ที่เก็บสมบัติของปริภูมิเวกเตอร์ สเปซเวกเตอร์เชิงเส้น: นิยาม, คุณสมบัติ พื้นที่เชิงเส้นของเวกเตอร์

ให้ P เป็นสนาม องค์ประกอบ a, b, ... О รเราจะโทร สเกลาร์.

คำจำกัดความ 1.ระดับ วีวัตถุ (องค์ประกอบ) , , , ... มีลักษณะตามอำเภอใจเรียกว่า สเปซเวกเตอร์เหนือสนาม Pและเรียกองค์ประกอบของคลาส V เวกเตอร์, ถ้า V ถูกปิดภายใต้การดำเนินการ “+” และการดำเนินการคูณด้วยสเกลาร์จาก P (เช่น สำหรับใดๆ , ОV +О วี;"aО Р aОV) และตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ก 1: พีชคณิต - กลุ่มอาเบเลียน;

A 2: สำหรับ a, bОР ใดๆ สำหรับ ОV ใดๆ a(b)=(ab) เป็นกฎการเชื่อมโยงทั่วไป

A 3: สำหรับ a, bОР ใดๆ สำหรับ ОV ใดๆ (a+b)= a+ b;

A 4: สำหรับ a ใดๆ จาก P, สำหรับใดๆ , จาก V, a(+) = a+a (กฎการกระจายทั่วไป);

A 5: สำหรับ V ใดๆ ก็ตาม 1 = เป็นที่พอใจ โดยที่ 1 คือหน่วยของสนาม P - คุณสมบัติของความสามัคคี

เราจะเรียกองค์ประกอบของสนาม P สเกลาร์ และองค์ประกอบของเวกเตอร์เซต V

ความคิดเห็นการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ไม่ใช่การดำเนินการแบบไบนารี่บนเซต V เนื่องจากเป็นการเทียบผัง P'V®V

ลองดูตัวอย่างของปริภูมิเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 1ปริภูมิเวกเตอร์เป็นศูนย์ (ศูนย์มิติ) - ปริภูมิ V 0 =() - ประกอบด้วยเวกเตอร์ศูนย์หนึ่งตัว

และสำหรับ aОР a= ใดๆ ให้เราตรวจสอบความพึงพอใจของสัจพจน์ปริภูมิเวกเตอร์

โปรดทราบว่าโดยพื้นฐานแล้วปริภูมิเวกเตอร์เป็นศูนย์ขึ้นอยู่กับสนาม P ดังนั้น ปริภูมิเป็นศูนย์มิติเหนือสนาม จำนวนตรรกยะและเหนือสนามของจำนวนจริงถือว่าต่างกัน แม้ว่าจะประกอบด้วยเวกเตอร์ว่างเพียงตัวเดียวก็ตาม

ตัวอย่างที่ 2สนาม P ก็คือปริภูมิเวกเตอร์เหนือสนาม P ให้ V=P ให้เราตรวจสอบความพึงพอใจของสัจพจน์ปริภูมิเวกเตอร์ เนื่องจาก P คือฟิลด์ ดังนั้น P จึงเป็นหมู่บวก Abelian และ A 1 คงอยู่ เนื่องจากความพอใจของการคูณใน P จึงทำให้ A2 เป็นที่น่าพอใจ สัจพจน์ A 3 และ A 4 เป็นไปตามความเป็นจริงเนื่องจากความเป็นไปได้ใน P ของการกระจายตัวของการคูณด้วยการบวก เนื่องจากมีองค์ประกอบหน่วย 1 ในฟิลด์ P คุณสมบัติของหน่วย A 5 จึงเป็นไปตามที่ต้องการ ดังนั้น สนาม P คือปริภูมิเวกเตอร์เหนือสนาม P

ตัวอย่างที่ 3ปริภูมิเวกเตอร์ n มิติทางคณิตศาสตร์

ให้ P เป็นสนาม พิจารณาเซต V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i О P, i=1,…, n) ให้เราแนะนำชุด V การดำเนินการในการเพิ่มเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ตามกฎต่อไปนี้:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , bn) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n +พันล้าน) (1)

a=(อ๊า 1 , อ๊า 2 , … , อ๊า n) (2)

องค์ประกอบของเซต V จะถูกเรียกว่า เวกเตอร์ n มิติ- เวกเตอร์ n มิติสองตัวจะเท่ากันถ้าองค์ประกอบที่สอดคล้องกัน (พิกัด) เท่ากัน ให้เราแสดงว่า V คือปริภูมิเวกเตอร์เหนือสนาม P จากนิยามของการดำเนินการของการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ จะตามมาว่า V ถูกปิดภายใต้การดำเนินการเหล่านี้ เนื่องจากการบวกองค์ประกอบของ V จะช่วยลดการเพิ่มองค์ประกอบของสนาม P และ P คือหมู่บวกแบบอาบีเลียน ดังนั้น V คือหมู่บวกแบบอะบีเลียน ยิ่งไปกว่านั้น = โดยที่ 0 คือศูนย์ของฟิลด์ P -= (-a 1, -a 2, …, -a n) ดังนั้น A 1 จึงเป็นที่น่าพอใจ เนื่องจากการคูณองค์ประกอบจาก V ด้วยองค์ประกอบจาก P จะลดลงเป็นการคูณองค์ประกอบของฟิลด์ P ดังนั้น:

A 2 พอใจเนื่องจากความสัมพันธ์ของการคูณด้วย P;

A 3 และ A 4 เป็นที่น่าพอใจเนื่องจากการกระจายตัวของการคูณด้วยการบวกด้วย P;

มีค่า 5 เพียงพอ เนื่องจาก 1 Î P เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางเมื่อเทียบกับการคูณด้วย P

คำจำกัดความ 2เซต V= P n ซึ่งมีการดำเนินการที่กำหนดโดยสูตร (1) และ (2) เรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์ n มิติทางคณิตศาสตร์เหนือฟิลด์ P

ในบทความเกี่ยวกับเวกเตอร์ n มิติ เรามาถึงแนวคิดของปริภูมิเชิงเส้นที่สร้างโดยเซตของเวกเตอร์ n มิติ ตอนนี้เราต้องพิจารณาแนวคิดที่สำคัญไม่แพ้กัน เช่น มิติและพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ พวกมันเกี่ยวข้องโดยตรงกับแนวคิดของระบบเวกเตอร์เชิงเส้นตรงดังนั้นจึงแนะนำให้เตือนตัวเองเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นฐานของหัวข้อนี้

ให้เราแนะนำคำจำกัดความบางอย่าง

คำจำกัดความ 1

มิติของปริภูมิเวกเตอร์– จำนวนที่สอดคล้องกับจำนวนสูงสุดของไม่เชิงเส้น เวกเตอร์ขึ้นอยู่กับในพื้นที่นี้

คำจำกัดความ 2

พื้นฐานปริภูมิเวกเตอร์– เซตของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น เรียงลำดับและมีจำนวนเท่ากับมิติของปริภูมิ

ลองพิจารณาปริภูมิหนึ่งของ n -เวกเตอร์ มิติของมันเท่ากับ n ตามลำดับ ลองใช้ระบบเวกเตอร์ n หน่วย:

อี (1) = (1, 0, . . . 0) อี (2) = (0, 1, . . , 0) อี (น) = (0, 0, . . , 1)

เราใช้เวกเตอร์เหล่านี้เป็นส่วนประกอบของเมทริกซ์ A: มันจะเป็นเมทริกซ์หน่วยที่มีขนาด n คูณ n อันดับของเมทริกซ์นี้คือ n ดังนั้น ระบบเวกเตอร์ e (1) , e (2) , . - - , e(n) มีความเป็นอิสระเชิงเส้น ในกรณีนี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะเพิ่มเวกเตอร์ตัวเดียวเข้าสู่ระบบโดยไม่ละเมิดความเป็นอิสระเชิงเส้นของมัน

เนื่องจากจำนวนเวกเตอร์ในระบบคือ n ดังนั้น มิติของปริภูมิของเวกเตอร์ n มิติจึงเป็น n และเวกเตอร์หน่วยคือ e (1), e (2), - - , e (n) เป็นพื้นฐานของช่องว่างที่ระบุ

จากคำจำกัดความผลลัพธ์ เราสามารถสรุปได้ว่า: ระบบใดๆ ของเวกเตอร์ n มิติที่จำนวนเวกเตอร์น้อยกว่า n ไม่ใช่พื้นฐานของปริภูมิ

หากเราสลับเวกเตอร์ตัวแรกและตัวที่สอง เราจะได้ระบบเวกเตอร์ e (2) , e (1) , . - - , อี (น) . มันจะยังเป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติด้วย มาสร้างเมทริกซ์โดยนำเวกเตอร์ของระบบผลลัพธ์มาเป็นแถวกัน เมทริกซ์สามารถรับได้จากเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยการสลับสองแถวแรก อันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับ n ระบบ อี (2) , อี (1) , . - - , e(n) มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ

โดยการจัดเรียงเวกเตอร์อื่นๆ ในระบบเดิม เราจะได้พื้นฐานอีกอย่างหนึ่ง

เราสามารถใช้ระบบอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่หน่วย และมันจะแทนพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติด้วย

คำจำกัดความ 3

ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติ n มีฐานมากพอๆ กับการมีระบบอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์มิติ n ของจำนวน n

ระนาบเป็นปริภูมิสองมิติ - พื้นฐานของมันจะเป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เส้นตรงสองตัว พื้นฐานของปริภูมิสามมิติจะเป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่โคระนาบสามตัวใดๆ

ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีนี้โดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 1

ข้อมูลเริ่มต้น:เวกเตอร์

ก = (3 , - 2 , 1) ข = (2 , 1 , 2) ค = (3 , - 1 , - 2)

มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าเวกเตอร์ที่ระบุเป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์สามมิติหรือไม่

สารละลาย

เพื่อแก้ปัญหานี้ เราศึกษาระบบเวกเตอร์ที่กำหนดสำหรับการพึ่งพาเชิงเส้น มาสร้างเมทริกซ์กัน โดยที่แถวเป็นพิกัดของเวกเตอร์ เรามากำหนดอันดับของเมทริกซ์กันดีกว่า

ก = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 ก = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

ดังนั้นเวกเตอร์ที่ระบุโดยเงื่อนไขของปัญหาจึงมีความเป็นอิสระเชิงเส้น และจำนวนเวกเตอร์จะเท่ากับมิติของปริภูมิเวกเตอร์ - เป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์

คำตอบ:เวกเตอร์ที่ระบุเป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 2

ข้อมูลเริ่มต้น:เวกเตอร์

ก = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) ค = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าระบบเวกเตอร์ที่ระบุสามารถเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติได้หรือไม่

สารละลาย

ระบบเวกเตอร์ที่ระบุในคำสั่งปัญหานั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง เนื่องจาก จำนวนเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสูงสุดคือ 3 ดังนั้น ระบบเวกเตอร์ที่ระบุไม่สามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับปริภูมิเวกเตอร์สามมิติได้ แต่เป็นที่น่าสังเกตว่าระบบย่อยของระบบดั้งเดิม a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) เป็นพื้นฐาน

คำตอบ:ระบบเวกเตอร์ที่ระบุไม่ใช่พื้นฐาน

ตัวอย่างที่ 3

ข้อมูลเริ่มต้น:เวกเตอร์

ก = (1, 2, 3, 3) ข = (2, 5, 6, 8) ค = (1, 3, 2, 4) ง = (2, 5, 4, 7)

พวกมันสามารถเป็นพื้นฐานของปริภูมิสี่มิติได้หรือไม่?

สารละลาย

เรามาสร้างเมทริกซ์โดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดเป็นแถวกันดีกว่า

ก = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

เมื่อใช้วิธีเกาส์เซียน เราจะกำหนดอันดับของเมทริกซ์:

ก = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

ดังนั้น ระบบของเวกเตอร์ที่กำหนดจึงเป็นอิสระเชิงเส้น และจำนวนของเวกเตอร์นั้นเท่ากับมิติของปริภูมิเวกเตอร์ - พวกมันเป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์สี่มิติ

คำตอบ:เวกเตอร์ที่กำหนดเป็นพื้นฐานของปริภูมิสี่มิติ

ตัวอย่างที่ 4

ข้อมูลเริ่มต้น:เวกเตอร์

ก (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) ก (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) ก (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

พวกมันสร้างพื้นฐานของปริภูมิมิติ 4 หรือไม่?

สารละลาย

ระบบเวกเตอร์ดั้งเดิมมีความเป็นอิสระเชิงเส้น แต่จำนวนเวกเตอร์ในนั้นไม่เพียงพอที่จะกลายเป็นพื้นฐานของปริภูมิสี่มิติ

คำตอบ:ไม่ พวกเขาไม่ได้ทำ

การสลายตัวของเวกเตอร์ให้เป็นพื้นฐาน

ให้เราสมมติว่าเวกเตอร์ที่กำหนดเอง e (1) , e (2) , . - - , e (n) เป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ ลองเพิ่มเวกเตอร์ n มิติ x →: ระบบผลลัพธ์ของเวกเตอร์จะกลายเป็นเส้นตรง คุณสมบัติของการพึ่งพาเชิงเส้นระบุว่าเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวของระบบดังกล่าวสามารถแสดงเชิงเส้นตรงผ่านเวกเตอร์อื่นได้ การปรับเปลี่ยนข้อความนี้ใหม่ เราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวของระบบที่ขึ้นต่อเชิงเส้นสามารถขยายเป็นเวกเตอร์ที่เหลือได้

ดังนั้นเราจึงมาถึงการกำหนดทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุด:

คำจำกัดความที่ 4

เวกเตอร์ใดๆ ก็ตามของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติสามารถแยกย่อยเป็นฐานได้โดยไม่ซ้ำกัน

หลักฐานที่ 1

มาพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้กัน:

มากำหนดพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ - e (1) , e (2) , . - - , อี (น) . มาทำให้ระบบขึ้นอยู่กับเชิงเส้นโดยการเพิ่มเวกเตอร์ n มิติ x → เข้าไป เวกเตอร์นี้สามารถแสดงเป็นเส้นตรงในรูปของเวกเตอร์ดั้งเดิม e:

x = x 1 · อี (1) + x 2 · อี (2) + . - - + xn · e (n) โดยที่ x 1 , x 2 , . - - , xn - ตัวเลขบางตัว

ตอนนี้เราได้พิสูจน์ว่าการสลายตัวดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะ สมมติว่าไม่เป็นเช่นนั้นและมีการสลายตัวที่คล้ายกันอีกอย่างหนึ่ง:

x = x ~ 1 อี (1) + x 2 ~ อี (2) + . - - + x ~ n e (n) โดยที่ x ~ 1 , x ~ 2 , . - - , x ~ n - ตัวเลขบางตัว

ให้เราลบออกจากด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้ ตามลำดับ ด้านซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกัน x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . - - + xn · อี (n) . เราได้รับ:

0 = (x ~ 1 - x 1) · อี (1) + (x ~ 2 - x 2) · อี (2) + . - - (x ~ n - xn) จ (2)

ระบบเวกเตอร์พื้นฐาน e (1) , e (2) , . - - , e(n) เป็นอิสระเชิงเส้น; ตามคำจำกัดความของความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ ความเท่าเทียมกันข้างต้นจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งหมดคือ (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . - - , (x ~ n - xn) จะเท่ากับศูนย์ ซึ่งมันจะยุติธรรม: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . - - , x n = x ~ n . และนี่เป็นการพิสูจน์ทางเลือกเดียวในการแยกเวกเตอร์ให้เป็นฐาน

ในกรณีนี้สัมประสิทธิ์ x 1, x 2, . - - , x n เรียกว่าพิกัดของเวกเตอร์ x → ในรูปแบบพื้นฐาน e (1) , e (2) , . - - , อี (น) .

ทฤษฎีที่ได้รับการพิสูจน์แล้วทำให้นิพจน์ "ที่กำหนดเป็นเวกเตอร์ n มิติ x = (x 1 , x 2 , . . . , xn)" มีการพิจารณาเวกเตอร์ x → ปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ และพิกัดของเวกเตอร์ถูกระบุใน พื้นฐานที่แน่นอน เป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์เดียวกันในอีกฐานหนึ่งของปริภูมิ n มิติจะมีพิกัดต่างกัน

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ สมมติว่าในบางพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ ระบบของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นจำนวน n ตัวถูกให้มา

และเวกเตอร์ x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) จะได้รับ

เวกเตอร์ อี 1 (1) , อี 2 (2) , . - - , e n (n) ในกรณีนี้ก็เป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์นี้เช่นกัน

สมมติว่ามีความจำเป็นต้องกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ x → บนพื้นฐานของ e 1 (1) , e 2 (2) , . - - , e n (n) , แสดงเป็น x ~ 1 , x ~ 2 , . - - , x ~ น.

เวกเตอร์ x → จะแสดงดังนี้:

x = x ~ 1 อี (1) + x ~ 2 อี (2) + . - - + x ~ n อี (n)

ลองเขียนนิพจน์นี้ในรูปแบบพิกัด:

(x 1 , x 2 , . . . , xn) = x ~ 1 (จ (1) 1 , จ (1) 2 , . . , จ (1) n) + x ~ 2 (จ (2 ) 1 , อี (2) 2 , . - - + + x ~ n · (อี (เอ็น) 1 , อี (n) 2 , . . . , อี (n) n) = = (x ~ 1 อี 1 (1) + x ~ 2 อี 1 (2) + . . + x ~ n e 2 (n) , . n (1) + x ~ 2 e n (2) + .

ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นจะเทียบเท่ากับระบบเชิงเส้น n เส้น นิพจน์พีชคณิตไม่มีตัวแปรเชิงเส้นที่ไม่รู้จัก x ~ 1, x ~ 2, - - , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 อี 1 1 + x ~ 2 อี 1 2 + . - - + x ~ n อี 1 n x 2 = x ~ 1 อี 2 1 + x ~ 2 อี 2 2 + . - - + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 en 1 + x ~ 2 en 2 + . - - + x ~ ไม่มี

เมทริกซ์ของระบบนี้จะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

ให้นี่คือเมทริกซ์ A และคอลัมน์ของมันคือเวกเตอร์ของระบบเวกเตอร์เชิงเส้นตรงของเวกเตอร์ e 1 (1), e 2 (2), . - - , และ (n) . อันดับของเมทริกซ์คือ n และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ไม่ใช่ศูนย์ สิ่งนี้บ่งชี้ว่าระบบสมการมีวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะตัว ซึ่งกำหนดโดยวิธีที่สะดวก เช่น วิธีแครมเมอร์หรือวิธีเมทริกซ์ วิธีนี้เราสามารถกำหนดพิกัด x ~ 1, x ~ 2, . - - , x ~ n เวกเตอร์ x → อยู่ในพื้นฐาน อี 1 (1) , อี 2 (2) , . - - , และ (n) .

ลองใช้ทฤษฎีที่พิจารณาแล้วกับตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

ตัวอย่างที่ 6

ข้อมูลเริ่มต้น:เวกเตอร์ถูกระบุบนพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ

อี (1) = (1 , - 1 , 1) อี (2) = (3 , 2 , - 5) อี (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

มีความจำเป็นต้องยืนยันความจริงที่ว่าระบบของเวกเตอร์ e (1), e (2), e (3) ยังทำหน้าที่เป็นพื้นฐานของปริภูมิที่กำหนดและเพื่อกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ x บนพื้นฐานที่กำหนดด้วย

สารละลาย

ระบบเวกเตอร์ e (1), e (2), e (3) จะเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติถ้ามันเป็นอิสระเชิงเส้น เรามาค้นหาความเป็นไปได้นี้โดยการกำหนดอันดับของเมทริกซ์ A ซึ่งแถวนั้นเป็นเวกเตอร์ที่กำหนด e (1), e (2), e (3)

เราใช้วิธีเกาส์เซียน:

ก = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R อังเค (A) = 3 . ดังนั้น ระบบของเวกเตอร์ e (1), e (2), e (3) จึงเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐาน

ปล่อยให้เวกเตอร์ x → มีพิกัด x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 เป็นฐาน ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเหล่านี้ถูกกำหนดโดยสมการ:

x 1 = x ~ 1 อี 1 (1) + x ~ 2 อี 1 (2) + x ~ 3 อี 1 (3) x 2 = x ~ 1 อี 2 (1) + x ~ 2 อี 2 (2) + x ~ 3 อี 2 (3) x 3 = x ~ 1 อี 3 (1) + x ~ 2 อี 3 (2) + x ~ 3 อี 3 (3)

ลองใช้ค่าตามเงื่อนไขของปัญหา:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

ลองแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีของแครเมอร์:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

ดังนั้น เวกเตอร์ x → ในฐาน e (1), e (2), e (3) มีพิกัด x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1

คำตอบ: x = (1, 1, 1)

ความสัมพันธ์ระหว่างฐาน

สมมติว่าในบางพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ ระบบเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นสองระบบจะได้รับ:

ค (1) = (ค 1 (1) , ค 2 (1) , . . . , c n (1)) ค (2) = (ค 1 (2) , ค 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ ค (n) = (ค 1 (n) , จ 2 (n) , . . . , ค n (n))

อี (1) = (อี 1 (1) , อี 2 (1) , . . . , อี n (1)) อี (2) = (อี 1 (2) , อี 2 (2) , . . . , อี n (2)) ⋮ อี (n) = (อี 1 (n) , อี 2 (n) , . . . , อี n (n))

ระบบเหล่านี้เป็นฐานของพื้นที่ที่กำหนดด้วย

ให้ ค ~ 1 (1) , ค ~ 2 (1) , . - - , c ~ n (1) - พิกัดของเวกเตอร์ c (1) ในพื้นฐาน อี (1) , อี (2) , . - - , อี (3) จากนั้นความสัมพันธ์ของพิกัดจะได้รับจากระบบสมการเชิงเส้น:

ค 1 (1) = ค ~ 1 (1) อี 1 (1) + ค ~ 2 (1) อี 1 (2) + . - - + ค ~ n (1) อี 1 (n) ค 2 (1) = ค ~ 1 (1) อี 2 (1) + ค ~ 2 (1) อี 2 (2) + . - - + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . - - + ค ~ n (1) และ (n)

ระบบสามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้:

(ค 1 (1) , ค 2 (1) , . . . , c n (1)) = (ค ~ 1 (1) , ค ~ 2 (1) , . . . , ค ~ n (1)) จ 1 (1) อี 2 (1) … อี n (1) อี 1 (2) อี 2 (2) … อี n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

ให้เราสร้างค่าเดียวกันสำหรับเวกเตอร์ c (2) โดยการเปรียบเทียบ:

(ค 1 (2) , ค 2 (2) , . . , c n (2)) = (ค ~ 1 (2) , ค ~ 2 (2) , . . , ค ~ n (2)) จ 1 (1) อี 2 (1) … อี n (1) อี 1 (2) อี 2 (2) … อี n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ อี 1 (n) อี 2 (น) … อี n (n)

(ค 1 (n) , ค 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) จ 1 (1) อี 2 (1) … อี n (1) อี 1 (2) อี 2 (2) … อี n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

มารวมความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์เป็นนิพจน์เดียว:

ค 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) จ 2 (n) ⋯ e n (n)

มันจะกำหนดการเชื่อมต่อระหว่างเวกเตอร์ของฐานสองฐานที่แตกต่างกัน

เมื่อใช้หลักการเดียวกัน ก็เป็นไปได้ที่จะแสดงเวกเตอร์พื้นฐานทั้งหมด e(1), e(2), . - - , อี (3) ผ่านพื้นฐาน ค (1) , ค (2) , . - - , ค (น) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) ค 2 (n) ⋯ c n (n)

ให้เราให้คำจำกัดความต่อไปนี้:

คำจำกัดความที่ 5

เมทริกซ์ c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) คือเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากฐาน e (1) , e (2) , . - - , อี (3)

ถึงพื้นฐาน ค (1) , ค (2) , . - - , ค (น) .

คำนิยาม 6

เมทริกซ์ e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) คือเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากฐาน c (1) , c (2) , . - - , ค(เอ็น)

ถึงพื้นฐาน อี (1) , อี (2) , . - - , อี (3) .

จากความเสมอภาคเหล่านี้จะเห็นได้ชัดเจนว่า

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (น) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

เหล่านั้น. เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงเป็นแบบกลับกัน

ลองดูทฤษฎีโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 7

ข้อมูลเริ่มต้น:จำเป็นต้องค้นหาเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากพื้นฐาน

ค (1) = (1 , 2 , 1) ค (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​ค (3) = (3 , 7 , 1)

อี (1) = (3 , 1 , 4) อี (2) = (5 , 2 , 1) อี (3) = (1 , 1 , - 6)

คุณต้องระบุความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดของเวกเตอร์ x → ในฐานที่กำหนดด้วย

สารละลาย

1. ให้ T เป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง จากนั้นความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = ต 1 2 1 2 3 3 3 7 1

คูณทั้งสองข้างของความเท่ากันด้วย

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

และเราได้รับ:

ต = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. กำหนดเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง:

ต = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. ให้เรากำหนดความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดของเวกเตอร์ x → :

ให้เราสมมติว่าในพื้นฐาน ค (1) , ค (2) , . - - , c (n) เวกเตอร์ x → มีพิกัด x 1 , x 2 , x 3 แล้ว:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

และบนพื้นฐาน อี (1) , อี (2) , . - - , e (3) มีพิกัด x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 จากนั้น:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

เพราะ หากด้านซ้ายมือของค่าเท่ากันเหล่านี้ เราสามารถเทียบด้านขวามือได้เช่นกัน:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

คูณทั้งสองข้างทางขวาด้วย

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

และเราได้รับ:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

อีกด้านหนึ่ง

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

ความเสมอภาคสุดท้ายแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดของเวกเตอร์ x → ในฐานทั้งสอง

คำตอบ:เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

พิกัดของเวกเตอร์ x → ในฐานที่กำหนดมีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เวกเตอร์(หรือ เชิงเส้น) ช่องว่าง- โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นชุดขององค์ประกอบที่เรียกว่าเวกเตอร์ซึ่งมีการกำหนดการดำเนินการของการบวกระหว่างกันและการคูณด้วยตัวเลข - สเกลาร์

1) X+y=y+x ( การสับเปลี่ยนของการบวก)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( นอกจากนี้การเชื่อมโยง)

3) มีองค์ประกอบ 0µV เช่นนั้น x+0=x

4) สำหรับ x єV ใด ๆ มีองค์ประกอบ - x єV เช่นนั้น x+(-x)=0? เรียกว่าเวกเตอร์ ตรงข้ามเวกเตอร์ x

5) α(βx)= (αβ)x ( การเชื่อมโยงของการคูณด้วยสเกลาร์)

7) (α+β)x=αx+βx

8) α(x+y)=αx+αy

1) เวกเตอร์ฟรีในพื้นที่ R 3

2) เมทริกซ์ของมิติ nxm

3) เซตของพหุนามทั้งหมดที่มีดีกรีไม่เกิน n

4) ตัวอย่างของปริภูมิเชิงเส้นคือ:

5) - ช่องว่างของจำนวนจริง

6) - ชุดของเวกเตอร์เรขาคณิตบนเครื่องบิน

7) - พื้นที่ของเมทริกซ์ที่มีมิติคงที่

8) - พื้นที่ของการแก้ปัญหาของระบบเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน ฯลฯ

คำจำกัดความพื้นฐาน

เวกเตอร์ N มิติ เรียกว่าลำดับของตัวเลข n ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่า พิกัดเวกเตอร์ เรียกจำนวนพิกัดเวกเตอร์ n มิติเวกเตอร์

คุณสามารถเพิ่มได้เฉพาะเวกเตอร์ที่มีมิติเดียวกันเท่านั้น

เวกเตอร์มีค่าเท่ากันถ้าพวกมันมีมิติเท่ากันและพิกัดที่สอดคล้องกันเท่ากัน

เวกเตอร์ n มิติใดๆ ที่เป็น A ได้ คูณด้วยจำนวนใดๆแลม และพิกัดทั้งหมดคูณด้วยตัวเลขนี้:
แลมบ์=(แลม*a1, แลมบ์a2,..., แลมบ์อัน)

คุณสามารถเพิ่มเวกเตอร์สองตัวที่มีมิติเดียวกันได้ และเพิ่มพิกัดที่สอดคล้องกัน:

เรียกว่าอะไร การรวมกันเชิงเส้นเวกเตอร์?

ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ a1,a2,…,anเรียกว่ารูปแสดงรูปว่า

ที่ไหน a1,a2,…,อัน- ตัวเลขที่กำหนดเอง

เวกเตอร์ใดที่เรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้น (อิสระ)?

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ a1,a2,…,อันถูกเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้าผลรวมเชิงเส้นแบบไม่สำคัญของเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์:

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ a1,a2,…,อันถูกเรียกว่า เป็นอิสระเชิงเส้นเว้นแต่ผลรวมเชิงเส้นเล็กน้อยของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับเวกเตอร์ว่าง

ตัวอย่างของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น

ปัญหาของการพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์ได้รับการแก้ไขอย่างไร?

ทฤษฎีบท 1- เพื่อให้ระบบของเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่อย่างน้อยหนึ่งเวกเตอร์จะต้องแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่นๆ

ทฤษฎีบท 2ในปริภูมิ n มิติ ระบบใดๆ ที่มีเวกเตอร์มากกว่า n ตัวจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

ทฤษฎีบท 3ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ ระบบของเวกเตอร์จะเป็นอิสระเชิงเส้น หากทฤษฎีบทเหล่านี้ไม่ตอบคำถามเกี่ยวกับการพึ่งพาเชิงเส้นหรือความเป็นอิสระของเวกเตอร์ ก็จำเป็นต้องแก้ระบบสมการ หรือกำหนดอันดับของระบบเวกเตอร์

ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดของเวกเตอร์เชิงเส้นสองตัวคืออะไร?

ยกตัวอย่างเวกเตอร์ที่ขึ้นต่อเชิงเส้นสองตัว

: เวกเตอร์และเส้นตรงเมื่อมีตัวเลขดังกล่าวอยู่ , ความเท่าเทียมกันถือ:
.

คำจำกัดความของพื้นฐานปริภูมิเชิงเส้น

เซตขององค์ประกอบอิสระเชิงเส้น n ตัวในปริภูมิขนาด n เรียกว่าพื้นฐานของปริภูมินี้

การกำหนดมิติของปริภูมิเชิงเส้น

คำจำกัดความ 3.1พื้นที่เชิงเส้น รเรียกว่า n มิติถ้ามี nองค์ประกอบอิสระเชิงเส้น และใดๆ ( n+1) องค์ประกอบนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นแล้ว ในกรณีนี้คือหมายเลข nเรียกว่ามิติแห่งอวกาศ ร.

มิติของอวกาศแสดงด้วยสัญลักษณ์สลัว

คำจำกัดความ 3.2พื้นที่เชิงเส้น รเรียกว่ามิติอนันต์หากมีองค์ประกอบอิสระเชิงเส้นจำนวนเท่าใดก็ได้

ทฤษฎีบท 3.4อนุญาต พื้นที่เชิงเส้น รมีพื้นฐานประกอบด้วย nองค์ประกอบ แล้วมิติ. รเท่ากับ n(สลัว ร=น).

แนวคิดของปริภูมิ n มิติ

สเปซเชิงเส้น V เรียกว่าปริภูมิ n มิติถ้ามันมีระบบที่มีองค์ประกอบอิสระเชิงเส้น n ตัว และองค์ประกอบ n+1 ใดๆ ก็ตามนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

สูตรเชื่อมต่อเวกเตอร์ของฐานเก่าและฐานใหม่

ปริภูมิเวกเตอร์ (เชิงเส้น) คือชุดของเวกเตอร์ (องค์ประกอบ) ที่มีส่วนประกอบจริง ซึ่งมีการกำหนดการดำเนินการของการเพิ่มเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์ (คุณสมบัติ) บางประการ

1)x+ที่=ที่+เอ็กซ์(ความสามารถในการสับเปลี่ยนของการบวก);

2)(เอ็กซ์+ที่)+z=x+(ย+z) (ความสัมพันธ์ของการบวก);

3) มีเวกเตอร์เป็นศูนย์ 0 (หรือเวกเตอร์ว่าง) ที่ตรงตามเงื่อนไข x+ 0 =เอ็กซ์:สำหรับเวกเตอร์ใดๆ x;

4) สำหรับเวกเตอร์ใดๆ เอ็กซ์มีเวกเตอร์ตรงกันข้าม ที่เช่นนั้น เอ็กซ์+ที่ = 0 ,

5) 1 ครั้ง=เอ็กซ์,

6) ก(บีเอ็กซ์)=(เกี่ยวกับ)เอ็กซ์(ความสัมพันธ์ของการคูณ);

7) (ก+ข)เอ็กซ์=อา+บีเอ็กซ์(คุณสมบัติการกระจายสัมพันธ์กับตัวประกอบเชิงตัวเลข);

8) ก(เอ็กซ์+ที่)=อา+ใช่(คุณสมบัติการกระจายสัมพันธ์กับตัวคูณเวกเตอร์)

ปริภูมิเชิงเส้น (เวกเตอร์) V(P) เหนือสนาม P คือเซตที่ไม่ว่าง V องค์ประกอบของเซต V เรียกว่า เวกเตอร์ และองค์ประกอบของสนาม P เรียกว่า สเกลาร์

คุณสมบัติที่ง่ายที่สุด

1. สเปซเวกเตอร์คือกลุ่ม Abelian (กลุ่มที่การดำเนินการกลุ่มเป็นแบบสับเปลี่ยน การดำเนินการกลุ่มในกลุ่ม Abelian มักเรียกว่า "การบวก" และแสดงด้วยเครื่องหมาย +)

2. องค์ประกอบที่เป็นกลางเป็นเพียงองค์ประกอบเดียวที่ตามมาจากคุณสมบัติกลุ่มสำหรับ

3. สำหรับองค์ประกอบตรงข้ามคือองค์ประกอบเดียวที่ต่อจากคุณสมบัติกลุ่ม

4.(–1) x = – x สำหรับ x є V ใด ๆ

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) สำหรับ α є P และ x є V ใดๆ

การแสดงออก ก 1 อี 1+เอ 2 อี 2+ … +และ(1) เรียกว่าผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ อี 1 , อี 2 ,..., อี นด้วยอัตราต่อรอง ก 1 , 2,..., หนึ่ง .การรวมกันเชิงเส้น (1) เรียกว่าไม่สำคัญหากมีค่าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่า ก 1 , 2 ,..., นแตกต่างจากศูนย์ เวกเตอร์ อี 1 , อี 2 ,..., อี นเรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีการรวมกันที่ไม่สำคัญ (1) ซึ่งเป็นเวกเตอร์ศูนย์ มิฉะนั้น (นั่นคือหากเป็นเพียงการรวมกันของเวกเตอร์เล็กน้อย อี 1 , อี 2 ,..., อี นเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์) เวกเตอร์ อี 1 , อี 2 ,..., อี นเรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้น

มิติของปริภูมิคือจำนวนเวกเตอร์ LZ สูงสุดที่มีอยู่ในนั้น

พื้นที่เวกเตอร์เรียกว่า n มิติ (หรือมี "มิติ" เอ็น"), ถ้ามันมีอยู่จริง nองค์ประกอบอิสระเชิงเส้น อี 1 , อี 2 ,..., และ n ,และอย่างใดอย่างหนึ่ง n+ 1 องค์ประกอบขึ้นอยู่กับเชิงเส้น (เงื่อนไขทั่วไป B) พื้นที่เวกเตอร์เรียกว่าเป็นอนันต์มิติถ้าอยู่ในนั้นโดยธรรมชาติ nมีอยู่จริง nเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น ใดๆ nเวกเตอร์ n มิติที่เป็นอิสระเชิงเส้น พื้นที่เวกเตอร์เป็นพื้นฐานของพื้นที่แห่งนี้ ถ้า อี 1 , อี 2 ,..., อี น- พื้นฐาน พื้นที่เวกเตอร์แล้วเวกเตอร์ใดๆ เอ็กซ์สเปซนี้สามารถแสดงได้โดยไม่ซ้ำกันในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐาน: x=ก 1 อี 1+เอ 2 อี 2+... +และ.
ขณะเดียวกันก็มีตัวเลข ก 1 , 2, ... , นเรียกว่าพิกัดเวกเตอร์ เอ็กซ์ในพื้นฐานนี้

1. แนวคิดเรื่องปริภูมิเชิงเส้น

คำจำกัดความ 1.1 รมากมาย องค์ประกอบ x, y, z,

1. ... ไม่ว่าจะในลักษณะใดก็ตามจะเรียกว่าปริภูมิเชิงเส้น (หรือเวกเตอร์) หากเป็นไปตามข้อกำหนดสามประการต่อไปนี้: xมีกฎเกณฑ์ที่องค์ประกอบสององค์ประกอบใดๆ ยและ รองค์ประกอบที่สามตรงกัน zของเซตนี้เรียกว่าผลรวมของธาตุ xมีกฎเกณฑ์ที่องค์ประกอบสององค์ประกอบใดๆ ยและกำหนด z=x+y
2. มีกฎเกณฑ์ที่องค์ประกอบใดๆ xและ รและใครก็ตาม จำนวนจริง α องค์ประกอบตรงกัน วของเซตนี้เรียกว่าผลคูณของธาตุ xต่อหมายเลข α และกำหนด w=αxหรือ w=xα.
3. กฎสองข้อที่นำเสนออยู่ภายใต้สัจพจน์แปดประการต่อไปนี้:
1. x+y=y+x(สมบัติการสับเปลี่ยนของผลรวม);
2. (x+y)+z=x+(y+z)(คุณสมบัติรวมของผลรวม);
3. มีองค์ประกอบศูนย์ 0 เช่นนั้น x+0=xสำหรับองค์ประกอบใดๆ x.
4. สำหรับองค์ประกอบใดๆ xมีองค์ประกอบองค์ประกอบตรงกันข้าม เอ็กซ์"เช่นนั้น x+x"=0;
5. 1· x=xสำหรับใครก็ตาม เอ็กซ์;
6. แล(มคx)=(แลม)x(คุณสมบัติรวมกันเกี่ยวกับตัวประกอบเชิงตัวเลข);
7. (λ+μ )x= แลมบ์+μx(คุณสมบัติการแจกแจงเกี่ยวกับปัจจัยเชิงตัวเลข);
8. แลมบ์(x+y)=แลมx+แลมบ์(คุณสมบัติการกระจายสัมพันธ์กับผลรวมขององค์ประกอบ)

องค์ประกอบของปริภูมิเชิงเส้น (เวกเตอร์) เรียกว่าเวกเตอร์

2. พื้นฐานของปริภูมิเชิงเส้น

คำจำกัดความ 2.1 รเซตขององค์ประกอบอิสระเชิงเส้นของปริภูมิ xเรียกว่าพื้นฐานของช่องว่างนี้หากสำหรับแต่ละองค์ประกอบ ช่องว่างร มีตัวเลขจริง

จนเกิดความเท่าเทียมกัน xความเท่าเทียมกัน (2.1) เรียกว่าการขยายตัวขององค์ประกอบ xตามพื้นฐานและตัวเลขเรียกว่าพิกัดขององค์ประกอบ

(สัมพันธ์กับพื้นฐาน) xลองพิสูจน์องค์ประกอบใดๆ กัน ร

พื้นที่เชิงเส้น x:

ให้มีการสลายตัวอีก

(2.3)

การลบ (2.1) จาก (2.2) เรามี:

เนื่องจากองค์ประกอบพื้นฐานมีความเป็นอิสระเชิงเส้น จึงเป็นไปตามความสัมพันธ์ (2.3) ดังกล่าว รดังนั้นทุกองค์ประกอบของปริภูมิเชิงเส้น

สามารถขยายออกไปบนพื้นฐานได้ด้วยวิธีที่ไม่เหมือนใคร รทฤษฎีบท 2.2 รเมื่อเพิ่มองค์ประกอบสององค์ประกอบของพื้นที่เชิงเส้นโดยพลการ xพิกัดของพวกเขา (สัมพันธ์กับพื้นฐานของพื้นที่ใด ๆ α ) รวมกันและเมื่อคูณองค์ประกอบใดๆ xไปยังหมายเลขใดก็ได้ α .

พิกัดทั้งหมด

คูณด้วย

การพิสูจน์เป็นไปตามสัจพจน์ 1-8 ของคำจำกัดความ 1.1 ร.

3. มิติของปริภูมิเชิงเส้น รเรียกว่า n มิติถ้ามี nองค์ประกอบอิสระเชิงเส้น และใดๆ ( nพิจารณาพื้นที่จริงตามอำเภอใจ nคำจำกัดความ 3.1 ร.

มิติของอวกาศแสดงด้วยสัญลักษณ์สลัว

พื้นที่เชิงเส้น รเรียกว่ามิติอนันต์หากมีองค์ประกอบอิสระเชิงเส้นจำนวนเท่าใดก็ได้

+1) องค์ประกอบนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นแล้ว ในกรณีนี้คือหมายเลข รเรียกว่ามิติแห่งอวกาศ n(สลัว ร=นคำจำกัดความ 3.2 nพื้นที่เชิงเส้น

ทฤษฎีบท 3.3 รอนุญาต nเป็นปริภูมิเชิงเส้นของมิติ n- แล้วก็ได้ xองค์ประกอบอิสระเชิงเส้นของพื้นที่นี้เป็นพื้นฐาน รการพิสูจน์. เพราะ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เช่น มีตัวเลขอยู่ (ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด) จนเกิดความเท่าเทียมกัน

(3.3)

จากความเท่าเทียมกัน (3.3) มันจะเป็นไปตามเวกเตอร์ใดๆ จากปริภูมิ รสามารถขยายออกเป็นองค์ประกอบต่างๆ ดังนั้นจึงเป็นพื้นฐานของพื้นที่ ร. ■

ทฤษฎีบท 3.4 รมีพื้นฐานประกอบด้วย nองค์ประกอบ แล้วมิติ. รปล่อยให้ปริภูมิเชิงเส้น n(สลัว ร=น).

เท่ากับ nการพิสูจน์. ให้ชุด รองค์ประกอบเป็นพื้นฐานของพื้นที่ n- ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ได้ว่า +1 องค์ประกอบ

ของปริภูมินี้จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง เมื่อขยายองค์ประกอบเหล่านี้ตามพื้นฐานเราจะได้: ที่ไหน 11 ก 12 , ก ,...,ก n+1,n

ตัวเลขจริง ปล่อยให้องค์ประกอบ

เป็นอิสระเชิงเส้น ให้เราเขียนใหม่ (3.4) ในรูปแบบเมทริกซ์: เนื่องจากพวกมันเป็นอิสระเชิงเส้น นั่นคือเมทริกซ์ก มีเมทริกซ์ผกผันเอ -1 .

เมื่อแก้สมการเมทริกซ์ (3.5) แล้วเราจะได้: ดังที่เห็นได้จากสมการ (3.9) มันสามารถแสดงได้ด้วยผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ - ดังนั้นเวกเตอร์

ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

4. การแทนที่พื้นฐานและการเปลี่ยนแปลงพิกัด รให้อยู่ในอวกาศ นอกจากพื้นฐานดั้งเดิมแล้วยังมีพื้นฐานอีกประการหนึ่ง

- เวกเตอร์ของฐานนี้สามารถแสดงได้โดยผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของฐานดั้งเดิมดังต่อไปนี้: เมทริกซ์ป เรียกว่าเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงพื้นฐาน .

บน

ในทางกลับกัน เวกเตอร์ของฐานดั้งเดิมจะแสดงผ่านเวกเตอร์ของเวกเตอร์ใหม่โดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้: จาก (4.6) เป็นไปตามนั้นคิวพี=อี , ที่ไหนอี คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ และเมทริกซ์ถาม เมทริกซ์และ

เมทริกซ์ผกผันซึ่งกันและกัน

ลองพิจารณาว่าพิกัดของเวกเตอร์เปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อพื้นฐานมีการเปลี่ยนแปลง xปล่อยให้เวกเตอร์ มีพิกัดและพิกัด

(4.7)

- เวกเตอร์ของฐานนี้สามารถแสดงได้โดยผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของฐานดั้งเดิมดังต่อไปนี้: , แล้วป พี ทีเมทริกซ์การแปลงพิกัด - มันถูกย้ายด้วยเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงพื้นฐาน เมทริกซ์ผกผัน(พี ที) -1

ให้นิพจน์สำหรับพิกัดใหม่ในแง่ของพิกัดเก่า เรียกว่าเมทริกซ์ผกผันกับทรานสโพสของเมทริกซ์บางตัวต่อต้านการไล่ระดับสี

กับเธอ

5. มอร์ฟิซึมของปริภูมิเชิงเส้น รมีกฎเกณฑ์ที่องค์ประกอบสององค์ประกอบใดๆ คำจำกัดความ 5.1ช่องว่างเชิงเส้นจริงสองช่อง อาร์"∈รเรียกว่า isomorphic ถ้าสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างองค์ประกอบของช่องว่างเหล่านี้ได้ดังนั้นถ้า เอ็กซ์, ย∊คำจำกัดความ 5.1คำตอบ x", ย"∈รดังนั้นองค์ประกอบ x+y∈คำจำกัดความ 5.1ตอบสนององค์ประกอบ α x"+ย" α x∈รดังนั้นองค์ประกอบ α เอ็กซ์"∈คำจำกัดความ 5.1.

และสำหรับของจริงใดๆ รมีกฎเกณฑ์ที่องค์ประกอบสององค์ประกอบใดๆ คำจำกัดความ 5.1, องค์ประกอบ

ทฤษฎีบท 5.2 รมีกฎเกณฑ์ที่องค์ประกอบสององค์ประกอบใดๆ คำจำกัดความ 5.1ถ้าพื้นที่ เป็นไอโซมอร์ฟิก แล้วพวกมันก็มีมิติเท่ากัน รการพิสูจน์. ปล่อยให้ช่องว่างเชิงเส้น เป็นไอโซมอร์ฟิก และปล่อยให้องค์ประกอบต่างๆ ช่องว่าง องค์ประกอบตอบสนอง space R" ตามลำดับ ให้เราถือว่าองค์ประกอบต่างๆ การพิสูจน์. ปล่อยให้ช่องว่างเชิงเส้น y ในอวกาศ R และผลรวมสอดคล้องกับผลรวม - แต่อย่างหลังหมายถึงการพึ่งพาเชิงเส้นขององค์ประกอบ - เพราะฉะนั้น เป็นอิสระเชิงเส้น จากการพึ่งพาเชิงเส้นขององค์ประกอบ เป็นไปตามการพึ่งพาเชิงเส้นขององค์ประกอบ - ดังนั้น จำนวนเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสูงสุดสำหรับช่องว่าง รมีกฎเกณฑ์ที่องค์ประกอบสององค์ประกอบใดๆ คำจำกัดความ 5.1สิ่งเดียวกันนั่นคือ ช่องว่างเหล่านี้มีมิติเดียวกัน

ทฤษฎีบท 5.3 nสองอันใดก็ได้ รมีกฎเกณฑ์ที่องค์ประกอบสององค์ประกอบใดๆ คำจำกัดความ 5.1-มิติปริภูมิเชิงเส้นจริง

เป็นไอโซมอร์ฟิก มีกฎเกณฑ์ที่องค์ประกอบสององค์ประกอบใดๆ การพิสูจน์. มาเลือกฐานกัน รมีกฎเกณฑ์ที่องค์ประกอบสององค์ประกอบใดๆ คำจำกัดความ 5.1สำหรับช่องว่าง คำจำกัดความ 5.1ตามลำดับ จากนั้นแต่ละองค์ประกอบของช่องว่าง R สามารถแสดงได้ด้วยการผสมผสานเชิงเส้นขององค์ประกอบพื้นฐาน: . องค์ประกอบนี้ในอวกาศ เอ็กซ์"เป็นไอโซมอร์ฟิก แล้วพวกมันก็มีมิติเท่ากัน คำจำกัดความ 5.1มาจับคู่องค์ประกอบที่มีพิกัดเดียวกัน:. ในทางกลับกันองค์ประกอบ xเป็นไอโซมอร์ฟิก แล้วพวกมันก็มีมิติเท่ากัน รตรงกับองค์ประกอบ xมีกฎเกณฑ์ที่องค์ประกอบสององค์ประกอบใดๆ ยเป็นไอโซมอร์ฟิก แล้วพวกมันก็มีมิติเท่ากัน รการพิสูจน์. ปล่อยให้ช่องว่างเชิงเส้น เอ็กซ์"มีกฎเกณฑ์ที่องค์ประกอบสององค์ประกอบใดๆ - โปรดทราบว่าหากองค์ประกอบเป็นไอโซมอร์ฟิก แล้วพวกมันก็มีมิติเท่ากัน คำจำกัดความ 5.1คุณ" x", ย"เป็นไอโซมอร์ฟิก แล้วพวกมันก็มีมิติเท่ากัน รดังนั้นองค์ประกอบ x+yเป็นไอโซมอร์ฟิก แล้วพวกมันก็มีมิติเท่ากัน คำจำกัดความ 5.1ดังนั้นตามทฤษฎีบท 2.2 องค์ประกอบ α xดังนั้นองค์ประกอบ α เอ็กซ์". ■