สมการของเส้นตรงที่ระนาบตัดกัน สมการของเส้นตรงในอวกาศ คุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผัน

ในส่วนนี้ เราจะศึกษาหัวข้อสมการของเส้นในอวกาศจากมุมมองของ Stereometry ต่อไป ซึ่งหมายความว่าเราจะถือว่าเส้นตรงในพื้นที่สามมิติเป็นเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ

ตามสัจพจน์ของ Stereometry หากระนาบสองระนาบไม่ตรงกันและมีระนาบเดียวกัน จุดทั่วไปจากนั้นพวกมันก็มีเส้นตรงร่วมเส้นหนึ่งซึ่งเป็นจุดทั้งหมดที่มีร่วมกันในระนาบทั้งสอง ด้วยการใช้สมการของระนาบที่ตัดกันสองระนาบ เราสามารถกำหนดเส้นตรงเข้าได้ ระบบสี่เหลี่ยมพิกัด

เมื่อเราพิจารณาหัวข้อนี้ เราจะให้ตัวอย่างมากมาย ภาพประกอบกราฟิกจำนวนหนึ่ง และวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดที่จำเป็นสำหรับการดูดซึมเนื้อหาที่ดีขึ้น

ให้มีระนาบสองระนาบที่ไม่ตรงกันและตัดกัน ให้เราแสดงว่าพวกมันเป็นระนาบ α และระนาบ β ลองวางไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z พื้นที่สามมิติ.

ดังที่เราจำได้ ระนาบใดๆ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถูกกำหนดโดยสมการระนาบทั่วไปในรูปแบบ A x + B y + C z + D = 0 เราจะสมมติว่าระนาบ α สอดคล้องกับสมการ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 และระนาบ β สอดคล้องกับสมการ A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. ในกรณีนี้ เวกเตอร์ปกติของระนาบ α และ β n 1 → = (A 1, B 1, C 1) และ n 2 → = (A 2, B 2, C 2) ไม่เป็นเส้นตรง เนื่องจากระนาบทำ ไม่ตรงกันและ e วางขนานกัน ลองเขียนเงื่อนไขนี้ดังนี้:

n 1 → ≠ แลมบ์ดา 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ แลมบ์ A 2 , แลมบ์ B 2 , แลม C 2 , lah ∈ R

หากต้องการรีเฟรชหน่วยความจำของคุณในเนื้อหาในหัวข้อ "ความขนานของเครื่องบิน" โปรดดูส่วนที่เกี่ยวข้องในเว็บไซต์ของเรา

ให้เราแสดงเส้นตัดกันของเครื่องบินด้วยตัวอักษร ก - เหล่านั้น. ก = α ∩ β เส้นนี้แสดงถึงเซตของจุดร่วมในระนาบ α และ β ซึ่งหมายความว่าจุดทุกจุดของเส้นตรง a เป็นไปตามสมการระนาบทั้งสอง A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 จริงๆ แล้ว พวกมันคือคำตอบเฉพาะของระบบสมการ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

วิธีแก้ปัญหาทั่วไประบบสมการเชิงเส้น A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 กำหนดพิกัดของทุกจุดของเส้นตามระนาบสองระนาบα และ β ตัดกัน ซึ่งหมายความว่าด้วยความช่วยเหลือนี้ เราสามารถกำหนดตำแหน่งของเส้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z ได้

ลองพิจารณาทฤษฎีที่อธิบายไว้อีกครั้ง โดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

ตัวอย่างที่ 1

เส้นตรง O x คือเส้นตรงที่ระนาบพิกัด O x y และ O x z ตัดกัน ให้เรานิยามระนาบ O x y ด้วยสมการ z = 0 และระนาบ O x z ด้วยสมการ y = 0 เราได้พูดคุยถึงแนวทางนี้โดยละเอียดแล้วในหัวข้อ "สมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของระนาบ" เพื่อว่าในกรณีที่เกิดปัญหา คุณสามารถอ้างอิงถึงเนื้อหานี้อีกครั้ง ในกรณีนี้ เส้นพิกัด O x ถูกกำหนดในระบบพิกัดสามมิติโดยระบบสมการสองสมการที่มีรูปแบบ y = 0 z = 0

การหาพิกัดของจุดที่วางอยู่บนเส้นตรงที่ระนาบตัดกัน

ลองพิจารณาปัญหา ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z ถูกกำหนดไว้ในปริภูมิสามมิติ เส้นตรงที่ระนาบสองระนาบที่ตัดกันถูกกำหนดโดยระบบสมการ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ให้จุดในปริภูมิสามมิติ M 0 x 0, y 0, z 0

ลองพิจารณาว่าจุด M 0 x 0, y 0, z 0 เป็นของเส้นตรงที่กำหนดหรือไม่ ก .

เพื่อให้ได้คำตอบสำหรับคำถามของปัญหา เราจะแทนที่พิกัดของจุด M 0 ลงในแต่ละสมการของระนาบทั้งสอง หากจากการทดแทนสมการทั้งสองกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 และ A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 ดังนั้นจุด M 0 จะเป็นของระนาบแต่ละอันและเป็นของเส้นที่กำหนด หากอย่างน้อยหนึ่งความเท่าเทียมกัน A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 และ A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 กลายเป็น เท็จ ดังนั้นจุด M 0 จึงไม่อยู่ในเส้นตรง

ลองดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 2

เส้นตรงถูกกำหนดในอวกาศโดยสมการของระนาบที่ตัดกันสองระนาบในรูปแบบ 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0 ตรวจสอบว่าจุด M 0 (1, - 1, 0) และ N 0 (0, - 1 3, 1) อยู่ในเส้นตรงของจุดตัดของเครื่องบินหรือไม่

สารละลาย

เริ่มจากจุด M 0 กันก่อน ลองแทนพิกัดของมันลงในสมการทั้งสองของระบบ 2 · 1 + 3 · (- 1) + 1 = 0 1 - 2 · (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

ผลของการเปลี่ยนตัวทำให้เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าจุด M 0 เป็นของเครื่องบินทั้งสองลำและตั้งอยู่บนเส้นตัดกัน

ให้เราแทนพิกัดของจุด N 0 (0, - 1 3, 1) ลงในสมการทั้งสองของระนาบ เราได้ 2 0 + 3 - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0

อย่างที่คุณเห็น สมการที่สองของระบบกลายเป็นสมการที่ไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าจุด N 0 ไม่ได้อยู่ในบรรทัดที่กำหนด

คำตอบ:จุด M 0 เป็นเส้นตรง แต่จุด N 0 ไม่ใช่

ตอนนี้เราขอเสนออัลกอริธึมสำหรับการค้นหาพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งที่เป็นเส้นตรงหากเส้นตรงในอวกาศในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z ถูกกำหนดโดยสมการของระนาบที่ตัดกัน A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

จำนวนคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวที่ไม่ทราบค่า A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 เป็นอนันต์ วิธีแก้ไขปัญหาเหล่านี้สามารถเป็นวิธีแก้ไขปัญหาได้

ลองยกตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 3

ให้เส้นตรงถูกกำหนดในปริภูมิสามมิติด้วยสมการของระนาบที่ตัดกันสองระนาบในรูปแบบ x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ค้นหาพิกัดของจุดใดๆ บนเส้นนี้

สารละลาย

ลองเขียนระบบสมการใหม่ x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 .

ขอให้เรานำค่ารองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่สองมาเป็นค่ารองพื้นฐานของเมทริกซ์หลักของระบบ 1 0 2 3 = 3 ≠ 0 นี่หมายความว่า z เป็นตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระ

ให้เราย้ายเงื่อนไขที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระ z ไปทางด้านขวามือของสมการ:

x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z

ให้เราแนะนำจำนวนจริงใด ๆ ที่เป็นที่ต้องการ แล และสมมุติว่า z = แล

จากนั้น x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 แล 2 x + 3 y = - 2 - 3 แล .

ในการแก้ระบบสมการผลลัพธ์ เราใช้วิธี Cramer:

∆ = 1 0 2 3 = 1 3 - 0 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 แล 0 - - 3 แลมบ์ 3 = - 7 - 3 แลม 3 - 0 (- 2 - 3 แลมบ์ดา) = 21 - 9 เล ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 แลมบ์ดา ∆ y = 1 - 7 - 3 แลมบ์ 2 - 2 - 3 แลมบ์ดา = 1 · - 2 - 3 แลมบ์ดา - - 7 - 3 แลมบ์ = 12 + 3 แล่ม ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + แลมบ์

ผลเฉลยทั่วไปของระบบสมการ x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 จะมีรูปแบบ x = - 7 - 3 แลมบ์ดา y = 4 + แลมซ = แลม โดยที่ แลม ∈ อาร์

เพื่อให้ได้คำตอบเฉพาะของระบบสมการ ซึ่งจะให้พิกัดที่ต้องการของจุดที่อยู่ในเส้นที่กำหนด เราจำเป็นต้องใช้ค่าเฉพาะของพารามิเตอร์ γ ถ้า แล = 0 แล้ว x = - 7 - 3 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0

สิ่งนี้ทำให้เราได้พิกัดของจุดที่ต้องการ - 7, 4, 0

มาตรวจสอบความถูกต้องของพิกัดที่พบของจุดโดยแทนที่พวกมันลงในสมการดั้งเดิมของระนาบที่ตัดกันสองอัน - 7 + 3 · 0 + 7 = 0 2 · (- 7) + 3 · 4 + 3 · 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

คำตอบ: - 7 , 4 , 0

เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่ระนาบสองระนาบตัดกัน

ลองดูวิธีการกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงซึ่งกำหนดโดยสมการของระนาบที่ตัดกันสองอัน A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม 0xz เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงจะแยกออกจากเส้นตรงไม่ได้

ดังที่เราทราบ เส้นตรงจะตั้งฉากกับระนาบในกรณีที่เส้นตั้งฉากกับเส้นใดๆ ที่อยู่ในระนาบที่กำหนด จากข้อมูลข้างต้น เวกเตอร์ปกติของระนาบจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ที่อยู่ในระนาบที่กำหนด ข้อเท็จจริงทั้งสองนี้จะช่วยเราในการหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

ระนาบ α และ β ตัดกันตามแนวเส้นตรง ก - เวกเตอร์ทิศทาง a → เส้นตรง ก ตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติ n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) ของระนาบ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 และเวกเตอร์ปกติ n 2 → = (A 2 , B 2, C 2) ระนาบ A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

เวกเตอร์โดยตรง ก คือผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ n → 1 = (A 1, B 1, C 1) และ n 2 → = A 2, B 2, C 2

ก → = n → 1 × n 2 → = ฉัน → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2

ให้เรากำหนดเซตของเวกเตอร์กำกับทั้งหมดของเส้นเป็น แล · a → = แล · n 1 → × n 2 → โดยที่ แล คือพารามิเตอร์ที่สามารถรับค่าจริงใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์

ตัวอย่างที่ 4

ให้เส้นตรงในอวกาศในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z ถูกกำหนดโดยสมการของระนาบที่ตัดกันสองอัน x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0 ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางใดๆ ของเส้นนี้กัน

สารละลาย

ระนาบ x + 2 y - 3 z - 2 = 0 และ x - z + 4 = 0 มีเวกเตอร์ปกติ n 1 → = 1, 2, - 3 และ n 2 → = 1, 0, - 1 ขอให้เราใช้เส้นตรงซึ่งเป็นจุดตัดของสองเป็นเวกเตอร์กำกับ ให้เครื่องบิน, ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ปกติ:

ก → = n → 1 × n 2 → = ฉัน → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = ฉัน → · 2 · (- 1) + j → · (- 3) · 1 + k → · 1 · 0 - - k → · 2 · 1 - เจ → · 1 · (- 1) - ฉัน → · (- 3) · 0 = - 2 · ฉัน → - 2 เจ → - 2 k →

ลองเขียนคำตอบในรูปแบบพิกัด a → = - 2, - 2, - 2 สำหรับผู้ที่จำไม่ได้ว่าต้องทำอย่างไร เราขอแนะนำให้คุณดูหัวข้อ “พิกัดเวกเตอร์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม”

คำตอบ:ก → = - 2 , - 2 , - 2

การเปลี่ยนไปใช้สมการพาราเมตริกและสมการบัญญัติของเส้นตรงในอวกาศ

ในการแก้ปัญหาจำนวนหนึ่ง จะง่ายกว่าที่จะใช้สมการพาราเมตริกของเส้นในปริภูมิรูปแบบ x = x 1 + a x · แลม y = y 1 + a y · แลมซี z = z 1 + a z · แลม หรือ สมการบัญญัติเส้นตรงในปริภูมิของรูปแบบ x = x 1 + a x · แลม y = y 1 + a y · แลมซ = z 1 + a z · แลม ในสมการเหล่านี้ a x, a y, a z คือพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง, x 1, y 1, z 1 คือพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง และ แล เป็นพารามิเตอร์ที่รับค่าจริงตามอำเภอใจ

จากสมการเส้นตรงในรูปแบบ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 เราสามารถไปที่สมการบัญญัติและพาราเมตริกของ เส้นตรงในอวกาศ ในการเขียนสมการ Canonical และ Parametric ของเส้นตรง เราจำเป็นต้องมีทักษะในการค้นหาพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง เช่นเดียวกับพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางที่แน่นอนของเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการของ เครื่องบินสองลำที่ตัดกัน

ลองดูสิ่งที่เขียนไว้ข้างต้นโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 5

ลองกำหนดเส้นตรงในระบบพิกัดสามมิติด้วยสมการของระนาบที่ตัดกันสองระนาบ 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ลองเขียนสมการมาตรฐานและสมการพาราเมตริกของเส้นนี้กัน

สารละลาย

ลองหาพิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง ซึ่งเป็นผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ปกติ n 1 → = 2, 1, - 1 ของระนาบ 2 x + y - z - 1 = 0 และ n 2 → = ( 1, 3, - 2) ของระนาบ x + 3 y - 2 z = 0:

ก → = n 1 → × n 2 → = ฉัน → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = ฉัน → · 1 · (- 2) + j → · (- 1) · 1 + k → · 2 · 3 - - k → · 1 · 1 - เจ → · 2 · (- 2) - ฉัน → · (- 1) · 3 = ฉัน → + 3 · เจ → + 5 · k →

พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a → = (1, 2, 5)

ขั้นตอนต่อไปคือการหาพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรงที่กำหนด ซึ่งเป็นหนึ่งในคำตอบของระบบสมการ: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 .

ขอให้เราใช้เมทริกซ์รองของระบบเป็นดีเทอร์มิแนนต์ 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 ซึ่งไม่เป็นศูนย์ ในกรณีนี้คือตัวแปร z ฟรี ลองย้ายเงื่อนไขไปทางด้านขวาของแต่ละสมการและให้ค่าตัวแปรตามใจชอบ แล:

2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + แล x + 3 y = 2 แลม, แล ∈ อาร์

เราใช้วิธีการของแครมเมอร์เพื่อแก้ระบบสมการผลลัพธ์:

∆ = 2 1 1 3 = 2 3 - 1 1 = 5 ∆ x = 1 + แลม 1 2 แลมบ์ดา 3 = (1 + แลมบ์ดา) 3 - 1 2 แลมบ์ = 3 + แลม ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + แลมบ์ 5 = 3 5 + 1 5 · แลมบ์ดา ∆ y = 2 1 + แลม 1 2 แลมบ์ = 2 · 2 แลมบ์ดา - (1 + แลมบ์ดา) · 1 = - 1 + 3 เลท ⇒ y = ∆ ย ∆ = - 1 + 3 แลมบ์ 5 = - 1 5 + 3 5 แลมบ์

เราได้: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ

ให้เราหาพิกัดของจุดบนเส้นตรงแทน: x 1 = 3 5 + 1 5 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 ซ 1 = 2 . ตอนนี้เรามีข้อมูลเพียงพอที่จะเขียนสมการมาตรฐานและสมการพาราเมตริกของเส้นตรงที่กำหนดในปริภูมิ: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 x = x 1 + a x · แลม y = y 1 + ก y · z = z 1 + a z · แลม ⇔ x = 1 + 1 · แลม y = 1 + 3 · แล z = 2 + 5 · แล ⇔ x = 1 + แลมบ์ y = 1 + 3 แลมบ์ซ = 2 + 5 แลมบ์

คำตอบ: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 และ x = 1 + แลม y = 1 + 3 แลมซี = 2 + 5 แล

มีวิธีอื่นในการแก้ปัญหานี้

การค้นหาพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นทำได้โดยการแก้ระบบสมการ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

ในกรณีทั่วไป คำตอบของมันสามารถเขียนได้ในรูปแบบของสมการพาราเมตริกที่ต้องการของเส้นตรงในปริภูมิ x = x 1 + a x · แลม y = y 1 + a y · แลมซ = z 1 + a z · แลมบ์

สมการบัญญัติได้ดังนี้: เราแก้สมการแต่ละสมการที่ได้รับด้วยความเคารพต่อพารามิเตอร์ แล และถือเอาด้านขวามือของความเท่าเทียมกัน

x = x 1 + a x · แลม y = y 1 + a y · lad z = z 1 + a z · แลมบ์ ⇔ แลมบ์ดา = x - x 1 a x แลม = y - y 1 a y แลม = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 az

ลองใช้วิธีนี้ในการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 6

ลองกำหนดตำแหน่งของเส้นตรงด้วยสมการของระนาบที่ตัดกันสองระนาบ 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ลองเขียนสมการพาราเมตริกและสมการบัญญัติสำหรับเส้นตรงนี้กัน

สารละลาย

การแก้ระบบสมการสองสมการโดยไม่ทราบค่าสามค่าจะดำเนินการคล้ายกับวิธีที่เราทำในตัวอย่างที่แล้ว เราได้: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 · แลมบ์ y = - 1 5 + 3 5 · แลมซ = แลมบ์

นี่คือสมการพาราเมตริกของเส้นตรงในอวกาศ

เราได้สมการตามรูปแบบบัญญัติดังต่อไปนี้: x = 3 5 + 1 5 · แลมซี = - 1 5 + 3 5 · แลมบ์ = แลมบ์ ⇔ แลม = x - 3 5 1 5 แลม = y + 1 5 3 5 แลมบ์ดา = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1

สมการที่ได้รับในทั้งสองตัวอย่างมีลักษณะแตกต่างกันออกไป แต่สมการเท่ากัน เนื่องจากสมการเหล่านี้กำหนดชุดจุดเดียวกันในพื้นที่สามมิติ ดังนั้นจึงเป็นเส้นตรงเดียวกัน

คำตอบ: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 และ x = 3 5 + 1 5 แลมบ์ y = - 1 5 + 3 5 แลมบ์ z = แลม

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เนื่องจากมีความสำคัญ ปัญหาของจุดตัดของเครื่องบินจึงถูกเรียกว่า "ปัญหาตำแหน่งหมายเลข 2" โดยผู้เขียนจำนวนหนึ่ง

จาก Stereometry เป็นที่ทราบกันว่าเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบนั้นเป็นเส้นตรง ในปัญหาเบื้องต้นก่อนหน้านี้ ซึ่งเรากำลังพูดถึงกรณีพิเศษของจุดตัดของระนาบ เราดำเนินการตามคำจำกัดความนี้

ดังที่ทราบกันดีว่าเพื่อสร้างบรรทัดใดบรรทัดหนึ่ง ในกรณีที่ง่ายที่สุดจำเป็นต้องค้นหาจุดสองจุดที่เป็นของบรรทัดนี้ ในกรณีระบุระนาบด้วยร่องรอย จุดสองจุดนี้คือจุดตัดกันของร่องรอยเดียวกันของระนาบที่ตัดกัน

ตัวอย่างสำหรับงานอิสระ

แบบฝึกหัดที่ 5.1

สร้างเส้นตัดกันของเครื่องบินที่กำหนดโดยรางรถไฟ (รูปที่ 72):

• ก) การฉายภาพ I ในแนวนอนและการฉายภาพ A ทางด้านหน้า
• b) การฉาย Z และระนาบในแนวนอน ตำแหน่งทั่วไปถาม;
• c) ระนาบสองระนาบของตำแหน่งทั่วไป I และ 0

ข้าว. 72

ในรูป 73 ให้คำตอบสำหรับแบบฝึกหัดนี้

สำหรับกรณีที่ระนาบถูกระบุโดยตัวเลขระนาบเฉพาะที่ เหมาะสมที่จะใช้เส้นทางการแก้ปัญหาที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองเส้นทาง

ข้าว. 73

วิธีแก้ปัญหาแรกคือโดยใช้อัลกอริธึมสามขั้นตอนในการค้นหาจุดบรรจบของเส้นทั่วไปกับระนาบทั่วไป ในการค้นหาเส้นตัดกันของสามเหลี่ยมสองรูป สามเหลี่ยมรูปหนึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลง และสามเหลี่ยมรูปที่สองจะถูกแบ่งทางจิตใจออกเป็นส่วนๆ โดยแสดงเป็นเส้นตรงในตำแหน่งทั่วไป ขั้นแรก หาจุดตัดของเส้นทั่วไปเส้นใดเส้นหนึ่งกับระนาบของสามเหลี่ยม จากนั้นพวกเขาก็พบอีกจุดที่ขาดหายไปของเส้นที่ต้องการ ทำได้ในลักษณะเดียวกันโดยทำซ้ำลำดับการกระทำที่อธิบายไว้ทั้งหมด

แบบฝึกหัดที่ 5.2

เมื่อพิจารณาพิกัดของจุดยอดของสามเหลี่ยมสองรูป แลนและ เดคสร้างแผนภาพของส่วนหลังและหาเส้นของจุดตัด ระบุการมองเห็นองค์ประกอบของสามเหลี่ยมทั้งสองบนแผนภาพ: ก(0, 9, 2); ?(10, 1, 16); ค (23, 14, 9); ดี(3, 17, 18); ?(22, 11, 17); ?(12.0, 2). หากต้องการหาเส้นตัดกันของรูปสามเหลี่ยม แนะนำให้หาจุดบรรจบของเส้นตรงก่อน เคดีด้วยรูปสามเหลี่ยม เอบีซี,แล้วถึงจุดบรรจบของเส้นตรง NEด้วยรูปสามเหลี่ยม อีดีเค.

มุมมองทั่วไปของแผนภาพผลลัพธ์จะแสดงในรูปที่ 1 74.

วิธีแก้ปัญหาที่สองคือการใช้ระนาบตัดเสริมสองระดับ

การให้ตัวเลขแบนที่ตัดกันควรตัดกันสองครั้งด้วยระนาบระดับเสริม (ไม่ว่าจะเป็นชื่อเดียวกันหรือชื่อตรงกันข้าม - ไม่สำคัญ) ตัวอย่างเช่น ระนาบระดับแนวนอนสองอัน

เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่าการผ่าครั้งเดียวช่วยให้คุณพบเส้นที่ตัดกันสองเส้น สวัสดีและ และ 2ให้หนึ่งจุด เอ,ที่เป็นของเส้นแยกที่ต้องการ (รูปที่ 75) วาดระนาบเสริมที่คล้ายกันอีกอันในระยะหนึ่ง

ข้าว. 74

ข้าว. 75

จากอันแรกจะมีโครงสร้างคล้ายกันและมีอีกจุดหนึ่ง โดยการเชื่อมต่อเส้นโครงที่มีชื่อเดียวกันของจุดที่ได้รับทั้งสองจุดจะพบเส้นตัดกันของระนาบทั้งสองที่ต้องการ

แบบฝึกหัดที่ 5.3

ใช้พิกัดที่กำหนดของจุดของรูปสามเหลี่ยมสองรูป สร้างแผนภาพของรูปหลัง ซึ่งใช้สร้างเส้นตัดกันของรูปสามเหลี่ยมโดยใช้ระนาบเสริม ระบุการมองเห็นองค์ประกอบของสามเหลี่ยมทั้งสองบนแผนภาพ:

ถึงเอบีซี ก(16, 5, 17); ฉัน (10, 19,

ก การป้องกัน: D (24, 12, 14); ? (4, 18,

มุมมองทั่วไปของปัญหาที่แก้ไขแล้วแสดงไว้ในรูปที่ 1 76.

แบบฝึกหัดที่ 5.4

เพื่อเสริมสร้างทักษะในการค้นหาเส้นตัดกันของเครื่องบินสองลำจะมีการมอบปัญหาซึ่งวิธีแก้ปัญหาจะได้รับในพลวัตของการก่อสร้างตามขั้นตอนของอัลกอริทึม

หาเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบในตำแหน่งเดียวกัน p คือ jq

กำหนดโดยสามเหลี่ยมสองรูป เอบีซีและ การป้องกันและกำหนดการมองเห็นของการแทรกซึม (รูปที่ 77)

แก้ตัวอย่างลงมาเพื่อหาจุดตัดกันของด้าน (เส้นตรง) ก เอบีซีด้วยระนาบทั่วไปที่กำหนดโดย A การป้องกันทราบอัลกอริทึมสำหรับการแก้ไขตัวอย่างนี้แล้ว

เราสรุปด้านข้าง (ตรง) AS แลนเข้าไปในระนาบเสริมที่ยื่นออกมาด้านหน้า t _1_ P 2 (รูปที่ 78)

ร่องรอยด้านหน้าของระนาบเสริมนี้ตัดกับส่วนที่ยื่นออกไปด้านข้าง ง 2 อี 2 จี 2 - 1 2 และ ง 2 เอฟ 2 pt 2 = 2 2 ที่จุดที่ 1 2 และ 2 2 เส้นโครงข่ายทำให้สามารถกำหนดเส้นตัดกัน (1 !~2 2) = n A บนระนาบแนวนอนของเส้นโครง D X E X F ( .แล้วชี้. เค 1และการฉายภาพของมัน เค 2กำหนดจุดตัดของเส้น เครื่องปรับอากาศกับ A การป้องกัน

เราทำซ้ำอัลกอริทึมเพื่อค้นหาจุดตัดของด้าน A เอบีซีโดยตรง ดวงอาทิตย์ด้วย ADDF เราล้อมดวงอาทิตย์ไว้ในระนาบเสริมที่ฉายด้านหน้า p_L P 2 (รูปที่ 79)

เราค้นหาเส้นโครงของจุดที่ 3 และ 4 และบนระนาบแนวนอนของเส้นโครงเรากำหนดการฉายของจุดตัดกันของเส้น บี 1 ค [มีเส้นตัดกัน (3,-4,):

สายสื่อสารการฉายภาพช่วยให้คุณค้นหาจุดฉายภาพด้านหน้าได้ ม.2.

การเชื่อมต่อจุดที่พบ กี มิหาเส้นตัดกันของระนาบทั่วไปสองระนาบ A เอบีซีเอ็น เอ ป้องกัน= AF (รูปที่ 80)

การมองเห็นด้านข้าง เอเอบีซีค่อนข้าง อเดฟกำหนดโดยใช้คะแนนการแข่งขัน ขั้นแรกเรากำหนดการมองเห็น รูปทรงเรขาคณิตบนระนาบการฉายภาพ P 2 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ผ่านคะแนนการแข่งขัน 5 และ 6 (5 2 = 6 2) วาดเส้นสื่อสารการฉายภาพตั้งฉากกับแกนฉายภาพ เอ็กซ์เอ็น(รูปที่ 81)

ตามการฉายภาพในแนวนอน 5 คุณและ 6 { จุดที่ 5 และ 6 ซึ่งเส้นเชื่อมต่อเส้นโครงตัดกับเส้นตัดกันตามลำดับ เครื่องปรับอากาศ 4 ดี.เอฟ.ปรากฎว่าจุดที่ 6 อยู่ห่างจากระนาบการฉายภาพ P 2 มากกว่าจุดที่ 5 ดังนั้นจุดที่ 6 จึงเป็นเส้นตรง ดี.เอฟ.ซึ่งสามารถมองเห็นได้เมื่อเทียบกับระนาบการฉายภาพ P 2 . ตามมาด้วยว่าส่วนนั้น (เค 2 -6 2)จะมองไม่เห็น ในทำนองเดียวกัน เรากำหนดการมองเห็นของด้าน A แลนและก DEF - ดวงอาทิตย์และ ดี.เอฟ.เหล่านั้น. ส่วน (F 2 -8 2) จะมองไม่เห็น

การมองเห็น เอเอบีซีและ อเดฟสัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ П j ถูกสร้างขึ้นในทำนองเดียวกัน เพื่อกำหนดการมองเห็นเส้นตัดกัน เอซี * ดีเอฟและ พ.ศ. ±DFสัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ P] ผ่านจุดแข่งขัน 9 1 = 10 1 และ 11 1 = 12 1 เราวาดเส้นสื่อสารการฉายภาพในแนวตั้งฉาก เอ็กซ์พีจากการฉายภาพด้านหน้าของจุดที่แข่งขันกัน เราพบว่าการฉายภาพจุดที่ 10 2 และ 12 2 นั้นอยู่ห่างจากระนาบการฉายภาพมากกว่า พี ( .ดังนั้น เซ็กเมนต์ (А^-УД และ (มก 2 1)จะมองไม่เห็น ดังนั้นการมองเห็น เอเอบีซีและ อเดฟแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนในรูป 82.

มุมระหว่างระนาบ

พิจารณาระนาบสองระนาบ α 1 และ α 2 ซึ่งกำหนดตามลำดับโดยสมการ:

ภายใต้ มุมระหว่างระนาบสองระนาบ เราจะเข้าใจมุมไดฮีดรัลอันใดอันหนึ่งที่เกิดจากระนาบเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ปกติและระนาบ α 1 และ α 2 เท่ากับหนึ่งในมุมไดฮีดรัลที่อยู่ติดกันที่ระบุ หรือ - นั่นเป็นเหตุผล - เพราะ และ , ที่

.

ตัวอย่าง.กำหนดมุมระหว่างระนาบ x+2ย-3z+4=0 และ 2 x+3ย+z+8=0.

เงื่อนไขความขนานของระนาบทั้งสอง

ระนาบสองอัน α 1 และ α 2 จะขนานกันก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันขนานกัน ดังนั้น .

ดังนั้น ระนาบสองระนาบจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของพิกัดที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วน:

หรือ

สภาพตั้งฉากของระนาบ

เห็นได้ชัดว่าระนาบสองระนาบตั้งฉากก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันตั้งฉากกัน และด้วยเหตุนี้ หรือ

ดังนั้น, .

ตัวอย่าง.

ตรงไปในอวกาศ

สมการเวกเตอร์สำหรับเส้น

สมการทางตรงพาราเมตริก

ตำแหน่งของเส้นในช่องว่างถูกกำหนดโดยการระบุจุดคงที่ใดๆ ม 1 และเวกเตอร์ขนานกับเส้นนี้

เรียกว่าเวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรง คำแนะนำเวกเตอร์ของเส้นนี้

เลยปล่อยให้เป็นเส้นตรง ลผ่านจุดหนึ่ง ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) นอนอยู่บนเส้นขนานกับเวกเตอร์ .

พิจารณาจุดใดก็ได้ ม(x,y,z)บนเส้นตรง จากรูปก็ชัดเจนว่า .

เวกเตอร์และเป็นเส้นตรง ดังนั้นจึงมีตัวเลขดังกล่าว ที, อะไร , ตัวคูณอยู่ที่ไหน ทีสามารถรับค่าตัวเลขใดๆ ก็ได้ ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด มบนเส้นตรง ปัจจัย ทีเรียกว่าพารามิเตอร์ มีการกำหนดเวกเตอร์รัศมีของจุด ม 1 และ มตามลำดับ ผ่าน และ เราได้รับ สมการนี้เรียกว่า เวกเตอร์สมการของเส้นตรง มันแสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละค่าพารามิเตอร์ ทีสอดคล้องกับเวกเตอร์รัศมีของจุดใดจุดหนึ่ง มนอนเป็นเส้นตรง

ลองเขียนสมการนี้ในรูปแบบพิกัดกัน โปรดทราบว่า และจากที่นี่

สมการผลลัพธ์จะถูกเรียกว่า พารามิเตอร์สมการของเส้นตรง

เมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ ทีพิกัดเปลี่ยนไป x, ยและ zและช่วงเวลา มเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

สมการมาตรฐานของทางตรง

อนุญาต ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) – จุดที่วางอยู่บนเส้นตรง ล, และ คือเวกเตอร์ทิศทางของมัน ให้เราใช้จุดใดจุดหนึ่งบนเส้นอีกครั้ง ม(x,y,z)และพิจารณาเวกเตอร์

เป็นที่แน่ชัดว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันของพวกมันจะต้องเป็นสัดส่วน ดังนั้น

– ตามบัญญัติสมการของเส้นตรง

หมายเหตุ 1.โปรดทราบว่าสมการมาตรฐานของเส้นตรงสามารถได้รับจากสมการพาราเมตริกโดยการกำจัดพารามิเตอร์ ที- อันที่จริงจากสมการพาราเมตริกที่เราได้รับ หรือ .

ตัวอย่าง.เขียนสมการของเส้นตรง ในรูปแบบพาราเมตริก

มาแสดงกันเถอะ จากที่นี่ x = 2 + 3ที, ย = –1 + 2ที, z = 1 –ที.

หมายเหตุ 2ปล่อยให้เส้นตรงตั้งฉากกับแกนพิกัดแกนใดแกนหนึ่ง เช่น แกน วัว- จากนั้นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงจะตั้งฉาก วัว, เพราะฉะนั้น, ม=0. ดังนั้น สมการพาราเมตริกของเส้นตรงจะอยู่ในรูปแบบ

การแยกพารามิเตอร์ออกจากสมการ ทีเราได้สมการของเส้นตรงในรูปแบบ

อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ด้วย เราตกลงที่จะเขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรงในรูปแบบอย่างเป็นทางการ - ดังนั้น หากตัวส่วนของเศษส่วนตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ แสดงว่าเส้นตรงตั้งฉากกับแกนพิกัดที่สอดคล้องกัน

คล้ายกับสมการบัญญัติ สอดคล้องกับเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน วัวและ เฮ้ยหรือ ขนานกับแกน ออนซ์.

ตัวอย่าง.

สมการทั่วไปของเส้นตรงเท่ากับเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ

ในทุกเส้นตรงในอวกาศมีระนาบจำนวนนับไม่ถ้วน สองอันใดอันหนึ่งตัดกัน ให้นิยามมันในอวกาศ ดังนั้น สมการของระนาบสองระนาบใดๆ เมื่อพิจารณารวมกัน จะแสดงสมการของเส้นนี้

โดยทั่วไปแล้ว ระนาบที่ไม่ขนานกันสองระนาบใดๆ จะได้รับ สมการทั่วไป

กำหนดเส้นตรงของจุดตัดของพวกเขา สมการเหล่านี้เรียกว่า สมการทั่วไปโดยตรง.

ตัวอย่าง.

สร้างเส้นที่กำหนดโดยสมการ

ในการสร้างเส้นตรง ก็เพียงพอที่จะหาจุดสองจุดใดก็ได้ วิธีที่ง่ายที่สุดคือการเลือกจุดตัดของเส้นตรงกับระนาบพิกัด เช่น จุดตัดกับระนาบ xOyเราได้รับจากสมการของเส้นตรง โดยสมมติว่า z= 0:

เมื่อแก้ไขระบบนี้แล้วเราจะพบประเด็น ม 1 (1;2;0).

ในทำนองเดียวกันสมมติว่า ย= 0 เราได้จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ xออซ:

จากสมการทั่วไปของเส้นตรง เราสามารถไปยังสมการมาตรฐานหรือสมการพาราเมตริกได้ ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องค้นหาจุดใดจุดหนึ่ง ม 1 บนเส้นตรงและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

พิกัดจุด ม 1 ที่เราได้รับจากระบบสมการนี้ โดยให้ค่าพิกัดใดค่าหนึ่งตามอำเภอใจ ในการค้นหาเวกเตอร์ทิศทาง โปรดทราบว่าเวกเตอร์นี้จะต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติทั้งสองตัว และ - ดังนั้นเกินเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ลคุณสามารถหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ปกติได้:

.

ตัวอย่าง.ให้สมการทั่วไปของเส้นตรง สู่รูปแบบบัญญัติ

ลองหาจุดนอนอยู่บนเส้นกัน ในการทำเช่นนี้ เราเลือกพิกัดใดพิกัดหนึ่งตามอำเภอใจ เช่น ย= 0 และแก้ระบบสมการ:

เวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนดเส้นตรงมีพิกัด ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางจะเป็นเส้นตรง

- เพราะฉะนั้น, ล: .

มุมระหว่างเส้นตรง

มุมระหว่างเส้นตรงในอวกาศ เราจะเรียกมุมที่อยู่ติดกันใดๆ ที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดใดก็ได้ที่ขนานกับข้อมูล

ให้มีสองบรรทัดในช่องว่าง:

แน่นอนว่ามุม φ ระหว่างเส้นตรงสามารถใช้เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางกับ ตั้งแต่ จากนั้นใช้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่เราได้รับ

อนุญาตสมการบัญญัติของเส้นตรง

ค่าสัมประสิทธิ์แตกต่างจากศูนย์ กล่าวคือ เส้นตรงไม่ขนานกับระนาบ xOy ให้เราเขียนสมการเหล่านี้แยกกันในรูปแบบนี้:

ภายใต้เงื่อนไขของเรา สมการ (6) จะนิยามเส้นตรงโดยสมบูรณ์ แต่ละรายการแสดงระนาบแยกกัน โดยอันแรกขนานกับแกน Oy และอันที่สองกับแกน

ดังนั้น เมื่อแสดงเส้นตรงด้วยสมการในรูปแบบ (6) เราจึงพิจารณาว่าเป็นจุดตัดของระนาบสองระนาบที่ฉายเส้นตรงนี้บนระนาบพิกัด xOz และ yOz สมการแรกของสมการ (6) ซึ่งพิจารณาในระนาบ กำหนดเส้นโครงของเส้นตรงที่กำหนดบนระนาบนี้ ในทำนองเดียวกัน สมการที่สองของสมการ (6) ซึ่งพิจารณาในระนาบ จะกำหนดการฉายเส้นตรงที่กำหนดบนระนาบ yOz ดังนั้น เราสามารถพูดได้ว่าการให้สมการของเส้นตรงในรูปแบบ (6) หมายถึงการฉายภาพบนระนาบพิกัด xOz และ yOz

ถ้าสัมประสิทธิ์การนำทางเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น อย่างน้อยหนึ่งในสองสัมประสิทธิ์ที่เหลือจะแตกต่างจากศูนย์ กล่าวคือ เส้นตรงจะไม่ขนานกับระนาบ yOz ในกรณีนี้เราสามารถแสดงเส้นตรงได้

สมการของระนาบที่ฉายลงบนระนาบพิกัดโดยการเขียนสมการ (5) ในรูปแบบ

ดังนั้น เส้นตรงใดๆ ก็สามารถแสดงได้ด้วยสมการของระนาบสองระนาบที่ผ่านเส้นนั้นและฉายลงบนระนาบพิกัด แต่ไม่จำเป็นเลยที่จะต้องกำหนดเส้นตรงด้วยระนาบคู่ดังกล่าว

มีเครื่องบินนับไม่ถ้วนที่วิ่งผ่านแต่ละเส้นตรง สองอันใดอันหนึ่งตัดกัน ให้นิยามมันในอวกาศ ดังนั้น สมการของระนาบสองระนาบใดๆ เมื่อพิจารณารวมกัน จะแสดงสมการของเส้นนี้

โดยทั่วไปแล้ว ระนาบสองระนาบใดๆ ที่ไม่ขนานกันด้วยสมการทั่วไป

กำหนดเส้นตรงของจุดตัดของพวกเขา

สมการ (7) เมื่อพิจารณารวมกันแล้ว เรียกว่าสมการทั่วไปของเส้นตรง

จากสมการทั่วไปของเส้นตรง (7) เราสามารถไปที่สมการมาตรฐานของมันได้ เพื่อจุดประสงค์นี้ เราต้องรู้จุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรงและเวกเตอร์ทิศทาง

เราสามารถค้นหาพิกัดของจุดจากระบบสมการที่กำหนดได้อย่างง่ายดายโดยการเลือกพิกัดใดพิกัดหนึ่ง จากนั้นแก้ระบบสมการสองสมการโดยใช้เงื่อนไขของพิกัดที่เหลืออีกสองพิกัด

ในการค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เราสังเกตว่าเวกเตอร์นี้ซึ่งกำหนดทิศทางไปตามเส้นตัดของระนาบเหล่านี้ จะต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติของระนาบเหล่านี้ ในทางกลับกัน เวกเตอร์ทุกตัวที่ตั้งฉากกับจะขนานกับระนาบทั้งสอง และด้วยเหตุนี้จึงขนานไปกับเส้นที่กำหนด

แต่ผลคูณเวกเตอร์ก็มีคุณสมบัตินี้เช่นกัน ดังนั้น ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ปกติของระนาบเหล่านี้จึงสามารถใช้เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงได้

ตัวอย่างที่ 1 ลดสมการของเส้นให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

ลองเลือกพิกัดใดพิกัดหนึ่งตามอำเภอใจ ยกตัวอย่าง. แล้ว

จากจุดนั้นเราก็พบจุด (2, 0, 1) อยู่บนเส้นนั้น

ตอนนี้เมื่อค้นหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ เราจะได้เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ดังนั้นสมการทางบัญญัติจะเป็นดังนี้:

ความคิดเห็น จากสมการเส้นตรงทั่วไปของแบบฟอร์ม (7) คุณสามารถไปที่สมการมาตรฐานโดยไม่ต้องใช้วิธีเวกเตอร์

ให้เราอาศัยรายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับสมการก่อน

ขอให้เราแสดง x และ y จากพวกมันผ่าน จากนั้นเราจะได้รับ:

มันควรจะอยู่ที่ไหน

สมการ (6) เรียกว่าสมการเส้นตรงในการฉายภาพบนระนาบ

มาติดตั้งกัน ความหมายทางเรขาคณิตค่าคงที่ M และ N: M คือสัมประสิทธิ์เชิงมุมของการฉายภาพของเส้นที่กำหนดบนระนาบพิกัด (แทนเจนต์ของมุมของการฉายภาพนี้กับแกนออนซ์) และ N คือสัมประสิทธิ์เชิงมุมของการฉายภาพของเส้นตรงนี้ลงบน ระนาบพิกัด (แทนเจนต์ของมุมของการฉายภาพนี้กับแกนออนซ์) ดังนั้น ตัวเลขจึงกำหนดทิศทางของการฉายเส้นตรงที่กำหนดบนระนาบพิกัดสองระนาบ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขเหล่านี้ยังระบุลักษณะทิศทางของเส้นตรงที่กำหนดด้วย ดังนั้นจึงเรียกตัวเลข M และ N ค่าสัมประสิทธิ์มุมบรรทัดนี้

หากต้องการทราบความหมายทางเรขาคณิตของค่าคงที่ ให้เราใส่เส้นตรงในสมการ (6) จากนั้นเราจะได้ นั่นคือ จุดนั้นอยู่บนเส้นตรงที่กำหนด แน่นอนว่าจุดนี้คือจุดตัดของเส้นตรงนี้กับระนาบ ดังนั้น นี่คือพิกัดของเส้นตรงบนระนาบพิกัด

ตอนนี้การเปลี่ยนจากสมการการฉายภาพไปเป็นสมการบัญญัติเป็นเรื่องง่าย ตัวอย่างเช่น ให้สมการ (6) มา การแก้สมการเหล่านี้สำหรับ เราพบว่า:

ซึ่งเราได้รับสมการทางบัญญัติในรูปแบบโดยตรง

ตัวอย่างที่ 2 ให้สมการมาตรฐานของเส้นตรง

สู่สมการในการฉายภาพบนระนาบ

เราเขียนสมการเหล่านี้ใหม่ในรูปแบบ

การแก้สมการแรกสำหรับ x และสมการที่สองสำหรับ y เราจะพบสมการที่ต้องการในการฉายภาพ:

ตัวอย่างที่ 3 ให้สมการในรูปแบบ ppojections

สู่รูปแบบบัญญัติ

เมื่อแก้สมการเหล่านี้เพื่อ เราจะได้:

สมการ Canonical ของเส้นในปริภูมิคือสมการที่กำหนดเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดเส้นตรงไปยังเวกเตอร์ทิศทาง

ให้จุดและเวกเตอร์ทิศทางถูกกำหนดไว้ จุดใดจุดหนึ่งอยู่บนเส้น ลเฉพาะในกรณีที่เวกเตอร์และเป็นเส้นตรง กล่าวคือ เป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับพวกมัน:

.

สมการข้างต้นเป็นสมการมาตรฐานของเส้นตรง

ตัวเลข ม , nและ พีคือเส้นโครงของเวกเตอร์ทิศทางไปยังแกนพิกัด เนื่องจากเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ จึงเป็นตัวเลขทั้งหมด ม , nและ พีไม่สามารถเท่ากับศูนย์พร้อมกันได้ แต่หนึ่งหรือสองคนอาจกลายเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น ในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ อนุญาตให้ใช้รายการต่อไปนี้:

,

ซึ่งหมายความว่าเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกน เฮ้ยและ ออนซ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นทั้งเวกเตอร์และเส้นที่กำหนดโดยสมการบัญญัติจึงตั้งฉากกับแกน เฮ้ยและ ออนซ์เช่น เครื่องบิน คุณออซ .

ตัวอย่างที่ 1เขียนสมการของเส้นตรงในอวกาศที่ตั้งฉากกับระนาบ และผ่านจุดตัดของระนาบนี้กับแกน ออนซ์ .

สารละลาย. ลองหาจุดตัดของระนาบนี้กับแกนกัน ออนซ์- เนื่องจากจุดใดๆ ที่วางอยู่บนแกน ออนซ์มีพิกัด แล้วสมมติในสมการที่กำหนดของระนาบ x = ย = 0 เราได้ 4 z- 8 = 0 หรือ z= 2 . ดังนั้นจุดตัดของระนาบนี้กับแกน ออนซ์มีพิกัด (0; 0; 2) . เนื่องจากเส้นที่ต้องการตั้งฉากกับระนาบ จึงขนานกับเวกเตอร์ปกติ ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงจึงสามารถเป็นเวกเตอร์ปกติได้ เครื่องบินที่ได้รับ

ทีนี้มาเขียนสมการที่ต้องการของเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่งกัน ก= (0; 0; 2) ในทิศทางของเวกเตอร์:

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

เส้นตรงสามารถกำหนดได้ด้วยจุดสองจุดที่วางอยู่บนเส้นนั้น และ ในกรณีนี้ เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงสามารถเป็นเวกเตอร์ได้ จากนั้นสมการมาตรฐานของเส้นตรงจะเกิดขึ้น

.

สมการข้างต้นกำหนดเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

ตัวอย่างที่ 2เขียนสมการของเส้นในปริภูมิที่ผ่านจุด และ

สารละลาย. ให้เราเขียนสมการเส้นตรงที่ต้องการในรูปแบบที่ให้ไว้ข้างต้นในการอ้างอิงทางทฤษฎี:

.

เนื่องจาก ดังนั้นเส้นตรงที่ต้องการจึงตั้งฉากกับแกน เฮ้ย .

ตรงเหมือนเส้นตัดกันของระนาบ

เส้นตรงในอวกาศสามารถนิยามได้ว่าเป็นเส้นตัดกันของระนาบที่ไม่ขนานกัน 2 ระนาบ และนั่นคือ เซตของจุดที่เป็นไปตามระบบสมการเชิงเส้น 2 สมการ

สมการของระบบเรียกอีกอย่างว่าสมการทั่วไปของเส้นตรงในอวกาศ

ตัวอย่างที่ 3เขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรงในปริภูมิที่กำหนดโดยสมการทั่วไป

สารละลาย. ในการเขียนสมการบัญญัติของเส้นตรงหรือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด คุณจะต้องค้นหาพิกัดของจุดสองจุดใดๆ บนเส้นตรง พวกเขาสามารถเป็นจุดตัดกันของเส้นตรงกับระนาบพิกัดสองระนาบใดก็ได้ คุณออซและ xออซ .

จุดตัดของเส้นตรงและระนาบ คุณออซมีแอบซิสซา x= 0 . ดังนั้นหากสมมุติในระบบสมการนี้ x= 0 เราจะได้ระบบที่มีตัวแปรสองตัว:

การตัดสินใจของเธอ ย = 2 , z= 6 ร่วมกับ x= 0 กำหนดจุด ก(0; 2; 6) เส้นที่ต้องการ แล้วสมมติในระบบสมการที่กำหนด ย= 0 เราได้ระบบ

การตัดสินใจของเธอ x = -2 , z= 0 ร่วมกับ ย= 0 กำหนดจุด บี(-2; 0; 0) จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ xออซ .

ทีนี้ลองเขียนสมการของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ กัน ก(0; 2; 6) และ บี (-2; 0; 0) :

,

หรือหลังจากหารตัวส่วนด้วย -2:

,