บ้าน

หิน

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ วิธีของพิการ์ด ตัวอย่างการแก้ปัญหาด้วยวิธี Maple Picard ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ วิธีของพิการ์ด ตัวอย่างการแก้ปัญหาด้วยวิธี Maple Picard ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

นี่เป็นวิธีการแก้ปัญหาโดยประมาณ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของวิธีการประมาณค่าต่อเนื่องกัน (ดูบทที่ V, § 2) พิจารณาปัญหาคอชีสำหรับสมการอันดับหนึ่ง

เมื่อรวมสมการเชิงอนุพันธ์เข้าด้วยกัน เราจะแทนที่ปัญหานี้ด้วยสมการอินทิกรัลที่เทียบเท่าของประเภทโวลแตร์รา

การแก้สมการอินทิกรัลนี้โดยวิธีการประมาณค่าต่อเนื่อง เราจะได้กระบวนการวนซ้ำของ Picard

(เราจะแสดงวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณซึ่งตรงกันข้ามกับคำตอบที่แน่นอนโดย y) ในแต่ละรอบของกระบวนการนี้ การรวมจะดำเนินการโดยตรงหรือใช้วิธีการเชิงตัวเลขที่อธิบายไว้ในบทที่ 4

ให้เราพิสูจน์การบรรจบกันของวิธีการ โดยสมมติว่าในบางพื้นที่ที่จำกัด ด้านขวามือจะต่อเนื่องกันและเป็นไปตามตัวแปรและเงื่อนไขของลิปชิตซ์

เนื่องจากพื้นที่มีจำกัด ความสัมพันธ์จึงเป็นที่พอใจ ให้เราแสดงข้อผิดพลาดของวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณโดยการลบ (8) จาก (9) และใช้เงื่อนไข Lipschitz เราจะได้

การแก้ไขความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำนี้และคำนึงถึงสิ่งที่เราพบตามลำดับ

นี่หมายถึงการประมาณค่าความผิดพลาด

จะเห็นได้ว่าสำหรับ เช่น สารละลายโดยประมาณมาบรรจบกับสารละลายที่แน่นอนทั่วทั้งภูมิภาคอย่างสม่ำเสมอ

ตัวอย่าง. ขอให้เราใช้วิธีของ Picard กับปัญหา Cauchy สำหรับสมการ (3) ซึ่งคำตอบไม่ได้แสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน

ในกรณีนี้ มีการคำนวณกำลังสอง (9) อย่างถูกต้อง และเราจะได้รับอย่างง่ายดาย

เป็นต้น เห็นได้ชัดว่าสำหรับการประมาณเหล่านี้มาบรรจบกันอย่างรวดเร็วและอนุญาตให้คำนวณวิธีแก้ปัญหาได้อย่างแม่นยำสูง

จากตัวอย่างนี้ เห็นได้ชัดว่าวิธี Picard มีประโยชน์หากสามารถคำนวณอินทิกรัล (9) ผ่านฟังก์ชันพื้นฐานได้ ถ้าด้านขวาของสมการ (7) ซับซ้อนกว่า และต้องค้นหาอินทิกรัลเหล่านี้ด้วยวิธีตัวเลข วิธีพิการ์ดก็จะไม่สะดวกนัก

วิธีของ Picard สามารถใช้ได้กับระบบสมการในลักษณะที่อธิบายไว้ในย่อหน้าที่ 2 ได้ง่าย อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ ยิ่งลำดับของระบบสูงเท่าไร การคำนวณอินทิกรัลใน (9) ได้อย่างแม่นยำก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น ซึ่งจำกัดการใช้ ของวิธีการในกรณีนี้

มีวิธีการประมาณอื่นๆ อีกมากมาย ตัวอย่างเช่น S.A. Chaplygin เสนอวิธีการที่เป็นลักษณะทั่วไปของวิธีพีชคณิตของนิวตันสำหรับกรณีนี้ สมการเชิงอนุพันธ์- วิธีสรุปวิธีของนิวตันอีกวิธีหนึ่งเสนอโดย L. V. Kantorovich ในปี 1948 ในทั้งสองวิธีนี้ เช่นเดียวกับวิธีของ Picard การวนซ้ำจะดำเนินการโดยใช้การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส อย่างไรก็ตามพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสในนั้นยังมีอีกมาก ดูซับซ้อนมากกว่า (9) และไม่ค่อยมีการใช้ในฟังก์ชันพื้นฐาน ดังนั้นวิธีการเหล่านี้จึงแทบไม่เคยใช้เลย

วัตถุประสงค์ของงาน:เพื่อสร้างแนวคิดให้นักเรียนประยุกต์ใช้การควบคุมระยะไกลในด้านต่างๆ ปลูกฝังความสามารถในการแก้ปัญหา Cauchy สำหรับการควบคุมระยะไกล ที่" = ฉ(x,ย) บนส่วน [ ก, ข] สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด ที่ 0 = ฉ(x 0) วิธีของ Picard, Euler, Runge – Kutta, Adams; พัฒนาทักษะในการตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้รับโดยใช้โปรแกรมแอปพลิเคชัน

วิธีพิการ์ด

ตัวอย่างที่ 5.1

: ที่ ชม.= 0.1 โดยวิธี Picard พร้อมขั้นตอน ชม..

ในรายงาน นำเสนอ: ความคืบหน้าของงาน โปรแกรม - ฟังก์ชั่น ข้อผิดพลาด ภาพประกอบกราฟิกของการแก้ปัญหา

สารละลาย.

1. ป้อนข้อมูล (รูปที่ 5.1)

ก= 1,7 ข = 2,7

ชม. = 0,1

ย 0 = 5,3 ฉัน = 0..n

รูปที่ 5.1การตั้งค่าข้อมูลเบื้องต้น

2. กำหนดฟังก์ชันที่ส่งคืนค่าของอนุพันธ์ตัวแรกที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร ที่(รูปที่ 5.2)

ฉได้มา( ย) =

รูปที่ 5.2ฟังก์ชันที่ส่งกลับค่าของอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน

3. มาสร้างฟังก์ชันที่ส่งคืนโซลูชันให้กับ DE โดยใช้เมธอด

พิคาร่า. ที่นี่: ฉ –ฟังก์ชั่นดั้งเดิม; ฉมาจาก –

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับ ที่; ก,ข– จุดสิ้นสุดของส่วน; ชม.– ขั้นตอน; ที่ 0 –

ค่าเริ่มต้นของตัวแปร ที่.

4. ให้เราค้นหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้วิธี Picard (รูปที่ 5.3)

fnPikan(fn, fn สืบทอด, a, b, h, y0)=

ข้าว. 5.3.การระบุฟังก์ชันที่ส่งคืนโซลูชันไปยังรีโมทคอนโทรล

วิธี Picard (ไฟล์ fnPikar.mcd)

fnPikar(f, f ได้มา, a, b, 0.1, y0) =


	7.78457519486 10 -11
	5,3
	5,46340155616
	5,62650688007
	5,78947945853
	5,95251650231
	6,11584391144
	6,27971330675
	6,44440084325
	6,61020759752
	6,77746140952
	6,94652015221

ข้าว. 5.4.การหาคำตอบเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้วิธีพิการ์ด

วิธีการของออยเลอร์และการดัดแปลง

ตัวอย่างที่ 5.2

ที่(1.7) = 5.3 และขั้นตอนการบูรณาการ ชม.= 0.1 วิธีออยเลอร์ และปรับปรุงวิธีออยเลอร์พร้อมขั้นตอน ชม.และ ชม./2.

สารละลาย.

ความคืบหน้าของการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีออยเลอร์แสดงไว้ในรูปที่ 1 5.5 – 5.7

ก = 1.7 ข = 2.7 y0 = 5.3

y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0.05

รูปที่5.5.ส่วนของแผ่นงาน Mathcad พร้อมวิธีแก้ปัญหา

สมการโดยวิธีออยเลอร์พร้อมขั้นตอน ชม.และ ชม./2 และกราฟิก

การแสดงวิธีของออยเลอร์

1. มาสร้างโปรแกรมที่ใช้วิธีออยเลอร์กันดีกว่า (รูปที่.

รูปที่ 5.6รายการโปรแกรมที่ใช้เมธอดของออยเลอร์

2. ให้เราได้คำตอบของ DE โดยใช้วิธีออยเลอร์ (รูปที่ 5.7.)

ES h = อายเลอร์(f, a, b, h, y0)

ES h2 = อายเลอร์(f, a, b, , y0)

ข้าว. 5.7.การหาคำตอบเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้วิธีออยเลอร์

บันทึก

คุณสามารถเขียนฟังก์ชันที่ส่งคืนคำตอบให้กับ DE โดยใช้วิธีออยเลอร์ที่ปรับปรุงแล้วได้ด้วยตัวเอง

ข้าว. 5.8.การแก้ DE โดยใช้วิธีที่ได้รับการปรับปรุง

ออยเลอร์มีขั้นตอน ชม.และ ชม./2

5.3. วิธีรุ่งเง-คุตตะ

ในทางปฏิบัติ ลำดับที่สี่จะใช้วิธี Runge–Kutta บ่อยที่สุด

ตัวอย่างที่ 5.3

แก้ไขปัญหา Cauchy สำหรับรีโมตคอนโทรลบนเซ็กเมนต์สำหรับระบบปฏิบัติการที่กำหนด ที่(1.7) = 5.3 และขั้นตอนการบูรณาการ ชม.= 0.1 โดยวิธี Runge–Kutta ลำดับที่ 4 แบบมีขั้นตอน ชม.และ 2 ชม..

ในรายงาน นำเสนอ: ความคืบหน้าของงาน ฟังก์ชั่นโปรแกรม ข้อผิดพลาด ภาพประกอบกราฟิกของการแก้ปัญหา และการประเมินข้อผิดพลาดโดยประมาณ

สารละลาย.

1. ป้อนข้อมูลงาน (รูปที่ 5.9)

ก = 1,7 ข = 2,7

ชม. = 0,1

ย 0 = 5,3

ฉัน= 0..น

รูปที่.5.9.การตั้งค่าข้อมูลเบื้องต้น

2. มาเขียนฟังก์ชันที่ส่งคืนคำตอบให้กับ DE ลำดับแรกโดยใช้วิธี Runge–Kutta ที่นี่: เอฟเอ็น – ฟังก์ชันที่กำหนด; ก, ข– จุดสิ้นสุดของส่วน; ชม.– ขั้นตอน; ย 0 – ค่าเริ่มต้นของฟังก์ชัน

3. เรามาหาวิธีแก้ไข DE ลำดับแรกโดยใช้ฟังก์ชันในตัวของ Mathcad (รูปที่ 5.10)

RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)

RK 2h = fnรุงเงคุตตะ(f, a, b, 2h, y0)

ข้าว. 5.10.รายการฟังก์ชันที่ส่งคืนตัวเลข

การแก้ DE โดยใช้วิธี Runge–Kutta

วิธีอดัมส์

ตัวอย่างที่ 5.4

แก้ไขปัญหา Cauchy สำหรับรีโมตคอนโทรลบนเซ็กเมนต์สำหรับระบบปฏิบัติการที่กำหนด ที่(1.7) = 5.3 และขั้นตอนการบูรณาการ ชม.= 0.1 โดยวิธี Adams เป็นขั้นตอน ชม..

ในรายงาน นำเสนอ: การคำนวณด้วยตนเอง โปรแกรม - ฟังก์ชั่น ข้อผิดพลาด ภาพประกอบกราฟิกของการแก้ปัญหา และการประเมินข้อผิดพลาดในการประมาณ

สารละลาย.

1. ค้นหาตัวเลขสี่ตัวแรกโดยใช้สูตร Runge–Kutta (รูปที่ 5.11)

y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) i

ข้าว. 5.11.การคำนวณสี่ค่าแรกของสารละลายตัวเลขโดยใช้สูตร Runge–Kutta

2. มาสร้างฟังก์ชันที่ใช้วิธี Adams กันเถอะ (รูปที่ 2.10.3) ที่นี่ ก, ข– จุดสิ้นสุดของส่วน; ย 1 – ค่าเริ่มต้นของฟังก์ชัน ชม.– ขั้นตอน

ข้าว. 5.12.ฟังก์ชันส่งคืนโซลูชันเชิงตัวเลข

DE โดยวิธี Adams

3. ภาพประกอบกราฟิกของการแก้ DE โดยใช้วิธีต่าง ๆ แสดงไว้ในรูปที่ 1 5.13.

ข้าว. 5.13.การแสดงภาพโซลูชัน DE โดยใช้วิธีต่างๆ

คำถามในหัวข้อ

1. การแก้ปัญหาคอชีสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งหมายความว่าอย่างไร

2. การตีความกราฟิกของคำตอบเชิงตัวเลขของ DE

3. มีวิธีการใดบ้างในการแก้ DE ขึ้นอยู่กับ

รูปแบบการนำเสนอโซลูชั่น?

4. สาระสำคัญของหลักการบีบอัดคืออะไร

แสดง?

5. สูตรเกิดซ้ำของวิธี Picard

6. สาระสำคัญของวิธีเส้นขาดของออยเลอร์คืออะไร?

7. การใช้สูตรใดที่ช่วยให้คุณได้รับค่า

ฟังก์ชั่นที่ต้องการโดยใช้วิธีออยเลอร์?

8. การตีความแบบกราฟิกของวิธีการของออยเลอร์และ

ปรับปรุงวิธีออยเลอร์ ความแตกต่างของพวกเขาคืออะไร?

9. สาระสำคัญของวิธี Runge–Kutta คืออะไร?

10. วิธีกำหนดจำนวนหลักที่ถูกต้องในตัวเลข

ซึ่งเป็นการแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยวิธีออยเลอร์

วิธีการปรับปรุงของออยเลอร์, พิการ์ด, รุงจ์–

การมอบหมายห้องปฏิบัติการหมายเลข 5

งาน 5.1

แก้ไขปัญหา Cauchy สำหรับการควบคุมระยะไกล ย’ = ฉ(x, ย) บนส่วน [ ก, ข] สำหรับ NU ที่กำหนด ที่(ก) = กับและขั้นตอนการบูรณาการ ชม.(พารามิเตอร์เริ่มต้นระบุไว้ในตาราง 2.10.1):

1) วิธีออยเลอร์และวิธีออยเลอร์ที่ปรับปรุงพร้อมขั้นตอน ชม.และ ชม./2;

2) วิธีรุงเกะ-คุตตะแบบมีขั้นตอน ชม.และ 2 ชม.;

3) วิธีอดัมส์

4) วิธีการของพิการ์ด

การแก้ปัญหาจะต้องประกอบด้วย: ความคืบหน้าของงาน, โปรแกรมวิธีการ, โซลูชันกราฟิกสมการและการประมาณค่าความคลาดเคลื่อนของการประมาณ ทิ้งตัวเลข 5 หลักไว้หลังจุดทศนิยม

ตารางที่ 5.1.ตัวเลือกสำหรับงานที่ต้องทำให้เสร็จ งานอิสระ

№	ฉ( x, ย)	[ก, ข]	ใช่ 0	ชม.
	3เอ็กซ์ 2 + 0,1เอ็กซ์ซี		ที่(0) = 0,2	0,1
	0,185(x 2 + คอส(0.7 x)) + 1,843ย		ที่(0,2) = 0,25	0,1
			ที่(1,6) = 4,6	0,1
			ที่(0,2) = 1,1	0,1
			ที่(1,4) = 2,5	0,1
			ที่(1,7) = 5,3	0,1
			ที่(2,6) = 3,5	0,2
			ที่(2) = 2,3	0,1
	1.6 + 0.5ปี 2		ที่(0) = 0,3	0,1
			ที่(1,8) = 2,6	0,1
			ที่(2,1) = 2,5	0,1
	จ 2x + 0,25ย 2		ที่(0) = 2,6	0,05
		[- 2; -1]	ที่(-2) = 3	0,1
	0.133·( x2+ บาป (2 x)) + 0,872ย		ที่(0,2) = 0,25	0,1
	บาป( x + ย) +1,5		ที่(1,5) = 4,5	0,1
			ที่(0,4) = 0,8	0,1
	2,5x+คอส( ย + 0,6)		ที่(1) = 1,5	0,2
	คอส(1.5 ย +x) 2 + 1,4		ที่(1) = 1,5	0,1
			ที่(1,5) = 2,1	0,05
	เพราะ ใช่ + 3x		ที่(0) = 1,3	0,1
	คอส(1.5 x – ย 2) – 1,3	[-1; 1]	ที่(-1) = 0,2	0,2
			ที่(1,6) = 4,6	0,1
	จ -(ย – 1) + 2x		ที่(0) = 0,3	0,05
	1 + 2ยบาป x – ย 2		ที่(1) = 0	0,1
			ที่(0) = 0	0,1
	0,166(x 2 + บาป(1,1 x)) + 0,883ย		ที่(0,2) = 0,25	0,1
			ที่(1,7) = 5,6	0,1
			ที่(1,4) = 2,5	0,1
			ที่(0,6) = 0,8	0,1
			ที่(1) = 5,9	0,1
	1 + 0,8ยบาป x - 2ย 2		ที่(0) = 0	0,1
			ที่(0,5) = 1,8	0,1
			ที่(1,2) = 1,8	0,1
	บาป 1 + 2.2 x + 1,5ย 2		ที่(0) = 0	0,1
			ที่(0) = 0	0,1
			ที่(0) = 0	0,1
			ที่(0) = 0	0,1
	0,2x 2 + ย 2		ที่(0) = 0,8	0,1
	x 2 + ปี		ที่(0) = 0,4	0,1
	เอ็กซ์ซี + 0,1ย 2		ที่(0) = 0,5	0,1

วรรณกรรม

วรรณกรรมพื้นฐาน:

Alekseev G.V., Voronenko B.A., Lukin N.I. วิธีการทางคณิตศาสตร์ใน

วิศวกรรมอาหาร: หนังสือเรียน. – เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: “ลาน”, 2012. – 212 น.

Alekseev G.V. วิธีคณิตศาสตร์ทางวิศวกรรม: วิธีการศึกษา เบี้ยเลี้ยง. – เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: NRU ITMO; IHBT. 2555 – 39 น.

Alekseev G.V., Kholyavin I.I. การสร้างแบบจำลองเชิงตัวเลขและการเพิ่มประสิทธิภาพทางคณิตศาสตร์เชิงตัวเลข: คู่มือการฝึกอบรมสำหรับมหาวิทยาลัย, สถาบันเศรษฐศาสตร์และเทคโนโลยีแห่งรัฐ, 2011, 211 หน้า

มาคารอฟ อี.จี. Mathcad: หลักสูตรการฝึกอบรม – เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: ปีเตอร์, 2552. - 384 น.

อ่านต่อ :

Porshnev S.V., เบเลนโควา ไอ.วี. วิธีการเชิงตัวเลขโดยใช้ Mathcad -

เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: BHV-Petersburg, 2005. – 464 น.

Agapev B.D., Belov V.N., Kesamanly F.P., Kozlovsky V.V., Markov S.I. การประมวลผลข้อมูลการทดลอง: หนังสือเรียน. เบี้ยเลี้ยง / มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2544

GorelovaG.V. ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ในตัวอย่างและปัญหาในการใช้ Excel – อ.: ฟีนิกซ์, 2548. – 476 หน้า

Adler Yu.P., Markova E.V., Granovsky Yu.V. การวางแผนการทดลองเมื่อค้นหาเงื่อนไขที่เหมาะสม - M.: Nauka, 1976

Asaturyan V.I. ทฤษฎีการวางแผนการทดลอง.-ม.: วิทยุและการสื่อสาร, 2526

บรอดสกี้ วี.ซี. การออกแบบการทดลองแบบแฟกทอเรียลเบื้องต้น - อ.: Nauka, 1976

เดมิเดนโก อี.ซี. การถดถอยเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น-ม.: การเงินและสถิติ, 2524

Krasovsky G.I., Filaretov G.F. การวางแผนการทดลอง - มินสค์: BSU, 1982

Markova E.V., Lisenkov A.N. แผนเชิงผสมผสานในปัญหาของการทดลองหลายปัจจัย-ม.: Nauka, 1979

โฟลคิส วี.เอ. การเพิ่มประสิทธิภาพเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น -SPb 2544. 306 น.

Kuritsky B.Ya. ค้นหา โซลูชั่นที่ดีที่สุดใช้ Excel 7.0.-SPb.: BHV, 1997, 384c

ซอฟต์แวร์และแหล่งข้อมูลอินเทอร์เน็ต:

http://www.open-mechanics.com/journals - กระบวนการและอุปกรณ์สำหรับการผลิตอาหาร

http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - กลศาสตร์ของไหลและก๊าซ เครื่องจักรไฮดรอลิกและไฮดรอลิก

http://elibrary.ru/defaultx.asp - ห้องสมุดอิเล็กทรอนิกส์ทางวิทยาศาสตร์ "Elibrary"

การแนะนำ

1.งานห้องปฏิบัติการ#1: ทฤษฎีคอมพิวเตอร์โดยประมาณ

1.1. ข้อผิดพลาดที่แน่นอนและสัมพันธ์กัน

1.2. ข้อผิดพลาดของตัวเลขที่ปัดเศษ

1.3. ข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์

1.4. ข้อผิดพลาด ฟังก์ชั่นเบื้องต้น

1.5. วิธีการชายแดน

1.6. ปัญหาผกผันของทฤษฎีความผิดพลาด

1.7. คำถามในหัวข้อ

1.8. การมอบหมายงานห้องปฏิบัติการครั้งที่ 1

2. งานห้องปฏิบัติการหมายเลข 2: วิธีการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข

สมการสเกลาร์

1.1. วิธีคอร์ด

1.2. วิธีแทนเจนต์

1.3. วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย

1.4. คำถามในหัวข้อ

1.5. การมอบหมายงานห้องปฏิบัติการครั้งที่ 2

3. งานห้องปฏิบัติการหมายเลข 3: วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ระบบ

สมการไม่เชิงเส้น

3.1. วิธีการของนิวตัน

3.2. คำถามในหัวข้อ

3.3. การมอบหมายห้องปฏิบัติการหมายเลข 3

4. งานห้องปฏิบัติการหมายเลข 4: การบูรณาการเชิงตัวเลข

4.1. วิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้า

4.2. วิธีซิมป์สัน

4.3. วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู

4 .4. วิธีมอนติคาร์โล

4.5. คำถามในหัวข้อ

4.6. การมอบหมายห้องปฏิบัติการหมายเลข 4

5. งานห้องปฏิบัติการหมายเลข 5: การแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

5.1. วิธีพิการ์ด

5.2. วิธีการของออยเลอร์และการดัดแปลง

5.3. วิธีรุ่งเง-คุตตะ

ตั๋วหมายเลข 5.3 โมเดลออบเจ็กต์ควบคุมทั้งระบบ ลักษณะของกลุ่มตัวแปร การตัดสินใจของฝ่ายบริหารจากมุมมองของแบบจำลอง ปัญหาของตัวแปร “เอาท์พุต” และวิธีแก้ไข

วิธีนี้เป็นตัวแทนของคลาสของวิธีการโดยประมาณ

แนวคิดของวิธีนี้นั้นง่ายมากและขึ้นอยู่กับขั้นตอนตามลำดับ

การประมาณเฉพาะสำหรับการแก้สมการอินทิกรัลซึ่ง

จะได้สมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมมา

ปล่อยให้ปัญหาคอชีถูกวาง

มารวมสมการที่เขียนไว้กัน

. (5.2)

ขั้นตอนสำหรับการประมาณค่าต่อเนื่องของวิธี Picard จะดำเนินการตามรูปแบบต่อไปนี้

, (5.3)

ตัวอย่าง - แก้สมการโดยใช้วิธีพิการ์ด

การแก้สมการนี้ไม่ได้แสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน

จะเห็นได้ว่าซีรีส์มาบรรจบกันอย่างรวดเร็ว วิธีนี้สะดวกหากสามารถวิเคราะห์อินทิกรัลได้

ให้เราพิสูจน์การบรรจบกันของวิธีของ Picard ให้มีจำกัดบ้าง

ภูมิภาคทางด้านขวามือต่อเนื่องกันและนอกจากนั้นยังเป็นไปตามเงื่อนไขลิพชิตซ์โดยคำนึงถึงตัวแปรด้วย เช่น

ค่าคงที่อยู่ที่ไหนบ้าง

เนื่องจากพื้นที่มีจำกัดทำให้เกิดความไม่เท่าเทียมกัน

การลบสูตร (5.2) จาก (5.3) เราได้รับสำหรับโมดูลด้านขวาและด้านซ้าย

ในที่สุด เราก็ได้โดยใช้เงื่อนไขความต่อเนื่องของลิปชิตซ์

, (5.4)

ข้อผิดพลาดของวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณอยู่ที่ไหน

การใช้สูตรที่สอดคล้องกัน (5.4) ให้ห่วงโซ่ความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่า

เพราะ แล้วเราก็มี

เมื่อทดแทนโดยใช้สูตรสเตอร์ลิง ในที่สุดเราก็ได้ค่าประมาณข้อผิดพลาดของวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ

. (5.5)

จาก (5.4) เป็นไปตามนั้นเมื่อโมดูลข้อผิดพลาดคือ

วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณมาบรรจบกันกับค่าที่แน่นอนอย่างสม่ำเสมอ

5.2.2. วิธีรุ่งเง-คุตตะ

วิธีการเหล่านี้เป็นตัวเลข

ในทางปฏิบัติ จะใช้วิธี Runge-Kutta เพื่อการโพสต์-

การพัฒนารูปแบบความแตกต่าง (วิธีการ) ของลำดับความแม่นยำต่างๆ ที่สุด

มีการใช้โครงร่าง (วิธีการ) ของลำดับที่สองและสี่ พวกเขา เราและ

ลองดูที่ด้านล่าง

ก่อนอื่นเราขอแนะนำแนวคิดและคำจำกัดความบางประการก่อน

กริดอยู่

ส่วนคือชุดจุดคงที่บนส่วนนั้น

ฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดเหล่านี้เรียกว่าฟังก์ชันกริด

พิกัดของจุดเป็นไปตามเงื่อนไข

, ,

จุดคือโหนดกริด ตารางสม่ำเสมอคือชุดของจุด

ขั้นตอนกริดอยู่ที่ไหน เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้วิธีการประมาณ ประเด็นหลักคือการลู่เข้า ในความสัมพันธ์กับวิธีการที่แตกต่างกัน แนวคิดของการลู่เข้าที่ เป็นเรื่องปกติธรรมดามากกว่า ให้เราแสดงค่าของฟังก์ชันกริดเป็นค่าของคำตอบที่แน่นอนของสมการเชิงอนุพันธ์ (5.1) ที่โหนด - (เป็นค่าโดยประมาณ) การบรรจบกันหมายถึงสิ่งต่อไปนี้ เราแก้ไขจุดและสร้างชุดกริดในลักษณะนั้น

(ในเวลาเดียวกัน) จากนั้นถือว่าวิธีการเชิงตัวเลขมาบรรจบกันที่จุดถ้า ที่ ,. วิธีการมาบรรจบกันในแต่ละส่วนถ้ามันมาบรรจบกันที่ทุกจุด กล่าวกันว่าวิธีการนั้นมีลำดับความแม่นยำหากสามารถหาตัวเลขเช่นนั้นได้

ที่.

, .

ให้เราแนะนำเพิ่มเติมเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องความคลาดเคลื่อนหรือข้อผิดพลาดในการประมาณของสมการผลต่างที่แทนที่สมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดในการแก้สมการดั้งเดิม กล่าวคือ ส่วนที่เหลือเป็นผลจากการแทนคำตอบของสมการ (5.1) ลงในสมการผลต่าง ตัวอย่างเช่น สามารถแทนที่ (5.1) ด้วยสมการผลต่างที่ง่ายที่สุดต่อไปนี้

จากนั้นความคลาดเคลื่อนจะถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้ .

โดยทั่วไปวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณไม่ตรงกับ ดังนั้นความคลาดเคลื่อนที่จุดที่ th จึงไม่เท่ากับศูนย์ มีการแนะนำคำจำกัดความต่อไปนี้: วิธีการเชิงตัวเลขจะประมาณสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม if และมีลำดับความแม่นยำลำดับที่ 3 ถ้า

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าลำดับความแม่นยำของวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์นั้นเกิดขึ้นพร้อมกับลำดับของการประมาณภายใต้สมมติฐานที่ค่อนข้างทั่วไป

ตอนนี้เรามาดูการวิเคราะห์แผนการ Runge-Kutta กันดีกว่า เรามาเลี้ยวกันก่อน

รูปแบบความแม่นยำลำดับที่สอง

โดยใช้สูตรของเทย์เลอร์ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

, (5.6)

(5.1) สามารถแสดงเป็น ,.

ตามที่ระบุไว้ ,.

โปรดทราบว่าตาม (5.1)

อนุพันธ์ดังต่อไปนี้

ซึ่งปัจจุบันไม่ทราบปริมาณ อนุญาต

ให้เราแสดงค่าโดยประมาณของโซลูชันที่โหนดที่มีหมายเลขกำกับ (นี่คือโซลูชันที่จะได้รับหลังจากที่เราจำกัดอนุกรมให้อยู่ในลำดับที่มีลำดับไม่สูงกว่าวินาที)

พารามิเตอร์ที่ป้อนที่นี่ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ

เราได้รับการขยายทางด้านขวามือในชุดข้อมูล Taylor และแนะนำคำศัพท์ที่คล้ายกัน

ตามลำดับ

เงื่อนไขในการเลือกพารามิเตอร์ ฉันจะเป็นความใกล้ชิดของนิพจน์

, ,.

พารามิเตอร์หนึ่งตัวยังคงว่าง ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น

, ,

และสุดท้ายจาก (5.7) โดยคำนึงถึงความสัมพันธ์ที่พบสำหรับ และ

Relation (5.8) อธิบายตระกูลหนึ่งพารามิเตอร์ของสูตร Runge-Kutta แบบทวินาม

ในวรรณกรรมเฉพาะทางได้รับการพิสูจน์แล้วว่าหากต่อเนื่องและผูกติดกับอนุพันธ์อันดับสองของมัน ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณของโครงร่าง (5.8) จะมาบรรจบกันกับวิธีแก้ปัญหาที่แน่นอนพร้อมข้อผิดพลาดอย่างสม่ำเสมอ , เช่น. โครงการ (5.8) มีความแม่นยำลำดับที่สอง

ในทางปฏิบัติการคำนวณ สูตร (5.8) ใช้สำหรับค่าพารามิเตอร์ ,

จาก (5.8) เราอนุมานได้

การใช้สูตร (5.9) ลดลงตามลำดับขั้นตอนต่อไปนี้:

1. คำนวณค่าของฟังก์ชันคร่าวๆ (ตามแผนภาพโพลีไลน์)

2. หาความชันของเส้นโค้งอินทิกรัลที่จุด ()

3. หาค่าเฉลี่ยของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ขั้นตอนนั้น

4. ค่าของฟังก์ชันในโหนด () ถูกคำนวณ

โครงการนี้มีชื่อพิเศษว่า "ตัวทำนาย - ตัวแก้ไข"

ตาม (5.8) ที่เราได้รับ

ปัญหาได้รับการแก้ไขโดยขั้นตอนต่อไปนี้:

1. คำนวณค่าของฟังก์ชันในโหนดครึ่ง

2. กำหนดมูลค่าของอนุพันธ์ที่โหนด

3. ค่าของฟังก์ชันพบได้ในโหนด ()

นอกเหนือจากรูปแบบทวินามที่กล่าวถึงข้างต้นแล้ว รูปแบบ Runge-Kutta ที่มีความแม่นยำลำดับที่สี่ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการฝึกคำนวณ สูตรที่เกี่ยวข้องได้รับด้านล่างโดยไม่มีการสืบทอด

(5.10)

แผนงานที่มีสมาชิกจำนวนมากไม่ได้ถูกนำมาใช้จริง

ห้า-

สูตรคำศัพท์มีความแม่นยำลำดับที่สี่ สูตรหกเทอมมีความแม่นยำลำดับที่หก แต่รูปแบบมีความซับซ้อนมาก

ข้อผิดพลาดของโครงร่าง Runge-Kutta ที่กำหนดจะถูกกำหนดโดยค่าสูงสุด

ค่า ny ของอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้อง

สามารถหาค่าประมาณข้อผิดพลาดได้อย่างง่ายดายสำหรับกรณีพิเศษของสิทธิ์

ส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์

ในกรณีนี้ การแก้สมการสามารถลดลงเป็นการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส และ

รูปแบบการแก้ปัญหาที่แตกต่างกันทั้งหมดกลายเป็นสูตรการรวมตัวเลข

การท่องเที่ยว ตัวอย่างเช่น โครงการ (5.9) อยู่ในรูปแบบ

นั่นคือมันมีรูปแบบของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูและโครงร่าง (5.10) จะเข้าสู่โครงร่าง

ซึ่งเป็นสูตรของซิมป์สันแบบมีสเต็ป

การประมาณค่าความผิดพลาดที่สำคัญสำหรับสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูและสูตรซิมป์สันเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว (ดูหัวข้อ 3.2) จาก (3.4) และ (3.5) เห็นได้ชัดว่ามีความแม่นยำของแผนการ Runge-Kutta ค่อนข้างสูง

การเลือกแผนการที่กำหนดอย่างใดอย่างหนึ่งเพื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะ

เดชาถูกกำหนดโดยการพิจารณาดังต่อไปนี้ ถ้าฟังก์ชั่นเข้า.

ด้านขวาของสมการมีความต่อเนื่องและมีขอบเขต เช่นเดียวกับความต่อเนื่องและ

อนุพันธ์อันดับสี่นั้นมีจำกัด ดังนั้นผลลัพธ์ที่ดีที่สุดก็คือ -

ไม่มีอนุพันธ์ดังกล่าวข้างต้น จำกัด (ที่สี่)

ไม่สามารถบรรลุโครงการ (5.10) ได้ แต่กลับกลายเป็นว่าแนะนำให้เลือก

การใช้แผนการที่เรียบง่ายกว่า

นอกจากแผน Runge-Kutta แล้ว วิธีการหลายขั้นตอนยังเป็นที่สนใจในทางปฏิบัติ ซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยระบบสมการต่อไปนี้

ที่ไหน , และ - สัมประสิทธิ์ตัวเลข ,.