การแปลงนิพจน์ ทฤษฎีโดยละเอียด (2019) วิธีลดความซับซ้อนของนิพจน์พีชคณิตโดยทบทวนคุณสมบัติของรากที่สอง

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อแจ้งข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้นได้ไม่ซ้ำใคร
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

นิพจน์พีชคณิตซึ่งเมื่อรวมกับการดำเนินการบวก การลบ และการคูณ แล้ว ยังใช้การหารนิพจน์ที่เป็นตัวอักษรด้วย เรียกว่า นิพจน์พีชคณิตแบบเศษส่วน เหล่านี้คือสำนวนต่างๆ

เราเรียกเศษส่วนพีชคณิตว่าเป็นนิพจน์พีชคณิตซึ่งมีรูปแบบของผลหารของการหารนิพจน์พีชคณิตจำนวนเต็มสองตัว (เช่น monomials หรือพหุนาม) เหล่านี้คือสำนวนต่างๆ

สำนวนที่สาม)

การแปลงนิพจน์พีชคณิตแบบเศษส่วนที่เหมือนกันส่วนใหญ่มุ่งเป้าไปที่การแสดงนิพจน์เหล่านั้นในรูปแบบของเศษส่วนพีชคณิต ในการค้นหาตัวส่วนร่วม จะใช้การแยกตัวประกอบของตัวส่วนของเศษส่วน เพื่อค้นหาตัวคูณร่วมน้อย เมื่อลดเศษส่วนพีชคณิต เอกลักษณ์ที่เข้มงวดของนิพจน์อาจถูกละเมิด: จำเป็นต้องยกเว้นค่าของปริมาณที่ปัจจัยที่ทำให้การลดกลายเป็นศูนย์

ให้เรายกตัวอย่างการแปลงนิพจน์พีชคณิตเศษส่วนที่เหมือนกัน

ตัวอย่างที่ 1: ลดความซับซ้อนของนิพจน์

เงื่อนไขทั้งหมดสามารถลดให้เป็นตัวส่วนร่วมได้ (สะดวกในการเปลี่ยนเครื่องหมายในตัวส่วนของเทอมสุดท้ายและเครื่องหมายที่อยู่ข้างหน้า):

นิพจน์ของเราเท่ากับหนึ่งสำหรับค่าทั้งหมด ยกเว้นค่าเหล่านี้ ไม่ได้กำหนดไว้ และการลดเศษส่วนถือเป็นสิ่งผิดกฎหมาย)

ตัวอย่างที่ 2 แสดงนิพจน์เป็นเศษส่วนพีชคณิต

สารละลาย. นิพจน์สามารถใช้เป็นตัวส่วนร่วมได้ เราพบตามลำดับ:

แบบฝึกหัด

1. ค้นหาค่าของนิพจน์พีชคณิตสำหรับค่าพารามิเตอร์ที่ระบุ:

2. แยกตัวประกอบ.

§ 1 แนวคิดในการลดความซับซ้อนของนิพจน์ตามตัวอักษร

ในบทนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของ "คำศัพท์ที่คล้ายกัน" และเราจะเรียนรู้วิธีการลดคำศัพท์ที่คล้ายคลึงกันโดยใช้ตัวอย่าง ซึ่งจะทำให้สำนวนตามตัวอักษรง่ายขึ้น

เรามาดูความหมายของแนวคิด "การทำให้เข้าใจง่าย" กันดีกว่า คำว่า simplification มาจากคำว่า simplify ทำให้ง่ายขึ้น หมายถึง ทำให้ง่ายขึ้น ง่ายขึ้น ดังนั้น เพื่อให้นิพจน์ตัวอักษรง่ายขึ้นคือการทำให้สั้นลงโดยมีจำนวนการดำเนินการขั้นต่ำ

พิจารณานิพจน์ 9x + 4x นี่คือนิพจน์ตามตัวอักษรที่เป็นผลรวม คำศัพท์ในที่นี้แสดงเป็นผลคูณของตัวเลขและตัวอักษร ตัวประกอบเชิงตัวเลขของคำดังกล่าวเรียกว่าสัมประสิทธิ์ ในนิพจน์นี้ ค่าสัมประสิทธิ์จะเป็นตัวเลข 9 และ 4 โปรดทราบว่าตัวประกอบที่แสดงด้วยตัวอักษรจะเหมือนกันในทั้งสองเทอมของผลรวมนี้

ให้เรานึกถึงกฎการกระจายของการคูณ:

หากต้องการคูณผลรวมด้วยตัวเลข คุณสามารถคูณแต่ละเทอมด้วยตัวเลขนั้นแล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้

โดยทั่วไปเขียนได้ดังนี้: (a + b) ∙ c = ac + bc

กฎนี้เป็นจริงในทั้งสองทิศทาง ac + bc = (a + b) ∙ c

ลองใช้มันกับนิพจน์ตามตัวอักษรของเรา: ผลรวมของผลคูณของ 9x และ 4x เท่ากับผลคูณที่ตัวประกอบแรกเท่ากับผลรวมของ 9 และ 4 ตัวประกอบที่สองคือ x

9 + 4 = 13 นั่นคือ 13x

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x

แทนที่จะเป็นสามการกระทำในนิพจน์ เหลือเพียงการกระทำเดียวเท่านั้น นั่นคือการคูณ ซึ่งหมายความว่าเราได้ทำให้การแสดงออกตามตัวอักษรของเราง่ายขึ้น เช่น ทำให้ง่ายขึ้น

§ 2 การลดข้อกำหนดที่คล้ายกัน

เงื่อนไข 9x และ 4x แตกต่างกันเฉพาะในสัมประสิทธิ์เท่านั้น - เงื่อนไขดังกล่าวเรียกว่าคล้ายกัน ส่วนตัวอักษรของคำที่คล้ายกันจะเหมือนกัน คำที่คล้ายกันยังรวมถึงตัวเลขและพจน์ที่เท่ากันด้วย

ตัวอย่างเช่นในนิพจน์ 9a + 12 - 15 คำที่คล้ายกันจะเป็นตัวเลข 12 และ -15 และในผลรวมของผลิตภัณฑ์ของ 12 และ 6a ตัวเลข 14 และผลิตภัณฑ์ของ 12 และ 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) พจน์ที่เท่ากันแสดงด้วยผลคูณของ 12 และ 6a

สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าคำศัพท์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน แต่ตัวประกอบตัวอักษรต่างกันจะไม่เหมือนกัน แม้ว่าบางครั้งการใช้กฎการกระจายของการคูณจะมีประโยชน์ เช่น ผลรวมของผลิตภัณฑ์ 5x และ 5y คือ เท่ากับผลคูณของเลข 5 และผลรวมของ x และ y

5x + 5y = 5(x + y)

มาทำให้นิพจน์ -9a + 15a - 4 + 10 ง่ายขึ้น

คำที่คล้ายกันในกรณีนี้คือพจน์ -9a และ 15a เนื่องจากต่างกันแค่ค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น ตัวคูณตัวอักษรของพวกเขาเหมือนกัน และเงื่อนไข -4 และ 10 ก็คล้ายกันเช่นกัน เนื่องจากเป็นตัวเลข เพิ่มคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

เราได้รับ: 6a + 6

การทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น เราพบผลรวมของพจน์ที่คล้ายกัน ในทางคณิตศาสตร์เรียกว่าการลดทอนของพจน์ที่คล้ายกัน

หากการเพิ่มคำดังกล่าวเป็นเรื่องยาก คุณสามารถสร้างคำสำหรับคำเหล่านั้นและเพิ่มวัตถุได้

ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์:

สำหรับแต่ละตัวอักษร เรานำวัตถุของเราเอง: b-apple, c-pear จากนั้นเราจะได้: 2 แอปเปิ้ลลบ 5 ลูกแพร์บวก 8 ลูกแพร์

เราสามารถลบลูกแพร์ออกจากแอปเปิ้ลได้ไหม? ไม่แน่นอน แต่เราบวกแพร์ 8 ลูกได้ ลบ 5 ลูกแพร์ได้

ให้เรานำเสนอคำที่คล้ายกัน -5 ลูกแพร์ + 8 ลูกแพร์ คำที่คล้ายกันมีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน ดังนั้นเมื่อนำคำที่คล้ายกันมาเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และเพิ่มส่วนตัวอักษรลงในผลลัพธ์ก็เพียงพอแล้ว:

(-5 + 8) ลูกแพร์ - คุณได้ลูกแพร์ 3 ลูก

กลับมาที่นิพจน์ตามตัวอักษร เรามี -5 s + 8 s = 3 s ดังนั้น หลังจากนำพจน์ที่คล้ายกันมา เราจะได้นิพจน์ 2b + 3c

ดังนั้น ในบทเรียนนี้ คุณได้คุ้นเคยกับแนวคิดเรื่อง "คำศัพท์ที่คล้ายกัน" และได้เรียนรู้วิธีลดความซับซ้อนของนิพจน์ตัวอักษรด้วยการลดคำศัพท์ที่คล้ายคลึงกัน

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้:

1. คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: แผนการสอนสำหรับหนังสือเรียนของ I.I. ซูบาเรวา, A.G. Mordkovich // ผู้แต่ง - คอมไพเลอร์ L.A. โทปิลินา. ความจำเสื่อม 2552.
2. คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป I.I. Zubareva, A.G. มอร์ดโควิช - M.: Mnemosyne, 2013.
3. คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov และคนอื่นๆ/เรียบเรียงโดย G.V. Dorofeeva, I.F. ชารีจินา; Russian Academy of Sciences, สถาบันการศึกษาแห่งรัสเซีย อ.: “การตรัสรู้”, 2553.
4. คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: การศึกษาสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป/น.ย. วิเลนคิน, V.I. Zhokhov, A.S. เชสโนคอฟ, S.I. ชวาร์ตซเบิร์ด. – อ.: Mnemosyna, 2013.
5. คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: หนังสือเรียน/G.K. มูราวิน, O.V. มูราวิน่า. – อ.: อีสตาร์ด, 2014.

รูปภาพที่ใช้:

คุณจะต้อง

• - แนวคิดเรื่องเอกพจน์ของพหุนาม
• - สูตรคูณแบบย่อ
• - การดำเนินการกับเศษส่วน
• - อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

คำแนะนำ

หากนิพจน์มี monomials ด้วย ให้ค้นหาผลรวมของสัมประสิทธิ์แล้วคูณด้วยตัวประกอบเดียวกันสำหรับพวกมัน ตัวอย่างเช่น ถ้ามีนิพจน์ 2 a-4 a+5 a+a=(2-4+5+1)∙a=4∙a

ถ้านิพจน์เป็นเศษส่วนธรรมชาติ ให้เลือกตัวประกอบร่วมจากทั้งเศษและส่วนแล้วลดเศษส่วนลง ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการลดเศษส่วน (3 a²-6 a b+3 b²)/(6∙a²-6∙b²) ให้ลบตัวประกอบร่วมออกจากตัวเศษและตัวส่วนในตัวเศษ ซึ่งจะเป็น 3 ใน ตัวส่วน 6 รับนิพจน์ (3 ( a²-2 a b+b²))/(6∙(a²-b²)) ลดตัวเศษและส่วนลงด้วย 3 และใช้สูตรการคูณแบบย่อกับนิพจน์ที่เหลือ สำหรับตัวเศษคือกำลังสองของผลต่าง และสำหรับตัวส่วนคือผลต่างของกำลังสอง รับนิพจน์ (a-b)²/(2∙ (a+b)∙(a-b)) โดยการลดลงด้วยตัวประกอบร่วม a-b คุณจะได้นิพจน์ (a-b)/(2∙ (a+b)) ซึ่งก็คือ ง่ายกว่ามากสำหรับค่าเฉพาะของตัวแปรที่นับ

หาก monomials มีปัจจัยที่เหมือนกันยกกำลังขึ้น เมื่อรวมเข้าด้วยกัน ตรวจสอบให้แน่ใจว่ากำลังเท่ากัน ไม่เช่นนั้นจะไม่สามารถลดค่าที่คล้ายกันได้ ตัวอย่างเช่น หากมีนิพจน์ 2∙m²+6 m³-m²-4 m³+7 ดังนั้นเมื่อรวมนิพจน์ที่คล้ายกัน ผลลัพธ์จะเป็น m²+2 m³+7

เมื่อทำให้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติง่ายขึ้น ให้ใช้สูตรในการแปลงข้อมูลเหล่านั้น ข้อมูลประจำตัวตรีโกณมิติพื้นฐาน sin²(x)+cos²(x)=1, sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x) สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของอาร์กิวเมนต์ อาร์กิวเมนต์สองเท่า สามเท่า และอื่นๆ ตัวอย่างเช่น (sin(2∙x)- cos(x))/ ctg(x) เขียนสูตรสำหรับอาร์กิวเมนต์คู่และโคแทนเจนต์เป็นอัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์ รับ (2∙ sin(x) cos(x)- cos(x)) sin(x)/cos(x) นำตัวประกอบร่วมออกมา cos(x) แล้วยกเลิกเศษส่วน cos(x) (2∙ sin(x) - 1) sin(x)/cos(x)= (2∙ sin(x) - 1) sin( x)

วิดีโอในหัวข้อ

แหล่งที่มา:

• สูตรลดความซับซ้อนของการแสดงออก

อย่างที่พวกเขาพูดกันว่า Brevity เป็นน้องสาวของพรสวรรค์ ใครๆ ก็อยากอวดความสามารถของตัวเอง แต่น้องสาวเขากลับมีเรื่องซับซ้อน ด้วยเหตุผลบางประการ ความคิดที่ชาญฉลาดมักอยู่ในรูปแบบของประโยคที่ซับซ้อนซึ่งมีวลีวิเศษณ์มากมาย อย่างไรก็ตาม มันขึ้นอยู่กับคุณแล้วที่จะทำให้ประโยคของคุณง่ายขึ้นและทำให้ทุกคนเข้าใจและเข้าถึงได้

คำแนะนำ

เพื่อให้ง่ายขึ้นสำหรับผู้รับ (ไม่ว่าจะเป็นผู้ฟังหรือผู้อ่าน) ให้พยายามแทนที่วลีแบบมีส่วนร่วมและแบบมีส่วนร่วมด้วยอนุประโยคสั้นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมีวลีข้างต้นมากเกินไปในประโยคเดียว “ แมวกลับมาบ้านเพิ่งกินหนูส่งเสียงร้องดัง ๆ กอดรัดเจ้าของพยายามสบตาหวังขอปลาที่นำมาจากร้าน” - สิ่งนี้จะไม่ได้ผล แบ่งโครงสร้างออกเป็นหลายส่วน ใช้เวลาของคุณและอย่าพยายามพูดทุกอย่างในประโยคเดียว คุณจะมีความสุข

หากคุณคิดประโยคที่ยอดเยี่ยม แต่กลับกลายเป็นว่าประโยคย่อยมีมากเกินไป (โดยเฉพาะประโยคเดียว) ก็ควรแบ่งประโยคนั้นออกเป็นหลายๆ ประโยคแยกกัน หรือละองค์ประกอบบางส่วนออก “ เราตัดสินใจว่าเขาจะบอก Marina Vasilievna ว่า Katya จะบอก Vita ว่า...” - เราสามารถดำเนินต่อไปได้ไม่รู้จบ หยุดให้ทันเวลาและจำไว้ว่าใครจะอ่านหรือฟังเรื่องนี้

อย่างไรก็ตาม ข้อผิดพลาดไม่เพียงแต่อยู่ที่โครงสร้างของประโยคเท่านั้น ให้ความสนใจกับคำศัพท์ คำต่างประเทศ ศัพท์ยาว คำที่นำมาจากนิยายในศตวรรษที่ 19 ทั้งหมดนี้จะทำให้การรับรู้ซับซ้อนเท่านั้น มีความจำเป็นต้องชี้แจงด้วยตัวคุณเองว่าคุณกำลังเขียนข้อความให้กับผู้ชมกลุ่มใด: แน่นอนว่านักเทคโนโลยีจะเข้าใจทั้งคำศัพท์ที่ซับซ้อนและคำเฉพาะ แต่ถ้าคุณเสนอคำเดียวกันนี้ให้ครูสอนวรรณกรรม เธอไม่น่าจะเข้าใจคุณ

ความสามารถเป็นสิ่งที่ดี หากคุณมีความสามารถ (และไม่มีคนที่ไม่มีความสามารถ) เส้นทางมากมายเปิดอยู่ตรงหน้าคุณ แต่ความสามารถไม่ได้อยู่ที่ความซับซ้อน แต่อยู่ที่ความเรียบง่าย ผิดปกติพอสมควร ทำให้มันเรียบง่าย แล้วพรสวรรค์ของคุณก็จะชัดเจนและทุกคนเข้าถึงได้

วิดีโอในหัวข้อ

การเรียนรู้ที่จะทำให้นิพจน์ในคณิตศาสตร์ง่ายขึ้นเป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่งเพื่อที่จะแก้ปัญหาและสมการต่างๆ ได้อย่างถูกต้องและรวดเร็ว การลดความซับซ้อนของนิพจน์เกี่ยวข้องกับการลดจำนวนขั้นตอน ซึ่งทำให้การคำนวณง่ายขึ้นและประหยัดเวลา

คำแนะนำ

เรียนรู้การคำนวณกำลังของค เมื่อคูณเลขยกกำลัง c จะได้ตัวเลขที่มีฐานเท่ากัน และเพิ่มเลขยกกำลัง b^m+b^n=b^(m+n) เมื่อทำการหารยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน จะได้กำลังของตัวเลข โดยฐานนั้นยังคงเท่าเดิม และลบเลขยกกำลังออก และเลขชี้กำลังของตัวหาร b^m จะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล: b^ n=b^(ม-น) เมื่อยกกำลังเป็นยกกำลัง จะได้กำลังของตัวเลข โดยฐานยังคงเท่าเดิม และเลขยกกำลังจะคูณกัน (b^m)^n=b^(mn) เมื่อยกกำลัง แต่ละตัวประกอบ ถูกยกกำลังนี้ (abc)^m=a^m *b^m*c^m

พหุนามตัวประกอบ เช่น ลองจินตนาการว่ามันเป็นผลมาจากปัจจัยหลายประการ - พหุนามและ monomials นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ. เรียนรู้สูตรการคูณแบบย่อพื้นฐาน: ผลต่างของกำลังสอง ผลรวมกำลังสอง ผลต่างกำลังสอง ผลรวมของลูกบาศก์ ผลต่างของลูกบาศก์ ลูกบาศก์ของผลรวม และผลต่าง ตัวอย่างเช่น m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2 สูตรเหล่านี้เป็นสูตรหลักในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ใช้วิธีการแยกกำลังสองสมบูรณ์ในรูปตรีโกณมิติในรูปแบบ ax^2+bx+c

ย่อเศษส่วนให้บ่อยที่สุด ตัวอย่างเช่น (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c) แต่จำไว้ว่าคุณสามารถลดตัวคูณได้เท่านั้น ถ้าตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพีชคณิตคูณด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์ ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง มีสองวิธีในการแปลงนิพจน์ที่เป็นเหตุเป็นผล: โดยลูกโซ่และโดยการกระทำ วิธีที่สองจะดีกว่าเพราะว่า ตรวจสอบผลลัพธ์ของการกระทำระดับกลางได้ง่ายกว่า

มักจำเป็นต้องแยกรากออกจากนิพจน์ รากคู่จะถูกแยกจากนิพจน์หรือตัวเลขที่ไม่เป็นลบเท่านั้น สามารถแยกรากแปลกออกจากนิพจน์ใดก็ได้

แหล่งที่มา:

• ลดความซับซ้อนของการแสดงออกด้วยพลัง

"การแสดงออก" ในคณิตศาสตร์มักจะหมายถึงชุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และพีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขและค่าตัวแปร โดยการเปรียบเทียบกับรูปแบบการเขียนตัวเลข ชุดดังกล่าวเรียกว่า “เศษส่วน” ในกรณีที่ประกอบด้วยการดำเนินการหาร การดำเนินการลดความซับซ้อนใช้กับนิพจน์เศษส่วน เช่นเดียวกับตัวเลขในรูปแบบเศษส่วน

คำแนะนำ

เริ่มต้นด้วยการค้นหาตัวประกอบร่วมของ โดยยืนอยู่ในตัวเศษ และ - ค่านี้จะเหมือนกันสำหรับทั้งอัตราส่วนตัวเลขและอัตราส่วนที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก ตัวอย่างเช่น ถ้าตัวเศษคือ 45*X และตัวส่วนคือ 18*Y ดังนั้นตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคือ 9 หลังจากทำตามขั้นตอนนี้แล้ว ตัวเศษสามารถเขียนเป็น 9*5*X และตัวส่วนเป็น 9*2* ย.

หากนิพจน์ในตัวเศษและตัวส่วนประกอบด้วยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน ( การหาร การบวก และการลบ ) รวมกัน คุณจะต้องแยกตัวประกอบร่วมของแต่ละตัวแยกกันก่อน จากนั้นจึงแยกตัวประกอบร่วมมากที่สุดออกจากตัวประกอบเหล่านี้ ตัวเลข ตัวอย่างเช่น สำหรับนิพจน์ 45*X+180 ซึ่งอยู่ในตัวเศษ ควรนำตัวประกอบ 45 ออกจากวงเล็บ: 45*X+180 = 45*(X+4) และนิพจน์ 18+54*Y ในตัวส่วนจะต้องลดลงให้อยู่ในรูปแบบ 18*(1+3*Y) จากนั้น เช่นเดียวกับในขั้นตอนที่แล้ว ให้หาตัวหารร่วมมากที่สุดของปัจจัยที่ดึงออกมาจากวงเล็บ: 45*X+180 / 18+54*Y = 45*(X+4) / 18*(1+3*Y) = 9*5* (X+4) / 9*2*(1+3*Y) ในตัวอย่างนี้ ก็เท่ากับเก้าด้วย

ลดตัวประกอบร่วมของนิพจน์ในตัวเศษและส่วนของเศษส่วนที่พบในขั้นตอนที่แล้ว สำหรับตัวอย่างจากขั้นตอนแรก การดำเนินการลดความซับซ้อนทั้งหมดสามารถเขียนได้ดังนี้: 45*X / 18*Y = 9*5*X / 9*2*Y = 5*X / 2*Y

เมื่อลดรูปลง ตัวหารร่วมที่ลดลงไม่จำเป็นต้องเป็นตัวเลข นอกจากนี้ยังสามารถเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรได้ด้วย ตัวอย่างเช่น ถ้าตัวเศษของเศษส่วนคือ (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) และตัวส่วนคือ (X*Y + 3*Y - 7*X - 21) ดังนั้นค่าร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ตัวหารจะเป็นนิพจน์ X+ 3 ซึ่งควรลดลงเพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น: (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) / (X*Y + 3*Y - 7*X - 21) = ( X+3)*(4 +Y) / (X+3)*(Y-7) = (4+Y) / (Y-7)

ในตอนต้นของบทเรียน เราจะทบทวนคุณสมบัติพื้นฐานของรากที่สอง จากนั้นดูตัวอย่างที่ซับซ้อนหลายๆ ตัวอย่างของการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นที่มีรากที่สอง

เรื่อง:การทำงาน- คุณสมบัติของรากที่สอง

บทเรียน:การแปลงและลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนมากขึ้นด้วยราก

1. การทบทวนคุณสมบัติของรากที่สอง

ให้เราทบทวนทฤษฎีสั้นๆ และนึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของรากที่สอง

คุณสมบัติของรากที่สอง:

1. ดังนั้น, ;

3. ;

4. .

2. ตัวอย่างเพื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นด้วยราก

มาดูตัวอย่างการใช้คุณสมบัติเหล่านี้กันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1: ลดความซับซ้อนของนิพจน์ .

สารละลาย. เพื่อให้ง่ายขึ้น ต้องแยกตัวประกอบของจำนวน 120 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:

เราจะเปิดเผยกำลังสองของผลรวมโดยใช้สูตรที่เหมาะสม:

ตัวอย่างที่ 2: ลดความซับซ้อนของนิพจน์ .

สารละลาย. ให้เราพิจารณาว่านิพจน์นี้ไม่สมเหตุสมผลสำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรเนื่องจากนิพจน์นี้มีรากที่สองและเศษส่วนซึ่งนำไปสู่การ "แคบลง" ของช่วงของค่าที่อนุญาต ODZ: ().

ลองนำนิพจน์ในวงเล็บมาใส่ตัวส่วนร่วมแล้วเขียนเศษของเศษส่วนสุดท้ายเป็นผลต่างของกำลังสอง:

คำตอบ. ที่.

ตัวอย่างที่ 3: ลดความซับซ้อนของนิพจน์ .

สารละลาย. จะเห็นได้ว่าวงเล็บเหลี่ยมตัวที่สองมีลักษณะที่ไม่สะดวกและจำเป็นต้องทำให้ง่ายขึ้น เรามาลองแยกตัวประกอบโดยใช้วิธีจัดกลุ่มกัน

เพื่อให้สามารถหาตัวประกอบร่วมได้ เราทำให้รากง่ายขึ้นโดยการแยกตัวประกอบพวกมัน แทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ให้เป็นเศษส่วนดั้งเดิม:

หลังจากลดเศษส่วนแล้ว เราก็ใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง

3. ตัวอย่างการกำจัดความไร้เหตุผล

ตัวอย่างที่ 4 ปลดปล่อยตัวเองจากความไร้เหตุผล (ราก) ในตัวส่วน: ก) ; ข) .

สารละลาย. ก) เพื่อกำจัดความไม่ลงตัวในตัวส่วนจึงใช้วิธีการมาตรฐานในการคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยตัวประกอบคอนจูเกตกับตัวส่วน (นิพจน์เดียวกัน แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม) วิธีนี้ทำเพื่อเสริมตัวส่วนของเศษส่วนกับผลต่างของกำลังสอง ซึ่งช่วยให้คุณกำจัดรากในตัวส่วนได้ เรามาทำสิ่งนี้ในกรณีของเรา:

b) ดำเนินการที่คล้ายกัน:

4. ตัวอย่างสำหรับการพิสูจน์และการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ในอนุมูลเชิงซ้อน

ตัวอย่างที่ 5 พิสูจน์ความเท่าเทียมกัน .

การพิสูจน์. ลองใช้คำจำกัดความของรากที่สอง ซึ่งตามมาว่ากำลังสองของนิพจน์ทางมือขวาจะต้องเท่ากับนิพจน์ราก:

- ลองเปิดวงเล็บโดยใช้สูตรกำลังสองของผลรวม:

เราได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

พิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 6 ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย. สำนวนนี้มักเรียกว่าอนุมูลเชิงซ้อน (รากใต้ราก) ในตัวอย่างนี้ คุณต้องเดาว่าจะแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ออกจากนิพจน์ราก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โปรดทราบว่าในสองคำนี้ เป็นตัวเลือกสำหรับบทบาทของผลคูณสองเท่าในสูตรสำหรับผลต่างกำลังสอง (ผลต่าง เนื่องจากมีลบ) ให้เราเขียนมันในรูปแบบของผลคูณต่อไปนี้: แล้ว 1 อ้างว่าเป็นหนึ่งในเงื่อนไขของกำลังสองที่สมบูรณ์ และ 1 อ้างว่าเป็นเงื่อนไขที่สอง

ลองแทนที่นิพจน์นี้ใต้ราก