ไปที่บ้าน ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์คือการแสดงออกของรูปแบบ:

โดยที่จำนวนจริงเรียกว่าสัมประสิทธิ์ผลรวมเชิงเส้น

การหาค่าความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์

ระบบของเวกเตอร์ A 1 , A 2 ,…A n เรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้น ถ้าผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้ แลมบ์ดา*A1+แลม2*A2+...+แลม*An เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์เฉพาะสำหรับเซตศูนย์ของ ตัวเลข แลมบ์ดา, เลท2,..., แลมบ์ นั่นคือระบบสมการ: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ มีคำตอบเป็นศูนย์เฉพาะ

การหาค่าการพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์
เวกเตอร์ระนาบสองตัวจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงหากพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน

เวกเตอร์สองตัวเรียกว่าคอลลิเนียร์หากพวกมันอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนาน

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์

ทฤษฎีบทว่าด้วยการแสดงสตริงในลักษณะผลรวมเชิงเส้นของสตริงอิสระ

แต่ละแถวของเมทริกซ์ A สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอิสระของเมทริกซ์ A

ให้เมทริกซ์ A มีอันดับ r จากนั้นจะมีลำดับรอง r แตกต่างจาก 0 เพิ่มแถวที่ i และคอลัมน์ที่ j ให้กับรองนี้	11	…	12	1r
1จ	21	…	22	2r
…	…	…	…	…
2เจ	41	…	42	4r
4จ	i1	…	i2	อากาศ

ไอจ
ม ร =

ม อาร์+1 =0; เพราะ อันดับ A=r (เป็นตัวรองที่มีลำดับสูงกว่า r) ตัวรองนี้สามารถขยายได้ตามคอลัมน์สุดท้าย

[a 1j A 1j + a 2j A 2j +…+ a rj A rj + a ij (-1) i+j *M r ]=0 /(หารทุกอย่างด้วย M r แล้วแนะนำ A ij

(-1) ผม+เจ M r)=แล ผม

a ij = แลมบ์ดา 1 a 1j +แลม 2 a 2j +…+ แลมบ์ดา 4 a 4j โดยที่ j=r+1 ความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้กับ j=1 m ด้วย 81. ทฤษฎีบทว่าด้วยการแสดงคอลัมน์เป็นผลรวมเชิงเส้นของค่าอิสระ

คอลัมน์

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างอันดับของเมทริกซ์กับจำนวนแถว/คอลัมน์อิสระ

ให้เมทริกซ์ A มีอันดับ r จากนั้นจะมีลำดับรอง r แตกต่างจาก 0 เพิ่มแถวที่ i และคอลัมน์ที่ j ให้กับรองนี้	11	…	12
1จ	21	…	22
…	…	…	…
อันดับของเมทริกซ์ A เท่ากับจำนวนแถว/คอลัมน์อิสระ ให้เมทริกซ์ A (m*n) มีอันดับ r	21	…	22

2r

มีลำดับรองลงมา r = 0; (e 1…..er) – เป็นอิสระเชิงเส้น

ให้มีสิ่งที่ตรงกันข้าม: e r = แลมบ์ดา 1 อี 1 + แล 2 อี 2 +…+ แลม r-1 อี r-1

เรามาทำการแปลงทางไฟฟ้ากันดีกว่า โดยไม่เปลี่ยนปัจจัยกำหนดของผู้เยาว์รายนี้ (M r)

อี r - แลมบ์ดา 1 อี 1 - แลมบ์ 2 อี 2 – แลม 3 อี 3 -…- แลมบ์ r-1 อี r-1

ดังนั้นเราจึงได้แถวสุดท้ายที่ประกอบด้วย 0 แต่แล้ว M r = 0 สมมติฐานของเราผิด!

ปัจจัยกำหนด

คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ หมายเลข 01.(ขนย้าย)

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ถูกย้ายจะเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิม:

การพิสูจน์- ตามคำนิยามที่ว่า

เมื่อย้ายเมทริกซ์ กมีเพียงการจัดเรียงข้อกำหนดใหม่ในผลรวมนี้เท่านั้น

คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ หมายเลข 02. (การจัดเรียงแถวหรือคอลัมน์ใหม่).

หากมีการจัดเรียงสองแถวหรือสองคอลัมน์ในดีเทอร์มิแนนต์ใหม่ ดีเทอร์มิแนนต์จะเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม

การพิสูจน์- ตามทฤษฎีบทที่ 1 การขนย้ายใดๆ จะเปลี่ยนความเท่าเทียมกันของการเรียงสับเปลี่ยน ดังนั้น เมื่อจัดเรียงสองแถว (คอลัมน์) แต่ละเทอมของผลรวมจะเปลี่ยนเครื่องหมายไปเป็นแถวตรงกันข้าม

ตามเกณฑ์การแลกเปลี่ยนนี้ จะมีการกำหนดผลรวมเชิงเส้นของกำไรขั้นต่ำและสูงสุดสำหรับแต่ละโซลูชัน  

ตัวเลือกที่สองเกี่ยวข้องกับการมุ่งเน้นไปที่เกณฑ์เดียว สามารถเลือกเป็นหนึ่งในตัวบ่งชี้มาตรฐานที่มีการตีความทางเศรษฐกิจที่เข้าใจได้อย่างสมบูรณ์ (เช่น หนึ่งในอัตราส่วนสภาพคล่อง อัตราส่วนความสามารถในการครอบคลุมดอกเบี้ย ฯลฯ) หรือเกณฑ์นี้ได้รับการพัฒนาในรูปแบบของตัวบ่งชี้เทียมบางตัวที่สรุปโดยทั่วไป เกณฑ์เฉพาะ สำหรับเกณฑ์ทั่วไปนี้ จะมีการตั้งค่าเกณฑ์ ซึ่งจะเปรียบเทียบมูลค่าที่แท้จริงของเกณฑ์ที่คำนวณสำหรับผู้มีโอกาสยืม ปัญหาหลักในการนำแนวทางนี้ไปใช้อยู่ที่วิธีการสร้างตัวบ่งชี้สรุป ส่วนใหญ่มักจะเป็นการผสมผสานเชิงเส้นของเกณฑ์เฉพาะซึ่งแต่ละเกณฑ์จะรวมอยู่ในตัวบ่งชี้ทั่วไปที่มีค่าสัมประสิทธิ์การถ่วงน้ำหนักที่แน่นอน เป็นแนวทางที่ E. Altman ใช้ในการพัฒนาเกณฑ์ Z เพื่อทำนายการล้มละลาย  

แถว e เรียกว่าผลรวมเชิงเส้นของแถว e, e-..., em ของเมทริกซ์ if  

แนวคิดเรื่องผลรวมเชิงเส้น การพึ่งพาเชิงเส้น และความเป็นอิสระของเวกเตอร์ e, e2 f em คล้ายกับแนวคิดที่สอดคล้องกันสำหรับแถวของเมทริกซ์ e, e2,..., em (11.5)  

ดังที่แสดงใน สำหรับเซตที่ยอมรับได้ที่มีขอบเขตและนูน (2.14) เวกเตอร์ x% 0 ที่เป็นไปตามข้อจำกัด A xk bk สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นนูนของเซตจำกัดของจุดสุดขั้ว  

ขั้นตอนการเพิ่มประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณค่า จำกัด ขององค์ประกอบ a และการรวมเชิงเส้นส่วนใหญ่ไม่มีข้อเสียเหล่านี้  

เห็นได้ชัดว่าจุด (X1, d) ที่ได้จากผลรวมเชิงเส้นของ (A/, d) และ (L.", d") ก็เป็นคำตอบของระบบ (4.43), (4.44) เช่นกัน  

ในส่วนนี้ เราจะพิจารณากฎสำหรับการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มหลายตัวแปร ซึ่งเป็นผลรวมเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มที่สัมพันธ์กัน  

ดังนั้นสำหรับผลรวมเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มจำนวนเท่าใดก็ได้ที่เราได้รับ  

ลองพิจารณากรณีการลงทุนในสินทรัพย์หลายรายการ (พอร์ตโฟลิโอ) พอร์ตโฟลิโอคือการรวมกันเชิงเส้นของสินทรัพย์ ซึ่งแต่ละรายการมีผลตอบแทนที่คาดหวังและการกระจายตัวของผลตอบแทนเป็นของตัวเอง  

ต่างจากการรวมตัวแปรสุ่มเชิงเส้นตามอำเภอใจ น้ำหนักของสินทรัพย์จะขึ้นอยู่กับกฎการทำให้เป็นมาตรฐาน  

ย่อหน้าก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่าเมื่อค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างสินทรัพย์น้อยกว่า 1 การกระจายพอร์ตการลงทุนสามารถปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างผลตอบแทนที่คาดหวังและความเสี่ยงที่คาดหวังได้ เนื่องจากผลตอบแทนที่คาดหวังของพอร์ตโฟลิโอคือการรวมกันเชิงเส้นของผลตอบแทนที่คาดหวังจากสินทรัพย์ที่รวมอยู่ในพอร์ตโฟลิโอ และความแปรปรวนของพอร์ตโฟลิโอเป็นฟังก์ชันกำลังสองของ rs รวมอยู่ในพอร์ตการลงทุนของสินทรัพย์  

อุปกรณ์จดจำรูปแบบที่ง่ายที่สุดที่อยู่ในคลาสของเครือข่ายที่อยู่ระหว่างการพิจารณาคือเซลล์ประสาทเดี่ยวที่แปลงเวกเตอร์คุณลักษณะอินพุตเป็นการตอบสนองแบบสเกลาร์ ขึ้นอยู่กับการรวมเชิงเส้นของตัวแปรอินพุต  

เนื่องจากฟังก์ชันการแบ่งแยกขึ้นอยู่กับการรวมเชิงเส้นของอินพุตเท่านั้น เซลล์ประสาทจึงเป็นตัวแบ่งแยกเชิงเส้น ในสถานการณ์ที่ง่ายที่สุดบางสถานการณ์ ตัวแบ่งแยกเชิงเส้นเป็นวิธีที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้ กล่าวคือ ในกรณีที่ความน่าจะเป็นของเวกเตอร์อินพุตที่เป็นของคลาส k ถูกกำหนดโดยการแจกแจงแบบเกาส์เซียน  

แม่นยำยิ่งขึ้น ผลลัพธ์ของเครือข่าย Oya คือการรวมกันเชิงเส้นของส่วนประกอบหลัก Ш ตัวแรก เพื่อให้ได้ส่วนประกอบหลักที่แน่ชัด ก็เพียงพอที่จะแทนที่ผลรวมของเอาต์พุตทั้งหมดในกฎของ Oya ด้วย  

นอกจากนี้ เวกเตอร์ b ยังก่อให้เกิดสิ่งที่เรียกว่าพื้นฐานขั้นต่ำ กล่าวคือ นี่คือจำนวนเวกเตอร์ขั้นต่ำโดยใช้ผลรวมเชิงเส้นซึ่งสามารถแสดงเวกเตอร์ที่จดจำทั้งหมดได้  

ขั้นตอนที่เป็นระบบต่อไปนี้สามารถระบุคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดซ้ำ ๆ ซึ่งเป็นการรวมเชิงเส้นของตัวแปรอินพุต X = W X (เซตย่อยของอินพุตเป็นกรณีพิเศษของการรวมเชิงเส้น กล่าวคือ อย่างเป็นทางการสามารถค้นหาได้ ทางออกที่ดีที่สุดมากกว่าที่มีอยู่โดยการเลือกชุดค่าผสมที่สำคัญที่สุด)  

วิธีการนี้ทำให้สามารถระบุปัจจัยที่ให้ข้อมูลได้มากที่สุด (การรวมกันเชิงเส้นของลักษณะเริ่มต้น Xi - ที่เรียกว่าส่วนประกอบหลักของ Zi) และโดยการกำจัดปัจจัยที่ไม่สำคัญเพื่อสร้างความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งเหล่านี้ในรูปแบบของแบบจำลองง่ายๆ แบบจำลองเหล่านี้ตลอดจนคุณลักษณะทางสถิติ อำนวยความสะดวกในการตีความการพึ่งพา Xi และระดับของตัวบ่งชี้บางอย่าง เช่น ประสิทธิภาพการผลิต ความน่าเชื่อถือ ฯลฯ และยังช่วยให้สามารถวิเคราะห์และคาดการณ์สถานะของโรงงานอุตสาหกรรมที่กำลังศึกษาอยู่ได้  

ในระหว่างการวิเคราะห์ ข้อมูลต่อไปนี้ใช้เพื่ออธิบายลักษณะทางการเงินในด้านต่างๆ ตัวชี้วัดสัมบูรณ์และอัตราส่วนทางการเงินซึ่งเป็นตัวชี้วัดสถานะทางการเงินที่สัมพันธ์กัน หลังคำนวณในรูปแบบของอัตราส่วนของตัวบ่งชี้สถานะทางการเงินที่สมบูรณ์หรือชุดค่าผสมเชิงเส้น ตามการจำแนกประเภทของหนึ่งในผู้ก่อตั้งวิทยาศาสตร์งบดุล N.A. Blatov ตัวบ่งชี้สัมพัทธ์ของสถานะทางการเงินแบ่งออกเป็นค่าสัมประสิทธิ์การกระจายและใช้ในกรณีที่จำเป็นต้องกำหนดว่าส่วนใดของสิ่งนี้หรือส่วนนั้น

เวกเตอร์

เวกเตอร์เรียกว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์ ( ก, ข, ค, ...) ซึ่งมีการกำหนดการดำเนินการของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตสองรายการ:

การบวกเวกเตอร์สองตัว ก+ข=ค

· การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข ก = ข

คุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของการดำเนินการเหล่านี้คือให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ประเภทเดียวกันกับเวกเตอร์ดั้งเดิมเสมอ ดังนั้นเมื่อมีเซตเวกเตอร์เริ่มต้น เราก็สามารถค่อยๆ ขยายมันได้ เช่น รับเวกเตอร์ใหม่มากขึ้นเรื่อยๆ โดยการใช้การดำเนินการบวกและการคูณด้วยตัวเลขกับเวกเตอร์ที่มีอยู่ ในท้ายที่สุด เราจะได้ชุดของเวกเตอร์ที่จะไม่ขยายอีกต่อไป เช่น ปรากฏว่าปิดให้บริการตามการดำเนินการที่ระบุไว้ เซตของเวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่า พื้นที่เวกเตอร์.

หากการดำเนินการข้างต้นจำเป็นต้องเพิ่มเติม เงื่อนไขความเป็นเส้นตรง :

ก( ก+ข)= ก เอ+ก ข

(ก + ข) ก =ก เอ+ข ข

จากนั้นจึงเรียกพื้นที่ผลลัพธ์ เชิงเส้น ช่องว่าง (LP) หรือ เวกเตอร์เชิงเส้น ช่องว่าง (เอชดีแอล). LCS สามารถทำหน้าที่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นชุดปิดของวัตถุประเภทเดียวกันและจัดลำดับด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง (โดยใช้การดำเนินการทางพีชคณิต) พร้อมด้วยกลุ่มสมมาตร

ชุดค่าผสมเชิงเส้น

เมื่อมีการดำเนินการบวกเวกเตอร์และคูณด้วยตัวเลข เราสามารถสร้างโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นได้ เช่น:

ก เอ+ข ข+ก ค + ..... = x

ซึ่งเรียกว่า การรวมกันเชิงเส้น (LK) เวกเตอร์ ก, ข, ค, . - -ด้วยสัมประสิทธิ์ a, b, g, . . . ตามลำดับ

แนวคิดของ LC ช่วยให้เราสามารถกำหนดได้หลายอย่าง กฎทั่วไป:

· LC ทุกตัวของเวกเตอร์ใดๆ ของ LP บางตัวยังเป็นเวกเตอร์ของ LP เดียวกันด้วย

· เวกเตอร์ใดๆ ของ LP บางตัวสามารถแสดงในรูปของ LC ของเวกเตอร์หลายๆ ตัวของ LP เดียวกัน

· ใน LP ใดๆ จะมีชุดเวกเตอร์ที่เลือกไว้เรียกว่า ชุดพื้นฐาน (หรือเพียงแค่ พื้นฐาน ) ว่าเวกเตอร์ทั้งหมดของ LP นี้สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐานที่เลือกไว้เหล่านี้โดยไม่มีข้อยกเว้น เงื่อนไขสำคัญประการหนึ่งถูกกำหนดไว้กับเวกเตอร์ที่เลือกเป็นเงื่อนไขพื้นฐาน: จะต้องเป็นเช่นนั้น เป็นอิสระเชิงเส้นระหว่างกัน (ไม่ควรแสดงออกถึงกัน เช่น x≠× ย).

กฎเหล่านี้ทำให้สามารถแนะนำได้ วิธีพิเศษคำอธิบายของยาใด ๆ ลองเลือกชุดพื้นฐานและขยายเวกเตอร์ทั้งหมดที่เราสนใจตามพื้นฐานนี้ (เช่น นำเสนอในรูปแบบของเวกเตอร์พื้นฐาน LC) จากนั้นเวกเตอร์แต่ละตัวสามารถระบุได้ไม่ซ้ำกันโดยชุดของสัมประสิทธิ์ LC ที่สอดคล้องกับเวกเตอร์ที่กำหนด สัมประสิทธิ์ดังกล่าวเรียกว่า พิกัด เวกเตอร์ (ด้วยความเคารพต่อพื้นฐานที่กำหนด) เราเน้นว่าพิกัดของเวกเตอร์นั้นเป็นตัวเลขธรรมดา และการแทนพิกัดของเวกเตอร์ทำให้สามารถอธิบายได้โดยใช้เพียงชุดตัวเลข โดยไม่คำนึงถึงค่าเฉพาะเจาะจง ความหมายทางกายภาพซึ่งเราใส่ไว้ในแนวคิดของเวกเตอร์

ลองพิจารณาดู ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม- สมมติว่าเรามีชุดส่วนผสมที่ต่างกันของสารบริสุทธิ์สองชนิด สารเคมี: น้ำและแอลกอฮอล์ ในบรรดาส่วนผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราเน้นสองส่วนผสมพิเศษ:

1) ส่วนผสม ส 1ประกอบด้วยน้ำ 100% และแอลกอฮอล์ 0%

2) ส่วนผสม เอส 2ประกอบด้วยน้ำ 0% และแอลกอฮอล์ 100%

เห็นได้ชัดว่าของผสมใดๆ สามารถแสดงเป็น LC ของของผสมพื้นฐานทั้งสองนี้ได้:

ส = n 1 * ส 1 + n 2 * เอส 2

และแสดงลักษณะเฉพาะโดยสมบูรณ์ด้วยหมายเลขพิกัดเพียงสองหมายเลข: n 1 และ n 2. กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อพิจารณาจากชุดพื้นฐานแล้ว เราสามารถสร้างความเท่าเทียมกันของส่วนผสมทางเคมีตามอำเภอใจและชุดตัวเลขได้:

ส~ {n 1 , n 2 }.

ตอนนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะแทนที่คำว่า "ส่วนผสม" ทางเคมีที่เป็นรูปธรรมด้วยคำว่า "เวกเตอร์" ทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรม เพื่อให้ได้แบบจำลอง HDL ที่อธิบายส่วนผสมจำนวนมากของสารทั้งสองชนิด

แนวคิดเรื่องเวกเตอร์

คำจำกัดความ 1.เวกเตอร์เรียกว่าส่วนโดยตรง (หรือที่เหมือนกันคือจุดคู่ที่เรียงลำดับ)

กำหนด: (จุด A คือจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์) จุด B คือจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์) หรือด้วยตัวอักษรตัวเดียว -

คำจำกัดความ 2ความยาวเวกเตอร์ (โมดูลัส)คือระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ความยาวของเวกเตอร์เขียนแทนด้วย หรือ

คำจำกัดความ 3เวกเตอร์ศูนย์เรียกว่าเวกเตอร์ซึ่งมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน กำหนด:

คำจำกัดความที่ 4เวกเตอร์หน่วยเป็นเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับหนึ่ง

เวกเตอร์หน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ที่กำหนด เรียกว่าเวกเตอร์หน่วยของเวกเตอร์ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

คำจำกัดความที่ 5เวกเตอร์ถูกเรียกว่า คอลลิเนียร์,ถ้าอยู่บนเส้นตรงเดียวกันหรือเส้นตรงขนานกัน เวกเตอร์ที่เป็นโมฆะถือเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ใดๆ

คำนิยาม 6เวกเตอร์ถูกเรียกว่า เท่ากันถ้าเป็นเส้นตรงก็จะมีความยาวเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน

การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์

คำนิยาม 7การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์เรียกว่า การบวกเวกเตอร์ และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

คำจำกัดความ 8ผลรวมของเวกเตอร์สองตัวเป็นเวกเตอร์ที่ไปจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ไปยังจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ โดยมีเงื่อนไขว่าเวกเตอร์จะต้องแนบกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ (กฎสามเหลี่ยม) ในกรณีของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เส้นตรง แทนที่จะใช้กฎสามเหลี่ยม คุณสามารถใช้กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานได้: หากเวกเตอร์ถูกแยกออกจากจุดกำเนิดร่วมและมีการสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานขึ้นมา ผลรวมจะเป็นเวกเตอร์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน โดยมีเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้มาจากจุดกำเนิดร่วม

คำนิยาม 9ผลต่างของเวกเตอร์สองตัวเรียกว่าเวกเตอร์ ซึ่งเมื่อบวกเข้ากับเวกเตอร์จะเกิดเป็นเวกเตอร์ หากเวกเตอร์สองตัวถูกแยกออกจากจุดกำเนิดร่วม ความแตกต่างของพวกเขาคือเวกเตอร์ที่ต่อจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ("ลบ") ไปยังจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ("ลดลง")

คำนิยาม 10.เรียกว่าเวกเตอร์คอลลิเนียร์สองตัวที่มีความยาวเท่ากันซึ่งมีทิศทางตรงกันข้าม ตรงข้าม.เวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์จะแสดงแทน

ผลคูณของเวกเตอร์และตัวเลขเขียนแทนด้วย α

คุณสมบัติบางประการของการดำเนินการเชิงเส้น

7) ;

ทฤษฎีบท 1(เกี่ยวกับเวกเตอร์คอลลิเนียร์)หากคุณเป็นเวกเตอร์คอลลิเนียร์สองตัว และเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ แล้วจะมีจำนวนเฉพาะ x ที่ทำให้ = x

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์และเวกเตอร์ที่เชื่อมต่อกันด้วยความเท่าเทียมกัน: =·

คุณสมบัติที่กำหนดของการดำเนินการเชิงเส้นทำให้สามารถแปลงนิพจน์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ตามกฎพีชคณิตปกติได้: คุณสามารถเปิดวงเล็บ, นำเงื่อนไขที่คล้ายกัน, ถ่ายโอนเงื่อนไขบางข้อไปยังส่วนอื่นของความเท่าเทียมกันด้วยเครื่องหมายตรงข้าม ฯลฯ

ตัวอย่างที่ 1

พิสูจน์ความเท่าเทียมกัน:

และค้นหาความหมายทางเรขาคณิตของมัน

สารละลาย.ก) ทางด้านซ้ายของค่าเท่ากัน ให้เปิดวงเล็บ เพิ่มพจน์ที่คล้ายกัน แล้วหาเวกเตอร์ทางด้านขวา ให้เราอธิบายความเท่าเทียมกันนี้ในเชิงเรขาคณิต ให้เวกเตอร์สองตัวมาแยกจากจุดกำเนิดทั่วไปแล้วดูที่สี่เหลี่ยมด้านขนานและเส้นทแยงมุมเราจะได้:

§2 การรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์

พื้นฐานเวกเตอร์บนเครื่องบินและในอวกาศ

คำจำกัดความ 1.ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์,เรียกว่าผลบวกของผลคูณของเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่ง,,:++

คำจำกัดความ 2พื้นฐานเวกเตอร์ในระนาบหนึ่งๆ จะเรียกเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์คู่ใดๆ ในระนาบนั้น

เวกเตอร์เรียกว่าเวกเตอร์ฐานแรก เวกเตอร์ตัวที่สอง

ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง

ทฤษฎีบท 1ถ้าเป็นพื้นฐาน ,– ฐานเวกเตอร์ในระนาบ จากนั้นเวกเตอร์ใดๆ ของระนาบนี้สามารถถูกแทนได้ และในลักษณะเฉพาะ ในรูปแบบของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ฐาน: = x + y

คำจำกัดความ 3- เรียกว่าความเท่าเทียมกัน(*) และตัวเลข x และ y –พิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐาน (หรือ). สัมพันธ์กับพื้นฐาน

หากมีความชัดเจนล่วงหน้าว่าเรากำลังพูดถึงพื้นฐานอะไร ให้เขียนสั้นๆ: = (x,y) จากคำจำกัดความของพิกัดของเวกเตอร์ที่สัมพันธ์กับพื้นฐาน จะตามมาว่าเวกเตอร์ที่เท่ากันมีพิกัดที่เท่ากันตามลำดับ เรียกเวกเตอร์ตั้งแต่สองตัวขึ้นไปในอวกาศเครื่องบินร่วม,

คำจำกัดความที่ 4พื้นฐานเวกเตอร์ถ้าพวกมันขนานกับระนาบเดียวกันหรือนอนอยู่ในระนาบนี้ , ,.

ในอวกาศจะมีเวกเตอร์สามตัวใด ๆ เรียกว่า

เวกเตอร์นี้เรียกว่าเวกเตอร์ฐานแรก ตัวที่สอง และตัวที่สาม ความคิดเห็น 1.

.

เวกเตอร์สามตัว = (), = () และ = () สร้างพื้นฐานของปริภูมิ ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของพวกมันไม่เป็นศูนย์:

2. หลักการพื้นฐานของทฤษฎีปัจจัยกำหนดและวิธีการคำนวณจะกล่าวถึงในโมดูล 1 "พีชคณิตเชิงเส้น"ทฤษฎีบท 2 , อนุญาต , , เป็นฐานเวกเตอร์ในอวกาศ จากนั้นเวกเตอร์ใดๆ ในอวกาศสามารถถูกแทนได้ และด้วยวิธีเฉพาะ ในรูปแบบผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐาน

และ:

คำจำกัดความที่ 5 X+y+z -เรียกว่าความเท่าเทียมกัน (**) , ,.

การขยายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐาน

คำนิยาม 6, และตัวเลข x, y, z คือพิกัด (ส่วนประกอบ) ของเวกเตอร์ในฐาน , หากชัดเจนล่วงหน้าว่าเรากำลังพูดถึงพื้นฐานอะไร ให้เขียนสั้นๆ: = (x,y,z) พื้นฐาน,เรียกว่า , ออร์โธนอร์มอล,

ถ้าเวกเตอร์

ตั้งฉากกันเป็นคู่และมีความยาวเป็นหน่วย ในกรณีนี้จะใช้สัญกรณ์ ,,การดำเนินการกับเวกเตอร์ที่ระบุโดยพิกัด , ทฤษฎีบท 3

ปล่อยให้เลือกพื้นฐานเวกเตอร์บนเครื่องบิน และสัมพันธ์กับมัน เวกเตอร์จะได้รับจากพิกัด: = (), = ()

จากนั้น =(),=(

), เช่น. เมื่อเพิ่มหรือลบเวกเตอร์ พิกัดที่มีชื่อเดียวกันจะถูกเพิ่มหรือลบ;= (·;) เช่น เมื่อเวกเตอร์ถูกคูณด้วยตัวเลข พิกัดของเวกเตอร์จะถูกคูณด้วยตัวเลขนั้นเงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียริตี้ของเวกเตอร์สองตัว

ทฤษฎีบท 4

ตัวอย่างที่ 1ให้เวกเตอร์ = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) ถูกกำหนดไว้บนพื้นฐานเวกเตอร์บางค่า , - ค้นหาพิกัดของผลรวมเชิงเส้น 2+3-4

สารละลาย.ให้เราแนะนำสัญกรณ์สำหรับผลรวมเชิงเส้น = 2+3+(-4)

ค่าสัมประสิทธิ์การรวมเชิงเส้น =2,=3,=-4 ลองเขียนความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์นี้ในรูปแบบพิกัด = (x,y,z)=:

2

เห็นได้ชัดว่าแต่ละพิกัดของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เท่ากับผลรวมเชิงเส้นเดียวกันของพิกัดที่มีชื่อเดียวกัน นั่นคือ

x = 2·1+3·3+(-4)·1=7,

y = 2·2+3·2+(-4)·0=10,

z= 2·(-1)+3·1+(-4)·0=-3.

พิกัดเวกเตอร์เป็นพื้นฐาน , จะเป็น:

คำตอบ:= {7,10,-3}.

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนทั่วไป (affine)

คำนิยาม 7ให้ O เป็นจุดคงที่ซึ่งเราจะเรียกว่า จุดเริ่มต้น.

ถ้า M เป็นจุดใดๆ ก็ตาม เวกเตอร์จะถูกเรียก เวกเตอร์รัศมีจุด M สัมพันธ์กับจุดเริ่มต้น กล่าวโดยย่อคือเวกเตอร์รัศมีของจุด M

พิกัดคาร์ทีเซียน (affine) บนเส้นตรง

ให้เส้นตรงอยู่ในอวกาศ ล. ให้เราเลือกจุดกำเนิด O ที่จะนอนอยู่บนเส้นนี้ นอกจากนี้เรายังเลือกบนเส้นตรง ล เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งเราจะเรียกว่าฐาน

คำจำกัดความ 8ให้จุด M อยู่บนเส้นตรง เนื่องจากเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้น = x โดยที่ x คือจำนวนที่แน่นอน โทรเบอร์นี้เลยครับ ประสานงานชี้ M บนเส้นตรง

ต้นกำเนิดของ O มีพิกัดบวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับว่าทิศทางของเวกเตอร์ตรงกันหรือตรงกันข้าม เส้นตรงที่ใช้พิกัดจะเรียกว่าแกนพิกัดหรือแกน OX

การแนะนำพิกัดบนเส้นตรงกับตัวเลข x ตัวเดียว และในทางกลับกัน มีจุด M จุดเดียวซึ่งตัวเลขนี้เป็นพิกัด

พิกัดคาร์ทีเซียน (affine) บนเครื่องบิน

ให้เราเลือกเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัวและบนระนาบ O ซึ่งสร้างพื้นฐานที่แน่นอน แน่นอนว่าความยาวของเวกเตอร์อาจแตกต่างกันได้

คำนิยาม 9เซตของ (0;;) จุด O และพื้นฐานเวกเตอร์ , เรียกว่า ระบบคาร์ทีเซียน (แอฟฟีน)บนเครื่องบิน

เส้นตรงสองเส้นลากผ่าน O และขนานกับเวกเตอร์ ตามลำดับ , เรียกว่าแกนพิกัด ตัวแรกมักเรียกว่าแกนแอบซิสซาและเรียกว่า Ox ส่วนอันที่สองคือแกนกำหนดและเรียกว่า Oy

เราจะพรรณนาพวกมันว่านอนอยู่บนแกนพิกัดที่สอดคล้องกันเสมอ

คำนิยาม 10.พิกัดจุด M บนระนาบสัมพันธ์กับระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (affine) (0;;) เรียกว่าพิกัดของเวกเตอร์รัศมีตามพื้นฐาน:

X+y ดังนั้นตัวเลข x และ y จะเป็นพิกัดของ M สัมพันธ์กับระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (อัฟฟีน) (0;;) เรียกว่าพิกัด x แอบซิสซาจุด M พิกัด y- บวชจุดเอ็ม

ดังนั้น หากเลือกระบบพิกัด (0;;) บนระนาบ ดังนั้น แต่ละจุด M ของระนาบจะสอดคล้องกับจุด M จุดเดียวบนระนาบ จุดนี้คือจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

การนำระบบพิกัดมาใช้นั้นอาศัยวิธีเรขาคณิตวิเคราะห์ ซึ่งมีสาระสำคัญคือสามารถลดปัญหาทางเรขาคณิตใดๆ ให้เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตได้

คำนิยาม 11.พิกัดเวกเตอร์บนระนาบสัมพันธ์กับระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (0;;) เรียกว่าพิกัดของเวกเตอร์นี้ในฐาน

ในการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ คุณต้องขยายตามพื้นฐาน:

X+y ที่ไหน สัมประสิทธิ์ x,yและจะเป็นพิกัดของเวกเตอร์สัมพันธ์กับ ระบบคาร์ทีเซียน {0;;}.

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (affine) ในอวกาศ

ปล่อยให้จุด O (จุดเริ่มต้น) คงที่ในอวกาศและเลือกพื้นฐานเวกเตอร์

คำนิยาม 12.คอลเลกชัน (0;;;) เรียกว่า ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนในอวกาศ

คำนิยาม 13.เส้นสามเส้นที่ลากผ่าน O และขนานกับเวกเตอร์ตามลำดับ , ,, เรียกว่า แกนประสานงานและแทนตามลำดับ Oz, Oy, Oz , นอนอยู่บนแกนที่สอดคล้องกัน

คำนิยาม 14.พิกัดจุด M ในอวกาศสัมพันธ์กับระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (0;;;) เรียกว่าพิกัดของเวกเตอร์รัศมีในระบบนี้

กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของจุด M คือตัวเลขสามตัว x, y, z ตามลำดับ พิกัดของจุด M พิกัดที่สาม z เรียกว่าแอปพลิเคชันของจุด M

การแนะนำระบบพิกัดคาร์ทีเซียนในอวกาศทำให้เราสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุด M ของพื้นที่และแฝดสามลำดับของตัวเลข x, y, z

คำนิยาม 15.พิกัดเวกเตอร์ในอวกาศสัมพันธ์กับระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (0;;;) พิกัดของเวกเตอร์นี้ในฐาน ;;

ตัวอย่างที่ 2

ให้จุดยอดต่อเนื่องกันสามจุดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน A(-2;1),B(1;3),C(4;0) ค้นหาพิกัดที่สี่ D. ระบบพิกัดมีความสัมพันธ์กัน

สารละลาย.

เวกเตอร์มีค่าเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าพิกัดของพวกมันเท่ากัน (ค่าสัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้น):

= (3;2), =(4-x;-y); - ดังนั้น ง(1;-2)

คำตอบ:ด(1;-2)

การพึ่งพาเชิงเส้น แนวคิดเรื่องพื้นฐาน

คำนิยาม 16.เวกเตอร์เรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีตัวเลข

คำจำกัดความของการพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์นี้เทียบเท่ากับสิ่งนี้: เวกเตอร์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น หากเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของตัวอื่นได้ (หรือขยายเหนือตัวอื่น)

เวกเตอร์จะถูกเรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้าความเท่าเทียมกัน (***) เป็นไปได้ในกรณีเดียวเมื่อใด

แนวคิดเรื่องการพึ่งพาเชิงเส้นมีบทบาทสำคัญในพีชคณิตเชิงเส้น ในพีชคณิตเวกเตอร์ การพึ่งพาเชิงเส้นมีความหมายทางเรขาคณิตอย่างง่าย

เวกเตอร์คอลลิเนียร์สองตัวใดๆ จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง และในทางกลับกัน เวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัวจะเป็นอิสระเชิงเส้น

เวกเตอร์โคพลานาร์สามตัวมีความเป็นอิสระเชิงเส้น และในทางกลับกัน เวกเตอร์ที่ไม่ใช่โคพลานาร์สามตัวมีความเป็นอิสระเชิงเส้น

เวกเตอร์ทุกๆ สี่ตัวจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

คำนิยาม 17.เรียกว่าเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสามตัว พื้นฐานของพื้นที่เหล่านั้น. เวกเตอร์ใดๆ สามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ใดๆ ได้

คำนิยาม 18.เวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสองตัวที่วางอยู่ในระนาบเรียกว่า ฐานของเครื่องบินเหล่านั้น. เวกเตอร์ใดๆ ที่อยู่ในระนาบนี้สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ได้

งานสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ.

เวกเตอร์ค้นหาพิกัดตามพื้นฐานนี้

การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์
พื้นฐานของเวกเตอร์ ระบบพิกัดอัฟฟิน

มีรถเข็นพร้อมช็อคโกแลตอยู่ในหอประชุม และผู้เยี่ยมชมทุกคนในวันนี้จะได้รับคู่รักแสนหวาน - เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์พร้อมพีชคณิตเชิงเส้น บทความนี้จะครอบคลุมสองส่วนในคราวเดียว คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นและมาดูกันว่าพวกเขาเข้ากันได้อย่างไรในกระดาษห่อเดียว พักสมอง กิน Twix! ...บ้าเอ๊ย ไร้สาระมากมาย แม้ว่าฉันจะไม่ได้คะแนน แต่สุดท้ายแล้วคุณควรมีทัศนคติเชิงบวกต่อการเรียน

การพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์, ความเป็นอิสระของเวกเตอร์เชิงเส้น, พื้นฐานของเวกเตอร์และคำศัพท์อื่นๆ ไม่เพียงแต่มีการตีความทางเรขาคณิตเท่านั้น แต่เหนือสิ่งอื่นใดคือความหมายเชิงพีชคณิต แนวคิดของ "เวกเตอร์" จากมุมมองของพีชคณิตเชิงเส้นไม่ใช่เวกเตอร์ "ธรรมดา" เสมอไปที่เราสามารถพรรณนาบนเครื่องบินหรือในอวกาศ คุณไม่จำเป็นต้องมองหาข้อพิสูจน์มากนัก ลองวาดเวกเตอร์ของปริภูมิห้ามิติ - หรือเวกเตอร์สภาพอากาศ ซึ่งผมเพิ่งไปที่ Gismeteo เพื่อหาอุณหภูมิและความดันบรรยากาศ ตามลำดับ แน่นอนว่าตัวอย่างนั้นไม่ถูกต้องจากมุมมองของคุณสมบัติของปริภูมิเวกเตอร์ แต่ถึงกระนั้นก็ไม่มีใครห้ามไม่ให้ทำให้พารามิเตอร์เหล่านี้เป็นเวกเตอร์อย่างเป็นทางการ ลมหายใจแห่งฤดูใบไม้ร่วง...

ไม่ ฉันจะไม่ทำให้คุณเป็นภาระกับทฤษฎี หรือเส้นตรง ปริภูมิเวกเตอร์ภารกิจคือการ เข้าใจคำจำกัดความและทฤษฎีบท คำศัพท์ใหม่ (การพึ่งพาเชิงเส้น ความเป็นอิสระ ผลรวมเชิงเส้น พื้นฐาน ฯลฯ) นำไปใช้กับเวกเตอร์ทั้งหมดจากมุมมองพีชคณิต แต่จะมีตัวอย่างเรขาคณิตให้ ดังนั้นทุกอย่างจึงเรียบง่าย เข้าถึงได้ และชัดเจน นอกจากปัญหาเรขาคณิตวิเคราะห์แล้ว เรายังพิจารณาปัญหาพีชคณิตทั่วไปด้วย หากต้องการเชี่ยวชาญเนื้อหาขอแนะนำให้ทำความคุ้นเคยกับบทเรียนต่างๆ เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองและ จะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างไร?

การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของเวกเตอร์ระนาบ
พื้นฐานระนาบและระบบพิกัดสัมพันธ์

ลองพิจารณาระนาบของโต๊ะคอมพิวเตอร์ของคุณ (แค่โต๊ะ โต๊ะข้างเตียง พื้น เพดาน และอื่นๆ ตามที่คุณต้องการ) งานจะประกอบด้วยการดำเนินการดังต่อไปนี้:

1) เลือกพื้นฐานเครื่องบิน- พูดโดยคร่าวๆ โต๊ะจะมีความยาวและความกว้าง ดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่ต้องใช้เวกเตอร์สองตัวเพื่อสร้างฐาน เวกเตอร์หนึ่งตัวไม่เพียงพออย่างชัดเจน เวกเตอร์สามตัวนั้นมากเกินไป

2) ขึ้นอยู่กับพื้นฐานที่เลือก กำหนดระบบพิกัด(ตารางพิกัด) เพื่อกำหนดพิกัดให้กับวัตถุทั้งหมดบนโต๊ะ

ไม่ต้องแปลกใจ ในตอนแรกคำอธิบายจะอยู่ที่ปลายนิ้ว ยิ่งไปกว่านั้นเกี่ยวกับคุณ กรุณาวาง นิ้วชี้ซ้ายที่ขอบโต๊ะเพื่อมองจอภาพ นี่จะเป็นเวกเตอร์ ตอนนี้สถานที่ นิ้วก้อยขวาบนขอบโต๊ะในลักษณะเดียวกัน - เพื่อให้หันไปที่หน้าจอมอนิเตอร์ นี่จะเป็นเวกเตอร์ ยิ้มสิ คุณดูดีมาก! เราจะพูดอะไรเกี่ยวกับเวกเตอร์ได้บ้าง? เวกเตอร์ข้อมูล คอลลิเนียร์ซึ่งหมายความว่า เชิงเส้นแสดงออกผ่านกันและกัน:
หรือในทางกลับกัน: โดยที่ตัวเลขบางตัวแตกต่างจากศูนย์

คุณสามารถเห็นภาพการกระทำนี้ในชั้นเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองโดยที่ฉันอธิบายกฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

นิ้วของคุณจะวางรากฐานบนระนาบของโต๊ะคอมพิวเตอร์หรือไม่? เห็นได้ชัดว่าไม่ เวกเตอร์คอลลิเนียร์เคลื่อนที่ไปมา ตามลำพังทิศทาง และระนาบมีความยาวและความกว้าง

เวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น.

อ้างอิง: คำว่า "เชิงเส้น" "เชิงเส้น" แสดงถึงความจริงที่ว่าใน สมการทางคณิตศาสตร์นิพจน์ไม่มีกำลังสอง ลูกบาศก์ กำลังอื่นๆ ลอการิทึม ไซน์ ฯลฯ มีเพียงนิพจน์และการขึ้นต่อกันเชิงเส้น (ระดับที่ 1) เท่านั้น

เวกเตอร์ระนาบสองตัว ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้าเพียงแต่ว่าพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน.

ไขว้นิ้วบนโต๊ะเพื่อให้มีมุมระหว่างนิ้วทั้งสองข้างนอกเหนือจาก 0 หรือ 180 องศา เวกเตอร์ระนาบสองตัวเชิงเส้น ไม่ขึ้นอยู่กับว่าพวกมันไม่อยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่- ดังนั้นจึงได้รับพื้นฐาน ไม่จำเป็นต้องอับอายที่พื้นฐานกลายเป็น "เบ้" ด้วยเวกเตอร์ที่ไม่ตั้งฉากซึ่งมีความยาวต่างกัน ในไม่ช้าเราจะเห็นว่าไม่เพียงแต่มุม 90 องศาเท่านั้นที่เหมาะกับการก่อสร้าง และไม่เพียงแต่เวกเตอร์หน่วยที่มีความยาวเท่ากันเท่านั้น

ใดๆเวกเตอร์เครื่องบิน วิธีเดียวเท่านั้นได้ถูกขยายออกไปตามพื้นฐาน:
, จำนวนจริงอยู่ที่ไหน ตัวเลขที่ถูกเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์ในพื้นฐานนี้

ยังได้กล่าวอีกว่า เวกเตอร์นำเสนอเป็น การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์พื้นฐาน- นั่นคือการแสดงออกที่เรียกว่า การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐานหรือ การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์พื้นฐาน

ตัวอย่างเช่น เราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์นั้นสลายตัวไปตามแนวออร์โธนอร์มอลของระนาบ หรือเราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์นั้นแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์

มากำหนดกัน คำจำกัดความของพื้นฐานอย่างเป็นทางการ: พื้นฐานของเครื่องบินเรียกว่าเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น (ไม่ใช่เชิงเส้น) คู่หนึ่ง , ในขณะที่ ใดๆเวกเตอร์ระนาบคือการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐาน

จุดสำคัญของคำจำกัดความก็คือความจริงที่ว่าเวกเตอร์นั้นถูกถ่าย ในลำดับที่แน่นอน- ฐาน – นี่คือสองฐานที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง! ตามที่กล่าวไว้คุณไม่สามารถเปลี่ยนนิ้วก้อยของมือซ้ายแทนที่นิ้วก้อยของมือขวาได้

เราได้หาพื้นฐานแล้ว แต่ยังไม่เพียงพอในการตั้งค่าตารางพิกัดและกำหนดพิกัดให้กับแต่ละรายการบนโต๊ะคอมพิวเตอร์ของคุณ ทำไมมันไม่พอล่ะ? เวกเตอร์นั้นฟรีและเดินไปทั่วทั้งเครื่องบิน แล้วคุณจะกำหนดพิกัดให้กับจุดสกปรกเล็กๆ น้อยๆ บนโต๊ะที่เหลือจากวันหยุดสุดสัปดาห์ได้อย่างไร? จำเป็นต้องมีจุดเริ่มต้น และจุดสังเกตดังกล่าวเป็นจุดที่ทุกคนคุ้นเคย - ที่มาของพิกัด มาทำความเข้าใจระบบพิกัดกันดีกว่า:

ฉันจะเริ่มต้นด้วยระบบ "โรงเรียน" อยู่ในบทเรียนเบื้องต้นแล้ว เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองฉันเน้นความแตกต่างบางประการระหว่างระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและพื้นฐานออร์โธนอร์มอล นี่คือภาพมาตรฐาน:

เมื่อพวกเขาพูดถึง ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมจากนั้นส่วนใหญ่มักจะหมายถึงจุดกำเนิด พิกัดแกน และมาตราส่วนตามแกน ลองพิมพ์ "ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม" ลงในเครื่องมือค้นหา แล้วคุณจะเห็นว่าหลายแหล่งจะบอกคุณเกี่ยวกับแกนพิกัดที่คุ้นเคยตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 และวิธีการพล็อตจุดบนเครื่องบิน

ในทางกลับกันก็ดูเหมือนว่า ระบบสี่เหลี่ยมพิกัดสามารถกำหนดได้อย่างสมบูรณ์ผ่านพื้นฐานออร์โธนอร์มอล และนั่นเกือบจะเป็นความจริง ถ้อยคำมีดังนี้:

ต้นทาง, และ ออร์โธนอร์มอลมีการกำหนดพื้นฐานไว้แล้ว ระบบพิกัดระนาบสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน - นั่นก็คือระบบพิกัดสี่เหลี่ยม อย่างแน่นอนถูกกำหนดโดยเวกเตอร์มุมฉากจุดเดียวและสองหน่วย นั่นคือสาเหตุที่คุณเห็นภาพวาดที่ฉันให้ไว้ข้างต้น - ในปัญหาทางเรขาคณิต มักจะวาดทั้งเวกเตอร์และแกนพิกัด (แต่ไม่เสมอไป)

ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจว่าการใช้จุด (ต้นกำเนิด) และพื้นฐานออร์โธนอร์มอล จุดใดๆ บนเครื่องบินและเวกเตอร์ใดๆ บนเครื่องบินสามารถกำหนดพิกัดได้ หากพูดเป็นรูปเป็นร่างว่า “ทุกสิ่งบนเครื่องบินสามารถนับได้”

เวกเตอร์พิกัดจำเป็นต้องเป็นหน่วยหรือไม่? ไม่ พวกเขาสามารถมีความยาวที่ไม่ใช่ศูนย์ได้ตามใจชอบ พิจารณาจุดและเวกเตอร์มุมฉากสองตัวที่มีความยาวไม่เป็นศูนย์ตามอำเภอใจ:

พื้นฐานดังกล่าวเรียกว่า ตั้งฉาก- ต้นกำเนิดของพิกัดกับเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยตารางพิกัด และจุดใดๆ บนระนาบ เวกเตอร์ใดๆ ก็มีพิกัดของมันบนพื้นฐานที่กำหนด ตัวอย่างเช่นหรือ. ความไม่สะดวกที่เห็นได้ชัดคือเวกเตอร์พิกัด ในกรณีทั่วไปมีความยาวต่างกันนอกจากความสามัคคี หากความยาวเท่ากับความสามัคคี ก็จะได้ค่าพื้นฐานออร์โธนอร์มอลตามปกติ

- บันทึก : ในลักษณะตั้งฉาก เช่นเดียวกับด้านล่างในฐานสัมพันธ์ของระนาบและที่ว่าง ให้พิจารณาหน่วยตามแนวแกน มีเงื่อนไข- ตัวอย่างเช่น หนึ่งหน่วยตามแกน x มี 4 ซม. หนึ่งหน่วยตามแกนกำหนดมี 2 ซม. ข้อมูลนี้เพียงพอที่จะแปลงพิกัด "ที่ไม่ได้มาตรฐาน" เป็น "เซนติเมตรปกติของเรา" หากจำเป็น

และคำถามที่สอง ซึ่งมีคำตอบไปแล้ว คือมุมระหว่างเวกเตอร์ฐานจะต้องเท่ากับ 90 องศาหรือไม่? เลขที่! ตามที่ระบุไว้ในคำจำกัดความ เวกเตอร์พื้นฐานจะต้องเป็น ไม่ใช่คอลลิเนียร์เท่านั้น- ดังนั้น มุมสามารถเป็นอะไรก็ได้ยกเว้น 0 ถึง 180 องศา

จุดบนเครื่องบินเรียกว่า ต้นทาง, และ ไม่ใช่คอลลิเนียร์เวกเตอร์, , ชุด ระบบพิกัดระนาบอัฟฟิน :

บางครั้งเรียกว่าระบบพิกัดดังกล่าว เฉียงระบบ. ตามตัวอย่าง ภาพวาดจะแสดงจุดและเวกเตอร์:

ดังที่คุณเข้าใจ ระบบพิกัดอัฟฟินนั้นสะดวกน้อยกว่า สูตรสำหรับความยาวของเวกเตอร์และเซ็กเมนต์ซึ่งเราพูดคุยไปแล้วในส่วนที่สองของบทเรียนนั้นใช้ไม่ได้ผล เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลอง,สูตรอร่อยมากมายที่เกี่ยวข้อง ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์- แต่กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข สูตรสำหรับการแบ่งส่วนในส่วนนี้ รวมถึงปัญหาประเภทอื่น ๆ ที่เราจะพิจารณาในไม่ช้านี้นั้นถูกต้อง

และข้อสรุปก็คือ กรณีพิเศษที่สะดวกที่สุดของระบบพิกัดแอฟฟินคือระบบสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมคุณถึงต้องพบเธอบ่อยที่สุดที่รัก ...อย่างไรก็ตาม ทุกสิ่งในชีวิตนี้มีความสัมพันธ์กัน มีหลายสถานการณ์ที่มีมุมเฉียง (หรือมุมอื่น ๆ เช่น ขั้วโลก) ระบบพิกัด และหุ่นยนต์ฮิวแมนนอยด์อาจจะชอบระบบแบบนี้ =)

เรามาดูส่วนที่ใช้งานได้จริงกันดีกว่า ปัญหาทั้งหมดในบทเรียนนี้ใช้ได้กับทั้งระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและกรณีความสัมพันธ์ทั่วไป ไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่แม้แต่เด็กนักเรียนก็สามารถเข้าถึงเนื้อหาทั้งหมดได้

จะตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ระนาบได้อย่างไร?

สิ่งทั่วไป เพื่อให้ได้เวกเตอร์ระนาบสองตัว อยู่ในแนวเดียวกัน จึงมีความจำเป็นและเพียงพอที่พิกัดที่สอดคล้องกันจะเป็นสัดส่วนโดยพื้นฐานแล้ว นี่คือรายละเอียดแบบประสานงานโดยพิกัดของความสัมพันธ์ที่ชัดเจน

ตัวอย่างที่ 1

ก) ตรวจสอบว่าเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่ .
b) เวกเตอร์สร้างพื้นฐานหรือไม่? ?

สารละลาย:
ก) ให้เราดูว่ามีเวกเตอร์หรือไม่ ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนเพื่อให้มีความเท่าเทียมกัน:

ฉันจะบอกคุณอย่างแน่นอนเกี่ยวกับการใช้กฎนี้ในรูปแบบ "ฟุ่มเฟือย" ซึ่งใช้ได้ผลค่อนข้างดีในทางปฏิบัติ แนวคิดคือสร้างสัดส่วนทันทีและดูว่าถูกต้องหรือไม่:

เรามาสร้างสัดส่วนจากอัตราส่วนของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์กัน:

มาย่อให้สั้นลง:
ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันจึงเป็นสัดส่วน ดังนั้น

ความสัมพันธ์สามารถทำในทางกลับกันได้ นี่เป็นตัวเลือกที่เทียบเท่า:

สำหรับการทดสอบตัวเอง คุณสามารถใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเวกเตอร์คอลลิเนียร์แสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกันได้ ใน ในกรณีนี้มีความเท่าเทียมกัน - ความถูกต้องของพวกมันสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายผ่านการดำเนินการเบื้องต้นด้วยเวกเตอร์:

b) เวกเตอร์ระนาบสองตัวจะสร้างฐานหากพวกมันไม่อยู่ในแนวเดียวกัน (อิสระเชิงเส้น) เราตรวจสอบเวกเตอร์เพื่อหาความเป็นเชิงเส้น - มาสร้างระบบกันเถอะ:

จากสมการแรกเป็นไปตามนั้น จากสมการที่สองเป็นไปตามนั้น ซึ่งหมายถึง ระบบไม่สอดคล้องกัน(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์จึงไม่เป็นสัดส่วน

บทสรุป: เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐาน

โซลูชันเวอร์ชันที่เรียบง่ายมีลักษณะดังนี้:

ลองสร้างสัดส่วนจากพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์กัน :
ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์เหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นฐาน

โดยทั่วไปแล้ว ตัวเลือกนี้จะไม่ถูกปฏิเสธโดยผู้ตรวจสอบ แต่เกิดปัญหาในกรณีที่พิกัดบางพิกัดมีค่าเท่ากับศูนย์ แบบนี้: - หรือเช่นนี้: - หรือเช่นนี้: - ทำงานตามสัดส่วนที่นี่ได้อย่างไร? (อันที่จริงคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) ด้วยเหตุนี้ฉันจึงเรียกวิธีแก้ปัญหาแบบง่ายว่า "foppish"

คำตอบ:ก) , ข) แบบฟอร์ม

ตัวอย่างเชิงสร้างสรรค์เล็กๆ น้อยๆ สำหรับโซลูชันของคุณเอง:

ตัวอย่างที่ 2

เวกเตอร์มีค่าเท่ากับพารามิเตอร์เท่าใด พวกเขาจะเรียงกันไหม?

ในสารละลายตัวอย่าง พารามิเตอร์จะพบได้จากสัดส่วน

มีวิธีพีชคณิตที่หรูหราในการตรวจสอบเวกเตอร์เพื่อหาความสอดคล้องกัน มาจัดระบบความรู้ของเราและเพิ่มเป็นจุดที่ห้า:

สำหรับเวกเตอร์สองตัว ระนาบจะเท่ากัน ข้อความต่อไปนี้ :

2) เวกเตอร์เป็นพื้นฐาน
3) เวกเตอร์ไม่เป็นเส้นตรง

+ 5) ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ไม่ใช่ศูนย์.

ตามลำดับ ข้อความตรงข้ามต่อไปนี้เทียบเท่ากัน:
1) เวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
2) เวกเตอร์ไม่ได้สร้างพื้นฐาน
3) เวกเตอร์เป็นแบบเส้นตรง;
4) เวกเตอร์สามารถแสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกัน
+ 5) ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้มีค่าเท่ากับศูนย์.

ฉันหวังอย่างนั้นจริงๆ ในขณะนี้คุณเข้าใจข้อกำหนดและข้อความทั้งหมดที่คุณพบแล้ว

มาดูประเด็นที่ห้าใหม่ให้ละเอียดยิ่งขึ้น: เวกเตอร์ระนาบสองอัน อยู่ในแนวเดียวกันก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดมีค่าเท่ากับศูนย์- แน่นอนว่าหากต้องการใช้ฟีเจอร์นี้ คุณจะต้องสามารถทำได้ ค้นหาปัจจัยกำหนด.

มาตัดสินใจกันตัวอย่างที่ 1 ในวิธีที่สอง:

ก) ให้เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ :
, ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์เหล่านี้อยู่ในแนวเดียวกัน

b) เวกเตอร์ระนาบสองตัวจะสร้างฐานหากพวกมันไม่อยู่ในแนวเดียวกัน (อิสระเชิงเส้น) ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์กัน :
ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐาน

คำตอบ:ก) , ข) แบบฟอร์ม

มันดูกะทัดรัดและสวยกว่าโซลูชันที่มีสัดส่วนมาก

ด้วยความช่วยเหลือของวัสดุที่พิจารณา มันเป็นไปได้ที่จะสร้างไม่เพียงแต่ความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์เท่านั้น แต่ยังพิสูจน์ความขนานของเซ็กเมนต์และเส้นตรงได้ด้วย ลองพิจารณาปัญหาสองสามประการเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตเฉพาะกัน

ตัวอย่างที่ 3

จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจะได้รับ พิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์: ไม่จำเป็นต้องสร้างภาพวาดในปัญหา เนื่องจากการแก้ปัญหาจะเป็นการวิเคราะห์ล้วนๆ จำคำจำกัดความของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
สี่เหลี่ยมด้านขนาน รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่เรียกว่า

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิสูจน์:
1) ความขนานของด้านตรงข้ามและ;
2) ความขนานของด้านตรงข้าม และ

เราพิสูจน์:

1) ค้นหาเวกเตอร์:

2) ค้นหาเวกเตอร์:

ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์เดียวกัน (“ตามโรงเรียน” – เวกเตอร์เท่ากัน) Collinearity ค่อนข้างชัดเจน แต่จะดีกว่าถ้าทำการตัดสินใจให้ชัดเจนและมีการจัดเตรียมไว้จะดีกว่า ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์:
ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์เหล่านี้เป็นเส้นตรง และ

บทสรุป: ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนขนานกันเป็นคู่ๆ ซึ่งหมายความว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามคำนิยาม Q.E.D.

ตัวเลขที่ดีและแตกต่างมากขึ้น:

ตัวอย่างที่ 4

จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจะได้รับ พิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

สำหรับการกำหนดหลักฐานที่เข้มงวดมากขึ้น แน่นอนว่าจะดีกว่าถ้าได้คำจำกัดความของสี่เหลี่ยมคางหมู แต่ก็เพียงพอแล้วที่จะจำไว้ว่ามันมีลักษณะอย่างไร

นี่เป็นงานสำหรับคุณที่จะแก้ไขด้วยตัวเอง วิธีแก้ปัญหาแบบเต็มในตอนท้ายของบทเรียน

และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะค่อยๆ เคลื่อนตัวจากเครื่องบินไปสู่อวกาศ:

จะตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์อวกาศได้อย่างไร?

กฎนี้คล้ายกันมาก เพื่อให้เวกเตอร์อวกาศสองตัวอยู่ในแนวเดียวกัน พิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์เหล่านั้นจะต้องเป็นสัดส่วนกันจึงจำเป็นและเพียงพอ.

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาว่าเวกเตอร์อวกาศต่อไปนี้อยู่ในแนวเดียวกันหรือไม่:

ก) ;
ข)
วี)

สารละลาย:
ก) มาตรวจสอบว่ามีค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนสำหรับพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์หรือไม่:

ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

“ประยุกต์” ถูกทำให้เป็นทางการโดยการตรวจสอบสัดส่วน ในกรณีนี้:
– พิกัดที่สอดคล้องกันไม่เป็นสัดส่วน ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

คำตอบ:เวกเตอร์ไม่เป็นเส้นตรง

b-c) สิ่งเหล่านี้เป็นจุดสำหรับการตัดสินใจอย่างอิสระ ลองใช้สองวิธี

มีวิธีการตรวจสอบเวกเตอร์เชิงพื้นที่เพื่อหาความสอดคล้องกันผ่านปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม วิธีการนี้จะกล่าวถึงในบทความนี้ ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์.

เช่นเดียวกับกรณีเครื่องบิน เครื่องมือที่ได้รับการพิจารณาสามารถใช้เพื่อศึกษาความขนานของส่วนเชิงพื้นที่และเส้นตรงได้

ยินดีต้อนรับสู่ส่วนที่สอง:

การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ
พื้นฐานเชิงพื้นที่และระบบพิกัดสัมพันธ์

รูปแบบหลายๆ รูปแบบที่เราตรวจสอบบนเครื่องบินก็ใช้ได้กับอวกาศเช่นกัน ฉันพยายามย่อบันทึกทางทฤษฎีให้เหลือน้อยที่สุด เนื่องจากส่วนแบ่งข้อมูลส่วนใหญ่ถูกเคี้ยวไปแล้ว อย่างไรก็ตาม ฉันขอแนะนำให้คุณอ่านส่วนเกริ่นนำอย่างละเอียด เนื่องจากข้อกำหนดและแนวคิดใหม่จะปรากฏขึ้น

ตอนนี้ แทนที่จะเป็นระนาบของโต๊ะคอมพิวเตอร์ เราสำรวจอวกาศสามมิติ ก่อนอื่นเรามาสร้างพื้นฐานกันก่อน ขณะนี้มีคนอยู่ในบ้าน บางคนอยู่กลางแจ้ง แต่ไม่ว่าในกรณีใด เราไม่สามารถหลบหนีสามมิติ ได้แก่ ความกว้าง ความยาว และความสูง ดังนั้น ในการสร้างพื้นฐาน จำเป็นต้องใช้เวกเตอร์เชิงพื้นที่ 3 ตัว เวกเตอร์หนึ่งหรือสองตัวไม่เพียงพอ เวกเตอร์ตัวที่สี่นั้นไม่จำเป็น

และอีกครั้งที่เราอุ่นเครื่องบนนิ้วของเรา โปรดยกมือขึ้นแล้วกางไปในทิศทางต่างๆ นิ้วหัวแม่มือ นิ้วชี้ และนิ้วกลาง- พวกนี้จะเป็นเวกเตอร์, พวกมันมองไปในทิศทางต่างกัน, พวกมันมี ความยาวที่แตกต่างกันและมีมุมที่แตกต่างกันระหว่างพวกเขา ขอแสดงความยินดี พื้นฐานของพื้นที่สามมิติพร้อมแล้ว! ยังไงก็ตามไม่จำเป็นต้องแสดงสิ่งนี้ให้ครูเห็นไม่ว่าคุณจะบิดนิ้วแรงแค่ไหน แต่ก็หนีไม่พ้นคำจำกัดความ =)

ต่อไป เรามาถามคำถามสำคัญ: เวกเตอร์สามตัวใดๆ จะเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ- กรุณากดสามนิ้วที่ด้านบนของโต๊ะคอมพิวเตอร์ให้แน่น เกิดอะไรขึ้น เวกเตอร์สามตัวอยู่ในระนาบเดียวกัน และพูดคร่าวๆ ก็คือ เราได้สูญเสียมิติหนึ่งไป นั่นก็คือความสูง เวกเตอร์ดังกล่าวคือ เครื่องบินร่วมและเห็นได้ชัดว่าไม่ได้สร้างพื้นฐานของพื้นที่สามมิติ

ควรสังเกตว่าเวกเตอร์ coplanar ไม่จำเป็นต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน แต่สามารถอยู่ในระนาบขนานได้ (อย่าใช้นิ้วทำเช่นนี้ มีเพียง Salvador Dali เท่านั้นที่ทำเช่นนี้ =))

คำนิยาม: เรียกว่าเวกเตอร์ เครื่องบินร่วมหากมีระนาบที่ขนานกัน เป็นตรรกะที่ต้องเพิ่มตรงนี้ว่า หากไม่มีระนาบดังกล่าว เวกเตอร์ก็จะไม่เป็นระนาบเดียวกัน

เวกเตอร์โคพลานาร์สามตัวจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงเสมอนั่นคือพวกมันถูกแสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกัน เพื่อความง่าย ลองจินตนาการอีกครั้งว่าพวกเขาอยู่ในระนาบเดียวกัน ประการแรก เวกเตอร์ไม่เพียงแต่เป็นโคพลานาร์เท่านั้น แต่ยังสามารถอยู่ในระนาบเดียวกันได้ด้วย จากนั้นเวกเตอร์ใดๆ ก็ตามสามารถแสดงผ่านเวกเตอร์ใดๆ ก็ได้ ในกรณีที่สอง ตัวอย่างเช่น ถ้าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกัน เวกเตอร์ที่สามก็จะแสดงผ่านเวกเตอร์เหล่านั้นในลักษณะเฉพาะ: (และเหตุใดจึงเดาง่ายจากเนื้อหาในหัวข้อที่แล้ว)

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ coplanar สามตัวจะเป็นอิสระเชิงเส้นเสมอนั่นคือพวกเขาไม่ได้แสดงออกผ่านกันในทางใดทางหนึ่ง และเห็นได้ชัดว่ามีเพียงเวกเตอร์ดังกล่าวเท่านั้นที่สามารถสร้างพื้นฐานของปริภูมิสามมิติได้

คำนิยาม: พื้นฐานของพื้นที่สามมิติเรียกว่าเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสามเท่า (ไม่ใช่โคพลานาร์) ดำเนินการตามลำดับที่แน่นอนและเวกเตอร์ใดๆ ของปริภูมิ วิธีเดียวเท่านั้นถูกสลายไปบนพื้นฐานที่กำหนด โดยที่พิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้อยู่ที่ไหน

ฉันขอเตือนคุณว่าเราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์แสดงอยู่ในรูปแบบด้วย การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์พื้นฐาน

แนวคิดของระบบพิกัดถูกนำมาใช้ในลักษณะเดียวกับกรณีระนาบ จุดเดียวและเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสามจุดก็เพียงพอแล้ว:

ต้นทาง, และ ไม่ใช่ระนาบเวกเตอร์, ดำเนินการตามลำดับที่แน่นอน, ชุด ระบบพิกัดสัมพันธ์ของปริภูมิสามมิติ :

แน่นอนว่าตารางพิกัดนั้น "เอียง" และไม่สะดวก แต่ถึงกระนั้นระบบพิกัดที่สร้างขึ้นก็ช่วยให้เรา อย่างแน่นอนกำหนดพิกัดของเวกเตอร์และพิกัดของจุดใด ๆ ในอวกาศ เช่นเดียวกับเครื่องบิน สูตรบางสูตรที่ผมได้กล่าวไปแล้วจะใช้ไม่ได้ในระบบพิกัดอัฟฟินของอวกาศ

กรณีพิเศษที่คุ้นเคยและสะดวกที่สุดของระบบพิกัดอัฟฟินตามที่ทุกคนเดาก็คือ ระบบพิกัดพื้นที่สี่เหลี่ยม:

จุดหนึ่งในอวกาศที่เรียกว่า ต้นทาง, และ ออร์โธนอร์มอลมีการกำหนดพื้นฐานไว้แล้ว ระบบพิกัดอวกาศสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน - ภาพที่คุ้นเคย:

ก่อนที่จะไปสู่การปฏิบัติ เรามาจัดระบบข้อมูลอีกครั้ง:

สำหรับเวกเตอร์ปริภูมิสามตัว ข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:
1) เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น
2) เวกเตอร์เป็นพื้นฐาน
3) เวกเตอร์ไม่ใช่ระนาบเดียว
4) เวกเตอร์ไม่สามารถแสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกันได้
5) ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ แตกต่างจากศูนย์

ฉันคิดว่าข้อความที่ตรงกันข้ามสามารถเข้าใจได้

การพึ่งพาเชิงเส้น/ความเป็นอิสระของเวกเตอร์ปริภูมิจะถูกตรวจสอบแบบดั้งเดิมโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ (จุดที่ 5) ที่เหลืออยู่ งานภาคปฏิบัติจะมีอักขระพีชคณิตเด่นชัด ถึงเวลาที่จะแขวนแท่งทรงเรขาคณิตแล้วควงไม้เบสบอลของพีชคณิตเชิงเส้น:

เวกเตอร์อวกาศสามตัวเป็นระนาบเดียวกันก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดมีค่าเท่ากับศูนย์: .

ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่ความแตกต่างทางเทคนิคเล็กน้อย: พิกัดของเวกเตอร์สามารถเขียนได้ไม่เพียง แต่ในคอลัมน์เท่านั้น แต่ยังอยู่ในแถวด้วย (ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงไปจากนี้ - ดูคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์) แต่จะดีกว่ามากในคอลัมน์เนื่องจากมีประโยชน์มากกว่าในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

สำหรับผู้อ่านที่ลืมวิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ไปบ้างหรืออาจมีความเข้าใจเพียงเล็กน้อยในเรื่องนี้ ฉันขอแนะนำบทเรียนที่เก่าแก่ที่สุดบทหนึ่งของฉัน: จะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 6

ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ต่อไปนี้เป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติหรือไม่:

สารละลาย: อันที่จริง คำตอบทั้งหมดขึ้นอยู่กับการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์

ก) ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์ (ดีเทอร์มิแนนต์ถูกเปิดเผยในบรรทัดแรก):

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น (ไม่ใช่ระนาบร่วม) และสร้างพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ

คำตอบ: เวกเตอร์เหล่านี้เป็นฐาน

b) นี่คือประเด็นสำหรับการตัดสินใจอย่างอิสระ เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

นอกจากนี้ยังมีงานสร้างสรรค์:

ตัวอย่างที่ 7

เวกเตอร์จะเป็นโคระนาบที่ค่าพารามิเตอร์เท่าใด

สารละลาย: เวกเตอร์จะเป็นระนาบเดียวก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้มีค่าเท่ากับศูนย์:

โดยพื้นฐานแล้ว คุณต้องแก้สมการด้วยดีเทอร์มิแนนต์ เราโฉบลงบนศูนย์เหมือนว่าวบน jerboas - เป็นการดีที่สุดที่จะเปิดดีเทอร์มิแนนต์ในบรรทัดที่สองและกำจัด minuses ทันที:

เราดำเนินการลดความซับซ้อนเพิ่มเติมและลดเรื่องให้เป็นสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด:

คำตอบ: ที่

ง่ายต่อการตรวจสอบที่นี่ โดยคุณต้องแทนที่ค่าผลลัพธ์ให้เป็นค่าดีเทอร์มิแนนต์เดิมและตรวจสอบให้แน่ใจว่า , เปิดอีกครั้ง.

โดยสรุป เราจะพิจารณาปัญหาทั่วไปอีกปัญหาหนึ่ง ซึ่งมีลักษณะเป็นพีชคณิตมากกว่าและมักจะรวมอยู่ในหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้น เป็นเรื่องปกติมากที่สมควรได้รับหัวข้อของตัวเอง:

พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ 3 ตัวเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ
และหาพิกัดของเวกเตอร์ตัวที่ 4 บนพื้นฐานนี้

ตัวอย่างที่ 8

มีการระบุเวกเตอร์ แสดงว่าเวกเตอร์สร้างพื้นฐานในปริภูมิสามมิติและค้นหาพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้

สารละลาย: ก่อนอื่นมาจัดการกับเงื่อนไขกันก่อน ตามเงื่อนไข จะมีการกำหนดเวกเตอร์สี่ตัว และอย่างที่คุณเห็น เวกเตอร์เหล่านี้มีพิกัดอยู่แล้วในบางพื้นฐาน สิ่งที่เป็นพื้นฐานนี้ไม่น่าสนใจสำหรับเรา และสิ่งต่อไปนี้น่าสนใจ: เวกเตอร์สามตัวอาจสร้างฐานใหม่ได้ และขั้นตอนแรกเกิดขึ้นพร้อมกับคำตอบของตัวอย่างที่ 6 โดยสมบูรณ์ จำเป็นต้องตรวจสอบว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นจริงหรือไม่:

ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์:

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ

- สำคัญ : พิกัดเวกเตอร์ จำเป็นเขียนลงไป ลงในคอลัมน์ดีเทอร์มิแนนต์ ไม่ใช่ในสตริง มิฉะนั้นจะเกิดความสับสนในอัลกอริทึมการแก้ปัญหาเพิ่มเติม