกลียว

3) ความเร็วของการเคลื่อนที่แบบแปลนจะสร้างมุมตามอำเภอใจกับแกนการหมุน ในกรณีนี้ การเคลื่อนไหวถือได้ว่าประกอบด้วยชุดของการเคลื่อนที่ของสกรูทันทีรอบแกนของสกรูที่เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง - การเคลื่อนที่ของสกรูทันที

ความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์เหล่านี้นำไปสู่ความเท่าเทียมกันของสเกลาร์หกต่อไปนี้:

ซึ่งเรียกว่าสภาวะสมดุลเชิงพื้นที่ ระบบโดยพลการความแข็งแกร่ง

เงื่อนไขสามข้อแรกแสดงความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์หลักเป็นศูนย์ สามเงื่อนไขถัดไป - ความเท่าเทียมกันกับศูนย์ของโมเมนต์หลักของระบบแรง

ภายใต้สภาวะสมดุลเหล่านี้ แรงกระทำทั้งหมดจะต้องนำมาพิจารณาด้วย ทั้งการเชื่อมต่อแบบแอคทีฟ (เซ็ต) และปฏิกิริยา อย่างหลังไม่เป็นที่รู้จักล่วงหน้าและเงื่อนไขสมดุลกลายเป็นสมการสำหรับการพิจารณาสิ่งที่ไม่ทราบเหล่านี้ - สมการสมดุล

เนื่องจากจำนวนสมการสูงสุดคือหกดังนั้นในปัญหาความสมดุลของร่างกายภายใต้อิทธิพลของระบบแรงเชิงพื้นที่โดยพลการจึงสามารถกำหนดปฏิกิริยาที่ไม่รู้จักหกปฏิกิริยาได้ เมื่อไม่ทราบมากขึ้น ปัญหาจึงมีความไม่แน่นอนคงที่

และอีกหนึ่งหมายเหตุ ถ้าเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลาง O มีค่าเท่ากับศูนย์ เวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักจะเท่ากับศูนย์เมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางอื่นๆ สิ่งนี้ตามมาจากเนื้อหาเกี่ยวกับการเปลี่ยนจุดศูนย์กลางการลดโดยตรง (พิสูจน์ด้วยตัวเอง) ดังนั้น หากสภาวะสมดุลของร่างกายเป็นไปตามระบบพิกัดเดียว สภาพสมดุลเหล่านั้นก็จะเป็นไปตามระบบพิกัดคงที่อื่นๆ กล่าวอีกนัยหนึ่งการเลือกแกนพิกัดเมื่อวาดสมการสมดุลนั้นเป็นไปตามอำเภอใจโดยสมบูรณ์

แผ่นสี่เหลี่ยม (รูปที่ 51, a) ถูกยึดไว้ในตำแหน่งแนวนอนโดยน้ำหนักโดยบานพับทรงกลม O, แบริ่ง A และสายเคเบิล BE และจุดต่างๆ อยู่ในแนวตั้งเดียวกัน ที่จุด D แรงถูกกระทำต่อแผ่นตั้งฉากกับด้าน OD และเอียงกับระนาบของแผ่นที่มุม 45° กำหนดความตึงของสายเคเบิลและปฏิกิริยาของส่วนรองรับที่จุด He A ถ้า และ .

ในการแก้ปัญหา เราจะพิจารณาความสมดุลของเพลต สำหรับแรงแอคทีฟ P, G เราจะเพิ่มปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อ - ส่วนประกอบของปฏิกิริยาของบานพับทรงกลม, ปฏิกิริยา, แบริ่ง, ปฏิกิริยาของสายเคเบิล ในเวลาเดียวกันเราป้อนแกนพิกัด Oxyz (รูปที่ 51, b) จะเห็นได้ว่าชุดของแรงที่เกิดขึ้นนั้นก่อให้เกิดระบบอวกาศตามอำเภอใจซึ่งไม่ทราบกองกำลังดังกล่าว

เพื่อระบุสิ่งที่ไม่ทราบ เราจะเขียนสมการสมดุล

เราเริ่มต้นด้วยสมการประมาณการแรงบนแกน:

ให้เราอธิบายคำจำกัดความของการฉายภาพ: การคำนวณดำเนินการในสองขั้นตอน - ขั้นแรกให้กำหนดการฉายแรง T ลงบนระนาบจากนั้นฉายภาพบนแกน x (สะดวกกว่าบนแกนขนาน) เราจะพบว่า ( ดูรูปที่ 51, b):

วิธีการออกแบบแบบคู่นี้สะดวกในการใช้งานเมื่อแนวการกระทำของแรงและแกนไม่ตัดกัน ต่อไปเราจะแต่งหน้า:

สมการของโมเมนต์แรงรอบแกนมีรูปแบบดังนี้

ไม่มีช่วงเวลาของแรงในสมการ เนื่องจากแรงเหล่านี้ตัดแกน x() หรือขนานกับแกนนั้น ในทั้งสองกรณีนี้ โมเมนต์แรงรอบแกนจะเป็นศูนย์ (ดูหน้า 41)

การคำนวณโมเมนต์ของแรงมักจะง่ายกว่าหากแรงถูกสลายเป็นส่วนประกอบอย่างเหมาะสม และใช้ทฤษฎีบทของวาริญง ใน ในกรณีนี้สะดวกที่จะทำเพื่อความแข็งแรง เมื่อแยกย่อยออกเป็นองค์ประกอบแนวนอนและแนวตั้งเราสามารถเขียนได้:

กรณีของความสมดุลของแรงดังกล่าวสอดคล้องกับสภาวะสมดุลสองประการ

ม= โม= 0, ร* = 0.

ไฮไลท์โมดูล โม และเวกเตอร์หลัก ร* ของระบบที่พิจารณาจะถูกกำหนดโดยสูตร

โม= (ม x 2 + ม ย 2 + +ม ซี 2) 1/2 ; R*= (X 2 + Y 2 +Z 2) 1/2

พวกเขาแผลเป็นศูนย์ภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้เท่านั้น:

M x = 0, M y = 0, M z = 0, X=0, Y=0, Z=0,

ซึ่งสอดคล้องกับสมการพื้นฐานหกประการของความสมดุลของแรงที่อยู่ในอวกาศโดยพลการ

=0; =0;

=0; (5-17)

=0 ; =0.

สมการของระบบทั้งสาม (5-17) ทางด้านซ้ายเรียกว่า สมการของโมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับแกนพิกัด และสมการทั้งสามทางด้านขวาเป็นสมการของเส้นโครงของแรงบนแกน

เมื่อใช้สูตรเหล่านี้ สมการโมเมนต์สามารถแสดงเป็นได้

å (ฉัน ฉัน Z ฉัน - z ฉัน Y ฉัน)=0; å(z ฉัน Kh i - x ฉัน Z i)=0 ; å(x ฉัน Y ฉัน - y ฉัน X i)=0 .(5-18)

ที่ไหน x ฉัน ฉัน ฉัน ฉัน z ฉัน- พิกัดของจุดที่ใช้แรง P; ใช่ ฉัน , Z ฉัน , X ฉัน -การฉายแรงนี้ไปยังแกนพิกัดซึ่งสามารถมีทิศทางใดก็ได้

มีระบบอื่น ๆ ของสมการสมดุลของแรงหกสมการซึ่งตั้งอยู่ในอวกาศโดยพลการ

ลดระบบแรงให้เป็นแรงลัพธ์

ถ้าเวกเตอร์หลักของระบบแรง ร*ไม่เท่ากับศูนย์แต่เป็นโมเมนต์หลัก โมหรือเท่ากับศูนย์ หรือตั้งฉากกับเวกเตอร์หลัก จากนั้นระบบแรงที่กำหนดจะลดลงเป็นแรงลัพธ์

มีความเป็นไปได้ 2 กรณี

กรณีที่ 1.

อนุญาต ร*¹ 0; โม = 0 - ในกรณีนี้ แรงนำไปสู่ผลลัพธ์ ซึ่งเป็นแนวการกระทำที่ผ่านจุดศูนย์กลางของการลด O และแรง ร* เข้ามาแทนที่ระบบกำลังที่กำหนด เช่น เป็นผลลัพธ์ของมัน

กรณีที่ 2.

ร*¹0; โม1 0 และ โม ⊥ ร* (รูปที่ 5.15)

หลังจากนำระบบแรงมาสู่ศูนย์กลาง O จะได้แรง ร* นำไปใช้ในศูนย์กลางนี้และเท่ากับเวกเตอร์หลักของแรงและแรงคู่หนึ่งซึ่งขณะนั้น ม เท่ากับช่วงเวลาหลัก โม แรงทั้งหมดสัมพันธ์กับศูนย์กลางของการลดลง และ โม ⊥ ร*

เรามาเลือกจุดแข็งของคู่นี้กัน อาร์' และ ร มีค่าโมดูลัสเท่ากับเวกเตอร์หลัก ร* , เช่น. R= R' = อาร์ *. จากนั้นเลเวอเรจของคู่นี้ควรจะเท่ากับ OK = = เอ็ม โอ/ร * ให้เราวาดระนาบ I ผ่านจุด O ซึ่งตั้งฉากกับโมเมนต์ของแรงคู่ ม - สองสามกองกำลัง อาร์' , ร จะต้องอยู่ในเครื่องบินลำนี้ เรามาจัดคู่นี้ให้เป็นหนึ่งในพลังของคู่นี้กัน อาร์' ใช้ที่จุด O และพุ่งตรงข้ามกับแรง ร * - ให้เราคืนค่าในระนาบ I ที่จุด O ซึ่งตั้งฉากกับแนวการกระทำของแรง ร * และที่จุด K ที่ระยะห่าง OK= เอ็ม โอ/ร * จากจุด O เราใช้แรงคู่ที่สอง ร .

เราวางส่วน OK ในทิศทางจากจุด O โดยเมื่อมองไปยังโมเมนต์เวกเตอร์ M เราจะเห็นว่าทั้งคู่มีแนวโน้มหมุนระนาบทวนเข็มนาฬิกา แล้วมีกำลัง ร* และ อาร์' ใช้ที่จุด O จะมีความสมดุลและแรง รคู่ที่ใช้ที่จุด K จะเข้ามาแทนที่ระบบแรงที่กำหนด เช่น จะเป็นผลลัพธ์ของมัน เส้นตรงที่ตรงกับแนวออกฤทธิ์ของแรงนี้คือเส้นออกฤทธิ์ของแรงลัพธ์ ข้าว. 5.15 แสดงความแตกต่างระหว่างแรงลัพธ์ ร และกำลัง ร* ได้มาจากการนำแรงมาสู่ศูนย์กลาง O

ผลลัพธ์ ร ระบบแรงที่ใช้ที่จุด K ซึ่งมีแนวออกฤทธิ์ที่แน่นอน เทียบเท่ากับระบบแรงที่กำหนด กล่าวคือ มาแทนที่ระบบนี้

ความแข็งแรง ร* ที่จุด O จะแทนที่ระบบแรงที่กำหนดเฉพาะร่วมกับแรงคู่หนึ่งในช่วงเวลาหนึ่งเท่านั้น ม= โม .

ความแข็งแกร่ง ร* สามารถใช้ได้ทุกจุดของร่างกายที่มีแรงกระทำ เฉพาะขนาดและทิศทางของโมเมนต์หลักเท่านั้นที่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด โม .

ทฤษฎีบทของวาริญง โมเมนต์ของแรงผลลัพธ์รอบจุดใดๆ เท่ากับผลรวมเรขาคณิตของโมเมนต์ของแรงองค์ประกอบรอบจุดนี้ และโมเมนต์ของแรงผลลัพธ์รอบแกนใดๆ เท่ากับผลรวมพีชคณิตของโมเมนต์ของแรงองค์ประกอบรอบ แกนนี้

จำเป็นและ เงื่อนไขที่เพียงพอความสมดุลของระบบกำลังใด ๆ จะแสดงออกมาด้วยความเท่าเทียมกัน (ดูมาตรา 13) แต่เวกเตอร์ R และ จะเท่ากันก็ต่อเมื่อนั่นคือเมื่อแรงกระทำตามสูตร (49) และ (50) ตรงตามเงื่อนไข:

ดังนั้น เพื่อความสมดุลของระบบแรงเชิงพื้นที่ตามอำเภอใจ จึงจำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของเส้นโครงของแรงทั้งหมดไปยังแกนพิกัดทั้งสามแกนและผลรวมของโมเมนต์ที่สัมพันธ์กับแกนเหล่านี้จะเท่ากับศูนย์

ความเท่าเทียมกัน (51) แสดงสภาวะสมดุลของวัตถุแข็งเกร็งไปพร้อมกันภายใต้อิทธิพลของระบบแรงเชิงพื้นที่

หากนอกเหนือจากแรงแล้ว คู่รักยังกระทำต่อร่างกายตามโมเมนต์ของมันด้วย รูปแบบของเงื่อนไขสามข้อแรก (51) จะไม่เปลี่ยนแปลง (ผลรวมของการคาดการณ์ของแรงของคู่รัก บนแกนใดๆ จะเท่ากับศูนย์) และเงื่อนไขสามข้อสุดท้ายจะอยู่ในรูปแบบ:

กรณีมีแรงขนานกัน ในกรณีที่แรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกายขนานกัน คุณสามารถเลือกแกนพิกัดเพื่อให้แกนขนานกับแรงได้ (รูปที่ 96) จากนั้น เส้นโครงของแรงแต่ละแรงบนแกนและโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นสัมพันธ์กับแกน z จะเท่ากับศูนย์ และระบบ (51) จะให้เงื่อนไขสมดุลสามประการ:

ความเท่าเทียมกันที่เหลือจะกลายเป็นอัตลักษณ์ของแบบฟอร์ม

ดังนั้น เพื่อความสมดุลของระบบอวกาศของแรงคู่ขนาน จึงจำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของเส้นโครงของแรงทั้งหมดบนแกนขนานกับแรงและผลรวมของโมเมนต์ของพวกมันสัมพันธ์กับแกนพิกัดอีกสองแกนจะเท่ากับ ศูนย์.

การแก้ปัญหา ขั้นตอนการแก้ไขปัญหาที่นี่ยังคงเหมือนกับในกรณีของระบบระนาบ เมื่อสร้างสมดุลของร่างกาย (วัตถุ) ที่กำลังพิจารณาแล้ว จำเป็นต้องพรรณนาถึงแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อมัน (ทั้งการเชื่อมต่อที่กำหนดและปฏิกิริยา) และกำหนดเงื่อนไขสำหรับความสมดุลของแรงเหล่านี้ จากสมการผลลัพธ์จะกำหนดปริมาณที่ต้องการ

เพื่อให้ได้ระบบสมการที่ง่ายขึ้น ขอแนะนำให้วาดแกนเพื่อให้พวกมันตัดกับแรงที่ไม่รู้จักมากขึ้นหรือตั้งฉากกับพวกมัน (เว้นแต่จะทำให้การคำนวณการฉายภาพและโมเมนต์ของแรงอื่นซับซ้อนโดยไม่จำเป็น)

องค์ประกอบใหม่ในการเขียนสมการคือการคำนวณโมเมนต์แรงรอบแกนพิกัด

ในกรณีที่มาจาก การวาดภาพทั่วไปเป็นการยากที่จะดูว่าโมเมนต์ของแรงที่กำหนดสัมพันธ์กับแกนใด ๆ ขอแนะนำให้วาดภาพโครงร่างของร่างกายที่ต้องการ (พร้อมกับแรง) ลงบนระนาบที่ตั้งฉากกับแกนนี้

ในกรณีที่เมื่อคำนวณโมเมนต์ มีปัญหาเกิดขึ้นในการพิจารณาการฉายแรงบนระนาบที่สอดคล้องกันหรือแขนของการฉายภาพนี้ แนะนำให้แยกแรงออกเป็นสององค์ประกอบที่ตั้งฉากกัน (หนึ่งในนั้นขนานกับพิกัดบางส่วน) แกน) จากนั้นใช้ทฤษฎีบทของวาริญง (ดูภารกิจที่ 36) นอกจากนี้ คุณสามารถคำนวณช่วงเวลาเชิงวิเคราะห์ได้โดยใช้สูตร (47) เช่นในปัญหา 37

ปัญหาที่ 39 มีภาระบนแผ่นสี่เหลี่ยมด้าน a และ b จุดศูนย์ถ่วงของแผ่นพื้นพร้อมกับน้ำหนักอยู่ที่จุด D พร้อมพิกัด (รูปที่ 97) คนงานคนหนึ่งถือแผ่นคอนกรีตไว้ที่มุม A คนงานอีกสองคนควรพยุงแผ่นพื้นไว้ที่จุดใดที่ B และ E เพื่อให้แรงที่แต่ละคนถือแผ่นพื้นใช้เท่ากัน

สารละลาย. เราพิจารณาความสมดุลของแผ่นซึ่งเป็นวัตถุอิสระในสภาวะสมดุลภายใต้การกระทำของแรงขนานสี่แรงโดยที่ P คือแรงโน้มถ่วง เราสร้างสภาวะสมดุล (53) สำหรับแรงเหล่านี้ โดยพิจารณาจากแผ่นแนวนอนและวาดแกนดังแสดงในรูปที่ 1 97. เราได้รับ:

ตามเงื่อนไขของโจทย์ก็ควรจะมี จากนั้นจากสมการสุดท้าย แทนค่า P นี้ลงในสมการสองตัวแรก เราก็จะพบว่า

วิธีแก้คือเมื่อไรและเมื่อไหร่จะเป็น เมื่อจุด D อยู่ตรงกลางจาน

ปัญหาที่ 40 บนเพลาแนวนอนที่วางอยู่ในตลับลูกปืน A และ B (รูปที่ 98) รอกที่มีรัศมี ซม. และดรัมรัศมีจะติดตั้งในแนวตั้งฉากกับแกนเพลา เพลาถูกขับเคลื่อนให้หมุนด้วยสายพานที่พันรอบรอก ในเวลาเดียวกัน ภาระที่ชั่งน้ำหนัก ซึ่งผูกติดกับเชือกซึ่งพันอยู่บนถังก็จะถูกยกขึ้นเท่า ๆ กัน ละเลยน้ำหนักของเพลา ดรัม และลูกรอก ให้พิจารณาปฏิกิริยาของแบริ่ง A และ B และความตึงของกิ่งขับของสายพาน หากรู้ว่าเป็นสองเท่าของความตึงของกิ่งที่ขับเคลื่อน ให้ไว้: ซม. ซม.

สารละลาย. ในปัญหาที่กำลังพิจารณา ด้วยการหมุนเพลาสม่ำเสมอ แรงที่กระทำต่อเพลาจะเป็นไปตามสภาวะสมดุล (51) (ซึ่งจะได้รับการพิสูจน์ในมาตรา 136) ลองวาดแกนพิกัด (รูปที่ 98) และพรรณนาแรงที่กระทำต่อเพลา: ความตึง F ของเชือก, โมดูโลเท่ากับ P, ความตึงของสายพาน และส่วนประกอบของปฏิกิริยาแบริ่ง

ในการรวบรวมเงื่อนไขสมดุล (51) ก่อนอื่นเราจะคำนวณและป้อนค่าของการฉายภาพของแรงทั้งหมดบนแกนพิกัดและโมเมนต์ที่สัมพันธ์กับแกนเหล่านี้ลงในตาราง

ตอนนี้เราสร้างเงื่อนไขสมดุล (51); เนื่องจากเราได้รับ:

จากสมการ (III) และ (IV) เราพบทันทีโดยคำนึงถึงสิ่งนั้น

เราพบการแทนที่ค่าที่พบลงในสมการที่เหลือ

และสุดท้าย

ปัญหาที่ 41 ฝาครอบสี่เหลี่ยมที่มีน้ำหนักสร้างมุมกับแนวตั้งได้รับการแก้ไขบนแกนนอน AB ที่จุด B โดยแบริ่งทรงกระบอกและที่จุด A โดยแบริ่งที่มีจุดหยุด (รูปที่ 99) ฝาถูกยึดให้สมดุลด้วยเชือก DE และดึงกลับด้วยเชือกที่โยนข้ามบล็อก O โดยมีตุ้มน้ำหนักอยู่ที่ปลาย (เส้น KO ขนานกับ AB) ให้ไว้: กำหนดความตึงของเชือก DE และปฏิกิริยาของตลับลูกปืน A และ B

สารละลาย. พิจารณาความสมดุลของฝา มาวาดแกนพิกัดกัน โดยเริ่มที่จุด B (ในกรณีนี้ แรง T จะตัดแกนแกน ซึ่งจะทำให้รูปแบบของสมการโมเมนต์ง่ายขึ้น)

จากนั้นเราจะพรรณนาถึงแรงที่กำหนดและปฏิกิริยาปฏิกิริยาที่กระทำบนฝาครอบ: แรงโน้มถ่วง P ที่จุดศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วง C ของฝาครอบ แรง Q มีขนาดเท่ากับ Q ปฏิกิริยา T ของเชือก และปฏิกิริยาของ ตลับลูกปืน A และ B (รูปที่ 99; เวกเตอร์ M k แสดงในเส้นประไม่เกี่ยวข้องกับงานนี้) ในการกำหนดเงื่อนไขสมดุล เราจะแนะนำมุมและแสดงการคำนวณโมเมนต์ของแรงบางอย่างตามที่อธิบายไว้ในรูปเสริม 100, ก, ข.

ในรูป 100 และมุมมองจะแสดงเป็นการฉายภาพบนระนาบจากปลายด้านบวกของแกน

ภาพวาดนี้ช่วยในการคำนวณโมเมนต์ของแรง P และ T สัมพันธ์กับแกน จะเห็นได้ว่าการฉายภาพของแรงเหล่านี้บนระนาบ (ระนาบตั้งฉาก) จะเท่ากับแรงนั้นเอง และแขนของแรง P สัมพันธ์กับ จุด B เท่ากับ; ไหล่ของแรง T สัมพันธ์กับจุดนี้เท่ากับ

ในรูป 100, b แสดงมุมมองในการฉายภาพบนระนาบจากปลายบวกของแกน y

ภาพวาดนี้ (ร่วมกับรูปที่ 100, a) ช่วยในการคำนวณโมเมนต์ของแรง P และสัมพันธ์กับแกน y จะเห็นได้ว่าการฉายภาพของแรงเหล่านี้บนเครื่องบินเท่ากับแรงนั้นเอง และแขนของแรง P สัมพันธ์กับจุด B เท่ากับแขนของแรง Q สัมพันธ์กับจุดนี้เท่ากับหรือ ดังที่เห็นได้จากรูป 100 ก.

รวบรวมเงื่อนไขสมดุล (51) โดยคำนึงถึงคำอธิบายที่ทำและสมมติว่าในเวลาเดียวกันเราได้รับ:

(ฉัน)

เมื่อพิจารณาสิ่งที่เราพบจากสมการ (I), (IV), (V), (VI):

การแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสมการ (II) และ (III) เราได้รับ:

ในที่สุด,

ปัญหาที่ 42. แก้ไขปัญหาที่ 41 สำหรับกรณีที่ฝาถูกกระทำเพิ่มเติมโดยคู่ที่อยู่ในระนาบโดยมีโมเมนต์การหมุนของทั้งคู่กำกับ (เมื่อมองที่ฝาจากด้านบน) ทวนเข็มนาฬิกา

สารละลาย. นอกเหนือจากแรงที่กระทำต่อฝา (ดูรูปที่ 99) เรายังพรรณนาโมเมนต์ M ของทั้งคู่ในรูปของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับฝาและนำไปใช้ที่จุดใดก็ได้ เช่น ที่จุด A ซึ่งยื่นออกมาบน แกนพิกัด: . จากนั้น เมื่อสร้างเงื่อนไขสมดุล (52) เราจะพบว่าสมการ (I) - (IV) จะยังคงเหมือนเดิมกับปัญหาก่อนหน้า และสมการสองอันสุดท้ายจะมีรูปแบบ:

โปรดทราบว่าสามารถรับผลลัพธ์เดียวกันได้โดยไม่ต้องเขียนสมการในรูปแบบ (52) แต่โดยการวาดภาพคู่ที่มีแรงสองแรงกำกับ เช่น ตามเส้น AB และ KO (ในกรณีนี้ โมดูลัสของแรงจะเป็น เท่ากัน) จากนั้นจึงใช้ สภาวะปกติสมดุล.

การแก้สมการ (I) - (IV), (V), (VI) เราจะพบผลลัพธ์ที่คล้ายกับที่ได้จากโจทย์ที่ 41 โดยจะรวมความแตกต่างเพียงอย่างเดียวที่สูตรทั้งหมดจะรวมไว้แทนปริมาณ ในที่สุดเราก็ได้รับ:

ปัญหาที่ 43 แท่งแนวนอน AB ติดอยู่กับผนังด้วยบานพับทรงกลม A และยึดไว้ในตำแหน่งตั้งฉากกับผนังด้วยเครื่องหมายปีกกา KE และ CD ดังแสดงในรูปที่ 1 101 ก. สิ่งของที่มีน้ำหนักจะถูกแขวนไว้ที่ปลาย B ของคันบังคับ พิจารณาปฏิกิริยาของบานพับ A และความตึงของลวดตัวนำ หากละเลยน้ำหนักของแกน

สารละลาย. ให้เราพิจารณาความสมดุลของไม้เรียว มันถูกกระทำโดยแรง P และปฏิกิริยา ให้เราวาดแกนพิกัดและวาดเงื่อนไขสมดุล (51) ในการค้นหาเส้นโครงและโมเมนต์ของแรง ให้เราแยกย่อยมันเป็นส่วนประกอบต่างๆ จากนั้นตามทฤษฎีบทของวาริญง ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

การคำนวณโมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับแกนนั้นอธิบายได้ด้วยการวาดภาพเสริม (รูปที่ 101, b) ซึ่งแสดงมุมมองในการฉายภาพบนเครื่องบิน