ไปที่บ้าน ตัวเลขเหนือธรรมชาติ

- จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่พีชคณิต นั่นคือ ไม่ใช่รากของพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะ

การมีอยู่ของตัวเลขเหนือธรรมชาติก่อตั้งขึ้นครั้งแรกโดย J. Liouville ในปี 1844 เขายังได้สร้างตัวอย่างแรกของตัวเลขดังกล่าวด้วย ลิอูวิลล์ตั้งข้อสังเกตว่าตัวเลขเชิงพีชคณิตไม่สามารถประมาณ "ดีเกินไป" ด้วยจำนวนตรรกยะได้ กล่าวคือ ทฤษฎีบทของ Liouville ระบุว่าถ้าจำนวนพีชคณิตเป็นรากของพหุนามของดีกรีที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะ ดังนั้นสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ จะถือว่าอสมการต่อไปนี้: โดยที่ค่าคงที่ขึ้นอยู่กับเท่านั้น จากคำกล่าวนี้เป็นไปตามนี้มีหลักฐานเพียงพอ

ความมีชัย: หากตัวเลขเป็นเช่นนั้นสำหรับค่าคงที่ใด ๆ จะมีชุดจำนวนตรรกยะที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน

นั่นคือสิ่งเหนือธรรมชาติ ต่อมาจึงเรียกตัวเลขดังกล่าวว่าเลขลิอูวิลล์ ตัวอย่างของตัวเลขดังกล่าวคือ

G. Cantor ได้รับข้อพิสูจน์อีกประการหนึ่งเกี่ยวกับการมีอยู่ของจำนวนเหนือธรรมชาติในปี พ.ศ. 2417 บนพื้นฐานของทฤษฎีเซตที่เขาสร้างขึ้น คันทอร์พิสูจน์ว่าเซตของจำนวนพีชคณิตนั้นนับได้ และเซตของจำนวนจริงนั้นนับไม่ได้ ซึ่งหมายความว่าเซตของจำนวนอดิศัยนั้นนับไม่ได้ อย่างไรก็ตาม ไม่เหมือนกับข้อพิสูจน์ของ Liouville ข้อโต้แย้งเหล่านี้ไม่อนุญาตให้เรายกตัวอย่างตัวเลขดังกล่าวอย่างน้อยหนึ่งตัว

งานของ Liouville ก่อให้เกิดทฤษฎีเลขเหนือธรรมชาติทั้งส่วน - ทฤษฎีการประมาณจำนวนพีชคณิตโดยใช้ตรรกยะหรือโดยทั่วไปคือเลขพีชคณิต ทฤษฎีบทของ Liouville มีความเข้มแข็งและแพร่หลายในงานของนักคณิตศาสตร์หลายคน ซึ่งทำให้สามารถสร้างตัวอย่างใหม่ของตัวเลขเหนือธรรมชาติได้ ดังนั้น K. Mahler แสดงให้เห็นว่า if เป็นพหุนามที่ไม่คงที่ซึ่งรับค่าจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ดังนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ โดยที่ตัวเลขที่เขียนในระบบเลขฐานนั้นถือเป็นจำนวนเหนือธรรมชาติ แต่เป็น ไม่ใช่เบอร์ลิอูวิลล์ ตัวอย่างเช่น ด้วย และ เราได้รับผลลัพธ์ที่สวยงามดังต่อไปนี้: ตัวเลข

ในปี พ.ศ. 2416 ซี. เฮอร์ไมต์ได้ใช้แนวคิดอื่นในการพิสูจน์ความเหนือกว่าของจำนวนเนเปอร์ (ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ):

หลังจากพัฒนาแนวคิดของ Hermite แล้ว F. Lindemann ในปี พ.ศ. 2425 ได้พิสูจน์ให้เห็นถึงความเหนือกว่าของตัวเลข จึงยุติปัญหาการยกกำลังสองของวงกลมโบราณ: การใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากัน (นั่นคือ มีพื้นที่เท่ากัน) ให้กับวงกลมที่กำหนด โดยทั่วไปแล้ว ลินเดมันน์ได้แสดงให้เห็นว่า สำหรับจำนวนเชิงพีชคณิตใดๆ จำนวนหนึ่งถือเป็นจำนวนเหนือธรรมชาติ สูตรที่เทียบเท่า: สำหรับจำนวนพีชคณิตใดๆ ที่ไม่ใช่ และ ลอการิทึมธรรมชาติของมันคือจำนวนอดิศัย

ในปี 1900 ที่การประชุมนักคณิตศาสตร์ในกรุงปารีส ดี. ฮิลแบร์ต ซึ่งเป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังแก้ไม่ได้ 23 ข้อ ได้ชี้ให้เห็นสิ่งต่อไปนี้ ซึ่งคิดค้นขึ้นในรูปแบบเฉพาะโดยแอล. ออยเลอร์:

อนุญาต และ เป็นตัวเลขพีชคณิต และ เหนือธรรมชาติ? โดยเฉพาะตัวเลขที่เหนือธรรมชาติ? และ?

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้ ซึ่งใกล้เคียงกับสูตรดั้งเดิมของออยเลอร์:

อนุญาต และ - ตัวเลขพีชคณิตอื่นที่ไม่ใช่ และยิ่งกว่านั้นคืออัตราส่วนของลอการิทึมธรรมชาติ ไม่มีเหตุผล จะมีเลขไหม. เหนือธรรมชาติ?

วิธีแก้ปัญหาบางส่วนแรกได้รับในปี 1929 โดย A. O. Gelfond ผู้ซึ่งได้พิสูจน์ความมีชัยของจำนวนโดยเฉพาะ ในปี 1930 R. O. Kuzmin ได้ปรับปรุงวิธีการของ Gelfond โดยเฉพาะเขาสามารถพิสูจน์ความมีชัยของตัวเลขได้ การแก้ปัญหาออยเลอร์-ฮิลแบร์ตอย่างสมบูรณ์ (ในแง่ที่ยืนยัน) ได้รับมาโดยอิสระในปี พ.ศ. 2477 โดย A. O. Gelfond และ T. Schneider

ก. เบเกอร์ในปี 1966 ได้สรุปทฤษฎีบทของลินเดมันน์และเกลฟอนด์-ชไนเดอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การพิสูจน์ความเหนือกว่าของผลคูณของตัวเลขจำนวนจำกัดตามอำเภอใจของรูปแบบและกับพีชคณิตภายใต้ข้อจำกัดตามธรรมชาติ

ในปี 1996 ยู.วี. Nesterenko พิสูจน์ความเป็นอิสระทางพีชคณิตของค่าของซีรีส์ Eisenstein และโดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวเลขและ นี่หมายถึงความเหนือกว่าของจำนวนใดๆ ของรูปแบบ โดยที่ฟังก์ชันตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมสัมประสิทธิ์พีชคณิต ตัวอย่างเช่น ผลรวมของอนุกรมจะเป็นแบบเหนือธรรมชาติ

ในปี พ.ศ. 2472-2473 เค. มาห์เลอร์ในงานชุดหนึ่งเสนอวิธีการใหม่ในการพิสูจน์ความมีชัยของความหมาย ฟังก์ชั่นการวิเคราะห์เป็นไปตามสมการเชิงฟังก์ชันบางประเภท (ต่อมาฟังก์ชันดังกล่าวถูกเรียกว่าฟังก์ชันมาห์เลอร์)

วิธีการของทฤษฎีจำนวนทิพย์พบการประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์แขนงอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีสมการไดโอแฟนไทน์

ซึ่งเมื่อ a = 1 ช่วยให้เราหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต สมมติว่าทฤษฎีบทของเกาส์ได้รับการพิสูจน์แล้ว ให้เราถือว่า a = 1 เป็นรากของสมการ (17) ดังนั้น

เมื่อลบนิพจน์นี้ออกจาก f(x) แล้วจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ เราจะได้ข้อมูลประจำตัว

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + - - + a1 (x − a1 )

(21) เมื่อใช้สูตร (20) เราสามารถแยกตัวประกอบ x − a 1 ออกจากแต่ละพจน์แล้วนำออกจากวงเล็บ จากนั้นดีกรีของพหุนามที่เหลืออยู่ในวงเล็บจะน้อยลง 1 อัน เมื่อจัดกลุ่มเงื่อนไขใหม่อีกครั้ง เราก็จะได้เอกลักษณ์

ฉ(x) = (x − a1 )ก(x)

โดยที่ g(x) เป็นพหุนามของดีกรี n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + - - + บี1 x + บี0 .

(เราไม่สนใจที่จะคำนวณสัมประสิทธิ์ที่แสดงโดย b ในที่นี้) ขอให้เราใช้เหตุผลเดียวกันกับพหุนาม g(x) ต่อไป ตามทฤษฎีบทของเกาส์ จะได้ราก a2 ของสมการ g(x) = 0 ดังนั้น

g(x) = (x − a2 )h(x)

โดยที่ h(x) เป็นพหุนามใหม่ที่มีดีกรีอยู่แล้ว n − 2 การทำซ้ำข้อโต้แย้งเหล่านี้ n − 1 ครั้ง (แน่นอนว่าหมายถึงการประยุกต์ใช้หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์) ในที่สุดเราก็มาถึงส่วนขยาย

จากเอกลักษณ์ (22) ไม่เพียงแต่ตามจำนวนเชิงซ้อน a1, a2,

An คือรากของสมการ (17) แต่สมการนั้น (17) ก็ไม่มีรากอื่นด้วย อันที่จริง ถ้าจำนวน y เป็นรากของสมการ (17) ก็จะตามมาด้วย (22)

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) - - (y − อัน ) = 0

แต่เราได้เห็นแล้ว (หน้า 115) ว่าผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนเท่ากับศูนย์ ถ้าหากตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น ดังนั้น หนึ่งในปัจจัย y − ar เท่ากับ 0 นั่นคือ y = ar ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องสร้าง

§ 6.

1. ความหมายและคำถามของการดำรงอยู่ ตัวเลขพีชคณิตคือตัวเลข x ใดๆ ก็ได้ เป็นจำนวนจริงหรือจำนวนจินตภาพ ซึ่งพอใช้ได้อยู่บ้าง สมการพีชคณิตใจดี

130 ระบบตัวเลขทางคณิตศาสตร์ บทที่ 130 ครั้งที่สอง

โดยที่ตัวเลข ai เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น หมายเลข 2 นั้นเป็นพีชคณิต เนื่องจากเป็นไปตามสมการ

x2 - 2 = 0

ในทำนองเดียวกัน ตัวเลขพีชคณิตคือรากใดๆ ของสมการใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มของตำแหน่งที่สาม สี่ ห้า ไม่ว่าคุณจะต้องการระดับใดก็ตาม และไม่ว่าคุณจะแสดงออกมาเป็นอนุมูลหรือไม่ก็ตาม แนวคิดเรื่องจำนวนพีชคณิตเป็นการสรุปทั่วไปโดยธรรมชาติของแนวคิดเรื่องจำนวนตรรกยะ ซึ่งสอดคล้องกับกรณีพิเศษ n = 1

ไม่ใช่ทุกจำนวนจริงที่เป็นพีชคณิต ตามมาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้ที่คันทอร์ระบุ: เซตของตัวเลขพีชคณิตทั้งหมดสามารถนับได้ เนื่องจากเซตของจำนวนจริงทั้งหมดนับไม่ได้ จึงจำเป็นต้องมีจำนวนจริงที่ไม่ใช่พีชคณิต

ให้เราระบุวิธีหนึ่งในการคำนวณชุดตัวเลขพีชคณิตใหม่ แต่ละสมการของรูปแบบ (1) สัมพันธ์กับจำนวนเต็มบวก

ชั่วโมง = |และ | + |อัน−1 | - - - + |a1 | + |a0 | + n,

ซึ่งเราจะเรียกเพื่อความกระชับว่า "ความสูง" ของสมการ สำหรับแต่ละค่าคงที่ของ n จะมีสมการในรูปแบบ (1) ที่มีความสูง h เป็นจำนวนจำกัดเท่านั้น แต่ละสมการเหล่านี้มีรากได้มากที่สุด n ตัว ดังนั้น ตัวเลขพีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยสมการความสูง h จะมีจำนวนจำกัดเท่านั้น ด้วยเหตุนี้ ตัวเลขพีชคณิตทั้งหมดจึงสามารถจัดเรียงในรูปแบบของลำดับ โดยแสดงรายการตัวเลขที่สร้างโดยสมการความสูง 1 ก่อน จากนั้นตามด้วยความสูง 2 เป็นต้น

การพิสูจน์ว่าเซตของตัวเลขพีชคณิตสามารถนับได้จะทำให้เกิดการมีอยู่ของจำนวนจริงที่ไม่ใช่พีชคณิต ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าเหนือธรรมชาติ (จากภาษาละติน Transcendere - ผ่าน, เกิน); ออยเลอร์ตั้งชื่อนี้ให้พวกเขาเพราะพวกเขา "เกินพลังของวิธีพีชคณิต"

ข้อพิสูจน์ของคันทอร์เกี่ยวกับการมีอยู่ของจำนวนเหนือธรรมชาตินั้นไม่สร้างสรรค์ ในทางทฤษฎี เป็นไปได้ที่จะสร้างจำนวนอดิศัยโดยใช้ขั้นตอนแนวทแยงที่ทำกับรายการจินตภาพของการขยายทศนิยมของจำนวนพีชคณิตทั้งหมด แต่วิธีการดังกล่าวไม่มีเลย ความสำคัญในทางปฏิบัติและจะไม่นำไปสู่ตัวเลขที่สามารถเขียนการขยายเป็นเศษส่วนทศนิยม (หรืออย่างอื่น) ได้จริง ปัญหาที่น่าสนใจที่สุดที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขเหนือธรรมชาติคือการพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะเจาะจงบางจำนวน (ซึ่งรวมถึงตัวเลข p และ e ซึ่งดูหน้า 319–322) นั้นเป็นจำนวนเหนือธรรมชาติ

**2. ทฤษฎีบทของลิอูวิลล์และการสร้างจำนวนอดิศัย การพิสูจน์การมีอยู่ของตัวเลขเหนือธรรมชาติแม้กระทั่งก่อนคันทอร์นั้นมอบให้โดย J. Liouville (1809–1862) ทำให้สามารถสร้างตัวอย่างตัวเลขดังกล่าวได้จริง การพิสูจน์ของ Liouville นั้นยากกว่าการพิสูจน์ของ Cantor และไม่น่าแปลกใจเลย เนื่องจากโดยทั่วไปแล้ว การสร้างตัวอย่างนั้นยากกว่าการพิสูจน์การมีอยู่จริง เมื่อนำเสนอข้อพิสูจน์ของ Liouville ด้านล่าง เราคำนึงถึงเฉพาะผู้อ่านที่เตรียมไว้เท่านั้น แม้ว่าความรู้ทางคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาก็เพียงพอแล้วที่จะเข้าใจข้อพิสูจน์ดังกล่าว

ดังที่ Liouville ค้นพบ ตัวเลขพีชคณิตแบบไม่มีเหตุผลมีคุณสมบัติที่ไม่สามารถประมาณด้วยจำนวนตรรกยะได้ซึ่งมีระดับความแม่นยำที่สูงมาก เว้นแต่ว่าตัวส่วนของเศษส่วนโดยประมาณจะถือว่ามีขนาดใหญ่มาก

สมมติว่าตัวเลข z เป็นไปตามสมการพีชคณิตที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

แต่ไม่เป็นไปตามสมการเดียวกันกับระดับที่ต่ำกว่า แล้ว

พวกเขาบอกว่า x เองเป็นจำนวนพีชคณิตของดีกรี n ตัวอย่างเช่น

ตัวเลข z = 2 เป็นตัวเลขพีชคณิตของดีกรี 2 เนื่องจากเป็นไปตามสมการ x2 − 2 = 0√ ของดีกรี 2 แต่ไม่เป็นไปตามสมการของดีกรี 1 จำนวน z = 3 2 อยู่ในระดับ 3 เนื่องจากเป็นไปตามสมการ x3 − 2 = 0 แต่ไม่เป็นไปตามสมการที่มีระดับต่ำกว่า (ดังที่เราจะแสดงในบทที่ 3) จำนวนพีชคณิตของดีกรี n > 1

ไม่สามารถเป็นจำนวนตรรกยะได้ เนื่องจากจำนวนตรรกยะ z = p q เป็นที่น่าพอใจ

เป็นไปตามสมการ qx − p = 0 ของระดับ 1 แต่ละค่า จำนวนอตรรกยะ z สามารถประมาณด้วยความแม่นยำระดับใดก็ได้โดยใช้จำนวนตรรกยะ ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถระบุลำดับของจำนวนตรรกยะได้เสมอ

หน้า 1 , หน้า 2 , . - -

คิว 1 คิว 2

ด้วยตัวส่วนที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัดซึ่งมีตัวส่วนเป็นของตัวเอง

ที่

พี อาร์ → ซ คิวอาร์

ทฤษฎีบทของลิอูวิลล์ระบุว่า ไม่ว่าเลขพีชคณิต z ของดีกรี n > 1 จะเป็นเท่าใด ก็ไม่สามารถประมาณได้โดยการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง

สำหรับตัวส่วนที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ ความไม่เท่าเทียมกันจำเป็นต้องคงอยู่

เราจะให้ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่ก่อนอื่นเราจะแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทนี้สามารถนำมาใช้สร้างจำนวนอดิศัยได้อย่างไร พิจารณาจำนวน

z = a1 10−1! + a2 · 10−2! + a3 · 10−3! - - - + น · 10−ม.! - - - = = 0.a1 a2 000a3 000000000000000000a4 000 . - - -

โดยที่ ai แสดงถึงตัวเลขใดๆ ก็ตามตั้งแต่ 1 ถึง 9 (วิธีที่ง่ายที่สุดคือตั้งค่า ai ทั้งหมดให้เท่ากับ 1) และสัญลักษณ์ n! ตามปกติ (ดูหน้า 36) แสดงถึง 1 · 2 · - - · n. คุณสมบัติเฉพาะของการขยายทศนิยมของตัวเลขดังกล่าวคือกลุ่มของศูนย์ที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วจะมีความยาวสลับกันกับตัวเลขแต่ละตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ ให้เราแสดงด้วย zm เศษส่วนทศนิยมสุดท้ายที่ได้รับเมื่ออยู่ในส่วนขยายเรารับพจน์ทั้งหมดจนถึง am · 10−m! รวมอยู่ด้วย แล้วเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกัน

สมมติว่า z เป็นจำนวนพีชคณิตของดีกรี n จากนั้น สมมติว่าในอสมการลิอูวิลล์ (3) p q = zm = 10 p m! เราต้องมี

|z − zm | > 10 (n+1)นาที!

สำหรับค่า m ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ การเปรียบเทียบอสมการล่าสุดกับอสมการ (4) ให้

ซึ่งหมายถึง (n + 1)m! > (ม + 1)! − 1 สำหรับ m ขนาดใหญ่เพียงพอ แต่สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงสำหรับค่า m ที่มากกว่า n (ให้ผู้อ่านใช้ปัญหาในการให้หลักฐานโดยละเอียดของข้อความนี้) เรามาถึงความขัดแย้งแล้ว ดังนั้น เลข z จึงเป็นเลขเหนือธรรมชาติ

ยังคงต้องพิสูจน์ทฤษฎีบทของลิอูวิลล์ ให้เราสมมติว่า z เป็นจำนวนพีชคณิตของดีกรี n > 1 สมการที่น่าพอใจ (1) ดังนั้น

f(zm) = f(zm) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2) + - - + และ (zm n - zn )

หารทั้งสองข้างด้วย zm − z และใช้สูตรพีชคณิต

คุณ n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + - - + uvn−2 + vn−1 , คุณ − โวลต์

เราได้รับ:

เนื่องจาก zm มีแนวโน้มเป็น z ดังนั้น สำหรับ m ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ จำนวนตรรกยะ zm จะแตกต่างจาก z น้อยกว่าหนึ่ง ดังนั้น สำหรับ m ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ สามารถประมาณค่าคร่าวๆ ได้ดังต่อไปนี้:

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

ยิ่งไปกว่านั้น ตัวเลข M ทางด้านขวาเป็นค่าคงที่ เนื่องจาก z จะไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการพิสูจน์ ตอนนี้ให้เราเลือก m ใหญ่ขนาดนั้น

เศษส่วน z m = p m มีตัวส่วน q m มีขนาดใหญ่กว่า M; แล้วคิวเอ็ม

ตั้งแต่นั้นมา จึงเป็นไปได้ที่จะแยกตัวประกอบ (x − zm) ออกจากพหุนาม f(x) และด้วยเหตุนี้ z จึงเป็นไปตามสมการระดับที่ต่ำกว่า n ดังนั้น f(zm) 6= 0 แต่ตัวเศษที่อยู่ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (9) นั้นเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น ในค่าสัมบูรณ์ จะต้องมีค่าอย่างน้อยเท่ากับ 1 ดังนั้นจากการเปรียบเทียบความสัมพันธ์ (8) และ (9) จึงเป็นไปตามนั้น

เนื้อหาของทฤษฎีบทที่ระบุอย่างแม่นยำ

ในช่วงไม่กี่ทศวรรษที่ผ่านมา การวิจัยเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการประมาณตัวเลขพีชคณิตด้วยจำนวนตรรกยะได้ก้าวหน้าไปมาก ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ A. Thue (1863–1922) พบว่าในอสมการลิอูวิลล์ (3) เลขชี้กำลัง n + 1 สามารถถูกแทนที่ด้วยเลขชี้กำลังที่น้อยกว่า n 2 + 1

K.L. Siegel แสดงให้เห็นว่าเป็นไปได้ที่จะเอาอันที่เล็กกว่านี้ (เล็กกว่านี้ด้วยซ้ำ)

สำหรับขนาดใหญ่ n) ตัวบ่งชี้คือ 2 n

ตัวเลขอดิศัยเป็นหัวข้อที่ดึงดูดความสนใจของนักคณิตศาสตร์มาโดยตลอด แต่จนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้ ในบรรดาตัวเลขที่น่าสนใจในตัวมันเอง มีเพียงไม่กี่คนที่รู้ว่าบุคคลผู้อยู่เหนือธรรมชาติได้ถูกสร้างขึ้นแล้ว (จากความเหนือกว่าของจำนวน p ซึ่งจะกล่าวถึงในบทที่ 3 ตามมาด้วยว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะแบ่งพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศ) ในสุนทรพจน์ของเขาที่การประชุม Paris International Congress of Mathematics ในปี 1900 เดวิด ฮิลแบร์ตเสนอ คณิตศาสตร์สามสิบ

ปัญหาที่ทำให้มีการกำหนดสูตรง่ายๆ บางปัญหาค่อนข้างขั้นพื้นฐานและเป็นที่นิยม ซึ่งไม่ใช่ปัญหาเดียวเท่านั้นที่ไม่เพียงแก้ไขเท่านั้น แต่ยังดูเหมือนจะไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการทางคณิตศาสตร์ในยุคนั้นด้วยซ้ำ “ปัญหาของฮิลเบิร์ต” เหล่านี้มีอิทธิพลกระตุ้นอย่างมากตลอดช่วงต่อมาของการพัฒนาคณิตศาสตร์ เกือบทั้งหมดได้รับการแก้ไขอย่างค่อยเป็นค่อยไป และในหลายกรณีวิธีแก้ปัญหาของพวกเขาเชื่อมโยงกับความสำเร็จที่แสดงออกอย่างชัดเจนในแง่ของการพัฒนาวิธีการทั่วไปและลึกซึ้งยิ่งขึ้น ปัญหาหนึ่งที่ดูค่อนข้างสิ้นหวังก็คือ

พิสูจน์ว่าจำนวนนั้น

เป็นสิ่งเหนือธรรมชาติ (หรืออย่างน้อยก็ไม่มีเหตุผล) เป็นเวลาสามทศวรรษแล้วที่ไม่มีแนวทางแก้ไขปัญหาดังกล่าวจากฝ่ายใดเลยแม้แต่น้อยที่จะเปิดความหวังแห่งความสำเร็จ ในที่สุด Siegel และ A. Gelfond นักคณิตศาสตร์หนุ่มชาวรัสเซียผู้เป็นอิสระจากเขาก็ได้ค้นพบวิธีการใหม่ในการพิสูจน์ความเหนือกว่าของคนจำนวนมาก

ตัวเลขที่สำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะได้ก่อตั้งขึ้น

การอยู่เหนือระดับไม่เพียงแต่เลขฮิลเบิร์ต 2 2 เท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงคลาสตัวเลขที่ค่อนข้างครอบคลุมทั้งหมดในแบบฟอร์ม ab โดยที่ a เป็นเลขพีชคณิตที่แตกต่างจาก 0 และ 1 และ b เป็นเลขพีชคณิตที่ไม่ลงตัว

ภาคผนวกของบทที่ II

พีชคณิตของเซต

1. ทฤษฎีทั่วไป แนวคิดของชั้นเรียน คอลเลกชั่น หรือชุดของวัตถุถือเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ ชุดถูกกำหนดโดยคุณสมบัติบางอย่าง ("คุณลักษณะ") A ซึ่งแต่ละวัตถุที่เป็นปัญหาจะต้องมีหรือไม่มี วัตถุเหล่านั้นที่มีคุณสมบัติ A จะสร้างเซต A ดังนั้น หากเราพิจารณาจำนวนเต็มและคุณสมบัติของ A คือ "เป็นจำนวนเฉพาะ" ดังนั้น เซต A ที่สอดคล้องกันจะประกอบด้วยจำนวนเฉพาะทั้งหมด 2, 3, 5, 7 . - -

ทฤษฎีเซตทางคณิตศาสตร์เกิดขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าเซตใหม่สามารถเกิดขึ้นได้จากเซตโดยใช้การดำเนินการบางอย่าง (เช่นเดียวกับที่ตัวเลขใหม่ได้มาจากตัวเลขผ่านการดำเนินการบวกและการคูณ) การศึกษาการดำเนินการเกี่ยวกับฉากต่างๆ ถือเป็นหัวข้อของ "พีชคณิตเซต" ซึ่งมีอะไรที่เหมือนกันมากกับพีชคณิตเชิงตัวเลขทั่วไป แม้ว่าจะมีความแตกต่างในบางแง่ก็ตาม ข้อเท็จจริงที่ว่าวิธีพีชคณิตสามารถประยุกต์ใช้กับการศึกษาวัตถุที่ไม่ใช่ตัวเลข เช่น เซต ได้แสดงไว้โดย

สร้างความคิดที่เหมือนกันมากขึ้นในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เมื่อเร็ว ๆ นี้ เป็นที่แน่ชัดว่าเซตพีชคณิตได้ให้ความรู้ใหม่แก่หลาย ๆ ด้านของคณิตศาสตร์ เช่น ทฤษฎีการวัด และทฤษฎีความน่าจะเป็น นอกจากนี้ยังมีประโยชน์ในการจัดระบบแนวคิดทางคณิตศาสตร์และชี้แจงการเชื่อมโยงเชิงตรรกะ

ต่อไปนี้ ผมจะกล่าวถึงชุดของวัตถุคงที่ชุดหนึ่ง ซึ่งเป็นธรรมชาติของวัตถุที่ไม่แยแส และเราสามารถเรียกชุดของจักรวาลได้ (หรือจักรวาลแห่งการให้เหตุผล) และ

ก, บี, ซี, . - - จะมีเซตย่อยของ I อยู่บ้าง ถ้าฉันเป็นเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด แล้ว A ก็สามารถแทนเซตของเลขคู่ทั้งหมดได้ B คือเซตของเลขคี่ทั้งหมด C คือเซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมด เป็นต้น ถ้าฉันแทนจุดทั้งหมดที่ตั้งไว้บนระนาบ A อาจเป็นเซตของจุดในวงกลมบางวง B อาจเป็นเซตของจุดในวงกลมอื่น เป็นต้น จะสะดวกสำหรับเราที่จะรวมตัวฉันเองและ " ชุดว่าง” ที่ไม่มีองค์ประกอบใดๆ เป้าหมายที่ดำเนินการโดยส่วนขยายเทียมดังกล่าวคือการรักษาตำแหน่งที่สำหรับแต่ละคุณสมบัติ A นั้นสอดคล้องกับชุดองค์ประกอบบางอย่างจาก I ที่มีคุณสมบัตินี้ ถ้า A เป็นคุณสมบัติที่ถูกต้องสากล ตัวอย่างที่ (ในกรณีของตัวเลข) เป็นคุณสมบัติของการบรรลุความเท่าเทียมกันเล็กน้อย x = x ดังนั้นเซตย่อยที่สอดคล้องกันของ I จะเป็นตัวฉันเอง เนื่องจากทุกองค์ประกอบมีคุณสมบัติดังกล่าว ในทางกลับกัน ถ้า A เป็นคุณสมบัติที่ขัดแย้งกันภายใน (เช่น x 6 = x) เซตย่อยที่เกี่ยวข้องนั้นไม่มีองค์ประกอบใดเลย ก็จะ "ว่างเปล่า" และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

พวกเขาบอกว่าเซต A เป็นสับเซตของเซต B กล่าวโดยย่อคือ “A อยู่ใน B” หรือ “B มี A” หากไม่มีสมาชิกในเซต A ที่ไม่ได้อยู่ในเซต B ด้วย สิ่งนี้ ความสัมพันธ์สอดคล้องกับสัญกรณ์

เอ บี หรือ บี เอ

ตัวอย่างเช่น เซต A ของจำนวนเต็มทั้งหมดที่หารด้วย 10 ลงตัวนั้นเป็นสับเซตของเซต B ของจำนวนเต็มทั้งหมดที่หารด้วย 5 ลงตัว เนื่องจากทุกจำนวนที่หารด้วย 10 ลงตัวก็สามารถหารด้วย 5 ได้เช่นกัน ความสัมพันธ์ A B จะไม่แยกความสัมพันธ์ B A หาก ทั้งสิ่งนี้และสิ่งนั้น

ซึ่งหมายความว่าทุกองค์ประกอบของ A ก็เป็นสมาชิกของ B เช่นกัน และในทางกลับกัน ดังนั้นเซต A และ B จึงมีองค์ประกอบที่เหมือนกันทุกประการ

ความสัมพันธ์ AB ระหว่างเซตนั้นทำให้นึกถึงความสัมพันธ์ a 6 b ระหว่างตัวเลขหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราสังเกตสิ่งต่อไปนี้

คุณสมบัติของความสัมพันธ์นี้ดังต่อไปนี้:

1) ก.

2) ถ้า A B และ B A แล้ว A = B

3) ถ้า A B และ B C แล้ว A C

ด้วยเหตุนี้ บางครั้งความสัมพันธ์ AB จึงถูกเรียกว่า "ความสัมพันธ์ลำดับ" ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างความสัมพันธ์ที่กำลังพิจารณากับความสัมพันธ์ a 6 b ระหว่างตัวเลขก็คือ ระหว่างตัวเลขจริงสองตัวที่ให้ a และ b อย่างน้อยหนึ่งในความสัมพันธ์ a 6 b หรือ b 6 a จำเป็นต้องได้รับความพึงพอใจ ในขณะที่สำหรับความสัมพันธ์ A B ระหว่างเซตคำสั่งที่คล้ายกันนั้นเป็นเท็จ เช่น ถ้า A เป็นเซตที่ประกอบด้วยตัวเลข 1, 2, 3,

และ B เป็นเซตที่ประกอบด้วยตัวเลข 2, 3, 4,

ดังนั้นทั้งความสัมพันธ์ A B และความสัมพันธ์ B A จึงไม่ถืออยู่ ด้วยเหตุนี้ พวกเขาจึงกล่าวว่าเซตย่อย A, B, C, - - ชุดที่ฉัน "สั่งบางส่วน" ในขณะที่จำนวนจริง a, b, c, - -

จัดเป็นชุด "สั่งครบ"

โปรดทราบว่าจากนิยามของความสัมพันธ์ A B จะเป็นไปตามนั้น ไม่ว่าสับเซต A ของเซต I จะเป็นเช่นไรก็ตาม

คุณสมบัติ 4) อาจดูค่อนข้างขัดแย้ง แต่ถ้าคุณลองคิดดู มันจะสอดคล้องกับความหมายที่แท้จริงของคำจำกัดความของเครื่องหมายอย่างเคร่งครัด ในความเป็นจริง ความสัมพันธ์ A จะถูกละเมิดเท่านั้น

วี ถ้าเซตว่างมีองค์ประกอบที่จะไม่มีอยู่ใน A; แต่เนื่องจากเซตว่างไม่มีสมาชิกเลย จึงไม่สามารถเป็นเช่นนี้ได้ ไม่ว่า A จะเป็นเช่นไรก็ตาม

ตอนนี้เราจะกำหนดการดำเนินการสองรายการในชุดที่มีคุณสมบัติทางพีชคณิตอย่างเป็นทางการหลายประการของการบวกและการคูณตัวเลข แม้ว่าเนื้อหาภายในจะแตกต่างไปจากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหล่านี้โดยสิ้นเชิงก็ตาม ให้ A และ B เป็นสองเซต โดยการรวมกันของหรือ "ผลรวมเชิงตรรกะ" ของ A และ B หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเหล่านั้นที่มีอยู่ใน A หรือ

วี B (รวมถึงองค์ประกอบเหล่านั้นที่มีอยู่ในทั้ง A และ B) ชุดนี้แสดง A + B 1 โดย "จุดตัด" หรือ "ผลคูณเชิงตรรกะ" ของ A และ B หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเหล่านั้นซึ่งมีอยู่ในทั้ง A และ B ชุดนี้แสดงแทน AB.2

ในบรรดาคุณสมบัติพีชคณิตที่สำคัญของการดำเนินการ A + B และ AB เราแสดงรายการต่อไปนี้ ผู้อ่านจะสามารถตรวจสอบความถูกต้องตามคำจำกัดความของการดำเนินการได้:

การตรวจสอบกฎหมายทั้งหมดนี้เป็นเรื่องของตรรกะเบื้องต้นที่สุด ตัวอย่างเช่น กฎข้อ 10) ระบุว่าเซตขององค์ประกอบที่มีอยู่ใน A หรือ A นั้นเป็นเซต A อย่างแน่นอน กฎข้อ 12) ระบุว่าชุดขององค์ประกอบเหล่านั้นที่มีอยู่ใน A และในเวลาเดียวกันก็มีอยู่ใน B หรือ C เกิดขึ้นพร้อมกับชุดขององค์ประกอบที่มีอยู่ใน A และ B พร้อมกัน หรือมีอยู่พร้อมกันใน A และ C การใช้เหตุผลเชิงตรรกะซึ่งใช้ในการพิสูจน์กฎประเภทนี้ มีภาพประกอบที่สะดวกหากเรายินยอมที่จะพรรณนาเซต A, B, C, - - ในรูปของตัวเลขบางตัวบนเครื่องบิน และเราจะระมัดระวังอย่างยิ่งที่จะไม่พลาดความเป็นไปได้เชิงตรรกะใดๆ ที่เกิดขึ้นเมื่อพูดถึงการมีอยู่ขององค์ประกอบร่วมของสองชุด หรือในทางกลับกัน การมีอยู่ขององค์ประกอบชุดเดียวที่ ไม่มีอยู่ในที่อื่น

ผู้อ่านดึงความสนใจอย่างไม่ต้องสงสัยถึงความจริงที่ว่ากฎ 6), 7), 8), 9) และ 12) นั้นเหมือนกันภายนอกกับกฎการสับเปลี่ยน, การเชื่อมโยงและการแจกจ่ายที่รู้จักกันดีของพีชคณิตสามัญ ตามมาว่ากฎทั้งหมดของพีชคณิตธรรมดาที่เป็นไปตามกฎเหล่านี้ก็มีผลในพีชคณิตเซตเช่นกัน ในทางตรงกันข้าม กฎข้อ 10), 11) และ 13) ไม่มีสิ่งที่คล้ายคลึงกันในพีชคณิตธรรมดา และทำให้พีชคณิตเซตมีโครงสร้างที่เรียบง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น สูตรทวินามในพีชคณิตเซตลดความเท่าเทียมกันที่ง่ายที่สุด

(A + B)n = (A + B) · (A + B) . - - (A + B) = A + B

ซึ่งตามมาจากกฎข้อ 11) กฎข้อ 14), 15) และ 17) กล่าวว่าคุณสมบัติของเซตและ I ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการของสหภาพและจุดตัดของเซตมีความคล้ายคลึงกับคุณสมบัติของตัวเลข 0 และ 1 มากซึ่งสัมพันธ์กับการดำเนินการของการกระทำเชิงตัวเลขของการบวกและ การคูณ แต่กฎข้อ 16) ไม่มีความคล้ายคลึงในพีชคณิตตัวเลข

ยังคงต้องกำหนดการดำเนินการอีกหนึ่งรายการในพีชคณิตชุด ให้ A เป็นเซตย่อยของเซตสากล I จากนั้นจึงเข้าใจว่าส่วนเติมเต็มของ A ใน I เป็นเซตของสมาชิกทั้งหมดของ I ที่ไม่มีอยู่ใน A สำหรับเซตนี้ เราจะใช้สัญลักษณ์ A0 ดังนั้น ถ้าฉันเป็นเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด และ A เป็นเซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมด แล้ว A0 ก็คือเซตที่ประกอบด้วยทั้งหมด ตัวเลขประกอบและหมายเลข 1 การดำเนินการเปลี่ยนจาก A ถึง A0 ซึ่งไม่มีอะนาล็อกในพีชคณิตธรรมดามีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

23) ก 00 = ก

24) อัตราส่วน AB เท่ากับอัตราส่วน B 0 A0 .

25) (A + B)0 = A0 B0 . 26) (AB)0 = A0 + B0

เราปล่อยให้ผู้อ่านตรวจสอบคุณสมบัติเหล่านี้อีกครั้ง

กฎข้อ 1)–26) เป็นพื้นฐานของเซตพีชคณิต พวกเขามีคุณสมบัติที่น่าทึ่งของ "ความเป็นคู่" ในความหมายดังต่อไปนี้:

หากในกฎข้อใดข้อหนึ่ง 1)–26) เราจะแทนที่กฎหมายที่เกี่ยวข้อง

(ในแต่ละเหตุการณ์) ผลก็คือกฎข้อเดียวกันอีกข้อหนึ่ง ตัวอย่างเช่น กฎ 6) เข้าในกฎ 7), 12) เข้าใน 13), 17) เข้าใน 16) ฯลฯ ตามมาว่าแต่ละทฤษฎีบทที่สามารถได้มาจากกฎ 1)–26) สอดคล้องกับอีกทฤษฎีหนึ่ง “คู่” ของมัน ทฤษฎีบทที่ได้รับจากครั้งแรกโดยการเรียงสับเปลี่ยนสัญลักษณ์ที่ระบุ จริงๆแล้วตั้งแต่มีหลักฐาน.

ช. II พีชคณิตของชุดที่ 139

ทฤษฎีบทแรกประกอบด้วย การประยุกต์ใช้ที่สอดคล้องกัน(ในขั้นตอนต่างๆ ของการให้เหตุผลอย่างต่อเนื่อง) ของกฎบางข้อ 1–26) จากนั้น การใช้กฎ "คู่" ในขั้นตอนที่เกี่ยวข้องจะถือเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบท "คู่" (สำหรับ "ความเป็นคู่" ที่คล้ายกันในเรขาคณิต ดูบทที่ IV)

2. การประยุกต์ตรรกะทางคณิตศาสตร์ การตรวจสอบกฎของเซตพีชคณิตอยู่บนพื้นฐานของการวิเคราะห์ความหมายเชิงตรรกะของความสัมพันธ์ A B และการดำเนินการ A + B, AB และ A0 ตอนนี้เราสามารถย้อนกลับกระบวนการนี้และพิจารณากฎข้อ 1)–26) เป็นพื้นฐานสำหรับ "พีชคณิตแห่งตรรกะ" ให้แม่นยำยิ่งขึ้น: ส่วนหนึ่งของตรรกะที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดหรือซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกันคือคุณสมบัติของวัตถุที่อยู่ระหว่างการพิจารณา สามารถลดลงเป็นระบบพีชคณิตอย่างเป็นทางการตามกฎ 1)–26) ตรรกะ "จักรวาลทั่วไป" กำหนดเซต I; แต่ละคุณสมบัติ A กำหนดชุด A ที่ประกอบด้วยวัตถุเหล่านั้นใน I ที่มีคุณสมบัตินี้ กฎสำหรับการแปลคำศัพท์เชิงตรรกะธรรมดาเป็นภาษาของเซตนั้นชัดเจน

ในแง่ของเซตพีชคณิต การใช้สัญลักษณ์ "Barbara" แสดงว่า "ถ้า A ทุกตัวคือ B และทุก B คือ C แล้ว A ทุกตัวคือ C" จะใช้รูปแบบง่ายๆ:

3) ถ้า A B และ B C แล้ว A C

ในทำนองเดียวกัน “กฎแห่งความขัดแย้ง” ซึ่งระบุว่า “วัตถุไม่สามารถมีได้พร้อมกันและไม่มีทรัพย์สินบางอย่าง” เขียนไว้ดังนี้:

20) AA 0 = ,

ก “กฎแห่งการยกเว้นคนกลาง” ซึ่งกล่าวว่า “วัตถุต้องมีหรือไม่มีคุณสมบัติบางอย่าง” เขียนไว้ว่า:

19) ก + ก 0 = ฉัน

ดังนั้น ตรรกะส่วนหนึ่งที่แสดงออกมาในรูปของสัญลักษณ์ +, · และ 0 จึงถือเป็นระบบพีชคณิตแบบเป็นทางการได้ โดยอยู่ภายใต้กฎข้อ 1)–26) บนพื้นฐานของการผสมผสานการวิเคราะห์เชิงตรรกะของคณิตศาสตร์และ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ตรรกะมีการสร้างวินัยใหม่ - ตรรกะทางคณิตศาสตร์ซึ่งขณะนี้อยู่ในกระบวนการของการพัฒนาอย่างรวดเร็ว

จากมุมมองเชิงสัจพจน์ ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งที่ว่าข้อความที่ 1)–26) ร่วมกับทฤษฎีบทอื่นๆ ทั้งหมดของเซตพีชคณิต สามารถอนุมานได้ในเชิงตรรกะจากความเท่าเทียมกันสามประการต่อไปนี้ที่สมควรได้รับความสนใจ:

27) ก + ข = ข + ก

(A + B) + C = A + (B + C)

(A0 + B0 )0 + (A0 + B)0 = ก.

ตามมาด้วยว่าเซตพีชคณิตสามารถสร้างเป็นทฤษฎีนิรนัยล้วนๆ ได้ เช่น เรขาคณิตแบบยุคลิด บนพื้นฐานข้อกำหนดทั้งสามข้อนี้ ซึ่งเป็นที่ยอมรับว่าเป็นสัจพจน์ หากยอมรับสัจพจน์เหล่านี้ การดำเนินการ AB และความสัมพันธ์ AB จะถูกกำหนดในรูปของ A + B และ A0:

ตัวอย่างที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงของระบบทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นไปตามกฎทางการของเซตพีชคณิตนั้นให้ไว้โดยระบบที่มีตัวเลขแปดตัว ได้แก่ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: ในที่นี้ a + b หมายถึง , ตาม

นิยาม ตัวคูณร่วมน้อยของ a และ b โดย ab เป็นตัวหารร่วมมากของ a และ b a b คือข้อความว่า "b หารด้วย a" และ a0 คือตัวเลข 30 a ซู-

การมีอยู่ของตัวอย่างดังกล่าวนำไปสู่การศึกษาระบบพีชคณิตทั่วไปที่เป็นไปตามกฎข้อ 27) ระบบดังกล่าวเรียกว่า "พีชคณิตแบบบูลีน" ตามชื่อของจอร์จ บูล (ค.ศ. 1815–1864) นักคณิตศาสตร์และนักตรรกศาสตร์ชาวอังกฤษ เจ้าของหนังสือ An Investigation of the Laws of Thought ปรากฏในปี ค.ศ. 1854

3. หนึ่งในการประยุกต์ใช้กับทฤษฎีความน่าจะเป็น ชุดพีชคณิตมี ความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดที่สุดถึงทฤษฎีความน่าจะเป็นและช่วยให้เรามองมันในมุมมองใหม่ ลองพิจารณาตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: ลองจินตนาการถึงการทดลองที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จำนวนจำกัด ซึ่งล้วนถูกมองว่า "เป็นไปได้เท่าเทียมกัน" ตัวอย่างเช่น การทดลองอาจประกอบด้วยการสุ่มจั่วไพ่หนึ่งใบจากสำรับเต็มใบที่มีการสับไพ่อย่างดี หากเราแสดงชุดของผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดลองโดย I และ A หมายถึงชุดย่อยบางส่วนของ I ความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของการทดสอบจะเป็นของชุดย่อย A จะถูกกำหนดเป็นอัตราส่วน

p(A) = จำนวนองค์ประกอบของ A จำนวนองค์ประกอบ I

หากเราตกลงที่จะแทนจำนวนองค์ประกอบในบางเซต A ด้วย n(A) จากนั้นความเท่าเทียมกันสุดท้ายจะได้รับในรูปแบบ

แนวคิดเกี่ยวกับเซตพีชคณิตจะถูกเปิดเผยเมื่อคำนวณความน่าจะเป็นเมื่อจำเป็น โดยรู้ความน่าจะเป็นของบางเซต เพื่อคำนวณความน่าจะเป็นของเซตอื่นๆ ตัวอย่างเช่น เมื่อทราบความน่าจะเป็น p(A), p(B) และ p(AB) คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็น p(A + B):

การพิสูจน์เรื่องนี้ไม่ใช่เรื่องยาก เรามี

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB)

เนื่องจากองค์ประกอบที่มีอยู่พร้อมกันใน A และ B เช่น องค์ประกอบ AB จะถูกนับสองครั้งเมื่อคำนวณผลรวม n(A) + n(B) และดังนั้นจึงจำเป็นต้องลบ n(AB) ออกจากผลรวมนี้เพื่อคำนวณ n(A + B) ถูกสร้างอย่างถูกต้อง จากนั้นหารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วย n(I) เราจะได้ความสัมพันธ์ (2)

จะได้สูตรที่น่าสนใจกว่านี้หากเรากำลังพูดถึงชุด A, B, C จาก I สามชุด โดยใช้ความสัมพันธ์ (2) เรามี

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C]

กฎข้อ (12) จากย่อหน้าก่อนหน้าให้ (A + B)C = AC + BC เป็นไปตามนี้:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC)

เมื่อแทนค่า p[(A + B)C] และค่า p(A + B) ที่นำมาจาก (2) ลงในความสัมพันธ์ที่ได้รับก่อนหน้านี้ เราก็จะได้สูตรที่เราต้องการ:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC) (3)

เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาการทดลองต่อไปนี้ เขียนตัวเลข 1, 2, 3 สามตัวตามลำดับใดก็ได้ ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งหลักจะอยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้อง (ในแง่ของการนับเลข) คือเท่าไร? ให้ A เป็นเซตของการเรียงสับเปลี่ยนที่มีเลข 1 อยู่ในอันดับที่ 1, B คือเซตของการเรียงสับเปลี่ยนที่มีเลข 2 อยู่ในอันดับที่ 2, C คือเซตของการเรียงสับเปลี่ยนที่มีเลข 3 อยู่ในอันดับที่ 3 เราจำเป็นต้องคำนวณ p(A + B + C) มันชัดเจนว่า

พี(A) = พี(B) = พี(C) = 2 6 = 1 3 ;

จริงๆ แล้ว ถ้าตัวเลขใดๆ อยู่ในตำแหน่งที่เหมาะสม ก็มีความเป็นไปได้ที่จะจัดเรียงตัวเลขสองหลักที่เหลือใหม่ จำนวนทั้งหมด 3 · 2 · 1 = 6 การเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ของตัวเลขสามหลัก ต่อไป,

ออกกำลังกาย. หาสูตรที่เหมาะสมสำหรับ p(A + B + C + D) แล้วนำไปใช้กับการทดลองที่มีตัวเลข 4 หลัก ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันคือ 5 8 = 0.6250

สูตรทั่วไปสำหรับการรวม n ชุดคือ

ชุดค่าผสมที่มีหนึ่ง สอง สาม . - - , (n − 1) ตัวอักษรจาก A1 , A2 , . - -

หนึ่ง. สูตรนี้สามารถกำหนดได้โดยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ - ในลักษณะเดียวกับที่สูตร (3) ได้มาจากสูตร (2)

จากสูตร (4) สรุปได้ว่า ถ้า n หลักคือ 1, 2, 3, . - - , n เขียนตามลำดับใดๆ แล้วความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งหลักจะอยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้องจะเท่ากับ

และเทอมสุดท้ายนำหน้าด้วยเครื่องหมาย + หรือ - ขึ้นอยู่กับว่า n เป็นคู่หรือคี่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ n = 5 ความน่าจะเป็นนี้จะเท่ากับ

p5 = 1 − 2! +3! - 4! +5! = 30 = 0.6333. - -

เราจะเห็นในบทที่ 8 ว่าเมื่อ n เข้าใกล้อนันต์ นิพจน์

1 1 1 1 Sn = 2! - 3! +4! . - - ±น!

มีแนวโน้มที่จะถึงขีด จำกัด 1 e ซึ่งมีค่าถึงทศนิยมห้าตำแหน่ง

เท่ากับ 0.36788 เนื่องจากจากสูตร (5) เห็นได้ชัดเจนว่า pn = 1 − Sn จึงเป็นไปตามนั้นเมื่อ n → ∞

พีเอ็น → 1 − อี data 0.63212

ตัวเลขเหนือธรรมชาติ

จำนวนจริงหรือจำนวนจินตภาพที่ไม่เป็นไปตามสมการพีชคณิตใดๆ (ดู สมการพีชคณิต) ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้น ตัวเลขจึงตรงกันข้ามกับตัวเลขพีชคณิต (ดู หมายเลขพีชคณิต- การดำรงอยู่ของ T. h. ก่อตั้งขึ้นครั้งแรกโดย J. ลิววิลล์(1844) จุดเริ่มต้นของลิอูวิลล์คือทฤษฎีบทของเขา ซึ่งลำดับของการประมาณเศษส่วนตรรกยะที่มีตัวส่วนที่กำหนดให้กับจำนวนพีชคณิตที่ไม่ลงตัวที่กำหนดนั้นไม่สามารถสูงตามอำเภอใจได้ กล่าวคือถ้าเป็นตัวเลขพีชคณิต กเป็นไปตามสมการพีชคณิตระดับปริญญาที่ลดไม่ได้ nด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้นสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ c ขึ้นอยู่กับเท่านั้น α - ดังนั้น หากสำหรับจำนวนอตรรกยะที่กำหนด α เราสามารถระบุชุดการประมาณเหตุผลจำนวนอนันต์ที่ไม่เป็นไปตามอสมการที่กำหนดสำหรับค่าใดๆ กับและ n(เหมือนกันสำหรับการประมาณทั้งหมด) จากนั้น α คือ T.h. ตัวอย่างของตัวเลขดังกล่าวให้:

หลักฐานการดำรงอยู่ของ T. ch. คันทอร์(ค.ศ. 1874) โดยสังเกตว่าเซตของตัวเลขพีชคณิตทั้งหมดสามารถนับได้ (นั่นคือ ตัวเลขพีชคณิตทั้งหมดสามารถกำหนดหมายเลขใหม่ได้ ดู ทฤษฎีเซต) ในขณะที่เซตของจำนวนจริงทั้งหมดนับไม่ได้

ต่อจากนั้นจึงทำให้ชุดตัวเลขนับไม่ได้ และยิ่งไปกว่านั้น ตัวเลขยังประกอบกันเป็นกลุ่มของชุดตัวเลขทั้งหมดอีกด้วย งานที่สำคัญที่สุดของทฤษฎีจำนวนสัมบูรณ์คือการพิจารณาว่าค่าของฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่มีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์และการวิเคราะห์บางอย่างสำหรับค่าพีชคณิตของการโต้แย้งนั้นเป็นตัวเลขจริงหรือไม่ ปัญหาประเภทนี้ถือเป็นปัญหาที่ยากที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ในปี พ.ศ. 2416 ช.ฤาษี พิสูจน์ว่า

หมายเลขเนเปโรโว ในปี ค.ศ. 1882 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เอฟ. ลินเดมันน์ ได้รับผลลัพธ์ที่กว้างกว่านี้: ถ้า α เป็นตัวเลขพีชคณิต แล้วผลลัพธ์ของα - T. h. Lipdemann ได้รับการสรุปอย่างมีนัยสำคัญโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน K. Siegel (1930) ซึ่งพิสูจน์ให้เห็นถึงความเหนือกว่าของค่าของฟังก์ชันทรงกระบอกระดับกว้างสำหรับค่าพีชคณิตของการโต้แย้ง ในปี 1900 ที่การประชุมทางคณิตศาสตร์ที่ปารีส ดี. ฮิลแบร์ต หนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังแก้ไม่ได้ 23 ข้อ ชี้ให้เห็นสิ่งต่อไปนี้: เป็นจำนวนทิพย์ α β , ที่ไหน α และ β - ตัวเลขพีชคณิตและ β - จำนวนอตรรกยะและโดยเฉพาะอย่างยิ่งคือจำนวน e π ทิพย์ (ปัญหาของการมีชัยของตัวเลขในรูปแบบ α β จัดแสดงครั้งแรกในรูปแบบส่วนตัวโดย L. ออยเลอร์อ้อม, 1744) วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับปัญหานี้ (ในแง่ที่ยืนยัน) ได้รับในปี 1934 โดย A.O. เกลฟอนด์คุณ จากการค้นพบของเกลฟอนด์ พบว่าลอการิทึมทศนิยมทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติ (ซึ่งก็คือ "ลอการิทึมแบบตาราง") เป็นจำนวนเต็ม วิธีการของทฤษฎีตัวเลขถูกนำไปใช้กับการแก้สมการจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม

ความหมาย: Gelfond A.O., ตัวเลขเหนือธรรมชาติและพีชคณิต, M., 1952.

ใหญ่ สารานุกรมโซเวียต- - ม.: สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

ดูว่า "เลขอดิศัย" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

จำนวนที่ไม่เป็นไปตามสมการพีชคณิตใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม เลขอดิศัย คือ เลข??3.14159...; ลอการิทึมทศนิยมของจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ได้แสดงด้วยเลขศูนย์ตามด้วยศูนย์ เบอร์ e=2.71828...และอื่นๆ... ใหญ่ พจนานุกรมสารานุกรม

- (จากภาษาละติน transcendere ถึง pass, เกิน) คือจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่พีชคณิต กล่าวคือ จำนวนที่ไม่สามารถเป็นรากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มได้ สารบัญ 1 คุณสมบัติ 2 ... ... Wikipedia

จำนวนที่ไม่เป็นไปตามสมการพีชคณิตใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ตัวเลขอดิศัย ได้แก่ ตัวเลข π = 3.14159...; ลอการิทึมทศนิยมของจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ได้แสดงด้วยเลขศูนย์ตามด้วยศูนย์ เลข e = 2.71828... ฯลฯ... พจนานุกรมสารานุกรม

จำนวนที่ไม่ตรงกับพีชคณิตใดๆ สมการกับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม รวมไปถึง: หมายเลข PI = 3.14159...; ลอการิทึมทศนิยมของจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ได้แสดงด้วยเลขศูนย์ตามด้วยศูนย์ เลข e = 2.71828... ฯลฯ... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ พจนานุกรมสารานุกรม

จำนวนที่ไม่ใช่รากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ขอบเขตของคำจำกัดความของตัวเลขดังกล่าวคือศูนย์ของจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน และจำนวนรัศมี การมีอยู่และโครงสร้างที่ชัดเจนของชิ้นส่วนจริงได้รับการยืนยันโดย J. Liouville... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

สมการที่ไม่ใช่พีชคณิต โดยทั่วไปแล้วสมการเหล่านี้ประกอบด้วยฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และตรีโกณมิติผกผัน ตัวอย่างเช่น คำจำกัดความที่เข้มงวดมากขึ้นคือ: สมการเหนือธรรมชาติคือสมการ ... Wikipedia

เป็นตัวเลขประมาณเท่ากับ 2.718 ซึ่งมักพบในวิชาคณิตศาสตร์และ วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ- ตัวอย่างเช่น เมื่อสารกัมมันตภาพรังสีสลายตัวหลังจากเวลา t เศษส่วนเท่ากับ e kt จะคงอยู่ของปริมาณตั้งต้นของสาร โดยที่ k คือตัวเลข... ... สารานุกรมถ่านหิน

E คือค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะและเป็นจำนวนอดิศัย บางครั้งเลข e เรียกว่าเลขออยเลอร์ (อย่าสับสนกับเลขออยเลอร์ชนิดแรก) หรือเลขเนเปียร์ แสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก “e”.... ... Wikipedia

E คือค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะและเป็นจำนวนอดิศัย บางครั้งเลข e เรียกว่าเลขออยเลอร์ (อย่าสับสนกับเลขออยเลอร์ชนิดแรก) หรือเลขเนเปียร์ แสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก “e”.... ... Wikipedia

4.2. พีชคณิตและตัวเลขเหนือธรรมชาติ

จำนวนจริงบางครั้งยังแบ่งออกเป็นพีชคณิตและทิพย์อีกด้วย

ตัวเลขพีชคณิตคือตัวเลขที่เป็นรากของพหุนามพีชคณิตที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม เช่น 4, ตัวเลขอื่นๆ (ที่ไม่ใช่พีชคณิต) ทั้งหมดถือเป็นตัวเลขที่ยอดเยี่ยม เนื่องจากจำนวนตรรกยะแต่ละจำนวน p/q เป็นรากของพหุนามที่สอดคล้องกันของดีกรีแรกที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม qx -p ดังนั้น จำนวนอดิศัยทั้งหมดจึงไม่มีเหตุผล

มาเน้นกัน คุณสมบัติลักษณะจำนวนที่พิจารณาแล้ว (ธรรมชาติ ตรรกยะ จริง): พวกเขาจำลองคุณสมบัติเดียวเท่านั้น - ปริมาณ; เป็นมิติเดียวและทั้งหมดแสดงด้วยจุดบนเส้นตรงเส้นเดียวเรียกว่าแกนพิกัด

5. จำนวนเชิงซ้อน

5.1. ตัวเลขจินตภาพ

แม้แต่คนแปลกหน้าที่ไร้เหตุผลก็คือตัวเลขของธรรมชาติใหม่ ซึ่งค้นพบโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอิตาลี Cardano ในปี 1545 เขาแสดงให้เห็นว่าระบบสมการที่ไม่มีคำตอบในชุดจำนวนจริงจะมีคำตอบอยู่ในรูป . คุณเพียงแค่ต้องตกลงที่จะดำเนินการกับนิพจน์ดังกล่าวตามกฎของพีชคณิตธรรมดาและถือว่า · = -

Cardano เรียกปริมาณดังกล่าวว่า "เป็นลบล้วนๆ" และแม้แต่ "เป็นลบอย่างซับซ้อน" ถือว่าปริมาณเหล่านี้ไร้ประโยชน์และพยายามที่จะไม่ใช้มัน

เป็นเวลานานแล้วที่ตัวเลขเหล่านี้ถูกมองว่าเป็นไปไม่ได้ ไม่มีอยู่จริง และเป็นเพียงจินตนาการ เดส์การตส์เรียกสิ่งเหล่านั้นว่าไลบ์นิซในจินตนาการ - "ตัวประหลาดจากโลกแห่งความคิด ตัวตนที่อยู่ระหว่างความเป็นอยู่และสิ่งไม่มีอยู่"

ในความเป็นจริงด้วยความช่วยเหลือของตัวเลขดังกล่าวจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงผลการวัดปริมาณใด ๆ หรือการเปลี่ยนแปลงของปริมาณใด ๆ

ไม่มีที่สำหรับจำนวนจินตภาพบนแกนพิกัด อย่างไรก็ตาม นักวิทยาศาสตร์สังเกตว่าถ้าเราหาจำนวนจริง b บนส่วนที่เป็นบวกของแกนพิกัดแล้วคูณด้วย เราจะได้เลขจินตภาพ b ซึ่งไม่ทราบตำแหน่งอยู่ที่ไหน แต่ถ้าเราคูณเลขนี้อีกครั้ง เราจะได้ -b นั่นคือเลขเดิม แต่อยู่บนส่วนลบของแกนพิกัด ดังนั้น ด้วยการคูณสองครั้ง เราจึงโยนเลข b จากบวกไปเป็นลบ และตัวเลขที่อยู่ตรงกลางของการโยนนี้ ตัวเลขนั้นเป็นจำนวนจินตภาพพอดี นี่คือวิธีที่เราพบสถานที่สำหรับจำนวนจินตภาพ ณ จุดบนแกนพิกัดจินตภาพที่ตั้งฉากกับจุดศูนย์กลางของแกนพิกัดจริง จุดของระนาบระหว่างแกนจินตภาพและแกนจริงแสดงถึงตัวเลขที่ Cardano พบ ซึ่งอยู่ในนั้น มุมมองทั่วไป a + b·i มีจำนวนจริง a และจำนวนจินตภาพ b·i อยู่ในจำนวนเชิงซ้อนเดียว (องค์ประกอบ) ดังนั้นจึงเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน

นี่คือระดับที่ 4 ของการวางนัยทั่วไปของจำนวน

เทคนิคการดำเนินการกับจำนวนจินตภาพค่อยๆพัฒนาขึ้น ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 17 และ 17 ทฤษฎีทั่วไปเกี่ยวกับรากของกำลัง n ได้ถูกสร้างขึ้น เริ่มจากลบก่อน แล้วจึงมาจากจำนวนเชิงซ้อนใดๆ ตามสูตรของนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ A. Moivre ต่อไปนี้:

เมื่อใช้สูตรนี้ ก็จะสามารถหาสูตรสำหรับโคไซน์และไซน์ของส่วนโค้งหลายส่วนได้

Leonhard Euler ได้รับสูตรที่น่าทึ่งในปี 1748:

ซึ่งเชื่อมโยงฟังก์ชันเลขชี้กำลังกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเข้าด้วยกัน จากสูตรของออยเลอร์ คุณสามารถเพิ่มจำนวน e เป็นค่าใดก็ได้ ระดับที่ครอบคลุม- ที่น่าสนใจก็คือว่า... คุณสามารถค้นหา sin และ cos ของจำนวนเชิงซ้อน คำนวณลอการิทึมของตัวเลขดังกล่าว ฯลฯ

เป็นเวลานานที่แม้แต่นักคณิตศาสตร์ยังถือว่าจำนวนเชิงซ้อนลึกลับและใช้มันเพื่อการปรับเปลี่ยนทางคณิตศาสตร์เท่านั้น ดังนั้น เบอร์นูลลี นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสจึงใช้จำนวนเชิงซ้อนในการแก้ปริพันธ์ หลังจากนั้นไม่นาน ด้วยความช่วยเหลือของตัวเลขจินตภาพ พวกเขาเรียนรู้ที่จะแสดงคำตอบของเส้นตรง สมการเชิงอนุพันธ์โดยมีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ตัวอย่างเช่นสมการดังกล่าวพบได้ในทฤษฎีการแกว่ง จุดวัสดุในสภาพแวดล้อมที่ต้านทาน

กลุ่มพีชคณิตเมทริกซ์

ระบบปิดพีชคณิต

เริ่มจากแนวคิดของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตกันก่อน ให้ A เป็นพีชคณิตสากลที่มีชุดการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต U แต่ละการดำเนินการ U จาก U จะมีค่าที่แน่นอน n, nN(0) สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ การดำเนินการ n-ary u คือการโยงจาก An ถึง A...

พลังของจำนวนเฉพาะ

จำนวนเฉพาะร่วมกันคือจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนเต็มที่ไม่มีจำนวนหน่วยที่มากกว่า 1 เท่ากัน หรือดูเหมือนจะมีจำนวนหน่วยที่มากกว่า 1 มากที่สุด ดังนั้น 2 และ 3 -- ในรูปแบบง่ายมาก และ 2 และ 4 ไม่ได้ (หารด้วย 2)...

กราฟและฟังก์ชันของมัน

ลองพิจารณาการดำเนินการพีชคณิตขั้นพื้นฐานเกี่ยวกับฟังก์ชันและกราฟ เช่น การบวกและการลบ (y = f(x) ±g(x)) การคูณ (y = f(x) g(x)) การหาร (y = f( x) / ก(x)) เมื่อสร้างกราฟประเภทนี้คุณควรคำนึงถึง...

จำนวนเชิงซ้อน: อดีตและปัจจุบัน

คณิตศาสตร์ในยุคกลาง

เงื่อนไขที่จำเป็นการประยุกต์ใช้วิธีฟางเฉิงกับระบบสมการคือการนำจำนวนลบมาใช้ เช่น เมื่อแก้ระบบเราจะได้ตาราง ขั้นตอนถัดไป: ลบองค์ประกอบของคอลัมน์ที่สามจากด้านขวาออกจากองค์ประกอบของคอลัมน์แรก...

ศาสตร์แห่งตัวเลข

พีทาโกรัสถือว่าตัวเลขไม่ใช่แค่สิ่งทดแทนที่เป็นนามธรรมสำหรับของจริงเท่านั้น แต่ยังถือว่าสิ่งมีชีวิตสะท้อนคุณสมบัติของอวกาศ พลังงาน หรือการสั่นสะเทือนของเสียง ศาสตร์หลักของจำนวน เลขคณิต...

ศาสตร์แห่งตัวเลข

ตำนานเล่าว่าพีทาโกรัสเป็นผู้ค้นพบเลขฮาร์มอนิก ซึ่งเป็นอัตราส่วนที่ทำให้เกิดเสียงดนตรีของทรงกลม Flammarion เล่าตำนานนี้ว่า "พวกเขาบอกว่าขณะเดินผ่านโรงตีเหล็ก เขาได้ยินเสียงค้อน...

การประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีน้ำหนัก Chebyshev-Hermite

ให้ระบุฟังก์ชันน้ำหนักเท่ากันบนแกนทั้งหมด

(1.1) การหาความแตกต่างของฟังก์ชันนี้อย่างต่อเนื่อง เราพบว่า (1.2) มันง่ายที่จะพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำว่าลำดับ n อนุพันธ์ของฟังก์ชัน (1.1) เป็นผลคูณของฟังก์ชันนี้ด้วยพหุนามบางตัวของดีกรี n...

ขอแนะนำตัวเลขที่ไม่ถูกต้องตัวใหม่ซึ่งมีกำลังสองเป็น -1 เราแสดงตัวเลขนี้ด้วยสัญลักษณ์ I และเรียกมันว่าหน่วยจินตภาพ ดังนั้น (2.1) จากนั้น (2.2) 1. รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ถ้าจำนวน (2.3) เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน...

ลำดับตัวเลขที่กำหนดซ้ำๆ

เมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ มากมาย คุณมักจะต้องจัดการกับลำดับที่ให้มาซ้ำๆ แต่ต่างจากลำดับ Fibonacci ตรงที่งานการวิเคราะห์ไม่สามารถทำได้เสมอไป...

สมการอดิศัยพร้อมพารามิเตอร์และวิธีการหาคำตอบ

สมการเหนือธรรมชาติเป็นสมการที่ประกอบด้วยฟังก์ชันเหนือธรรมชาติ (จำนวนอตรรกยะ ลอการิทึม เลขชี้กำลัง ตรีโกณมิติ และตรีโกณมิติผกผัน) ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก (ตัวแปร) เช่น สมการ...

นานมาแล้ว เมื่อช่วยตัวเองนับด้วยก้อนกรวด ผู้คนต่างให้ความสนใจกับตัวเลขที่ถูกต้องซึ่งอาจทำจากก้อนกรวดได้ คุณสามารถวางก้อนกรวดเรียงกัน: หนึ่ง สอง สาม ถ้าจะเรียงเป็นสองแถวให้เป็นสี่เหลี่ยม...

สมการเหนือธรรมชาติเป็นสมการที่ประกอบด้วยฟังก์ชันเหนือธรรมชาติ (จำนวนอตรรกยะ ลอการิทึม เลขชี้กำลัง ตรีโกณมิติ และตรีโกณมิติผกผัน) ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก (ตัวแปร) เช่น สมการ...

บางครั้งจำนวนสมบูรณ์ถือเป็นกรณีพิเศษของจำนวนที่เป็นมิตร: จำนวนสมบูรณ์ทุกจำนวนเป็นมิตรกับตัวมันเอง นิโคมาคุส แห่งเกรัส นักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชื่อดัง เขียนไว้ว่า “ตัวเลขที่สมบูรณ์นั้นสวยงาม แต่ที่ทราบกันดีว่า...

คุณสมบัติแฟร็กทัลของกระบวนการทางสังคม

แฟร็กทัลเรขาคณิตเป็นตัวเลขคงที่ แนวทางนี้ค่อนข้างยอมรับได้ตราบใดที่ไม่จำเป็นต้องพิจารณาเช่นนั้น ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติเหมือนสายน้ำที่ตกลงมา ควันไฟที่พลุ่งพล่าน...