การลดระบบกำลังเชิงพื้นที่ให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด กรณีพิเศษของการนำระบบกองกำลังเชิงพื้นที่ตามอำเภอใจมาสู่ศูนย์กลาง นำมาเป็นคู่.

นำระบบกำลังมาสู่ศูนย์กลาง

คำถาม

การบรรยายครั้งที่ 6

3. สภาวะสมดุล ระบบโดยพลการความแข็งแกร่ง

1. พิจารณาระบบกำลังตามอำเภอใจ ลองเลือกจุดใดก็ได้ เกี่ยวกับสำหรับศูนย์ลดและใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับ การถ่ายโอนแบบขนานแรง ขอให้เราถ่ายโอนแรงทั้งหมดของระบบไปยังจุดที่กำหนด โดยไม่ลืมที่จะเพิ่มแรงคู่ที่เกี่ยวข้องเมื่อทำการถ่ายโอนแต่ละแรง

ให้เราแทนที่ระบบผลลัพธ์ของแรงที่มาบรรจบกันด้วยแรงหนึ่งแรงเท่ากับเวกเตอร์หลักของระบบแรงดั้งเดิม ระบบของคู่แรงที่เกิดขึ้นระหว่างการถ่ายโอนจะถูกแทนที่ด้วยคู่หนึ่งคู่โดยมีโมเมนต์เท่ากับผลรวมเรขาคณิตของโมเมนต์ของคู่แรงทั้งหมด (เช่น ผลรวมเรขาคณิตของโมเมนต์ของระบบแรงดั้งเดิมสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลาง เกี่ยวกับ).

ช่วงเวลานี้เรียกว่า โมเมนต์หลักของระบบแรงสัมพันธ์กับศูนย์กลาง O (รูปที่ 1.30)

ข้าว. 1.30. นำระบบกำลังมาสู่ศูนย์กลาง

ดังนั้น ระบบแรงใดๆ ก็ตามสามารถถูกแทนที่ด้วยปัจจัยแรงเพียง 2 ตัวเท่านั้น - เวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางการลดที่เลือกโดยพลการ - แน่นอนว่าเวกเตอร์หลักของระบบแรงไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดศูนย์กลางการลด (เวกเตอร์หลักกล่าวกันว่าไม่แปรผันตามการเลือกจุดศูนย์กลางการลด) เห็นได้ชัดว่าช่วงเวลาหลักไม่มีคุณสมบัตินี้ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องระบุเสมอว่าช่วงเวลาหลักถูกกำหนดโดยคำนึงถึงจุดศูนย์กลางใด

2- นำระบบกำลังมาสู่รูปแบบที่ง่ายที่สุด

ความเป็นไปได้ของการทำให้ระบบแรงตามอำเภอใจง่ายขึ้นนั้นขึ้นอยู่กับค่าของเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลัก เช่นเดียวกับการเลือกจุดศูนย์กลางการลดที่ประสบความสำเร็จ ในกรณีนี้ก็เป็นไปได้ กรณีต่อไปนี้:

ก) , . ใน ในกรณีนี้ระบบจะลดลงเหลือแรงคู่หนึ่งในช่วงเวลาหนึ่ง ซึ่งค่านั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดศูนย์กลางของการลดลง

ข) , . ระบบจะลดลงเหลือผลลัพธ์เท่ากับ แนวการกระทำที่ผ่านจุดศูนย์กลาง เกี่ยวกับ.

c) และตั้งฉากกัน ระบบจะลดลงเหลือผลลัพธ์เท่ากับแต่ไม่ผ่านจุดศูนย์กลาง เกี่ยวกับ(รูปที่ 1.31)

ข้าว. 1.31. นำระบบกำลังมาสู่ผลลัพธ์

ลองแทนที่ช่วงเวลาหลักด้วยแรงคู่หนึ่งดังแสดงในรูป 1.31. เรามากำหนดกัน รจากเงื่อนไขที่ว่า ม 0 = ร ชม- จากนั้น ตามสัจพจน์ที่สองของสถิตยศาสตร์ ให้เราปฏิเสธระบบสมดุลของแรงสองแรงที่กระทำที่จุดหนึ่ง เกี่ยวกับ.

d) และขนาน ระบบขับเคลื่อนด้วยไดนามิกสกรู โดยมีแกนผ่านศูนย์กลาง เกี่ยวกับ(รูปที่ 1.32)

ข้าว. 1.32. สกรูแบบไดนามิก

e) และไม่เท่ากับศูนย์ และในขณะเดียวกัน เวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักไม่ขนานกันและไม่ตั้งฉากกัน ระบบขับเคลื่อนด้วยสกรูแบบไดนามิก แต่แกนไม่ผ่านจุดศูนย์กลาง เกี่ยวกับ(รูปที่ 1.33)

ข้าว. 1.33. กรณีทั่วไปที่สุดของการลดระบบกำลัง

กรณีที่ 1

ถ้าเวกเตอร์หลักของระบบแรงเท่ากับศูนย์และโมเมนต์หลักสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางของการลดลงเท่ากับศูนย์ แสดงว่าแรงทั้งสองมีความสมดุลซึ่งกันและกัน

กรณีที่ 2

ถ้าเวกเตอร์หลักของระบบแรงเท่ากับศูนย์ และโมเมนต์หลักของมันสัมพันธ์กับศูนย์กลางของการลดลงไม่เท่ากับศูนย์ แรงนั้นจะลดลงเหลือแรงหนึ่งคู่ โมเมนต์ของแรงคู่นี้เท่ากับโมเมนต์หลักของระบบแรงสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางของการลดลง

ในกรณีนี้ โมเมนต์หลักของระบบแรงที่สัมพันธ์กับทุกจุดในอวกาศจะเท่ากันในเชิงเรขาคณิต

กรณีที่ 3

หากเวกเตอร์หลักของระบบแรงไม่เท่ากับศูนย์และโมเมนต์หลักที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางของผีเท่ากับศูนย์ แรงนั้นจะลดลงจนเป็นผลลัพท์ ซึ่งเป็นแนวการกระทำที่ผ่านจุดศูนย์กลาง ของผี

กรณีที่ 4 และ .

หากช่วงเวลาหลักของระบบแรงสัมพันธ์กับศูนย์กลางของการลดลงตั้งฉากกับเวกเตอร์หลัก แรงนั้นจะลดลงเป็นผลลัพท์ ซึ่งแนวการกระทำไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของการลดลง (รูปที่ 145) .

กรณี V. และ .

หากช่วงเวลาหลักของระบบแรงที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางของการลดลงไม่ตั้งฉากกับเวกเตอร์หลัก แรงนั้นจะลดลงเหลือสองแรงข้ามหรือกับสกรูกำลัง (ไดนาโม) เช่น กับการรวมกันของแรงและแรงคู่หนึ่งซึ่งมีระนาบตั้งฉากกับแรงนั้น

ลดลงเหลือสองแรงข้าม (รูปที่ 147):

สมการสมดุลของระบบแรงต่างๆ

สำหรับแรงที่อยู่ในอวกาศโดยพลการ สภาวะสมดุล 2 ประการจะสอดคล้องกัน:

โมดูลของโมเมนต์หลักและเวกเตอร์หลักสำหรับระบบแรงที่พิจารณาจะถูกกำหนดโดยสูตร:

เงื่อนไขจะเป็นไปตามสมการพื้นฐานหกประการที่สอดคล้องกันของความสมดุลของแรงที่อยู่ในอวกาศโดยพลการ:

สมการสามตัวแรกเรียกว่าสมการของโมเมนต์ของแรงสัมพันธ์กับแกนพิกัด และสมการสามอันสุดท้ายเรียกว่าสมการของเส้นโครงของแรงบนแกน

รูปแบบของสมการสมดุลของระบบแรงระนาบ

สำหรับแรงที่วางอยู่บนเครื่องบินโดยพลการ มีเงื่อนไขสมดุล 2 ประการ:

เงื่อนไขสองประการสำหรับความสมดุลของแรงที่วางอยู่บนระนาบโดยพลการสามารถแสดงเป็นระบบสมการสามสมการ:

สมการเหล่านี้เรียกว่าสมการสมดุลพื้นฐานของระบบแรงระนาบ ศูนย์กลางของโมเมนต์และทิศทางของแกนพิกัดสำหรับระบบสมการนี้สามารถเลือกได้ตามใจชอบ

ยังมีอีกสองระบบจากสามสมการของระบบแรง

ในเวลาเดียวกันในระบบแกน คุณจะต้องไม่ตั้งฉากกับเส้นที่ผ่านจุด A และ B

เนื่องจากโมเมนต์หลักของระบบแรงที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์ ระบบแรงที่พิจารณาจึงไม่ลดลงเหลือแรงคู่หนึ่ง การฉายภาพของผลลัพธ์บนแกนใดๆ จะเท่ากับผลรวมของการฉายภาพของแรงส่วนประกอบ เช่น ดังนั้นผลลัพธ์ที่สมมติขึ้น ด้วยเหตุนี้ ระบบแรงจึงไม่ลดลงเหลือเพียงแรงคู่หรือผลลัพธ์ ดังนั้น จึงสมดุล

โดยที่จุด A, B, C ไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน ในกรณีนี้ แรงจะไม่ลดลงเหลือแรงคู่หนึ่ง เนื่องจากโมเมนต์หลักของแรงสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางทั้งสามมีค่าเท่ากับศูนย์ แรงจะไม่ลดลงเป็นผลลัพท์ เนื่องจากถ้ามีอยู่ เส้นการกระทำของมันจะไม่สามารถผ่านจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันได้ ดังนั้น ระบบแรงจึงไม่ถูกลดเหลือเพียงแรงคู่หรือแรงลัพธ์ ดังนั้น จึงสมดุล

ศูนย์กลางกองกำลังขนาน

เมื่อบวกแรงคู่ขนานสองแรงเข้าด้วยกัน แรงที่ขนานกันทั้งสองแรงจะลดลงเหลือแรงเดียว - ผลลัพธ์ที่ได้คือเส้นการกระทำที่ขนานไปกับแนวการกระทำของแรง ผลลัพธ์จะถูกใช้ที่จุดที่แบ่งเส้นตรง ที่ระยะทางแปรผกผันกับขนาดของแรง

เนื่องจากแรงสามารถถูกถ่ายโอนไปตามแนวการกระทำได้ จึงไม่ได้กำหนดจุดของการให้ผลลัพธ์ ถ้าแรงถูกหมุนด้วยมุมเดิมและเพิ่มแรงเข้าไปอีกครั้ง เราจะได้แนวการกระทำของผลลัพธ์ในทิศทางที่แตกต่างออกไป จุดตัดกันของเส้นผลลัพธ์ทั้งสองนี้ถือได้ว่าเป็นจุดใช้งานของผลลัพธ์ซึ่งจะไม่เปลี่ยนตำแหน่งเมื่อแรงทั้งหมดหมุนพร้อมกันผ่านมุมเดียวกัน จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางแรงขนาน

ทฤษฎีบท (เกี่ยวกับการถ่ายโอนแรงแบบขนานไปยังจุดใดก็ได้)แรงที่ใช้กับ ATT โดยไม่ต้องเปลี่ยนผลกระทบที่กระทำต่อร่างกายสามารถถ่ายโอนขนานกับตัวเองไปยังจุดใดก็ได้ของ ATT โดยเพิ่มแรงคู่หนึ่งโดยมีโมเมนต์เท่ากับโมเมนต์ของแรงที่ถ่ายโอนสัมพันธ์กับจุด มันถูกโอนไปที่ไหน

การพิสูจน์.เอาล่ะ เอ.ที.ที.การกระทำบังคับ ฉนำไปใช้ ณ จุดหนึ่ง ก.ตามสัจพจน์ 2 ของสถิตยศาสตร์ ณ จุดใดก็ได้ของร่างกายเราสามารถใช้ระบบแรงที่สมดุลได้ ฉ, ฉ",เช่น ณ จุดหนึ่ง ใน(รูปที่ 4.1)

ข้าว. 4.1

อนุญาต ฟ"= เอฟจากนั้นระบบผลลัพธ์ของแรงทั้งสามก็ถือได้ว่าเป็นระบบที่ประกอบด้วยแรง เอฟ"และพลังคู่ที่เพิ่มเข้ามา เอฟ", เอฟกับช่วงเวลานั้น ต = เอ็มบี(F) ?

ให้เรานำเสนอทฤษฎีบทอีกสองทฤษฎีที่เป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหา อันแรกก็คือ ออยเลอร์ - ทฤษฎีบทโซมอฟ

ทฤษฎีบท.ระบบเชิงพื้นที่ตามอำเภอใจของแรงที่กระทำต่อ ATT สามารถลดลงเหลือสองแรงได้ (กากบาทของแรง) ซึ่งหนึ่งในนั้นถูกใช้ที่จุด A ของ TT ที่เลือกโดยพลการ

ที่สอง - ทฤษฎีบทของวาริญงสำหรับระบบแรงระนาบตามอำเภอใจซึ่งเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทออยเลอร์-โซมอฟ

ทฤษฎีบท.ระบบแรงระนาบตามอำเภอใจเทียบเท่ากับระบบแรงสองแรงที่อยู่ในระนาบนี้

- นำระบบแรงมาสู่จุดศูนย์กลางเดียว ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทพื้นฐานของสถิตศาสตร์)การกระทำของระบบแรงตามอำเภอใจใด ๆ บน A TT เทียบเท่ากับการกระทำที่จุด A โดยพลการของเวกเตอร์หลัก ATT นี้ 1 F ของระบบแรงนี้และแรงคู่หนึ่งที่มีโมเมนต์ MA ซึ่งเท่ากับโมเมนต์หลักของระบบแรงสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางของการลดลง A 2

การพิสูจน์.เอาล่ะ เอ.ที.ที.ระบบกองกำลังตามอำเภอใจทำงาน ฉ(_น.ลองเลือกจุดตามอำเภอใจ กวัตถุเป็นศูนย์กลางของการรีดิวซ์ (รูปที่ 4.2) และถ่ายเทแรงทั้งหมดมายังจุดนี้ตามทฤษฎีบทว่าด้วยการถ่ายเทแรงแบบขนาน

ข้าว. 4.2.ถึงทฤษฎีบทพื้นฐานของสถิตยศาสตร์: การลดลงเป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุดของระบบแรงตามอำเภอใจ

โดยมีการโอนดังกล่าว ณ จุดนั้น กจะใช้เวกเตอร์สองกลุ่ม:

1) แรงเวกเตอร์ ฉ(_น = Fx_nและ 2) เวกเตอร์ของช่วงเวลาที่เพิ่ม #และ LO b,1 = ม. (F\_„)สสส เอฟเอ็กซ์"_nสามารถแทนที่ได้ด้วยผลลัพธ์ เอฟ = ^ฟจ,และระบบคู่ก็เทียบเท่ากับหนึ่งคู่กับโมเมนต์

ม.ล. = !

ในกรณีเฉพาะของตำแหน่งของแรงทั้งหมดในระนาบเดียว - ระบบแรงแบน - ระบบแรงจะลดลงเหลือเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักของสเกลาร์ (เนื่องจากทราบทิศทางของเวกเตอร์ของโมเมนต์หลักแล้ว ตั้งฉากกับระนาบตำแหน่งของกองกำลัง)

ความแข็งแกร่ง ฉเท่ากับผลรวมเรขาคณิต/เวกเตอร์ของแรงทั้งหมดของระบบที่เรียกว่า เวกเตอร์หลักระบบกำลัง

ช่วงเวลา เอ็ม เอเท่ากับผลรวมเรขาคณิต/เวกเตอร์ของโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่สัมพันธ์กับศูนย์กลาง เอ,เรียกว่า จุดหลักระบบกำลัง

ดังนั้นการกระทำทางกลของระบบแรงเชิงพื้นที่ใด ๆ บน ATT จึงมีลักษณะเฉพาะด้วยพารามิเตอร์ทั่วไปสองตัว:

• 1 สำหรับคำจำกัดความของเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักของระบบแรง โปรดดูต่อไปในบทนี้
• 2 ในเวลาเดียวกัน เอฟไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกศูนย์ ล(หรืออีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์หลักของระบบแรงคือค่าคงที่ของระบบแรง) และค่าต่างๆ เอ็ม เอในกรณีทั่วไป ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดศูนย์กลางการลด (อีกนัยหนึ่ง โมเมนต์หลักของระบบแรงไม่แปรเปลี่ยนจากระบบแรง)

ramie: เวกเตอร์หลักและช่วงเวลาหลัก การกำหนดปริมาณเหล่านี้สามารถทำได้โดยการสร้างทางเรขาคณิตหรือโดยการคำนวณเชิงตัวเลขโดยใช้สูตร:

หากคุณต้องการค้นหามุม ให้คำนวณโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์หลัก:

- กรณีพิเศษของระบบลดแรง

กรณีเหล่านี้เกี่ยวข้องอย่างเป็นทางการกับความเท่าเทียมกันกับศูนย์ของค่าของเวกเตอร์หลักของระบบแรง

ฉันกรณีการลดระบบกองกำลังตามอำเภอใจ:

• 1) ฉ=เกี่ยวกับ, ม.ล. 0 - ระบบแรงอยู่ในสมดุล
• 2) ฉ-เกี่ยวกับ, เอ็ม เอ เอฟ เอ็ม เอ
• 3) เอฟเอฟเกี่ยวกับ, เอ็ม เอ - 0 - ระบบแรงลดลงเหลือเวกเตอร์หลักหนึ่งตัว (ใช้ที่จุดศูนย์กลางของการลดลง ก)ซึ่งในกรณีนี้คือแรงลัพธ์
• 4) เอฟ เอฟเกี่ยวกับ, เอ็ม เอ เอฟ 0 - ระบบแรงลดลงเหลือหนึ่งแรง - เวกเตอร์หลักของระบบแรงที่ใช้ ณ จุดนั้น ใน(รูปที่ 4.3) ซึ่งในกรณีนี้คือแรงลัพธ์

ข้าว. 4.3.

ในรูป ระยะ 4.3 ล.ว = ง,ซึ่งเป็นแขนแห่งแรงคำนวณจากเงื่อนไข ม เอ - ฟ ?ง.

กรณีที่สองนำระบบกองกำลังเชิงพื้นที่โดยพลการ:

• 1)ฉ= เกี่ยวกับ, เอ็ม เอ= 0 - ระบบแรงอยู่ในสมดุล
• 2) ฉ=เกี่ยวกับ, เอ็ม เอเอฟ 0 - ระบบแรงลดลงเหลือหนึ่งคู่ในช่วงเวลาหนึ่ง เอ็ม เอค่าที่ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกศูนย์ลด
• 3) เอฟเอฟเกี่ยวกับ, ม เอ = 0 - ระบบแรงลดลงเหลือผลลัพธ์เดียว เอฟ
• 4) แฟนโอ้ เอ็ม เอเอฟ 0:
  • ก) เอฟ ก.เอ็ม เอ -ระบบแรงจะลดลงเหลือผลลัพธ์เดียวซึ่งใช้ที่จุดนั้น ในเช่นนั้น ล.ว = ง = เอ็ม.เจ.เอฟ.(ดูรูปที่ 4.3)
  • ข) เอฟ เอ็ม เอ -ระบบแรง (รูปที่ 4.4) ในกรณีนี้เรียกว่า ไดนามิก/สกรูกำลัง,หรือเพียงแค่ ไดนาโมเส้นตรงที่เวกเตอร์หลักกำกับนั้นเรียกว่า แกนของพลวัตหรือแกนกลางของระบบแรง

ข้าว. 4.4.

ภายใต้อิทธิพลของระบบแรงดังกล่าว วัตถุอิสระจะทำการเคลื่อนที่ของสกรู ที่ งานวิเคราะห์แกนไดนามิกที่ผ่านเสา เอ,มีสมการ:

ที่ไหน - พารามิเตอร์ไดนามิกมีมิติของความยาว

แน่จริงให้ ม 0= ^Г(#;. x/s) - โมเมนต์หลักของระบบกำลัง ฉ ฉันด้วยผลลัพธ์ ฉ(X,ยู,ซ)= สัมพันธ์กับศูนย์กลาง เกี่ยวกับและ เอ็ม เอ= ^(i, x/D - โมเมนต์หลักของแรงระบบเดียวกันเมื่อนำมาสู่ศูนย์กลาง ก(รูปที่ 4.5, ก)ตั้งแต่ /*, = โอเอ+ ฉันแล้ว ม ล = ม 0 -โอเอเอ็กซ์^ฟ ผม= ม 0 -โอเอเอ็กซ์ เอฟเงื่อนไขคอลลิเนียริตีสำหรับเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักของจุด กเขียนดังนี้: pF = แมสซาชูเซตส์ที่ไหน ร- พารามิเตอร์สกรูที่มีมิติความยาว เราได้มันมาจากไหน?

และเมื่อเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของเวกเตอร์หน่วยทางซ้ายและขวาเราจะได้สมการที่ต้องการสำหรับแกนกลางของไดนาโม

ข้าว. 4.5,ก.เพื่อให้ได้สมการสำหรับแกนกลางของไดนามิสม์

c) ถ้าเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักสร้างมุม φ ระหว่างพวกมันซึ่งแตกต่างจากศูนย์และ l/2 ดังนั้นระบบแรงจะลดลงไปสู่ไดนามิก เอฟ เอ็ม พีซึ่งมีแกนผ่านจุดนั้น ในเช่นนั้น AB=เอ็มเจเอฟ(ข้าว. 4.5 ,ข)

ข้าว. 4.5,ข.ตำแหน่งโดยพลการของเวกเตอร์หลักของระบบแรงและโมเมนต์หลัก

ดังที่เราเห็นองค์ประกอบของไดนามิสต์เป็นเวกเตอร์หลัก เอฟระบบแรงและไดนามิกของโมเมนต์ นาย เอ็ม เอไปยังทิศทางของเวกเตอร์หลัก เช่น = ม.อดังนั้นBf.

เราได้มันมาจากไหน?

หลัก ค่าคงที่คงที่ 1ระบบแรงเป็นเวกเตอร์หลัก รี ช่วงเวลาแห่งความคล่องตัวเท่ากับการฉายช่วงเวลาหลัก เอ็ม เอไปยังทิศทางของเวกเตอร์หลัก สำหรับเวกเตอร์ เอฟคำสั่งนี้ชัดเจน สำหรับช่วงเวลาแห่งความไดนามิกนั้นสามารถสังเกตได้ว่า ม = ม 1( + ม ± ,ที่ไหน ม ก F= M ล.( F+ M L F,หรือ เอ็ม เอ เอฟ = เอ็ม พี เอฟ.

เนื่องจากเวกเตอร์ /’ มีค่าคงที่ ดังนั้นการฉายภาพโมเมนต์หลักไปยังทิศทางของมันจะคงที่เช่นกัน

- สภาวะสมดุล

ตามลักษณะทางเรขาคณิต ระบบแรงจะแบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ ดังต่อไปนี้:

• 1) ระบบการรวมพลังเหล่านั้น. กองกำลังที่มีแนวการกระทำตัดกันที่จุดหนึ่ง
• 2) โดยพลการ ระบบแรงแบนเหล่านั้น. กองกำลังที่มีแนวปฏิบัติอยู่ในระนาบเดียวกัน
• 3)ระบบแรงขนาน- แบนและเชิงพื้นที่เช่น กองกำลังที่มีแนวปฏิบัติขนานกัน
• 4) โดยพลการ ระบบกำลังเชิงพื้นที่

นอกเหนือจากระบบแรงแล้ว หากระบบโมเมนต์ยังกระทำต่อ L TT ด้วย ดังนั้น แต่ละโมเมนต์ของระบบนี้สามารถแสดงเป็นแรงคู่ได้ และด้วยเหตุนี้ จึงลดระบบโมเมนต์เป็นระบบแรงได้

เงื่อนไขหลักสำหรับสมดุลสถิต(ในรูปแบบเวกเตอร์):

เพื่อความสมดุลของ L TT ภายใต้การกระทำของระบบแรงเชิงพื้นที่จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักของระบบแรงนี้สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางการลดลงใด ๆ เท่ากับศูนย์ 1:

ฉายสองเรื่องนี้ สมการเวกเตอร์บนแกนพิกัดที่เลือก CO,เราจะได้สมการสเกลาร์ 6 แบบหรือ รูปแบบการวิเคราะห์ของสภาวะสมดุล:

ดังนั้น, เพื่อให้ ATT อยู่ในสภาวะสมดุลภายใต้การกระทำของระบบแรงเชิงพื้นที่ จำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของการฉายภาพของแรงทั้งหมดไปยังแกนพิกัดทั้งสามแกนและผลรวมของโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่สัมพันธ์กับแกนเหล่านี้ จำเป็นและเพียงพอ มีค่าเท่ากับศูนย์

เงื่อนไขเดียวกันนี้สามารถกำหนดได้ในรูปแบบเรขาคณิต:เพื่อให้ ATT อยู่ในสมดุลภายใต้การกระทำของระบบแรงเชิงพื้นที่ จำเป็นและเพียงพอที่จะต้องปิดรูปหลายเหลี่ยมแรงและรูปหลายเหลี่ยมโมเมนต์

ภาวะสมดุลที่แสดงออกมาในรูปแบบการวิเคราะห์ (4.1a) มักเรียกอีกอย่างว่า สมการสมดุลหากจำนวนที่ไม่ทราบเกินจำนวนสมการสมดุล ปัญหาก็คือ ไม่แน่นอนทางสถิตดังที่เราเห็นในกรณีทั่วไป ปัญหาความสมดุลของร่างกายอาจมีปริมาณที่ไม่ทราบถึงหกปริมาณ

คำแนะนำ!เพื่อให้ได้สมการสมดุลที่ง่ายที่สุด (แต่ละสมการมีจำนวนค่าที่ไม่ทราบน้อยที่สุด) คุณสามารถวาดแกนพิกัดตั้งฉากกับแรงที่ไม่ทราบจำนวนมากที่สุด และเลือกจุดที่จุดตัดของเส้นการกระทำเป็นศูนย์กลางของการลดลง จำนวนที่ใหญ่ที่สุดกองกำลังที่ไม่รู้จัก

• ? กรณีพิเศษของสภาวะสมดุล
• 1. ระบบแรงบรรจบกันโดยมีจุดศูนย์กลางแรง ณ จุดหนึ่ง ก.สภาพสมดุลของมันในรูปแบบเวกเตอร์จะลดลงเหลือหนึ่งสมการ

1ก. ระบบพื้นที่ของกองกำลังที่มาบรรจบกัน สมการสมดุลสำหรับระบบดังกล่าวในรูปแบบการวิเคราะห์จะอยู่ในรูปแบบ:

16. ระบบระนาบของกองกำลังที่มาบรรจบกัน สมการสมดุลของระบบดังกล่าวในรูปแบบการวิเคราะห์ โดยสมมติว่าแรงอยู่ในระนาบขนานกับระนาบ โอ้จะอยู่ในรูปแบบ:

2. ระบบแรงระนาบที่มีแรงอยู่ในระนาบ โอ้:

เพื่อความมั่นใจในกรณีนี้ จำนวนสิ่งที่ไม่ทราบไม่ควรเกินสาม สามารถให้สมการเดียวกันนี้ในรูปแบบการวิเคราะห์อื่นๆ ที่เทียบเท่าได้:

เส้นไหน ดวงอาทิตย์ไม่ตั้งฉากกับแกน โอ้.

สภาวะสมดุลอีกรูปแบบหนึ่ง:

ที่ไหน ก, บี, ซีอย่านอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกันและเป็นของเครื่องบิน โอ้.

3. ระบบแรงขนาน:

สำหรับ. ระบบแรงขนานในอวกาศ โดยพิจารณาว่าแรงเหล่านี้ขนานกับแกน โอ้.จากนั้น จากสมการทั้งหก (4.1a) สมการที่หนึ่ง สาม และหกจะเหมือนกัน (ไม่ว่าระบบแรงที่กำหนดจะอยู่ในสมดุลหรือไม่ก็ตาม):

36. ระบบแรงขนานบนระนาบ โดยพิจารณาว่าอยู่ในระนาบเดียวกัน โอ้โหขนานกับแกน โอ้:

หรือในรูปแบบอื่น:

4. สำหรับระบบแรงเชิงพื้นที่โดยพลการ สภาวะสมดุลได้แสดงไว้แล้วในบทนี้ - นี่คือเงื่อนไขหลักสำหรับความสมดุลของสถิตยศาสตร์ (4.1)

ตัวอย่างที่ 1 (นำระบบกำลังมาสู่รูปแบบที่ง่ายที่สุด)กำหนดเวกเตอร์หลัก ร*และประเด็นหลัก ม 0กำหนดระบบกำลัง ร x ร 2 ร 2 ร 4สัมพันธ์กับศูนย์กลาง เกี่ยวกับและกำหนดรูปแบบที่ง่ายที่สุดที่ระบบนี้สามารถลดได้ ขนาดของเส้นขนาน (รูปที่ 4.6) รวมถึงโมดูลและทิศทางของแรงจะแสดงอยู่ในตาราง

เมื่อทำงานเสร็จคุณต้องทำสิ่งต่อไปนี้:

• 1) พรรณนาระบบแรงที่กำหนดโดยสร้างเส้นขนานตามมาตราส่วน โดยแสดงมุม xOyในภาพวาดเท่ากับ 135°; การลดขนาดแกน โอ้ใช้เวลาเท่ากับ 1:2;
• 2) เลือกระบบแกนพิกัดแล้ว กำหนดโมดูลและทิศทางของเวกเตอร์หลักของระบบแรงที่กำหนดจากการฉายภาพไปยังแกนพิกัดและพรรณนา ร*บนภาพวาด;

ข้าว. 4.6. ตัวอย่างที่ 1: ขนานดั้งเดิม

• 3) คำนวณช่วงเวลาหลักของระบบแรงที่กำหนดซึ่งสัมพันธ์กับศูนย์กลาง เกี่ยวกับตามการฉายภาพลงบนแกนพิกัดและพรรณนา ม 0บนภาพวาด;
• 4) คำนวณโมเมนต์หลักที่เล็กที่สุดของระบบแรงที่กำหนด
• 5) ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการคำนวณเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักที่เล็กที่สุด ม*กำหนดรูปแบบที่ง่ายที่สุดให้กับระบบกำลังที่กำหนดให้ลดลง ในกรณีนี้ คุณต้องดำเนินการดังต่อไปนี้:
  • ก) ถ้าระบบแรงที่กำหนดลดลงเหลือแรงคู่หนึ่ง ให้แสดงโมเมนต์ของแรงคู่นี้โดยนำไปใช้กับจุดนั้น เกี่ยวกับ;
• 6) หากระบบแรงที่กำหนดลดลงเป็นผลลัพธ์ให้ค้นหาสมการของแนวการกระทำของผลลัพธ์กำหนดจุดตัดของระนาบพิกัดด้วยเส้นนี้แล้วพรรณนาในรูปวาด
• c) หากระบบแรงที่กำหนดลดลงเหลือไดน์ (สกรูกำลัง) ให้ค้นหาสมการของแกนกลาง กำหนดจุดตัดของระนาบพิกัดด้วยแกนนี้ และพรรณนา /?* และ M* ในรูปวาด .

สารละลาย. 1. การหาเวกเตอร์หลักของระบบแรงที่กำหนดระบบแรงที่ระบุจะแสดงในรูป 4.7.

ข้าว. 4.7. ตัวอย่างที่ 1: ระบบแรงที่ใช้ เราพิจารณาเบื้องต้นแล้ว

ในกรณีนี้ cos a = 0.6 และ sin a = 0.8

เส้นโครงของเวกเตอร์หลักบนแกนพิกัด:

โมดูลเวกเตอร์หลัก โคไซน์ทิศทาง:

ตามข้อมูลเบื้องต้นที่เราได้รับ เอ็กซ์= 10.6 นิวตัน ย= 10.0 นิวตัน; Z= -12.8 นิวตัน; ร* = 19.4 นิวตัน; เพราะ (ร, ผม) = 0.547,คอส (ร, เจ) = 0.515,คอส (ร, เค) == -0,660.

เวกเตอร์หลักจะแสดงในรูป 4.8.

ข้าว. 4.8.

2. การกำหนดช่วงเวลาหลักของระบบแรงที่กำหนดซึ่งสัมพันธ์กับศูนย์กลาง O

ช่วงเวลาหลักของระบบแรงที่กำหนดซึ่งสัมพันธ์กับแกนพิกัด:

โมดูลไฮไลท์:

โคไซน์ทิศทาง:

จากการคำนวณเรามี: เอ็ม เอ็กซ์= -200 นิวตัน ซม.; ม= 384 นิวตัน ซม.; เอ็ม= -200 นิวตัน ซม.; เพราะ (ม 0, ผม) = -0.419; เพราะ (ม 0 เจ)= 0.805; เพราะ (ม 0 , k) - - -0,419.

ประเด็นหลักแสดงไว้ในรูปที่. 4.8.

3. การคำนวณโมเมนต์หลักที่เล็กที่สุดของระบบแรงที่กำหนด:

เมื่อใช้สูตรนี้เราจะได้: LG = 221 N cm

4. ตั้งแต่ R* Ф 0 และลิตร/* * 0, จากนั้นระบบแรงที่กำหนดจะลดลงเหลือไดนา (สกรูกำลัง)

สมการของแกนกลางคือ:

จากสมการทั้งสามนี้ มีเพียงสองสมการเท่านั้นที่เป็นอิสระ เราพบว่าการแทนที่ค่าตัวเลขของปริมาณที่พบเป็นสองสมการเหล่านี้:

ค่าพิกัดของจุดตัดของแกนกลางของระนาบพิกัดซึ่งกำหนดโดยใช้สมการเหล่านี้แสดงไว้ในตาราง

	พิกัด ซม

แกนกลางของระบบจะแสดงในรูป 4.8.

บันทึก. หากแรงลดลงเป็นผลลัพท์ นั่นคือ R* ฉ 0 และ เอ็ม"= 0 จากนั้นสมการของแนวการกระทำของผลลัพธ์:

ที่ไหน X, Y, Z -การฉายแรงลัพธ์ลงบนแกนพิกัด มx, ม, ม. -โมเมนต์หลักของระบบแรงที่กำหนดซึ่งสัมพันธ์กับแกนพิกัด จากสมการทั้งสามนี้ มีเพียงสองสมการเท่านั้นที่เป็นอิสระ

• ค่าคงที่คือปริมาณที่ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกระบบพิกัด ดังนั้นค่าคงที่จึงคงที่ภายใต้การเปลี่ยนแปลงต่างๆ ของระบบพิกัด ในกรณีนี้ ปริมาณเหล่านี้จะคงที่สำหรับตัวเลือกต่างๆ ของศูนย์ลด
• สภาวะเหล่านี้จะเพียงพอสำหรับความสมดุลของ ATT หาก ณ ช่วงเวลาเริ่มต้นที่สภาวะหยุดนิ่งในกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่เลือก โดยทั่วไปแล้ว ในทางปฏิบัติทางวิศวกรรม CO ที่เชื่อมต่อกับโลกจะถูกเลือกให้เป็นระบบดังกล่าว

ลองพิจารณากรณีพิเศษบางกรณีของทฤษฎีบทก่อนหน้านี้

1. ถ้าระบบกำหนดแรง R = 0, M 0 = 0 แสดงว่าอยู่ในสภาวะสมดุล

2. ถ้าสำหรับระบบแรงที่กำหนด R = 0, M 0  0 ดังนั้นมันจะลดลงเหลือหนึ่งคู่โดยมีโมเมนต์ M 0 = m 0 (F i) ในกรณีนี้ค่าของ M 0 ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกศูนย์ O

3. ถ้าระบบที่กำหนดบังคับ R  0 มันจะลดลงเหลือหนึ่งผลลัพธ์ และถ้า R  0 และ M 0 = 0 ระบบจะถูกแทนที่ด้วยแรงเดียวนั่นคือ ผลลัพธ์ R ผ่านศูนย์กลาง O; ถ้า R  0 และ M 0  0 ระบบจะถูกแทนที่ด้วยแรงหนึ่งแรงที่ผ่านจุด C และ OC = d(OCR) และ d = |M 0 |/R

ดังนั้น ระบบแรงแบน หากไม่อยู่ในสมดุล จะลดลงเหลือผลลัพธ์หนึ่งค่า (เมื่อ R  0) หรือเหลือหนึ่งคู่ (เมื่อ R = 0)

ตัวอย่างที่ 2 แรงที่ใช้กับดิสก์:

(รูปที่ 3.16) นำระบบแรงนี้ไปสู่รูปแบบที่ง่ายที่สุด

วิธีแก้ไข: เลือกระบบพิกัด Oxy ลองเลือกจุด O เป็นจุดศูนย์กลางการลดขนาดเวกเตอร์หลัก R:

R x = F ix = -F 1 cos30 0 – F 2 cos30 0 +F 4 cos45 0 = 0; ข้าว. 3.16

R y = F iy = -F 1 cos60 0 + F 2 cos60 0 – F 3 + F 4 cos45 0 = 0 ดังนั้น R = 0

ช่วงเวลาหลักของระบบ M 0:

M 0: = m 0 (F i) = F 3 *a – F 4 *a*sin45 0 = 0 โดยที่ a คือรัศมีของดิสก์

คำตอบ: R = 0; ม 0 = 0; ร่างกายอยู่ในสมดุล

นำระบบแรง F 1, F 2, F 3 มาสู่รูปแบบที่ง่ายที่สุดดังแสดงในรูป (รูปที่ 3.17) แรง F 1 และ F 2 พุ่งไปที่ด้านตรงข้าม และแรง F 3 พุ่งไปตามเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม ABCD ด้าน AD มีค่าเท่ากับ a |ฟ 1 | = |ฉ 2 | = |ฉ 3 |/2 = ฉ.

วิธีแก้ไข: กำหนดทิศทางแกนพิกัดดังแสดงในรูป ให้เราพิจารณาเส้นโครงของแรงทั้งหมดบนแกนพิกัด:

ขนาดของเวกเตอร์หลัก R เท่ากับ:
;
.

โคไซน์ทิศทางจะเป็น:
;
.

ดังนั้น: (x,R) = 150 0 ; (y, ร) = 60 0 .

เกี่ยวกับ ให้เรากำหนดช่วงเวลาหลักของระบบแรงสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางของการลดลง A จากนั้น

ม A = ม A (F 1) + ม A (F 2) + ม A (F 3)

เมื่อพิจารณาว่า m A (F 1) = m A (F 3) = 0 เนื่องจากทิศทางของแรงผ่านจุด A ดังนั้น

ม A = ม A (F 2) = F*a

ดังนั้นระบบแรงจึงลดลงเหลือแรง R และแรงคู่หนึ่งโดยมีโมเมนต์ m A หมุนทวนเข็มนาฬิกา (รูปที่ 3.18)

คำตอบ: R = 2F; (x,^R) = 150 0 ; (y,^ ร) = 60 0 ; ม. = F*ก.

คำถามเพื่อการควบคุมตนเอง

โมเมนต์ของแรงเกี่ยวกับศูนย์กลางคืออะไร?

พลังสองสามคืออะไร?

นำระบบกองกำลังตามอำเภอใจมาสู่ศูนย์กลางที่กำหนดหรือไม่?

การเพิ่มแรงขนาน?

วรรณกรรม: , , .

การบรรยายครั้งที่ 4 สภาวะสมดุลของระบบแรงระนาบตามอำเภอใจ

รูปแบบพื้นฐานของสภาวะสมดุลเพื่อความสมดุลของระบบแรงระนาบตามอำเภอใจ จำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของเส้นโครงของแรงทั้งหมดบนแกนพิกัดทั้งสองแกนและผลรวมของโมเมนต์ของพวกมันสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางใดๆ ที่อยู่ในระนาบการกระทำของ แรงมีค่าเท่ากับศูนย์:

F ix = 0; ฉ ฉัน = 0; ม 0 (F i) = 0

รูปแบบที่สองของสภาวะสมดุล:เพื่อความสมดุลของระบบแรงระนาบตามอำเภอใจ จำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของโมเมนต์ของแรงทั้งหมดนี้สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลาง A และ B สองจุดใดๆ และผลรวมของเส้นโครงบนแกน Ox ที่ไม่ตั้งฉากกับเส้น AB มีค่าเท่ากับศูนย์:

ม A (F i) = 0; ม B (F i) = 0; F ix = 0.

รูปแบบที่สามของเงื่อนไขสมดุล (สมการสามช่วงเวลา):เพื่อความสมดุลของระบบแรงระนาบตามอำเภอใจ จำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของแรงทั้งหมดนี้สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางสามจุด A, B, C ที่ไม่ได้นอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะเท่ากับศูนย์:

ม A (F i) = 0; ม B (F i) = 0; m С (F i) = 0.

ป ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบปฏิกิริยาการฝังของลำแสงคานยื่นภายใต้การกระทำของโหลดที่กระจายสม่ำเสมอแรงที่มีความเข้มข้นหนึ่งแรงและแรงสองคู่ (รูปที่ 4.1) ความเข้มของโหลดq = 3*10 4 N/m; ฟ = 4*10 4 ชม.; ม. 1 = 2*10 4 ชม.*ม.; ม. 2 = 3*10 4 ชม.*ม. บีเอ็น = 3 นาที; นอร์ทแคโรไลนา = 3m; แคลิฟอร์เนีย = 4ม.

ร สารละลาย:

ตามหลักการของการปลดปล่อยจากการเชื่อมต่อ เราจะแทนที่การเชื่อมต่อด้วยปฏิกิริยาที่สอดคล้องกัน เมื่อเกิดการฝังแบบแข็งในผนัง แรงปฏิกิริยา R A ที่ไม่ทราบทิศทางและช่วงเวลาที่ไม่ทราบ m A จะเกิดขึ้น (รูปที่ 4.2) ลองแทนที่โหลดแบบกระจายด้วยแรง Q ที่มีความเข้มข้นเท่ากันซึ่งใช้ที่จุด K (ВК = 1.5 ม.) ให้เราเลือกระบบพิกัดของ VCU และกำหนดเงื่อนไขสมดุลของลำแสงในรูปแบบพื้นฐาน:

การคาดการณ์แรงที่กระทำต่อแกน X: - Fcos45 0 – R Ax = 0 (1)

การฉายแรงบนแกน Y: -Q - Fsin45 0 + R Ax = 0 (2)

ผลรวมของโมเมนต์: m A (F) = m 1 – m 2 + m A + Q*KA + F”*CA = 0 (3)

เราจะแยกแรง F ที่จุด C ออกเป็นสององค์ประกอบตั้งฉากกัน F” และ F’; แรง F' ไม่ได้สร้างโมเมนต์สัมพันธ์กับจุด A เนื่องจากแนวแรงกระทำผ่านจุด A โมดูลัสแรง F” = Fcos45 0 = F(2) 1/2 /2

การแทนที่ค่าตัวเลขลงในสมการ (1), (2) และ (3) เราได้รับ:

ในระบบสมการสามสมการที่กำหนด มีสิ่งที่ไม่ทราบอยู่สามรายการ ดังนั้นระบบจึงมีคำตอบ และมีเพียงค่าเดียวเท่านั้น

4*10 4 *0.7 = R ขวาน R ขวาน = 2.8*10 4 H

3*10 4 *3 – 4*10 4 *0.7 + R Ay = 0 R Ay = 11.8*10 4 H

ม. A – 10 4 + 3*10 4 *3*8.5 + 4*10 4 *2.8 = 0 ม. A = - 86.8*10 4 H*m

คำตอบ: R ขวาน = 2.8*10 4 H; R ใช่ = 11.8*10 4 H; ม. A = - 86.8*10 4 ชม.*ม.

ตัวอย่างที่ 2 พิจารณาปฏิกิริยาของการรองรับ A, B, C และบานพับ D ของคานคอมโพสิต (รูปที่ 4.3)

ถาม = 1.75*10 4 นิวตัน/ม.; ฟ = 6*10 4 ชม.;

ป = 5*10 4 ชม.

วิธีแก้ไข: ตามหลักการปลดปล่อยจากการเชื่อมต่อ เราจะแทนที่การเชื่อมต่อด้วยปฏิกิริยาที่สอดคล้องกัน

ร เราจะแทนที่โหลดแบบกระจายq ด้วยแรงที่มีความเข้มข้นเท่ากัน Q = q*KA ใช้ที่จุด M (AM = 2m) จำนวนแรงปฏิกิริยาที่ไม่รู้จัก: R Ax, R Ay, R B, R C และส่วนประกอบแรงปฏิกิริยาสองคู่ในบานพับ D

ลองดูปฏิกิริยาที่บานพับ D แยกกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาคาน AD และ DE แยกกัน (รูปที่ 4.5a, 4.5b) ตามกฎข้อที่สามของนิวตันในบานพับ D ระบบแรง R Dx และ R Dy กระทำต่อลำแสง KD และระบบแรงตรงข้ามกระทำต่อลำแสง DE: R' Dx และ R' Dy และขนาดของ กองกำลังเท่ากันเป็นคู่เช่น R Dx = R Dx และ R Dy = R Dy นี้กองกำลังภายใน

คานคอมโพสิต ดังนั้นจำนวนแรงปฏิกิริยาที่ไม่ทราบจำนวนคือหก จำเป็นต้องสร้างสมการอิสระของสถานะสมดุลหกสมการ ตัวเลือกต่อไปนี้สำหรับการเขียนสมการสถานะเป็นไปได้

เราสร้างเงื่อนไขสมดุลสำหรับโครงสร้างทั้งหมด (3 สมการ) และสำหรับองค์ประกอบที่แยกจากกันของโครงสร้างนี้: ลำแสง KD หรือลำแสง DE

เมื่อรวบรวมสมการสมดุลสำหรับโครงสร้างทั้งหมด แรงภายในจะไม่ถูกนำมาพิจารณา เนื่องจากเมื่อรวมกันแล้ว แรงภายในจะหักล้างกัน

สมการของสภาวะสมดุลของโครงสร้างทั้งหมด:

R ขวาน – Fcos60 0 = 0

Q - R ใช่ – Fsin60 0 + R B + R C – P = 0

ม A (F) = Q*m A – Fsin60 0 *AN + R B *AB + RC *AC – P*AE = 0

สมการของสภาวะสมดุลสำหรับองค์ประกอบ DE:

R’ ได , + R C – P*DE = 0

M D (F) = RC *DC – P*DE = 0
ด้วยวิธีนี้ เราจะรวบรวมสมการอิสระ 6 ตัวที่ไม่ทราบค่า 6 ตัว ดังนั้นระบบสมการจึงมีคำตอบและมีเพียงสมการเดียวเท่านั้น โดยการแก้ระบบสมการ เราจะหาแรงปฏิกิริยาที่ไม่ทราบค่าได้
สถิตยศาสตร์ของร่างกายแข็ง:

ระบบกำลังเชิงพื้นที่

7.1 แรงถูกกระทำที่จุดยอดของลูกบาศก์ในทิศทางของขอบ ดังแสดงในรูป โมดูลแรง F1, F2, F3, F4, F5 และ F6 ต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขใดบ้างเพื่อให้อยู่ในสภาวะสมดุล
สารละลาย

7.2 แรงสามแรง P ซึ่งมีขนาดเท่ากัน กระทำบนขอบทั้งสามที่ไม่ตัดกันและไม่ขนานกันของเส้นขนานสี่เหลี่ยมด้านขนาน จะต้องมีความสัมพันธ์แบบใดระหว่างขอบ a, b และ c เพื่อให้ระบบนี้ลดลงเหลือผลลัพธ์เดียว
สารละลาย

7.3 แรงสี่แรงที่มีขนาดเท่ากันถูกจ่ายให้กับจุดยอดสี่จุด A, H, B และ D ของลูกบาศก์: P1=P2=P3=P4=P โดยมีแรง P1 มุ่งไปตาม AC, P2 ตามแนว HF, P3 ตามแนว BE และ P4 ตามแนว ดีจี. นำระบบนี้ไปสู่รูปแบบที่ง่ายที่สุด
สารละลาย

7.4 แรงต่อไปนี้ใช้กับรูปทรงสี่หน้า ABCD ปกติ ซึ่งมีขอบเท่ากับ a: F1 ไปตามขอบ AB, F2 ไปตามขอบ CD และ F3 ที่จุด E ตรงกลางขอบ BD ขนาดของแรง F1 และ F2 เป็นไปตามอำเภอใจ และขนาดของแรง F3 บนแกน x, y และ z เท่ากับ +F25√3/6 -F2/2; -F2√(2/3) ระบบกำลังนี้ลดเหลือผลลัพธ์เดียวหรือไม่? หากให้ไว้ ให้ค้นหาพิกัด x และ z ของจุดตัดของแนวการกระทำของผลลัพธ์ด้วยระนาบ Oxz
สารละลาย

7.5 ถึงจุดยอดของลูกบาศก์ โดยมีขอบยาว 5 ซม. ใช้แรงขนาดเท่ากัน 6 แรง อย่างละ 2 นิวตัน ดังแสดงในรูป นำระบบนี้ไปสู่รูปแบบที่ง่ายที่สุด
สารละลาย

7.6 ระบบแรง: P1=8 N กำหนดทิศทางตาม Oz และ P2=12 N กำหนดทิศทางขนานกับ Oy ดังระบุในรูป โดยที่ OA=1.3 m นำมาสู่รูปแบบมาตรฐานที่กำหนด โดยกำหนดค่าของเวกเตอร์หลัก V ของแรงทั้งหมดเหล่านี้และขนาดของโมเมนต์หลัก M สัมพันธ์กับจุดใดก็ได้บนแกนขดลวดกลาง ค้นหามุม α, β และ γ ที่สร้างโดยแกนลานกลางด้วยแกนพิกัด รวมถึงพิกัด x และ y ของจุดที่บรรจบกับระนาบ Oxy
สารละลาย

7.7 แรงสามแรง P1, P2 และ P3 อยู่ในระนาบพิกัดและขนานกับแกนพิกัด แต่สามารถมุ่งไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่งได้ จุดใช้งาน A, B และ C อยู่ที่ระยะ a, b และ c จากจุดกำเนิดที่กำหนด ขนาดของแรงเหล่านี้จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขใดจึงจะลดลงเหลือผลลัพธ์เดียว? ขนาดของแรงเหล่านี้จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขใดจึงจะมีแกนขดลวดกลางที่ผ่านจุดกำเนิดของพิกัด
สารละลาย

7.8 จัตุรมุขธรรมดา ABCD ที่มีขอบเท่ากับ a จะต้องได้รับแรง F1 ตามแนวขอบ AB และแรง F2 ตามแนวขอบ CD ค้นหาพิกัด x และ y ของจุดตัดของแกนลานกลางกับระนาบ Oxy
สารละลาย

7.9 แรง P สิบสองแรง ซึ่งมีขนาดเท่ากัน กระทำตามขอบของลูกบาศก์เท่ากับ a ดังแสดงในรูป นำระบบแรงนี้มาสู่รูปแบบมาตรฐานและกำหนดพิกัด x และ y ของจุดตัดของแกนขดลวดกลางด้วยระนาบ Oxy
สารละลาย

7.10 ตามขอบของสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีขนาดเท่ากับ 10 ม., 4 ม. และ 5 ม. ตามลำดับ มีแรง 6 แรงที่ระบุในรูป: P1=4 N, P2=6 N, P3=3 N, P4=2 N, P5=6 N, P6=8 N นำระบบแรงนี้มาสู่รูปแบบมาตรฐานและกำหนดพิกัด x และ y ของจุดตัดกันของแกนขดลวดกลางด้วยระนาบ Oxy
สารละลาย

7.11 แรงลัพธ์ P=8000 kN และ F=5200 kN ของแรงดันน้ำบนเขื่อนถูกนำไปใช้ในระนาบแนวตั้งตรงกลางที่ตั้งฉากกับพื้นผิวที่สอดคล้องกันที่ระยะ H=4 m และ h=2.4 m จากฐาน แรงน้ำหนัก G1=12000 kN ของส่วนสี่เหลี่ยมของเขื่อนถูกนำไปใช้ที่กึ่งกลาง และใช้แรงน้ำหนัก G2=6000 kN ของส่วนสามเหลี่ยมที่ระยะหนึ่งในสามของความยาวของฐานล่างของรูปสามเหลี่ยม จากขอบแนวตั้งของส่วนนี้ ความกว้างของเขื่อนที่ฐาน b=10 ม. ด้านบน a=5 ม. ตาล α=5/12 หาผลลัพธ์ของแรงปฏิกิริยาแบบกระจายของดินที่ติดตั้งเขื่อน
สารละลาย

7.12 น้ำหนักเสาวิทยุพร้อมฐานคอนกรีต G=140 kN. แรงตึงของเสาอากาศ F=20 kN และแรงดันลมผลลัพธ์ P=50 kN ถูกนำไปใช้กับเสา แรงทั้งสองอยู่ในแนวนอนและอยู่ในระนาบตั้งฉากกัน H=15 ม., ชม.=6 ม. พิจารณาปฏิกิริยาที่เกิดขึ้นของดินที่วางฐานเสากระโดง