การหาโมเมนต์ความเฉื่อยระหว่างการแปลแกนแบบขนาน การเปลี่ยนแปลงโมเมนต์ความเฉื่อยระหว่างการแปลแกนแบบขนาน แนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับแรงบิด การบิดของลำแสงกลม

ให้z กับ, ใช่– แกนกลางของหน้าตัด – โมเมนต์ความเฉื่อยของหน้าตัดที่สัมพันธ์กับแกนเหล่านี้ ให้เรากำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับแกนใหม่ ซี 1, เวลา 1ขนานกับแกนกลางและแทนที่ด้วยระยะทาง กและ ง- อนุญาต ดีเอ– พื้นที่เบื้องต้นใกล้กับจุดหนึ่ง มพร้อมพิกัด ยและ zในระบบพิกัดกลาง จากรูป 4.3 ชัดเจนว่าพิกัดของจุด C เข้า ระบบใหม่พิกัดจะเท่ากัน, .

ให้เรากำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับแกน y 1 :

รูปที่.4.3

ซี ซี

ใช่ซี

ซี 1

คุณ 1

ง

ก

ค

เห็นได้ชัดว่าอินทิกรัลตัวแรกให้อันที่สอง - เนื่องจากระบบพิกัดดั้งเดิมเป็นศูนย์กลางและอันที่สาม - พื้นที่หน้าตัด ก.

ดังนั้น,

เช่นเดียวกัน

การเปลี่ยนโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนเมื่อหมุนแกน

เรามาค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนกัน ย, zและโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกน คุณ 1, ซี 1, หมุนเป็นมุม ก- อนุญาต เจ> เจซีและมุมบวก กวัดจากแกน ยทวนเข็มนาฬิกา ให้พิกัดของจุด มก่อนเลี้ยว - ย, zหลังจากเลี้ยว – คุณ 1, ซี 1(รูปที่ 4.4)

จากรูปมีดังนี้

ตอนนี้ เรามาพิจารณาโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนกัน คุณ 1และ ซี 1:

ข้าว. 4.4

ม

z

ซี 1

คุณ 1

ย

ก

ย

คุณ 1

ซี 1

z

. (4.13)

เช่นเดียวกัน:

เมื่อบวกสมการ (4.13) และ (4.14) ทีละเทอม เราจะได้:

เหล่านั้น. ผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยที่สัมพันธ์กับแกนตั้งฉากซึ่งกันและกันจะคงที่และไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อระบบพิกัดถูกหมุน

แกนหลักของความเฉื่อยและโมเมนต์ความเฉื่อยหลัก

ด้วยการเปลี่ยนแปลงมุมการหมุนของแกน กแต่ละปริมาณเปลี่ยนแปลง แต่ผลรวมยังคงไม่เปลี่ยนแปลง จึงมีความหมายเช่นนั้น

ก = ก 0 ซึ่งโมเมนต์ความเฉื่อยถึงค่าสุดขั้ว เช่น หนึ่งในนั้นถึงค่าสูงสุด และอีกอันถึงค่าต่ำสุด เพื่อหาค่า ก 0 หาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของ (หรือ) แล้วจัดให้เป็นศูนย์:

ให้เราแสดงว่าเมื่อเทียบกับแกนผลลัพธ์ โมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงเท่ากับศูนย์ ในการทำเช่นนี้ เราถือเอาด้านขวาของสมการ (4.15) ให้เป็นศูนย์: จากที่ไหน เช่น ได้สูตรเดียวกันสำหรับ ก 0 .

แกนที่โมเมนต์แรงเฉื่อยของแรงเหวี่ยงเป็นศูนย์และโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนใช้ค่าที่รุนแรงเรียกว่าแกนหลัก ถ้าแกนเหล่านี้เป็นศูนย์กลางด้วย ก็จะเรียกว่าแกนกลางหลัก โมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนรอบแกนหลักเรียกว่าโมเมนต์ความเฉื่อยหลัก

ให้เราแสดงแกนหลักด้วย ใช่ 0และ ซี 0- แล้ว

หากส่วนใดส่วนหนึ่งมีแกนสมมาตร แกนนี้จะเป็นหนึ่งในแกนกลางหลักของความเฉื่อยของส่วนนั้นเสมอ

ให้ Ix, Iy, Ixy เป็นที่รู้จักด้วย ลองวาดแกนใหม่ x 1, y 1 ขนานกับแกน xy กัน

และลองหาโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนเดียวกันสัมพันธ์กับแกนใหม่กัน

X 1 = x-ก; y 1 = y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3)dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=

Ix – 2b Sx + b 2 A.

หากแกน x ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วนนั้น โมเมนต์คงที่ Sx =0

ฉัน x 1 = Ix + ข 2 A

คล้ายกับแกน y 1 ใหม่ เราจะมีสูตร I y 1 = Iy + a 2 A

โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงเกี่ยวกับแกนใหม่

Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA

ถ้าแกน xy ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วน Ix 1 y 1 = Ixy + abA

หากส่วนนั้นสมมาตร แกนกลางอย่างน้อยหนึ่งแกนจะตรงกับแกนสมมาตร ดังนั้น Ixy =0 ซึ่งหมายถึง Ix 1 y 1 = abA

การเปลี่ยนแปลงโมเมนต์ความเฉื่อยเมื่อหมุนแกน

ให้ทราบโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนรอบแกน xy

เราได้ระบบพิกัด xy ใหม่โดยการหมุนระบบเก่าเป็นมุม (a > 0) หากการหมุนทวนเข็มนาฬิกา

เรามาสร้างความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเก่าและใหม่ของไซต์กันดีกว่า

y 1 =ab = ac – bc = ab-de

จากสามเหลี่ยม acd:

ac/ad =cos α ac= โฆษณา*cos α

จากรูปสามเหลี่ยม oed:

de/od =sin α dc = od*sin α

ลองแทนค่าเหล่านี้เป็นนิพจน์สำหรับ y

y 1 = โฆษณา cos α - od sin α = y cos α - x sin α

เช่นเดียวกัน

x 1 = x cos α + y บาป α

ลองคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนสัมพันธ์กับแกนใหม่ x 1

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ y 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α

ในทำนองเดียวกัน Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α

เพิ่มด้านซ้ายและด้านขวาของนิพจน์ผลลัพธ์:

Ix 1 + Iy 1 = Ix (บาป 2 α + cos 2 α) + Iy (บาป 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α)

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

ผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนระหว่างการหมุนไม่เปลี่ยนแปลง

ให้เราพิจารณาโมเมนต์แรงเฉื่อยที่สัมพันธ์กับแกนใหม่ ลองจินตนาการถึงค่า x 1 ,y 1 .

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α

ช่วงเวลาหลักและแกนหลักของความเฉื่อย

ช่วงเวลาหลักของความเฉื่อยเรียกว่าค่านิยมสุดโต่ง

แกนที่ได้รับค่าสุดขีดเรียกว่าแกนหลักของความเฉื่อย พวกมันตั้งฉากกันเสมอ

โมเมนต์แรงเฉื่อยที่สัมพันธ์กับแกนหลักจะเท่ากับ 0 เสมอ เนื่องจากเป็นที่ทราบกันว่ามีแกนสมมาตรในส่วนนี้ โมเมนต์แรงเหวี่ยงจึงเท่ากับ 0 ซึ่งหมายความว่าแกนสมมาตรเป็นแกนหลัก หากเราหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของนิพจน์ I x 1 แล้วจัดให้เท่ากับ "0" เราจะได้ค่าของมุม = สอดคล้องกับตำแหน่งของแกนหลักของความเฉื่อย

แทน2 α 0 = -

หาก α 0 >0 ดังนั้นสำหรับตำแหน่งหนึ่งของแกนหลัก แกนเก่าจะต้องหมุนทวนเข็มนาฬิกา แกนหลักอันหนึ่งคือค่าสูงสุด และอีกแกนคือค่าต่ำสุด ในกรณีนี้ แกนสูงสุดจะสัมพันธ์กับมุมที่เล็กกว่ากับแกนสุ่มนั้นเสมอ ซึ่งสัมพันธ์กับโมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนที่ใหญ่กว่า ค่าสูงสุดของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนถูกกำหนดโดยสูตร:

บทที่ 2 แนวคิดพื้นฐานของความแข็งแรงของวัสดุ วัตถุประสงค์และวิธีการ

เมื่อออกแบบโครงสร้างต่างๆ จำเป็นต้องแก้ไขปัญหาต่างๆ ด้านความแข็งแกร่ง ความแข็งแกร่ง และความมั่นคง

ความแข็งแกร่ง– ความสามารถของร่างกายในการรับภาระต่าง ๆ โดยไม่ถูกทำลาย

ความแข็งแกร่ง– ความสามารถของโครงสร้างในการดูดซับน้ำหนักโดยไม่มีการเสียรูปมาก (การกระจัด) ค่าความผิดปกติที่อนุญาตเบื้องต้นได้รับการควบคุม รหัสอาคารและกฎเกณฑ์ (SNIP)

ความยั่งยืน

พิจารณาแรงอัดของแท่งที่มีความยืดหยุ่น

หากภาระเพิ่มขึ้นทีละน้อย ก้านจะสั้นลงก่อน เมื่อแรง F ถึงค่าวิกฤติ แกนจะงอ - การทำให้สั้นลงโดยสิ้นเชิง

ในกรณีนี้แกนไม่ยุบ แต่เปลี่ยนรูปร่างอย่างรวดเร็ว ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการสูญเสียความมั่นคงและนำไปสู่การทำลายล้าง

โซโปรมาต– สิ่งเหล่านี้เป็นพื้นฐานของศาสตร์แห่งความแข็งแกร่ง ความแข็งแกร่ง และความมั่นคงของโครงสร้างทางวิศวกรรม วัสดุที่มีความแข็งแรงใช้วิธีการของกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ฟิสิกส์ และคณิตศาสตร์ ซึ่งแตกต่างจากกลศาสตร์ทางทฤษฎี ความต้านทานความแข็งแรงคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงขนาดและรูปร่างของร่างกายภายใต้อิทธิพลของน้ำหนักและอุณหภูมิ

รูปที่ 7.

,

,

,

ที่ไหน ฉัน x ฉัน y – โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนสัมพันธ์กับแกนอ้างอิง

ฉัน xy– โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงสัมพันธ์กับแกนอ้างอิง

ฉัน xc ฉัน yc– โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนสัมพันธ์กับแกนกลาง

ฉัน xcyc– โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงสัมพันธ์กับแกนกลาง

ก, ข– ระยะห่างระหว่างแกน

การกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนเมื่อหมุนแกน

ทราบลักษณะทางเรขาคณิตทั้งหมดของส่วนที่สัมพันธ์กับแกนกลาง x ซี,ที่ซี(รูปที่ 8) ให้เราพิจารณาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน x1,เวลา 1หมุนสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางด้วยมุมที่กำหนด ก.

รูปที่ 8

,

ที่ไหน ฉัน x 1, ฉัน 1 – โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนรอบแกน x1,เวลา 1 ;

ฉัน x 1 ปี 1– โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงสัมพันธ์กับแกน x1,เวลา 1 .

การกำหนดตำแหน่งของแกนกลางหลักของความเฉื่อย

ตำแหน่งของแกนกลางหลักของความเฉื่อยของส่วนถูกกำหนดโดยสูตร:

,

ที่ไหน 0 – มุมระหว่างแกนกลางและแกนหลักของความเฉื่อย

การกำหนดช่วงเวลาหลักของความเฉื่อย

โมเมนต์หลักของความเฉื่อยของส่วนถูกกำหนดโดยสูตร:

ลำดับการคำนวณส่วนที่ซับซ้อน

1) แบ่งส่วนที่ซับซ้อนออกเป็นส่วนที่เรียบง่ายกว่า รูปทรงเรขาคณิต [ส 1, เอส 2,…;x1, คุณ 1; x2, คุณ 2, …]

2) เลือกแกนที่ต้องการ เอ็กซ์อย .

3) กำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของส่วน [x ค , y ค].

4) วาดแกนกลาง X ค OY ค.

5) คำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย ทรงเครื่องค, ฉันค โดยใช้ทฤษฎีบทการแปลแกนแบบขนาน

6) คำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยง Ix c y c.

7) กำหนดตำแหน่งของแกนหลักของความเฉื่อย tg2a 0.

8) คำนวณช่วงเวลาหลักของความเฉื่อย ไอแมกซ์, ไอมิน.

ตัวอย่างที่ 2

สำหรับรูปที่แสดงในรูปที่ 13 ให้กำหนดประเด็นหลัก

ความเฉื่อยและตำแหน่งของแกนหลักของความเฉื่อย

1) เราแบ่งส่วนที่ซับซ้อนออกเป็นรูปทรงเรขาคณิตง่ายๆ

ส 1 = 2,000 มม. 2 ส 2 = 1200 มม. 2, ส= 3200 มม.2.

2) เลือกแกน XOY ที่ต้องการ

3) กำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของส่วน

x ค = 25 มม. ใช่ซี=35 มม.

4) การวาดแกนกลาง X ค OY ค

5) คำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย Ix c , Iy c

6) คำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยง Ix c y c

7) กำหนดตำแหน่งของแกนหลักของความเฉื่อย

ถ้า ฉัน x > ฉัน y และ 0 >0 แล้วมุม 0 ชดเชยจากแกน เอ็กซ์ ส ทวนเข็มนาฬิกา

8) คำนวณช่วงเวลาหลักของความเฉื่อย ไอแมกซ์, ไอมิน

ตัวอย่างที่ 3

สำหรับรูปที่แสดงในรูป 8 กำหนดตำแหน่งของแกนหลัก

รูปที่ 8.

ความเฉื่อยและช่วงเวลาหลักของความเฉื่อย

1) เราเขียนข้อมูลเริ่มต้นพื้นฐานสำหรับแต่ละตัวเลข

ช่อง

ส 1 = 10.9 ซม. 2

ฉัน x = 20.4 ซม. 4

ฉัน = 174 ซม.4

ใช่ 0= 1.44 ซม

ชม.= 10 ซม

มุมที่ไม่เท่ากัน

ส 3 = 6.36 ซม.2

ฉัน x = 41.6 ซม. 4

ฉัน = 4.12.7 ซม

ฉัน มิน = 7.58 ซม. 4

tga= 0,387

x 0= 1.13 ซม

ใช่ 0= 2.6 ซม

สี่เหลี่ยมผืนผ้า

ส 2 = 40 ซม.2

ซม. 4

ซม. 4

2) วาดส่วนเพื่อปรับขนาด

3) วาดแกนพิกัดตามอำเภอใจ

4) กำหนดพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของส่วน

5) วาดแกนกลาง

6) กำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนสัมพันธ์กับแกนกลาง

7) หาโมเมนต์แรงเฉื่อยที่สัมพันธ์กับแกนกลาง

โมเมนต์แรงเฉื่อยของแรงเหวี่ยงสำหรับเหล็กแผ่นรีดมุมที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์ถ่วงถูกกำหนดโดยสูตรใดสูตรหนึ่งต่อไปนี้:

-4

สัญญาณของโมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงสำหรับเหล็กแผ่นรีดเชิงมุมถูกกำหนดตามรูปที่ 1 9 ดังนั้น ฉัน xy3= -13.17 ซม. 4.

8) กำหนดตำแหน่งของแกนหลักของความเฉื่อย

0 = 21.84°

9) กำหนดช่วงเวลาหลักของความเฉื่อย

ภารกิจที่ 4

สำหรับโครงร่างที่กำหนด (ตารางที่ 6) จำเป็น:

1) วาดส่วนตัดขวางให้เป็นมาตราส่วนที่เข้มงวด

2) กำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง

3) ค้นหาค่าของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนที่สัมพันธ์กับแกนกลาง

4) ค้นหาค่าของโมเมนต์แรงเฉื่อยที่สัมพันธ์กับแกนกลาง

5) กำหนดตำแหน่งของแกนหลักของความเฉื่อย

6) ค้นหาช่วงเวลาหลักของความเฉื่อย

นำข้อมูลตัวเลขจากตาราง 6.

รูปแบบการคำนวณสำหรับปัญหาหมายเลข 4

ตารางที่ 6

ข้อมูลเริ่มต้นสำหรับงานหมายเลข 4

№	มุมมุมเท่ากัน	มุมที่ไม่เท่ากัน	ไอบีม	ช่อง	สี่เหลี่ยมผืนผ้า	หมายเลขโครงการ
	30'5	50'32'4			100'30
	40'6	56'36'4			100'40
	50'4	63'40'8			100'20
	56'4	70'45'5			80'40
	63'6	80'50'6		14ก	80'60
	70'8	90'56'6			80'100
	80'8	100'63'6	20ก	16ก	80'20
	90'9	90'56'8			60'40
	75'9	140'90'10	22ก	18ก	60'60
	100'10	160'100'12			60'40
	ง	ก	ข	วี	ช	ง

คำแนะนำสำหรับปัญหาที่ 5

การดัดงอเป็นรูปแบบหนึ่งของการเปลี่ยนรูปโดยที่ V.S.F. ปรากฏในหน้าตัดของแกน – ช่วงเวลาการดัด

ในการคำนวณลำแสงสำหรับการดัดงอจำเป็นต้องทราบค่าของโมเมนต์การดัดงอสูงสุด มและตำแหน่งของส่วนที่มันเกิดขึ้น ในทำนองเดียวกัน คุณจำเป็นต้องทราบแรงเฉือนสูงสุด ถาม- เพื่อจุดประสงค์นี้ จึงมีการสร้างไดอะแกรมของโมเมนต์การดัดงอและแรงเฉือน จากแผนภาพ มันง่ายที่จะตัดสินว่าค่าสูงสุดของช่วงเวลาหรือค่าใด แรงเฉือน- เพื่อกำหนดค่าต่างๆ มและ ถามใช้วิธีการแบ่งส่วน พิจารณาวงจรที่แสดงในรูปที่. 9. มารวบรวมผลรวมของแรงบนแกนกัน ยทำหน้าที่ตัดส่วนที่ขาดของลำแสง

รูปที่ 9.

แรงตามขวางเท่ากับผลรวมพีชคณิตของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อด้านหนึ่งของส่วน

ให้เรารวบรวมผลรวมของช่วงเวลาที่กระทำกับส่วนที่ถูกตัดออกของลำแสงที่สัมพันธ์กับส่วนนั้น

โมเมนต์การดัดงอเท่ากับผลรวมพีชคณิตของโมเมนต์ทั้งหมดที่กระทำต่อส่วนที่ตัดออกของลำแสงซึ่งสัมพันธ์กับจุดศูนย์ถ่วงของส่วนนั้น

เพื่อให้สามารถคำนวณจากปลายคานด้านใดก็ได้ จำเป็นต้องใช้กฎเครื่องหมายสำหรับปัจจัยแรงภายใน

สำหรับแรงเฉือน ถาม.

รูปที่ 10.

ถ้าแรงภายนอกหมุนส่วนที่ตัดของลำแสงตามเข็มนาฬิกา แรงนั้นจะเป็นค่าบวก ถ้าแรงภายนอกหมุนส่วนที่ตัดของลำแสงทวนเข็มนาฬิกา แรงจะเป็นลบ

สำหรับโมเมนต์การดัดงอ ม.

รูปที่ 11.

ภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอก หากแกนโค้งของลำแสงอยู่ในรูปของชามเว้า โดยที่ฝนที่มาจากด้านบนจะทำให้น้ำเต็มไปด้วย โมเมนต์การโค้งงอจะเป็นค่าบวก (รูปที่ 11a) ภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอก หากแกนโค้งของลำแสงอยู่ในรูปของชามนูน โดยที่ฝนที่มาจากด้านบนจะไม่ทำให้น้ำเต็มไปด้วย โมเมนต์การโค้งงอจะเป็นลบ (รูปที่ 11b)

ระหว่างความเข้มของโหลดแบบกระจาย ถาม,แรงเฉือน ถามและโมเมนต์การดัดงอ มการดำเนินการในส่วนใดส่วนหนึ่งมีการพึ่งพาที่แตกต่างกันดังต่อไปนี้:

การพึ่งพาส่วนต่างที่ระบุระหว่างการดัดทำให้สามารถสร้างคุณสมบัติบางอย่างของไดอะแกรมของแรงตามขวางและโมเมนต์การดัดได้

1) ในพื้นที่ที่ไม่มีการกระจายโหลด แผนภาพ ถาม ถูกจำกัดด้วยเส้นตรงที่ขนานกับแกนของแผนภาพและแผนภาพ ม ในกรณีทั่วไปโดยใช้เส้นตรงเอียง (รูปที่ 19)

2) ในพื้นที่ที่มีการกระจายโหลดอย่างสม่ำเสมอบนลำแสง แผนภาพ ถาม ถูกจำกัดด้วยเส้นตรงและแผนภาพ ม – พาราโบลากำลังสอง (รูปที่ 20) เมื่อสร้างไดอะแกรม ม บนเส้นใยที่ถูกบีบอัด ความนูนของพาราโบลาจะหันไปในทิศทางตรงกันข้ามกับการกระทำของโหลดแบบกระจาย (รูปที่ 21a, b)

รูปที่ 12.

รูปที่ 13.

3) ในส่วนเหล่านั้นที่ ถาม= 0 สัมผัสกับแผนภาพ มขนานกับแกนของแผนภาพ (รูปที่ 12, 13) โมเมนต์การดัดงอในส่วนดังกล่าวของลำแสงนั้นมีขนาดสูงมาก ( สูงสุด,อืม.).

4) ในพื้นที่ที่ ถาม> 0, มเพิ่มขึ้นนั่นคือจากซ้ายไปขวาลำดับที่เป็นบวกของแผนภาพ มเพิ่มขึ้น ค่าลบลดลง (รูปที่ 12, 13) ในพื้นที่เหล่านั้นที่ ถาม < 0, มลดลง (รูปที่ 12, 13)

5) ในส่วนที่มีการใช้แรงกระจุกตัวกับลำแสง:

ก) บนแผนภาพ ถามจะมีการกระโดดตามขนาดและทิศทางของแรงที่ใช้ (รูปที่ 12, 13)

b) บนแผนภาพ มจะมีการแตกหัก (รูปที่ 12, 13) ส่วนปลายของการแตกหักนั้นพุ่งตรงต่อการกระทำของแรง

6) ในส่วนที่มีการใช้โมเมนต์เข้มข้นกับลำแสงตามแผนภาพ มขนาดของช่วงเวลาเหล่านี้จะเพิ่มขึ้นบนแผนภาพ ถามจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ (รูปที่ 14)

รูปที่ 14.

รูปที่15.

7) ถ้ามีความเข้มข้น

โมเมนต์ จากนั้นในส่วนนี้ โมเมนต์การดัดจะเท่ากับโมเมนต์ภายนอก (ส่วน คและ บีในรูป 15)

8) แผนภาพ ถามแสดงถึงแผนภาพของอนุพันธ์ของพล็อต ม- ดังนั้นกำหนด ถามแปรผันตามแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์กับแผนภาพ ม(รูปที่ 14)

ลำดับของการวางแผน ถามและ ม:

1) แผนภาพการออกแบบของลำแสง (ในรูปแบบของแกน) ถูกวาดขึ้นเพื่อแสดงโหลดที่กระทำต่อมัน

2) อิทธิพลของการรองรับบนลำแสงจะถูกแทนที่ด้วยปฏิกิริยาที่สอดคล้องกัน มีการระบุการกำหนดปฏิกิริยาและทิศทางที่ยอมรับ

3) มีการรวบรวมสมการสมดุลสำหรับลำแสงซึ่งวิธีแก้ปัญหาจะกำหนดค่าของปฏิกิริยารองรับ

4) ลำแสงแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ขอบเขตซึ่งเป็นจุดที่ใช้แรงและช่วงเวลาที่มีสมาธิภายนอกตลอดจนจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของการกระทำหรือการเปลี่ยนแปลงลักษณะของโหลดแบบกระจาย

5) มีการรวบรวมนิพจน์สำหรับโมเมนต์การดัดงอ มและแรงเฉือน ถามสำหรับแต่ละส่วนของลำแสง แผนภาพการคำนวณแสดงจุดเริ่มต้นและทิศทางของการวัดระยะทางสำหรับแต่ละส่วน

6) การใช้นิพจน์ที่ได้รับ ลำดับของไดอะแกรมจะถูกคำนวณสำหรับส่วนต่างๆ ของลำแสงในปริมาณที่เพียงพอที่จะแสดงไดอะแกรมเหล่านี้

7) ส่วนต่างๆ ถูกกำหนดโดยแรงตามขวางมีค่าเท่ากับศูนย์ และโมเมนต์จะกระทำ เอ็มแม็กซ์หรือ อืม.สำหรับส่วนของลำแสงที่กำหนด คำนวณค่าของช่วงเวลาเหล่านี้

8) ไดอะแกรมถูกสร้างขึ้นโดยใช้ค่าพิกัดที่ได้รับ

9) ไดอะแกรมที่สร้างขึ้นได้รับการตรวจสอบโดยการเปรียบเทียบระหว่างกัน

ไดอะแกรมของปัจจัยแรงภายในระหว่างการดัดถูกสร้างขึ้นเพื่อกำหนดส่วนที่เป็นอันตราย หลังจากพบส่วนอันตรายแล้วจึงคำนวณคานเพื่อความแข็งแรง ในกรณีทั่วไปของการดัดงอตามขวาง เมื่อโมเมนต์การดัดงอและแรงตามขวางกระทำในส่วนของท่อนไม้ ความเค้นปกติและแรงเฉือนจะเกิดขึ้นในส่วนของลำแสง ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะต้องพิจารณาเงื่อนไขความแข็งแกร่งสองประการ:

ก) ตามแรงดันไฟฟ้าปกติ

b) โดยความเค้นแทนเจนต์

เนื่องจากปัจจัยการทำลายล้างหลักของคานคือความเค้นปกติ ขนาดของหน้าตัดของคานรูปร่างที่ยอมรับจึงถูกกำหนดจากสภาวะความแข็งแรงสำหรับความเค้นปกติ:

จากนั้นตรวจสอบว่าส่วนลำแสงที่เลือกเป็นไปตามสภาวะความแข็งแรงสำหรับความเค้นเฉือนหรือไม่

อย่างไรก็ตาม วิธีการคำนวณคานนี้ยังไม่ได้ระบุถึงความแข็งแกร่งของคาน ในหลายกรณี มีจุดในส่วนลำแสงที่ความเค้นปกติและแรงเฉือนขนาดใหญ่กระทำพร้อมกัน ในกรณีเช่นนี้ จำเป็นต้องตรวจสอบความแข็งแรงของลำแสงโดยใช้ความเค้นหลัก ทฤษฎีความแข็งแกร่งข้อที่สามและสี่ใช้ได้กับการทดสอบดังกล่าวมากที่สุด:

, .

ตัวอย่างที่ 1

สร้างแผนภาพแรงเฉือน ถามและโมเมนต์การดัดงอ มสำหรับลำแสงที่แสดงในรูป 16 ถ้า: ฉ 1= 3 กิโลนิวตัน ฉ 2= 1.5 กิโลนิวตัน ม = 5.1 กิโลนิวตัน∙เมตร ถาม = =2kN/ม. ก = 2 ม. ข = 1 ม. กับ = 3ม.

รูปที่ 16.

1) กำหนดปฏิกิริยาสนับสนุน

;

;

การตรวจสอบ:

พบปฏิกิริยาที่ถูกต้อง

2) เราแบ่งลำแสงออกเป็นส่วน ๆ ซี.เอ.,ค.ศ,เด,เอ.เค.,เค.บี..

3) กำหนดค่า ถามและ มในแต่ละไซต์

SA

, ; , .

ค.ศ

, ;

, .

เด

, ;

, .

เอชเอฟ

, , .

ลองหาโมเมนต์การดัดงอสูงสุดในพื้นที่ เค.บี..

ลองเทียบสมการกัน ถามในส่วนนี้เป็นศูนย์และแสดงพิกัด z สูงสุด ซึ่ง ถาม= 0 และโมเมนต์มีค่าสูงสุด ต่อไปเราจะทดแทน z สูงสุด ลงในสมการโมเมนต์ในส่วนนี้แล้วหา เอ็มแม็กซ์.

เอก

, .

4) เราสร้างไดอะแกรม (รูปที่ 16)

ตัวอย่างที่ 2

สำหรับลำแสงดังแสดงในรูปที่. 16 กำหนดขนาดของทรงกลมสี่เหลี่ยม ( HB = 2) และส่วน I ตรวจสอบความแข็งแรงของคาน I ด้วยความเค้นหลัก หาก [s]= 150 เมกะปาสคาล [เสื้อ]= 150 เมกะปาสคาล

1) เรากำหนดช่วงเวลาต้านทานที่ต้องการจากสภาวะความแข็งแกร่ง

2) กำหนดขนาดของส่วนวงกลม

3) กำหนดขนาดของส่วนสี่เหลี่ยม

4) เราเลือก I-beam หมายเลข 10 ตามประเภท (GOST 8239-89)

ดับบลิว เอ็กซ์= 39.7 ซม. 3, ส เอ็กซ์ * =23 ซม. 3, ฉัน X = 198 ซม. 4, ชม. = 100 มม. ข = 55 มม. ง = 4.5 มม. ที = 7.2 มม.

ในการตรวจสอบความแข็งแรงของลำแสงตามความเค้นหลัก จำเป็นต้องสร้างไดอะแกรมของความเค้นปกติและแนวสัมผัสในส่วนที่เป็นอันตราย เนื่องจากขนาดของความเค้นหลักขึ้นอยู่กับทั้งความเค้นปกติและแนวสัมผัส การทดสอบกำลังจึงควรดำเนินการในส่วนของลำแสงที่ มและ ถามใหญ่พอ บนการสนับสนุน ใน(รูปที่ 16) แรงเฉือน ถามมีค่าสูงสุดอย่างไรก็ตามที่นี่ ม= 0 ดังนั้นเราจึงถือว่าส่วนรองรับนั้นเป็นอันตราย กโดยที่โมเมนต์ดัดงอมีค่าสูงสุดและมีแรงเฉือนค่อนข้างมาก

ความเค้นปกติที่เปลี่ยนไปตามความสูงของส่วนให้เป็นไปตามกฎเชิงเส้น:

ที่ไหน ย– พิกัดของจุดตัด (รูปที่ 24)

ที่ ที่= 0, ส = 0;

ที่ วายแม็กซ์ ,

กฎแห่งการเปลี่ยนแปลงของความเค้นเฉือนถูกกำหนดโดยกฎแห่งการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาคงที่ของพื้นที่ ซึ่งในทางกลับกันจะเปลี่ยนแปลงไปตามความสูงของส่วนตามกฎพาราโบลา เมื่อคำนวณค่าสำหรับจุดคุณลักษณะของส่วนแล้ว เราจะสร้างไดอะแกรมของความเค้นในวงสัมผัส เมื่อคำนวณค่า t เราจะใช้การกำหนดขนาดส่วนที่ใช้ในรูปที่ 1 17.

ตรงตามเงื่อนไขความแข็งแกร่งของชั้น 3–3

ภารกิจที่ 5

สำหรับแผนผังลำแสงที่กำหนด (ตารางที่ 12) ให้สร้างแผนภาพแรงตามขวาง ถามและโมเมนต์การดัดงอ ม- เลือกภาพตัดขวางสำหรับแผนภาพ a) รอบ [s]= 10 เมกะปาสคาล; b) ฉันบีม [s]= 150 เมกะปาสคาล

นำข้อมูลตัวเลขจากตาราง 7.

ตารางที่ 7

ข้อมูลเริ่มต้นสำหรับปัญหาหมายเลข 6

№

เช้า

คิว 1 =คิว 3, กิโลนิวตัน/เมตร

คิว 2 , กิโลนิวตัน/เมตร

เอฟ 1, กิโลนิวตัน

เอฟ 2, กิโลนิวตัน

เอฟ 3, กิโลนิวตัน

ม. 1, กิโลนิวตัน∙ม

ม. 2, กิโลนิวตัน∙ม

ม. 3, กิโลนิวตัน∙ม

หมายเลขโครงการ

0,8

1,2

ความต่อเนื่องของตารางที่ 12

หากแกนอยู่ตรงกลาง แกนโมเมนต์จะมีลักษณะดังนี้:

15.การพึ่งพาระหว่าง โมเมนต์ความเฉื่อยเมื่อหมุนแกน:

J x 1 =J x cos 2 a + J y บาป 2 a - J xy sin2a; J y 1 = J y cos 2 a + J x บาป 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;

มุม a>0 หากการเปลี่ยนจากระบบพิกัดเก่าไปเป็นระบบพิกัดใหม่เกิดขึ้นทวนเข็มนาฬิกา เจ y 1 + เจ x 1 = เจ y + เจ x

เรียกว่าค่าโมเมนต์ความเฉื่อยสูงสุด (สูงสุดและต่ำสุด) ช่วงเวลาสำคัญของความเฉื่อย- แกนที่โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนมีค่ามากเรียกว่า แกนหลักของความเฉื่อย- แกนหลักของความเฉื่อยตั้งฉากกัน โมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงรอบแกนหลัก = 0 เช่น แกนหลักของความเฉื่อย - แกนที่โมเมนต์แรงเฉื่อย = 0 หากแกนใดแกนหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกันหรือทั้งสองตรงกับแกนสมมาตรแสดงว่าแกนเหล่านั้นเป็นแกนหลัก มุมที่กำหนดตำแหน่งของแกนหลัก: ถ้า 0 >0 Þ แกนจะหมุนทวนเข็มนาฬิกา แกนสูงสุดจะทำให้มุมกับแกนเล็กลงเสมอโดยสัมพันธ์กับโมเมนต์ความเฉื่อยที่มากกว่า แกนหลักที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงเรียกว่า แกนกลางหลักของความเฉื่อย- โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนเหล่านี้:

J สูงสุด + J นาที = J x + J y . โมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงที่สัมพันธ์กับแกนกลางหลักของความเฉื่อยมีค่าเท่ากับ 0 หากทราบโมเมนต์ความเฉื่อยหลักของสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้แกนที่หมุนคือ:

J x 1 =J สูงสุด cos 2 a + J นาที บาป 2 a; J y 1 =J สูงสุด cos 2 a + J นาที บาป 2 a; J x 1 y1 = (J สูงสุด - J นาที)sin2a;

เป้าหมายสูงสุดของการคำนวณ ลักษณะทางเรขาคณิตส่วนคือการกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยจุดศูนย์กลางหลักและตำแหน่งของแกนกลางหลักของความเฉื่อย รัศมีความเฉื่อย - - เจ x =F×ฉัน x 2 , เจ =F×ฉัน y 2 .

ถ้า J x และ J y เป็นโมเมนต์หลักของความเฉื่อย แล้ว i x และ i y - รัศมีหลักของการหมุน- วงรีที่สร้างขึ้นบนรัศมีหลักของความเฉื่อยเหมือนกับที่อยู่บนกึ่งแกนเรียกว่า วงรีของความเฉื่อย- เมื่อใช้วงรีของความเฉื่อย คุณสามารถค้นหารัศมีของความเฉื่อย i x 1 สำหรับแกนใดๆ x 1 ได้แบบกราฟิก ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องวาดเส้นสัมผัสกันไปที่วงรี ซึ่งขนานกับแกน x1 และวัดระยะห่างจากแกนนี้ถึงเส้นสัมผัสกัน เมื่อทราบรัศมีของความเฉื่อย คุณสามารถค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับแกน x 1: . สำหรับส่วนที่มีแกนสมมาตรมากกว่าสองแกน (เช่น วงกลม สี่เหลี่ยม วงแหวน ฯลฯ) โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนรอบแกนกลางทั้งหมดจะเท่ากัน J xy =0 วงรีของความเฉื่อยจะกลายเป็นวงกลมของความเฉื่อย .

บ่อยครั้งในการตัดสินใจ ปัญหาในทางปฏิบัติมีความจำเป็นต้องกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับแกนที่มีการวางแนวต่างกันในระนาบ ในกรณีนี้จะสะดวกในการใช้ค่าที่ทราบอยู่แล้วของช่วงเวลาความเฉื่อยของส่วนทั้งหมด (หรือส่วนประกอบแต่ละส่วน) เทียบกับแกนอื่น ๆ ที่ให้ไว้ในวรรณกรรมทางเทคนิค หนังสืออ้างอิงพิเศษ และตารางเช่นกัน ตามที่คำนวณโดยใช้สูตรที่มีอยู่ ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญมากที่จะต้องสร้างความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนเดียวกันที่สัมพันธ์กับแกนที่ต่างกัน

ในกรณีทั่วไปส่วนใหญ่ การเปลี่ยนจากระบบพิกัดเก่าไปเป็นระบบพิกัดใหม่ถือได้ว่าเป็นการแปลงระบบพิกัดเก่าติดต่อกันสองครั้ง:

1) โดยการถ่ายโอนแกนพิกัดแบบขนานไปยังตำแหน่งใหม่และ

2) โดยการหมุนให้สัมพันธ์กับจุดกำเนิดใหม่ ลองพิจารณาการแปลงครั้งแรกกัน เช่น การแปลแกนพิกัดแบบขนาน

สมมติว่าเราทราบโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนที่กำหนดซึ่งสัมพันธ์กับแกนเก่า (รูปที่ 18.5)

ลองใช้ระบบพิกัดใหม่ที่มีแกนขนานกับแกนก่อนหน้า ให้เราแสดง a และ b พิกัดของจุด (เช่น จุดกำเนิดใหม่) ใน ระบบเก่าพิกัด

พิจารณาไซต์เบื้องต้น พิกัดในระบบพิกัดเก่ามีค่าเท่ากับ y และ . ในระบบใหม่มีความเท่าเทียมกัน

ให้เราแทนที่ค่าพิกัดเหล่านี้เป็นนิพจน์สำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนที่สัมพันธ์กับแกน

ในนิพจน์ผลลัพธ์ โมเมนต์ความเฉื่อย ซึ่งเป็นโมเมนต์คงที่ของส่วนตัดสัมพันธ์กับแกน เท่ากับพื้นที่ F ของส่วนตัดขวาง

เพราะฉะนั้น,

หากแกน z ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วนแล้วโมเมนต์คงที่ และ

จากสูตร (25.5) เห็นได้ชัดว่าโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนใดๆ ที่ไม่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงมีค่ามากกว่าโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงด้วยจำนวนที่เป็นบวกเสมอ ดังนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยทั้งหมดสัมพันธ์กับ แกนขนานโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนมี ค่าที่น้อยที่สุดสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วน

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน [โดยการเปรียบเทียบกับสูตร (24.5)]

ในกรณีเฉพาะเมื่อแกน y ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วนนั้น

สูตร (25.5) และ (27.5) ใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วนที่ซับซ้อน (คอมโพสิต)

ตอนนี้ให้เราแทนค่าลงในนิพจน์สำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยแรงเหวี่ยงสัมพันธ์กับแกน