นับไม่ใช่จำนวนเต็ม ตัวคูณร่วมน้อยและตัวหารร่วมมาก. เกณฑ์การหารและวิธีการจัดกลุ่ม (2020) จำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบ

ในบทความนี้ เราจะอธิบายชุดของจำนวนเต็ม โดยพิจารณาว่าจำนวนเต็มใดเรียกว่าบวกและจำนวนใดเป็นลบ นอกจากนี้เรายังจะแสดงให้เห็นว่ามีการใช้จำนวนเต็มเพื่ออธิบายการเปลี่ยนแปลงในปริมาณที่แน่นอนอย่างไร เริ่มจากคำจำกัดความและตัวอย่างของจำนวนเต็มกันก่อน

จำนวนเต็ม. คำจำกัดความตัวอย่าง

ก่อนอื่น มาจำเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติ ℕ กันก่อน ชื่อนี้บ่งบอกว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขที่ธรรมชาติใช้ในการนับมาตั้งแต่สมัยโบราณ เพื่อให้ครอบคลุมแนวคิดเรื่องจำนวนเต็ม เราจำเป็นต้องขยายคำจำกัดความของจำนวนธรรมชาติ

คำจำกัดความ 1. จำนวนเต็ม

จำนวนเต็มคือจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม และเลขศูนย์

เซตของจำนวนเต็มแสดงด้วยตัวอักษร ℤ

เซตของจำนวนธรรมชาติ ℕ เป็นสับเซตของจำนวนเต็ม ℤ ใดๆ จำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนเต็ม แต่ไม่ใช่ทุกจำนวนเต็มจะเป็นจำนวนธรรมชาติ

จากคำจำกัดความพบว่าตัวเลขใดๆ 1, 2, 3 เป็นจำนวนเต็ม - , หมายเลข 0 เช่นเดียวกับตัวเลข - 1, - 2, - 3, . -

เราจะยกตัวอย่างตามนี้ ตัวเลข 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 เป็นจำนวนเต็ม

ให้ลากเส้นพิกัดในแนวนอนแล้วหันไปทางขวา ลองมาดูกันเพื่อให้เห็นภาพตำแหน่งของจำนวนเต็มบนเส้นตรง

จุดกำเนิดบนเส้นพิกัดตรงกับเลข 0 และจุดที่อยู่ทั้งสองข้างของศูนย์ตรงกับจำนวนเต็มบวกและลบ แต่ละจุดสอดคล้องกับจำนวนเต็มตัวเดียว

คุณสามารถไปยังจุดใดๆ บนเส้นที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มได้โดยแยกส่วนของหน่วยจำนวนหนึ่งออกจากจุดเริ่มต้น

จำนวนเต็มบวกและลบ

ในบรรดาจำนวนเต็มทั้งหมด มีเหตุผลที่จะแยกแยะจำนวนเต็มบวกและลบ ให้เราให้คำจำกัดความของพวกเขา

คำจำกัดความ 2: จำนวนเต็มบวก

จำนวนเต็มบวกคือจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายบวก

ตัวอย่างเช่น เลข 7 เป็นจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายบวก ซึ่งก็คือจำนวนเต็มบวก บนเส้นพิกัด ตัวเลขนี้อยู่ทางด้านขวาของจุดอ้างอิง ซึ่งถือเป็นเลข 0 ตัวอย่างอื่นๆ ของจำนวนเต็มบวก: 12, 502, 42, 33, 100500

คำจำกัดความ 3: จำนวนเต็มลบ

จำนวนเต็มลบคือจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายลบ

ตัวอย่างของจำนวนเต็มลบ: - 528, - 2568, - 1

เลข 0 คั่นระหว่างจำนวนเต็มบวกและลบ และตัวมันเองไม่เป็นทั้งบวกและลบ

จำนวนใดๆ ที่ตรงข้ามกับจำนวนเต็มบวก ตามคำจำกัดความแล้ว ก็คือจำนวนเต็มลบ ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน ค่าผกผันของจำนวนเต็มลบใดๆ จะเป็นจำนวนเต็มบวก

เป็นไปได้ที่จะให้คำจำกัดความของจำนวนเต็มลบและจำนวนบวกตามสูตรอื่นโดยใช้การเปรียบเทียบกับศูนย์

คำจำกัดความ 4. จำนวนเต็มบวก

จำนวนเต็มบวกคือจำนวนเต็มที่มากกว่าศูนย์

คำจำกัดความ 5: จำนวนเต็มลบ

จำนวนเต็มลบคือจำนวนเต็มที่น้อยกว่าศูนย์

ดังนั้น จำนวนบวกจึงอยู่ทางด้านขวาของจุดกำเนิดบนเส้นพิกัด และจำนวนเต็มลบจะอยู่ทางด้านซ้ายของศูนย์

เราบอกไปแล้วว่าจำนวนธรรมชาติเป็นสับเซตของจำนวนเต็ม มาชี้แจงประเด็นนี้กัน เซตของจำนวนธรรมชาติประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก ในทางกลับกัน เซตของจำนวนเต็มลบคือเซตของตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ

สำคัญ!

จำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถเรียกว่าจำนวนเต็มได้ แต่จำนวนเต็มใดๆ ไม่สามารถเรียกว่าจำนวนธรรมชาติได้ เมื่อตอบคำถามว่าจำนวนลบเป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่ เราต้องกล้าตอบ ไม่ใช่ ไม่ใช่

จำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวกและไม่เป็นลบ

เรามาให้คำจำกัดความกัน

คำจำกัดความ 6. จำนวนเต็มไม่เป็นลบ

จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบคือจำนวนเต็มบวกและเป็นเลขศูนย์

คำจำกัดความ 7. จำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวก

จำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวกคือจำนวนเต็มลบและเป็นเลขศูนย์

อย่างที่คุณเห็น เลขศูนย์นั้นไม่ใช่ทั้งบวกและลบ

ตัวอย่างของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ: 52, 128, 0

ตัวอย่างของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวก: - 52, - 128, 0

จำนวนที่ไม่เป็นลบคือจำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ ดังนั้น จำนวนเต็มที่ไม่ใช่บวกจึงเป็นตัวเลขที่น้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์

คำว่า "จำนวนที่ไม่เป็นบวก" และ "จำนวนที่ไม่เป็นลบ" ใช้เพื่อความกระชับ ตัวอย่างเช่น แทนที่จะบอกว่าตัวเลข a เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ คุณสามารถพูดได้ว่า a เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

การใช้จำนวนเต็มเพื่ออธิบายการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ

จำนวนเต็มใช้ทำอะไร? ประการแรกด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ทำให้สะดวกในการอธิบายและกำหนดการเปลี่ยนแปลงปริมาณของวัตถุใด ๆ ลองยกตัวอย่าง

ปล่อยให้เพลาข้อเหวี่ยงจำนวนหนึ่งถูกเก็บไว้ในคลังสินค้า หากนำเพลาข้อเหวี่ยงเพิ่มอีก 500 อันไปที่คลังสินค้า จำนวนของมันจะเพิ่มขึ้น หมายเลข 500 แสดงถึงการเปลี่ยนแปลง (เพิ่มขึ้น) ในจำนวนชิ้นส่วนอย่างแม่นยำ หากนำชิ้นส่วน 200 ชิ้นออกจากคลังสินค้า หมายเลขนี้จะแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงจำนวนเพลาข้อเหวี่ยงด้วย คราวนี้ลง..

หากไม่มีสิ่งใดถูกนำออกจากคลังสินค้าและไม่มีการส่งมอบใดๆ หมายเลข 0 จะระบุว่าจำนวนชิ้นส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ความสะดวกที่ชัดเจนของการใช้จำนวนเต็ม ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ คือ เครื่องหมายระบุทิศทางการเปลี่ยนแปลงของค่าอย่างชัดเจน (เพิ่มหรือลด)

การลดลงของอุณหภูมิ 30 องศาสามารถกำหนดได้ด้วยจำนวนเต็มลบ - 30 และการเพิ่มขึ้น 2 องศา - ด้วยจำนวนเต็มบวก 2

ให้เรายกตัวอย่างอื่นโดยใช้จำนวนเต็ม คราวนี้ลองจินตนาการว่าเราต้องมอบเหรียญ 5 เหรียญให้ใครบางคน จากนั้นเราสามารถพูดได้ว่าเรามี - 5 เหรียญ เลข 5 แสดงถึงขนาดของหนี้ และเครื่องหมายลบ บ่งบอกว่าเราต้องแจกเหรียญ

หากเราเป็นหนี้ 2 เหรียญต่อบุคคลหนึ่งและอีก 3 เหรียญต่ออีกคนหนึ่ง หนี้ทั้งหมด (5 เหรียญ) สามารถคำนวณได้โดยใช้กฎการบวกจำนวนลบ:

2 + (- 3) = - 5

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ทุกอย่างเริ่มต้นขึ้น และวันนี้เป็นตัวเลขแรกที่บุคคลต้องเผชิญในชีวิตเมื่อในวัยเด็กเขาเรียนรู้ที่จะนับนิ้วหรือนับไม้

คำนิยาม: ตัวเลขธรรมชาติ คือ ตัวเลขที่ใช้นับวัตถุ (1, 2, 3, 4, 5, ...) [เลข 0 ไม่เป็นธรรมชาติ มีประวัติแยกจากกันในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ และปรากฏช้ากว่าจำนวนธรรมชาติมาก]

เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด (1, 2, 3, 4, 5, ...) เขียนแทนด้วยตัวอักษร N

จำนวนเต็ม

เมื่อเรียนรู้ที่จะนับแล้ว สิ่งต่อไปที่เราทำคือเรียนรู้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลข โดยปกติแล้วจะสอนการบวกและการลบก่อน (ใช้ไม้นับ)

นอกจากนี้ ทุกอย่างชัดเจน: เมื่อบวกจำนวนธรรมชาติสองตัว ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนธรรมชาติเดียวกันเสมอ แต่ในการลบเราพบว่าเราไม่สามารถลบค่าที่มากกว่าจากค่าที่น้อยกว่าได้ ดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนธรรมชาติ (3 − 5 = อะไร?) นี่คือที่มาของแนวคิดเรื่องจำนวนลบ (จำนวนลบไม่ใช่จำนวนธรรมชาติอีกต่อไป)

ในระยะที่เกิดจำนวนลบ (และปรากฏช้ากว่าเศษส่วน)นอกจากนี้ยังมีคู่ต่อสู้ของพวกเขาซึ่งถือว่าพวกเขาไร้สาระ (คุณสามารถแสดงวัตถุสามชิ้นบนนิ้วของคุณ, สามารถแสดงได้สิบชิ้น, หนึ่งพันชิ้นสามารถแสดงได้ด้วยการเปรียบเทียบ และ“ ลบสามถุง” คืออะไร - ในเวลานั้นมีการใช้ตัวเลขเพียงอย่างเดียวแล้วโดยแยกจากเฉพาะ วัตถุ จำนวนที่พวกเขาแสดงยังคงอยู่ในใจของผู้คนที่ใกล้ชิดกับวิชาเฉพาะเหล่านี้มากกว่าในปัจจุบันมาก) แต่เช่นเดียวกับการคัดค้าน ข้อโต้แย้งหลักที่สนับสนุนจำนวนลบนั้นมาจากการปฏิบัติ: จำนวนลบทำให้สะดวกที่จะ นับหนี้ 3 − 5 = −2 - ฉันมี 3 เหรียญ ฉันใช้ไป 5 เหรียญ ซึ่งหมายความว่าฉันไม่เพียงแต่เหรียญหมดเท่านั้น แต่ยังเป็นหนี้ใครบางคนอีก 2 เหรียญด้วย ถ้าฉันส่งคืน หนี้จะเปลี่ยน −2+1=−1 แต่ก็สามารถแสดงเป็นจำนวนลบได้เช่นกัน

เป็นผลให้จำนวนลบปรากฏในคณิตศาสตร์ และตอนนี้เรามีจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนอนันต์ (1, 2, 3, 4, ... ) และมีจำนวนตรงข้ามกันเท่ากัน (−1, −2, − 3, −4 , ...) ลองบวก 0 อีกตัวเข้าไป แล้วเราจะเรียกเซตของจำนวนเต็มทั้งหมดนี้

คำนิยาม: จำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม และศูนย์ ประกอบกันเป็นเซตของจำนวนเต็ม ถูกกำหนดด้วยตัวอักษร Z

จำนวนเต็มสองตัวใดๆ สามารถลบออกจากกันหรือบวกกันเป็นจำนวนเต็มได้

แนวคิดในการบวกจำนวนเต็มสันนิษฐานว่ามีความเป็นไปได้ของการคูณอยู่แล้ว วิธีที่รวดเร็วดำเนินการเพิ่มเติม หากเรามีถุงละ 7 ถุง ถุงละ 6 กิโลกรัม เราสามารถบวก 6+6+6+6+6+6+6 ได้ (บวก 6 เข้ากับจำนวนปัจจุบันทั้งหมดเจ็ดครั้ง) หรือเราจะจำง่ายๆ ว่าการดำเนินการดังกล่าวจะส่งผลเสมอ 42. เช่นเดียวกับการบวกหกเจ็ด 7+7+7+7+7+7 จะให้ 42 เสมอ

ผลลัพธ์ของการดำเนินการบวก แน่ใจตัวเลขกับตัวเอง แน่ใจจำนวนครั้งสำหรับคู่ตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 2 ถึง 9 จะถูกเขียนออกมาและประกอบด้วยตารางสูตรคูณ หากต้องการคูณจำนวนเต็มที่มากกว่า 9 กฎการคูณคอลัมน์จะถูกประดิษฐ์ขึ้น (ซึ่งใช้กับเศษส่วนทศนิยมด้วย และซึ่งจะกล่าวถึงในบทความต่อไปนี้) เมื่อคูณจำนวนเต็มสองตัวใด ๆ เข้าด้วยกัน ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนเต็มเสมอ

จำนวนตรรกยะ

ตอนนี้แบ่ง. เช่นเดียวกับการลบคือการดำเนินการผกผันของการบวก เราก็มาถึงแนวคิดของการหารว่าเป็นการดำเนินการผกผันของการคูณ

เมื่อเรามีถุง 7 ใบ น้ำหนัก 6 กิโลกรัม ใช้การคูณ เราคำนวณง่ายๆ ว่าน้ำหนักรวมของถุงคือ 42 กิโลกรัม สมมติว่าเราเทของในถุงทั้งหมดลงในกองเดียวที่มีน้ำหนัก 42 กิโลกรัม แล้วพวกเขาก็เปลี่ยนใจและต้องการแจกจ่ายเนื้อหากลับเป็น 7 ถุง ถุงหนึ่งจะหมดกี่กิโลกรัมถ้าเราแบ่งเท่าๆ กัน? – แน่นอน 6.

ถ้าเราอยากแบ่ง 42 กิโลกรัม เป็น 6 ถุงล่ะ? ในกรณีนี้ เราจะคิดว่าสามารถได้ทั้งหมด 42 กิโลกรัมเท่ากันหากเราเท 6 ถุงๆ ละ 7 กิโลกรัมลงในกอง นั่นหมายความว่าเมื่อแบ่ง 42 กิโลกรัมออกเป็น 6 ถุงเท่าๆ กัน เราจะได้ 7 กิโลกรัมในถุงเดียว.

จะเป็นอย่างไรถ้าคุณแบ่ง 42 กิโลกรัมออกเป็น 3 ถุงเท่าๆ กัน? และที่นี่ เราก็เริ่มเลือกตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 3 จะได้ 42 สำหรับค่า "ตาราง" เช่นในกรณีของ 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7 เราจะทำการหาร การดำเนินการง่ายๆ โดยการเรียกคืนตารางสูตรคูณ สำหรับกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น จะใช้การแบ่งคอลัมน์ ซึ่งจะกล่าวถึงในบทความใดบทความหนึ่งต่อไปนี้ ในกรณีของ 3 และ 42 คุณสามารถ “เลือก” เพื่อจำไว้ว่า 3 · 14 = 42 ซึ่งหมายถึง 42:3 = 14 ถุงละ 14 กิโลกรัม

ทีนี้ลองแบ่ง 42 กิโลกรัมออกเป็น 5 ถุงเท่าๆ กัน. 42:5=?
เราสังเกตว่า 5 · 8 = 40 (น้อย) และ 5 · 9 = 45 (มาก) นั่นคือเราจะไม่ได้ 42 กิโลกรัมจาก 5 ถุง ไม่ว่าจะเป็น 8 กิโลกรัมในถุงหรือ 9 กิโลกรัม ในขณะเดียวกัน ก็ชัดเจนว่าในความเป็นจริง ไม่มีสิ่งใดขัดขวางไม่ให้เราแบ่งปริมาณใดๆ (เช่น ซีเรียล) ออกเป็น 5 ส่วนเท่าๆ กัน

การดำเนินการหารจำนวนเต็มซึ่งกันและกันไม่จำเป็นต้องส่งผลให้เกิดจำนวนเต็มเสมอไป นี่คือวิธีที่เรามาถึงแนวคิดเรื่องเศษส่วน 42:5 = 42/5 = 8 จำนวนเต็ม 2/5 (หากนับเป็นเศษส่วนธรรมดา) หรือ 42:5 = 8.4 (หากนับเป็นเศษส่วนทศนิยม)

เศษส่วนสามัญและทศนิยม

เราสามารถพูดได้ว่าเศษส่วนสามัญใดๆ m/n (m คือจำนวนเต็มใดๆ n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ) เป็นเพียงรูปแบบพิเศษในการเขียนผลลัพธ์ของการหารตัวเลข m ด้วยจำนวน n (m เรียกว่าเศษของเศษส่วน n เป็นตัวส่วน) ผลลัพธ์ของการหาร เช่น เลข 25 ด้วยเลข 5 ก็เขียนเป็นเศษส่วนธรรมดา 25/5 ได้เช่นกัน แต่นี่ไม่จำเป็น เนื่องจากผลลัพธ์ของการหาร 25 ด้วย 5 สามารถเขียนเป็นจำนวนเต็ม 5 ได้ (และ 25/5 = 5) แต่ผลลัพธ์ของการหารเลข 25 ด้วยเลข 3 ไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนเต็มได้อีกต่อไป ดังนั้น จึงจำเป็นต้องใช้เศษส่วน 25:3 = 25/3 (คุณสามารถแยกความแตกต่างระหว่างส่วนที่ 25/3 = 8 ทั้งหมด 1/3 ได้ เศษส่วนสามัญและการดำเนินการกับเศษส่วนสามัญจะกล่าวถึงรายละเอียดเพิ่มเติมในบทความต่อไปนี้)

ข้อดีของเศษส่วนธรรมดาก็คือ เพื่อที่จะแสดงผลของการหารจำนวนเต็มสองตัวใดๆ เป็นเศษส่วน คุณเพียงแค่ต้องเขียนเงินปันผลในตัวเศษของเศษส่วน และตัวหารในตัวส่วน (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, ...) จากนั้น ถ้าเป็นไปได้ ให้ลดเศษส่วนและ/หรือเน้นทั้งส่วน (การกระทำเหล่านี้ด้วยเศษส่วนธรรมดา จะกล่าวถึงรายละเอียดในบทความต่อไปนี้) ปัญหาคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (บวก ลบ) ด้วยเศษส่วนธรรมดานั้นไม่สะดวกเท่ากับจำนวนเต็มอีกต่อไป

เพื่อความสะดวกในการเขียน (ในหนึ่งบรรทัด) และเพื่อความสะดวกในการคำนวณ (ด้วยความเป็นไปได้ในการคำนวณในคอลัมน์เช่นเดียวกับจำนวนเต็มธรรมดา) นอกเหนือจากเศษส่วนธรรมดาแล้วยังมีการคิดค้นเศษส่วนทศนิยมอีกด้วย เศษส่วนทศนิยมคือเศษส่วนธรรมดาที่เขียนเป็นพิเศษซึ่งมีตัวส่วนเป็น 10, 100, 1,000 เป็นต้น เช่น เศษส่วนร่วม 7/10 จะเหมือนกับเศษส่วนทศนิยม 0.7 (8/100 = 0.08; 2 ทั้งหมด 3/10 = 2.3; 7 ทั้งหมด 1/1000 = 7, 001) บทความแยกต่างหากจะเน้นไปที่การแปลงเศษส่วนสามัญเป็นทศนิยมและในทางกลับกัน การดำเนินการกับเศษส่วนทศนิยม - บทความอื่น ๆ

จำนวนเต็มใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนร่วมโดยมีส่วนเป็น 1 (5=5/1; −765=−765/1)

คำนิยาม: ตัวเลขทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้เรียกว่าจำนวนตรรกยะ เซตของจำนวนตรรกยะแสดงด้วยตัวอักษร Q

เมื่อหารจำนวนเต็มสองตัวใดๆ เข้าด้วยกัน (ยกเว้นเมื่อหารด้วย 0) ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนตรรกยะเสมอ สำหรับเศษส่วนธรรมดา มีกฎสำหรับการบวก การลบ การคูณ และการหาร ซึ่งช่วยให้คุณสามารถดำเนินการกับเศษส่วนสองเศษส่วนใดๆ ก็ได้และยังได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนตรรกยะ (เศษส่วนหรือจำนวนเต็ม) ด้วย

ชุดของจำนวนตรรกยะเป็นชุดแรกที่เราพิจารณาแล้วว่าคุณสามารถเพิ่ม ลบ คูณ และหารได้ (ยกเว้นการหารด้วย 0) โดยจะไม่มีวันเกินขอบเขตของชุดนี้ (นั่นคือ จะได้ตรรกยะเสมอ) จำนวนเป็นผล)

ดูเหมือนว่าไม่มีตัวเลขอื่นใดที่เป็นจำนวนตรรกยะ แต่นี่ก็ไม่เป็นความจริงเช่นกัน

ตัวเลขจริง

มีตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน m/n ได้ (โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม n คือจำนวนธรรมชาติ)

ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? เรายังไม่ได้พิจารณาการดำเนินการของการยกกำลัง ตัวอย่างเช่น 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125 เช่นเดียวกับการคูณเป็นรูปแบบการเขียนและการคำนวณการบวกที่สะดวกกว่า การยกกำลังก็คือรูปแบบหนึ่งของการเขียนการคูณของจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเองตามจำนวนครั้งที่กำหนด

แต่ตอนนี้เรามาดูการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง - การแยกราก รากที่สองของ 16 คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังสองให้ 16 นั่นคือเลข 4 รากที่สองของ 9 คือ 3 แต่ไม่สามารถแทนรากที่สองของ 5 หรือ 2 ได้ จำนวนตรรกยะ- (หลักฐานของข้อความนี้ ตัวอย่างอื่น ๆ ของจำนวนอตรรกยะและประวัติสามารถพบได้ใน Wikipedia)

ใน GIA ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 มีภารกิจในการพิจารณาว่าตัวเลขที่มีรูทอยู่ในสัญกรณ์นั้นมีเหตุผลหรือไม่มีเหตุผล ภารกิจคือพยายามแปลงตัวเลขนี้เป็นรูปแบบที่ไม่มีรูท (โดยใช้คุณสมบัติของรูท) หากคุณไม่สามารถกำจัดรากได้ แสดงว่าจำนวนนั้นไม่ลงตัว

อีกตัวอย่างหนึ่งของจำนวนอตรรกยะคือตัวเลข π ซึ่งทุกคนคุ้นเคยจากเรขาคณิตและตรีโกณมิติ

คำนิยาม: จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะรวมกันเรียกว่าจำนวนจริง (หรือจำนวนจริง) เซตของจำนวนจริงทั้งหมดเขียนแทนด้วยตัวอักษร R

ในจำนวนจริง ตรงข้ามกับจำนวนตรรกยะ เราสามารถแสดงระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนเส้นตรงหรือระนาบได้
หากคุณวาดเส้นตรงและเลือกจุดสองจุดโดยพลการหรือเลือกจุดสองจุดบนเครื่องบินอาจกลายเป็นว่าระยะทางที่แน่นอนระหว่างจุดเหล่านี้ไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนตรรกยะได้ (ตัวอย่าง: ด้านตรงข้ามมุมฉาก สามเหลี่ยมมุมฉากด้วยขา 1 และ 1 ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะเท่ากับรากของสอง - นั่นคือจำนวนอตรรกยะ รวมถึงความยาวที่แน่นอนของเส้นทแยงมุมของเซลล์สมุดบันทึกด้วย (ความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์ที่มีทั้งด้าน)
และในเซตของจำนวนจริง ระยะทางใดๆ บนเส้นตรง ในระนาบ หรือในอวกาศสามารถแสดงด้วยจำนวนจริงที่สอดคล้องกันได้

จำนวนเต็ม -นี้ ตัวเลขธรรมชาติเช่นเดียวกับจำนวนตรงข้ามและศูนย์

จำนวนเต็ม— การขยายตัวของเซตของจำนวนธรรมชาติ เอ็นซึ่งได้มาจากการเพิ่ม เอ็น 0 และจำนวนลบ เช่น − n- เซตของจำนวนเต็มหมายถึง ซี.

ผลรวม , ความแตกต่างและ งานของจำนวนเต็มให้จำนวนเต็มอีกครั้งเช่น จำนวนเต็มก่อตัวเป็นวงแหวนโดยคำนึงถึงการดำเนินการบวกและการคูณ

จำนวนเต็มบนเส้นจำนวน:

มีจำนวนเต็มกี่ตัว? มีจำนวนเต็มกี่ตัว? ไม่มีจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด ซีรีย์นี้ไม่มีที่สิ้นสุด ไม่มีจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

จำนวนธรรมชาติก็เรียกอีกอย่างว่า เชิงบวก จำนวนเต็ม, เช่น. วลี "จำนวนธรรมชาติ" และ "จำนวนเต็มบวก" เป็นสิ่งเดียวกัน

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง เศษส่วนหรือทศนิยมไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่มีเศษส่วนเป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่างของจำนวนเต็ม: -8, 111, 0, 1285642, -20051 และอื่น ๆ

การพูด ในภาษาง่ายๆ, จำนวนเต็มคือ (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - ลำดับของจำนวนเต็ม นั่นคือผู้ที่มีเศษส่วน (()) เท่ากับศูนย์ พวกเขาไม่มีหุ้น

ตัวเลขธรรมชาติเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็ม ตัวอย่าง: (1,2,3,4...+ ∞).

การดำเนินการกับจำนวนเต็ม

1. ผลรวมของจำนวนเต็ม

หากต้องการบวกจำนวนเต็มสองตัวที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน คุณต้องบวก โมดูลตัวเลขเหล่านี้และใส่เครื่องหมายสุดท้ายไว้หน้าจำนวนเงิน

ตัวอย่าง:

(+2) + (+5) = +7.

2. การลบจำนวนเต็ม

หากต้องการบวกจำนวนเต็มสองตัวด้วย สัญญาณที่แตกต่างกันจำเป็นต้องลบมอดุลัสของจำนวนที่มากกว่าออกจากโมดูลัสของจำนวนที่น้อยกว่า และก่อนที่คำตอบจะใส่เครื่องหมายของจำนวนโมดูโลที่ใหญ่กว่า

ตัวอย่าง:

(-2) + (+5) = +3.

3. การคูณจำนวนเต็ม

หากต้องการคูณจำนวนเต็มสองตัว คุณจะต้องคูณโมดูลัสของตัวเลขเหล่านี้และใส่เครื่องหมายบวก (+) ไว้หน้าผลคูณหากตัวเลขเดิมเป็นเครื่องหมายเดียวกัน และใส่เครื่องหมายลบ (-) หากต่างกัน

ตัวอย่าง:

(+2) ∙ (-3) = -6.

เมื่อคูณตัวเลขหลายจำนวน เครื่องหมายของผลิตภัณฑ์จะเป็นค่าบวกหากจำนวนของตัวประกอบที่ไม่ใช่ค่าบวกเป็นเลขคู่ และเป็นค่าลบหากจำนวนของตัวประกอบที่ไม่ใช่ค่าบวกเป็นเลขคี่

ตัวอย่าง:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 ปัจจัยที่ไม่เป็นบวก)

4. การหารจำนวนเต็ม

ในการหารจำนวนเต็ม คุณต้องแบ่งโมดูลัสของโมดูลัสของโมดูลัสของอีกโมดูลหนึ่ง และใส่เครื่องหมาย “+” ไว้หน้าผลลัพธ์หากเครื่องหมายของตัวเลขเหมือนกัน และเครื่องหมายลบหากต่างกัน

ตัวอย่าง:

(-12) : (+6) = -2.

คุณสมบัติของจำนวนเต็ม

Z ไม่ได้ถูกปิดด้วยการหารจำนวนเต็ม 2 จำนวน ( เช่น 1/2- ตารางด้านล่างแสดงคุณสมบัติพื้นฐานของการบวกและการคูณของจำนวนเต็มใดๆ ก, ขและ ค.

คุณสมบัติ	ส่วนที่เพิ่มเข้าไป	การคูณ
การแยกตัว	ก + ข- ทั้งหมด	ก × ข- ทั้งหมด
การเชื่อมโยง	ก + (ข + ค) = (ก + ข) + ค	ก × ( ข × ค) = (ก × ข) × ค
การสับเปลี่ยน	ก + ข = ข + ก	ก × ข = ข × ก
การดำรงอยู่ องค์ประกอบที่เป็นกลาง	ก + 0 = ก	ก × 1 = ก
การดำรงอยู่ องค์ประกอบตรงข้าม	ก + (−ก) = 0	ก ≠ ± 1 ⇒ 1/กไม่เป็นจำนวนเต็ม
การกระจายสินค้า การคูณสัมพันธ์ ส่วนที่เพิ่มเข้าไป	ก × ( ข + ค) = (ก × ข) + (ก × ค)

จากตารางเราสามารถสรุปได้ว่า ซีเป็นวงแหวนสลับที่มีเอกภาพภายใต้การบวกและการคูณ

การหารมาตรฐานไม่มีอยู่ในเซตของจำนวนเต็ม แต่มีสิ่งที่เรียกว่า การหารด้วยเศษ: สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด กและ ข, ข≠0, จะมีจำนวนเต็มหนึ่งชุด ถามและ ร, อะไร ก = bq + rและ 0≤r<|b| , ที่ไหน |ข|— ค่าสัมบูรณ์ (โมดูลัส) ของตัวเลข ข- ที่นี่ ก- หารได้, ข- ตัวแบ่ง ถาม- ส่วนตัว, ร- ส่วนที่เหลือ