ทฤษฎีบทเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ ความแตกต่างของฟังก์ชัน ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน ความต่อเนื่องของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล แนวคิดของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน ความหมายทางเรขาคณิตของดิฟเฟอเรนเชียล อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

ปัญหาเกี่ยวกับความเร็วของจุดที่เคลื่อนที่

ให้เป็นกฎการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง จุดวัสดุ- ให้เราแสดงด้วยเส้นทางที่เดินทางตามเวลา และตามเส้นทางที่เดินทางตามเวลา จากนั้นเมื่อเวลาผ่านไปจุดนั้นจะเดินทางไปตามเส้นทางเท่ากับ: . อัตราส่วนนี้เรียกว่าความเร็วเฉลี่ยของจุดในช่วงเวลาตั้งแต่ถึง ยิ่งน้อยเช่น ยิ่งช่วงเวลาตั้งแต่ ถึง ถึง สั้นลง ความเร็วเฉลี่ยจะแสดงลักษณะการเคลื่อนที่ของจุด ณ ขณะนั้นก็จะยิ่งดีขึ้นเท่านั้น ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะนำแนวคิดเรื่องความเร็วเข้ามา ในขณะนี้โดยกำหนดให้เป็นขีดจำกัดของความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาตั้งแต่ถึงเมื่อ:

ปริมาณเรียกว่าความเร็วชั่วขณะของจุด ณ ขณะหนึ่ง

ปัญหาเกี่ยวกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่กำหนด

ปล่อยให้เส้นโค้งต่อเนื่องถูกกำหนดไว้บนระนาบโดยสมการ จำเป็นต้องวาดแทนเจนต์ที่ไม่ใช่แนวตั้งให้กับเส้นโค้งที่กำหนด ณ จุดหนึ่ง - เนื่องจากให้จุดแทนเจนต์มา เพื่อแก้ปัญหาจึงจำเป็นต้องค้นหาความชันของแทนเจนต์ จากเรขาคณิตเป็นที่ทราบกันว่า ที่ไหน คือมุมเอียงของแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน (ดูรูป) ผ่านจุดต่างๆ และ ลองวาดเส้นตัดมุม โดยที่มุมที่เกิดจากเส้นตัดกับทิศทางบวกของแกน จากรูปจะชัดเจนว่าที่ไหน ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดใดจุดหนึ่งสามารถหาได้จากคำจำกัดความต่อไปนี้

เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดหนึ่งคือตำแหน่งจำกัดของเส้นตัดมุมเมื่อจุดโน้มตัวไปยังจุด . มันเป็นไปตามนั้น .

คำจำกัดความของอนุพันธ์

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นในการแก้ปัญหาที่กล่าวถึงข้างต้นจะเหมือนกัน ให้เราชี้แจงสาระสำคัญเชิงวิเคราะห์ของการดำเนินการนี้โดยสรุปจากคำถามเฉพาะที่ก่อให้เกิดมัน

ปล่อยให้ฟังก์ชันถูกกำหนดในช่วงเวลาหนึ่ง ลองหาค่าจากช่วงนี้กัน มาเพิ่มส่วนเพิ่มกัน (บวกหรือลบ) ค่าอาร์กิวเมนต์ใหม่นี้สอดคล้องกับค่าฟังก์ชันใหม่ , ที่ไหน .

มาสร้างความสัมพันธ์กันเถอะ มันคือฟังก์ชันของ

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่ทำให้เกิดตัวแปรนั้น เมื่อในลักษณะที่กำหนดเอง:

ความคิดเห็น ถือว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งมีอยู่หากมีขีดจำกัดทางด้านขวาของสูตรและมีขอบเขตจำกัด และไม่ขึ้นอยู่กับว่าการเพิ่มขึ้นของตัวแปรมีแนวโน้มเป็น 0 อย่างไร (จากซ้ายหรือขวา) .

กระบวนการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเรียกว่าอนุพันธ์ของมัน

การค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันบางอย่างตามคำจำกัดความ

ก) อนุพันธ์ของค่าคงที่

อนุญาต ที่ไหน เป็นค่าคงที่เพราะ ค่าของฟังก์ชันนี้จะเหมือนกันสำหรับทุกคน ดังนั้นการเพิ่มขึ้นของมันจะเป็นศูนย์ ดังนั้น

.

ดังนั้นอนุพันธ์ของค่าคงที่จะเท่ากับศูนย์ นั่นคือ -

b) อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

มาสร้างส่วนเพิ่มของฟังก์ชันกันดีกว่า:

.

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ เราใช้คุณสมบัติของลิมิตผลคูณของฟังก์ชัน ลิมิตแรกที่น่าทึ่ง และความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ดังนั้น, .

ความสัมพันธ์ระหว่างความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งเรียกว่าหาอนุพันธ์ ณ จุดนั้นได้ ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ ณ ทุกจุดของช่วงเวลาหนึ่งเรียกว่าอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลานี้

ทฤษฎีบท.หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง ฟังก์ชันนั้นจะต่อเนื่องที่จุดนั้น

การพิสูจน์. ปล่อยให้อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นตามอำเภอใจ จากนั้นฟังก์ชันจะได้รับการเพิ่มขึ้น ให้เราเขียนความเท่าเทียมกันแล้วเลื่อนไปยังขีดจำกัดด้านซ้ายและขวาที่:

เนื่องจากสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง การเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในฟังก์ชัน ทฤษฎีบทจึงถือได้ว่าได้รับการพิสูจน์แล้ว

ความคิดเห็น คำสั่งสนทนาไม่ถือเป็นเช่น จากความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง โดยทั่วไปแล้ว การหาอนุพันธ์ ณ จุดนี้จะไม่เป็นไปตามนั้น ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องสำหรับ all แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดนั้น จริงหรือ:

ขีดจำกัดไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนั้น

ตารางอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นเบื้องต้น

ความคิดเห็น ให้เรานึกถึงคุณสมบัติของพลังและรากที่ใช้ในการแยกฟังก์ชัน:

ให้เรายกตัวอย่างการค้นหาอนุพันธ์

1) .

2)

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

อนุญาต - แล้วฟังก์ชันนี้จะเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของ x.

หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนั้น xและฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนั้น คุณแล้วมันก็หาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนั้นด้วย x, และ

.

1.

เราเดาแล้ว เพราะฉะนั้น

ด้วยทักษะที่เพียงพอมีตัวแปรระดับกลาง คุณอย่าเขียนเข้าไปเพียงจิตใจเท่านั้น

2.

ดิฟเฟอเรนเชียล

ลองวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดหนึ่งกัน เอ็ม.ที., แสดงถึงโดย เจมุมเอียงไปยังทิศทางบวกของแกน โอ้.เนื่องจาก แล้ว จากรูปสามเหลี่ยม ส.สมันเป็นไปตามนั้น

ให้เราแนะนำสัญกรณ์

.

สำนวนนี้เรียกว่า ส่วนต่างฟังก์ชั่น ดังนั้น

สังเกตว่านั่นคือ เราได้รับว่าส่วนต่างของตัวแปรอิสระเท่ากับส่วนที่เพิ่มขึ้น

ดังนั้น ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของมันและค่าส่วนต่าง (หรือส่วนเพิ่ม) ของตัวแปรอิสระ

จากสูตรสุดท้ายจึงตามมาว่าคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับอัตราส่วนของส่วนต่างของฟังก์ชันนี้ต่อส่วนต่างของอาร์กิวเมนต์

ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล ดี้ในทางเรขาคณิตแสดงถึงการเพิ่มขึ้นของพิกัดของแทนเจนต์ที่สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ D เอ็กซ์.

จากรูปจะเห็นได้ชัดเจนว่าสำหรับ D ที่มีขนาดเล็กเพียงพอ เอ็กซ์ในค่าสัมบูรณ์ เราสามารถหาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันประมาณเท่ากับค่าดิฟเฟอเรนเชียลได้ เช่น

.

พิจารณาฟังก์ชันที่ซับซ้อน โดยที่ และ สามารถหาอนุพันธ์ได้ด้วยความเคารพ คุณและ – โดย เอ็กซ์- ตามกฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน

ลองคูณความเท่าเทียมกันนี้ด้วย ดีเอ็กซ์:

เนื่องจาก (ตามคำจำกัดความของส่วนต่าง) แล้ว

ดังนั้นค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะมีรูปแบบเดียวกันหากเป็นตัวแปร คุณไม่ใช่อาร์กิวเมนต์ระดับกลาง แต่เป็นตัวแปรอิสระ

คุณสมบัติของส่วนต่างนี้เรียกว่า ค่าคงที่(ความไม่เปลี่ยนรูป) รูปร่างที่แตกต่าง.

ตัวอย่าง. -

กฎการหาอนุพันธ์ทั้งหมดสามารถเขียนขึ้นสำหรับส่วนต่างได้

อนุญาต – แยกแยะได้ ณ จุดหนึ่ง เอ็กซ์- แล้ว

มาพิสูจน์กฎข้อที่สองกัน

อนุพันธ์ ฟังก์ชันโดยนัย

ปล่อยให้สมการของแบบฟอร์ม การเชื่อมต่อตัวแปร และ , ได้รับ หากไม่สามารถแสดงอย่างชัดเจนผ่าน , (แก้ไขโดยสัมพันธ์กับ ) ฟังก์ชันดังกล่าวจะถูกเรียกใช้ ให้โดยปริยาย- ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าว คุณต้องแยกความแตกต่างทั้งสองด้านของสมการด้วยความเคารพ โดยพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันของ จากสมการใหม่ที่ได้ จะได้ว่า

ตัวอย่าง. -

เราแยกความแตกต่างทั้งสองด้านของสมการด้วยความเคารพ โดยจำไว้ว่ามีฟังก์ชันของ

การบรรยายครั้งที่ 4 อนุพันธ์และอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว

ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ในบางจุด x = x 0 แล้วมันจะต่อเนื่อง ณ จุดนี้

ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงไม่สามารถมีอนุพันธ์ที่จุดไม่ต่อเนื่องได้ ข้อสรุปตรงกันข้ามไม่ถูกต้องเช่น จากข้อเท็จจริงที่ว่า ณ จุดหนึ่ง x = x 0 ฟังก์ชัน ย = ฉ(x) มีความต่อเนื่องไม่ได้หมายความว่าจะหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน ย = |x- อย่างต่อเนื่องสำหรับทุกคน x (–< เอ็กซ์ < ), но в точке x= 0 ไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้ไม่มีเส้นสัมผัสกันของกราฟ มีแทนเจนต์ขวาและแทนเจนต์ซ้าย แต่มันไม่ตรงกัน

21 ค้นหากฎเกณฑ์ การผลิต จำนวนเงิน

กฎข้อที่ 1หากฟังก์ชัน y = f(x) และ y = g(x) มีอนุพันธ์ที่จุด x ผลรวมของฟังก์ชันเหล่านี้ก็มีอนุพันธ์ที่จุด x ด้วย และอนุพันธ์ของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์:
(ฉ(x) + 8(x))" =ฉ (x)+ (x)
ในทางปฏิบัติ กฎนี้มีการกำหนดไว้โดยย่อ: อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์
ตัวอย่างเช่น,
กฎข้อที่ 2ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) มีอนุพันธ์ที่จุด x แล้วฟังก์ชัน y = kf(x) ก็มีอนุพันธ์ที่จุด x ด้วย และ:

ในทางปฏิบัติ กฎนี้มีการกำหนดไว้โดยย่อ: ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น,

กฎข้อที่ 3หากฟังก์ชัน y=f(x) และ y =g(x) มีอนุพันธ์ที่จุด x แล้วผลคูณของฟังก์ชันเหล่านี้ก็มีอนุพันธ์ที่จุด x ด้วย และ:

ในทางปฏิบัติ กฎนี้มีการกำหนดไว้ดังนี้: อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของทั้งสองพจน์ เทอมแรกเป็นผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกและฟังก์ชันที่สอง และเทอมที่สองเป็นผลคูณของฟังก์ชันแรกและอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง
ตัวอย่างเช่น:
กฎข้อที่ 4ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) และ y=g(x) มีอนุพันธ์ ณ จุดนั้น ผลหารจะมีอนุพันธ์ที่จุด x และ:

ตารางอนุพันธ์เชิงซ้อน

22 ส่วนต่าง ใช้งานได้ ตรงจุด

การทำงาน ย=ฉ(x) กล่าวได้ว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนั้น x 0 ถ้าส่วนเพิ่มคือ Δ ย(x 0,Δ x) สามารถแสดงเป็น

Δ ย(x 0,Δ x)=กΔ x+โอ(Δ x).

ส่วนเชิงเส้นหลัก กΔ xเพิ่มขึ้น ∆ ยเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันนี้ ณ จุดนั้น x 0 ซึ่งสอดคล้องกับส่วนเพิ่ม Δ xและแสดงด้วยสัญลักษณ์ ดี้(x 0,Δ x).

เพื่อที่จะทำหน้าที่ ย=ฉ(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนั้น x 0 จำเป็นและเพียงพอสำหรับอนุพันธ์ที่มีอยู่ ฉ′( x 0) และความเท่าเทียมกันเป็นจริง ก=ฉ′( x 0).

การแสดงออกของส่วนต่างมีรูปแบบ

ดี้(x 0,ดีเอ็กซ์)=ฉ′( x 0)ดีเอ็กซ์,

ที่ไหน ดีเอ็กซ์=Δ x.

23 ผลิตภัณฑ์ ซับซ้อน การทำงาน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุแบบพาราเมตริก

อนุญาต ย – ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน x, เช่น. ย = ฉ(คุณ), คุณ = ก(x), หรือ

ถ้า ก(x) และ ฉ(คุณ) – ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตามลำดับที่จุด xและ คุณ = ก(x), จากนั้นฟังก์ชันที่ซับซ้อนก็สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนั้นเช่นกัน x และหาได้จากสูตร

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริก

24 ผลิตภัณฑ์และความแตกต่าง ลำดับสูงสุด

ทีนี้ ให้นิยามอนุพันธ์ของอันดับ th ไว้ในย่านใกล้เคียงของจุดและหาอนุพันธ์ได้ แล้ว

หากฟังก์ชันมีอนุพันธ์ย่อยเทียบกับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งในโดเมน D บางโดเมน อนุพันธ์ดังกล่าวซึ่งเป็นฟังก์ชันของก็สามารถมีอนุพันธ์บางส่วนเทียบกับตัวแปรเดียวกันหรือตัวแปรอื่นใด ณ จุดใดจุดหนึ่งได้ สำหรับฟังก์ชันดั้งเดิม อนุพันธ์เหล่านี้จะเป็นอนุพันธ์บางส่วนอันดับสอง (หรืออนุพันธ์บางส่วนอันดับสอง)

อนุพันธ์บางส่วนของลำดับที่สองหรือสูงกว่าที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรที่แตกต่างกันเรียกว่าอนุพันธ์บางส่วนแบบผสม ตัวอย่างเช่น,

สั่งซื้อส่วนต่าง n, ที่ไหน n > 1ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียล ณ จุดนี้ของดิฟเฟอเรนเชียลลำดับ (หมายเลข - 1)นั่นคือ

สำหรับฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรตัวหนึ่ง ค่าดิฟเฟอเรนเชียลที่สองและสามจะมีลักษณะดังนี้:

จากที่นี่เราสามารถอนุมานได้ มุมมองทั่วไปส่วนต่าง nลำดับที่จากฟังก์ชัน:

25 ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ โรลล์ แลงรังจ์

โวลต์ ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์:ปล่อยให้ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้และถึงค่าสูงสุดและ ค่าต่ำสุด (มและ ม) ในบางส่วนของ . หากมีอนุพันธ์ใน ก็จำเป็นต้องเท่ากับ 0

หลักฐาน: มีอยู่ มีสองกรณีที่เป็นไปได้:

1) , => , => .

2) , => , => .

จาก 1) และ 2) ตามนั้น

โวลต์ ทฤษฎีบทของ Rolle (เกี่ยวกับรากของอนุพันธ์):ปล่อยให้ฟังก์ชันต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ และรับค่าเดียวกันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์: . แล้วมีอย่างน้อยหนึ่งจุดจาก , อนุพันธ์ที่ .

v พิสูจน์: เข้าถึงได้อย่างต่อเนื่อง มและ ม- เป็นไปได้สองกรณี:

2) มูลค่าสูงสุดบรรลุผลได้ภายในช่วงเวลาตามทฤษฎีบทของแฟร์มาต์

โวลต์ ทฤษฎีบทของแลงราจ (เกี่ยวกับการเพิ่มขึ้นครั้งสุดท้าย):ปล่อยให้ฟังก์ชันต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้บน จากนั้นจะมีอย่างน้อยหนึ่งรายการ ซึ่งมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

หลักฐาน: เรามาแนะนำฟังก์ชันกัน (ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้บน )

มีฟังก์ชันที่สอดคล้องกับทฤษฎีบทของโรล ซึ่ง: , , , .

· ฟังก์ชันนี้เรียกว่า เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดถ้า

· ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ลดลงถ้า

· ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ลดลงอย่างเคร่งครัดถ้า

คำนิยาม: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดที่อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้น ณ จุดนั้นต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่สอดคล้องกันมีแนวโน้มเมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์:

นั่นก็คือหากกำหนดไว้ในนั้นแล้ว

ทฤษฎีบท 1:

กราฟของฟังก์ชันมีค่าแทนเจนต์ที่ไม่ใช่แนวตั้ง ก็ต่อเมื่อมีค่าจำกัดของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น ณ จุดที่กำหนด

การพิสูจน์:

ให้มีค่า f'()-finite แล้ว

ให้มีแทนเจนต์ที่ไม่ใช่แนวตั้ง => มีอันจำกัด

เส้นตัดมีแนวโน้มที่จะสัมผัสกัน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตั๋ว 2 ความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์

ฟังก์ชัน f (x) ซึ่งนิยามไว้ในย่านใกล้เคียงของจุด a เรียกว่าฟังก์ชันต่อเนื่อง ณ จุดนี้ ถ้า

ทฤษฎีบท: (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของอนุพันธ์)

ถ้าฟังก์ชันมีขอบเขตจำกัดที่จุดหนึ่ง ฟังก์ชันนั้นจะไม่ต่อเนื่องที่จุดนั้น

การพิสูจน์:

ดังนั้นจึงมีความต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ความคิดเห็น : ประโยคสนทนาไม่เป็นความจริง หากฟังก์ชันต่อเนื่อง ณ จุดใดจุดหนึ่ง แสดงว่าฟังก์ชันนั้นมีอนุพันธ์ ณ จุดนั้น

คำแถลง : หากฟังก์ชันมีอนุพันธ์ด้านซ้ายและขวา ณ จุดหนึ่ง ฟังก์ชันนั้นจะต่อเนื่องกันทั้งด้านซ้ายและขวา

ตั๋ว 3

อนุพันธ์ของผลรวม ผลิตภัณฑ์ ผลหาร

อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

นิยามของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ จำเป็นและ สภาพที่เพียงพอความแตกต่าง

ปล่อยให้ฟังก์ชันมีอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง (จำกัด): .

จากนั้น สำหรับค่าที่มีขนาดเล็กเพียงพอ เราสามารถเขียนมันเป็นผลรวมและฟังก์ชันบางอย่าง ซึ่งเราแสดงด้วย ซึ่งมีแนวโน้มเป็นศูนย์ร่วมกับ:,

และการเพิ่มขึ้น ณ จุดหนึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้:

หรือ (1) ,

ท้ายที่สุดแล้ว นิพจน์นี้เข้าใจว่าเป็นฟังก์ชันที่อัตราส่วนของมันมีแนวโน้มเป็นศูนย์ร่วมกับ

คำอธิบาย:

คำนิยาม .

กล่าวกันว่าฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่งหากการเพิ่มขึ้นสามารถแสดงเป็น: (2),

โดยที่ A ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ แต่โดยทั่วไปขึ้นอยู่กับ

ทฤษฎีบท 1:

เพื่อให้ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง จำเป็นและเพียงพอที่จะมีอนุพันธ์จำกัด ณ จุดนั้น

การพิสูจน์:

ความเพียงพอของสภาพ ได้รับการพิสูจน์แล้วข้างต้น: จากการมีอยู่ของอนุพันธ์ที่มีขอบเขตจำกัด มันเป็นไปตามความเป็นไปได้ของการเป็นตัวแทนในรูปแบบ (1) ซึ่งเราสามารถใส่ได้

สภาพความจำเป็น - ปล่อยให้ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง จากนั้นจาก (2) สมมติว่าเราได้

ขีดจำกัดของด้านขวาที่มีอยู่และเท่ากับ A:

ซึ่งหมายความว่ามีอนุพันธ์ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตั๋ว 6 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความหมายทางเรขาคณิต

ถ้าฟังก์ชั่น ฉมีอนุพันธ์ ฟ(x โอ ) ตรงจุด x โอแล้วมีขีดจำกัดที่ Δ ฉ=ฉ(x โอ + Δ x)-ฉ(x โอ ) ,หรือที่ไหน A=f΄(x โอ ) .

คำนิยาม:

การทำงาน ฉแยกแยะได้ตรงจุด x โอหากส่วนเพิ่มสามารถแสดงเป็น:

ที่ไหน กΔ x=df. (*)

ส่วนต่างเป็นส่วนเชิงเส้นหลักของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน

หากมีอนุพันธ์จำกัด ฟ(x โอ ) ตรงจุด x โอจากนั้นฟังก์ชัน ฉ(x)สามารถหาความแตกต่างได้ ณ จุดนี้

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้าเป็นฟังก์ชัน ฉแยกแยะได้ตรงจุด x โอ, เช่น. การเพิ่มขึ้นสามารถแสดงได้ในรูปแบบ (*) จากนั้นจะมีอนุพันธ์ ณ จุดนั้น x โอเท่ากับ ก:

ความหมายทางเรขาคณิตของส่วนต่าง:

กและ บี– จุดกราฟ ฉ(x)ซึ่งสอดคล้องกับค่าต่างๆ x โอและ (x โอ + Δ เอ็กซ์)ตัวแปรอิสระ ลำดับของจุด กและ บีเท่ากันตามลำดับ ฉ(x โอ ) และ ฉ(x โอ + Δ เอ็กซ์)- การเพิ่มฟังก์ชัน Δ ฉ=ฉ(x โอ + Δ x)-ฉ(x โอ ) ตรงจุด x โอเท่ากับความยาวของส่วน บีดีและสามารถแสดงเป็นผลรวม Δ ได้ f=BD=ดีซี+ซีบี, ที่ไหน DC=tgαΔ x=f΄(x โอ ) Δ xและ α คือมุมระหว่างแทนเจนต์ที่จุด กให้กับกราฟและทิศทางบวกของแกน x- จากนี้ก็ชัดเจนว่า ดี.ซีมีฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล ฉตรงจุด x โอ :

DC=df=f΄(x โอ ) Δ x.

ขณะเดียวกันก็มีส่วนแบ่งของสมาชิกคนที่สอง ซี.บี.เพิ่มขึ้น ∆ ฉคำนึงถึงมูลค่า ค่านี้ที่มีขนาดใหญ่ Δ xอาจจะใหญ่กว่าเทอมหลักด้วยซ้ำ แต่มันก็เป็นลำดับที่น้อยกว่า Δ เพียงเล็กน้อย xเมื่อ ∆ x → 0.

ทฤษฎีบท:ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ในบางจุด x = x 0 แล้วมันจะต่อเนื่อง ณ จุดนี้

ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงไม่สามารถมีอนุพันธ์ที่จุดไม่ต่อเนื่องได้ ข้อสรุปตรงกันข้ามไม่ถูกต้องเช่น จากข้อเท็จจริงที่ว่า ณ จุดหนึ่ง x = x 0 ฟังก์ชัน ย = ฉ(x) มีความต่อเนื่องไม่ได้หมายความว่าจะหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน ย = |x- อย่างต่อเนื่องสำหรับทุกคน x (–Ґ< เอ็กซ์ < Ґ), но в точке x= 0 ไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้ไม่มีเส้นสัมผัสกันของกราฟ มีแทนเจนต์ขวาและแทนเจนต์ซ้าย แต่มันไม่ตรงกัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ทฤษฎีบท:ปล่อยให้ฟังก์ชันที่กำหนดและต่อเนื่องในย่านใกล้เคียง มีอนุพันธ์ ณ จุดนั้น ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดและต่อเนื่องกันในย่านใกล้เคียง โดยที่ และมีอนุพันธ์ ณ จุดนั้น แล้วฟังก์ชันเชิงซ้อนจะมีอนุพันธ์ที่จุด และ

.

ที่ไหน และ - b.m.f. แล้ว

และ , ที่ไหน บีเอ็มเอฟ ณ จุด

28. อนุพันธ์ของผลรวม ผลิตภัณฑ์ และผลหารของสองฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันแสดงโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้

อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง)ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้:

อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตจำกัดของฟังก์ชันอนุพันธ์จะเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของเงื่อนไขที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น,

อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

อนุญาต คุณ(x) และ คุณ(x) - ฟังก์ชั่นที่หาอนุพันธ์ได้ แล้วผลคูณของฟังก์ชัน คุณ(x)v(x) ยังหาความแตกต่างได้และ

อนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชันไม่เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันผลหาร

อนุญาต คุณ(x) และ คุณ(x) - ฟังก์ชั่นที่หาอนุพันธ์ได้ แล้วถ้า โวลต์(x) ≠ 0 จากนั้นอนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชันเหล่านี้จะถูกคำนวณโดยสูตร

29. อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริก

ทฤษฎีบท (อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน)

ปล่อยให้มันเป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องและน่าเบื่อ (เพิ่มขึ้นหรือลดลง) บนเซกเมนต์และมีอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง จากนั้นฟังก์ชันผกผันจะมีอนุพันธ์ที่จุด และ

.

หมอ.

= .

ทฤษฎีบท. (อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุแบบพาราเมตริก)ให้ฟังก์ชัน x = φ(เสื้อ) มีฟังก์ชันผกผัน เสื้อ = Ф(x) ถ้าฟังก์ชั่น x=φ(เสื้อ) ,y = ψ(t) แตกต่างและ φ"(ที) ≠ 0 , แล้ว

การพิสูจน์

ตั้งแต่ฟังก์ชั่น x = φ(เสื้อ) มีฟังก์ชันผกผัน จากนั้น y อย่างเป็นทางการก็สามารถเขียนผ่านได้ x : y = ψ(Ф (x)) - ตั้งแต่ฟังก์ชั่น x = φ(เสื้อ) สามารถหาอนุพันธ์ได้ ตามนั้น ทฤษฎีบท 5, การทำงาน เสื้อ = Ф(x) ก็สามารถหาความแตกต่างได้เช่นกัน

เราได้รับกฎการแยกความแตกต่าง ชต

สามารถหาสูตรที่คล้ายกันสำหรับอนุพันธ์อันดับสองได้ ใช่""x :

ในที่สุดเราก็ได้

30. อนุพันธ์ของคำสั่งที่สูงขึ้น สูตรของไลบ์นิซ

ถ้า f ถูกกำหนดไว้บนช่วง (a,b)®R ค่า dif-ma ที่จุด xО(a,b) ฟังก์ชันใหม่ f จะปรากฏบน (a,b) ’ :(a,b)®R ซึ่งค่า ณ จุด x=f ’ (x) ฟังก์ชัน ฉ ’ ตัวมันเองอาจมีอนุพันธ์ (f ’ )’ : บน (a,b)®R เรียกว่าอนุพันธ์อันดับสองของ f เทียบกับฟังก์ชันดั้งเดิม และเขียนแทนด้วย f ” (x), d 2 f(x)/dx 2 หรือ f ” xx(x), ฉ ” x2(x); โอดีเอ- ถ้าอนุพันธ์ของลำดับ n-1 จาก f ถูกกำหนดไว้แล้ว อนุพันธ์ของลำดับ n จะถูกกำหนดโดยสูตร f (n) (x)=(f n -1))'(x ). สัญกรณ์ที่ใช้คือ f (n) (x)=d n f(x)/dx n – คณะไลบ์นิซ, ฉ (0) (x):=ฉ(x).

31. แนวคิดเรื่องความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและดิฟเฟอเรนเชียลแรก เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความแตกต่าง

1.ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล y = f(x) เป็นเส้นตรงหลักสัมพันธ์กับส่วน D x ของการเพิ่มขึ้น D y เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์และส่วนเพิ่มของตัวแปรอิสระ

ดี = ฉ"(x)ง x.

โปรดทราบว่าค่าดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรอิสระจะเท่ากับการเพิ่มขึ้นของตัวแปรนี้ dx = D x ดังนั้นสูตรสำหรับส่วนต่างจึงมักจะเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:

ดี = ฉ"(x)ดีเอ็กซ์

2. ความแตกต่างฟังก์ชันเรียกว่าหาอนุพันธ์ที่จุด x ถ้าส่วนเพิ่ม ∆y ณ จุดนี้สามารถแสดงเป็น: ∆y=A∆x + α(∆x) ∆x โดยที่ A ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ ∆x, α และ α( ∆x ) - ไม่มีที่สิ้นสุด ฟังก์ชั่นขนาดเล็กสัมพันธ์กับ ∆x ที่ ∆x→0

32. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์และอนุพันธ์ แทนเจนต์และเส้นปกติของกราฟ

ให้ f นิยามบน (a,b) และต่อเนื่องที่จุด x 0 О(a,b) ให้ y 0 =f(x 0), M 0 (x 0 ,y 0); x 0 +DxО(a,b), Dy=f(x 0 +Dx)-f(x 0), M(x 0 +Dx, y 0 +Dy) ม 0 ม: y=k(x-x 0)+y 0 (1),

1 ) ถ้า $ con ลิมิต lim D x ® 0 k(Dx)=k 0 จากนั้นจะเรียกเส้น y=k 0 (x-x 0)+y 0 (2)

(เฉียง) แทนเจนต์กับกราฟของ f ที่จุด (x 0 ,y 0);

2 ) ถ้า $ เป็นขีดจำกัดอนันต์

lim D x ® 0 k(Dx)=¥ จากนั้นเส้นตรง x=x 0 จะเป็นเส้นสัมผัสแนวตั้งของกราฟที่จุด (x 0,y 0)

ที่ x=x 0 (2) – ตำแหน่งจำกัด (1) เช่น ตำแหน่งขีด จำกัด ของเส้นตัดขวาง M 0 M

Dx®0 คือแทนเจนต์ y=f(x) ที่จุด x 0 เพราะ ลิม D x ® 0 k(Dx)=ลิม D x ® 0 Dy/Dx=f ’ (x 0) แล้วก็สมการ

แทนเจนต์มีรูปแบบ y=f ’ (x 0)(x-x 0)+ y 0 โดยที่ y 0 =f(x 0) (3) จาก 3 เราจะได้ว่าอนุพันธ์ ณ จุด x 0 =tga, a คือมุมระหว่างแทนเจนต์กับแกน Ox เทอมแรกคือ f ’ (x 0)(x-x 0)=ฉ ’ (x 0)Dx, Dx=x-x 0 คือค่าดิฟเฟอเรนเชียล dy ที่จุด x 0 Þ y-y 0 =dy เช่น ส่วนต่างของฟังก์ชันจะเท่ากับการเพิ่มขึ้นของพิกัดของแทนเจนต์ที่จุดที่สอดคล้องกันของกราฟ

3 )ถ้า lim D x ® 0 Dy/Dx=¥ แล้วแทนเจนต์จะเป็นเส้นตรง x=x 0 และ ณ จุด x 0 นั้นไม่มีที่สิ้นสุด อนุพันธ์อาจมีหรือไม่มีก็ได้

33. ความคงที่ของรูปแบบของดิฟเฟอเรนเชียลแรก ความแตกต่างของคำสั่งที่สูงกว่า การไม่เปลี่ยนแปลงรูปแบบในกรณีทั่วไป.

ส่วนต่างลำดับที่สูงขึ้น - ส่วนต่างจากส่วนต่างลำดับแรก dy=f’(x)dx ของฟังก์ชัน y=f(x) (พิจารณาเฉพาะเป็น ตัวแปร f-i x คือ การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ x (dx) จะถือว่าคงที่ โดยมีเงื่อนไขว่าการเพิ่มขึ้นซ้ำของตัวแปร x เกิดขึ้นพร้อมกับค่าเริ่มต้น) เรียกว่าส่วนต่างที่สอง d 2 f(x):d(df(x))= d(f'(x)dx )=d(f'(x))dx=f”(x)dxdx=f”(x)dx 2 ดังนั้น f”(x)=d 2 f(x)/dx 2 ; โอดีเอ- ดิฟเฟอเรนเชียลของลำดับที่ n=1,2... เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลจากดิฟเฟอเรนเชียลของลำดับ n-1 โดยมีเงื่อนไขว่าการเพิ่มขั้นที่เท่ากันของ dx โดยไม่ขึ้นกับ x จะถูกนำมาใช้ในดิฟเฟอเรนเชียล d n f(x)=d(d n -1 f(x)) ไม่ยากเลยที่จะเห็นว่า d n f(x)=f (n) (x)dx n (dx n =(dx) n) Þ f (n) (x )=d n f(x)/dx n

การไม่คงที่ของรูปแบบของส่วนต่างของลำดับที่สูงกว่าครั้งแรก

พิจารณากรณีที่ x ไม่ใช่ตัวแปรอิสระ แต่เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอื่น

ตอนนี้อยู่ทางด้านขวาของสูตร (3) จากตัวแปร คุณไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันเท่านั้น ฉ(x) แต่ยังรวมถึงส่วนต่างด้วย ดีเอ็กซ์- เพราะฉะนั้น

เมื่อเปรียบเทียบสูตร (2) และ (4) เรามั่นใจว่าผลต่างของลำดับที่สอง (และลำดับที่สูงกว่า) ไม่มีรูปแบบคงที่

34. เอ็กซ์ตรีมของฟังก์ชัน ข้อกำหนดเบื้องต้นสุดขั้ว (ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์)

จุดสุดขีด

สุดขีด- สูงสุดหรือ ขั้นต่ำค่าของฟังก์ชันบนเซตที่กำหนด เรียกว่าถึงจุดสุดขั้วแล้ว จุดสุดขั้ว- ดังนั้น หากถึงจุดต่ำสุด ก็จะเรียกว่าจุดสุดขั้ว จุดต่ำสุดและถ้าค่าสูงสุดคือ จุดสูงสุด- ใน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ยังเน้นย้ำถึงแนวคิด สุดขั้วท้องถิ่น (ขั้นต่ำหรือสูงสุดตามลำดับ).

จุด x 0 เรียกว่าจุดค่าสูงสุด (ต่ำสุด) ในพื้นที่ที่เข้มงวดของฟังก์ชัน ฉ (x) ถ้าสำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์จากจุดเล็ก ๆ δ - ย่านใกล้เคียงของจุด เอ็กซ์ 0 ความไม่เท่าเทียมกันคงอยู่

ฉ (x) < ฉ (x 0) (ฉ (x) > ฉ (x 0))

ที่ เอ็กซ์ ≠ x 0 .
ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดในพื้นที่จะรวมกันเป็นชื่อสามัญว่า extremum จากคำจำกัดความเป็นไปตามที่แนวคิดเรื่องสุดโต่งเป็นของท้องถิ่นในแง่ที่ว่าความไม่เท่าเทียมกัน ฉ (x) < ฉ (x 0) (ฉ (x) > ฉ (x 0)) อาจไม่ถือเป็นค่าทั้งหมด เอ็กซ์ในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน แต่ต้องทำให้สำเร็จเฉพาะบริเวณใกล้เคียงจุดใดจุดหนึ่งเท่านั้น x 0 .

ฟังก์ชัน y=f(x) เรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง x 0 หากมันมีอนุพันธ์ ณ จุดนี้ นั่นคือ หากขีดจำกัดของความสัมพันธ์มีอยู่และมีจำกัด

หากฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ในแต่ละจุดของเซ็กเมนต์ใดเซกเมนต์หนึ่ง [a; b] หรือช่วง (a; b) จากนั้นเราบอกว่ามันสามารถหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลา [a; b] หรือตามลำดับในช่วงเวลา (a; b)

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ถูกต้อง โดยสร้างการเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันหาอนุพันธ์และฟังก์ชันต่อเนื่อง

ทฤษฎีบท. หากฟังก์ชัน y=f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง x 0 แสดงว่าฟังก์ชันดังกล่าวมีความต่อเนื่องที่จุดนี้

ดังนั้น จากความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความต่อเนื่องของฟังก์ชันจะตามมา

การพิสูจน์- ถ้าอย่างนั้น

โดยที่ b คือปริมาณที่น้อยมาก เช่น ปริมาณมีแนวโน้มเป็นศูนย์เมื่อ Dx>0 แต่แล้ว

Dy=f "(x 0) Dx+bDx=> Dy>0 ที่ Dx>0 เช่น f(x) - f(x 0)>0 ที่ x>x 0,

และนี่หมายความว่าฟังก์ชัน f(x) มีความต่อเนื่องที่จุด x 0 Q.E.D.

ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงไม่สามารถมีอนุพันธ์ที่จุดไม่ต่อเนื่องได้ ข้อความสนทนาไม่เป็นความจริง: มี ฟังก์ชั่นต่อเนื่องซึ่งในบางจุดหาอนุพันธ์ไม่ได้ (คือ ไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดเหล่านี้)

ลองดูจุด a, b, c ในรูป

ณ จุด a สำหรับ Dx>0 อัตราส่วนจะไม่จำกัด (เนื่องจากขีดจำกัดด้านเดียวจะแตกต่างกันสำหรับ Dx>0-0 และ Dx>0+0) ที่จุด A ของกราฟไม่มีเส้นสัมผัสกันเฉพาะ แต่มีเส้นสัมผัสด้านเดียวที่แตกต่างกันสองเส้นด้วย ค่าสัมประสิทธิ์มุมถึง 1 และถึง 2 จุดประเภทนี้เรียกว่าจุดมุม

ที่จุด b สำหรับ Dx>0 อัตราส่วนจะมีเครื่องหมายคงที่และมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ ฟังก์ชันนี้มีอนุพันธ์ไม่สิ้นสุด ณ จุดนี้กราฟจะมีเส้นสัมผัสแนวตั้ง ประเภทจุด - "จุดเปลี่ยน" ที่มีแทนเจนต์แนวตั้ง

ณ จุด c อนุพันธ์ด้านเดียวจะมีเครื่องหมายต่างๆ กันในปริมาณมหาศาล ณ จุดนี้ กราฟมีเส้นสัมผัสแนวตั้งสองเส้นที่ผสานกัน ประเภท - "จุดกลับ" ที่มีเส้นสัมผัสแนวตั้ง - กรณีพิเศษจุดมุม

1. พิจารณาฟังก์ชัน y=|x| ฟังก์ชันนี้มีความต่อเนื่อง ณ จุดนั้น

ลองแสดงว่ามันไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้

f(0+Dx) = f(Dx) = |Dx| ดังนั้น Дy = f(Дx) - f(0) = |Дx|

แต่แล้วที่ Dx< 0 (т.е. при Дx стремящемся к 0 слева)

และเมื่อ Dx > 0

ดังนั้นอัตราส่วนของ Dx> 0 ทางด้านขวาและด้านซ้ายจึงมีขีดจำกัดที่แตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าอัตราส่วนนั้นไม่มีขีดจำกัด กล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=|x| ไม่มีอยู่ที่จุด x= 0 ในเชิงเรขาคณิต หมายความว่า ณ จุด x = 0 “เส้นโค้ง” นี้ไม่มีแทนเจนต์เฉพาะ (ณ จุดนี้มีสองจุด)

2. ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมด ลองดูว่าฟังก์ชันนี้มีอนุพันธ์ที่ x= 0 หรือไม่

ดังนั้น ฟังก์ชันที่กำลังพิจารณาจึงไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x= 0 ค่าแทนเจนต์ของเส้นโค้ง ณ จุดนี้ทำให้เกิดมุม p/2 กับแกนแอบซิสซา กล่าวคือ ตรงกับแกนออย