ชุดตัวเลขคือลำดับที่พิจารณาร่วมกับลำดับอื่น (เรียกอีกอย่างว่าลำดับของผลรวมบางส่วน) แนวคิดที่คล้ายกันนี้ใช้ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และเชิงซ้อน

จำนวน ชุดตัวเลขสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายใน Excel โดยใช้ฟังก์ชัน ROW.SUM ลองดูตัวอย่างวิธีการทำงาน ฟังก์ชั่นนี้จากนั้นเราจะสร้างกราฟของฟังก์ชัน มาเรียนรู้วิธีใช้ชุดตัวเลขในทางปฏิบัติเมื่อคำนวณการเติบโตของเงินทุน แต่ก่อนอื่นมีทฤษฎีเล็กน้อย

ผลรวมชุดตัวเลข

อนุกรมตัวเลขถือได้ว่าเป็นระบบของการประมาณตัวเลข หากต้องการระบุให้ใช้สูตร:

ต่อไปนี้เป็นลำดับเริ่มต้นของตัวเลขในชุดข้อมูลและกฎการบวก:

• ∑ - เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวม
• ผม - อาร์กิวเมนต์ทั่วไป;
• i เป็นตัวแปร ซึ่งเป็นกฎสำหรับการเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์ที่ตามมา
• ∞ คือเครื่องหมายอนันต์ ซึ่งเป็น "ขีดจำกัด" ที่ใช้บวก

รายการหมายถึง: สรุป ตัวเลขธรรมชาติจาก 1 ถึง "บวกอนันต์" เนื่องจาก i = 1 การคำนวณผลรวมจึงเริ่มต้นจากหนึ่ง หากมีตัวเลขอื่นอยู่ตรงนี้ (เช่น 2, 3) เราก็จะเริ่มบวกจากตัวเลขนั้น (จาก 2, 3)

ตามตัวแปร i อนุกรมสามารถเขียนขยายได้:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (จนถึง "บวกอนันต์")

คำจำกัดความของผลรวมของอนุกรมจำนวนให้ไว้ผ่าน "ผลรวมบางส่วน" ในทางคณิตศาสตร์จะกำหนดให้เป็น Sn ลองเขียนชุดตัวเลขของเราในรูปแบบของผลรวมบางส่วน:

ส 2 = ก 1 + ก 2

ส 3 = ก 1 + ก 2 + ก 3

S 4 = ก 1 + ก 2 + ก 3 + ก 4

ผลรวมของชุดตัวเลขคือขีดจำกัดของผลรวมบางส่วน S n หากขีดจำกัดมีจำกัด เราจะพูดถึงซีรีส์ "มาบรรจบกัน" ไม่มีที่สิ้นสุด - เกี่ยวกับ "ความแตกต่าง"

ก่อนอื่น มาหาผลรวมของอนุกรมตัวเลขกันก่อน:

ตอนนี้เรามาสร้างตารางค่าของสมาชิกซีรีส์ใน Excel:

เราใช้อาร์กิวเมนต์แรกทั่วไปจากสูตร: i=3

เราพบค่า i ต่อไปนี้ทั้งหมดโดยใช้สูตร: =B4+$B$1 วางเคอร์เซอร์ที่มุมขวาล่างของเซลล์ B5 แล้วคูณสูตร

มาหาค่าต่างๆ กัน ทำให้เซลล์ C4 ทำงานแล้วป้อนสูตร: =SUM(2*B4+1) คัดลอกเซลล์ C4 ไปยังช่วงที่ระบุ

ค่าของผลรวมของอาร์กิวเมนต์จะได้รับโดยใช้ฟังก์ชัน: =SUM(C4:C11) ปุ่มลัดผสม ALT+“+” (บวกบนแป้นพิมพ์)

ฟังก์ชัน ROW.SUM ใน Excel

หากต้องการค้นหาผลรวมของชุดตัวเลขใน Excel ให้ใช้ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ SERIES.SUM โปรแกรมใช้สูตรต่อไปนี้:

อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน:

• x – ค่าตัวแปร;
• n – องศาสำหรับอาร์กิวเมนต์แรก
• m คือขั้นตอนที่ระดับจะเพิ่มขึ้นในแต่ละเทอมต่อมา
• a คือสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังที่สอดคล้องกันของ x

เงื่อนไขสำคัญสำหรับฟังก์ชันการทำงาน:

• จำเป็นต้องมีข้อโต้แย้งทั้งหมด (นั่นคือต้องกรอกทั้งหมด)
• อาร์กิวเมนต์ทั้งหมดเป็นค่าตัวเลข
• เวกเตอร์ของสัมประสิทธิ์มีความยาวคงที่ (ขีดจำกัดของ "อนันต์" จะไม่ทำงาน)
• จำนวน “สัมประสิทธิ์” = จำนวนข้อโต้แย้ง

การคำนวณผลรวมของชุดข้อมูลใน Excel

ฟังก์ชัน SERIES.SUM เดียวกันนี้ใช้ได้กับอนุกรมกำลัง (หนึ่งในตัวแปรของอนุกรมฟังก์ชัน) อาร์กิวเมนต์ของมันคือฟังก์ชันต่างจากตัวเลข

ซีรีส์เชิงฟังก์ชันมักใช้ในด้านการเงินและเศรษฐกิจ คุณสามารถพูดได้ว่านี่คือพื้นที่การใช้งานของพวกเขา

ตัวอย่างเช่น พวกเขาฝากเงินจำนวนหนึ่ง (a) ในธนาคารในช่วงระยะเวลาหนึ่ง (n) เรามีการชำระเงิน x เปอร์เซ็นต์ต่อปี ในการคำนวณจำนวนเงินคงค้างเมื่อสิ้นสุดงวดแรก จะใช้สูตร:

ส 1 = ก (1 + x)

เมื่อสิ้นสุดช่วงที่สองและช่วงถัดๆ ไป รูปแบบของสำนวนจะเป็นดังนี้

ส 2 = ก (1 + x) 2 ;

S 3 = ก (1 + x) 2 เป็นต้น

วิธีค้นหาผลรวม:

S n = ก (1 + x) + ก (1 + x) 2 + ก (1 + x) 3 + … + ก (1 + x) n

ผลรวมบางส่วนใน Excel สามารถพบได้โดยใช้ฟังก์ชัน BS()

พารามิเตอร์เริ่มต้นสำหรับงานการฝึกอบรม:

เมื่อใช้ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน เราจะค้นหาจำนวนสะสมเมื่อสิ้นสุดภาคเรียน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ในเซลล์ D2 เราใช้สูตร: =B2*DEGREE(1+B3;4)

ตอนนี้ในเซลล์ D3 เราจะแก้ไขปัญหาเดียวกันโดยใช้ฟังก์ชัน Excel ในตัว: =BS(B3;B1;;-B2)

ผลลัพธ์ก็เหมือนเดิมอย่างที่ควรจะเป็น

1. วิธีกรอกอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน BS(): "เสนอราคา" -อัตราดอกเบี้ย
2. โดยมีการลงทะเบียนเงินฝากไว้แล้ว เนื่องจากรูปแบบเปอร์เซ็นต์ถูกตั้งค่าไว้ในเซลล์ B3 เราจึงระบุลิงก์ไปยังเซลล์นี้ในช่องอาร์กิวเมนต์ หากระบุตัวเลข ระบบจะเขียนส่วนที่ร้อย (20/100)
3. “Nper” คือจำนวนงวดการจ่ายดอกเบี้ย ในตัวอย่างของเรา – 4 ปี
4. "Plt" - การชำระเงินเป็นงวด ในกรณีของเราไม่มีเลย ดังนั้นเราจึงไม่กรอกข้อมูลในช่องอาร์กิวเมนต์

“Ps” - “มูลค่าปัจจุบัน” จำนวนเงินฝาก เนื่องจากเราแยกทางกับเงินนี้มาระยะหนึ่งแล้ว เราจึงระบุพารามิเตอร์ด้วยเครื่องหมาย "-"

Excel มีฟังก์ชันอื่นๆ ในตัวสำหรับค้นหาพารามิเตอร์ต่างๆ โดยทั่วไปแล้วสิ่งเหล่านี้เป็นฟังก์ชันสำหรับการทำงานด้วย โครงการลงทุน, หลักทรัพย์และการชำระค่าเสื่อมราคา

ฟังก์ชันการพล็อตผลรวมของชุดตัวเลข

มาสร้างกราฟฟังก์ชันที่สะท้อนการเติบโตของเงินทุนกันดีกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชันที่เป็นผลรวมของอนุกรมที่สร้างขึ้น ตามตัวอย่าง ลองใช้ข้อมูลเดียวกันกับเงินฝาก:

บรรทัดแรกแสดงจำนวนเงินสะสมหลังจากหนึ่งปี ในวินาที - ในสอง และอื่นๆ

มาสร้างอีกคอลัมน์หนึ่งที่เราจะสะท้อนผลกำไร:

อย่างที่เราคิด - ในแถบสูตร

จากข้อมูลที่ได้รับ เราจะสร้างกราฟของฟังก์ชัน

ลองเลือก 2 ช่วง: A5:A9 และ C5:C9 ไปที่แท็บ "แทรก" - เครื่องมือ "ไดอะแกรม" เลือกแผนภูมิแรก:

มาทำให้ปัญหา "ถูกนำไปใช้" มากยิ่งขึ้น ในตัวอย่างนี้เราใช้ดอกเบี้ยทบต้น จะมีการสะสมตามจำนวนเงินที่เกิดขึ้นในช่วงก่อนหน้า

ลองสนใจอย่างง่าย ๆ เพื่อเปรียบเทียบกัน สูตรดอกเบี้ยอย่างง่ายใน Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

มาเพิ่มค่าที่ได้รับลงในแผนภูมิ "การเติบโตของเงินทุน"

เห็นได้ชัดว่านักลงทุนจะได้ข้อสรุปอะไร

สูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับผลรวมบางส่วนของอนุกรมฟังก์ชัน (ที่มีดอกเบี้ยอย่างง่าย): S n = a (1 + x*n) โดยที่ a คือจำนวนเงินฝากเริ่มต้น x คือดอกเบี้ย n คือระยะเวลา

ให้ลำดับของตัวเลข R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,… ได้รับ เรียกว่านิพจน์ R 1 + R 2 + R 3 +…+ R n +… แถวไม่มีที่สิ้นสุดหรือเพียงแค่ ใกล้และตัวเลข R 1, R 2, R 3,… - สมาชิกของตัวเลข- ความหมายในที่นี้คือผลรวมของอนุกรมจะเริ่มต้นด้วยเทอมแรก ผลรวม S n = เรียกว่า จำนวนบางส่วน แถว: สำหรับ n=1 – ผลรวมบางส่วนแรก สำหรับ n=2 – ผลรวมบางส่วนที่สอง เป็นต้น

เรียกว่า ซีรีส์มาบรรจบกันถ้าลำดับของบางส่วน จำนวนเงินมีขีดจำกัดและ แตกต่าง- มิฉะนั้น. แนวคิดเรื่องผลรวมของอนุกรมสามารถขยายได้ จากนั้นอนุกรมลู่ออกบางอนุกรมก็จะมีผลรวมด้วย อย่างแน่นอน ขยาย ความเข้าใจ จำนวนเงิน แถวจะใช้ในการพัฒนาอัลกอริธึมด้วยการกำหนดปัญหาดังต่อไปนี้ ควรสะสมผลรวมจนกว่าสมาชิกถัดไปของอนุกรมที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าค่าที่กำหนด ε

โดยทั่วไป สมาชิกทั้งหมดหรือบางส่วนของซีรีส์สามารถระบุได้ด้วยนิพจน์ที่ขึ้นอยู่กับจำนวนของสมาชิกซีรีส์และตัวแปร ตัวอย่างเช่น,

จากนั้นคำถามก็เกิดขึ้นว่าจะลดจำนวนการคำนวณให้เหลือน้อยที่สุดได้อย่างไร - คำนวณค่าของสมาชิกถัดไปของซีรีส์ตาม สูตรทั่วไปสำหรับเทอมอนุกรม(ในตัวอย่างที่กำหนดจะแสดงด้วยนิพจน์ใต้เครื่องหมายผลรวม) โดยใช้สูตรเกิดซ้ำ (แสดงผลลัพธ์ด้านล่าง) หรือใช้สูตรเกิดซ้ำสำหรับส่วนของนิพจน์ของสมาชิกชุดข้อมูลเท่านั้น (ดูด้านล่าง)

ที่มาของสูตรที่เกิดซ้ำสำหรับการคำนวณเทอมอนุกรม

สมมติว่าคุณต้องค้นหาชุดตัวเลข R 1, R 2, R 3,... คำนวณตามลำดับโดยใช้สูตร

,
, …,

เพื่อลดการคำนวณในกรณีนี้จึงสะดวกในการใช้งาน กำเริบ สูตรใจดี
ซึ่งช่วยให้คุณคำนวณค่าของ R N สำหรับ N>1 โดยทราบค่าของสมาชิกก่อนหน้าของอนุกรม R N-1 โดยที่
- นิพจน์ที่สามารถได้รับหลังจากลดความซับซ้อนของอัตราส่วนของนิพจน์ในสูตร (3.1) สำหรับ N ต่อนิพจน์สำหรับ N-1:

ดังนั้นสูตรที่เกิดซ้ำจึงอยู่ในรูปแบบ
.

จากการเปรียบเทียบสูตรทั่วไปของพจน์อนุกรม (3.1) กับสูตรที่เกิดซ้ำ (3.2) เห็นได้ชัดว่าสูตรที่เกิดซ้ำทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก ลองใช้มันกับ N=2, 3 และ 4 กัน จะได้รู้แบบนั้น
:

วิธีการคำนวณค่าของสมาชิกอนุกรม

ในการคำนวณค่าของสมาชิกซีรีส์ ขึ้นอยู่กับประเภทของมัน อาจนิยมใช้สูตรทั่วไปสำหรับสมาชิกซีรีส์ หรือสูตรที่เกิดซ้ำ หรือ วิธีคำนวณค่าสมาชิกอนุกรมแบบผสมเมื่อใช้สูตรการเกิดซ้ำสำหรับสมาชิกซีรีส์ตั้งแต่หนึ่งส่วนขึ้นไป จากนั้นค่าจะถูกแทนที่เป็นสูตรทั่วไปของสมาชิกซีรีส์ ตัวอย่างเช่น - สำหรับอนุกรม จะคำนวณค่าของสมาชิกของซีรีส์ได้ง่ายกว่า
ตามสูตรทั่วไปของมัน
(เปรียบเทียบกับ
- สูตรเกิดซ้ำ) - ต่อแถว
ควรใช้สูตรการเกิดซ้ำจะดีกว่า
- - สำหรับอนุกรมควรใช้วิธีผสม โดยคำนวณ A N =X 3N โดยใช้สูตรเกิดซ้ำ
, N=2, 3,… โดยมี A 1 =1 และ B N =N! - ตามสูตรเกิดซ้ำด้วย
, N=2, 3,… โดยมี B 1 =1 จากนั้น – เป็นสมาชิกของอนุกรม
- ตามสูตรทั่วไปซึ่งจะได้รูป
.

ตัวอย่างที่ 3.2.1 ของการปฏิบัติงาน

คำนวณด้วยความแม่นยำ ε สำหรับ 0 o  X  45 o

ใช้สูตรการเกิดซ้ำเพื่อคำนวณเทอมอนุกรม:

,

ค่าที่แน่นอนของฟังก์ชัน cos X

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของค่าโดยประมาณ

โปรแกรมโปรเจ็กต์1;

($คอนโซลประเภทแอป)

K=พาย/180; //ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับการแปลงจากองศาเป็นเรเดียน

Eps: ขยาย =1E-8;

X: ขยาย =15;

R, S, Y, D: ขยาย;

($IFNDEF DBG) // ตัวดำเนินการไม่ได้ใช้สำหรับการดีบัก

เขียน("ระบุความแม่นยำที่ต้องการ: ");

เขียน("กรอกค่ามุมเป็นองศา: ");

D:=ตร.(K*X); // แปลง X เป็นเรเดียนและสี่เหลี่ยมจัตุรัส

//การกำหนดค่าเริ่มต้นให้กับตัวแปร

//วนซ้ำเพื่อคำนวณเงื่อนไขของอนุกรมและสะสมผลรวม

//ดำเนินการตราบเท่าที่โมดูลัสของสมาชิกถัดไปของซีรีส์มีค่ามากกว่า Eps

ในขณะที่ Abs(R)>Eps ทำ

ถ้า N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N=", N, " R=", R:14:11, " S=", S:14:11);

//ผลลัพธ์การคำนวณผลลัพธ์:

WriteLn(N:14," = จำนวนขั้นตอนที่ไปถึง",

"ความแม่นยำที่ระบุ");

WriteLn(S:14:11," = ค่าฟังก์ชันโดยประมาณ");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = ค่าฟังก์ชันที่แน่นอน");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์");

WriteLn(Abs((คอส(K*X)-S)/คอส(K*X)):14:11,

" = ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์");

ปัญหาในการรวมชุดคำศัพท์ได้รับการแก้ไขในทฤษฎีอนุกรม

ที่ไหน คุณ 1, คุณ 2, คุณ 3 …., คุณ n...-สมาชิกของลำดับจำนวนอนันต์เรียกว่า ชุดตัวเลข.

ตัวเลข คุณ 1, คุณ 2, คุณ 3 …., คุณมะ...โทรมา สมาชิกของตัวเลข, ก คุณ n เป็นคำสามัญของอนุกรมนี้

ผลรวมของจำนวนจำกัด n ของเทอมแรกของอนุกรม เรียกว่า ผลรวมย่อยที่ n ของอนุกรม

ส น = คุณ 1 + คุณ 2 +… + คุณเอ็น,

เหล่านั้น. ส 1 = คุณ 1 ; ส 2 = คุณ 1 + คุณ 2

ส น = คุณ 1 + คุณ 2 +…+ คุณ n

ว่าอนุกรมหนึ่งมาบรรจบกันถ้ามีขีดจำกัดจำกัดของผลรวมบางส่วนของ S n สำหรับ nนั่นคือ

ตัวเลข สเรียกว่าผลรวมของอนุกรม

มิฉะนั้น:

จากนั้นซีรีส์นี้เรียกว่าไดเวอร์เจนท์

ชุดอ้างอิง

1. อนุกรมเรขาคณิต (ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต)

ตัวอย่าง.

2. ซีรีย์ฮาร์มอนิก

3. อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป

ตัวอย่าง.

.

สัญญาณของการมาบรรจบกันของซีรีย์เชิงบวก

ทฤษฎีบท 1 สัญญาณที่จำเป็นของการลู่เข้า

การใช้คุณสมบัตินี้ทำให้คุณสามารถกำหนดความแตกต่างของชุดข้อมูลได้

ตัวอย่าง.

สัญญาณที่เพียงพอ

ทฤษฎีบท 1 สัญลักษณ์การเปรียบเทียบอนุกรม

ให้อนุกรมสัญญาณเชิงบวกสองชุดได้รับ:

ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าอนุกรม (2) มาบรรจบกัน อนุกรม (1) ก็มาบรรจบกันด้วย

ถ้าอนุกรม (1) แตกต่างออกไป อนุกรม (2) ก็จะแตกต่างไปด้วย

ตัวอย่าง.ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า:

ลองเปรียบเทียบซีรี่ส์นี้กับซีรีย์เรขาคณิต:

ดังนั้นเมื่อเปรียบเทียบแล้ว ซีรีส์ที่ต้องการจะมาบรรจบกัน

ทฤษฎีบท 2 การทดสอบของดาล็องแบร์

ตัวอย่าง.ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า:

จากการทดสอบของ d'Alembert ซีรีส์นี้มาบรรจบกัน

ทฤษฎีบทที่ 3 การทดสอบคอชีแบบหัวรุนแรง

3) คำถามเกี่ยวกับการบรรจบกันยังคงเปิดอยู่

ตัวอย่าง:ตรวจสอบชุดตัวเลขสำหรับการลู่เข้า:

สารละลาย:

ดังนั้นซีรีส์นี้จึงมาบรรจบกันที่คอชี่

ทฤษฎีบท 4 การทดสอบอินทิกรัลโคชี

ให้สมาชิกของซีรีส์

เป็นบวกและไม่เพิ่มขึ้น กล่าวคือ เป็นค่าของฟังก์ชันที่ไม่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ฉ(x) ที่ x= 1, 2, …, n.

จากนั้นเพื่อให้อนุกรมมาบรรจบกัน จำเป็นและเพียงพอที่อินทิกรัลมาบรรจบกันที่ไม่เหมาะสม:

ตัวอย่าง.

สารละลาย:

ด้วยเหตุนี้ อนุกรมจึงแยกออก เนื่องจากอินทิกรัลแยกตัวไม่เหมาะสม

ซีรีย์สลับกัน. แนวคิดของการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์และแบบมีเงื่อนไขของอนุกรมแบบสลับ

ซีรีส์นี้มีชื่อว่า เครื่องหมายสลับหากสมาชิกคนใดสามารถเป็นได้ทั้งบวกและลบ

พิจารณาอนุกรมสลับกัน:

ทฤษฎีบท 1 การทดสอบไลบนิซ (การทดสอบที่เพียงพอ)

ถ้าเป็นป้ายสลับแถว

พจน์มีค่าสัมบูรณ์ลดลง กล่าวคือ

จากนั้นอนุกรมมาบรรจบกันและผลรวมไม่เกินเทอมแรกนั่นคือ ส ≤ .

ตัวอย่าง.

สารละลาย:

ลองใช้การทดสอบของไลบ์นิซ:

.

ดังนั้นซีรีส์นี้จึงกลายเป็นการบรรจบกันของไลบนิซ

ทฤษฎีบท 2 เกณฑ์ที่เพียงพอสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมที่สลับกัน

ถ้าสำหรับอนุกรมสลับกัน อนุกรมที่ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของเงื่อนไขมาบรรจบกัน อนุกรมสลับนี้จะมาบรรจบกัน

ตัวอย่าง:ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า:

สารละลาย:

ของค่าสัมบูรณ์ของเงื่อนไขของอนุกรมดั้งเดิมมาบรรจบกันเป็นอนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไปสำหรับ

ดังนั้นซีรีส์ดั้งเดิมจึงมาบรรจบกัน

คุณลักษณะนี้เพียงพอแล้ว แต่ไม่จำเป็น นั่นคือมีอนุกรมสลับที่มาบรรจบกัน แม้ว่าซีรีส์จะประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ต่างกันก็ตาม

คำจำกัดความ 1. บรรจบกันอย่างแน่นอนถ้าชุดที่ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกมาบรรจบกัน

คำจำกัดความ 2เรียกว่าซีรีส์สลับกัน บรรจบกันอย่างมีเงื่อนไขหากซีรีส์มาบรรจบกัน แต่ซีรีส์ที่ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกแยกออกจากกัน

ความแตกต่างระหว่างพวกเขาก็คืออนุกรมที่มาบรรจบกันอย่างแน่นอนเนื่องจากเงื่อนไขของมันลดลงอย่างรวดเร็วและอนุกรมที่มาบรรจบกันแบบมีเงื่อนไขมาบรรจบกันเนื่องจากความจริงที่ว่าเงื่อนไขเชิงบวกและเชิงลบยกเลิกซึ่งกันและกัน

ตัวอย่าง.

สารละลาย:

ลองใช้การทดสอบของไลบ์นิซ:

ดังนั้นซีรีส์นี้จึงกลายเป็นการบรรจบกันของไลบนิซ แต่ชุดที่ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกจะแตกต่างออกไปเหมือนกับค่าฮาร์มอนิก

ซึ่งหมายความว่าซีรีส์ต้นฉบับมาบรรจบกันอย่างมีเงื่อนไข

ผลรวมของซีรีส์

เว็บไซต์ช่วยให้คุณค้นหา ผลรวมซีรีส์ออนไลน์ลำดับหมายเลข นอกจากการค้นหาผลรวมของชุดของลำดับหมายเลขออนไลน์แล้ว เซิร์ฟเวอร์ยังอยู่ในนั้นด้วย ออนไลน์จะหา ผลรวมบางส่วนของซีรีส์- สิ่งนี้มีประโยชน์สำหรับการคำนวณเชิงวิเคราะห์เมื่อใด ผลรวมซีรีส์ออนไลน์จะต้องแสดงและพบว่าเป็นคำตอบจนถึงขีดจำกัดของลำดับ ผลรวมบางส่วนของอนุกรม- เมื่อเทียบกับเว็บไซต์อื่นๆ เว็บไซต์มีข้อได้เปรียบที่ไม่อาจปฏิเสธได้เนื่องจากช่วยให้คุณค้นหาได้ ผลรวมซีรีส์ออนไลน์ไม่ใช่แค่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึง ช่วงการทำงานซึ่งจะช่วยให้เรากำหนดพื้นที่การบรรจบกันของต้นฉบับได้ แถวโดยใช้วิธีการที่เป็นที่รู้จักมากที่สุด ตามทฤษฎี แถวเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าของลำดับตัวเลขคือขีดจำกัดของคำศัพท์ทั่วไปเท่ากับศูนย์ ชุดตัวเลขเนื่องจากตัวแปรมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด อย่างไรก็ตามเงื่อนไขนี้ไม่เพียงพอที่จะระบุการบรรจบกันของชุดตัวเลขออนไลน์.. เพื่อกำหนด การบรรจบกันของซีรีส์ออนไลน์พบสัญญาณของการบรรจบกันหรือความแตกต่างที่เพียงพอหลายประการ แถว- สิ่งที่มีชื่อเสียงและใช้บ่อยที่สุดคือสัญลักษณ์ของ D'Alembert, Cauchy, Raabe, การเปรียบเทียบ ชุดตัวเลขเช่นเดียวกับสัญลักษณ์สำคัญของการบรรจบกัน ชุดตัวเลข- สถานที่พิเศษในหมู่ ชุดตัวเลขครอบครองสิ่งที่สัญญาณของเงื่อนไขสลับกันอย่างเคร่งครัดและค่าสัมบูรณ์ ชุดตัวเลขลดลงอย่างน่าเบื่อ ปรากฎว่าเป็นเช่นนั้น ชุดตัวเลขสัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกันของซีรีส์ออนไลน์นั้นเพียงพอแล้วนั่นคือความเท่าเทียมกันของขีด จำกัด ของคำศัพท์ทั่วไปเป็นศูนย์ ชุดตัวเลขเนื่องจากตัวแปรมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด มีเว็บไซต์ต่าง ๆ มากมายที่ให้บริการ เซิร์ฟเวอร์เพื่อคำนวณ ผลรวมซีรีส์ออนไลน์ตลอดจนการขยายฟังก์ชันใน แถวออนไลน์ ณ จุดใดจุดหนึ่งจากขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้ ถ้าเราขยายฟังก์ชันเข้าไป ซีรีส์ออนไลน์ไม่ยากโดยเฉพาะบนเซิร์ฟเวอร์เหล่านี้ จากนั้นจึงคำนวณ ผลรวมของซีรีย์ฟังก์ชันออนไลน์สมาชิกแต่ละคนซึ่งตรงกันข้ามกับตัวเลข แถวไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นฟังก์ชัน ดูเหมือนแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยเนื่องจากขาดทรัพยากรทางเทคนิคที่จำเป็น สำหรับ www.เว็บไซต์ไม่มีปัญหาดังกล่าว

หน่วยงานรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา

สถาบันการศึกษาของรัฐ

การศึกษาวิชาชีพชั้นสูง

"MATI" - มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีแห่งรัฐรัสเซียตั้งชื่อตาม เค.อี. ซิโอลคอฟสกี้

ภาควิชา “การสร้างแบบจำลองระบบและเทคโนโลยีสารสนเทศ”

ชุดตัวเลข

แนวทางการฝึกปฏิบัติ

ในสาขาวิชา “คณิตศาสตร์ชั้นสูง”

เรียบเรียงโดย: Egorova Yu.B.

มาโมโนฟ ไอ.เอ็ม.

คอร์เนียนโก แอล.ไอ.

บทนำของมอสโก ค.ศ. 2005

แนวปฏิบัตินี้มีไว้สำหรับนักศึกษาเต็มเวลาและภาคค่ำของคณะหมายเลข 14 พิเศษ 071000, 130200, 220200

1. แนวคิดพื้นฐาน

อนุญาต คุณ 1 , คุณ 2 , คุณ 3 , …, คุณ n, … เป็นลำดับจำนวนอนันต์ การแสดงออก
เรียกว่า อนุกรมจำนวนอนันต์, ตัวเลข คุณ 1 , คุณ 2 , คุณ 3 , …, คุณ n- สมาชิกของซีรีส์;
เรียกว่าเป็นคำทั่วไปของอนุกรม ซีรีส์มักเขียนในรูปแบบย่อ (ยุบ):

ผลรวมของครั้งแรก nสมาชิกของชุดตัวเลขจะแสดงด้วย และโทร n ผลรวมบางส่วนของอนุกรม:

ซีรีส์นี้มีชื่อว่า มาบรรจบกันถ้ามัน n-i จำนวนบางส่วน โดยเพิ่มขึ้นไม่จำกัด nมีแนวโน้มที่จะถึงขีด จำกัด สุดท้ายนั่นคือ ถ้า
ตัวเลข เรียกว่า ผลรวมของซีรีส์.

ถ้า n- ผลรวมบางส่วนของซีรีส์ที่
ไม่ได้มีขีดจำกัดจำกัดจึงเรียกว่าอนุกรม แตกต่าง.

ตัวอย่างที่ 1หาผลรวมของอนุกรม
.

สารละลาย.เรามี
- เพราะ:

,

เพราะฉะนั้น,

เพราะ
จากนั้นอนุกรมมาบรรจบกันและผลรวมเท่ากับ
.

2. ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับอนุกรมจำนวน

ทฤษฎีบท 1หากซีรีส์มาบรรจบกัน
จากนั้นซีรีส์ก็มาบรรจบกัน ได้รับจากชุดที่กำหนดโดยทิ้งชุดแรก
สมาชิก (แถวสุดท้ายนี้เรียกว่า
-ส่วนที่เหลือของซีรีส์ต้นฉบับ) และในทางกลับกันจากการบรรจบกัน
ส่วนที่เหลือลำดับที่ 3 ของซีรีส์นี้แสดงถึงการมาบรรจบกันของซีรีส์นี้

ทฤษฎีบท 2หากซีรีส์มาบรรจบกัน
และผลรวมของมันคือตัวเลข แล้วซีรีส์ก็มาบรรจบกัน
และผลรวมของแถวสุดท้ายเท่ากับ
.

ทฤษฎีบท 3หากซีรีส์มาบรรจบกัน

เมื่อมีผลบวกของอนุกรม S และ Q ตามลำดับ แล้วอนุกรมมาบรรจบกัน และผลรวมของอนุกรมสุดท้ายจะเท่ากับ
.

ทฤษฎีบท 4 (สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกันของอนุกรม)- ถ้าเป็นแถว
มาบรรจบกันแล้ว
, เช่น. ที่
ขีดจำกัดของเทอมทั่วไปของอนุกรมลู่เข้าคือศูนย์

ข้อพิสูจน์ 1.ถ้า
แล้วซีรีส์ก็แยกออกไป

ข้อพิสูจน์ 2.ถ้า
ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะระบุการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรมโดยใช้เกณฑ์การลู่เข้าที่จำเป็น อนุกรมสามารถเป็นแบบลู่เข้าหรือลู่ออกก็ได้

ตัวอย่างที่ 2ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์:

สารละลาย.การค้นหาคำศัพท์ทั่วไปของซีรีส์
- เพราะ:

เหล่านั้น.
จากนั้นอนุกรมจะแยกออก (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าไม่เป็นที่พอใจ)

3. การทดสอบการบรรจบกันของอนุกรมด้วยเงื่อนไขที่เป็นบวก

3.1. สัญญาณของการเปรียบเทียบ

เกณฑ์การเปรียบเทียบจะขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบการบรรจบกันของอนุกรมที่กำหนดกับอนุกรมที่ทราบการลู่เข้าหรือความแตกต่าง ซีรีส์ที่แสดงด้านล่างนี้ใช้สำหรับการเปรียบเทียบ

แถว
ประกอบด้วยเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงใดๆ ที่มาบรรจบกันและมีผลรวม

แถว
ประกอบด้วยเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่เพิ่มขึ้น มีความแตกต่าง

แถว
มีความแตกต่าง

แถว
เรียกว่าซีรีส์ดีริชเลต์ สำหรับ >1 อนุกรมดิริชเลต์มาบรรจบกัน สำหรับ <1- расходится.

เมื่อ =1 แถว
เรียกว่าฮาร์มอนิก อนุกรมฮาร์มอนิกจะแตกต่างออกไป

ทฤษฎีบท. สัญญาณแรกของการเปรียบเทียบให้อนุกรมสองชุดที่มีเงื่อนไขเชิงบวกได้รับ:

(2)

นอกจากนี้ สมาชิกแต่ละคนของซีรีส์ (1) ต้องไม่เกินสมาชิกที่สอดคล้องกันของซีรีส์ (2) เช่น
(n= 1, 2, 3, …) ถ้าอนุกรม (2) มาบรรจบกัน อนุกรม (1) ก็จะมาบรรจบกันด้วย ถ้าอนุกรม (1) แตกต่างออกไป อนุกรม (2) ก็จะต่างกันไปด้วย

ความคิดเห็นเกณฑ์นี้ยังคงใช้ได้หากเกิดความไม่เท่าเทียมกัน
ไม่ได้ผลสำหรับทุกคน แต่เริ่มจากจำนวนหนึ่งเท่านั้น n= เอ็น, เช่น. สำหรับทุกคน n เอ็น.

ตัวอย่างที่ 3ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์

สารละลาย.สมาชิกของซีรีส์ที่กำหนดจะมีขนาดเล็กกว่าสมาชิกของซีรีส์ที่เกี่ยวข้อง
ประกอบด้วยเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เนื่องจากซีรีส์นี้มาบรรจบกัน ซีรีส์ที่กำหนดก็มาบรรจบกันด้วย

ทฤษฎีบท. เครื่องหมายที่สองของการเปรียบเทียบ (รูปแบบที่จำกัดของเครื่องหมายของการเปรียบเทียบ)หากมีขอบเขตจำกัดและไม่เป็นศูนย์
จากนั้นทั้งสองแถว และ มาบรรจบกันหรือแยกออกในเวลาเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 4ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์

สารละลาย.ลองเปรียบเทียบซีรีย์กับซีรีย์ฮาร์มอนิกกัน
ให้เราค้นหาขีดจำกัดของอัตราส่วนของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้:

เนื่องจากอนุกรมฮาร์มอนิกแตกต่าง อนุกรมที่กำหนดจึงแตกต่างด้วย