ความหมายทางกลของอนุพันธ์อันดับสอง ความหมายทางกลของคำนิยามอนุพันธ์ ฟังก์ชันเฟืองท้ายแบบเต็ม

ความหมายทางกลของอนุพันธ์

การตีความทางกลของอนุพันธ์เกิดขึ้นครั้งแรกโดย I. Newton เป็นดังนี้: ความเร็วในการเคลื่อนที่ จุดวัสดุวี ในขณะนี้เวลาเท่ากับอนุพันธ์ของเวลาของเส้นทางนั่นคือ ดังนั้นหากกฎการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุถูกกำหนดโดยสมการดังนั้นหากต้องการค้นหาความเร็วชั่วขณะของจุด ณ ช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งคุณจะต้องค้นหาอนุพันธ์และแทนที่ค่าที่สอดคล้องกัน t ลงไป

อนุพันธ์อันดับสองและความหมายเชิงกล

เราได้รับ (สมการจากสิ่งที่ทำในตำราเรียน Lisichkin V.T. Soloveichik I.L. “คณิตศาสตร์” หน้า 240):

ดังนั้น, ความเร่งของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของร่างกายในช่วงเวลาที่กำหนดนั้นเท่ากับอนุพันธ์อันดับสองของเส้นทางเทียบกับเวลาที่คำนวณสำหรับช่วงเวลาที่กำหนดนี่คือความหมายเชิงกลของอนุพันธ์อันดับสอง

ความหมายและความหมายทางเรขาคณิตของดิฟเฟอเรนเชียล

คำจำกัดความที่ 4ส่วนหลักของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน เชิงเส้นสัมพันธ์กับการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน เชิงเส้นสัมพันธ์กับการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระ เรียกว่า ส่วนต่างฟังก์ชั่นและเขียนแทนด้วย d เช่น -

ส่วนต่างของฟังก์ชันจะแสดงในเชิงเรขาคณิตโดยการเพิ่มขึ้นของพิกัดของแทนเจนต์ที่วาดที่จุด M (x; y) สำหรับค่าที่กำหนดของ x และ?x

การคำนวณ ส่วนต่าง - .

การประยุกต์ส่วนต่างในการคำนวณโดยประมาณ - ค่าโดยประมาณของการเพิ่มฟังก์ชันเกิดขึ้นพร้อมกับค่าดิฟเฟอเรนเชียล

ทฤษฎีบท 1หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลาที่กำหนด อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้จะไม่เป็นลบ (ไม่ใช่ค่าบวก) ในช่วงเวลานี้

ทฤษฎีบท 2ถ้าเป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ เป็นบวก (ลบ) ในช่วงเวลาหนึ่ง จากนั้นฟังก์ชันในช่วงเวลานี้จะเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ (ลดลงแบบน่าเบื่อ)

ให้เรากำหนดกฎสำหรับการค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน

1. คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้

2. ค้นหาจุดที่มันเป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่ จุดเหล่านี้เรียกว่า วิกฤตสำหรับฟังก์ชั่น

3. เมื่อใช้จุดที่พบ โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันจะแบ่งออกเป็นช่วงๆ โดยแต่ละจุดจะมีเครื่องหมายคงอยู่ ช่วงเวลาเหล่านี้เป็นช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจ

4. ตรวจสอบเครื่องหมายในแต่ละช่วงที่พบ หากในช่วงเวลาที่พิจารณาก็จะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลานี้ ถ้ามันลดลงในช่วงเวลาดังกล่าว

ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของปัญหา กฎสำหรับการค้นหาช่วงความน่าเบื่อสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้

คำจำกัดความที่ 5จุดหนึ่งเรียกว่าจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ของฟังก์ชัน ถ้าค่าความไม่เท่าเทียมกันของ x ใดๆ อยู่ในละแวกใกล้เคียงของจุดนั้น

ถ้า คือจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ของฟังก์ชัน เขาก็บอกอย่างนั้น (ขั้นต่ำ)ตรงจุด ฟังก์ชันสูงสุดและต่ำสุดจะรวมชื่อเข้าด้วยกัน สุดขั้วฟังก์ชั่นและเรียกจุดสูงสุดและต่ำสุด จุดสุดขั้ว (จุดสุดขีด)

ทฤษฎีบท 3(สัญญาณที่จำเป็นของความสุดขั้ว) ถ้า เป็นจุดปลายสุดของฟังก์ชันและมีอนุพันธ์อยู่ที่จุดนี้ มันจะเท่ากับศูนย์:

ทฤษฎีบท 4(สัญญาณที่เพียงพอของความสุดขั้ว) ถ้าอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อ x ผ่าน a แล้ว a คือจุดปลายสุดของฟังก์ชัน

ประเด็นสำคัญในการวิจัยอนุพันธ์:

1. ค้นหาอนุพันธ์

2. ค้นหาจุดวิกฤตทั้งหมดจากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

3. กำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเมื่อผ่านจุดวิกฤติและจดจุดสุดขั้ว

4. คำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดสุดขั้วแต่ละจุด

ให้จุดวัสดุบนเครื่องบิน กฎการเคลื่อนที่ตามแนวแกนพิกัดอธิบายโดยกฎ $ x(t) $ โดยที่ $ t $ ระบุเวลา จากนั้นในช่วงเวลาจาก $ t_0 $ ถึง $ t_0 + \Delta t $ จุดจะผ่านเส้นทาง $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $ ปรากฎว่า ความเร็วเฉลี่ยจุดดังกล่าวพบได้จากสูตร: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

ถ้า $ \Delta t $ มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ดังนั้นค่าของความเร็วเฉลี่ยจะมีแนวโน้มเป็นค่าที่เรียกว่า ความเร็วทันทีณ จุด $t_0$:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

ด้วยการกำหนดอนุพันธ์ผ่านขีดจำกัด เราจะได้ความเชื่อมโยงระหว่างความเร็วและกฎการเคลื่อนที่ของเส้นทางของจุดวัสดุ:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ฟังก์ชันมีความซับซ้อนหากสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันของฟังก์ชัน y = f[φ(x)] โดยที่ y = f(u), аu = φ(x) โดยที่ u เป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง ฟังก์ชันที่ซับซ้อนใดๆ สามารถแสดงได้ในรูปแบบของฟังก์ชันพื้นฐาน (แบบง่าย) ซึ่งเป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง

ตัวอย่าง:

ฟังก์ชั่นอย่างง่าย: ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน:

y= x 2 y = (x+1) 2 ;u= (x+1); ย=คุณ 2 ;

y = บาปx; y =บาป2x;u= 2x; y = ไซนู;

y = อี x y = อี 2x; y = คุณ;

y = lnx y = ln(x+2); u= x+2; ย = ลนู

กฎทั่วไปสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อนกำหนดไว้ตามทฤษฎีบทข้างต้นโดยไม่มีการพิสูจน์

หากฟังก์ชัน u=φ(x) มีอนุพันธ์ u" x =φ"(x) ที่จุด x และฟังก์ชัน y =f(u) มีอนุพันธ์ u" u =f " (u) ที่ pointu ที่สอดคล้องกัน ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน y =f[φ(x)] ที่จุด x จะพบได้จากสูตร: y" x =f " (คุณ) คุณ"(x)

มักใช้สูตรทฤษฎีบทนี้ที่แม่นยำน้อยกว่าแต่สั้นกว่า : อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรกลางและอนุพันธ์ของตัวแปรกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ

ตัวอย่าง: y = บาป2x 2 ; คุณ= 2x 2 ; y = ไซนู;

y" x = (ไซนู)" u · (2x 2)" x =cosu · 4x = 4x · cos2x 2

3. อนุพันธ์อันดับสอง ความหมายทางกลของอนุพันธ์อันดับสอง

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y =f(x) เรียกว่าอนุพันธ์อันดับ 1 หรือเรียกง่ายๆ ว่าอนุพันธ์อันดับ 1 ของฟังก์ชัน อนุพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันของ x และสามารถหาอนุพันธ์ได้เป็นครั้งที่สอง อนุพันธ์ของอนุพันธ์เรียกว่าอนุพันธ์อันดับสองหรืออนุพันธ์อันดับสอง ถูกกำหนดให้เป็น: y" xx – (ผู้เล่นสองจังหวะบน x);ฉ"(x) – ( E สองครั้งบน x);d 2 y/dх 2 – (de สอง yrek บน de x สองครั้ง);d 2 f/dх 2 – (de สอง ef บน de x สองครั้ง)

จากคำจำกัดความของอนุพันธ์อันดับสอง เราสามารถเขียนได้:

y" xx = (y" x)" x; f" (x) = " x d 2 y/dx 2 = d/dx (dу/dx)

อนุพันธ์อันดับสองในทางกลับกันคือฟังก์ชันของ x และสามารถหาอนุพันธ์เพื่อให้ได้อนุพันธ์อันดับสาม เป็นต้น

ตัวอย่าง: y = 2x 3 +x 2;

y" xx = [(2x 3 +x 2)" x ]" x = (6x 2 +2x)" x = 12x+2;

ความหมายเชิงกลของอนุพันธ์อันดับสองอธิบายได้บนพื้นฐานของความเร่งทันที ซึ่งเป็นลักษณะการเคลื่อนที่แบบสลับ ถ้า S=f(t) เป็นสมการของการเคลื่อนที่ แล้ว=S" t ;ก

ถ้า S=f(t) เป็นสมการของการเคลื่อนที่ แล้ว=S" t ;พ -
ถ้า S=f(t) เป็นสมการของการเคลื่อนที่ แล้ว=S" t ;ทันที -
เฉลี่ย = ถ้า S=f(t) เป็นสมการของการเคลื่อนที่ แล้ว=S" t ;=" เสื้อ ;

ทันที = " เสื้อ = (ส" เสื้อ)" เสื้อ = ส" tt .

ตัวอย่าง:ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองของเส้นทางเทียบกับเวลาจะเท่ากับความเร่งทันทีของการเคลื่อนที่สลับกัน นี่คือความหมายทางกายภาพ (เชิงกล) ของอนุพันธ์อันดับ 2 ถ้า S=f(t) เป็นสมการของการเคลื่อนที่ แล้ว=S" t ;ปล่อยให้จุดวัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ S = t 3 /3 ความเร่งของจุดวัสดุจะถูกกำหนดเป็นอนุพันธ์อันดับสอง S" tt:

= ส" tt = (เสื้อ 3 /3)" = 2t.

4. ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล

แนวคิดเรื่องอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคือแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งมีการนำไปใช้งานที่สำคัญในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันฉ(เอ็กซ์
) มีอนุพันธ์ " = ฉ

(เอ็กซ์);
ตามทฤษฎีบท (เราไม่พิจารณาทฤษฎีบท) เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณน้อย α(∆х)( ) มีอนุพันธ์ " α(∆х)=0) ด้วยอนุพันธ์: " (x)+ α (∆x) โดยที่ ∆f = f

(x) ∆х+α(∆х) · ∆х

จากความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุด การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะประกอบด้วยผลรวม ซึ่งแต่ละเทอมจะมีค่าน้อยที่สุดสำหรับ ∆x→ 0

ขอให้เราพิจารณาลำดับของค่าเล็กน้อยของแต่ละค่าที่น้อยที่สุดของผลรวมนี้เทียบกับค่าที่น้อยที่สุด ∆x: ดังนั้น f (x) ∆х จึงมีค่าน้อยมาก และ ∆х

มีความเล็กเหมือนกัน " ดังนั้น ค่าน้อยที่สุด α(∆x)∆x จึงมีลำดับความเล็กที่สูงกว่าเมื่อเทียบกับค่าน้อยที่สุด ∆x ซึ่งหมายความว่าในนิพจน์สำหรับ ∆f เทอมที่สอง α(∆х)∆х มีแนวโน้มที่จะเป็น 0 เร็วกว่าเมื่อ ∆х→0 มากกว่าเทอมแรก f

(x)∆x " นี่คือเทอมแรก f (x)∆x เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันที่จุด x มันถูกกำหนดไว้ " dy (เดอ igrek) หรือ df (de ef) ดังนั้น dy=df= f " (x)∆х ออร์ดี้= ฉ " (x)dx เพราะ ส่วนต่าง dх ของอาร์กิวเมนต์เท่ากับการเพิ่มขึ้นของ ∆х (หากอยู่ในสูตร df ​​= f

(x)dx สมมุติว่า f(x)=x จากนั้นเราจะได้ df=dx=x" x ∆x, butx" x =1 เช่น dx=∆x) ดังนั้น ค่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันจะเท่ากับผลคูณของฟังก์ชันนี้และค่าดิฟเฟอเรนเชียลของอาร์กิวเมนต์ ความหมายเชิงวิเคราะห์ของดิฟเฟอเรนเชียลก็คือ ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเป็นส่วนหลักของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ∆f ซึ่งเป็นเส้นตรงเทียบกับอาร์กิวเมนต์ ∆x ส่วนต่างของฟังก์ชันแตกต่างจากการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันด้วยค่าที่น้อยที่สุด α(∆х)∆х ของลำดับขนาดเล็กที่สูงกว่า ∆х " แน่นอน ∆f=f

ตัวอย่าง: y = 2x 3 +x 2;dу =?dу = y"dx = (2x 3 +x 2)" x dx= (6x 2 +2x)dx

ละเลยค่าที่น้อยที่สุด α(∆х)∆х ของลำดับที่สูงกว่า มากกว่าเล็กน้อย ∆ฟังก์ชันฉ(เราได้รับ dfµ ∆fµ f " (x)dх เช่น ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันสามารถใช้เพื่อประมาณการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันได้ เนื่องจากโดยปกติแล้วดิฟเฟอเรนเชียลจะคำนวณได้ง่ายกว่า ดิฟเฟอเรนเชียลยังสามารถนำไปใช้กับการคำนวณค่าของฟังก์ชันโดยประมาณได้ บอกให้เราทราบฟังก์ชัน y = f(x) และอนุพันธ์ของมันที่จุด x มีความจำเป็นต้องค้นหาค่าของฟังก์ชัน f(x+∆x) ที่จุดปิดจุดใดจุดหนึ่ง (x+∆x) ในการทำเช่นนี้เราจะใช้ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ ∆у µyor ∆у µf " (x) ∆x เมื่อพิจารณาว่า ∆у=f(х+∆х)-f(х) เราจะได้f(х+∆х)-f (х) µf " (x) dh , โดยที่f(x+∆x) = f(x)+f " (x) ดีเอ็กซ์ สูตรที่ได้จะช่วยแก้ปัญหาได้

บัตรคำแนะนำหมายเลข 20

ทาคิริบี/เรื่อง: « อนุพันธ์อันดับสองและของมัน ความหมายทางกายภาพ ».

มักสะตี/ วัตถุประสงค์:

สามารถหาสมการของแทนเจนต์ได้ตลอดจนแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์กับแกน OX สามารถค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันและความเร่งได้

สร้างเงื่อนไขสำหรับการพัฒนาทักษะในการเปรียบเทียบและจำแนกข้อเท็จจริงและแนวคิดที่ศึกษา

ส่งเสริมทัศนคติที่รับผิดชอบต่องานด้านการศึกษา ความตั้งใจ และความอุตสาหะเพื่อให้ได้ผลลัพธ์สุดท้ายในการหาสมการแทนเจนต์ ตลอดจนการค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันและความเร่ง

วัสดุทางทฤษฎี:

(มาจากความหมายทางเรขาคณิต)

สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันคือ:

ตัวอย่างที่ 1: ลองหาสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่มีความอนาจาร 2 กัน

คำตอบ: y = 4x-7

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม k ของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x o เท่ากับ f / (x o) (k= f / (x o)) มุมเอียงของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดจะเท่ากับ

arctg k = arctg f / (x o) เช่น k= ฉ / (x o)= tก

ตัวอย่างที่ 2: คลื่นไซน์อยู่ที่มุมใด ตัดแกน x ที่จุดกำเนิด?

มุมที่กราฟของฟังก์ชันกำหนดตัดกับแกน x คือ เท่ากับมุมความชัน a ของแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชัน f(x) ณ จุดนี้ มาหาอนุพันธ์กัน: พิจารณา ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์ เรามี: และ a = 60° คำตอบ: =60 0 .

หากฟังก์ชันมีอนุพันธ์ในทุกจุดในโดเมนของคำจำกัดความ อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันของ ในทางกลับกันฟังก์ชันก็สามารถมีอนุพันธ์ได้ซึ่งเรียกว่า อนุพันธ์อันดับสองฟังก์ชั่น (หรือ อนุพันธ์อันดับสอง) และถูกกำหนดด้วยสัญลักษณ์

ตัวอย่างที่ 3: ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7

ก่อนอื่น มาหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันนี้ f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)’=3x 2 -8x+2,

จากนั้นเราจะหาอนุพันธ์อันดับสองของอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่ได้รับ

ฉ""x)=(3x 2 -8x+2)''=6x-8 คำตอบ: f""x) = 6x-8

(ความหมายทางกลของอนุพันธ์อันดับสอง)

หากจุดเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและให้กฎการเคลื่อนที่ของมัน ความเร่งของจุดจะเท่ากับอนุพันธ์อันดับสองของเส้นทางเทียบกับเวลา:

ความเร็วของวัตถุเท่ากับอนุพันธ์อันดับหนึ่งของเส้นทาง นั่นคือ:

ความเร่งของวัตถุมีค่าเท่ากับอนุพันธ์อันดับหนึ่งของความเร็ว นั่นคือ:

ตัวอย่างที่ 4: ร่างกายเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงตามกฎ s (t) = 3 + 2t + t 2 (m) จงหาความเร็วและความเร่งที่เวลา t = 3 วินาที (ระยะทางวัดเป็นเมตร เวลาเป็นวินาที)
สารละลาย
โวลต์ (ที) = ส (ที) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2t
ก (ที) = v΄ (ที) =(2+2t)’= 2 (ม./วินาที 2)
โวลต์(3) = 2 + 2∙3 = 8 (ม./วินาที) คำตอบ: 8 เมตร/วินาที; 2 เมตร/วินาที 2 .

ส่วนปฏิบัติ:

คำถามเพื่อความปลอดภัย:

คุณพิจารณาความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์อย่างไร - มันคือความเร็วทันทีหรือความเร็วเฉลี่ย?

ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์ที่วาดกับกราฟของฟังก์ชันผ่านจุดใดๆ กับแนวคิดเรื่องอนุพันธ์คืออะไร?

นิยามของเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันที่จุด M(x 0 ;f(x 0)) คืออะไร?

ความหมายเชิงกลของอนุพันธ์อันดับสองคืออะไร?

อนุพันธ์(ฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง) - แนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ซึ่งระบุลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ( ณ จุดที่กำหนด) มันถูกกำหนดให้เป็นขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เนื่องจากการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ หากมีขีดจำกัดดังกล่าวอยู่ ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์จำกัด ( ณ จุดหนึ่ง) เรียกว่าอนุพันธ์ (ณ จุดนั้น)

อนุพันธ์ ลองพิจารณาฟังก์ชันบางอย่างกัน ย = ฉ (x ) ที่จุดสองจุด x 0 และ x 0 + : ฉ (x 0) และ ฉ (x 0 + ) ที่นี่ผ่านหมายถึงการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในการโต้แย้งที่เรียกว่า อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น- ตามลำดับความแตกต่างระหว่างค่าฟังก์ชันสองค่า: ฉ (x 0 + )  ฉ (x 0 ) เรียกว่า เพิ่มฟังก์ชัน.อนุพันธ์ฟังก์ชั่น ย = ฉ (x ) ณ จุดนั้น x 0 เรียกว่าขีดจำกัด:

หากมีขีดจำกัดนี้ แสดงว่าฟังก์ชันนั้น ฉ (x ) เรียกว่า หาความแตกต่างได้ตรงจุด x 0 . อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ (x ) แสดงไว้ดังนี้:

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ พิจารณากราฟของฟังก์ชัน ย = ฉ (x ):

จากรูปที่ 1 เห็นได้ชัดว่าสำหรับจุด A และ B สองจุดใดๆ ของกราฟของฟังก์ชัน:

มุมเอียงของเส้นตัด AB อยู่ที่ไหน

ดังนั้น อัตราส่วนผลต่างจึงเท่ากับความชันของเส้นตัดมุม หากคุณแก้ไขจุด A และย้ายจุด B เข้าหาจุดนั้น จุดนั้นจะลดลงโดยไม่มีขีดจำกัดและเข้าใกล้ 0 และเส้นตัด AB จะเข้าใกล้เส้นสัมผัส AC ดังนั้น ขีดจำกัดของอัตราส่วนผลต่างจะเท่ากับความชันของแทนเจนต์ที่จุด A ดังนี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นนี่คือสิ่งที่ ความหมายทางเรขาคณิต อนุพันธ์

สมการแทนเจนต์ ขอให้เราได้สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด A ( x 0 , ฉ (x 0 - โดยทั่วไปสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความชัน ฉ ’(x 0 ) มีรูปแบบ:

ย = ฉ ’(x 0 ) · x + ข .

เพื่อค้นหา ข, ใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าแทนเจนต์ผ่านจุด A:

ฉ (x 0 ) = ฉ ’(x 0 ) · x 0 +ข ,

จากที่นี่ ข = ฉ (x 0 ) – ฉ ’(x 0 ) · x 0 และแทนที่นิพจน์นี้แทน ขเราจะได้ สมการแทนเจนต์:

ย =ฉ (x 0 ) + ฉ ’(x 0 ) · ( x – x 0 ) .

ความหมายทางกลของอนุพันธ์ ลองพิจารณาดู กรณีที่ง่ายที่สุด: การเคลื่อนที่ของจุดวัสดุตามแนวแกนพิกัดและกำหนดกฎการเคลื่อนที่: พิกัด xจุดเคลื่อนที่ - ฟังก์ชันที่รู้จัก x (ที) เวลา ที- ในช่วงเวลาตั้งแต่ ที 0 ถึง ที 0 + จุดเคลื่อนที่ไปไกล: x (ที 0 + ) x (ที 0) = และเธอ ความเร็วเฉลี่ย เท่ากับ: โวลต์ ก =  . ที่ 0 ความเร็วเฉลี่ยมีแนวโน้มที่จะเป็นค่าหนึ่งซึ่งเรียกว่า ความเร็วทันที โวลต์ ( ที 0 ) จุดวัสดุ ณ เวลานั้น ที 0 . แต่ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์เรามี:

จากที่นี่ โวลต์ (ที 0 ) = x' (ที 0 ) , เช่น. ความเร็วเป็นอนุพันธ์ของพิกัด โดย เวลา. นี่คือสิ่งที่ ความรู้สึกทางกลอนุพันธ์ . เช่นเดียวกัน, ความเร่งเป็นอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา: ก = วี' (ที).

8. ตารางอนุพันธ์และกฎความแตกต่าง

เราได้พูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์ในบทความเรื่อง “ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์” หากกราฟกำหนดฟังก์ชันไว้ อนุพันธ์ของกราฟในแต่ละจุดจะเท่ากับค่าแทนเจนต์ของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน และถ้าสูตรกำหนดฟังก์ชัน ตารางอนุพันธ์และกฎการหาอนุพันธ์จะช่วยคุณได้ นั่นคือกฎในการค้นหาอนุพันธ์

§ 2. คำจำกัดความของอนุพันธ์

ให้ฟังก์ชัน ย= ฉ(x) กำหนดไว้ในช่วงเวลา ( ก;ข- พิจารณาคุณค่าของการโต้แย้ง

(ก;ข) - เรามาเพิ่มข้อโต้แย้งกันเถอะ ∆ x 0 ดังนั้นเงื่อนไข ( x 0 +∆ x)

ก;ข- ให้เราแสดงค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันด้วย y 0 และ y 1:

ย 0 = ฉ(x 0 ), ย 1 = ฉ(x 0 +∆ x). เมื่อย้ายจาก x 0 ถึง x 0 +∆ xฟังก์ชั่นจะเพิ่มขึ้น

∆ย = ย 1 -y 0 = ฉ(x 0 +∆ x) -ฉ(x 0 ). หากในขณะที่มุ่งมั่น ∆ xถึงศูนย์จะมีการจำกัดอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ∆ปถึงการเพิ่มขึ้นของข้อโต้แย้งที่ทำให้เกิดมัน ∆ x,

เหล่านั้น. มีขีดจำกัด

=

,

ลิมิตนี้เรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย= ฉ(x) ตรงจุด x 0 - แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย= ฉ(x) ตรงจุด x=x 0 คือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย= ฉ(x) ตรงจุด xระบุด้วยสัญลักษณ์ (x) หรือ (x- นอกจากนี้ยังใช้สัญลักษณ์ด้วย , , ,- ใน สามครั้งสุดท้ายสัญกรณ์เน้นความจริงที่ว่าอนุพันธ์นั้นมาจากตัวแปร x.

ถ้าฟังก์ชั่น ย= ฉ(x) มีอนุพันธ์ ณ แต่ละจุดของช่วงเวลาหนึ่ง จากนั้นในช่วงเวลานี้อนุพันธ์ ( x) เป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน x.

§ 3. ความหมายทางกลและเรขาคณิตของอนุพันธ์

สมการของเส้นปกติและเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน

ดังที่แสดงไว้ในมาตรา 1 อัตราเร็วชั่วขณะของจุดหนึ่งคือ

โวลต์ = .

แต่นี่หมายถึงความเร็ว โวลต์ คืออนุพันธ์ของระยะทางที่เดินทาง ส ตามเวลา ที ,

โวลต์ =- ดังนั้นหากฟังก์ชัน ย= ฉ(x) อธิบายกฎการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของจุดวัสดุโดยที่ ยคือเส้นทางที่จุดวัตถุเคลื่อนที่ไปตั้งแต่วินาทีที่มันเริ่มเคลื่อนที่จนถึงช่วงเวลาแห่งกาลเวลา xแล้วอนุพันธ์ ( x) กำหนดความเร็วชั่วขณะของจุดในแต่ละครั้ง x- นี่คือความหมายเชิงกลของอนุพันธ์

ใน § 1 ยังพบค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันด้วย ย= ฉ(x) เค= ทีจีα= - ความสัมพันธ์นี้หมายความว่าความชันของแทนเจนต์เท่ากับอนุพันธ์ ( x- พูดอย่างเคร่งครัดมากขึ้นอนุพันธ์ ( x) ฟังก์ชัน ย= ฉ(x) คำนวณด้วยค่าอาร์กิวเมนต์เท่ากับ xเท่ากับความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันนี้ ณ จุดที่ abscissa เท่ากับ x- นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

ให้ที่ x=x 0 การทำงาน ย= ฉ(x) คำนึงถึงคุณค่า ย 0 =ฉ(x 0 ) และกราฟของฟังก์ชันนี้มีเส้นสัมผัสที่จุดที่มีพิกัด ( x 0 ;ย 0) แล้วความชันของแทนเจนต์

เค = ( x 0) การใช้สมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนดในทิศทางที่กำหนดซึ่งทราบจากวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์ ( ย-ย 0 =เค(x-x 0)) เราเขียนสมการแทนเจนต์:

เส้นตรงที่ผ่านจุดสัมผัสกันซึ่งตั้งฉากกับเส้นสัมผัสกัน เรียกว่า เส้นตั้งฉากกับเส้นโค้ง เนื่องจากเส้นปกติตั้งฉากกับแทนเจนต์ ความชันจึงเท่ากับ เคบรรทัดฐานเกี่ยวข้องกับความชันของแทนเจนต์ เครู้จักจากเรขาคณิตวิเคราะห์โดยความสัมพันธ์: เคบรรทัดฐาน = ─นั่นคือ สำหรับการผ่านจุดปกติด้วยพิกัด ( x 0 ;ย 0),เคปกติ = ─ . ดังนั้นสมการของเส้นปกตินี้จึงมีรูปแบบ:

(โดยมีเงื่อนไขว่า

).

§ 4. ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์

เพื่อคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย= ฉ(x) ตรงจุด x, จำเป็น:

การโต้แย้ง xให้ส่วนเพิ่ม ∆ x;

ค้นหาส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน ∆ ย=ฉ(x+∆x) -ฉ(x);

สร้างความสัมพันธ์ ;

ค้นหาขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้ที่ ∆ x→0.

ตัวอย่างที่ 4.1 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย=ค=คอนสต.

การโต้แย้ง xให้ส่วนเพิ่ม ∆ x.

ไม่ว่ามันจะเป็นอะไรก็ตาม x, ∆ย=0: ∆ย=ฉ(x+∆x) ─ฉ(x)=С─С=0;

จากที่นี่ =0 และ =0 เช่น =0.

ตัวอย่างที่ 4.2 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย=x.

∆ ย=ฉ(x+∆x) ─ฉ(x)= x+∆x– x=∆ x;

1, =1 เช่น =1.

ตัวอย่างที่ 4.3 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย=x 2.

∆ ย= (x+∆ x)2–x 2= 2 x∙∆ x+ (∆ x)2;

= 2 x+ ∆ x, = 2 x, เช่น. =2 x.

ตัวอย่างที่ 4.4 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=sin x.

∆ ย=บาป( x+∆x) – บาป x= 2 ซิน เพราะ( x+);

=

;

=



=คอส x, เช่น. =คอส x.

ตัวอย่างที่ 4.5 ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย=

.

=

, เช่น. - .

ความรู้สึกทางกลของอนุพันธ์

จากฟิสิกส์เป็นที่ทราบกันว่ากฎการเคลื่อนที่สม่ำเสมอมีรูปแบบ ส = โวลต์ เสื้อ, ที่ไหน ส– เส้นทางเดินทางไปสู่ช่วงเวลาแห่งกาลเวลา ที, โวลต์– ความเร็วของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอ

แต่เพราะว่า การเคลื่อนไหวส่วนใหญ่ที่เกิดขึ้นในธรรมชาตินั้นไม่สม่ำเสมอ โดยทั่วไปแล้วจะเป็นความเร็ว และด้วยเหตุนี้จึงรวมถึงระยะทางด้วย สจะขึ้นอยู่กับเวลา ที, เช่น. จะเป็นฟังก์ชันของเวลา

ดังนั้นให้จุดวัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงไปในทิศทางเดียวตามกฎหมาย ส=ส(ท)

เรามาทำเครื่องหมายจุดหนึ่งของเวลากัน ที 0 . ณ จุดนี้ได้ผ่านเส้นทางไปแล้ว s=s(ต 0 ). เรามากำหนดความเร็วกัน โวลต์ชี้วัตถุ ณ ขณะหนึ่ง ที 0 .

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เราพิจารณาจุดอื่นของเวลา ที 0 + Δ ที- สอดคล้องกับเส้นทางการเดินทาง =s(ท 0 + Δ ที- จากนั้นในช่วงเวลาหนึ่ง Δ ทีจุดนั้นเคลื่อนที่ไปตามเส้นทาง Δs =s(ท 0 + Δ เสื้อ)–ส(ท)

ลองพิจารณาทัศนคติ เรียกว่าความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา Δ ที- ความเร็วเฉลี่ยไม่สามารถระบุความเร็วการเคลื่อนที่ของจุดใดจุดหนึ่งในขณะนั้นได้อย่างแม่นยำ ที 0 (เนื่องจากการเคลื่อนไหวไม่สม่ำเสมอ) เพื่อที่จะแสดงความเร็วที่แท้จริงนี้โดยใช้ความเร็วเฉลี่ยได้แม่นยำยิ่งขึ้น คุณต้องใช้เวลาที่สั้นลง Δ ที.

ดังนั้นความเร็วของการเคลื่อนที่ในช่วงเวลาหนึ่งๆ ที 0 (ความเร็วทันที) คือขีดจำกัดของความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาจาก ที 0 ถึง ที 0 +Δ ทีเมื่อ ∆ ที→0:

,

เหล่านั้น. ความเร็วไม่สม่ำเสมอนี่คืออนุพันธ์ของระยะทางที่เดินทางเทียบกับเวลา

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

ก่อนอื่นให้เราแนะนำคำจำกัดความของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดที่กำหนดก่อน

ขอให้เรามีเส้นโค้งและจุดคงที่บนมัน ม 0(ดูรูป) พิจารณาอีกประเด็นหนึ่ง มเส้นโค้งนี้แล้ววาดเส้นตัด ม 0 ม- ถ้าตรงประเด็น มเริ่มเคลื่อนตัวไปตามโค้งและจุด ม 0ยังคงนิ่งอยู่ จากนั้นซีแคนต์จะเปลี่ยนตำแหน่ง ถ้าด้วยการประมาณจุดอย่างไม่จำกัด มตามทางโค้งจนถึงจุดหนึ่ง ม 0ด้านใดด้านหนึ่งเส้นตัดมีแนวโน้มที่จะครอบครองตำแหน่งของเส้นตรงเส้นหนึ่ง ม 0 ตแล้วตรงไป ม 0 ตเรียกว่าแทนเจนต์กับเส้นโค้ง ณ จุดที่กำหนด ม 0.

ที่., แทนเจนต์สู่เส้นโค้ง ณ จุดที่กำหนด ม 0เรียกว่าตำแหน่งลิมิตของซีแคนต์ ม 0 มเมื่อชี้ มมีแนวโน้มไปตามโค้งจนถึงจุดหนึ่ง ม 0.

ตอนนี้เรามาพิจารณากัน ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง y=ฉ(x)และเส้นโค้งที่สอดคล้องกับฟังก์ชันนี้ ในระดับหนึ่งค่า ฟังก์ชันฉ(ฟังก์ชัน 0 รับค่า y 0 =ฉ(x 0)ค่านิยมเหล่านี้ x 0 และ ย 0 บนเส้นโค้งสอดคล้องกับจุด ม 0 (x 0 ; ปี 0)ให้เราโต้แย้งกัน x 0เพิ่มขึ้น ∆ ฟังก์ชันฉ(- ค่าใหม่ของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่เพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ย 0 +Δ y=ฉ(x 0 –Δ เอ็กซ์)- เราได้รับประเด็น ม(x 0+Δ x; ใช่ 0+Δ ย)ลองวาดซีแคนต์กัน ม 0 มและแสดงด้วย φ มุมที่เกิดจากเส้นตัดที่มีทิศทางบวกของแกน วัว- เรามาสร้างความสัมพันธ์กันและสังเกตว่า

ถ้าตอนนี้ Δ x→0 จากนั้นเนื่องจากความต่อเนื่องของฟังก์ชัน Δ ที่→0 และด้วยเหตุนี้จุด มเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งเข้าหาจุดโดยไม่มีขีดจำกัด ม 0- จากนั้นซีแคนต์ ม 0 มมักจะเข้ารับตำแหน่งแทนเจนต์กับเส้นโค้งที่จุดนั้น ม 0และมุม φ→α ที่ Δ x→0 โดยที่ α แสดงถึงมุมระหว่างทิศทางแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน วัว- เนื่องจากฟังก์ชัน tan φ ขึ้นอยู่กับ φ อย่างต่อเนื่องสำหรับ φ≠π/2 ดังนั้นสำหรับ φ→α tan φ → tan α ดังนั้น ความชันของแทนเจนต์จะเป็น:

เหล่านั้น. ฉ "(x)= ทีจี แอลฟา

ดังนั้นในทางเรขาคณิต ใช่ "(x 0)แสดงถึงความชันของเส้นสัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชันนี้ ณ จุดนั้น x 0, เช่น. สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด xอนุพันธ์จะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x)ในจุดที่เหมาะสม ม 0 (x; ย)โดยมีทิศทางแกนบวก วัว.

ตัวอย่าง.หาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ย = x 2 ณ จุด ม(-1; 1).

เราได้เห็นแล้วว่า ( x 2)" = 2ฟังก์ชันฉ(- แต่สัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นสัมผัสเส้นโค้งคือ tan α = ย"| x=-1 = – 2.

ความหมายทางเรขาคณิต ทางกล และเศรษฐศาสตร์ของอนุพันธ์

คำจำกัดความของอนุพันธ์

บรรยายครั้งที่ 7-8

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

1 Ukhobotov, V. I. คณิตศาสตร์: บทช่วยสอน.- เชเลียบินสค์: เชเลียบ สถานะ ม., 2549.- 251 น.

2 เยอร์มาคอฟ, V.I. การรวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์ชั้นสูง คู่มือการศึกษา –อ.: INFRA-M, 2549. – 575 หน้า

3 เยอร์มาคอฟ, วี.ไอ. หลักสูตรทั่วไป คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น- หนังสือเรียน. –ม.: INFRA-M, 2003. – 656 หน้า

หัวข้อ "อนุพันธ์"

เป้า:อธิบายแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ ติดตามความสัมพันธ์ระหว่างความต่อเนื่องและความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน แสดงการประยุกต์ใช้อนุพันธ์พร้อมตัวอย่าง

ขีดจำกัดทางเศรษฐศาสตร์นี้เรียกว่าต้นทุนการผลิตส่วนเพิ่ม

คำจำกัดความของอนุพันธ์ ความหมายทางเรขาคณิตและเชิงกลของอนุพันธ์ สมการของฟังก์ชันแทนเจนต์ของกราฟ

ต้องการคำตอบสั้นๆ (โดยไม่ต้องใช้น้ำโดยไม่จำเป็น)

Dead_white_snow

อนุพันธ์เป็นแนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ซึ่งระบุลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน
เรขาคณิต?
แทนเจนต์กับฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง... .
เงื่อนไขในการเพิ่มฟังก์ชัน: f " (x) > 0
เงื่อนไขสำหรับฟังก์ชันลดลง: f " (x)< 0.
จุดเปลี่ยนเว้า ( สภาพที่จำเป็น): ฉ " " (x0) = 0
นูนขึ้น: f " " (x) นูนลง: f " " (x) >0
สมการปกติ: y=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
เครื่องกล?
ความเร็วเป็นอนุพันธ์เกี่ยวกับระยะทาง ความเร่งเป็นอนุพันธ์เกี่ยวกับความเร็ว และอนุพันธ์อันดับสองเกี่ยวกับระยะทาง...
สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน f ที่จุด x0
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

ลบผู้ใช้แล้ว

หากมีขีดจำกัดของอัตราส่วนของเดลต้า y ต่อเดลต้า x ของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันเดลต้า y ต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เดลต้า x ที่ทำให้เกิดสิ่งนี้ เมื่อเดลต้า x มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ขีดจำกัดนี้เรียกว่าอนุพันธ์ของ ฟังก์ชั่น y = f(x) ณ จุดที่กำหนด x และเขียนแทนด้วย y" หรือ f "(x)
ความเร็ว v ของการเคลื่อนที่ในแนวตรงคืออนุพันธ์ของเส้นทาง s เทียบกับเวลา t: v = ds/dt นี่คือความหมายเชิงกลของอนุพันธ์
ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์กับเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุดที่ abscissa x เป็นศูนย์คืออนุพันธ์ของ f"(x คือศูนย์) นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์
เส้นโค้งแทนเจนต์ที่จุด M ศูนย์เรียกว่าเส้นตรง M ศูนย์ T ซึ่งสัมประสิทธิ์เชิงมุมซึ่งเท่ากับขีด จำกัด ความลาดชันตัด M เป็นศูนย์ M หนึ่งเมื่อเดลต้า x มีแนวโน้มเป็นศูนย์
tg phi = lim tg alpha เนื่องจาก delta x มีแนวโน้มเป็นศูนย์ = lim (delta x / delta y) เนื่องจาก delta x มีแนวโน้มเป็นศูนย์
จากความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ สมการแทนเจนต์จะอยู่ในรูปแบบ:
y - y ศูนย์ = f"(x ศูนย์)(x - x ศูนย์)