สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย หลักฐานและตัวอย่างการใช้สูตรนี้ ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์อันดับ 1, 2 และ 3

อนุพันธ์อันดับหนึ่ง

ให้ระบุฟังก์ชันโดยปริยายโดยใช้สมการ
(1) .
และปล่อยให้สมการนี้มีคำตอบเฉพาะสำหรับค่าบางค่า
.
ให้ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ที่จุด และ
(2) .

จากนั้นที่ค่านี้จะมีอนุพันธ์ซึ่งกำหนดโดยสูตร:

การพิสูจน์
.
เพื่อพิสูจน์ ให้พิจารณาว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปร:
(3) :
.
ลองใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนแล้วค้นหาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ
(4) ;
.

เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ และ แล้ว

สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว

อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น
(4) .
ลองเขียนสมการ (4) ใหม่โดยใช้สัญลักษณ์ต่างๆ:
;
.
ในเวลาเดียวกันและเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของตัวแปร:
(1) .

การพึ่งพาอาศัยกันถูกกำหนดโดยสมการ (1):
เราค้นหาอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรจากด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ (4)
;
.
ตามสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน เราได้:

.
ตามสูตรอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:


.

ใช้สูตรผลรวมอนุพันธ์:
(5) .
เนื่องจากอนุพันธ์ของด้านขวาของสมการ (4) เท่ากับศูนย์ ดังนั้น

เมื่อแทนอนุพันธ์ตรงนี้ เราจะได้ค่าของอนุพันธ์อันดับสองในรูปแบบโดยปริยาย
.
ในทำนองเดียวกัน สมการเชิงอนุพันธ์ (5) จะได้สมการที่มีอนุพันธ์อันดับสาม:

แทนที่ค่าที่พบของอนุพันธ์อันดับ 1 และ 2 ที่นี่เราจะค้นหามูลค่าของอนุพันธ์อันดับ 3

การสร้างความแตกต่างอย่างต่อเนื่อง เราสามารถหาอนุพันธ์ของลำดับใดก็ได้

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1
ค้นหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายจากสมการ: .

(P1)

วิธีแก้ปัญหาตามสูตร 2
(2) .

เราค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร (2):
.
ลองย้ายตัวแปรทั้งหมดไปทางซ้ายเพื่อให้สมการอยู่ในรูปแบบ .

จากที่นี่.
;
;
;
.

เราค้นหาอนุพันธ์ด้วยความเคารพ โดยพิจารณาว่ามันคงที่
;
;
;
.

เราค้นหาอนุพันธ์โดยคำนึงถึงตัวแปร โดยพิจารณาจากค่าคงที่ของตัวแปร
.

ใช้สูตร (2) เราพบ:
.
คูณทั้งเศษและส่วนด้วย:
.

วิธีแก้ปัญหาวิธีที่สอง

ลองแก้ตัวอย่างนี้ด้วยวิธีที่สอง ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรด้านซ้ายและด้านขวาของสมการดั้งเดิม (A1)

เราใช้:
.
เราใช้สูตรเศษส่วนอนุพันธ์:
;
.
เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
.
ให้เราแยกความแตกต่างของสมการดั้งเดิม (A1)
ค้นหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายจากสมการ: ;
;
.
เราคูณและจัดกลุ่มพจน์
;
.

แทนกัน (จากสมการ (A1)):
.
คูณด้วย:
.

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายโดยใช้สมการ:
(A2.1) .

เราแยกความแตกต่างของสมการดั้งเดิมด้วยความเคารพต่อตัวแปร โดยพิจารณาว่ามันเป็นฟังก์ชันของ:
;
.
เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
.

มาแยกสมการดั้งเดิมกัน (A2.1):
;
.
จากสมการเดิม (A2.1) จะได้ว่า
.
มาทดแทนกัน:
;
เปิดวงเล็บและจัดกลุ่มสมาชิก: .
(A2.2)
เราพบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: .

(A2.3)
;
;
;
.
ในการค้นหาอนุพันธ์อันดับสอง เราจะแยกสมการ (A2.2)
.
คูณด้วย:

;
.
ให้เราแทนที่นิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (A2.3):

จากตรงนี้เราจะพบอนุพันธ์อันดับสอง

ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาอนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายโดยใช้สมการ: .

(A3.1)
;
;
;
;
;
;
เราแยกความแตกต่างของสมการดั้งเดิมด้วยความเคารพต่อตัวแปร โดยสมมติว่ามันเป็นฟังก์ชันของ ;

(ก3.2)
;
;
;
;
;
ให้เราแยกสมการ (A3.2) ด้วยความเคารพต่อตัวแปร .

(ก3.3)
;
;
;
;
;
ให้เราแยกแยะสมการ (A3.3) .

(A3.4)
;
;
.

จากสมการ (A3.2), (A3.3) และ (A3.4) เราจะหาค่าของอนุพันธ์ได้ที่
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์ ในบทความนี้เราจะดูงานทั่วไปอีกสองงานที่มักพบการทดสอบ โดยคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น - เพื่อที่จะเชี่ยวชาญเนื้อหาได้สำเร็จ คุณจะต้องสามารถค้นหาอนุพันธ์ได้อย่างน้อยก็ในระดับกลาง คุณสามารถเรียนรู้ที่จะค้นหาอนุพันธ์ได้จริงตั้งแต่เริ่มต้นในบทเรียนพื้นฐานสองบทและอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

- หากทักษะการสร้างความแตกต่างของคุณโอเค ลุยเลย

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย

หรือเรียกสั้นๆ ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัย ฟังก์ชันโดยนัยคืออะไร? ก่อนอื่น เรามาจำคำจำกัดความของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งกันก่อน:ฟังก์ชันตัวแปรเดี่ยว

เป็นกฎเกณฑ์ที่แต่ละค่าของตัวแปรอิสระสอดคล้องกับค่าเดียวของฟังก์ชัน ตัวแปรนี้เรียกว่าตัวแปรอิสระ หรือ.
การโต้แย้ง ตัวแปรนี้เรียกว่าตัวแปรอิสระ ตัวแปรตาม .

การทำงาน จนถึงตอนนี้เราได้ดูฟังก์ชันที่กำหนดไว้แล้วชัดเจน

รูปร่าง. มันหมายความว่าอะไร? เรามาดำเนินการซักถามโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงกันดีกว่า

พิจารณาฟังก์ชัน เราจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเรามี "ผู้เล่น" คนเดียวและทางขวา -- นั่นก็คือฟังก์ชัน อย่างชัดเจนแสดงผ่านตัวแปรอิสระ

ลองดูฟังก์ชันอื่น:

นี่คือจุดที่ตัวแปรปะปนกัน นอกจากนี้ เป็นไปไม่ได้ไม่ว่าด้วยวิธีใดก็ตามแสดง "Y" ผ่าน "X" เท่านั้น วิธีการเหล่านี้มีอะไรบ้าง? การโอนคำศัพท์จากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมาย การย้ายออกจากวงเล็บ การโยนตัวประกอบตามกฎสัดส่วน ฯลฯ เขียนความเท่าเทียมกันใหม่และพยายามแสดงตัว "y" อย่างชัดเจน: . คุณสามารถบิดและหมุนสมการได้หลายชั่วโมง แต่คุณจะไม่สำเร็จ

ให้ฉันแนะนำคุณ: – ตัวอย่าง ฟังก์ชันโดยนัย.

ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ก็ได้รับการพิสูจน์ว่าฟังก์ชันโดยนัย มีอยู่จริง(แต่ก็ไม่เสมอไป) มันมีกราฟ (เหมือนกับฟังก์ชัน “ปกติ”) ฟังก์ชันโดยนัยเหมือนกันทุกประการ มีอยู่จริงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง, อนุพันธ์อันดับสอง, ฯลฯ อย่างที่พวกเขาพูด เคารพสิทธิทั้งหมดของชนกลุ่มน้อยทางเพศ

และในบทนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย มันไม่ยากขนาดนั้น! กฎการแยกความแตกต่างทั้งหมด ตารางอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นเบื้องต้นยังคงมีผลใช้บังคับอยู่ ความแตกต่างอยู่ที่จุดแปลกประหลาดจุดหนึ่งซึ่งเราจะพิจารณากันในตอนนี้

ใช่แล้วฉันจะแจ้งข่าวดีให้คุณทราบ - งานที่กล่าวถึงด้านล่างนี้ดำเนินการตามอัลกอริธึมที่ค่อนข้างเข้มงวดและชัดเจนโดยไม่ต้องใช้หินอยู่หน้าสามแทร็ก

ตัวอย่างที่ 1

1) ในระยะแรกเราแนบลายเส้นทั้งสองส่วน:

2) เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้นของอนุพันธ์ (กฎสองข้อแรกของบทเรียน จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร? ตัวอย่างการแก้ปัญหา):

3) การสร้างความแตกต่างโดยตรง
วิธีแยกความแตกต่างมีความชัดเจนอย่างสมบูรณ์ จะทำอย่างไรเมื่อมี "เกม" อยู่ภายใต้จังหวะ?

- ถึงขั้นอัปยศอดสู อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับอนุพันธ์ของมัน: .

วิธีแยกแยะ
ที่นี่เรามี ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน- ทำไม ดูเหมือนว่าใต้ไซน์จะมีตัวอักษร "Y" เพียงตัวเดียว แต่ความจริงก็คือมีตัวอักษร "y" เพียงตัวเดียว - ตัวเองเป็นหน้าที่(ดูคำจำกัดความตอนต้นบทเรียน) ดังนั้นไซน์จึงเป็นฟังก์ชันภายนอกและเป็นฟังก์ชันภายใน เราใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน :

เราสร้างความแตกต่างให้กับผลิตภัณฑ์ตามกฎปกติ :

โปรดทราบว่า – ก็เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนเช่นกัน “เกมที่มีเสียงระฆังและนกหวีด” ใด ๆ ที่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

วิธีแก้ปัญหาควรมีลักษณะดังนี้:


หากมีวงเล็บให้ขยายออก:

4) ทางด้านซ้ายเรารวบรวมคำศัพท์ที่มี "Y" พร้อมด้วยจำนวนเฉพาะ ย้ายทุกอย่างไปทางด้านขวา:

5) ทางด้านซ้ายเราจะนำอนุพันธ์ออกจากวงเล็บ:

6) และตามกฎของสัดส่วน เราใส่วงเล็บเหล่านี้ลงในตัวส่วนของด้านขวา:

พบอนุพันธ์แล้ว พร้อม.

เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าฟังก์ชันใดๆ ก็ตามสามารถเขียนใหม่โดยปริยายได้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: - และแยกความแตกต่างโดยใช้อัลกอริธึมที่เพิ่งกล่าวถึง ในความเป็นจริงวลี "ฟังก์ชันโดยนัย" และ "ฟังก์ชันโดยนัย" แตกต่างกันในความหมายที่แตกต่างกันนิดหน่อย วลี "ฟังก์ชันที่ระบุโดยนัย" เป็นคำทั่วไปและถูกต้องมากกว่า – ฟังก์ชั่นนี้ระบุไว้โดยปริยาย แต่ที่นี่คุณสามารถแสดง “เกม” และนำเสนอฟังก์ชั่นได้อย่างชัดเจน คำว่า "ฟังก์ชันโดยนัย" มักหมายถึงฟังก์ชันโดยนัย "คลาสสิก" เมื่อไม่สามารถแสดง "เกม" ได้

ควรสังเกตด้วยว่า "สมการโดยนัย" สามารถระบุฟังก์ชันสองฟังก์ชันหรือมากกว่านั้นได้ในคราวเดียว ตัวอย่างเช่น สมการของวงกลมกำหนดฟังก์ชันโดยปริยาย , ที่กำหนดครึ่งวงกลม แต่ภายในกรอบของบทความนี้ จะไม่สร้างความแตกต่างพิเศษระหว่างข้อกำหนดและความแตกต่าง แต่เป็นเพียงข้อมูลสำหรับการพัฒนาทั่วไป

วิธีแก้ปัญหาที่สอง

ความสนใจ!คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับวิธีที่สองได้ก็ต่อเมื่อคุณรู้วิธีค้นหาอย่างมั่นใจ อนุพันธ์บางส่วน- ผู้เริ่มเรียน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และกาน้ำชาโปรด อย่าอ่านและข้ามจุดนี้ไม่อย่างนั้นหัวคุณจะเละเทะไปหมด

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยโดยใช้วิธีที่สอง

เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย:

และพิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:

จากนั้นหาอนุพันธ์ของเราได้โดยใช้สูตร
มาหาอนุพันธ์บางส่วน:

ดังนั้น:

วิธีที่สองช่วยให้คุณสามารถทำการตรวจสอบได้ แต่ไม่แนะนำให้เขียนงานเวอร์ชันสุดท้ายเนื่องจากอนุพันธ์บางส่วนจะได้รับการเรียนรู้ในภายหลังและนักเรียนที่ศึกษาหัวข้อ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว" ยังไม่ควรรู้อนุพันธ์บางส่วน

ลองดูตัวอย่างเพิ่มเติมบางส่วน

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

เพิ่มจังหวะทั้งสองส่วน:

เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้น:

การหาอนุพันธ์:

การเปิดวงเล็บทั้งหมด:

เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย ส่วนที่เหลือไปทางขวา:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

วิธีแก้ปัญหาแบบเต็มและการออกแบบตัวอย่างในตอนท้ายของบทเรียน

ไม่ใช่เรื่องแปลกที่เศษส่วนจะเกิดขึ้นหลังจากการหาอนุพันธ์ ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องกำจัดเศษส่วนออก ลองดูอีกสองตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

เราใส่ทั้งสองส่วนไว้ใต้เส้นขีดและใช้กฎความเป็นเส้นตรง:

แยกความแตกต่างโดยใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน และกฎการแยกความแตกต่างของผลหาร :

การขยายวงเล็บ:

ตอนนี้เราต้องกำจัดเศษส่วนออก. ซึ่งสามารถทำได้ในภายหลัง แต่มีเหตุผลมากกว่าที่จะทำทันที ตัวส่วนของเศษส่วนประกอบด้วย คูณ บน . โดยรายละเอียดจะมีลักษณะดังนี้:

บางครั้งหลังจากการแยกความแตกต่าง 2-3 เศษส่วนจะปรากฏขึ้น ตัวอย่างเช่น หากเรามีเศษส่วนอีกตัวหนึ่ง ก็ต้องดำเนินการซ้ำ - คูณ แต่ละเทอมของแต่ละส่วนบน

ทางด้านซ้ายเราใส่มันออกจากวงเล็บ:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ- สิ่งเดียวก็คือก่อนที่คุณจะกำจัดเศษส่วน คุณจะต้องกำจัดโครงสร้างสามชั้นของเศษส่วนเสียก่อน เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์

อย่าเครียด ทุกอย่างในย่อหน้านี้ก็ค่อนข้างง่ายเช่นกัน คุณสามารถเขียนสูตรทั่วไปของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพาราเมตริกได้ แต่เพื่อให้ชัดเจน ผมจะเขียนทันที ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม- ในรูปแบบพาราเมตริก ฟังก์ชันจะได้รับจากสมการสองสมการ: บ่อยครั้งที่สมการไม่ได้เขียนอยู่ใต้วงเล็บปีกกา แต่เขียนตามลำดับ: , .

ตัวแปรนี้เรียกว่าพารามิเตอร์และสามารถนำค่าจาก “ลบอนันต์” ไปเป็น “บวกอนันต์” ได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาค่าและแทนที่ลงในสมการทั้งสอง: หรือในแง่มนุษย์: “ถ้า x เท่ากับสี่ แล้ว y ก็เท่ากับหนึ่ง” คุณสามารถทำเครื่องหมายจุดบนระนาบพิกัดได้ และจุดนี้จะสอดคล้องกับค่าของพารามิเตอร์ ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถค้นหาจุดสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ “te” ได้ สำหรับฟังก์ชัน "ปกติ" สำหรับชาวอเมริกันอินเดียนของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพาราเมตริก สิทธิ์ทั้งหมดก็ได้รับการเคารพเช่นกัน: คุณสามารถสร้างกราฟ ค้นหาอนุพันธ์ ฯลฯ อย่างไรก็ตาม หากคุณต้องการพล็อตกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์ คุณสามารถใช้โปรแกรมของฉันได้

ในกรณีที่ง่ายที่สุด เป็นไปได้ที่จะแสดงฟังก์ชันอย่างชัดเจน ให้เราแสดงพารามิเตอร์: – จากสมการแรกและแทนที่เป็นสมการที่สอง: - ผลลัพธ์ที่ได้คือฟังก์ชันลูกบาศก์ธรรมดา

ในกรณีที่ "รุนแรง" มากขึ้น เคล็ดลับนี้ใช้ไม่ได้ผล แต่มันไม่สำคัญเพราะมีสูตรสำหรับค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพาราเมตริก:

เราพบอนุพันธ์ของ "เกมที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร te":

กฎการสร้างความแตกต่างทั้งหมดและตารางอนุพันธ์นั้นใช้ได้สำหรับตัวอักษร ดังนั้น ไม่มีความแปลกใหม่ในกระบวนการค้นหาอนุพันธ์- เพียงแทนที่ "X's" ทั้งหมดในตารางด้วยตัวอักษร "Te"

เราค้นหาอนุพันธ์ของ “x เทียบกับตัวแปร te”:

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่อนุพันธ์ที่พบลงในสูตรของเรา:

พร้อม. อนุพันธ์ก็ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เช่นเดียวกับฟังก์ชันนั่นเอง

สำหรับสัญลักษณ์ แทนที่จะเขียนลงในสูตร เราสามารถเขียนมันได้โดยไม่ต้องมีตัวห้อย เนื่องจากนี่คืออนุพันธ์ "ปกติ" "เทียบกับ X" แต่ในวรรณคดีมีตัวเลือกอยู่เสมอ ดังนั้นฉันจะไม่เบี่ยงเบนไปจากมาตรฐาน

ตัวอย่างที่ 6

เราใช้สูตร

ใน ในกรณีนี้:

ดังนั้น:

คุณลักษณะพิเศษในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพาราเมตริกก็คือข้อเท็จจริงที่ว่า ในแต่ละขั้นตอนจะเป็นประโยชน์ในการลดความซับซ้อนของผลลัพธ์ให้มากที่สุด- ดังนั้น ในตัวอย่างที่พิจารณา เมื่อฉันพบมัน ฉันจึงเปิดวงเล็บใต้รูต (แม้ว่าฉันอาจจะไม่ได้ทำเช่นนี้ก็ตาม) มีโอกาสดีที่เมื่อนำมาแทนสูตรหลายอย่างจะลดลงไปด้วยดี แม้ว่าแน่นอนว่ายังมีตัวอย่างที่มีคำตอบเงอะงะอยู่บ้าง

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุแบบพาราเมตริก

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

ในบทความ ปัญหาทั่วไปที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับอนุพันธ์เราดูตัวอย่างที่เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์ คุณยังสามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้ ซึ่งพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: เห็นได้ชัดว่าในการหาอนุพันธ์อันดับสอง คุณต้องหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งก่อน

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สองของฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริก

ก่อนอื่น มาหาอนุพันธ์อันดับแรกกันก่อน
เราใช้สูตร

ในกรณีนี้:

ฟังก์ชัน Z= f(x; y) จะถูกเรียกว่าโดยปริยายหากให้ไว้โดยสมการ F(x,y,z)=0 ซึ่งยังไม่ได้รับการแก้ไขเมื่อเทียบกับ Z ให้เราค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน Z ที่กำหนดโดยปริยาย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โดยแทนที่ฟังก์ชัน f(x;y) ลงในสมการแทน Z เราจะได้ข้อมูลประจำตัว F(x,y, f(x,y))=0 อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์เท่ากันเทียบกับ x และ y ก็เท่ากับศูนย์เช่นกัน

F(x,y,f (x, y)) =
=0 (ถือว่าคงที่)

F(x,y,f (x, y)) =
=0 (xพิจารณาค่าคงที่)

ที่ไหน
และ

ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน Z ที่กำหนดโดยสมการ
.

ที่นี่ F(x,y,z)=
;
;
;
- ตามสูตรที่ให้ไว้ข้างต้นเรามี:

และ

1. อนุพันธ์เชิงทิศทาง

กำหนดให้ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว Z= f(x; y) อยู่ในบริเวณใกล้เคียงจุด M (x,y) พิจารณาทิศทางที่กำหนดโดยเวกเตอร์หน่วย
, ที่ไหน
(ดูภาพ)

บนเส้นตรงที่ผ่านไปในทิศทางนี้ผ่านจุด M เราจะหาจุด M 1 (
) เพื่อให้มีความยาว
ส่วนMM 1 เท่ากับ
- การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน f(M) ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ โดยที่
เชื่อมต่อกันด้วยความสัมพันธ์ ขีดจำกัดอัตราส่วน ที่
จะเรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตรงจุด
ในทิศทาง และได้รับการกำหนด .

=

หากฟังก์ชัน Z สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนั้น
จากนั้นจึงเพิ่มขึ้น ณ จุดนี้โดยคำนึงถึงความสัมพันธ์ด้วย
สามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้

หารทั้งสองส่วนด้วย

และผ่านพ้นขีดจำกัดได้ที่
เราได้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน Z= f(x; y) ในทิศทาง:

1. การไล่ระดับสี

พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรสามตัว
แยกแยะได้ในบางจุด
.

ความชันของฟังก์ชันนี้
ที่จุด M คือเวกเตอร์ซึ่งมีพิกัดเท่ากับอนุพันธ์ย่อยตามลำดับ
ณ จุดนี้ หากต้องการระบุการไล่ระดับสี ให้ใช้สัญลักษณ์
.
=
.

การไล่ระดับสีบ่งบอกถึงทิศทางของการเติบโตที่เร็วที่สุดของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด

เนื่องจากเวกเตอร์หน่วย มีพิกัด (
) จากนั้นอนุพันธ์ของทิศทางสำหรับกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรทั้งสามจะถูกเขียนในรูปแบบคือ มีสูตรสำหรับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และ
- ลองเขียนสูตรสุดท้ายใหม่ดังนี้:

, ที่ไหน - มุมระหว่างเวกเตอร์ และ
- เพราะ
จากนั้นจึงตามมาว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันในทิศทางรับค่าสูงสุดที่ =0 เช่น เมื่อทิศทางของเวกเตอร์ และ
จับคู่. ในเวลาเดียวกัน
นั่นคือ ในความเป็นจริง การไล่ระดับสีของฟังก์ชันจะกำหนดลักษณะทิศทางและขนาดของอัตราสูงสุดของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันนี้ ณ จุดหนึ่ง

1. สุดขั้วของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

แนวคิดเรื่องค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด และค่าปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวจะคล้ายคลึงกับแนวคิดที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว ปล่อยให้ฟังก์ชัน Z= f(x; y) ถูกกำหนดไว้ในบางโดเมน D เป็นต้น M
อยู่ในพื้นที่นี้ จุดเอ็ม
เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน Z= f(x; y) ถ้ามี δ-ย่านใกล้เคียงของจุดนั้น
ว่าแต่ละจุดจากละแวกนี้มีความไม่เท่าเทียมกัน
- จุด min ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน เฉพาะเครื่องหมายอสมการเท่านั้นที่จะเปลี่ยนแปลง
- ค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุด (นาที) เรียกว่าสูงสุด (ขั้นต่ำ) ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันเรียกว่า extrema

1. เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสุดขั้ว

ทฤษฎีบท:(เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดขั้ว) ถ้าถึงจุด M
ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ Z= f(x; y) มีปลายสุด ดังนั้นอนุพันธ์ย่อย ณ จุดนี้เท่ากับศูนย์:
,
.

การพิสูจน์:หลังจากแก้ไขตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง x หรือ y แล้ว เราจะแปลง Z = f(x; y) ให้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว โดยต้องตรงตามเงื่อนไขข้างต้น ความเท่าเทียมกันทางเรขาคณิต
และ
หมายความว่าที่จุดปลายสุดของฟังก์ชัน Z= f(x; y) ระนาบแทนเจนต์กับพื้นผิวที่แทนฟังก์ชัน f(x,y)=Z จะขนานกับระนาบ OXY เนื่องจาก สมการของระนาบแทนเจนต์คือ Z = Z 0 จุดที่อนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งของฟังก์ชัน Z = f (x; y) เท่ากับศูนย์นั่นคือ
,
เรียกว่าจุดคงที่ของฟังก์ชัน ฟังก์ชันสามารถมีจุดสุดโต่ง ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่นZ=|-
- มีค่าสูงสุดที่จุด O(0,0) แต่ไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้

จุดคงที่และจุดที่ไม่มีอนุพันธ์บางส่วนอย่างน้อยหนึ่งจุดเรียกว่า จุดวิกฤติที่จุดวิกฤติ ฟังก์ชันอาจมีหรือไม่มีจุดสุดขั้วก็ได้ ความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์บางส่วนให้เป็นศูนย์ถือเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของอนุพันธ์บางส่วน ตัวอย่างเช่น เมื่อ Z=xy จุด O(0,0) เป็นจุดวิกฤต อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชัน Z=xy ไม่มีส่วนปลายสุดอยู่ในนั้น (เพราะในไตรมาส I และ III Z>0 และใน II และ IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

ทฤษฎีบท: (ภาวะเพียงพอสำหรับภาวะสุดขีด) ให้อยู่ที่จุดที่อยู่นิ่ง
และในบางย่าน ฟังก์ชัน f(x; y) มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องจนถึงลำดับที่ 2 รวมอยู่ด้วย มาคำนวณตรงจุดกัน
ค่านิยม
,
และ
- มาแสดงกันเถอะ

ในกรณีที่
, สุดขั้ว ณ จุดนั้น
มันอาจจะหรืออาจจะไม่ก็ได้ จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม

หรือเรียกสั้น ๆ ว่า - อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัย ฟังก์ชันโดยนัยคืออะไร? เนื่องจากบทเรียนของฉันใช้งานได้จริง ฉันจึงพยายามหลีกเลี่ยงคำจำกัดความและทฤษฎีบท แต่การทำเช่นนี้ในที่นี้จะเหมาะสม ฟังก์ชันคืออะไรล่ะ?

ฟังก์ชันตัวแปรเดี่ยวคือกฎที่ระบุว่าสำหรับแต่ละค่าของตัวแปรอิสระจะมีค่าฟังก์ชันเพียงค่าเดียวเท่านั้น

เป็นกฎเกณฑ์ที่แต่ละค่าของตัวแปรอิสระสอดคล้องกับค่าเดียวของฟังก์ชัน ตัวแปรนี้เรียกว่าตัวแปรอิสระ หรือ.
ตัวแปรนี้เรียกว่า ตัวแปรนี้เรียกว่าตัวแปรอิสระ ตัวแปรตาม.

โดยคร่าว ๆ ตัวอักษร "Y" ในกรณีนี้คือฟังก์ชัน

การทำงาน จนถึงตอนนี้เราได้ดูฟังก์ชันที่กำหนดไว้แล้วชัดเจน

รูปร่าง. มันหมายความว่าอะไร? เรามาดำเนินการซักถามโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงกันดีกว่า

เราจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเรามี "เกม" (ฟังก์ชัน) เพียงอย่างเดียวและทางขวา - เราจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเรามี "ผู้เล่น" คนเดียวและทางขวา -- นั่นก็คือฟังก์ชัน อย่างชัดเจนแสดงผ่านตัวแปรอิสระ

ลองดูฟังก์ชันอื่น:

นี่คือจุดที่ตัวแปรปะปนกัน นอกจากนี้ เป็นไปไม่ได้ไม่ว่าด้วยวิธีใดก็ตามแสดง "Y" ผ่าน "X" เท่านั้น วิธีการเหล่านี้มีอะไรบ้าง? การโอนคำศัพท์จากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมาย การย้ายออกจากวงเล็บ การโยนตัวประกอบตามกฎสัดส่วน ฯลฯ เขียนความเท่าเทียมกันใหม่และพยายามแสดงตัว "y" อย่างชัดเจน: . คุณสามารถบิดและหมุนสมการได้หลายชั่วโมง แต่คุณจะไม่สำเร็จ

ให้ฉันแนะนำคุณ: - ตัวอย่าง ฟังก์ชันโดยนัย.

ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ก็ได้รับการพิสูจน์ว่าฟังก์ชันโดยนัย มีอยู่จริง(แต่ก็ไม่เสมอไป) มันมีกราฟ (เหมือนกับฟังก์ชัน “ปกติ”) ฟังก์ชันโดยนัยเหมือนกันทุกประการ มีอยู่จริงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง, อนุพันธ์อันดับสอง, ฯลฯ อย่างที่พวกเขาพูด เคารพสิทธิทั้งหมดของชนกลุ่มน้อยทางเพศ

และในบทนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย มันไม่ยากขนาดนั้น! กฎการสร้างความแตกต่างทั้งหมดและตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานยังคงมีผลใช้บังคับ ความแตกต่างอยู่ที่จุดแปลกประหลาดจุดหนึ่งซึ่งเราจะพิจารณากันในตอนนี้

ใช่แล้วฉันจะแจ้งข่าวดีให้คุณทราบ - งานที่กล่าวถึงด้านล่างนี้ดำเนินการตามอัลกอริธึมที่ค่อนข้างเข้มงวดและชัดเจนโดยไม่ต้องใช้หินอยู่หน้าสามแทร็ก

ตัวอย่างที่ 1

1) ในระยะแรกเราแนบลายเส้นทั้งสองส่วน:

2) เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้นของอนุพันธ์ (กฎสองข้อแรกของบทเรียน จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร? ตัวอย่างการแก้ปัญหา):

3) การสร้างความแตกต่างโดยตรง
วิธีแยกความแตกต่างมีความชัดเจนอย่างสมบูรณ์ จะทำอย่างไรเมื่อมี "เกม" อยู่ภายใต้จังหวะ?

ถึงขั้นอับอายเลยทีเดียว อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับอนุพันธ์ของมัน: .

วิธีแยกแยะ

ที่นี่เรามี ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน- ทำไม ดูเหมือนว่าใต้ไซน์จะมีตัวอักษร "Y" เพียงตัวเดียว แต่ความจริงก็คือมีตัวอักษร "y" เพียงตัวเดียว - ตัวเองเป็นหน้าที่(ดูคำจำกัดความตอนต้นบทเรียน) ดังนั้นไซน์จึงเป็นฟังก์ชันภายนอกและเป็นฟังก์ชันภายใน เราใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

เราสร้างความแตกต่างให้กับผลิตภัณฑ์ตามกฎปกติ:

โปรดทราบว่า - ก็เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนเช่นกัน “เกมที่มีเสียงระฆังและนกหวีด” ใด ๆ ที่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

วิธีแก้ปัญหาควรมีลักษณะดังนี้:

หากมีวงเล็บให้ขยายออก:

4) ทางด้านซ้ายเรารวบรวมคำศัพท์ที่มี "Y" พร้อมด้วยจำนวนเฉพาะ ย้ายทุกอย่างไปทางด้านขวา:

5) ทางด้านซ้ายเราจะนำอนุพันธ์ออกจากวงเล็บ:

6) และตามกฎของสัดส่วน เราใส่วงเล็บเหล่านี้ลงในตัวส่วนของด้านขวา:

พบอนุพันธ์แล้ว พร้อม.

เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าฟังก์ชันใดๆ ก็ตามสามารถเขียนใหม่โดยปริยายได้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: และแยกความแตกต่างโดยใช้อัลกอริธึมที่เพิ่งกล่าวถึง ในความเป็นจริงวลี "ฟังก์ชันโดยนัย" และ "ฟังก์ชันโดยนัย" แตกต่างกันในความหมายที่แตกต่างกันนิดหน่อย วลี "ฟังก์ชันที่ระบุในรูปแบบโดยนัย" มีลักษณะทั่วไปและถูกต้องมากกว่า - ฟังก์ชันนี้ระบุในรูปแบบโดยนัย แต่ที่นี่คุณสามารถแสดง "เกม" และแสดงถึงฟังก์ชันได้อย่างชัดเจน วลี “ฟังก์ชันโดยนัย” หมายถึงฟังก์ชันโดยนัย “คลาสสิก” เมื่อไม่สามารถแสดง “y” ได้

วิธีแก้ปัญหาที่สอง

ความสนใจ!คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับวิธีที่สองได้ก็ต่อเมื่อคุณรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์บางส่วนอย่างมั่นใจ ผู้เริ่มต้นและผู้เริ่มศึกษาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โปรดอย่าอ่านและข้ามประเด็นนี้ไปไม่เช่นนั้นหัวจะเละเทะไปหมด

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยโดยใช้วิธีที่สอง

เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้าย:

และพิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:

จากนั้นหาอนุพันธ์ของเราได้โดยใช้สูตร

มาหาอนุพันธ์บางส่วน:

ดังนั้น:

วิธีที่สองช่วยให้คุณสามารถทำการตรวจสอบได้ แต่ไม่แนะนำให้เขียนงานเวอร์ชันสุดท้ายเนื่องจากอนุพันธ์บางส่วนจะได้รับการเรียนรู้ในภายหลังและนักเรียนที่ศึกษาหัวข้อ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว" ยังไม่ควรรู้อนุพันธ์บางส่วน

ลองดูตัวอย่างเพิ่มเติมบางส่วน

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

เพิ่มจังหวะทั้งสองส่วน:

เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้น:

การหาอนุพันธ์:

การเปิดวงเล็บทั้งหมด:

เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้ายส่วนที่เหลือ - ไปทางขวา:

ทางด้านซ้ายเราใส่มันออกจากวงเล็บ:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

วิธีแก้ปัญหาแบบเต็มและการออกแบบตัวอย่างในตอนท้ายของบทเรียน

ไม่ใช่เรื่องแปลกที่เศษส่วนจะเกิดขึ้นหลังจากการหาอนุพันธ์ ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องกำจัดเศษส่วนออก ลองดูอีกสองตัวอย่าง: แต่ละเทอมของแต่ละส่วน

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยาย

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง สิ่งเดียวก็คือก่อนที่คุณจะกำจัดเศษส่วน คุณจะต้องกำจัดโครงสร้างสามชั้นของเศษส่วนเสียก่อน เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน