บ้าน

หิน

จำนวนอดิศัยในคำง่ายๆ วิชชาคืออะไร หรือเหตุใดเราจึงไม่รู้จักตนเอง ดูว่า "เลขอดิศัย" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร

จำนวนอดิศัยในคำง่ายๆ วิชชาคืออะไร หรือเหตุใดเราจึงไม่รู้จักตนเอง ดูว่า "เลขอดิศัย" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร

ตัวเลขเหนือธรรมชาติ

จำนวน (จริงหรือจินตภาพ) ที่ไม่เป็นไปตามสมการพีชคณิตใดๆ (ดูสมการพีชคณิต) ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้น ตัวเลขจึงตรงกันข้ามกับตัวเลขพีชคณิต (ดูตัวเลขพีชคณิต) การดำรงอยู่ของ T. ch. ก่อตั้งขึ้นครั้งแรกโดย J. Liouville (1844) จุดเริ่มต้นของลิอูวิลล์คือทฤษฎีบทของเขา ซึ่งลำดับของการประมาณเศษส่วนตรรกยะที่มีตัวส่วนที่กำหนดให้กับจำนวนพีชคณิตที่ไม่ลงตัวที่กำหนดนั้นไม่สามารถสูงตามอำเภอใจได้ กล่าวคือถ้าเป็นตัวเลขพีชคณิต กเป็นไปตามสมการพีชคณิตระดับปริญญาที่ลดไม่ได้ nด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้นสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ c ขึ้นอยู่กับเท่านั้น α - ดังนั้น หากสำหรับจำนวนอตรรกยะที่กำหนด α เราสามารถระบุชุดการประมาณเหตุผลจำนวนอนันต์ที่ไม่เป็นไปตามอสมการที่กำหนดสำหรับค่าใดๆ กับและ n(เหมือนกันสำหรับการประมาณทั้งหมด) จากนั้น α คือ T.h. ตัวอย่างของตัวเลขดังกล่าวให้:

จี. คันทอร์ (ค.ศ. 1874) ให้ข้อพิสูจน์การมีอยู่ของตัวเลขอีกประการหนึ่ง โดยสังเกตว่าเซตของจำนวนเชิงพีชคณิตทั้งหมดสามารถนับได้ (กล่าวคือ เลขพีชคณิตทั้งหมดสามารถกำหนดหมายเลขใหม่ได้ ดูทฤษฎีเซต) ในขณะที่เซตของจำนวนจริงทั้งหมด นับไม่ได้

ต่อจากนั้นจึงทำให้ชุดตัวเลขนับไม่ได้ และยิ่งไปกว่านั้น ตัวเลขยังประกอบกันเป็นกลุ่มของชุดตัวเลขทั้งหมดอีกด้วย งานที่สำคัญที่สุดของทฤษฎีของ T. ch คือการค้นหาว่าค่านิยมของ T. chฟังก์ชั่นการวิเคราะห์

มีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์และการวิเคราะห์บางอย่างสำหรับค่าพีชคณิตของการโต้แย้ง ปัญหาประเภทนี้ถือเป็นปัญหาที่ยากที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ในปี พ.ศ. 2416 ซี. เฮอร์ไมต์ได้พิสูจน์ว่าหมายเลขเนเปโร ในปี ค.ศ. 1882 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เอฟ. ลินเดมันน์ ได้รับผลลัพธ์ที่กว้างกว่านี้: ถ้า α เป็นตัวเลขพีชคณิต แล้วผลลัพธ์ของα - T. h. Lipdemann ได้รับการสรุปอย่างมีนัยสำคัญโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน K. Siegel (1930) ซึ่งพิสูจน์ให้เห็นถึงความเหนือกว่าของค่าของฟังก์ชันทรงกระบอกระดับกว้างสำหรับค่าพีชคณิตของการโต้แย้ง ในปี 1900 ที่การประชุมทางคณิตศาสตร์ที่ปารีส ดี. ฮิลแบร์ต หนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังแก้ไม่ได้ 23 ข้อ ชี้ให้เห็นสิ่งต่อไปนี้: เป็นจำนวนทิพย์ α β , ที่ไหน α และ β - ตัวเลขพีชคณิตและ β - จำนวนอตรรกยะและโดยเฉพาะอย่างยิ่งคือจำนวน e π ทิพย์ (ปัญหาของการมีชัยของตัวเลขในรูปแบบ α β จัดแสดงครั้งแรกในรูปแบบส่วนตัวโดยแอล. ออยเลอร์, 1744) วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับปัญหานี้ (ในแง่ที่ยืนยัน) ได้รับในปี 1934 โดย A. O. Gelfond u. จากการค้นพบของเกลฟอนด์ เป็นไปตามลอการิทึมทศนิยมทั้งหมด ตัวเลขธรรมชาติ(นั่นคือ "ลอการิทึมแบบตาราง") เป็นแก่นแท้ของแคลคูลัส วิธีการของทฤษฎีแคลคูลัสถูกนำไปใช้กับการแก้สมการจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม

ความหมาย: Gelfond A.O., ตัวเลขเหนือธรรมชาติและพีชคณิต, M., 1952.

ใหญ่ สารานุกรมโซเวียต- - ม.: สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

ดูว่า "เลขอดิศัย" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

จำนวนที่ไม่เป็นไปตามสมการพีชคณิตใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม เลขอดิศัย คือ เลข??3.14159...; ลอการิทึมทศนิยมของจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ได้แสดงด้วยเลขศูนย์ตามด้วยศูนย์ เบอร์ e=2.71828...และอื่นๆ... ใหญ่ พจนานุกรมสารานุกรม

- (จากภาษาละติน transcendere ถึง pass, เกิน) คือจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่พีชคณิต กล่าวคือ จำนวนที่ไม่สามารถเป็นรากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มได้ สารบัญ 1 คุณสมบัติ 2 ... ... Wikipedia

จำนวนที่ไม่เป็นไปตามสมการพีชคณิตใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ตัวเลขอดิศัย ได้แก่ ตัวเลข π = 3.14159...; ลอการิทึมทศนิยมของจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ได้แสดงด้วยเลขศูนย์ตามด้วยศูนย์ เลข e = 2.71828... ฯลฯ... พจนานุกรมสารานุกรม

จำนวนที่ไม่ตรงกับพีชคณิตใดๆ สมการกับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม รวมไปถึง: หมายเลข PI = 3.14159...; ลอการิทึมทศนิยมของจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ได้แสดงด้วยเลขศูนย์ตามด้วยศูนย์ เลข e = 2.71828... ฯลฯ... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ พจนานุกรมสารานุกรม

จำนวนที่ไม่ใช่รากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ขอบเขตของคำจำกัดความของตัวเลขดังกล่าวคือศูนย์ของจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน และจำนวนรัศมี การมีอยู่และโครงสร้างที่ชัดเจนของชิ้นส่วนจริงได้รับการยืนยันโดย J. Liouville... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

สมการที่ไม่ใช่พีชคณิต โดยทั่วไปแล้วสมการเหล่านี้ประกอบด้วยฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และตรีโกณมิติผกผัน ตัวอย่างเช่น คำจำกัดความที่เข้มงวดมากขึ้นคือ: สมการเหนือธรรมชาติคือสมการ ... Wikipedia

เป็นตัวเลขประมาณเท่ากับ 2.718 ซึ่งมักพบในวิชาคณิตศาสตร์และ วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ- ตัวอย่างเช่น เมื่อสารกัมมันตภาพรังสีสลายตัวหลังจากเวลา t เศษส่วนเท่ากับ e kt จะคงอยู่ของปริมาณตั้งต้นของสาร โดยที่ k คือตัวเลข... ... สารานุกรมถ่านหิน

E คือค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะและเป็นจำนวนอดิศัย บางครั้งเลข e เรียกว่าเลขออยเลอร์ (อย่าสับสนกับเลขออยเลอร์ชนิดแรก) หรือเลขเนเปียร์ แสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก “e”.... ... Wikipedia

จำนวนจริงทิพย์ทุกจำนวนนั้นไม่มีเหตุผล แต่สิ่งที่กลับกันไม่เป็นความจริง เช่น ตัวเลข

\ตาราง 2

- ไม่ลงตัว แต่ไม่เหนือธรรมชาติ: เป็นรากของพหุนาม

เอ็กซ์^2-2

(และดังนั้นจึงเป็นพีชคณิต)

ลำดับของเซตของจำนวนอดิศัยจริงนั้นมีลักษณะไม่เท่ากันกับลำดับของเซต ir จำนวนตรรกยะ.

การวัดความไม่ลงตัวของจำนวนเหนือธรรมชาติเกือบทั้งหมดคือ 2

ตัวอย่าง

เรื่องราว

เจ. ลิอูวิลล์แนะนำแนวคิดเรื่องจำนวนอดิศัยครั้งแรกในปี พ.ศ. 2387 เมื่อเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทว่าเศษส่วนตรรกยะไม่สามารถประมาณจำนวนพีชคณิตได้ดีเกินไป

|heading3= เครื่องมือขยาย
ระบบตัวเลข |heading4= ลำดับชั้นของตัวเลข |list4=


$-1,\;0,\;1,\;\ldots$	จำนวนเต็ม

-1,\;1,\;\frac(1)(2),\;\;0(,)12,\frac(2)(3),\;\ldots

จำนวนตรรกยะ

-1,\;1,\;\;0(,)12,\frac(1)(2),\;\pi,\;\sqrt(2),\;\ldots

ตัวเลขจริง

-1,\;\frac(1)(2),\;0(,)12,\;\pi,\;3i+2,\;e^(i\pi/3),\;\ldots

จำนวนเชิงซ้อน

1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac(1)(2)k,\;\dots

ควอเทอร์เนียน

1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac(\pi)(3)m,\;\ จุด

ตัวเลขเหนือธรรมชาติคานจำนวน Biquaternion

ข้อความที่ตัดตอนมาแสดงลักษณะหมายเลขทิพย์

– สุขภาพดีได้อย่างไร...ในเมื่อถูกศีลธรรม? เป็นไปได้ไหมที่เราจะสงบสติอารมณ์ในยุคของเราเมื่อมีคนมีความรู้สึก? - Anna Pavlovna กล่าว – ฉันหวังว่าคุณอยู่กับฉันตลอดทั้งเย็น?
– แล้ววันหยุดของทูตอังกฤษล่ะ? วันพุธแล้ว “ฉันต้องแสดงตัวที่นั่น” เจ้าชายกล่าว “ลูกสาวของฉันจะมารับฉันและพาฉันไป”
– ฉันคิดว่าวันหยุดปัจจุบันถูกยกเลิกแล้ว Je vous avoue que toutes ces fetes et tous ces feux d "สิ่งประดิษฐ์เริ่มต้นที่ devenir insipides [ฉันสารภาพว่าวันหยุดและดอกไม้ไฟทั้งหมดนี้ทนไม่ได้]
“ถ้าพวกเขารู้ว่าคุณต้องการสิ่งนี้ วันหยุดก็จะถูกยกเลิก” เจ้าชายพูดอย่างติดนิสัยเหมือนนาฬิกาไขลาน พูดในสิ่งที่เขาไม่อยากจะเชื่อ
- Ne me tourmentez พาส. เอ๊ะเบียน qu "at ในการตัดสินใจร่วมกัน a la depeche de Novosiizoff? Vous savez tout [อย่าทรมานฉันเลย คุณตัดสินใจอย่างไรในโอกาสที่ Novosiltsov ส่งออกไป คุณรู้ทุกอย่าง]
- ฉันจะบอกคุณได้อย่างไร? - เจ้าชายพูดด้วยน้ำเสียงเย็นชาและเบื่อหน่าย - Qu "a t ในการตัดสินใจ? ในการตัดสินใจ que Buonaparte a brule ses vaisseaux, et je crois que nous sommes en train de bruler les notres [พวกเขาตัดสินใจอย่างไร พวกเขาตัดสินใจว่า Bonaparte เผาเรือของเขา และเราก็เช่นกัน ดูเหมือนว่า พร้อมที่จะเผาพวกเราแล้ว] - เจ้าชาย Vasily พูดอย่างเกียจคร้านเหมือนนักแสดงที่พูดถึงบทบาทของละครเก่า ๆ ในทางกลับกันแม้เธอจะอายุสี่สิบปี แต่ก็เต็มไปด้วยแอนิเมชั่นและแรงกระตุ้น
การเป็นผู้กระตือรือร้นกลายเป็นตำแหน่งทางสังคมของเธอ และบางครั้งเมื่อเธอไม่ต้องการด้วยซ้ำ เธอก็กลายเป็นผู้กระตือรือร้นเพื่อไม่ให้หลอกลวงความคาดหวังของคนที่รู้จักเธอ รอยยิ้มที่ยับยั้งชั่งใจที่เล่นอยู่ตลอดเวลาบนใบหน้าของ Anna Pavlovna แม้ว่าจะไม่ตรงกับรูปลักษณ์ที่ล้าสมัยของเธอก็ตามซึ่งแสดงออกมาเหมือนเด็กเอาแต่ใจการตระหนักรู้อย่างต่อเนื่องถึงข้อบกพร่องอันเป็นที่รักของเธอซึ่งเธอไม่ต้องการทำไม่ได้และพบว่าจำเป็นต้องแก้ไข ตัวเธอเอง
ในระหว่างการสนทนาเกี่ยวกับการกระทำทางการเมือง Anna Pavlovna เริ่มร้อนแรง
– โอ้ อย่าบอกฉันเกี่ยวกับออสเตรีย! ฉันไม่เข้าใจอะไรเลยบางที แต่ออสเตรียไม่เคยต้องการและไม่ต้องการสงคราม เธอกำลังทรยศเรา รัสเซียเพียงประเทศเดียวจะต้องเป็นผู้กอบกู้ยุโรป ผู้มีพระคุณของเราทราบถึงการเรียกอันสูงส่งของเขาและจะซื่อสัตย์ต่อสิ่งนั้น นั่นคือสิ่งหนึ่งที่ฉันเชื่อ อธิปไตยที่ดีและมหัศจรรย์ของเรามีบทบาทที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในโลกและเขามีคุณธรรมและดีจนพระเจ้าจะไม่ทิ้งเขาและเขาจะปฏิบัติตามการเรียกของเขาเพื่อบดขยี้ไฮดราแห่งการปฏิวัติซึ่งตอนนี้ยิ่งเลวร้ายยิ่งขึ้นในตัวบุคคล ของฆาตกรและคนร้ายคนนี้ เราเพียงผู้เดียวเท่านั้นที่ต้องชดใช้โลหิตของผู้ชอบธรรม... เราควรพึ่งพาใครกันแน่?... อังกฤษซึ่งมีจิตวิญญาณทางการค้า จะไม่และไม่สามารถเข้าใจจิตวิญญาณของจักรพรรดิอเล็กซานเดอร์ได้อย่างเต็มที่ เธอปฏิเสธที่จะทำความสะอาดมอลตา เธอต้องการเห็นโดยมองหาความคิดที่ซ่อนอยู่ในการกระทำของเรา พวกเขาพูดอะไรกับ Novosiltsov... ไม่มีอะไร พวกเขาไม่เข้าใจ พวกเขาไม่สามารถเข้าใจถึงความเสียสละขององค์จักรพรรดิของเรา ผู้ไม่ต้องการสิ่งใดเพื่อตนเองและต้องการทุกสิ่งเพื่อประโยชน์ของโลก และพวกเขาสัญญาอะไร? ไม่มีอะไร. และสิ่งที่พวกเขาสัญญาไว้จะไม่เกิดขึ้น! ปรัสเซียได้ประกาศไปแล้วว่า Bonaparte อยู่ยงคงกระพันและยุโรปทั้งหมดไม่สามารถทำอะไรกับเขาได้... และฉันก็ไม่เชื่อคำพูดของ Hardenberg หรือ Gaugwitz สักคำ Cette ชื่อเสียงที่เป็นกลาง prussienne, ce n "est qu" un piege. [ความเป็นกลางที่ฉาวโฉ่ของปรัสเซียเป็นเพียงกับดัก] ฉันเชื่อในพระเจ้าองค์เดียวและในชะตากรรมอันสูงส่งของจักรพรรดิที่รักของเรา เขาจะช่วยยุโรป!... - จู่ๆ เธอก็หยุดยิ้มเยาะเย้ยด้วยความเร่าร้อนของเธอ

นอกเหนือจากการแบ่งจำนวนจริงเป็นจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะแล้ว ยังมีการแบ่งจำนวนอื่นอีกเป็นพีชคณิตและทิพย์

ถ้าจำนวนจริงเป็นไปตามสมการของแบบฟอร์ม

ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม เราก็บอกว่าจำนวนนี้เป็นพีชคณิต จำนวนจริงที่ไม่เป็นไปตามสมการประเภทนี้เรียกว่าจำนวนเหนือธรรมชาติ - จำนวนเชิงซ้อนแบ่งออกเป็นพีชคณิตและทิพย์ในลักษณะเดียวกันทุกประการ แต่ต่อไปนี้เราจะสนใจเฉพาะจำนวนจริงเท่านั้น)

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าจำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นพีชคณิต ตัวอย่างเช่น 5/7 เป็นไปตามสมการประเภทที่ต้องการ โดยทั่วไป จำนวนตรรกยะใดๆ จะเป็นไปตามสมการ ดังนั้นจึงถือเป็นพีชคณิต

เนื่องจากจำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นพีชคณิต ดังนั้นจำนวนที่ไม่ใช่พีชคณิตทุกจำนวนจึงไม่ลงตัว (ดูวิธีที่ 12 จากตาราง "วิธีการแสดงออก: ถ้า A แล้ว B" ที่ระบุไว้ในหน้า 40) หรือในรูปแบบที่สะดวกกว่าสำหรับเรา: ทุก ๆ จำนวนอดิศัยนั้นไม่ลงตัว การแบ่งส่วนนี้แสดงไว้ในแผนภาพในรูป 15.

ในรูปนี้ ตัวเลขจะปรากฏเป็นตัวอย่างของตัวเลขพีชคณิต พวกมันเป็นพีชคณิตจริงๆ เนื่องจากพวกมันตอบสนองสมการพีชคณิตต่อไปนี้ตามลำดับ:

ในทางกลับกัน ตัวเลขถูกระบุไว้เป็นตัวอย่างของตัวเลขเหนือธรรมชาติ (ตัวเลขเท่ากับ 3.14159... คืออัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง) เราไม่สามารถให้ข้อพิสูจน์ถึงความเหนือกว่าของตัวเลขเหล่านี้ได้ในที่นี้ เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้มีพื้นฐานมาจากการใช้วิธีการที่ลึกกว่านั้นมาก ที่เราใช้ การอยู่เหนือระดับของตัวเลขนั้นเกิดขึ้นในปี พ.ศ. 2425 แต่การเหนือระดับของตัวเลขนั้นเป็นผลในภายหลังมาก - ได้รับการพิสูจน์ในปี พ.ศ. 2477 เท่านั้น ตัวเลขถูกใช้เป็นตัวอย่างโดยนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ David Hilbert เมื่อเขาประกาศรายการปัญหายี่สิบสามอันโด่งดังของเขา ในปี 1900 เขาถือว่าเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปัญหาที่เจ็ดของฮิลแบร์ตคือการค้นหาว่าตัวเลขนั้นเป็นพีชคณิตหรือเป็นตัวเลขเหนือธรรมชาติ ถ้ารู้ว่าตัวเลขนั้นเป็นพีชคณิต (กรณีของเหตุผลไม่ได้รับการยกเว้น เนื่องจากในกรณีเหล่านี้ มันค่อนข้างง่ายที่จะพิสูจน์ว่าตัวเลขนั้นเป็นพีชคณิต) ในปี 1934 A. O. Gelfond และ T. Schneider โดยเป็นอิสระจากเขา ยอมรับว่าตัวเลขนั้นเป็นสิ่งที่เหนือธรรมชาติ แน่นอนว่าการอยู่เหนือจำนวนนั้นเป็นกรณีพิเศษของผลลัพธ์ทั่วไปนี้

ความเหนือกว่าของตัวเลขก็ตามมาจากผลลัพธ์นี้เช่นกัน ที่จริง ขอให้เราแสดงด้วย และ 10 ด้วย a โดยอาศัยคำนิยามของลอการิทึมทศนิยม

ถ้าตัวเลขนั้นเป็นพีชคณิตและไม่ลงตัว ตามทฤษฎีบทเจลฟอนด์-ชไนเดอร์ ตัวเลขดังกล่าวจะต้องเป็นจำนวนเหนือธรรมชาติ เนื่องจากไม่เป็นเช่นนั้น จึงเป็นเหตุเป็นผลหรือเป็นทิพย์ แต่ข้างต้นเราแสดงให้เห็นว่าจำนวนนั้นไม่ลงตัว ดังนั้นจึงเป็นทิพย์

โดยทั่วไป ตามทฤษฎีบทเจลฟอนด์-ชไนเดอร์ที่ว่า จำนวนทั้งหมดที่มีเหตุผลนั้นเป็นจำนวนเหนือธรรมชาติหรือเป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องมาจากสิ่งที่กล่าวไว้ในมาตรา 3 (ดูแบบฝึกหัดที่ 4 ในหน้า 97 ด้วย) ซึ่งหมายความว่าจำนวนนี้ถือว่าเหนือธรรมชาติสำหรับเหตุผลเชิงบวกทั้งหมด ยกเว้นรายการต่อไปนี้:

เราไม่ควรลืมว่าลอการิทึมทั้งหมดที่กล่าวถึงในหนังสือเล่มนี้เป็นทศนิยม กล่าวคือ พวกมันอยู่ในฐาน 10

ดังนั้น ตัวเลขทั้งหมด โดยที่ คือจำนวนเต็มใดๆ ระหว่าง 1 ถึง 1,000 ไม่รวมตัวเลขเหนือธรรมชาติ ในทางกลับกันค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติเช่นตัวเลข ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่ลงตัวในตอนต้นของบทนี้เป็นพีชคณิต. ผลลัพธ์ทั่วไปที่เกี่ยวข้องในที่นี้ได้รับการกำหนดไว้ดังนี้สำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ

ในส่วนนี้เราจะออกจากอาณาจักรจำนวนเต็มที่สวยงามและสะดวกสบายอีกครั้งซึ่งเราเดิน (ฉันเกือบจะพูดว่าเดินไป) ในขณะที่ศึกษาทฤษฎีการเปรียบเทียบ หากเราติดตามประวัติศาสตร์ของการเกิดขึ้นและการพัฒนาความรู้ของมนุษย์เกี่ยวกับตัวเลข ข้อเท็จจริงที่ค่อนข้างขัดแย้งก็จะเกิดขึ้น - ตลอดประวัติศาสตร์เกือบศตวรรษที่ผ่านมา มนุษยชาติได้นำไปใช้ในทางปฏิบัติและศึกษาอย่างใกล้ชิดถึงเศษส่วนเล็กน้อยของตัวเลขทั้งชุด อาศัยอยู่ในธรรมชาติ เป็นเวลานานแล้วที่ผู้คนไม่รู้เลยถึงการดำรงอยู่ของจำนวนจริงส่วนใหญ่อย่างล้นหลาม ดังที่ปรากฎในภายหลัง กอปรด้วยคุณสมบัติที่น่าทึ่งและลึกลับ และปัจจุบันเรียกว่าสิ่งเหนือธรรมชาติ ตัดสินด้วยตัวคุณเอง (ฉันแสดงรายการขั้นตอนโดยประมาณของการพัฒนาแนวคิดของจำนวนจริง):

1) นามธรรมทางคณิตศาสตร์อันชาญฉลาดของจำนวนธรรมชาติที่มาจากส่วนลึกนับพันปี

อัจฉริยะของสิ่งที่เป็นนามธรรมนี้น่าทึ่งมาก และความสำคัญของมันสำหรับการพัฒนาของมนุษยชาตินั้นเหนือกว่าแม้กระทั่งการประดิษฐ์วงล้อด้วยซ้ำ เราคุ้นเคยกับมันมากจนเลิกชื่นชมความสำเร็จที่โดดเด่นที่สุดของจิตใจมนุษย์นี้แล้ว อย่างไรก็ตาม พยายามจินตนาการว่าตัวเองไม่ใช่นักเรียนคณิตศาสตร์ แต่เพื่อให้มีความถูกต้องมากขึ้น มนุษย์ดึกดำบรรพ์หรือพูดเป็นนักศึกษาวิชาปรัชญาว่ากระท่อมสามหลัง วัวสามตัว กล้วยสามลูก และเครื่องสแกนอัลตราซาวนด์สามเครื่องมีอะไรเหมือนกัน (เราไม่ได้พิจารณาว่าเพื่อนดื่มสามคนมีอะไรเหมือนกันที่นี่) การอธิบายให้คนอื่นที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ฟังว่าเลขธรรมชาติ "สาม" คืออะไรนั้นแทบจะเป็นงานที่แทบจะสิ้นหวัง แต่เด็กวัย 5 ขวบสัมผัสได้ถึงสิ่งที่เป็นนามธรรมภายในแล้ว และสามารถดำเนินการกับมันอย่างชาญฉลาด โดยขอขนมจากแม่ของเขา 3 ชิ้นแทน จากสอง

2) เศษส่วน เช่น จำนวนตรรกยะบวก

เศษส่วนมักเกิดขึ้นเมื่อแก้ไขปัญหาการแบ่งทรัพย์สิน การวัดที่ดิน การคำนวณเวลา เป็นต้น ใน กรีกโบราณจำนวนตรรกยะโดยทั่วไปเป็นสัญลักษณ์ของความสามัคคีของโลกโดยรอบและการสำแดงหลักการอันศักดิ์สิทธิ์และทุกส่วนจนถึงบางครั้งถือว่าสมส่วนนั่นคือ อัตราส่วนของความยาวจะต้องแสดงเป็นจำนวนตรรกยะ ไม่เช่นนั้นมันจะเป็นไปป์ (และเทพเจ้าไม่อนุญาตให้ทำเช่นนี้)

3) จำนวนลบและศูนย์ (ตามแหล่งข้อมูลทางวิทยาศาสตร์บางแห่ง

ในตอนแรกตัวเลขติดลบถูกตีความว่าเป็นหนี้ในการคำนวณทางการเงินและการแลกเปลี่ยน แต่กลับกลายเป็นว่าไม่มี ตัวเลขติดลบและในกิจกรรมอื่นๆ ของมนุษย์ไม่มีทางหนีรอดได้ (ใครก็ตามที่ไม่เชื่อว่าควรดูเทอร์โมมิเตอร์นอกหน้าต่างในฤดูหนาว) ในความคิดของฉัน เลขศูนย์ไม่ได้ทำหน้าที่เป็นสัญลักษณ์ของพื้นที่ว่างและการไม่มีปริมาณใด ๆ แต่เป็นสัญลักษณ์ของความเท่าเทียมกันและความสมบูรณ์ของกระบวนการชำระหนี้ (คุณตอบแทนเพื่อนบ้านเท่าที่คุณเป็นหนี้เพื่อนบ้านของคุณ) เขาและตอนนี้มันเป็นศูนย์นั่นคือมันน่าเสียดาย)

4) ตัวเลขพีชคณิตไม่ลงตัว

ตัวเลขที่ไม่ลงตัวถูกค้นพบในโรงเรียนพีทาโกรัสเมื่อพยายามวัดเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยด้านข้าง แต่พวกเขาเก็บการค้นพบนี้ไว้เป็นความลับอันเลวร้าย - ไม่ว่ามันจะนำไปสู่ปัญหาขนาดไหนก็ตาม! มีเพียงนักเรียนที่มีจิตใจมั่นคงและได้รับการพิสูจน์แล้วเท่านั้นที่ถูกริเริ่มในการค้นพบนี้ และมันถูกตีความว่าเป็นปรากฏการณ์ที่น่าขยะแขยงที่ละเมิดความสามัคคีของโลก แต่ความต้องการและสงครามทำให้มนุษยชาติต้องเรียนรู้ที่จะตัดสินใจ สมการพีชคณิตไม่เพียงแต่ระดับแรกที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มเท่านั้น หลังจากกาลิเลโอ ขีปนาวุธเริ่มบินในพาราโบลา หลังจากเคปเลอร์ ดาวเคราะห์บินเป็นรูปวงรี กลศาสตร์และขีปนาวุธกลายเป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน และทุกที่ก็จำเป็นต้องแก้และแก้สมการที่มีรากเป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นเราจึงต้องตกลงใจกับการมีอยู่ของรากที่ไม่ลงตัวของสมการพีชคณิต ไม่ว่ามันจะดูน่าขยะแขยงแค่ไหนก็ตาม นอกจากนี้ วิธีการแก้สมการกำลังสามและสมการระดับที่ 4 ค้นพบในศตวรรษที่ 16 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี สคิปิโอเน เดล เฟอร์โร, นิกโคโล ตาร์ตาเกลีย (Tartaglia เป็นชื่อเล่นที่แปลว่าพูดติดอ่างฉันไม่รู้ชื่อจริงของเขา), ลูโดวิช เฟอร์รารี และราฟาเอล บอมเบลลีนำไปสู่การประดิษฐ์จำนวนเชิงซ้อนที่ "เหนือธรรมชาติ" โดยสมบูรณ์ ซึ่งถูกกำหนดให้ได้รับการยอมรับอย่างเต็มที่ในศตวรรษที่ 19 เท่านั้น ความไร้เหตุผลเชิงพีชคณิตได้กลายมาเป็นที่ยอมรับในทางปฏิบัติของมนุษย์ตั้งแต่ศตวรรษที่ 16

ในประวัติศาสตร์ของการพัฒนาแนวคิดเรื่องตัวเลขนี้ ไม่มีที่สำหรับตัวเลขทิพย์ เช่น ตัวเลขที่ไม่ใช่รากของสมการพีชคณิตใดๆ ที่มีตรรกยะหรือซึ่งเทียบเท่า (หลังจากลดตัวส่วนร่วมแล้ว) ให้เป็นสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม จริงอยู่ แม้แต่ชาวกรีกโบราณก็รู้จำนวน p ที่น่าทึ่ง ซึ่งตามที่ปรากฏในภายหลัง ถือเป็นจำนวนเหนือธรรมชาติ แต่พวกเขารู้เป็นเพียงอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางเท่านั้น คำถามเกี่ยวกับลักษณะที่แท้จริงของตัวเลขนี้ไม่มีใครสนใจเลย จนกระทั่งผู้คนได้เติมเต็มและแก้ไขปัญหากรีกโบราณเรื่องการหากำลังสองของวงกลมไม่สำเร็จ และตัวเลข p เองก็ปรากฏขึ้นอย่างลึกลับในส่วนต่างๆ ของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ

มีเพียงในปี ค.ศ. 1844 เท่านั้นที่ Liouville ได้สร้างตัวอย่างแรกของตัวเลขเหนือธรรมชาติ และโลกทางคณิตศาสตร์ก็ต้องประหลาดใจกับข้อเท็จจริงของการมีอยู่ของตัวเลขดังกล่าว เฉพาะในศตวรรษที่ 19 เกออร์ก คันตอร์ผู้ชาญฉลาดเท่านั้นที่เข้าใจ โดยใช้แนวคิดเรื่องกำลังของเซต ว่ามีจำนวนเหนือธรรมชาติส่วนใหญ่อย่างท่วมท้นบนเส้นจำนวน ในที่สุดเราจะหันไปหาเฉพาะในย่อหน้าที่ห้าของหนังสือเล่มเล็กเล่มนี้ ตัวเลขเหนือธรรมชาติความสนใจของคุณ

จุดที่ 24 การวัดและหมวดหมู่ในบรรทัด

ในย่อหน้านี้ ผมจะให้ข้อมูลเบื้องต้นจากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นสำหรับการทำความเข้าใจการนำเสนอต่อไป ในทางคณิตศาสตร์ มีการคิดค้นแนวคิดเรื่อง "ความเล็ก" ของเซตที่เป็นทางการที่แตกต่างกันออกไปค่อนข้างมาก เราต้องการสองชุด - ชุดการวัดเป็นศูนย์และชุดของหมวดหมู่ Baire แรก แนวคิดทั้งสองนี้ขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องการนับได้ของเซต เป็นที่ทราบกันว่าเซตของจำนวนตรรกยะสามารถนับได้ (| ถาม|= A 0) และเซตอนันต์ใดๆ มีเซตย่อยที่นับได้ เช่น เซตนับได้คือเซตที่ "เล็กที่สุด" ของเซตอนันต์ ระหว่างเซตนับใดๆ กับเซตของจำนวนธรรมชาติ เอ็นมีการแมป bijective เช่น องค์ประกอบของเซตนับได้ใดๆ สามารถจัดลำดับใหม่ได้ หรืออีกนัยหนึ่ง เซตนับได้ใดๆ สามารถจัดเรียงเป็นลำดับได้ ไม่มีช่วงใดบนเส้นที่เป็นเซตที่นับได้ เห็นได้ชัดว่าเป็นไปตามทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1 (คันทอร์)สำหรับลำดับใดๆ ( หนึ่ง) จำนวนจริงและสำหรับช่วงเวลาใดๆ ฉันมีประเด็นอยู่ รเกี่ยวกับ ฉันเช่นนั้น พี № หนึ่งสำหรับใครก็ตาม nเกี่ยวกับ เอ็น .

การพิสูจน์.กระบวนการ. เราใช้ส่วน (ส่วนที่แม่นยำพร้อมกับจุดสิ้นสุด) ฉัน 1 ม ฉันเช่นนั้น ก 1 ป ฉัน 1. จากส่วน ฉัน 1 ใช้ส่วน ฉัน 2 ม ฉัน 1 อย่างนั้น ก 2 พ ฉัน 2 ฯลฯ ดำเนินกระบวนการต่อจากส่วนงาน ฉันไม่มี -1ใช้ส่วน ฉันเอ็น เอ็ม ฉัน n-1 เช่นนั้น กเอ็นพี ฉัน n. จากกระบวนการนี้ เราได้รับลำดับของส่วนที่ซ้อนกัน ฉันที่ 1 ฉัน 2 เจ...เจ ฉันน...สี่แยก
ซึ่งเรารู้ตั้งแต่คอร์สแรกว่าไม่ว่างคือ มีบางจุด
- เห็นได้ชัดว่า กระทะต่อหน้าทุกคน เลขที่ เอ็น .

ฉันไม่คิดว่าผู้อ่านจะไม่เคยพบกับข้อพิสูจน์อันสง่างามนี้มาก่อน (แม้ว่าในทางปฏิบัติของฉันฉันได้พบกับนักเรียนที่คลุมเครือมาก) แต่ก็เป็นเพียงว่าแนวคิดของการพิสูจน์นี้จะถูกนำมาใช้ในภายหลังในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Baire และ ดังนั้นจึงเป็นประโยชน์ที่จะเรียกคืนล่วงหน้า

คำนิยาม.มากมาย กอย่างแน่นหนาในช่วงเวลา ฉันถ้ามีจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่ากับแต่ละช่วงย่อยจาก ฉัน- มากมาย กแน่นถ้ามันแน่น ร- มากมาย กจะไม่หนาแน่นทุกที่ หากไม่มีความหนาแน่นในช่วงใดๆ บนเส้นจริง เช่น แต่ละช่วงบนบรรทัดจะมีช่วงย่อยที่อยู่ในส่วนของส่วนเสริมของ ก .

ก็เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจได้หลายอย่าง กไม่มีที่ไหนที่จะหนาแน่นได้หากเป็นส่วนเสริมของมันเท่านั้น เอ ўประกอบด้วยชุดเปิดหนาแน่น ก็เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจได้หลายอย่าง กไม่มีที่ไหนที่จะแน่นหนาได้ถ้าหากมันปิดลงเท่านั้น
ไม่มีจุดภายใน

ไม่มีจุดใดที่ฉากที่หนาแน่นบนเส้นจะรู้สึกได้โดยสัญชาตญาณว่ามีขนาดเล็กในแง่ที่ว่าพวกมันเต็มไปด้วยรู และจุดของฉากดังกล่าวจะอยู่บนเส้นค่อนข้างน้อย ให้เรากำหนดคุณสมบัติบางประการของเซตที่มีความหนาแน่นไม่มีที่ไหนเลยในรูปของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท 2 1) เซตย่อยใดๆ ของเซตที่ไม่มีความหนาแน่นใดๆ จะไม่มีความหนาแน่นเลย

2) การรวมกันของสองชุด (หรือจำนวนจำกัดใดๆ) ไม่มีเซตหนาแน่นใดที่ไม่มีความหนาแน่นเลย

3) การปิดชุดที่ไม่มีความหนาแน่นนั้นไม่มีความหนาแน่นเลย

การพิสูจน์. 1) ชัดเจน.

2) ถ้า ก 1 และ ก 2 ไม่มีความหนาแน่นเลยในแต่ละช่วง ฉันจะมีช่วงเวลา ฉัน 1 เดือน ( ฉัน \ ก 1) และ ฉัน 2 เดือน ( ฉัน 1 \ ก 2). วิธี, ฉัน 2 ม ฉัน \(ก 1 ฉัน ก 2) ซึ่งหมายความว่า ก 1 ฉัน ก 2ไม่แน่นตรงไหน..

3) เห็นได้ชัดว่ามีช่วงเวลาเปิดใด ๆ อยู่ภายใน เอ ўก็มีอยู่ใน
.

ดังนั้น ระดับของเซตหนาแน่นไม่มีที่ไหนเลยจึงถูกปิดภายใต้การดำเนินการของการรับเซตย่อย การดำเนินการของการปิด และการรวมอันจำกัด การรวมกันของฉากหนาแน่นไม่มีที่ไหนเลย พูดโดยทั่วไป ไม่จำเป็นต้องเป็นฉากหนาแน่นไม่มีที่ไหนเลย ตัวอย่างนี้คือ เซตของจำนวนตรรกยะซึ่งมีความหนาแน่นทุกแห่ง แต่เป็นการรวมกันของจุดแต่ละจุดซึ่งนับได้ ซึ่งแต่ละจุดประกอบกันเป็นองค์ประกอบเดียวที่ไม่มีจุดใดหนาแน่นอยู่ในนั้น ร .

คำนิยาม.เซตที่สามารถแสดงเป็นเซตที่มีขอบเขตจำกัดหรือนับได้ของเซตหนาแน่นไม่มีที่ไหนเลย เรียกว่าเซตประเภทแรก (อ้างอิงจาก Baer) ชุดที่ไม่สามารถแสดงในแบบฟอร์มนี้ได้เรียกว่าชุดประเภทที่สอง

ทฤษฎีบท 3 1) ส่วนเสริมของชุดหมวดหมู่แรกใดๆ บนเส้นตรงนั้นมีความหนาแน่นสูง

2) ไม่มีช่วงเวลาเข้า รไม่ใช่ชุดของหมวดหมู่แรก

3) จุดตัดของลำดับใดๆ ของเซตเปิดหนาแน่นคือเซตหนาแน่น

การพิสูจน์.คุณสมบัติทั้งสามที่กำหนดในทฤษฎีบทนี้มีความเท่าเทียมกันโดยพื้นฐานแล้ว มาพิสูจน์ข้อแรกกัน อนุญาต

– การแสดงชุด กประเภทแรกในรูปแบบของการรวมกันของชุดหนาแน่นไม่มีที่ไหนเลย ฉัน– ช่วงเวลาโดยพลการ ต่อไปเป็นกระบวนการเช่นเดียวกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทของคันทอร์ เรามาเลือกเซ็กเมนต์กัน (ได้แก่ เซ็กเมนต์พร้อมกับส่วนท้าย) ฉัน 1 เดือน ( ฉัน \ ก 1) ซึ่งสามารถทำได้เพราะนอกจากจะไม่มีที่ไหนเลยที่หนาแน่นแล้ว ก 1 ภายในช่วงเวลา ฉันจะมีช่วงย่อยทั้งหมดเสมอ และในทางกลับกัน ก็จะมีช่วงย่อยทั้งหมดอยู่ภายในตัวมันเอง เรามาเลือกเซ็กเมนต์กัน ฉัน 2 เดือน ( ฉัน 1 \ ก 2). เรามาเลือกเซ็กเมนต์กัน ฉัน 3 ม. ( ฉัน 2 \ ก 3) ฯลฯ จุดตัดของส่วนที่ซ้อนกัน
ไม่ว่างเปล่า ดังนั้นส่วนเสริม ฉัน \ กไม่ว่างเปล่าซึ่งหมายความว่าส่วนเสริม เอ ўแน่น.

ข้อความที่สองของทฤษฎีบทต่อจากข้อความแรกโดยตรง ข้อความที่สามตามมาจากข้อความแรกเช่นกัน หากคุณเพียงแต่พยายามและไปยังส่วนเติมเต็มของลำดับของเซตเปิดที่มีความหนาแน่นสูง

คำนิยาม.คลาสของเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่มีจำนวนจำกัดหรือนับได้ทั้งหมดที่เป็นไปได้ และเซตย่อยของสมาชิก เรียกว่า s - ในอุดมคติ

แน่นอนว่าคลาสของเซตที่นับได้มากที่สุดนั้นเป็นเซตในอุดมคติ หลังจากคิดสักนิด ก็เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่าคลาสของชุดทั้งหมดของหมวดหมู่แรกในบรรทัดนั้นก็เป็น s ในอุดมคติเช่นกัน อีกตัวอย่างที่น่าสนใจของ s -ideal จัดให้โดยคลาสของสิ่งที่เรียกว่าเซตว่าง (หรือเซตของการวัดเป็นศูนย์)

คำนิยาม.มากมาย กม รเรียกว่าเซตของการวัดศูนย์ (เซตว่าง) ถ้า กสามารถครอบคลุมได้ไม่เกินชุดช่วงเวลาที่นับได้ ซึ่งความยาวรวมจะน้อยกว่าจำนวนใดๆ ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า e >0 กล่าวคือ สำหรับ e >0 ใดๆ จะมีลำดับของช่วงเวลาดังกล่าว ใน, อะไร
และ e Ѕ ฉัน n Ѕ< e .

แนวคิดของเซตว่างเป็นอีกรูปแบบหนึ่งของแนวคิดตามสัญชาตญาณของ "ความเล็ก" ของเซต: เซตว่างคือเซตที่มีความยาวน้อย เห็นได้ชัดว่าแต่ละจุดเป็นเซตว่าง และเซตย่อยใดๆ ของเซตว่างก็เป็นเซตว่างด้วยตัวมันเอง ดังนั้น ความจริงที่ว่าเซตว่างจะก่อตัวเป็น s -ideal ตามมาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทที่ 4 (Lebesgue)การรวมกันของเซตว่างที่นับได้ใดๆ จะเป็นเซตว่าง

การพิสูจน์.อนุญาต ฉัน– เซตว่าง ฉัน= 1, 2, ... . แล้วสำหรับทุกคน ฉันมีลำดับของช่วงเวลา ฉันฉัน ( เจ=1, 2, ...) เช่นนั้น
และ
- ชุดของช่วงเวลาทั้งหมด ฉันฉันครอบคลุม กและผลรวมของความยาวน้อยกว่า e เนื่องจาก
- วิธี, ก– ตั้งค่าเป็นโมฆะ

ไม่มีช่วงหรือเซกเมนต์ใดที่เป็นเซตว่าง เพราะ ยุติธรรม

ทฤษฎีบทที่ 5 (ไฮเนอ-บอเรล)ถ้าเป็นลำดับของช่วงเวลาที่มีขอบเขตจำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุด ในครอบคลุมช่วงเวลา ฉัน, ที่

ส ส ใน Ѕ і Ѕ ฉัน Ѕ .

ฉันจะไม่พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ชัดเจนตามสัญชาตญาณที่นี่ เพราะสามารถพบได้ในหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่จริงจังไม่มากก็น้อย

จากทฤษฎีบทไฮน์-โบเรล เป็นไปตามว่า s -อุดมคติของเซตว่าง เช่นเดียวกับ s อุดมคติของเซตที่นับไม่ได้และเซตของหมวดหมู่แรก ไม่มีช่วงและเซ็กเมนต์ สิ่งที่อุดมคติ s ทั้งสามนี้มีเหมือนกันก็คือ เซตที่มีจำกัดและเซตนับได้ทั้งหมด นอกจากนี้ยังมีชุดหน่วยวัดประเภทแรกนับไม่ได้อีกด้วย ตัวอย่างที่คุ้นเคยที่สุดของชุดดังกล่าวคือชุด Cantor perfect (*) ค M ประกอบด้วยตัวเลขที่ไม่มีสัญลักษณ์แบบไตรภาค จำกระบวนการสร้างเซตที่สมบูรณ์แบบของ Cantor: เซกเมนต์จะถูกแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กัน และช่วงเปิดตรงกลางจะถูกโยนออกไป แต่ละสองในสามที่เหลือของเซ็กเมนต์จะถูกแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กันอีกครั้งและช่วงเปิดตรงกลางจะถูกโยนออกไป ฯลฯ เห็นได้ชัดว่าชุดที่เหลือหลังจากกระบวนการนี้ไม่มีความหนาแน่นใด ๆ เช่น หมวดหมู่แรก ง่ายต่อการคำนวณว่าความยาวรวมของส่วนตรงกลางที่ถูกทิ้งมีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ กับมีการวัดเป็นศูนย์ เป็นที่ทราบกันว่า กับนับไม่ได้เพราะว่า ลำดับอนันต์มากมายนับไม่ถ้วนซึ่งประกอบด้วยศูนย์และสอง (แต่ละองค์ประกอบ กับแสดงด้วยเศษส่วนแบบไตรภาคซึ่งหลังจากจุดทศนิยมจะมีลำดับของศูนย์และสองอย่างแม่นยำ)

ฉันขอแนะนำให้ผู้อ่านตรวจสอบด้วยตนเองว่ามีชุดของหมวดหมู่แรกที่ไม่ใช่ชุดว่าง และมีชุดว่างที่ไม่ใช่ชุดของหมวดหมู่แรก (อย่างไรก็ตาม หากคุณพบว่ามันยากที่จะสร้างตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง อย่าเพิ่งหมดหวังเพียงอ่านประเด็นนี้ถึงทฤษฎีบท 6)

ดังนั้นภาพความสัมพันธ์ระหว่างอุดมการณ์ 3 ประการที่กำลังพิจารณาจึงเป็นดังนี้

ดังนั้นเราจึงได้แนะนำสองแนวคิดของชุดเล็ก ไม่มีอะไรขัดแย้งกันที่ฉากที่มีขนาดเล็กในแง่หนึ่งสามารถมีขนาดใหญ่ในอีกแง่หนึ่งได้ ทฤษฎีบทต่อไปนี้แสดงแนวคิดนี้ได้ดีและแสดงให้เห็นว่าในบางกรณี แนวคิดเรื่องความเล็กที่เรานำเสนออาจกลายเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกัน

ทฤษฎีบท 6เส้นจำนวนสามารถแบ่งออกเป็นชุดเสริมสองชุด กและ ในดังนั้น กมีชุดประเภทแรกและ ในมีการวัดเป็นศูนย์

การพิสูจน์.อนุญาต ก 1 , ก 2 ,…, ก n ,… – ชุดเลขของจำนวนตรรกยะ (หรือเซตย่อยหนาแน่นอื่น ๆ ที่สามารถนับได้ทุกที่ ร- อนุญาต ฉันจ– ช่วงเปิดของความยาว 1/2 i+j โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ฉัน- พิจารณาชุดต่างๆ:

, เจ =1,2,...;

; ก = ร \ บี = บี ў .

แน่นอนว่าสำหรับ e >0 ใดๆ เราสามารถเลือกได้ เจดังนั้น 1/2 เจ< e . Тогда

เพราะฉะนั้น, ใน– ตั้งค่าเป็นโมฆะ

ต่อไป,
– เซตย่อยเปิดหนาแน่น รเพราะ มันคือการรวมกันของลำดับของช่วงเปิดและมีคะแนนเหตุผลทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าเป็นส่วนเสริม จี เจўจึงไม่หนาแน่นแต่อย่างใด
– ชุดประเภทแรก.

มันไม่ใช่ผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์ใช่ไหม! จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วเป็นไปตามว่าแต่ละเซตย่อยของเส้นปรากฎว่าสามารถแสดงเป็นยูเนี่ยนของเซตว่างและเซตของหมวดหมู่แรกได้ ในย่อหน้าถัดไป เราจะดูที่พาร์ติชันเฉพาะ รออกเป็นสองชุดย่อย หนึ่งในนั้นคือตัวเลขลิอูวิลล์เหนือธรรมชาติ วัดเป็นศูนย์ แต่เป็นหมวดหมู่ที่สองตามข้อมูลของแบร์ รีบไปที่จุดต่อไป!

ปัญหา

1. ยกตัวอย่างฉากหนาแน่นสองฉากซึ่งมีจุดตัดกันไม่หนาแน่นทุกที่ ยกตัวอย่างเซตที่มีความหนาแน่นทุกจุดซึ่งส่วนเสริมก็มีความหนาแน่นทุกจุดเช่นกัน

2. มีชุดของศูนย์การวัดนับไม่ได้ซึ่งมีความหนาแน่นในช่วงเวลาหรือไม่?

5. ให้ชุด อีมีการวัดเป็นศูนย์ในส่วนนี้ การปิดตัวของมันคือชุดของการวัดเป็นศูนย์หรือไม่?

6. ให้ชุด อีไม่มีความหนาแน่นในส่วนใดเลยและมีค่าเป็นศูนย์ การปิดตัวของมันคือชุดของการวัดเป็นศูนย์หรือไม่?

7. มีเซตนับไม่ได้หนาแน่นทุกหนทุกแห่งบนเส้นตรงที่มีจุดตัดว่างเปล่าหรือไม่?

8. สร้างส่วนที่สมบูรณ์แบบและไม่มีที่ไหนเลยหนาแน่นของการวัดที่ไม่ใช่ศูนย์

9. อนุญาต ส>0, เอ็น ร- พวกเขาบอกว่ามีมากมาย กมีศูนย์ ส- มิติเฮาส์ดอร์ฟวัดถ้า e ใดๆ >0 มีลำดับของช่วงเวลา ในเช่นนั้น:
และ ½ ใน Ѕ < e при всех n- พิสูจน์ว่าตระกูลของเซตทั้งหมดเป็นศูนย์ ส- มิติ การวัดเฮาส์ดอร์ฟเป็นรูปแบบ s - อุดมคติ; ที่ ส=1 มันเกิดขึ้นพร้อมกับคลาสของเซตว่าง และสำหรับ 0< ส <1 является его собственным подклассом.

10. ปล่อยให้ลำดับ เอฟเอ็น (x) ของฟังก์ชันต่อเนื่องมาบรรจบกันในทิศทางเดียวกับฟังก์ชัน ฉ (x) บนเซ็กเมนต์ พิสูจน์ว่าเซตของจุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน ฉ (x) ในส่วนนี้คือชุดของหมวดหมู่แรก -

เอ็นเอส

ข่าววัฒนธรรม

การมาถึงครั้งใหม่ใน HERMTAGE

ศิลปิน วาเลนติน เซรอฟ "สาวกับลูกพีช"

ผู้เขียนบันทึกอารมณ์ของแบบจำลองอย่างละเอียดอ่อนและเชี่ยวชาญ - คิดสักครู่เกี่ยวกับบางสิ่งที่น่าเศร้า: ยังมีเคาน์เตอร์แบบเดิม ตาชั่งแบบเดิม คุณจะขายลูกพีชที่ถูกสาปเหล่านั้นอยู่เสมอ และหลายปีผ่านไปและไม่มีใครได้รับ แต่งงานแล้วยังเป็นสาวอยู่...

อีวาน ครามสคอย. "ไม่ทราบ"

พื้นหลังของผืนผ้าใบและองค์ประกอบของตัวแบบถูกถ่ายทอดออกมาในโทนสีมืดมนและเข้มข้น และด้วยความไม่ลงรอยกันที่คมชัด - สีแดงที่ไม่รู้จักที่กำลังกรีดร้องรบกวนจิตวิญญาณ xในสมการ 0.48 C x + 456,67 = 8974.

ศิลปินศาลที่ถูกลืม "ภาพเหมือนของสตรีระดับสูง"

เทือกเขาคอเคซัส ทางด้านขวาคือปราสาทของ Tamara ด้านซ้ายคือหญิงสาวที่ยังมีชีวิตอยู่ยืนอยู่ แต่ไม่รู้ว่าเธอกินอะไรและใครทำให้เธออยู่สูงขนาดนั้น

ประติมากร Mukhina "คนงานและเกษตรกรส่วนรวม"

วัสดุ - เฟต้าชีส

ศิลปิน ซาลิเอรี "โมสาร์ทที่เปียโน"

ศิลปะที่เรียกว่า "ศิลปะสำเร็จรูป" ("ศิลปะของวัตถุสำเร็จรูป") เมื่อศิลปินนำวัตถุธรรมดาๆ ออกจากบริบทและเปลี่ยนให้กลายเป็นความเป็นจริงของศิลปะ องค์ประกอบนี้ประกอบด้วยขวด 2 ขวด - "Mozart" และ "Royal" อยู่ข้างหน้า

ศิลปิน เวอร์เมียร์ "สาวชุดน้ำเงิน"

ภาพที่แปลกประหลาดและพิสดาร ตัวละครจะถูกนำเสนอในลักษณะเอ็กซ์เรย์ เป็นสาวจริงๆ เป็นสีฟ้าจริงๆ

วาซิลี คันดินสกี้. "องค์ประกอบ N 456642695244962".

ดังที่คุณทราบ ความคิดในการสร้างภาพวาดนามธรรมเข้ามาในหัวของศิลปินเมื่อเขามองดูผ้าขี้ริ้วที่เขาเช็ดแปรงของเขา ผ้าขี้ริ้วที่เขาเช็ดเท้าทำให้เขามั่นใจว่าเขามาถูกทางแล้ว ผลงานชิ้นนี้เป็นอีกภาพหนึ่งของผ้าขี้ริ้วชื่อดัง

ศิลปิน มิน ซดราฟ

โปสเตอร์ "ชายหนุ่มกำลังดูบาซิลลัสไข้รากสาดใหญ่ ขยาย 10000000000 เท่า"

ภาพวาดของเมดเวเดฟ "Three Cones"

Fedotov "อาหารเช้าของขุนนาง"

ผ้าใบ. น้ำมัน. ขนมปัง.

เบอร์นั้นเรียกว่า พีชคณิตถ้ามันคือรากของพหุนามบางตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

ก n x n +ก n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(นั่นคือรากของสมการ ก n x n +ก n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, ที่ไหน หนึ่ง, n-1, ..., 1, 0--- จำนวนเต็ม หมายเลข 1, ไม่มี 0).

เราแสดงชุดของตัวเลขพีชคณิตด้วยตัวอักษร .

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าจำนวนตรรกยะใดๆ เป็นพีชคณิต แท้จริงแล้วรากของสมการ qx-p=0ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ก 1 = คิวและ 0 =-พี- ดังนั้น, .

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ว่าตัวเลขพีชคณิตทั้งหมดจะเป็นจำนวนตรรกยะ เช่น จำนวนนั้นเป็นรากของสมการ x 2 -2=0จึงเป็นตัวเลขพีชคณิต

เป็นเวลานานแล้วที่คำถามสำคัญสำหรับคณิตศาสตร์ยังคงไม่ได้รับการแก้ไข: ตัวเลขจริงที่ไม่ใช่พีชคณิตมีอยู่จริงหรือไม่? ? เฉพาะในปี 1844 เท่านั้นที่ Liouville ได้ยกตัวอย่างตัวเลขเหนือธรรมชาติ (เช่น ไม่ใช่พีชคณิต) เป็นครั้งแรก

การสร้างตัวเลขนี้และการพิสูจน์ความเป็นเลิศนั้นเป็นเรื่องยากมาก เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องการมีอยู่ของจำนวนอดิศัยได้ง่ายกว่ามาก โดยใช้การพิจารณาเกี่ยวกับความสมมูลและความไม่สมมูลของชุดตัวเลข

กล่าวคือ เราจะพิสูจน์ว่าเซตของตัวเลขพีชคณิตสามารถนับได้ จากนั้น เนื่องจากเซตของจำนวนจริงทั้งหมดนับไม่ได้ เราจะสร้างการมีอยู่ของจำนวนที่ไม่ใช่พีชคณิต

มาสร้างการติดต่อสื่อสารแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างกัน และเซตย่อยบางส่วน - นี่จะหมายความอย่างนั้น - มีขอบเขตหรือนับได้ แต่เนื่องจาก , ที่ อนันต์จึงนับได้

ให้เป็นเลขพีชคณิตบ้าง ลองพิจารณาพหุนามทั้งหมดที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มซึ่งมีรูตเป็น และเลือกพหุนามจากพวกมัน ประดับต่ำสุด (เช่น จะไม่ใช่รากของพหุนามใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในระดับที่น้อยกว่า)

ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนตรรกยะ พหุนามนั้นมีดีกรี 1 และสำหรับจำนวนนั้นมีดีกรี 2

ลองหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามกัน ปโดยตัวหารร่วมมากของพวกเขา เราได้พหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน (ตัวหารร่วมมากที่สุดคือ 1) สุดท้ายถ้านำค่าสัมประสิทธิ์ หนึ่งเป็นลบ ให้คูณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามด้วย -1 .

พหุนามผลลัพธ์ (เช่น พหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มซึ่งรากคือจำนวนที่มีระดับต่ำสุดที่เป็นไปได้ สัมประสิทธิ์โคไพรม์ และสัมประสิทธิ์นำเชิงบวก) เรียกว่าพหุนามน้อยที่สุดของตัวเลข

สามารถพิสูจน์ได้ว่าพหุนามนั้นถูกกำหนดโดยเฉพาะ: จำนวนพีชคณิตทุกจำนวนจะมีพหุนามขั้นต่ำเพียงตัวเดียวเท่านั้น

จำนวนรากที่แท้จริงของพหุนามจะต้องไม่เกินระดับของมัน ซึ่งหมายความว่าเราสามารถนับรากทั้งหมดของพหุนามดังกล่าวได้ (เช่น เรียงลำดับจากน้อยไปมาก)

ตอนนี้จำนวนพีชคณิตทุกจำนวนถูกกำหนดโดยพหุนามขั้นต่ำของมัน (นั่นคือ เซตของสัมประสิทธิ์) และจำนวนที่ทำให้พหุนามนี้แตกต่างจากรากอื่น: (ก 0 ,ก 1 ,...,ก-1 ,ก ,k)

ดังนั้น สำหรับจำนวนพีชคณิตแต่ละจำนวน เราได้เชื่อมโยงชุดจำนวนเต็มจำกัด และจากชุดนี้สามารถสร้างใหม่ได้โดยไม่ซ้ำกัน (นั่นคือ ชุดที่ต่างกันสอดคล้องกับตัวเลขที่ต่างกัน)

ขอให้เรานับจำนวนเฉพาะทั้งหมดตามลำดับจากน้อยไปหามาก (เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงว่ามีจำนวนจำนวนนับไม่ถ้วน) เราได้ลำดับอนันต์ (พีเค): พี 1 = 2,พี 2 = 3, หน้า 3 =5, หน้า 4 = 7, ... ตอนนี้เป็นเซตของจำนวนเต็ม (ก 0 ,ก 1 ,...,ก-1 ,ก ,k)สามารถเข้ากับงานได้

(จำนวนนี้เป็นจำนวนบวกและเป็นตรรกยะ แต่ไม่เป็นธรรมชาติเสมอไป เพราะในบรรดาตัวเลขต่างๆ 0, 1, ..., n-1อาจเป็นลบ) โปรดทราบว่าจำนวนนี้เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ เนื่องจากตัวประกอบเฉพาะที่อยู่ในส่วนขยายของตัวเศษและตัวส่วนต่างกัน โปรดทราบว่าเศษส่วนที่ลดไม่ได้สองตัวที่มีทั้งเศษและส่วนเป็นบวกจะเท่ากันก็ต่อเมื่อทั้งเศษเท่ากันและส่วนเท่ากัน

ให้เราพิจารณาการทำแผนที่ตั้งแต่ต้นจนจบ:

(ก 0 ,ก 1 ,...,ก-1 ,ก ,k) =

เนื่องจากเราได้กำหนดชุดจำนวนเต็มที่แตกต่างกันให้กับจำนวนพีชคณิตที่แตกต่างกัน และจำนวนตรรกยะที่แตกต่างกันให้กับชุดที่ต่างกัน เราจึงสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างชุด และเซตย่อยบางส่วน - ดังนั้นเซตของตัวเลขพีชคณิตจึงสามารถนับได้

เนื่องจากเซตของจำนวนจริงนับไม่ได้ เราจึงได้พิสูจน์การมีอยู่ของจำนวนที่ไม่ใช่พีชคณิตแล้ว

อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทการดำรงอยู่ไม่ได้ระบุว่าจะระบุได้อย่างไรว่าจำนวนที่กำหนดนั้นเป็นพีชคณิตหรือไม่ และบางครั้งคำถามนี้ก็สำคัญมากสำหรับคณิตศาสตร์

ส่วนต่างๆ