ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน - คำจำกัดความ ภาพประกอบ

และเพื่อแก้ปัญหานี้คุณจะต้องมีความรู้ขั้นต่ำในหัวข้อนี้ ปีการศึกษาอื่นกำลังจะสิ้นสุดลงทุกคนอยากไปเที่ยวพักผ่อนและเพื่อที่จะนำช่วงเวลานี้เข้ามาใกล้ยิ่งขึ้นฉันจะเข้าประเด็นทันที:

เริ่มจากพื้นที่กันก่อน พื้นที่ที่อ้างถึงในสภาพคือ จำกัด ปิด ชุดของจุดบนเครื่องบิน ตัวอย่างเช่น เซตของจุดที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยม รวมถึงสามเหลี่ยมทั้งหมดด้วย (ถ้าจาก เส้นขอบ“แทงออก” อย่างน้อย 1 จุด แล้วเขตจะไม่ถูกปิดอีกต่อไป)- ในทางปฏิบัติยังมีพื้นที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กลม และซับซ้อนกว่าเล็กน้อยอีกด้วย ควรสังเกตว่าในทฤษฎีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์นั้นให้คำจำกัดความที่เข้มงวด ข้อจำกัด ความแตกแยก ขอบเขต ฯลฯแต่ฉันคิดว่าทุกคนตระหนักถึงแนวคิดเหล่านี้ในระดับสัญชาตญาณ และตอนนี้ไม่ต้องการอะไรอีกแล้ว

พื้นที่ราบจะแสดงด้วยตัวอักษรมาตรฐาน และตามกฎแล้วจะถูกระบุเชิงวิเคราะห์ - ด้วยสมการหลายประการ (ไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นตรง)- ความไม่เท่าเทียมกันน้อยลง การใช้คำทั่วไป: “พื้นที่ปิดที่ล้อมรอบด้วยเส้น”

ส่วนสำคัญของงานที่อยู่ระหว่างการพิจารณาคือการก่อสร้างพื้นที่ในรูปวาด วิธีการทำเช่นนี้? คุณต้องวาดเส้นที่แสดงทั้งหมด (in ในกรณีนี้ 3 ตรง) และวิเคราะห์สิ่งที่เกิดขึ้น พื้นที่ที่ค้นหามักจะแรเงาเล็กน้อย และมีเส้นขอบกำกับด้วยเส้นหนา:


สามารถกำหนดพื้นที่เดียวกันได้ อสมการเชิงเส้น: ซึ่งด้วยเหตุผลบางประการมักเขียนเป็นรายการแจกแจงมากกว่า ระบบ.
เนื่องจากเขตแดนเป็นของภูมิภาค แน่นอนว่าความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด หละหลวม.

และตอนนี้สาระสำคัญของงาน ลองนึกภาพว่าแกนพุ่งตรงมาหาคุณจากจุดกำเนิด พิจารณาฟังก์ชันนั้น อย่างต่อเนื่อง ในแต่ละจุดพื้นที่ กราฟของฟังก์ชันนี้แสดงถึงบางส่วน พื้นผิวและความสุขเล็กๆ น้อยๆ ก็คือการแก้ปัญหาในปัจจุบันโดยไม่จำเป็นต้องรู้ว่าพื้นผิวนี้เป็นอย่างไร มันสามารถอยู่ในตำแหน่งที่สูงขึ้น, ล่าง, ตัดกับระนาบ - ทั้งหมดนี้ไม่สำคัญ และที่สำคัญดังต่อไปนี้ตาม ทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราส, อย่างต่อเนื่องวี จำกัดปิดพื้นที่ที่ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุด (“สูงสุด”)และอย่างน้อยที่สุด ("ต่ำสุด")คุณค่าที่จำเป็นต้องค้นหา บรรลุถึงคุณค่าดังกล่าว หรือวี จุดคงที่, ที่เป็นของภูมิภาคดี , หรือณ จุดที่อยู่บริเวณขอบบริเวณนี้ สิ่งนี้นำไปสู่อัลกอริธึมโซลูชันที่เรียบง่ายและโปร่งใส:

ตัวอย่างที่ 1

ในพื้นที่ปิดอันจำกัด

สารละลาย: ก่อนอื่น คุณต้องพรรณนาถึงพื้นที่ในภาพวาด น่าเสียดายที่เป็นเรื่องยากในทางเทคนิคสำหรับฉันที่จะสร้างแบบจำลองเชิงโต้ตอบของปัญหา ดังนั้นฉันจะนำเสนอภาพประกอบขั้นสุดท้ายทันที ซึ่งจะแสดงประเด็นที่ “น่าสงสัย” ทั้งหมดที่พบในระหว่างการวิจัย โดยปกติแล้วจะมีการระบุไว้ตามลำดับเมื่อมีการค้นพบ:

จากคำนำ การตัดสินใจสามารถแบ่งออกเป็นสองประเด็นได้อย่างสะดวก:

I) ค้นหาจุดคงที่ นี่เป็นการกระทำมาตรฐานที่เราทำซ้ำๆ ในชั้นเรียน เกี่ยวกับสุดขั้วของตัวแปรหลายตัว:

พบจุดคงที่ เป็นของพื้นที่: (ทำเครื่องหมายบนภาพวาด)ซึ่งหมายความว่าเราควรคำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด:

- เช่นเดียวกับในบทความ ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ฉันจะเน้นผลลัพธ์ที่สำคัญด้วยตัวหนา สะดวกในการติดตามด้วยสมุดบันทึกด้วยดินสอ

ใส่ใจกับความสุขครั้งที่สองของเรา - ไม่มีประโยชน์ที่จะตรวจสอบ สภาพที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว- ทำไม แม้ว่า ณ จุดที่ฟังก์ชันไปถึง เช่น ขั้นต่ำในท้องถิ่นแล้วนี่ไม่ได้หมายความว่าค่าผลลัพธ์จะเป็น น้อยที่สุดทั่วทั้งภูมิภาค (ดูตอนต้นบทเรียน เกี่ยวกับความสุดขั้วที่ไม่มีเงื่อนไข) .

จะทำอย่างไรถ้าจุดคงที่ไม่ได้เป็นของภูมิภาค? แทบไม่มีอะไรเลย! ควรสังเกตและไปยังจุดถัดไป

II) เราสำรวจขอบเขตของภูมิภาค

เนื่องจากเส้นขอบประกอบด้วยด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม จึงสะดวกในการแบ่งการศึกษาออกเป็น 3 ส่วนย่อย แต่อย่าทำเลยจะดีกว่า จากมุมมองของฉัน การพิจารณาส่วนที่ขนานกับแกนพิกัดจะมีประโยชน์มากกว่าเป็นอันดับแรก และประการแรกคือส่วนที่อยู่บนแกนเอง เพื่อเข้าใจลำดับและตรรกะของการกระทำทั้งหมด ให้ลองศึกษาตอนจบของ "ในลมหายใจเดียว":

1) มาจัดการกับด้านล่างของสามเหลี่ยมกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่โดยตรงในฟังก์ชัน:

หรือคุณสามารถทำเช่นนี้:

ในเชิงเรขาคณิต นี่หมายถึงระนาบพิกัด (ซึ่งได้รับจากสมการด้วย)"แกะสลัก" ออกจาก พื้นผิวพาราโบลา "เชิงพื้นที่" ซึ่งส่วนบนสุดตกอยู่ภายใต้ความสงสัยทันที มาหาคำตอบกัน เธออยู่ที่ไหน:

– ค่าผลลัพธ์ที่ได้ “ตกลง” ลงในพื้นที่ และอาจกลายเป็นว่า ณ จุดนั้นก็ได้ (ทำเครื่องหมายบนภาพวาด)ฟังก์ชันถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดในภูมิภาคทั้งหมด ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เรามาคำนวณกัน:

แน่นอนว่า "ผู้สมัคร" คนอื่นๆ ก็คือจุดสิ้นสุดของกลุ่มนี้ ลองคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดต่างๆ (ทำเครื่องหมายบนภาพวาด):

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถทำการตรวจช่องปากขนาดเล็กโดยใช้เวอร์ชัน "ถอดออก" ได้:

2) เพื่อศึกษาด้านขวาของสามเหลี่ยม ให้แทนที่มันลงในฟังก์ชันและ “จัดลำดับ”:

ที่นี่เราจะทำการตรวจสอบคร่าวๆ ทันที โดย "ส่งเสียง" ส่วนที่ประมวลผลแล้วของเซ็กเมนต์:
, ยอดเยี่ยม.

สถานการณ์ทางเรขาคณิตเกี่ยวข้องกับประเด็นก่อนหน้า:

– ค่าผลลัพธ์ยัง “เข้ามาอยู่ในขอบเขตที่เราสนใจ” ซึ่งหมายความว่าเราต้องคำนวณว่าฟังก์ชัน ณ จุดที่ปรากฏนั้นเท่ากับเท่าใด:

เรามาตรวจสอบส่วนที่สองของส่วนกัน:

การใช้ฟังก์ชัน เรามาทำการตรวจสอบการควบคุมกัน:

3) ทุกคนคงเดาได้ว่าจะสำรวจด้านที่เหลืออย่างไร เราแทนที่มันลงในฟังก์ชันและดำเนินการลดความซับซ้อน:

จุดสิ้นสุดของส่วน มีการวิจัยมาแล้ว แต่ในร่าง เรายังตรวจสอบว่าเราพบฟังก์ชันถูกต้องหรือไม่ :
– ตรงกับผลลัพธ์ของอนุวรรคที่ 1
– ตรงกับผลลัพธ์ของย่อหน้าย่อยที่ 2

ยังคงต้องดูว่ามีอะไรน่าสนใจในกลุ่มนี้หรือไม่:

- มี! เมื่อแทนเส้นตรงลงในสมการ เราจะได้พิกัดของ "ความน่าสนใจ" นี้:

เราทำเครื่องหมายจุดบนภาพวาดและค้นหาค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน:

มาตรวจสอบการคำนวณโดยใช้เวอร์ชัน "งบประมาณ" กัน :
, คำสั่ง.

และขั้นตอนสุดท้าย: เราพิจารณาตัวเลข "ตัวหนา" ทั้งหมดอย่างรอบคอบ ฉันแนะนำให้ผู้เริ่มต้นสร้างรายการเดียว:

ซึ่งเราเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด คำตอบมาเขียนในรูปแบบของปัญหาในการค้นหากัน ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์:

ในกรณีที่ฉันจะแสดงความคิดเห็นอีกครั้ง ความหมายทางเรขาคณิตผลลัพธ์:
– นี่คือจุดสูงสุดของพื้นผิวในภูมิภาค
– นี่คือจุดต่ำสุดของพื้นผิวในพื้นที่

ในงานวิเคราะห์ เราได้ระบุจุด “น่าสงสัย” 7 จุด แต่จำนวนจุดนั้นแตกต่างกันไปในแต่ละงาน สำหรับพื้นที่สามเหลี่ยม “ชุดการวิจัย” ขั้นต่ำประกอบด้วยสามจุด สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อมีการระบุฟังก์ชัน เป็นต้น เครื่องบิน– เป็นที่ชัดเจนโดยสมบูรณ์ว่าไม่มีจุดที่อยู่นิ่ง และฟังก์ชันสามารถเข้าถึงค่าสูงสุด/ต่ำสุดได้เฉพาะที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมเท่านั้น แต่มีตัวอย่างที่คล้ายกันเพียงหนึ่งหรือสองตัวอย่าง โดยปกติแล้วคุณจะต้องจัดการกับตัวอย่างบางประเภท พื้นผิวลำดับที่ 2.

หากคุณแก้ไขงานดังกล่าวเพียงเล็กน้อย สามเหลี่ยมก็อาจทำให้หัวของคุณหมุนได้ และนั่นคือสาเหตุที่ฉันได้เตรียมตัวอย่างที่ผิดปกติมาให้คุณเพื่อทำให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส :))

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน ในพื้นที่ปิดที่มีเส้นกั้น

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในพื้นที่ปิดที่จำกัด

ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับลำดับเหตุผลและเทคนิคในการศึกษาขอบเขตของภูมิภาคตลอดจนห่วงโซ่การตรวจสอบระดับกลางซึ่งจะหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการคำนวณเกือบทั้งหมด โดยทั่วไป คุณสามารถแก้ปัญหาได้ตามที่คุณต้องการ แต่ในปัญหาบางอย่าง เช่น ในตัวอย่างที่ 2 มีโอกาสที่จะทำให้ชีวิตของคุณยากขึ้นทุกครั้ง ตัวอย่างงานมอบหมายสุดท้ายโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

มาจัดระบบอัลกอริธึมการแก้ปัญหากัน ไม่อย่างนั้นด้วยความขยันของฉันในฐานะแมงมุม มันก็หายไปจากความคิดเห็นอันยาวเหยียดของตัวอย่างที่ 1:

– ในขั้นตอนแรก เราสร้างพื้นที่ แนะนำให้แรเงาและเน้นเส้นขอบด้วยเส้นหนา ในระหว่างการแก้ปัญหา จุดที่ต้องทำเครื่องหมายบนภาพวาดจะปรากฏขึ้น

– ค้นหาจุดคงที่และคำนวณค่าของฟังก์ชัน เฉพาะในนั้นเท่านั้นที่เป็นของภูมิภาค เราเน้นค่าผลลัพธ์ในข้อความ (เช่น วงกลมด้วยดินสอ) หากจุดที่อยู่นิ่งไม่ได้เป็นของภูมิภาค เราจะทำเครื่องหมายข้อเท็จจริงนี้ด้วยไอคอนหรือด้วยวาจา หากไม่มีจุดคงที่เราจะสรุปเป็นลายลักษณ์อักษรว่าขาดไป จุดนี้ยังไงก็ข้ามไม่ได้!

– เรากำลังสำรวจชายแดนของภูมิภาค ประการแรก การทำความเข้าใจเส้นตรงที่ขนานกับแกนพิกัดจะเป็นประโยชน์ (ถ้ามีเลย)- นอกจากนี้เรายังเน้นค่าฟังก์ชันที่คำนวณ ณ จุดที่น่าสงสัย มีการกล่าวมากมายข้างต้นเกี่ยวกับเทคนิคการแก้ปัญหา และอย่างอื่นจะกล่าวถึงด้านล่าง - อ่าน อ่านซ้ำ เจาะลึก!

– จากตัวเลขที่เลือก ให้เลือกค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดแล้วให้คำตอบ บางครั้งมันเกิดขึ้นที่ฟังก์ชันถึงค่าดังกล่าวหลายจุดพร้อมกัน - ในกรณีนี้ จุดทั้งหมดเหล่านี้ควรจะสะท้อนให้เห็นในคำตอบ ยกตัวอย่างว่า และปรากฎว่านี่คือค่าที่น้อยที่สุด จากนั้นเราจะเขียนลงไปว่า

ตัวอย่างสุดท้ายมีไว้สำหรับผู้อื่นโดยเฉพาะ ความคิดที่เป็นประโยชน์ซึ่งจะเป็นประโยชน์ในทางปฏิบัติ ดังนี้

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในพื้นที่ปิด .

ฉันยังคงรักษาสูตรของผู้เขียน ซึ่งให้ภูมิภาคนี้อยู่ในรูปของความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า เงื่อนไขนี้สามารถเขียนโดยระบบที่เทียบเท่ากันหรือในรูปแบบดั้งเดิมสำหรับปัญหานี้:

ฉันเตือนคุณว่าด้วย ไม่เชิงเส้นเราพบความไม่เท่าเทียมกันใน และหากคุณไม่เข้าใจความหมายทางเรขาคณิตของสัญกรณ์ โปรดอย่ารอช้าและชี้แจงสถานการณ์ในขณะนี้ ;-)

สารละลายเช่นเคย เริ่มต้นด้วยการสร้างพื้นที่ที่แสดงถึง "พื้นรองเท้า" แบบหนึ่ง:

อืม บางครั้งคุณต้องเคี้ยวไม่เพียงแต่หินแกรนิตแห่งวิทยาศาสตร์เท่านั้น...

I) ค้นหาจุดคงที่:

ระบบคือความฝันของคนงี่เง่า :)

จุดที่อยู่นิ่งเป็นของภูมิภาค กล่าวคือ อยู่บนขอบเขต

ไม่เป็นไร... บทเรียนผ่านไปด้วยดี - การดื่มชาที่ถูกต้องหมายถึงอะไร =)

II) เราสำรวจขอบเขตของภูมิภาค เพื่อเป็นการไม่ให้เสียเวลา เรามาเริ่มกันที่แกน x:

1) ถ้า แล้ว

มาดูกันว่าจุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่ใด:
– ชื่นชมช่วงเวลาดังกล่าว – คุณได้ “ตี” ทันทีจนถึงจุดที่ทุกอย่างชัดเจนแล้ว แต่เราก็ยังไม่ลืมที่จะตรวจสอบ:

มาคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์:

2) มาจัดการกับส่วนล่างของ "แต่เพียงผู้เดียว" "ในการนั่งครั้งเดียว" - โดยไม่ต้องใช้คอมเพล็กซ์ใด ๆ เราจะแทนที่มันลงในฟังก์ชันและเราจะสนใจเฉพาะในส่วนนี้เท่านั้น:

ควบคุม:

สิ่งนี้นำความตื่นเต้นมาสู่การขับขี่ที่น่าเบื่อหน่ายไปตามทางที่มีปุ่มนูน มาหาจุดวิกฤติกัน:

มาตัดสินใจกัน สมการกำลังสองคุณจำอะไรอีกเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ไหม? ...อย่างไรก็ตาม จำไว้ว่า ไม่เช่นนั้นคุณจะไม่ได้อ่านบรรทัดเหล่านี้ =) หากในสองตัวอย่างก่อนหน้านี้ การคำนวณเศษส่วนทศนิยมนั้นสะดวก (ซึ่งบังเอิญพบได้ยาก) แล้วนี่คือเศษส่วนธรรมดาตามปกติ รอเราอยู่ เราค้นหาราก "X" และใช้สมการเพื่อกำหนดพิกัด "เกม" ที่สอดคล้องกันของคะแนน "ผู้สมัคร":


ลองคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดที่พบ:

ตรวจสอบฟังก์ชั่นด้วยตัวเอง

ตอนนี้เราศึกษาถ้วยรางวัลที่ได้รับอย่างระมัดระวังและจดบันทึก คำตอบ:

เหล่านี้คือ "ผู้สมัคร" เหล่านี้คือ "ผู้สมัคร"!

สำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาที่เล็กที่สุดและ มูลค่าสูงสุดฟังก์ชั่น ในพื้นที่ปิด

รายการที่มีเครื่องหมายปีกกาจะอ่านได้ดังนี้: “ชุดของจุดเช่นนั้น”

บางครั้งพวกเขาก็ใช้ในตัวอย่างนี้ วิธีตัวคูณลากรองจ์แต่ไม่น่าจะมีความจำเป็นที่จะต้องใช้มันจริงๆ ตัวอย่างเช่นหากได้รับฟังก์ชันที่มีพื้นที่ "de" เท่ากันหลังจากแทนที่เข้าไปแล้ว - ด้วยอนุพันธ์จากไม่มีปัญหา; ยิ่งไปกว่านั้น ทุกอย่างถูกวาดเป็น "บรรทัดเดียว" (มีเครื่องหมาย) โดยไม่จำเป็นต้องพิจารณาครึ่งวงกลมบนและล่างแยกกัน แต่แน่นอนว่ายังมีกรณีที่ซับซ้อนกว่าเช่นกัน โดยที่ไม่มีฟังก์ชัน Lagrange (โดยที่ เป็นสมการเดียวกันของวงกลม)มันยากที่จะผ่านไป เช่นเดียวกับที่มันยากที่จะผ่านไปโดยไม่มี พักผ่อนเยอะๆนะ!

ขอให้ทุกคนมีช่วงเวลาที่ดี แล้วพบกันใหม่ในฤดูกาลหน้า!

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2: สารละลาย: ลองพรรณนาพื้นที่ในรูปวาด:

ทฤษฎีบท 1.5 ปล่อยให้ในพื้นที่ปิด ดี ระบุฟังก์ชันแล้ว z=z(x,y) โดยมีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องของลำดับที่หนึ่ง ชายแดน ช ภูมิภาค ดี เป็นชิ้น ๆ เรียบ (เช่น ประกอบด้วยส่วนโค้ง "เรียบเมื่อสัมผัส" หรือเส้นตรง) แล้วในพื้นที่ ดี การทำงาน z (x,y) ถึงจุดสุดยอดแล้ว ม และอย่างน้อยที่สุด ม ค่านิยม

ไม่มีข้อพิสูจน์

คุณสามารถเสนอแผนการค้นหาต่อไปนี้ ม และ ม .
1. เราสร้างภาพวาดเลือกขอบเขตพื้นที่ทั้งหมด ดี และค้นหาจุด "มุม" ทั้งหมดของเส้นขอบ
2. ค้นหาจุดคงที่ภายใน ดี .
3. ค้นหาจุดคงที่ในแต่ละขอบเขต
4. เราคำนวณจุดที่อยู่นิ่งและมุมทั้งหมด จากนั้นเลือกจุดที่ใหญ่ที่สุด ม และอย่างน้อยที่สุด ม ความหมาย

ตัวอย่างที่ 1.14 ค้นหาสิ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ม และอย่างน้อยที่สุด ม ค่าฟังก์ชัน z = 4x2-2xy+y2-8x ในพื้นที่ปิด ดี จำกัด: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1.มาสร้างพื้นที่กัน ดี (รูปที่ 1.5) บนเครื่องบิน โอ้โห .

จุดมุม: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

ชายแดน ช ภูมิภาค ดี ประกอบด้วยสามส่วน:

2. ค้นหาจุดคงที่ภายในภูมิภาค ดี :

3. จุดคงที่บนขอบเขต ลิตร 1, ลิตร 2, ลิตร 3 :

4. เราคำนวณค่าหกค่า:

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

ฟังก์ชั่นนี้กำหนดไว้สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปร x และ ย ยกเว้นที่จุดกำเนิดซึ่งตัวส่วนไปที่ศูนย์

พหุนาม x 2 +y 2 มีความต่อเนื่องทุกที่ ดังนั้นรากที่สองของฟังก์ชันต่อเนื่องจึงเป็นค่าต่อเนื่อง

เศษส่วนจะต่อเนื่องกันทุกที่ ยกเว้นจุดที่ตัวส่วนเป็นศูนย์ นั่นคือ ฟังก์ชันที่กำลังพิจารณาจะต่อเนื่องกันบนระนาบพิกัดทั้งหมด โอ้โห ไม่รวมแหล่งกำเนิด

ตัวอย่างที่ 2

ตรวจสอบความต่อเนื่องของฟังก์ชัน z=tg (x,y) - แทนเจนต์ถูกกำหนดและต่อเนื่องสำหรับค่าจำกัดทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ ยกเว้นค่าเท่ากับจำนวนคี่ของปริมาณ π /2 , เช่น. ยกเว้นจุดที่

สำหรับทุกการแก้ไข "เค" สมการ (1.11) กำหนดไฮเปอร์โบลา ดังนั้นฟังก์ชันที่ต้องการคือ ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง x และคุณ ไม่รวมจุดที่วางอยู่บนเส้นโค้ง (1.11)

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน คุณ=z -xy , z > 0 .

ตัวอย่างที่ 4

แสดงฟังก์ชันนั้น

ตอบสนองความเป็นตัวตน:

– ความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้กับทุกคะแนน M(x;y;z) ยกเว้นประเด็น ม 0 (ก;ข;ค) .

ลองพิจารณาฟังก์ชัน z=f(x,y) ของตัวแปรอิสระสองตัวและสร้างความหมายทางเรขาคณิตของตัวแปรบางส่วน ซี"x =ฉ"x (x,y) และ ซ" ย = ฉ" ย (x,y) .

ในกรณีนี้คือสมการ z=ฉ (x,y) มีสมการของพื้นผิวบางส่วน (รูปที่ 1.3) มาวาดเครื่องบินกันเถอะ ย = ค่าคงที่ - ในส่วนของระนาบพื้นผิวนี้ z=ฉ (x,y) คุณได้รับสาย ล. 1 ทางแยกที่เปลี่ยนเพียงปริมาณเท่านั้น เอ็กซ์ และ z .

อนุพันธ์บางส่วน ซ"x (ความหมายทางเรขาคณิตของมันตามโดยตรงจากความหมายทางเรขาคณิตที่ทราบของอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่ง) จะมีค่าเป็นตัวเลขเท่ากับแทนเจนต์ของมุม α ความเอียงสัมพันธ์กับแกน โอ้ , แทนเจนต์ ล 1 ถึงทางโค้ง ล. 1 ส่งผลให้มีส่วนของพื้นผิว z=ฉ (x,y) เครื่องบิน ย = ค่าคงที่ ตรงจุด M(x,y,f(xy)): z" x = tanα .

ในส่วนของพื้นผิว z=ฉ (x,y) เครื่องบิน เอ็กซ์ = ค่าคงที่ คุณจะได้เส้นตัดกัน ลิตร 2 ซึ่งมีเพียงปริมาณเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง ที่ และ z - แล้วอนุพันธ์ย่อย ซี" ย เป็นตัวเลขเท่ากับแทนเจนต์ของมุม β เอียงสัมพันธ์กับแกน โอ้ , แทนเจนต์ ล 2 ไปยังบรรทัดที่ระบุ ลิตร 2 ทางแยกที่จุดหนึ่ง M(x,y,f(xy)): z" x = tanβ .

ตัวอย่างที่ 5

มันทำมุมกับแกนเท่าไหร่? โอ้ สัมผัสกับเส้น:

ตรงจุด ม(2,4,5) ?

เราใช้ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ย่อยเทียบกับตัวแปร เอ็กซ์ (คงที่ ที่ ):

ตัวอย่างที่ 6

ตาม (1.31):

ตัวอย่างที่ 7

สมมุติว่าสมการ

กำหนดฟังก์ชันโดยปริยาย

หา ซ"x , z" ย .

ดังนั้นตาม (1.37) เราได้คำตอบ

ตัวอย่างที่ 8

สำรวจสุดขั้ว:

1. ค้นหาจุดคงที่โดยการแก้ระบบ (1.41):

นั่นคือพบจุดคงที่สี่จุด
2.

โดยทฤษฎีบท 1.4 ณ จุดที่มีขั้นต่ำ

นอกจากนี้

4. เราคำนวณค่าหกค่า:

จากค่าทั้งหกที่ได้รับ ให้เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

อ้างอิง:

ü Belko I.V., Kuzmich K.K. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นสำหรับนักเศรษฐศาสตร์ ฉันภาคการศึกษา: หลักสูตรด่วน – อ.: ความรู้ใหม่, 2545 – 140 น.

ü กูซัค เอ.เอ.. การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และสมการเชิงอนุพันธ์ – Mn.: TetraSystems, 1998. – 416 หน้า

ü กูศักดิ์ อ.เอ. คณิตศาสตร์ชั้นสูง. บทช่วยสอนสำหรับนักศึกษามหาวิทยาลัย จำนวน 2 เล่ม – ม.ค. 2541 – 544 น. (1 เล่ม), 448 หน้า. (2 เล่ม).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. คณิตศาสตร์ขั้นสูงสำหรับนักเศรษฐศาสตร์: หนังสือเรียนสำหรับมหาวิทยาลัย / Ed. ศาสตราจารย์ N. Sh. Kremer. – ม.: UNITI, 2002. – 471 น.

ü Yablonsky A.I. , Kuznetsov A.V. , Shilkina E.I. และคณิตศาสตร์ชั้นสูง หลักสูตรทั่วไป: หนังสือเรียน / ทั่วไป. เอ็ด S. A. Samal. – Mn.: วิช. โรงเรียน พ.ศ. 2543 – 351 น.

การบรรยายครั้งที่ 28 ศึกษาฟังก์ชันสุดขั้วของตัวแปรหลายตัว ฟังก์ชันปลายสุดแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรหลายตัว

การศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวจนถึงปลายสุดเป็นขั้นตอนที่ซับซ้อนกว่าขั้นตอนที่คล้ายกันสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว ดังนั้น เราจะจำกัดตัวเองให้พิจารณาปัญหานี้โดยใช้ตัวอย่างฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่ง่ายที่สุดและชัดเจนที่สุด (ดูรูปที่ 1) ที่นี่ ม.1(x1 ; คุณ 1), ม.2(x 2 ; คุณ 2), ม.3(x 3 ; คุณ 3) คือจุดปลายสุดของฟังก์ชันนี้ กล่าวคือคะแนน ม.1และ ม 3 –จุดต่ำสุดของฟังก์ชันและจุด ม.2– จุดสูงสุดของมัน รูปที่ 1 แสดงฟังก์ชันที่มีจุดปลายสุดสามจุด แต่โดยธรรมชาติแล้ว จุดเหล่านี้อาจมีไม่มากก็น้อย

ให้เรานิยามให้ชัดเจนยิ่งขึ้นว่าจุดปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวคืออะไร

คำนิยาม- ฟังก์ชั่นก็มี สูงสุด(ขั้นต่ำ) ณ จุดหนึ่ง หากจุดใด ๆ ที่ตั้งอยู่ในละแวกใกล้เคียงบางแห่ง - ย่านใกล้เคียงของจุดนั้น สิ่งต่อไปนี้จะถือเป็น: (- - พื้นที่ใกล้เคียงสามารถแสดงด้วยชุดของจุดที่พิกัดตรงตามเงื่อนไข โดยที่จำนวนบวกที่น้อยเพียงพอ

เรียกว่าค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน สุดขั้ว, เอ - จุดสูงสุด.

อนุญาต M0(x 0 ; ใช่ 0) – จุดสุดขั้วใดๆ (จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด) ของฟังก์ชัน แล้วมันยุติธรรม

ทฤษฎีบท 1

ถ้าถึงจุดสุดขั้ว M0(x 0 ; ใช่ 0) มีอนุพันธ์บางส่วน และ แล้วทั้งคู่ก็เท่ากับศูนย์:

2) ให้เราพิจารณาฟังก์ชันนี้ . เพราะ คือค่าสุดขั้วของฟังก์ชันนี้ แล้วจึงเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ที่ y = y 0หากมีอยู่จะเท่ากับศูนย์:

(3)

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

โปรดทราบว่าเงื่อนไข (1) คือ จำเป็นเท่านั้นสภาวะสุดขั้ว ณ จุดนั้น M0(x 0 ; ใช่ 0) ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้ นั่นคือเงื่อนไขเหล่านี้ไม่ได้ เงื่อนไขที่เพียงพอประเด็นคืออะไร M0(x 0 ; ใช่ 0) ฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุด (สูงสุดหรือต่ำสุด) กล่าวอีกนัยหนึ่งระยะเวลา M0(x 0 ; ใช่ 0) ซึ่งทั้งสองความเท่าเทียมกัน (1) เป็นที่พอใจคือ น่าสงสัยเท่านั้นจนถึงจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน ข้อสรุปสุดท้ายเกี่ยวกับธรรมชาติของจุดที่น่าสงสัยสำหรับจุดสุดขีดสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ (เรานำเสนอโดยไม่มีที่มา):

ทฤษฎีบท 2(เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว)

อนุญาต M0(x 0 ; ใช่ 0) – จุดดังกล่าวจากภูมิภาค ดีการกำหนดฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไขที่จำเป็น (1) สำหรับส่วนปลายสุดของฟังก์ชันนี้ นั่นก็คือ M0(x 0 ; ใช่ 0) – จุดที่สงสัยถึงขั้นสุดโต่ง เรามาค้นหาตัวเลข ณ จุดนี้กันดีกว่า

(4)

1) ถ้า > 0 และ > 0 (หรือ ค>0ที่ ก=0), ที่ M0(x 0 ; ใช่ 0) – จุดต่ำสุดของฟังก์ชัน .

2) ถ้า > 0 และ < 0 (หรือ กับ<0 ที่ ก=0), ที่ M0(x 0 ; ใช่ 0) – จุดสูงสุดของฟังก์ชัน .

3) ถ้า < 0 แล้วชี้ M0(x 0 ; ใช่ 0) – ไม่ใช่จุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน .

4) ถ้า = 0 จากนั้นคำถามยังคงเปิดอยู่ - จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม

ตัวอย่างที่ 1อนุญาต เอ็กซ์และ ที่– ปริมาณของสินค้าสองรายการที่ผลิต หน้า 1 = 8 ถู และ หน้า 2 = 10 ถู – ราคาต่อหน่วยของสินค้าแต่ละรายการตามลำดับ ค= 0,01(x 2 + xy + y 2) เป็นฟังก์ชันของต้นทุน (เป็นรูเบิล) สำหรับการผลิตสินค้าเหล่านี้ แล้วรายได้ รจากการขายสินค้าจะได้ R = 8x+10y(ถู.) และกำไร ปจะเป็น (เป็นรูเบิล)

พี = ร – ค = 8x+ 10คุณ – 0,01(x 2 +xy+y 2).

มาหาเล่มกัน เอ็กซ์และ ที่สินค้าที่มีกำไร ปจะเป็นสูงสุด

1) ก่อนอื่นเรามาค้นหาค่า ( x;y) น่าสงสัยถึงจุดสุดยอดสำหรับฟังก์ชันนี้ ป:

2) ตอนนี้เราตรวจสอบฟังก์ชันสุดขั้วที่น่าสงสัยที่พบ ปจุด ม 0(200; 400) ในการทำเช่นนี้เราจะพบค่าที่กำหนดโดยนิพจน์ (4) ณ จุดนี้ เพราะ

และสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับสิ่งใด ๆ ( เอ็กซ์; ที่) และ ณ จุดนั้น ม 0(200; 400) จากนั้น

เพราะนั่นคือประเด็น ม 0(200; 400) – จุดสูงสุดของฟังก์ชัน ป- นั่นก็คือกำไร ปจากการขายจะสูงสุดที่ x= 200(หน่วย)และ ย = 400(หน่วย)และเท่ากับ 2,800 รูเบิล

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาจุดสุดขั้วและค่าสุดขั้วของฟังก์ชัน

สารละลาย.ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่กำหนดไว้สำหรับตัวแปรใดๆ เอ็กซ์และ ที่นั่นคือบนเครื่องบินทั้งหมด ฮาววี่และมีอนุพันธ์ย่อยอันดับ 1 ในแต่ละจุด:

ขั้นแรกเราหาจุดของเครื่องบิน ฮาววี่น่าสงสัยถึงขีดสุดสำหรับฟังก์ชันนี้:

จากนั้น เมื่อพบอนุพันธ์ย่อยอันดับสองของฟังก์ชันแล้ว เราก็เขียนนิพจน์สำหรับ:

ตอนนี้กำลังคำนวณค่าตัวเลขของปริมาณเหล่านี้สำหรับแต่ละจุดทั้งสี่ที่น่าสงสัยถึงจุดสุดยอดเราได้รับข้อสรุปต่อไปนี้เกี่ยวกับจุดเหล่านี้:

จุด นาที.

จุด สูงสุด.

ไม่ใช่จุดสุดโต่ง

ไม่ใช่จุดสุดโต่ง

ทีนี้ลองหาค่าสุดขั้ว (สูงสุด) สองค่าของฟังก์ชันที่กำหนดความสูงของจุดยอดทั้งสองของกราฟของฟังก์ชันนี้:

การหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวในพื้นที่ปิด

ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้ อนุญาต ฟังก์ชันต่อเนื่องของตัวแปรสองตัว ซึ่งพิจารณาในโดเมนปิด โดยที่ส่วนภายในของโดเมนคือ และ ช– เส้นขอบ (รูปที่ 8.6)

ความจริงที่ว่าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องในภูมิภาคหมายความว่ากราฟของฟังก์ชันนี้ (พื้นผิวในอวกาศ) นั้นเป็นพื้นผิวที่ต่อเนื่อง (โดยไม่มีความต่อเนื่อง) สำหรับทุกคน นั่นคือ แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวนั้นคล้ายคลึงกับแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว เช่นเดียวกับฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่เกิดจากฟังก์ชันพื้นฐานจะต่อเนื่องกันสำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ที่กำหนดไว้ นอกจากนี้ยังใช้กับฟังก์ชันของตัวแปรสาม, สี่ตัวขึ้นไปด้วย

กลับไปที่รูป 2. ให้เราถามคำถามต่อไปนี้: ฟังก์ชันไปถึงจุดใดในภูมิภาคที่ค่าสูงสุดและน้อยที่สุด? z สูงสุดและ ชื่อซี- และค่าเหล่านี้คืออะไร? โปรดทราบว่าปัญหานี้คล้ายกับปัญหาที่พิจารณาสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งที่พิจารณาในช่วงเวลาปิด [ ก; ข] แกน โอ้.

เห็นได้ชัดว่าจุดที่ต้องการของขอบเขต ซึ่งฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดและต่ำสุดนั้น อยู่ในจุดปลายสุดของฟังก์ชันนี้ซึ่งอยู่ภายในขอบเขต (ในภูมิภาค) หรืออยู่ที่ใดที่หนึ่งบนขอบเขต ชบริเวณนี้ ในพื้นที่ปิดจุดดังกล่าวจะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน (ทฤษฎีบทไวเออร์ชตราส) และอยู่ในที่โล่ง(ไร้พรมแดน) ช) อาจไม่มีจุดดังกล่าว

จากที่กล่าวมาข้างต้นมีดังต่อไปนี้: แผนภาพสำหรับค้นหาจุดเหล่านี้คล้ายกับที่ระบุไว้สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง

1. ค้นหาทุกจุดของฟังก์ชันที่น่าสงสัยถึงจุดสุดยอดและอยู่ในบริเวณนั้น ดี- จุดเหล่านี้คือจุดที่อนุพันธ์บางส่วนทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์ (หรือจุดหนึ่งเป็นศูนย์และอีกจุดหนึ่งไม่มีอยู่ หรือไม่มีทั้งสองจุด)

2. ค้นหาจุดทั้งหมดของฟังก์ชันที่น่าสงสัยและอยู่ในขอบเขต ชพื้นที่ ในกรณีนี้ เราใช้สมการขอบเขต ช.

3. โดยไม่ต้องตรวจสอบจุดที่น่าสงสัยที่พบในขั้นตอนที่ 1 และ 2 (ไม่จำเป็น) เราจะค้นหาค่าของฟังก์ชันที่พบจุดที่น่าสงสัยทั้งหมดและเลือกจุดที่ zจะใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

ตัวอย่างที่ 3หา z สูงสุดและ ชื่อซีฟังก์ชั่นพิจารณาในพื้นที่ปิดซึ่งเป็นแผ่นสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด โอ(0; 0), ก(1; 0), บี(0; 1)(รูปที่ 3)

สารละลาย.เรามาติดตามแผนภาพด้านบนกัน

1. ค้นหาภายในรูปสามเหลี่ยม (ในบริเวณ ดี) ชี้ว่าน่าสงสัยถึงขีดสุดสำหรับการทำงานของเรา z- ในการดำเนินการนี้ ขั้นแรกเราจะค้นหาอนุพันธ์ย่อยอันดับแรกและ :

มีอนุพันธ์เหล่านี้อยู่ (สามารถคำนวณได้) สำหรับสิ่งใด ๆ (x;y)- ดังนั้น จุดที่สงสัยในระดับสุดขั้วจะเป็นเฉพาะจุดที่อนุพันธ์บางส่วนทั้งสองนี้มีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น:

เห็นได้ชัดว่าประเด็นนี้เป็นของภูมิภาค ดี(ไปยังสามเหลี่ยมที่ต้องการ) นั่นคือมันเป็นจุดที่สงสัยถึงจุดสุดยอดสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด zภายในสามเหลี่ยมและมีเธอเพียงคนเดียวที่นั่น

2. ให้เราค้นหาจุดที่น่าสงสัยบริเวณขอบของรูปสามเหลี่ยม

ก) มาสำรวจพื้นที่กันก่อน โอเอเส้นขอบ ( ที่= 0; 0 ปอนด์ เอ็กซ์ 1 ปอนด์) ในส่วนนี้ - ฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว เอ็กซ์- อนุพันธ์ของมันมีอยู่สำหรับทุกคน xฉัน . ดังนั้นค่าสุดขั้วของมันจึงเป็นฟังก์ชัน zอาจมีที่จุดที่ นั่นคือ ที่จุด หรือที่ส่วนท้ายของส่วน โอเอนั่นคือที่จุด เกี่ยวกับ(0; 0) และ ก(1; 0).

b) ตอนนี้มาสำรวจพื้นที่กันดีกว่า อ.บขอบเขตของรูปสามเหลี่ยม (ตรงนั้น เอ็กซ์= 0; 0 ปอนด์ ที่ 1 ปอนด์) ในส่วนนี้จะมีฟังก์ชัน (0 £ ที่£ 1) – ฟังก์ชั่นของตัวแปรเดียว ที่- ทำซ้ำการให้เหตุผลของจุด (a) เราได้ข้อสรุปว่าค่าสุดขีดของมันคือฟังก์ชัน zอาจมีที่จุดหรือปลายส่วนก็ได้ อ.บนั่นคือที่จุด เกี่ยวกับ(0; 0) และ บี(0; 1).

c) ในที่สุด เราก็สำรวจพื้นที่ เอบีเส้นขอบ ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา เอบี(ตรวจสอบให้แน่ใจเรื่องนี้) ย = - x + 1 (0 ปอนด์ เอ็กซ์£ 1) แล้วก็มีฟังก์ชัน zใช้แบบฟอร์ม: (0 £ เอ็กซ์ 1 ปอนด์) อนุพันธ์ของมันคือฟังก์ชันของค่าสุดขั้วของมัน zสามารถเข้าถึงได้เฉพาะจุดที่ นั่นคือ ณ จุดหรือจุดสิ้นสุดของส่วนเท่านั้น เอบีนั่นคือที่จุด กและ ใน.

ดังนั้นชุดจุดที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันที่น่าสงสัยถึงจุดสุดยอด
ในรูปสามเหลี่ยม โอเอวีเป็น:

; ; ; ; ; ; .

3. ทีนี้ลองหาค่าของฟังก์ชันกัน zพบจุดที่น่าสงสัยทั้งหมดและเลือกค่าที่มากที่สุดจากค่าเหล่านี้ z สูงสุดและค่าที่น้อยที่สุด ชื่อซี:

ดังนั้น, z สูงสุด = 3 และทำได้โดยฟังก์ชัน zในรูปสามเหลี่ยม โอเอวีสองจุดพร้อมกัน - ที่จุดยอด กและ ใน- และสำเร็จได้ด้วยฟังก์ชัน zในรูปสามเหลี่ยม โอเอวีที่จุดภายในของมัน

ตัวอย่างที่ 4งบประมาณของเมืองมีโอกาสที่จะใช้จ่ายไม่เกิน 600 ล้านรูเบิลสำหรับที่อยู่อาศัยเพื่อสังคมในขณะที่มีโครงการและที่ดินสำหรับอาคารห้าชั้น 10 หลัง แต่ละห้องมี 90 ห้อง และอาคารเก้าชั้น 8 หลัง แต่ละห้องมี 120 ห้อง ราคาเฉลี่ยโดยประมาณของอพาร์ทเมนต์หนึ่งห้องในอาคารห้าชั้นคือ 400,000 รูเบิลและในอาคารเก้าชั้น 500,000 รูเบิล เมืองควรสร้างอาคารห้าชั้นและเก้าชั้นกี่อาคารเพื่อให้ได้จำนวนอพาร์ทเมนท์มากที่สุด

สารละลาย.อนุญาต เอ็กซ์– จำนวนอาคารห้าชั้นที่ต้องการ คุณ –เก้าชั้นและ ซี –จำนวนอพาร์ทเมนท์ทั้งหมดในอาคารเหล่านี้:

ซี = 90x+ 120ย

ราคาอพาร์ทเมนต์ทั้งหมดในอาคารห้าชั้นจะอยู่ที่ 90 × 0.4· เอ็กซ์ = 36เอ็กซ์ล้านรูเบิลและในอาคารเก้าชั้น 120 × 0.5 ที่ = 60ที่ล้านรูเบิล ตามเงื่อนไขของปัญหาที่เรามี:

0 £ เอ็กซ์ 10 ปอนด์; 0 ปอนด์ ที่ 8 ปอนด์; 36 เอ็กซ์ + 60ที่ 600 ปอนด์

ความไม่เท่าเทียมที่เข้มงวดเหล่านี้เป็นที่พอใจอย่างเห็นได้ชัดในรูปห้าเหลี่ยม (รูปที่ 4) ในพื้นที่ปิดนี้คุณต้องหาจุด ม(x;ย)ซึ่งฟังก์ชันนั้น ซี = 90x+ 120ยจะเอาค่าสูงสุด z สูงสุด.

ขอให้เราใช้แผนข้างต้นเพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าว

1. หาจุดภายในรูปห้าเหลี่ยมที่น่าสงสัยถึงจุดสุดขั้วของฟังก์ชัน z- เพราะ และอนุพันธ์ย่อยเหล่านี้เห็นได้ชัดว่าไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีจุดที่น่าสงสัยถึงจุดสุดโต่งภายในรูปห้าเหลี่ยม

2. ค้นหาจุดที่น่าสงสัยสุดขั้วบนขอบเขตของรูปห้าเหลี่ยม ในแต่ละห้าส่วนที่ประกอบเป็นขอบเขตของรูปห้าเหลี่ยมเรียกว่าฟังก์ชัน z– ฟังก์ชันเชิงเส้นของแบบฟอร์ม z = ขวาน + โดยดังนั้นจึงถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดที่ขอบเขตของเซ็กเมนต์ นั่นคือค่าสูงสุดที่ต้องการ z สูงสุดการทำงาน zไปถึงจุดมุมหนึ่ง (โอ; ก; ม 1; ม 2; บี)- กำลังคำนวณมูลค่า zเมื่อถึงจุดเหล่านี้ เราได้รับ:

z(เกี่ยวกับ) = 0; ซ( ก) = 960; ซ( ม.1) = 1260; ซ( ม.2) = 1380; ซ( บี) = 900.

ดังนั้น ซี ไนโบ= 1380 และถึงจุดนั้นแล้ว ม.2(10; 4) นั่นคือจะได้อพาร์ทเมนท์จำนวนมากที่สุด (1380) หากสร้างอาคารห้าชั้น 10 ชั้นและอาคารเก้าชั้น 4 หลัง

ตัวอย่างที่ 5- พิสูจน์ว่ารูปสามเหลี่ยมทุกรูปที่มีเส้นรอบรูปกำหนดเป็น 2p ​​รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีพื้นที่มากที่สุด M(2p/3, 2p/3) เพราะ จุดที่เหลือไม่เป็นไปตามความหมายของปัญหา: ไม่สามารถมีสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงได้

เราตรวจสอบจุดสุดขั้ว ม(2p/3, 2p/3):

∂ 2 f/∂x 2 = -2p(p-y); ∂ 2 f/∂x∂y = p(2x+2y-3p); ∂ 2 f/∂y 2 = -2p(p-x);

D=AC-B 2 = ;

ง>0และเพราะว่า ก<0 จากนั้นเมื่อถึงจุดที่กำลังศึกษาฟังก์ชันจะถึงค่าสูงสุด ดังนั้น ณ จุดหยุดนิ่งจุดเดียว ฟังก์ชันจึงถึงจุดสูงสุด และด้วยเหตุนี้จึงมีค่ามากที่สุด ดังนั้นด้วย x=2p/3, y=2p/3ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดแล้ว แต่แล้ว z=2p-x-y=2p/3- และเพราะว่า x=y=zแล้วสามเหลี่ยมนั้นมีด้านเท่ากันหมด

ค่าสูงสุดและต่ำสุด

ฟังก์ชั่นที่ขอบเขตในพื้นที่ปิดที่มีขอบเขตถึงค่าสูงสุดและต่ำสุดไม่ว่าจะที่จุดที่นิ่งหรือที่จุดที่วางอยู่บนขอบเขตของภูมิภาค

ในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือเล็กที่สุดของฟังก์ชันคุณต้อง:

1. ค้นหาจุดคงที่ซึ่งอยู่ภายในบริเวณนี้แล้วคำนวณค่าของฟังก์ชันที่อยู่จุดนั้น

2. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันบนขอบเขตของขอบเขต

3. เปรียบเทียบค่าฟังก์ชันที่ได้รับทั้งหมด: ค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) จะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ของฟังก์ชันในพื้นที่นี้

ตัวอย่างที่ 2. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ของฟังก์ชัน: ในวงกลม

สารละลาย.

จุดนิ่ง; -

2 ขอบเขตของพื้นที่ปิดนี้เป็นวงกลม หรือ โดยที่

ฟังก์ชันที่ขอบเขตของขอบเขตจะกลายเป็นฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว: โดยที่ มาหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันนี้กัน

เมื่อ x=0 ; (0,-3) และ (0,3) เป็นจุดวิกฤต

มาคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์กัน

3 - การเปรียบเทียบคุณค่าซึ่งกันและกันที่เราได้รับ

ที่จุด A และ B

ที่จุด C และ D

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในพื้นที่ปิดที่กำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน:

สารละลาย- พื้นที่เป็นรูปสามเหลี่ยมล้อมรอบด้วยแกนพิกัดและมีเส้นตรง x+y=1

1. เราพบจุดคงที่ภายในภูมิภาค:

- - ย = - 1/8; x = 1/8.

จุดที่อยู่นิ่งไม่ได้เป็นของภูมิภาคที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ดังนั้นจึงไม่มีการคำนวณค่า z ในส่วนนั้น

2 .เราศึกษาฟังก์ชันบนขอบเขต เนื่องจากขอบเขตประกอบด้วยสามส่วนที่อธิบายโดยสมการที่แตกต่างกันสามสมการ เราจึงศึกษาฟังก์ชันในแต่ละส่วนแยกกัน:

ก) ในส่วน 0A: y=0 - สมการ 0A จากนั้น ; จากสมการเห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้น 0A จาก 0 เป็น 1 ซึ่งหมายความว่า

ข) ในส่วน 0B: x=0 - สมการ 0B จากนั้น ; –6ป+1=0; - จุดวิกฤติ

วี) บนเส้นตรง x+y = 1: y=1-x จากนั้นเราจะได้ฟังก์ชัน

ลองคำนวณค่าของฟังก์ชัน z ที่จุด B(0,1)

3 . เปรียบเทียบตัวเลขที่เราได้รับว่า

ตรง AB.

ณ จุด B.

แบบทดสอบการควบคุมความรู้ด้วยตนเอง

1. ปลายสุดของฟังก์ชันคือ

ก) อนุพันธ์ลำดับที่หนึ่ง

b) สมการของมัน

c) ตารางเวลาของเธอ

d) ค่าสูงสุดหรือต่ำสุด

2. จุดสูงสุดของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวสามารถทำได้:

ก) เฉพาะจุดที่อยู่ในขอบเขตคำจำกัดความเท่านั้น ซึ่งอนุพันธ์บางส่วนลำดับที่หนึ่งทั้งหมดมีค่ามากกว่าศูนย์

b) เฉพาะที่จุดที่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความเท่านั้น ซึ่งอนุพันธ์บางส่วนลำดับที่หนึ่งทั้งหมดมีค่าน้อยกว่าศูนย์

c) เฉพาะจุดที่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความเท่านั้น ซึ่งอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งทั้งหมดไม่เท่ากับศูนย์

d) เฉพาะที่จุดที่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความเท่านั้น ซึ่งอนุพันธ์บางส่วนอันดับหนึ่งทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์

3. ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องในพื้นที่ปิดที่จำกัดจะมีค่าสูงสุดและต่ำสุด:

ก) ที่จุดที่นิ่ง

b) ทั้งที่จุดคงที่หรือจุดที่วางอยู่บนขอบเขตของภูมิภาค

c) ณ จุดที่อยู่บนขอบเขตของภูมิภาค

d) ทุกจุด

4. จุดคงที่สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวคือจุด:

ก) โดยที่อนุพันธ์บางส่วนอันดับหนึ่งทั้งหมดไม่เท่ากับศูนย์

b) โดยที่อนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งทั้งหมดมีค่ามากกว่าศูนย์

c) ซึ่งอนุพันธ์บางส่วนอันดับหนึ่งทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์

d) ซึ่งอนุพันธ์บางส่วนอันดับหนึ่งมีค่าน้อยกว่าศูนย์

ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

1. คำจำกัดความพื้นฐาน

คำจำกัดความ 1.ความสอดคล้องที่สอดคล้องกับแต่ละคู่ (x; y) ของค่าของตัวแปร x และ y ซึ่งเป็นของคู่ D หนึ่งชุดและตัวเลขเดียวเท่านั้น zÎR เรียกว่าฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่กำหนดบน ตั้งค่า D ด้วยค่าใน R ในกรณีนี้เราเขียน z = f (x;y) D = D(f) – โดเมนของนิยามของฟังก์ชัน f

2. การเพิ่มขึ้นบางส่วนและทั้งหมดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

หากในฟังก์ชัน z = f(x; y) ของตัวแปรสองตัว x และ y เราแก้ไขค่าของหนึ่งในนั้นเช่น y = y 0 จากนั้นเราจะได้ฟังก์ชัน z = f(x; y 0) ขึ้นอยู่กับ บนตัวแปร x หนึ่งตัว

ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราแก้ไขตัวแปร x = x 0 เราจะได้ฟังก์ชัน z = f(x 0; y) ของตัวแปร y ตัวหนึ่ง

คำจำกัดความ 2ปริมาณ D x z = f(x 0 +Dx; y 0) - f(x 0; y 0) เรียกว่า เพิ่มขึ้นส่วนตัวฟังก์ชัน z = f(x; y) ที่จุด (x 0 ; y 0) ด้วยอาร์กิวเมนต์ x

คำจำกัดความ 3ปริมาณ D y z = f(x 0 ; y 0 +Dy) - f(x 0 ; y 0) เรียกว่า เพิ่มขึ้นส่วนตัวฟังก์ชัน z = f(x; y) ที่จุด (x 0 ; y 0) เทียบกับอาร์กิวเมนต์ y

คำจำกัดความที่ 4ปริมาณ Dz = f(x 0 +Dx; y 0 +Dy) - f(x 0; y 0) เรียกว่า เพิ่มขึ้นเต็มฟังก์ชัน z = f(x; y) ที่จุด (x 0 ; y 0)

3. อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

กำหนดให้ฟังก์ชัน z = f(x; y) มาจากตัวแปรอิสระสองตัว x และ y แก้ไขหนึ่งในนั้น เช่น การตั้งค่า y = const เราจะได้ฟังก์ชันของตัวแปร x หนึ่งตัว จากนั้นเราก็แนะนำแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันผลลัพธ์เทียบกับ x ที่เราแสดงว่าได้ ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่ง เราจะได้:

คำจำกัดความที่ 5ขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มบางส่วน D x z ของฟังก์ชัน z=f(x; y) เทียบกับตัวแปร x ต่อการเพิ่ม Dx ของตัวแปร x เนื่องจาก Dx มีแนวโน้มเป็นศูนย์เรียกว่า อนุพันธ์บางส่วนฟังก์ชันใน x และเขียนแทนด้วย ; -

กำหนดและแสดงแทนในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์บางส่วนฟังก์ชัน z = f(x; y) ในตัวแปร y

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน:

1. ฉ(x; y) = x 3 + x 2 y 2 + y 3 + 3;

2. z = xy + yx .

สารละลาย

1. สมมติว่า y = const และพิจารณาว่า x เป็นตัวแปรอิสระ เราจะพบ

ในทำนองเดียวกัน สำหรับ x = const เราจะได้ .

2. เมื่อ y = const

;

สำหรับ x = ค่าคงที่

ทุกสิ่งที่กล่าวไว้สามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันของตัวแปรจำนวนเท่าใดก็ได้

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน

u = f(x; y; z) = cos(x 2 + y 2 + z 2)

สารละลาย

บาป(x 2 + y 2 + z 2) × 2x, y = const, z = const;

บาป(x 2 + y 2 + z 2) × 2y, x = const, z = const;

บาป(x 2 + y 2 + z 2) × 2z, x = const, y = const

เนื่องจากอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว โดยทั่วไปแล้วคือฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวด้วย จึงสามารถคำนวณอนุพันธ์ย่อยได้ด้วยเช่นกัน อนุพันธ์เหล่านี้เรียกว่า อนุพันธ์บางส่วนของคำสั่งซื้อที่สูงกว่า.

ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน f(x; y) ของตัวแปรสองตัว จะมีอนุพันธ์อันดับสองประเภทต่อไปนี้:

- อนุพันธ์ย่อยอันดับสองเทียบกับ x;

และ = - อนุพันธ์บางส่วนแบบผสม

- อนุพันธ์ย่อยอันดับสองเทียบกับ y

4. ผลรวมของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

คำนิยาม 6ผลต่างรวมของฟังก์ชัน z=f(x;y) ของตัวแปรสองตัว x และ y เป็นส่วนสำคัญของ Dz ที่เพิ่มขึ้นทั้งหมด ซึ่งเป็นเส้นตรงที่เกี่ยวข้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Dx และ Dy

เมื่อคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่า Dx = dx และ Dy = dy ผลต่างรวมของฟังก์ชัน z = f(x; y) คำนวณโดยใช้สูตร

ตัวอย่างที่ 3คำนวณผลต่างรวมของฟังก์ชัน

z = ln (x 2 + y 2)

สารละลาย. ลองหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันนี้กัน

หลังจากแทนที่เป็นสูตร (3.5) เราก็จะได้

ดีซ =

ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน

284.z = x 2 + 2xy + y 2 + 5 285.z = (x + y) 3

286.z = 287.z =

288.z = x 3 ปี - y 3 x 289.z = 2y

290. z = xy ln(x + y) 291. z = ln

292.z = ln + ln x y 293.z =

294. z = e y/x – e x/y 295. z = x y + บาป

296. z = บาป(x 2 y + xy 2) 297. z = y x + อาร์คแทน

ค้นหาอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง

298.z = x 4 + 4x 2 ปี 3 + 7xy + 1 299.z = x 2 ปี

300. z = 4x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 301. z = xy + sin(x + y)

302. z = บาป x cos y 303. z =

304. z = xe y 305. z = x + y +

306. z = x 2y 307. z = ln(x + อี xy)

ตรวจสอบสิ่งนั้น

308.z = 309.z = ln(x - 2y)

310.z = 311.z = x 2 บาป

312.z = 313.z = อาร์คแทน

ค้นหาฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลที่สมบูรณ์

314. z = xy 3 - 3x 2 y 2 + 2y 4 +1 315. z = 3x 2 y 5

316. z = บาป(x 2 + y 2) 317. z = x y

318. z = อี xy 319. z = อี x cos y

320. z = อี คอส x 321. z = คอส + บาป

5. สุดขีดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

คำจำกัดความพื้นฐาน

คำจำกัดความ 1.จุด M(x 0 ; y 0) เรียกว่าจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ของฟังก์ชัน z = f(x; y) ถ้ามีพื้นที่ใกล้เคียงของจุด M เช่นนั้นสำหรับทุกจุด (x; y) จากจุดนี้ บริเวณใกล้เคียงมีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ฉ(x 0 ; y 0) ³ ฉ(x; y), .

ทฤษฎีบท 1 (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้ว) - หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ z = f(x; y) ไปถึงจุดสุดขีดที่จุด M(x 0 ; y 0) ดังนั้นอนุพันธ์ย่อยลำดับที่หนึ่ง ณ จุดนี้จะเท่ากับศูนย์ นั่นคือ ;

เรียกว่าจุดที่อนุพันธ์บางส่วนมีค่าเท่ากับศูนย์ นิ่งหรือ จุดวิกฤติ

ทฤษฎีบท 2 (สภาพที่เพียงพอต่อการดำรงอยู่ของสุดขั้ว)

ให้ฟังก์ชัน z = f(x; y):

ก) กำหนดไว้ในย่านหนึ่งของจุด (x 0 ; y 0) ซึ่ง และ ;

b) มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องของลำดับที่สอง ณ จุดนี้

;

จากนั้น ถ้า D = AC - B 2 > 0 ดังนั้น ณ จุด (x 0 ; y 0) ฟังก์ชัน z = f(x; y) จะมีปลายสุด และถ้า A< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (หรือ C > 0) – ขั้นต่ำ กรณี D = AC - B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если D = AC - B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาปลายสุดของฟังก์ชัน z = x 2 + xy + y 2 - 3x - 6y

สารละลาย. มาหาอนุพันธ์ย่อยอันดับแรกกัน:

มาใช้ประโยชน์กันเถอะ เงื่อนไขที่จำเป็นการดำรงอยู่ของสุดขั้ว:

การแก้ระบบสมการเราพบพิกัด x และ y ของจุดที่นิ่ง: x = 0; y = 3 เช่น M(0; 3)

ลองคำนวณอนุพันธ์ย่อยอันดับสองและค้นหาค่าที่จุด M

ก = = 2; ค = = 2;

ลองประกอบการแยกแยะ D = AC - B 2 = 2 × 2 - 1 > 0, A = 2 > 0 ดังนั้น ณ จุด M(0; 3) ฟังก์ชันที่กำหนดมีขั้นต่ำ ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้คือ z min = -9

ค้นหาฟังก์ชันสุดขั้ว

322. z = x 2 + y 2 + xy - 4x - 5y 323. z = y 3 - x 3 - 3xy

324. z = x 2 - 2xy + 4y 3 325. z = - y 2 - x + 6y

326.z = xy (1 - x - y) 327.z = 2xy - 4x - 2y

328. z = อี - x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3 - 6xy + 1

330. z = 3x 2 y - x 3 - y 4 331. z = 3x + 6y - x 2 - xy + y 2

ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว

ในพื้นที่ปิด

เพื่อที่จะพบว่า ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและ น้อยที่สุดค่าของฟังก์ชันในพื้นที่ปิด คุณต้อง:

1) ค้นหาจุดวิกฤติที่อยู่ในพื้นที่ที่กำหนดและคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้

2) ค้นหาจุดวิกฤตบนขอบเขตของภูมิภาคและคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันที่อยู่นั้น

3) จากค่าที่พบทั้งหมด ให้เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน z = ในวงกลม x 2 + y 2 £ 1

สารละลาย. เรามาค้นหาพิกัดของจุดวิกฤตที่อยู่ภายในขอบเขตที่พิจารณากัน ซึ่งเราคำนวณอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งของฟังก์ชัน z และจัดให้เป็นศูนย์

โดยที่ x = 0, y = 0 ดังนั้น M(0; 0) จึงเป็นจุดวิกฤต

ลองคำนวณค่าของฟังก์ชัน z ที่จุด M(0; 0): z(0; 0) = 2

มาหาจุดวิกฤตบนขอบเขตของพื้นที่ - วงกลมที่กำหนดโดยสมการ x 2 + y 2 = 1 การแทนที่ y 2 = 1 - x 2 ลงในฟังก์ชัน z = z(x; y) เราจะได้ฟังก์ชัน ของตัวแปรตัวหนึ่ง

ซี = ;

โดยที่ xO[-1; 1].

เมื่อคำนวณอนุพันธ์แล้ว และเท่ากับศูนย์ เราจะได้จุดวิกฤตบนขอบเขตของขอบเขต x 1 = 0, x 2 = , x 3 =

ลองหาค่าของฟังก์ชัน z(x) = ที่จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ [-1; 1]: z(0) = ; - - z(-1) = ; ซี(1) =

ให้เราเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในบรรดาค่าของฟังก์ชัน z ที่จุดวิกฤติที่อยู่ด้านในและบนขอบเขตของวงกลม

ดังนั้น z สูงสุด = ซ(0; 0) = 2

ชื่อซี = ซ

สุดขั้วแบบมีเงื่อนไข

คำจำกัดความ 2ปลายสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน z = f(x; y) คือปลายสุดของฟังก์ชันนี้ ซึ่งทำได้ภายใต้เงื่อนไขว่าตัวแปร x และ y มีความสัมพันธ์กันโดยสมการ j(x; y) = 0 (สมการการเชื่อมต่อ) , ย = .

ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีค่าน้อยที่สุดถ้าขาของสามเหลี่ยมเท่ากัน

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน:

332. z = x 2 - xy + y 2 - 4x ในพื้นที่ปิดที่ล้อมรอบด้วยเส้น x = 0, y = 0, 2x + 3y - 12 = 0

333. z = xy + x + y ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง x = 1, x = 2, y = 2, y = 3

334. z = x 2 + 3y 2 + x - y ในรูปสามเหลี่ยมล้อมรอบด้วยเส้นตรง x = 1, y = 1, x + y = 1

335. z = sin x + sin y + sin (x + y) ในภูมิภาค 0 £ x £ , 0 £ y £

336. z = xy ในวงกลม x 2 + y 2 £ 1.

337. z = 1 - x 2 - y 2 ในวงกลม (x - 1) 2 + (y - 1) 2 £ 1

338. z = x 2 + y 2 ในวงกลม (x - ) 2 + (y - ) 2 £ 9.

339. ค้นหาส่วนปลายของฟังก์ชัน z = x 2 + y 2 ถ้า x และ y มีความสัมพันธ์กันด้วยสมการ = 1

340 จากรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดที่มีเส้นรอบรูป P จงหาค่าที่ใหญ่ที่สุดในพื้นที่

341. จากสี่เหลี่ยมทั้งหมดที่มีพื้นที่ S ให้หาสี่เหลี่ยมที่มีค่าเส้นรอบวงน้อยที่สุด

342. จงหาขนาดของพูลเปิดที่มีปริมาตร V ซึ่งมีพื้นที่ผิวน้อยที่สุด

343. จงหาขนาดของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีปริมาตรสูงสุดสำหรับพื้นผิว S ทั้งหมดที่กำหนด

344. กำหนดขนาดของกระบอกสูบด้วยปริมาตรที่ใหญ่ที่สุดโดยที่พื้นผิวรวมคือ S = 6p

* ภายใต้แนวคิด นูนและ ความเว้าควรเข้าใจกราฟฟังก์ชัน นูนขึ้นมาและ ลงตามลำดับ