ค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุดบนเส้นตรงทางออนไลน์ การฉายจุดบนเส้นตรง พิกัดของการฉายจุดบนเส้นตรง การฉายภาพจุดบนเส้นตรง - ทฤษฎี ตัวอย่าง และวิธีแก้ปัญหา

ขั้นแรกบทความนี้จะกำหนดการฉายภาพจุดบนเส้นตรง (บนแกน) และจัดให้มีการวาดภาพอธิบาย ต่อไป เราจะหารือถึงวิธีการค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุดบนเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่แนะนำบนเครื่องบินและใน พื้นที่สามมิติคำตอบของตัวอย่างจะแสดงพร้อมคำอธิบายโดยละเอียด

การนำทางหน้า

การฉายจุดบนเส้น - คำจำกัดความ

ตั้งแต่ทุกอย่าง รูปทรงเรขาคณิตประกอบด้วยจุด และการฉายรูปคือชุดของการฉายภาพทุกจุดของรูปนี้ จากนั้นในการฉายภาพเป็นเส้นตรง คุณจะต้องสามารถฉายจุดของรูปนี้ลงบนเส้นตรงที่กำหนดได้

แล้วการฉายภาพจุดบนเส้นเรียกว่าอะไร?

คำนิยาม.

การฉายภาพจุดบนเส้น- นี่คือจุดนั้นเอง หากอยู่บนเส้นที่กำหนด หรือฐานของจุดตั้งฉากหลุดจากจุดนี้ไปยังเส้นที่กำหนด

ในรูปด้านล่าง จุด H 1 คือเส้นโครงของจุด M 1 ลงบนเส้น a และจุด M 2 คือเส้นโครงของจุด M 2 เองบนเส้น a เนื่องจาก M 2 อยู่บนเส้น a

คำจำกัดความของการฉายภาพจุดบนเส้นตรงนี้ใช้ได้กับทั้งกรณีบนเครื่องบินและสำหรับกรณีในพื้นที่สามมิติ

บนเครื่องบิน เพื่อสร้างเส้นโครงของจุด M 1 ลงบนเส้น a คุณต้องลากเส้น b ที่ผ่านจุด M 1 และตั้งฉากกับเส้น a จากนั้นจุดตัดของเส้น a และ b คือเส้นโครงของจุด M 1 ลงบนเส้น a

ในปริภูมิสามมิติ เส้นโครงของจุด M 1 ลงบนเส้น a คือจุดตัดของเส้น a และระนาบที่ผ่านจุด M 1 ซึ่งตั้งฉากกับเส้น a

การค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุดบนเส้นตรง - ทฤษฎีและตัวอย่าง

เริ่มต้นด้วยการค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุดบนเส้นตรงเมื่อมีการระบุจุดและเส้นที่ฉายไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy บนระนาบ หลังจากนี้ เราจะแสดงให้เห็นว่าพิกัดของการฉายภาพจุดบนเส้นตรงนั้นพบได้อย่างไรในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ในพื้นที่สามมิติ

พิกัดของการฉายภาพจุดบนเส้นตรงบนเครื่องบิน

ให้ Oxy ได้รับการแก้ไขบนเครื่องบิน โดยให้จุดและเส้นตรง และจำเป็นต้องกำหนดพิกัดของการฉายภาพของจุด M 1 ลงบนเส้นตรง a

มาแก้ปัญหานี้กัน

ลองวาดเส้นตรง b ผ่านจุด M 1 ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง a และกำหนดจุดตัดของเส้นตรง a และ b เป็น H 1 จากนั้น H 1 คือเส้นโครงของจุด M 1 เข้าสู่เส้นตรง a

จากการก่อสร้างข้างต้นเป็นไปตามตรรกะ อัลกอริทึมที่ช่วยให้คุณค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุดบนเส้นตรง a:

ลองดูการหาพิกัดของการฉายภาพจุดบนเส้นตรงเมื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

บนระนาบสัมพันธ์กับระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy จะมีการกำหนดจุดและเส้นตรง a ซึ่งสอดคล้องกับสมการทั่วไปของเส้นตรงของแบบฟอร์ม

สารละลาย.

เรารู้สมการของเส้นตรง a จากเงื่อนไข ดังนั้นเราจึงสามารถไปยังขั้นตอนที่สองของอัลกอริทึมได้

เราได้สมการของเส้นตรง b ซึ่งผ่านจุด M 1 และตั้งฉากกับเส้นตรง a ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องมีพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้น b เนื่องจากเส้น b ตั้งฉากกับเส้น a ดังนั้นเวกเตอร์ปกติของเส้น a จึงเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้น b แน่นอน เวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง เป็นเวกเตอร์ที่มีพิกัด ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางของเส้น b คือเวกเตอร์ ตอนนี้เราสามารถเขียนสมการมาตรฐานของเส้น b ได้ เนื่องจากเรารู้พิกัดของจุดที่มันผ่านไปและพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง: .

ยังคงค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้น a และ b ซึ่งจะให้พิกัดที่ต้องการของการฉายภาพของจุด M 1 ลงบนเส้น a เมื่อต้องการทำเช่นนี้ อันดับแรกเราย้ายจาก สมการบัญญัติเส้นตรง b ถึงสมการทั่วไป: . ตอนนี้เรามาเขียนระบบสมการจากสมการทั่วไปของเส้น a และ b หลังจากนั้นเราจะหาคำตอบของมัน (หากจำเป็น โปรดดูบทความ):

ดังนั้นการฉายภาพจุดลงบนเส้น มีพิกัด.

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

ให้จุดสามจุดบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy ค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 ลงบนเส้น AB

สารละลาย.

ในการค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 บนเส้น AB เราจะดำเนินการตามอัลกอริทึมที่ได้รับ

ลองเขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดแล้ว:
.

ตอนนี้เราสามารถย้ายจากสมการบัญญัติที่ได้รับของเส้นตรง AB ไปเป็นสมการทั่วไปของเส้นตรง AB และดำเนินการแก้ปัญหาต่อโดยการเปรียบเทียบกับตัวอย่างก่อนหน้า แต่ลองมาดูวิธีอื่นในการหาสมการของเส้น b ที่ผ่านจุด M 1 ซึ่งตั้งฉากกับเส้น AB

จากสมการทางบัญญัติของเส้นตรง AB เราได้สมการของเส้นตรงที่มีความชัน: - ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง AB เท่ากับ และ ความลาดชันเส้นตรง b ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง AB เท่ากับ (ดูสภาพตั้งฉากของเส้นตรง) จากนั้นสมการของเส้นตรง b ที่ผ่านจุดหนึ่งและมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะมีรูปแบบ .

ในการกำหนดพิกัดของการฉายภาพจุดบนเส้นตรง AB ยังคงต้องแก้ระบบสมการ :

คำตอบ:

ลองแยกกันดูในการค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุดบนเส้นพิกัด Ox และ Oy รวมถึงบนเส้นขนานกับพวกมันด้วย

เห็นได้ชัดว่าการฉายจุดบนเส้นพิกัด Ox ซึ่งสอดคล้องกับสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของเส้นของแบบฟอร์ม เป็นจุดที่มีพิกัด ในทำนองเดียวกัน เส้นโครงของจุดบนเส้นพิกัด Oy มีพิกัด

เส้นตรงใดๆ ที่ขนานกับแกน x สามารถระบุได้ไม่สมบูรณ์ สมการทั่วไปใจดี และเส้นตรงที่ขนานกับแกนพิกัดจะเป็นสมการของรูปแบบ - เส้นโครงของจุดบนเส้น และ เป็นจุดที่มีพิกัด และ ตามลำดับ

ตัวอย่าง.

เส้นโครงของจุดมีพิกัดใดบนเส้นพิกัด Oy และบนเส้น .

สารละลาย.

การฉายภาพจุดบนเส้นตรง Oy คือจุดที่มีพิกัด

ลองเขียนสมการของเส้นตรงใหม่เป็น ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าการฉายภาพจุดบนเส้นตรงมีพิกัด

คำตอบ:

และ .

พิกัดของการฉายภาพจุดบนเส้นในพื้นที่สามมิติ

ตอนนี้เราไปยังการค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุดบนเส้นตรงที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ซึ่งนำมาใช้ในอวกาศสามมิติ

ปล่อยให้มันได้รับการแก้ไขในอวกาศ ระบบสี่เหลี่ยมพิกัดอ็อกซิสจุดที่กำหนด , เส้นตรง a และคุณต้องค้นหาพิกัดของการฉายภาพของจุด M 1 ลงบนเส้นตรง a

มาแก้ปัญหานี้กัน

เรามาสร้างระนาบที่ผ่านจุด M 1 ซึ่งตั้งฉากกับเส้น a กัน เส้นโครงของจุด M 1 ลงบนเส้น a คือจุดตัดของเส้น a และระนาบ ดังนั้นเราจึงได้ อัลกอริทึมที่ช่วยให้คุณสามารถค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุดได้ เป็นเส้นตรง a:

ลองดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz จะมีการกำหนดจุดและเส้น a และเส้น a ถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติของเส้นตรงในปริภูมิของรูปแบบ - ค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 ลงบนเส้นตรง a

สารละลาย.

เพื่อกำหนดพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 ลงบนเส้นตรง a เราจะใช้อัลกอริธึมผลลัพธ์

เราทราบสมการของเส้น a ทันทีจากเงื่อนไข ดังนั้นเรามาดูขั้นตอนที่สองกันดีกว่า

เราได้สมการของระนาบซึ่งตั้งฉากกับเส้น a และผ่านจุดนั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องทราบพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของเครื่องบิน มาหาพวกเขากันเถอะ จากสมการมาตรฐานของเส้น a จะเห็นพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้: เวกเตอร์ทิศทางของเส้น a คือเวกเตอร์ปกติของระนาบซึ่งตั้งฉากกับเส้น a นั่นคือ คือเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ แล้วสมการของระนาบที่ผ่านจุดและมีเวกเตอร์ตั้งฉาก ,มีรูปแบบ.

ยังคงต้องหาพิกัดของจุดตัดของเส้นตรง a และระนาบ - เป็นพิกัดที่ต้องการของการฉายภาพจุดบนเส้นตรง a เราจะแสดงสองวิธีในการค้นหาพวกเขา

วิธีแรก.

จากสมการมาตรฐานของเส้น a เราได้สมการของระนาบที่ตัดกันสองเส้นที่กำหนดเส้น a:

พิกัดจุดตัดของเส้น และเครื่องบิน เราได้รับจากการแก้ระบบ สมการเชิงเส้นใจดี - ใช้ (หากคุณต้องการวิธีอื่นในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นก็ใช้มัน):

ดังนั้นจุดที่มีพิกัดคือเส้นโครงของจุด M 1 ลงบนเส้นตรง a

วิธีที่สอง.

เมื่อรู้สมการบัญญัติของเส้นตรง a แล้วจะง่ายต่อการเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงในอวกาศ: - ให้เราแทนระนาบของแบบฟอร์มลงในสมการ แทนที่จะเป็น x, y และ z ให้แสดงผ่านพารามิเตอร์:

ตอนนี้เราสามารถคำนวณพิกัดที่ต้องการของจุดตัดของเส้นตรง a และระนาบโดยใช้สมการพาราเมตริกของเส้นตรง a สำหรับ:

1-12. การฉายภาพจุดบนระนาบหรือเส้น

คำชี้แจงปัญหาค้นหาพิกัดของการฉายภาพ P" ของจุด P(^PiURChzp) บนระนาบ Ax + By -\- Cz-\- D = O,

แผนการแก้ปัญหา เส้นโครง P" ของจุด P ลงบนระนาบคือฐานของเส้นตั้งฉากที่ตกลงจากจุด P ลงบนระนาบนี้

1. เราเขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด P ซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด ในการทำเช่นนี้ เราใช้เวกเตอร์ปกติของระนาบเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง: a = n = = (A, B, C) จากนั้นสมการมาตรฐานของเส้นตรงจะมีรูปแบบ

X = At-\- xp, y = Bt-\-yp, Z =z Ct-\- Zp

3. เมื่อแทน x^y^z ลงในสมการของระนาบแล้วแก้หา t เราจะพบค่าของพารามิเตอร์ t = ที่จุดตัดของเส้นตรงและระนาบเกิดขึ้น

4. เราแทนที่ค่าที่พบของ ^o ลงในสมการพาราเมตริกของเส้นตรงและรับพิกัดที่ต้องการของจุดอาร์".

ความคิดเห็น ปัญหาในการค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุดบนเส้นตรงได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน

ตัวอย่าง. ค้นหาพิกัดของการฉายภาพ P " ของจุด P (1,2, -1) บนระนาบ Зж - 2/4-22: - 4 = 0

1. เราเขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด P ซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด ในการทำเช่นนี้ เราใช้เวกเตอร์ปกติของระนาบเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง: a = n =

3. เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้สำหรับ x^y และ z ลงในสมการของระนาบ เราจะพบค่าของพารามิเตอร์ ^ ที่จุดตัดของเส้นตรงและระนาบเกิดขึ้น:

3(3t + 1) - l(-t + 2) + 2(2t - 1) - 27 = О => ถึง = 2

4. แทนที่ค่าที่พบเป็น = 2 ลงในสมการพาราเมตริกของเส้นตรง เราจะได้ w0 = 7, yo = O, ^o = 1

ดังนั้นจุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ และด้วยเหตุนี้ เส้นโครงของจุด P ลงบนระนาบจึงมีพิกัด (7,0,1)

คำตอบ. เส้นโครง P" มีพิกัด (7,0,1)

คำตอบ 1.(2.3/2.2) 2. (-3/2,-3/2,-1/2) 3.(2,-1/2,-3/2) 4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2) 6.(3/2,-1/2,0). 7.(1/2,-1,-1/2). 8.(1/2,-1/2,1/2). 9.(1/2,-1/2,1/2). 10.(1.1/2.0)

1.13. ความสมมาตรของเส้นตรงหรือระนาบ

คำชี้แจงปัญหาค้นหาพิกัดของจุด Q สมมาตร

แผนการแก้ปัญหา จุดที่ต้องการ Q อยู่บนเส้นตั้งฉากกับจุดที่กำหนดและตัดกันที่จุด P เนื่องจากจุด P "แบ่งส่วน PQ ออกเป็นครึ่งหนึ่ง พิกัดของทางรถไฟ จังหวะและ ZQ ของจุด Q จะถูกกำหนดจากเงื่อนไข

เส้นโครง P" ลงบนเส้นที่กำหนด

1. ลองหาเส้นโครงของจุดกัน P ถึงเส้นตรงนี้เช่น จุด P "(ดูปัญหา 1.12) โดยทำดังนี้:

ก) มาสร้างสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุด P ซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด เนื่องจากเวกเตอร์ตั้งฉาก n ของระนาบนี้ เราสามารถใช้เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงนี้ได้ เช่น n = ก = (ล^ม^n) เราได้รับ

1(x - Xp) + t(y - UR) -f n(z - zp) = 0;

b) ให้เราค้นหาพิกัดของจุดตัด P " ของระนาบนี้กับเส้นที่กำหนด เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ให้เขียนสมการของเส้นในรูปแบบพาราเมตริก

X = N-\- jo, y = mt-\-yo, Z = nt-\- ZQ

เมื่อแทน x^y^z ลงในสมการของระนาบแล้วแก้หา t เราจะพบค่าของพารามิเตอร์ t = ที่จุดตัดของเส้นตรงและระนาบเกิดขึ้น

c) เราแทนค่าที่พบของ ถึง ลงในสมการพาราเมตริกของเส้นตรง และได้พิกัดที่ต้องการของจุด P"

2. พิกัดของจุด Q ซึ่งสมมาตรกับจุด P สัมพันธ์กับเส้นที่กำหนด ถูกกำหนดจากเงื่อนไข (1) เราได้รับ

XQ = 2хр/ - Р, yq = 2ur" - ur, ZQ = 22;р/ - zp.

ความคิดเห็น ปัญหาในการค้นหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดที่กำหนดซึ่งสัมพันธ์กับระนาบนั้นได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน

ตัวอย่าง. ค้นหาพิกัดของจุด Q ซึ่งสมมาตรกับจุด P(2, -1,2) สัมพันธ์กับเส้นตรง

X - 1 _ ปี __ Z -\-1

สารละลาย.

1. ลองหาเส้นโครงของจุดกัน P ถึงเส้นตรงนี้เช่น จุด P" โดยทำดังนี้:

ก) มาสร้างสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุด P ซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด เนื่องจากเวกเตอร์ปกติ n ของระนาบนี้ เราสามารถใช้เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงนี้ได้: n = a = (1,0,-2) แล้ว

เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้สำหรับ x, y และ z ลงในสมการของระนาบ เราจะพบค่าของพารามิเตอร์ t ที่จุดตัดของเส้นตรงและระนาบเกิดขึ้น: ถึง = -1;

c) เราได้รับค่าที่พบเป็น = -1 ลงในสมการพาราเมตริกของเส้นตรง

zhr/ = O, g/r/ = O, zpr = 1

ดังนั้น จุดตัดของเส้นกับระนาบ และด้วยเหตุนี้ เส้นโครงของจุด P ลงบนเส้นจึงเป็น P" (0,0,1)

2. พิกัดของจุด Q ซึ่งสมมาตรกับจุด P สัมพันธ์กับเส้นที่กำหนด ถูกกำหนดจากเงื่อนไข (1):

XQ = 2хр" - Р = -2,

VQ = 2ur/ - 2/r = 1,

ZQ = 2zpf - zp = 0

คำตอบ. จุด Q มีพิกัด (-2,1,0)

เงื่อนไขของภารกิจ ค้นหาพิกัดของจุดสมมาตรกับจุด P สัมพันธ์กับเส้นตรงที่กำหนด

ด้วยสิ่งนี้ เครื่องคิดเลขออนไลน์คุณสามารถค้นหาเส้นโครงของจุดบนเส้นได้ มีการให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดพร้อมคำอธิบาย ในการคำนวณการฉายภาพของจุดบนเส้นตรง ให้กำหนดขนาด (2 หากพิจารณาเส้นตรงบนระนาบ 3 หากพิจารณาเส้นตรงในอวกาศ) ป้อนพิกัดของจุดและองค์ประกอบของสมการ ในเซลล์และคลิกที่ปุ่ม "แก้ไข"

×

คำเตือน

ล้างเซลล์ทั้งหมดใช่ไหม

ปิด ล้าง

คำแนะนำในการป้อนข้อมูลตัวเลขจะป้อนเป็นจำนวนเต็ม (เช่น 487, 5, -7623 เป็นต้น) ทศนิยม (เช่น 67., 102.54 เป็นต้น) หรือเศษส่วน ต้องป้อนเศษส่วนในรูปแบบ a/b โดยที่ a และ b (b>0) เป็นจำนวนเต็มหรือเลขทศนิยม ตัวอย่าง 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 เป็นต้น

การฉายภาพจุดบนเส้นตรง - ทฤษฎี ตัวอย่าง และวิธีแก้ปัญหา

ลองพิจารณาปัญหานี้ในปริภูมิสองมิติและสามมิติ

1. ให้จุดถูกกำหนดในปริภูมิสองมิติ ม 0 (x 0 , ย 0) และตรง ล:

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาเส้นโครงของจุดบนเส้นตรง ลประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

• สร้างเส้นตรง ล 1 ผ่านจุด ม 0 และตั้งฉากกับเส้นตรง ล,
• หาจุดตัดของเส้น ลและ ล 1 (จุด ม 1)

สมการของเส้นที่ผ่านจุด ม 0 (x 0 , ย 0) มีรูปแบบดังต่อไปนี้:

มาเปิดวงเล็บกันดีกว่า

(5)

ลองแทนค่าต่างๆ กัน xและ ยใน (4):

ที่ไหน x 1 =ภูเขา"+เอ็กซ์", ย 1 =จุด"+คุณ".

ตัวอย่างที่ 1. ค้นหาเส้นโครงของจุด ม 0 (1, 3) ตรง

เหล่านั้น. ม=4, พี=5. จากสมการเส้นตรง (6) ชัดเจนว่าผ่านจุดนั้นไปแล้ว เอ็ม" (เอ็กซ์", คุณ")=(2, −3) (ง่ายต่อการตรวจสอบ - แทนที่ค่าเหล่านี้เป็น (6) เราจะได้ข้อมูลประจำตัว 0=0) เช่น เอ็กซ์"=2, คุณ"=-3. ลองแทนค่าต่างๆ กัน ม. พี เอ็กซ์ 0 , ย 0 ,x", ย"ใน (5"):

2. ให้จุดถูกกำหนดในปริภูมิสามมิติ ม 0 (x 0 , ย 0 , z 0) และตรง ล:

การหาเส้นโครงของจุดบนเส้นตรง ลประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

• สร้างเครื่องบิน α ,ผ่านจุด ม 0 และตั้งฉากกับเส้นตรง ล,
• หาจุดตัดของเครื่องบิน α และตรง ล(จุด ม 1)

สมการของระนาบที่ผ่านจุดหนึ่ง ม 0 (x 0 , ย 0 , z 0) มีรูปแบบดังต่อไปนี้:

มาเปิดวงเล็บกันดีกว่า

ลองแทนค่าต่างๆ กัน xและ ยใน (9):

บทความนี้จะตรวจสอบแนวคิดของการฉายภาพจุดบนเส้นตรง (แกน) เราจะกำหนดมันโดยใช้ภาพวาดอธิบาย เรามาศึกษาวิธีการกำหนดพิกัดของการฉายภาพจุดบนเส้นตรง (บนเครื่องบินหรือในพื้นที่สามมิติ) ลองดูตัวอย่าง

ในบทความเรื่อง “การฉายภาพจุดบนระนาบ พิกัด” เราได้กล่าวถึงว่าการฉายภาพเป็นแนวคิดทั่วไปของการฉายภาพในแนวตั้งฉากหรือตั้งฉาก

รูปทรงเรขาคณิตทั้งหมดประกอบด้วยจุด ดังนั้น เส้นโครงของรูปนี้จึงเป็นชุดของเส้นโครงของจุดทั้งหมด ดังนั้น เพื่อให้สามารถฉายภาพบนเส้นตรงได้ คุณจะต้องได้รับทักษะในการฉายภาพจุดบนเส้นตรง

คำจำกัดความ 1

การฉายภาพจุดบนเส้น- นี่คือจุดนั้นเอง หากเป็นของเส้นที่กำหนด หรือฐานของเส้นตั้งฉากหลุดจากจุดนี้ไปยังเส้นที่กำหนด

พิจารณารูปด้านล่าง: จุด H 1 ทำหน้าที่เป็นเส้นโครงของจุด M 1 ลงบนเส้น a และจุด M 2 ซึ่งอยู่ในเส้นนั้นเป็นเส้นโครงของตัวเอง

คำจำกัดความนี้เป็นจริงสำหรับเคสบนเครื่องบินและในพื้นที่สามมิติ

เพื่อให้ได้เส้นโครงของจุด M 1 บนเส้น a บนระนาบ เส้น b จะถูกลากผ่านจุดที่กำหนด M 1 และตั้งฉากกับเส้น a ดังนั้น จุดตัดของเส้น a และ b จะเป็นเส้นโครงของจุด M 1 ลงบนเส้น a

ในปริภูมิสามมิติ การฉายภาพจุดบนเส้นตรงจะเป็นจุดตัดของเส้นตรง a และระนาบ α ที่ผ่านจุด M 1 และตั้งฉากกับเส้นตรง a

การหาพิกัดของการฉายภาพจุดบนเส้นตรง

ลองพิจารณาปัญหานี้ในกรณีของการฉายภาพบนเครื่องบินและในพื้นที่สามมิติ

ขอให้เราได้รับระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y จุด M 1 (x 1, y 1) และเส้นตรง a จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 ลงบนเส้นตรง a

ให้เราลากเส้น b ผ่านจุดที่กำหนด M 1 (x 1, y 1) ตั้งฉากกับเส้น a เราทำเครื่องหมายจุดตัดเป็น H1 จุด H 1 จะเป็นจุดที่ฉายของจุด M 1 เข้าสู่เส้นตรง a

จากโครงสร้างที่อธิบายไว้ เราสามารถกำหนดอัลกอริทึมที่ช่วยให้เราสามารถค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 (x 1, y 1) ลงบนเส้นตรง a:

เราเขียนสมการของเส้นตรง (หากไม่ได้รับ) เพื่อดำเนินการนี้ คุณต้องมีทักษะในการวาดสมการพื้นฐานบนเครื่องบิน

เราเขียนสมการของเส้น b (ผ่านจุด M 1 และตั้งฉากกับเส้น a) บทความเกี่ยวกับสมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดจะช่วยได้ที่นี่

เรากำหนดพิกัดการฉายภาพที่ต้องการเป็นพิกัดของจุดตัดของเส้น a และ b ในการทำเช่นนี้ เราจะแก้ระบบสมการซึ่งมีส่วนประกอบคือสมการของเส้น a และ b

ตัวอย่างที่ 1

บนระนาบ O x y ให้จุด M 1 (1, 0) และเส้นตรง a (สมการทั่วไปคือ 3 x + y + 7 = 0) มีความจำเป็นต้องกำหนดพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 ลงบนเส้นตรง a

สารละลาย

ทราบสมการของเส้นที่กำหนดดังนั้นตามอัลกอริทึมเราจึงดำเนินการขั้นตอนการเขียนสมการของเส้น b เส้น b ตั้งฉากกับเส้น a ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้น a ทำหน้าที่เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้น b จากนั้นเราเขียนเวกเตอร์ทิศทางของเส้น b เป็น ข → = (3 , 1) . ขอให้เราเขียนสมการบัญญัติของเส้น b ด้วยเนื่องจากเราได้รับพิกัดของจุด M 1 ที่เส้น b ผ่าน:

ขั้นตอนสุดท้ายคือการกำหนดพิกัดของจุดตัดของเส้น a และ b ย้ายจากสมการมาตรฐานของเส้น b ไปเป็นสมการทั่วไป:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 · (x - 1) = 3 · y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

มาสร้างระบบสมการจากสมการทั่วไปของเส้น a และ b แล้วแก้มัน:

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 · (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

ในที่สุด เราได้รับพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 (1, 0) ลงบนเส้นตรง 3 x + y + 7 = 0: (- 2, - 1)

คำตอบ: (- 2 , - 1) .

ให้เราพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมในกรณีที่จำเป็นต้องกำหนดพิกัดของการฉายภาพของจุดที่กำหนดบนเส้นพิกัดและเส้นที่ขนานกับจุดเหล่านั้น

กำหนดให้เส้นพิกัด O x และ O y รวมถึงจุด M 1 (x 1, y 1) เป็นที่ชัดเจนว่าการฉายภาพจุดที่กำหนดบนเส้นพิกัด O x ของรูปแบบ y = 0 จะเป็นจุดที่มีพิกัด (x 1, 0) ในทำนองเดียวกัน การฉายภาพจุดที่กำหนดบนเส้นพิกัด O y จะมีพิกัด 0, y 1

เส้นตรงใดๆ ก็ตาม ขนานกับแกน abscissa มีความเป็นไปได้ที่จะระบุสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ B y + C = 0 ⇔ y = - C B และเส้นตรงขนานกับแกนพิกัด - A x + C = 0 ⇔ x = - C A

จากนั้นเส้นโครงของจุด M 1 (x 1, y 1) ลงบนเส้น y = - C B และ x = - C A จะเป็นจุดที่มีพิกัด x 1, - C B และ - C A, y 1

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 (7, - 5) บนเส้นพิกัด O y รวมถึงบนเส้นขนานกับเส้น O y 2 y - 3 = 0

สารละลาย

ลองเขียนพิกัดของการฉายภาพของจุดที่กำหนดลงบนเส้นตรง O y: (0 , - 5) .

ลองเขียนสมการของเส้นตรง 2 y - 3 = 0 ในรูปแบบ y = 3 2 เห็นได้ชัดว่าการฉายภาพจุดที่กำหนดบนเส้นตรง y = 3 2 จะมีพิกัด 7, 3 2

คำตอบ:(0 , - 5) และ 7 , 3 2 .

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z จุด M 1 (x 1, y 1, z 1) และเส้นตรง a กำหนดไว้ในปริภูมิสามมิติ ลองหาพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 ลงบนเส้นตรง a กัน

มาสร้างระนาบ α ที่ผ่านจุด M 1 และตั้งฉากกับเส้น a เส้นโครงของจุดที่กำหนดบนเส้นตรง a จะเป็นจุดตัดของเส้นตรง a และระนาบ α จากนี้ เรานำเสนออัลกอริธึมสำหรับการค้นหาพิกัดของการฉายภาพของจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) ลงบนเส้นตรง a:

ลองเขียนสมการของเส้นตรง a ลงไป (ถ้าไม่ได้ระบุ) เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องอ่านบทความเกี่ยวกับสมการเส้นตรงในอวกาศ

มาสร้างสมการสำหรับระนาบ α ที่ผ่านจุด M 1 และตั้งฉากกับเส้นตรง a (ดูบทความ "สมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด");

ลองหาพิกัดที่ต้องการของการฉายภาพจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) ลงบนเส้นตรง a - สิ่งเหล่านี้จะเป็นพิกัดของจุดตัดของเส้นตรง α และระนาบ α (เพื่อช่วยดู บทความ “พิกัดจุดตัดของเส้นและระนาบ”)

ตัวอย่างที่ 3

ให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z และในนั้นมีจุด M 1 (0, 1, - 1) และเส้นตรง a เส้น a สอดคล้องกับสมการมาตรฐานในรูปแบบ: x ​​+ 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 กำหนดพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 ลงบนเส้นตรง a

สารละลาย

เราใช้อัลกอริธึมข้างต้น ทราบสมการของเส้น a แล้ว เราจึงข้ามขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมไป ลองเขียนสมการของระนาบ α กัน ในการทำเช่นนี้ เราจะกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ α จากสมการมาตรฐานที่กำหนดของเส้น a เราเลือกพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้: (3, - 4, 1) ซึ่งจะเป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบ α ตั้งฉากกับเส้น a แล้ว n → = (3, - 4, 1) – เวกเตอร์ปกติของระนาบ α ดังนั้นสมการของระนาบ α จะเป็นดังนี้:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

ทีนี้ลองหาพิกัดของจุดตัดของเส้นตรง a และระนาบ α ในกรณีนี้เราใช้สองวิธี:

1. สมการบัญญัติที่กำหนดทำให้สามารถรับสมการของระนาบที่ตัดกันสองอันซึ่งกำหนดเส้นตรง a:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 · (x + 2) = 3 · (y - 6) 1 · (x + 2) = 3 · (z + 1) 1 · ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

หากต้องการค้นหาจุดตัดของเส้นตรง 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 และระนาบ 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ให้แก้ระบบสมการ:

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

ใน ในกรณีนี้เราใช้วิธีการของ Cramer แต่เป็นไปได้ที่จะใช้วิธีที่สะดวก:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 78 = 0

ดังนั้น การฉายภาพจุดที่กำหนดลงบนเส้นตรง a คือจุดที่มีพิกัด (1, 2, 0)

1. จากสมการ Canonical ที่ให้มา ง่ายต่อการเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงในปริภูมิ:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 แลมบ์ y = 6 - 4 แลมบ์ซ = - 1 + แลมบ์

ให้เราแทนที่สมการของระนาบซึ่งมีรูปแบบ 3 x - 4 y + z + 5 = 0 แทนที่จะเป็น x, y และ z การแสดงออกผ่านพารามิเตอร์:

3 (- 2 + 3 แลมบ์ดา) - 4 (6 - 4 แลมบ์ดา) + (- 1 + แลมบ์ดา) + 5 = 0 ⇔ 26 แลมบ์ = 0 ⇔ แลมบ์ = 1

ให้เราคำนวณพิกัดที่ต้องการของจุดตัดของเส้นตรง a และระนาบ α โดยใช้สมการพาราเมตริกของเส้นตรง a โดยมี แล = 1:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

ดังนั้น การฉายภาพจุดที่กำหนดลงบนเส้นตรง a จึงมีพิกัด (1, 2, 0)

คำตอบ: (1 , 2 , 0)

สุดท้ายนี้ เราสังเกตว่าเส้นโครงของจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) บนเส้นพิกัด O x, O y และ O z จะเป็นจุดที่มีพิกัด (x 1, 0, 0), (0 , y 1, 0 ) และ (0 , 0 , z 1) ตามลำดับ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

การฉายภาพจุดบนเส้นตรงนั้นทำได้ค่อนข้างง่าย และเมื่อดำเนินการบางอย่าง การประมาณค่าเป็นศูนย์จะถูกคำนวณเป็นการฉายภาพจุดบนเส้นสัมผัสกัน พิจารณาเรื่องนี้ กรณีพิเศษงานทั่วไป

ให้เป็นเส้นตรง

และช่วงเวลา เราจะถือว่าเวกเตอร์เส้น w มีความยาวตามใจชอบ เส้นตรงลากผ่านจุดที่พารามิเตอร์ t เท่ากับศูนย์ และมีทิศทางของเวกเตอร์ w คุณต้องหาเส้นโครงของจุดบนเส้นตรง ปัญหานี้มีเพียงวิธีเดียวเท่านั้น เรามาสร้างเวกเตอร์จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งแล้วคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์นี้กับเวกเตอร์เส้น w ในรูป 4.5.1 แสดงเวกเตอร์ทิศทางของเส้น w จุดเริ่มต้น Co และเส้นโครง จุดที่กำหนด หากเราหารผลคูณสเกลาร์นี้ด้วยความยาวของเวกเตอร์ w เราจะได้ความยาวของเส้นโครงของเวกเตอร์ลงบนเส้นตรง

ข้าว. 4.5.1. การฉายภาพจุดบนเส้นตรง

หากเราหารผลคูณสเกลาร์นี้ด้วยกำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ w เราจะได้ความยาวของเส้นโครงของเวกเตอร์บนเส้นตรงในหน่วยของความยาวของเวกเตอร์ w นั่นคือเราได้พารามิเตอร์ t สำหรับ การฉายภาพจุดบนเส้นตรง

ดังนั้นพารามิเตอร์ของการฉายภาพจุดบนเส้นตรงและเวกเตอร์รัศมีของการฉายภาพ คำนวณโดยใช้สูตร

(4.5.3)

หากความยาวของเวกเตอร์ w เท่ากับ 1 แล้วใน (4.5.2) ไม่จำเป็นต้องหารด้วย ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นโครงบนเส้นโค้งโดยทั่วไปจะคำนวณเป็นความยาวของเวกเตอร์ ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นโครงไปยังเส้นตรงสามารถกำหนดได้โดยไม่ต้องคำนวณเส้นโครงของจุด แต่ใช้สูตร

กรณีพิเศษ.

การฉายภาพจุดบนเส้นโค้งเชิงวิเคราะห์สามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้วิธีเชิงตัวเลข ตัวอย่างเช่น ในการค้นหาเส้นโครงของจุดบนส่วนทรงกรวย คุณต้องแปลงจุดที่ฉายไปเป็นระบบพิกัดเฉพาะที่ของส่วนทรงกรวย ฉายจุดนี้บนระนาบของส่วนทรงกรวย และค้นหาพารามิเตอร์ของทั้งสอง - การฉายมิติของจุดที่กำหนด

กรณีทั่วไป.

ปล่อยให้จำเป็นต้องหาเส้นโครงของจุดทั้งหมดบนเส้นโค้ง

(4.5.5)

สมการนี้มีปริมาณที่ไม่ทราบค่าหนึ่ง - พารามิเตอร์ t ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว เราจะแบ่งวิธีแก้ปัญหานี้ออกเป็นสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรกเราจะกำหนดการประมาณเป็นศูนย์ของพารามิเตอร์ของการฉายภาพของจุดบนเส้นโค้งและในขั้นตอนที่สองเราจะค้นหาค่าที่แน่นอนของพารามิเตอร์เส้นโค้งที่กำหนดการฉายภาพของจุดที่กำหนดบน เส้นโค้งด้วย