พื้นที่ของพาราโบลาลอยด์ คุณสมบัติของพาราโบลาแห่งการปฏิวัติ ตำแหน่งของพื้นผิวว่างในภาชนะ

ทรงรี- พื้นผิวใน พื้นที่สามมิติได้มาจากการเปลี่ยนรูปทรงกลมตามแกนตั้งฉากกันสามแกน สมการทางบัญญัติของทรงรีใน พิกัดคาร์ทีเซียนซึ่งตรงกับแกนการเปลี่ยนรูปของทรงรี:

ปริมาณ a, b, c เรียกว่ากึ่งแกนของทรงรี ทรงรียังเป็นวัตถุที่ถูกล้อมรอบด้วยพื้นผิวของทรงรี ทรงรีเป็นหนึ่งในรูปทรงที่เป็นไปได้ของพื้นผิวลำดับที่สอง

ในกรณีที่แกนคู่หนึ่งมีความยาวเท่ากัน สามารถหาทรงรีได้โดยการหมุนวงรีรอบแกนแกนใดแกนหนึ่ง ทรงรีดังกล่าวเรียกว่าทรงรีแห่งการปฏิวัติหรือทรงกลม

ทรงรีสะท้อนพื้นผิวโลกในอุดมคติได้แม่นยำกว่าทรงกลม

ปริมาตรของทรงรี:.

พื้นที่ผิวของทรงรีของการปฏิวัติ:

ไฮเปอร์โบลอยด์- นี่คือประเภทของพื้นผิวอันดับสองในปริภูมิสามมิติ ที่ระบุในพิกัดคาร์ทีเซียนโดยสมการ - (ไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียว) โดยที่ a และ b เป็นครึ่งแกนจริง และ c คือกึ่งแกนจินตภาพ ; หรือ - (ไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น) โดยที่ a และ b เป็นกึ่งแกนจินตภาพ และ c คือกึ่งแกนจริง

ถ้า a = b พื้นผิวดังกล่าวเรียกว่าไฮเปอร์โบลอยด์แห่งการปฏิวัติ ไฮเปอร์โบลอยด์แห่งการปฏิวัติแผ่นเดียวสามารถหาได้โดยการหมุนไฮเปอร์โบลารอบแกนจินตภาพของมัน และไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่นรอบแกนจริงของมัน ไฮเปอร์โบลอยด์แบบสองแผ่นของการปฏิวัติก็เป็นตำแหน่งของจุด P ด้วยเช่นกัน โมดูลัสของความแตกต่างในระยะทางจากจุด A และ B ที่กำหนดให้สองจุดนั้นคงที่: | AP - BP | = ค่าคงที่ ในกรณีนี้ A และ B เรียกว่าจุดโฟกัสของไฮเปอร์โบลอยด์

ไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวเป็นพื้นผิวที่มีการปกครองแบบทวีคูณ ถ้าเป็นไฮเปอร์โบลอยด์แห่งการปฏิวัติ ก็สามารถทำได้โดยการหมุนเส้นรอบเส้นอีกเส้นหนึ่งที่ตัดกัน

พาราโบลาลอยด์— ประเภทของพื้นผิวลำดับที่สอง พาราโบลาสามารถจำแนกได้ว่าเป็นพื้นผิวอันดับสองที่ไม่อยู่ตรงกลางแบบเปิด (นั่นคือ ไม่มีศูนย์กลางของสมมาตร)

สมการ Canonical ของพาราโบลอยด์ในพิกัดคาร์ทีเซียน:

· ถ้า a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน พาราโบลอยด์จะเรียกว่าทรงรี

· ถ้า a และ b เครื่องหมายที่แตกต่างกันแล้วพาราโบลอยด์เรียกว่าไฮเปอร์โบลิก

· หากค่าสัมประสิทธิ์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ พาราโบลาจะเรียกว่าทรงกระบอกพาราโบลา

ü เป็นพาราโบลอยด์ทรงรี โดยที่ a และ b มีเครื่องหมายเหมือนกัน พื้นผิวอธิบายได้ด้วยตระกูลพาราโบลาคู่ขนานที่มีกิ่งก้านชี้ขึ้น ส่วนยอดเป็นพาราโบลา โดยมีกิ่งก้านชี้ขึ้นด้านบนด้วย ถ้า a = b พาราโบลอยด์ทรงรีคือพื้นผิวของการหมุนที่เกิดจากการหมุนพาราโบลารอบแกนตั้งที่ผ่านจุดยอดของพาราโบลานี้

ü เป็นพาราโบลาไฮเปอร์โบลิก

คุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วของแทนเจนต์กับพาราโบลานั้นมีความสำคัญมาก เนื่องจากตามจากนั้นรังสีที่เล็ดลอดออกมาจากจุดโฟกัสของกระจกพาราโบลาเว้า กล่าวคือ กระจกที่ได้พื้นผิวจากการหมุนของพาราโบลารอบแกนของมัน สะท้อนด้วยลำแสงคู่ขนาน ได้แก่ แกนกระจกคู่ขนาน (รูป)

คุณสมบัติของกระจกพาราโบลานี้ใช้ในการสร้างไฟฉายในไฟหน้าของรถยนต์ทุกคันรวมถึงในกล้องโทรทรรศน์สะท้อนแสง ยิ่งไปกว่านั้น ในกรณีหลังนี้กลับกันคือรังสีที่มาจากเทห์ฟากฟ้า เกือบจะขนานกัน พวกมันจะรวมตัวกันใกล้กับจุดโฟกัสของกระจกกล้องโทรทรรศน์ และเนื่องจากรังสีที่มาจากจุดต่างๆ ของแสงสว่างนั้นไม่ขนานกันมาก พวกมันจึงรวมตัวกันใกล้จุดโฟกัสที่จุดต่างกัน ดังนั้น เมื่ออยู่ใกล้จุดโฟกัส ภาพของ ยิ่งได้รับแสงสว่างมากเท่าไร ความยาวโฟกัสพาราโบลา ภาพนี้ถูกมองผ่านกล้องจุลทรรศน์แล้ว (ช่องมองภาพด้วยกล้องโทรทรรศน์) พูดอย่างเคร่งครัด มีเพียงรังสีที่ขนานกับแกนของกระจกเท่านั้นที่ถูกรวบรวมที่จุดหนึ่ง (โฟกัส) ในขณะที่รังสีคู่ขนานที่ทำมุมกับแกนของกระจกจะถูกรวบรวมเพียงเกือบถึงจุดเดียว และยิ่งจุดนี้อยู่ไกลออกไป จากโฟกัสยิ่งภาพยิ่งเบลอ สถานการณ์นี้จำกัด "ขอบเขตการมองเห็นของกล้องโทรทรรศน์"

ปล่อยให้พื้นผิวด้านในเป็นพื้นผิวกระจก กระจกพาราโบลา นี้ส่องสว่างด้วยลำแสงรังสีขนานกับแกนของออปแอมป์ รังสีทั้งหมดขนานกับแกน op-amp หลังจากการสะท้อน จะตัดกันที่จุดหนึ่งบนแกน op-amp (โฟกัส F) การออกแบบกล้องโทรทรรศน์พาราโบลาขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้ รังสีจากดวงดาวอันไกลโพ้นมาหาเราในรูปของลำแสงคู่ขนาน การสร้างกล้องโทรทรรศน์พาราโบลาและวางแผ่นถ่ายภาพไว้ที่โฟกัส ทำให้เราได้รับโอกาสในการขยายสัญญาณแสงที่มาจากดาวฤกษ์

หลักการเดียวกันนี้รองรับการสร้างเสาอากาศพาราโบลาซึ่งช่วยให้สามารถขยายสัญญาณวิทยุได้ หากคุณวางแหล่งกำเนิดแสงไว้ที่โฟกัสของกระจกพาราโบลา จากนั้นหลังจากการสะท้อนจากพื้นผิวของกระจก รังสีที่มาจากแหล่งกำเนิดนี้จะไม่กระจัดกระจาย แต่จะถูกรวบรวมเป็นลำแสงแคบ ๆ ขนานกับแกนของกระจก . ข้อเท็จจริงนี้ใช้ในการผลิตสปอตไลท์และโคมไฟ, โปรเจ็คเตอร์ต่างๆ, กระจกที่ทำเป็นรูปพาราโบลาลอยด์

คุณสมบัติทางแสงที่กล่าวมาข้างต้นของกระจกพาราโบลานั้นใช้ในการสร้างกล้องโทรทรรศน์กระจก อุปกรณ์ทำความร้อนจากแสงอาทิตย์ต่างๆ และยังมีไฟฉายอีกด้วย ด้วยการวางแหล่งกำเนิดแสงอันทรงพลังไว้ที่จุดโฟกัสของกระจกพาราโบลา เราจะได้ลำแสงสะท้อนที่หนาแน่นขนานกับแกนของกระจก

เมื่อพาราโบลาหมุนรอบแกน จะได้รูปทรงที่เรียกว่าพาราโบลา หากพื้นผิวด้านในของพาราโบลอยด์ถูกทำให้เป็นกระจกและมีลำแสงพุ่งตรงไปที่พาราโบลอยด์ ขนานกับแกนความสมมาตรของพาราโบลา จากนั้นรังสีที่สะท้อนจะมาบรรจบกันที่จุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าโฟกัส ในเวลาเดียวกัน หากวางแหล่งกำเนิดแสงไว้ที่โฟกัส รังสีที่สะท้อนจากพื้นผิวกระจกของพาราโบลาจะขนานกันและไม่กระจัดกระจาย

คุณสมบัติแรกทำให้สามารถรับอุณหภูมิสูงที่จุดโฟกัสของพาราโบลาได้ ตามตำนาน Archimedes นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณใช้คุณสมบัตินี้ (287-212 ปีก่อนคริสตกาล) ในขณะที่ปกป้องซีราคิวส์ในการทำสงครามกับชาวโรมัน เขาได้สร้างระบบกระจกพาราโบลาที่ยอมให้รังสีที่สะท้อนจากดวงอาทิตย์มุ่งไปที่เรือของโรมัน เป็นผลให้อุณหภูมิที่จุดโฟกัสของกระจกพาราโบลานั้นสูงมากจนเกิดไฟไหม้บนเรือและพวกมันก็ไหม้หมด

คุณสมบัติที่สองใช้เช่นในการผลิตไฟสปอร์ตไลท์และไฟหน้ารถยนต์

ไฮเปอร์โบลา

4. คำจำกัดความของไฮเปอร์โบลาทำให้เรามีวิธีง่ายๆ ในการสร้างมันขึ้นมาโดยมีการเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่อง โดยนำเส้นไหมสองเส้น ซึ่งมีความยาวต่างกันคือ 2a แล้วติดปลายด้านหนึ่งของเส้นเหล่านี้ที่จุด F" และ F หากคุณถืออีกเส้นหนึ่ง ปลายทั้งสองข้างพร้อมกันด้วยมือและเคลื่อนไปตามเกลียวด้วยปลายดินสอ ระวังให้ด้ายกดลงบนกระดาษ ยืดและสัมผัสกัน เริ่มจากปลายที่วาดจนถึงจุดที่ปลายมาบรรจบกัน ปลายจะดึงออกมา ส่วนหนึ่งของกิ่งหนึ่งของไฮเปอร์โบลา (ยิ่งมีขนาดใหญ่ก็ยิ่งใช้เธรดนานขึ้น) (รูปที่)

การกลับบทบาทของจุด F" และ F เราได้รับส่วนหนึ่งของสาขาอื่น

ตัวอย่างเช่น,ในหัวข้อ “เส้นโค้งลำดับที่ 2” คุณสามารถพิจารณาปัญหาต่อไปนี้:

งาน.สถานีรถไฟ 2 แห่ง A และ B ตั้งอยู่ห่างจากกันประมาณ 9 กม. ไปยังจุด M ใดๆ สินค้าสามารถขนส่งจากสถานี A ไม่ว่าจะโดยการขนส่งทางถนนโดยตรง (เส้นทางแรก) หรือโดย ทางรถไฟไปยังสถานี B และต่อรถยนต์จากที่นั่น (เส้นทางที่สอง) อัตราภาษีทางรถไฟ (ราคาการขนส่ง 1 ตันต่อ 1 กม.) คือ m รูเบิล อัตราค่าขนส่งทางถนนคือ n รูเบิล n > m อัตราภาษีการขนถ่ายคือ k รูเบิล กำหนดพื้นที่ที่มีอิทธิพลต่อสถานีรถไฟ B นั่นคือพื้นที่ที่ถูกกว่าในการขนส่งสินค้าจากสถานี A โดยวิธีผสม - โดยทางรถไฟแล้วต่อด้วยถนนเช่น กำหนดตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดที่เส้นทางที่สองทำกำไรได้มากกว่าเส้นทางแรก

สารละลาย.ให้เราแสดงว่า AM = r, BM = r จากนั้นต้นทุนการจัดส่ง (การขนส่งและการขนถ่าย) ตามเส้นทาง AM เท่ากับ nr + k และต้นทุนการจัดส่งตามเส้นทาง ABM เท่ากับ ms + 2k + ง. จากนั้นจุด M ซึ่งทั้งสองค่าเท่ากันเป็นไปตามสมการ nr + k = ms+2k+nг หรือ

ms + k = nr - ng

r - r = = const > O,

ดังนั้น เส้นแบ่งขอบเขตจึงเป็นหนึ่งในกิ่งก้านของไฮเปอร์โบลา | ร - ร | = ค่าคงที่ สำหรับจุดทั้งหมดของระนาบที่อยู่ด้านเดียวกับจุด A ของไฮเปอร์โบลานี้ เส้นทางแรกจะมีข้อได้เปรียบมากกว่า และสำหรับจุดที่อยู่อีกด้านหนึ่ง - จุดที่สอง ดังนั้นกิ่งก้านของไฮเปอร์โบลาจึงสรุปพื้นที่ที่มีอิทธิพล ของสถานีบี

ความแตกต่างของปัญหานี้.

สถานีรถไฟสองแห่ง A และ B ตั้งอยู่ห่างจากกันหนึ่งกิโลเมตร ไปยังจุด M สามารถส่งสินค้าจากสถานี A โดยการขนส่งทางถนนโดยตรง หรือโดยทางรถไฟไปยังสถานี B และจากที่นั่นโดยรถยนต์ (รูปที่ 49) ในกรณีนี้ภาษีทางรถไฟ (ราคาการขนส่ง 1 ตันต่อ 1 กม.) คือ m รูเบิล ค่าขนถ่าย k รูเบิล (ต่อ 1 ตัน) และภาษีการขนส่งทางถนนคือ n รูเบิล (n > m) เรามากำหนดโซนที่เรียกว่าอิทธิพลของสถานีรถไฟ B นั่นคือโซนที่ถูกกว่าในการขนส่งสินค้าจาก A โดยใช้เส้นทางผสม: โดยทางรถไฟแล้วต่อด้วยถนน

สารละลาย.ค่าใช้จ่ายในการขนส่งสินค้า 1 ตันตามเส้นทาง AM คือ r n โดยที่ r = AM และตามเส้นทาง ABM จะเท่ากับ 1m + k + r n เราจำเป็นต้องแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า r n 1m+ k+ r n และพิจารณาว่าจุดบนเครื่องบิน (x, y) มีการกระจายอย่างไร ซึ่งจะมีราคาถูกกว่าในการขนส่งสินค้าไม่ว่าจะในเส้นทางแรกหรือเส้นทางที่สอง

ให้เราค้นหาสมการของเส้นที่สร้างขอบเขตระหว่างสองโซนนี้ กล่าวคือ ตำแหน่งของจุดที่ทั้งสองเส้นทาง "มีประโยชน์เท่าเทียมกัน":

r n = 1m+ k+ r n

จากเงื่อนไขนี้ เราจะได้ r - r = = const

ดังนั้นเส้นแบ่งจึงเป็นไฮเปอร์โบลา สำหรับจุดภายนอกทั้งหมดของไฮเปอร์โบลานี้ เส้นทางแรกจะมีข้อได้เปรียบมากกว่า และสำหรับจุดภายใน - เส้นทางที่สอง ดังนั้น ไฮเปอร์โบลาจะกำหนดขอบเขตอิทธิพลของสถานี B สาขาที่สองของไฮเปอร์โบลาจะกำหนดขอบเขตอิทธิพลของสถานี A (สินค้าจะถูกส่งจากสถานี B) ลองหาพารามิเตอร์ของไฮเปอร์โบลาของเรากัน แกนหลักของมันคือ 2a = และระยะห่างระหว่างจุดโฟกัส (ซึ่งเป็นสถานี A และ B) ในกรณีนี้คือ 2c = l

ดังนั้น เงื่อนไขสำหรับความเป็นไปได้ของปัญหานี้ ซึ่งกำหนดโดยความสัมพันธ์ a< с, будет

งานนี้เชื่อมโยงนามธรรม แนวคิดทางเรขาคณิตไฮเปอร์โบลากับปัญหาการขนส่งและเศรษฐกิจ

ตำแหน่งของจุดที่ต้องการคือเซตของจุดที่อยู่ในกิ่งด้านขวาของไฮเปอร์โบลาที่มีจุด B

6. ฉันรู้ " เครื่องจักรการเกษตร" สำคัญ ลักษณะการทำงานของรถแทรกเตอร์ที่ทำงานบนทางลาด แสดงให้เห็นความมั่นคงคือ มุมเอียงตามยาว และมุมม้วนด้านข้าง

เพื่อความง่ายเราจะพิจารณารถไถแบบมีล้อ พื้นผิวที่รถแทรกเตอร์ทำงาน (อย่างน้อยก็เป็นส่วนที่ค่อนข้างเล็ก) ถือได้ว่าเป็นระนาบ (ระนาบการเคลื่อนที่) แกนตามยาวของรถแทรกเตอร์เป็นการฉายเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเพลาหน้าและเพลาหลังเข้ากับระนาบการเคลื่อนที่ มุมม้วนด้านข้างเป็นมุมที่เกิดขึ้นกับระนาบแนวนอนของเส้นตรงซึ่งตั้งฉากกับแกนตามยาวและนอนอยู่ในระนาบการเคลื่อนที่

เมื่อศึกษาหัวข้อ “เส้นและระนาบในอวกาศ” ในวิชาคณิตศาสตร์ เราจะพิจารณาปัญหาต่อไปนี้:

ก) ค้นหามุมเอียงตามยาวของรถแทรกเตอร์ที่เคลื่อนที่ไปตามทางลาดหากทราบมุมเอียงของทางลาดและมุมเบี่ยงเบนของวิถีการเคลื่อนที่ของรถแทรกเตอร์จากทิศทางตามยาว

b) มุมการหมุนด้านข้างสูงสุดของรถแทรกเตอร์คือมุมเอียงสูงสุดที่อนุญาตสำหรับความลาดเอียงที่รถแทรกเตอร์สามารถยืนได้โดยไม่พลิกคว่ำ พารามิเตอร์ของแทรคเตอร์ใดที่เพียงพอที่จะรู้เพื่อกำหนดมุมการหมุนด้านข้างสูงสุด จะหาสิ่งนี้ได้อย่างไร
มุม?

7. การมีอยู่ของยีนที่เป็นเส้นตรงนั้นใช้ในอุปกรณ์ก่อสร้าง ผู้ก่อตั้งการประยุกต์ใช้ข้อเท็จจริงนี้คือวิศวกรชาวรัสเซียผู้โด่งดัง Vladimir Grigorievich Shukhov (1853-1939) V. G. Shukhov ดำเนินการออกแบบเสากระโดงหอคอยและส่วนรองรับที่ประกอบด้วยคานโลหะที่ตั้งอยู่ตามแนวเส้นตรง ไฮเปอร์โบลอยด์แห่งการปฏิวัติแผ่นเดียว มีความแข็งแรงสูงโครงสร้างดังกล่าวเมื่อรวมกับความเบา ต้นทุนการผลิตที่ต่ำ และความสง่างาม ทำให้มั่นใจได้ถึงการใช้งานอย่างแพร่หลายในการก่อสร้างสมัยใหม่

8. กฎการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งอิสระ

สำหรับร่างกายที่เป็นอิสระ การเคลื่อนไหวทุกประเภทเป็นไปได้เท่าเทียมกัน แต่ไม่ได้หมายความว่าการเคลื่อนไหวของร่างกายที่เป็นอิสระนั้นไม่เป็นระเบียบและไม่เป็นไปตามกฎหมายใดๆ ในทางตรงกันข้าม การเคลื่อนที่แบบแปลนของวัตถุแข็งเกร็งโดยไม่คำนึงถึงรูปร่างภายนอกนั้น ถูกจำกัดโดยกฎจุดศูนย์กลางมวล และลดลงเหลือการเคลื่อนที่เพียงจุดเดียว และการเคลื่อนที่แบบหมุนนั้นเกิดขึ้นโดยสิ่งที่เรียกว่าแกนหลัก ความเฉื่อยหรือ ทรงรีของความเฉื่อย. ดังนั้น แท่งไม้ที่ถูกโยนลงไปในที่ว่าง หรือเมล็ดข้าวที่ลอยออกมาจากเครื่องคัดแยก ฯลฯ จะเคลื่อนที่ในการแปลเป็นจุดหนึ่ง (ศูนย์กลางมวล) และในขณะเดียวกันก็หมุนรอบศูนย์กลางมวล โดยทั่วไป ในระหว่างการเคลื่อนที่แบบแปลน วัตถุแข็งใดๆ โดยไม่คำนึงถึงรูปร่างหรือเครื่องจักรที่ซับซ้อนสามารถถูกแทนที่ด้วยจุดเดียว (ศูนย์กลางของมวล) และในระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนด้วยทรงรีของความเฉื่อย ซึ่งมีเวกเตอร์รัศมีเท่ากับ -- โดยที่ / คือโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุนี้สัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางของทรงรี

หากโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายเปลี่ยนแปลงด้วยเหตุผลบางประการระหว่างการหมุน ความเร็วของการหมุนก็จะเปลี่ยนไปตามนั้น ตัวอย่างเช่น ในระหว่างการกระโดดเหนือศีรษะ นักกายกรรมจะบีบอัดตัวเป็นลูกบอล ทำให้โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายลดลงและความเร็วในการหมุนเพิ่มขึ้น ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับความสำเร็จของการกระโดด ในทำนองเดียวกัน หลังจากที่ลื่นไถล ผู้คนจะเหยียดแขนออกไปด้านข้าง ซึ่งทำให้โมเมนต์ความเฉื่อยเพิ่มขึ้นและความเร็วในการหมุนลดลง ในทำนองเดียวกัน โมเมนต์ความเฉื่อยของคราดเก็บเกี่ยวรอบแกนตั้งจะแปรผันในระหว่างการหมุนรอบแกนนอน

รอบแกนของมันคุณจะได้วงรีธรรมดา มันเป็นวัตถุที่มีมิติเท่ากันกลวงซึ่งมีส่วนต่างๆ เป็นรูปวงรีและพาราโบลา พาราโบลอยด์ทรงรีได้มาจาก:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
ส่วนหลักทั้งหมดของพาราโบลาคือพาราโบลา เมื่อตัดระนาบ XOZ และ YOZ จะได้เฉพาะพาราโบลาเท่านั้น หากคุณวาดส่วนตั้งฉากที่สัมพันธ์กับระนาบ Xoy คุณจะได้วงรี นอกจากนี้ ส่วนต่างๆ ที่เป็นพาราโบลายังระบุด้วยสมการในรูปแบบ:
x^2/เอ^2=2z; y^2/a^2=2z
ส่วนของวงรีถูกกำหนดโดยสมการอื่น:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2ชม
พาราโบลอยด์ทรงรีที่ a=b จะกลายเป็นพาราโบลอยด์แห่งการปฏิวัติ การสร้างพาราโบลานั้นมีคุณสมบัติหลายประการที่ต้องนำมาพิจารณา เริ่มต้นการดำเนินการโดยการเตรียมพื้นฐาน - การวาดกราฟของฟังก์ชัน

ในการเริ่มสร้างพาราโบลา คุณต้องสร้างพาราโบลาก่อน วาดพาราโบลาในระนาบ Oxz ดังแสดงในรูป ให้พาราโบลาลอยด์ในอนาคตมีความสูงระดับหนึ่ง โดยลากเส้นตรงให้แตะจุดบนของพาราโบลาและขนานกับแกน Ox จากนั้นวาดพาราโบลาในระนาบ Yoz แล้วลากเส้นตรง คุณจะได้ระนาบพาราโบลาสองลำตั้งฉากกัน หลังจากนี้ ในระนาบ Xoy ให้สร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งจะช่วยวาดวงรี เขียนวงรีลงในสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เพื่อให้สัมผัสกันทุกด้าน หลังจากการแปลงเหล่านี้ ให้ลบสี่เหลี่ยมด้านขนาน และสิ่งที่เหลืออยู่คือภาพสามมิติของพาราโบลอยด์

นอกจากนี้ยังมีไฮเปอร์โบลิกพาราโบลาซึ่งมีรูปร่างเว้ามากกว่าทรงรี ส่วนของมันมีพาราโบลาและในบางกรณีก็มีไฮเปอร์โบลาด้วย ส่วนหลักสำหรับ Oxz และ Oyz พาราโบลอยด์ทรงรี, เป็นพาราโบลา ได้มาจากสมการของรูปแบบ:
x^2/เอ^2=2z; ย^2/เอ^2=-2z
หากคุณวาดส่วนที่สัมพันธ์กับแกนออกซี คุณจะได้ไฮเปอร์โบลา เมื่อสร้างไฮเปอร์โบลิกพาราโบลา ให้ใช้สมการต่อไปนี้:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - สมการของไฮเปอร์โบลิกพาราโบลา

เริ่มแรกสร้างพาราโบลาคงที่ในระนาบ Oxz วาดพาราโบลาที่กำลังเคลื่อนที่ในระนาบออยซ์ หลังจากนั้นให้ตั้งค่าความสูงของพาราโบลา h เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ทำเครื่องหมายจุดสองจุดบนพาราโบลาคงที่ ซึ่งจะเป็นจุดยอดของพาราโบลาที่ขยับได้อีก 2 จุด จากนั้นวาดระบบพิกัด O"x"y" อีกระบบหนึ่งเพื่อวาดเส้นไฮเปอร์โบลา จุดศูนย์กลางของระบบพิกัดนี้ควรตรงกับความสูงของพาราโบลา หลังจากก่อสร้างทั้งหมดแล้ว ให้วาดพาราโบลาที่เคลื่อนที่ได้สองตัวดังกล่าวเพื่อให้พาราโบลาสัมผัสกัน จุดสูงสุดอติพจน์ ผลลัพธ์ที่ได้คือพาราโบลอยด์ไฮเปอร์โบลิก

สูตรสามารถกำหนดความสูงของพาราโบลาได้

ปริมาตรของพาราโบลาที่สัมผัสด้านล่างเท่ากับครึ่งหนึ่งของปริมาตรของทรงกระบอกที่มีรัศมีฐาน R และความสูง H โดยปริมาตรเดียวกันจะใช้พื้นที่ W’ ใต้พาราโบลอยด์ (รูปที่ 4.5a)

รูปที่.4.5. อัตราส่วนของปริมาตรในพาราโบลาที่แตะด้านล่าง

Wп – ปริมาตรของพาราโบลอยด์, W’ – ปริมาตรใต้พาราโบลอยด์, Hп – ความสูงของพาราโบลอยด์

รูปที่.4.6. อัตราส่วนของปริมาตรในพาราโบลาที่สัมผัสขอบของทรงกระบอก Hp คือความสูงของพาราโบลอยด์, R คือรัศมีของภาชนะ, Wl คือปริมาตรใต้ความสูงของของเหลวในภาชนะก่อนเริ่มการหมุน, z 0 คือตำแหน่งของจุดยอดของพาราโบลาลอยด์ H คือความสูงของของเหลวในภาชนะก่อนเริ่มการหมุน

ในรูปที่ 4.6a ระดับของเหลวในกระบอกสูบก่อนเริ่มการหมุนคือ H ปริมาตรของของเหลว Wl ก่อนและหลังการหมุนจะคงอยู่ และเท่ากับผลรวมของปริมาตร Wt ของกระบอกสูบที่มีความสูง z 0 บวก ปริมาตรของของเหลวใต้พาราโบลา ซึ่งเท่ากับปริมาตรของพาราโบลา Wp ที่มีความสูง Hn

ถ้าพาราโบลาสัมผัสขอบด้านบนของทรงกระบอก ความสูงของของเหลวในทรงกระบอกก่อนเริ่มการหมุน H จะแบ่งความสูงของพาราโบลา Hn ออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน โดยจุดต่ำสุด (จุดยอด) ของพาราโบลาจะอยู่สัมพันธ์กัน ไปที่ฐาน (รูปที่ 4.6c)

นอกจากนี้ความสูง H ยังแบ่งพาราโบลาออกเป็นสองส่วน (รูปที่ 4.6c) ซึ่งมีปริมาตรเท่ากับ W 2 = W 1 จากความเท่าเทียมกันของปริมาตรของวงแหวนพาราโบลา W 2 และถ้วยพาราโบลา W 1 รูปที่ 4.6c

เมื่อพื้นผิวของพาราโบลาตัดกับส่วนล่างของภาชนะ (รูปที่ 4.7) W 1 =W 2 =วงแหวน 0.5W

รูปที่ 4.7 ปริมาตรและความสูงเมื่อพื้นผิวของพาราโบลาตัดกับส่วนล่างของทรงกระบอก

ความสูงในรูปที่ 4.6

ปริมาณในรูปที่ 4.6

ตำแหน่งของพื้นผิวว่างในภาชนะ

รูปที่.4.8. สามกรณีของการพักสัมพัทธ์ระหว่างการหมุน

1. ถ้าภาชนะเปิดอยู่ Po = Ratm (รูปที่ 4.8a) ในระหว่างการหมุน ด้านบนของพาราโบลาลอยด์จะต่ำกว่าระดับเริ่มต้น-H และขอบจะลอยขึ้นเหนือระดับเริ่มต้น ซึ่งเป็นตำแหน่งของด้านบน

2. ถ้าภาชนะเต็มไปหมด มีฝาปิดอยู่ ไม่มีพื้นผิวว่าง อยู่ภายใต้แรงดันส่วนเกิน Po>Patm ก่อนที่จะหมุนพื้นผิว (PP) โดยที่ Po=Patm จะอยู่เหนือระดับฝาในระดับความสูง ชั่วโมง 0i =M/ ρg, H 1 =H+ M/ρg

3. ถ้าภาชนะเต็มถัง จะอยู่ภายใต้สุญญากาศ Po<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. การหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมสูง (รูปที่ 4.9)

เมื่อภาชนะที่บรรจุของเหลวหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมสูง แรงโน้มถ่วงสามารถถูกละเลยเมื่อเทียบกับแรงเหวี่ยงหนีศูนย์ กฎการเปลี่ยนแปลงความดันในของเหลวสามารถหาได้จากสูตร

(4.22),

พื้นผิวของระดับจะก่อตัวเป็นทรงกระบอกโดยมีแกนร่วมอยู่รอบๆ ซึ่งภาชนะจะหมุน หากถังบรรจุไม่เต็มก่อนเริ่มการหมุน แรงดันจะเกิดขึ้น พี 0 จะกระทำไปตามรัศมี ร = ร 0 แทนที่จะเป็นนิพจน์ (4.22) เราจะได้

โดยที่เราใช้ g(z 0 - z) = 0

ข้าว. 4.9 ตำแหน่งของพื้นผิวการปฏิวัติในกรณีที่ไม่มีแรงโน้มถ่วง

รัศมีของพื้นผิวด้านในสำหรับค่า H และ h ที่ทราบ

พาราโบลอยด์รูปไข่

พาราโบลอยด์ทรงรีที่มี a=b=1

พาราโบลอยด์รูปไข่- พื้นผิวที่อธิบายโดยฟังก์ชันของแบบฟอร์ม

ที่ไหน กและ ขสัญญาณหนึ่ง พื้นผิวอธิบายได้ด้วยตระกูลพาราโบลาคู่ขนานที่มีกิ่งก้านชี้ขึ้น ส่วนยอดเป็นพาราโบลา โดยมีกิ่งก้านชี้ขึ้นด้านบนด้วย

ถ้า ก = ขพาราโบลาทรงรีคือพื้นผิวของการหมุนที่เกิดจากการหมุนของพาราโบลารอบแกนตั้งที่ผ่านจุดยอดของพาราโบลาที่กำหนด

พาราโบลาไฮเปอร์โบลิก

ไฮเพอร์โบลิกพาราโบลอยด์ที่มี a=b=1

พาราโบลาไฮเปอร์โบลิก(เรียกว่า “ไฮปาร์” ในการก่อสร้าง) เป็นพื้นผิวรูปอานที่อธิบายไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมโดยสมการของรูปแบบ

จากการแสดงครั้งที่สอง เห็นได้ชัดว่าพาราโบลอยด์ไฮเปอร์โบลิกเป็นพื้นผิวที่มีกฎเกณฑ์

พื้นผิวสามารถเกิดขึ้นได้จากการเคลื่อนที่ของพาราโบลา โดยมีกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลง และกิ่งก้านของพาราโบลานั้นชี้ขึ้นด้านบน โดยมีเงื่อนไขว่าพาราโบลาอันแรกสัมผัสกับจุดยอดที่สอง

พาราโบลาลอยด์ในโลก

ในด้านเทคโนโลยี

ในงานศิลปะ

ในวรรณคดี

อุปกรณ์ที่อธิบายไว้ในไฮเปอร์โบลอยด์ของวิศวกรการินควรจะเป็น พาราโบลา.

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010.

• อีลอน เมนาเคม
• เอลทัง

ดูว่า "พาราโบลอยด์รูปไข่" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

พาราโบลอยด์ทรงรี พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

พาราโบลอยด์ทรงรี- พาราโบลอยด์หนึ่งในสองประเภท * * * ทรงรีพาราโบลอยด์ ทรงรีพาราโบลอยด์ หนึ่งในสองประเภทของพาราโบลอยด์ (ดูพาราโบลอยด์) ... พจนานุกรมสารานุกรม

พาราโบลอยด์รูปไข่- พาราโบลอยด์หนึ่งในสองประเภท (ดูพาราโบลอยด์) ... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

พาราโบลอยด์ทรงรี- พื้นผิวเปิดของลำดับที่สอง ขนิษฐ์. สมการของสนามอิเล็กตรอนมีรูปแบบคือสนามไฟฟ้าอยู่ที่ด้านหนึ่งของระนาบออกซี (ดูรูป) ส่วนของพื้นผิวไฟฟ้าโดยระนาบที่ขนานกับระนาบ Oxy นั้นเป็นวงรีที่มีความเยื้องศูนย์กลางเท่ากัน (ถ้า p ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

พาราโบลอยด์ทรงรี- พาราโบลาลอยด์หนึ่งในสองประเภท... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

พาราโบลาลอยด์- (กรีก จากพาราโบล พาราโบลา และความคล้ายคลึงกันของอีโดส) วัตถุที่เกิดจากพาราโบลาที่กำลังหมุนอยู่ พจนานุกรมคำต่างประเทศที่รวมอยู่ในภาษารัสเซีย Chudinov A.N., 1910. PARABOLOID เป็นตัวเรขาคณิตที่เกิดจากการหมุนของพาราโบลา ดังนั้น... ... พจนานุกรมคำต่างประเทศในภาษารัสเซีย

พาราโบลาลอยด์- พาราโบลอยด์ พาราโบลอยด์ สามี (ดูพาราโบลา) (เสื่อ) พื้นผิวลำดับที่สองที่ไม่มีศูนย์กลาง พาราโบลาแห่งการปฏิวัติ (เกิดจากการหมุนพาราโบลารอบแกนของมัน) พาราโบลอยด์รูปไข่ พาราโบลาไฮเปอร์โบลิก พจนานุกรมอธิบายของ Ushakov... พจนานุกรมอธิบายของ Ushakov

พาราโบลาลอยด์- PARABOLOID ซึ่งเป็นพื้นผิวที่ได้จากการเคลื่อนที่ของพาราโบลา ซึ่งด้านบนเลื่อนไปตามอีกพาราโบลาที่อยู่นิ่ง (โดยมีแกนสมมาตรขนานกับแกนของพาราโบลาที่กำลังเคลื่อนที่) ในขณะที่ระนาบของมันซึ่งเคลื่อนที่ขนานกับตัวมันเองยังคงอยู่ .. ... สารานุกรมสมัยใหม่

พาราโบลาลอยด์- - ประเภทพื้นผิวลำดับที่สอง พาราโบลาสามารถจำแนกได้ว่าเป็นพื้นผิวอันดับสองที่ไม่อยู่ตรงกลางแบบเปิด (นั่นคือ ไม่มีศูนย์กลางของสมมาตร) สมการ Canonical ของพาราโบลอยด์ในพิกัดคาร์ทีเซียน: หากมี... ... Wikipedia

พาราโบลาลอยด์- พื้นผิวเปิดที่ไม่ใช่ส่วนกลางของลำดับที่สอง ขนิษฐ์. สมการพาราโบลา: พาราโบลอยด์ทรงรี (สำหรับ p = q เรียกว่าพาราโบลอยด์การหมุน) และพาราโบลอยด์ไฮเปอร์โบลิก อ.บี. อีวานอฟ ... สารานุกรมคณิตศาสตร์