รากที่ n ของสารเชิงซ้อน กำลังที่มีเลขชี้กำลังตรรกศาสตร์ตามอำเภอใจ
ตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ
สูตรมูฟวร์
ให้ z 1 = r 1 (cos 1 + isin 1) และ z 2 = r 2 (cos 2 + isin 2)
รูปแบบตรีโกณมิติของการเขียนจำนวนเชิงซ้อนนั้นสะดวกต่อการใช้งานในการดำเนินการคูณ การหาร การยกกำลังจำนวนเต็ม และการแยกรากของระดับ n
z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 + 2) + ฉันบาป( 1 + 2))
เมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อนสองตัวในรูปแบบตรีโกณมิติ โมดูลจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์ เมื่อแบ่งโมดูลจะถูกแบ่งออกและข้อโต้แย้งจะถูกลบออก
ข้อพิสูจน์ของกฎในการคูณจำนวนเชิงซ้อนคือกฎสำหรับการบวกจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง
z = r(cos + ฉันบาป )
z n = r n (cos n + isin n)
อัตราส่วนนี้เรียกว่า สูตรมูฟวร์
ตัวอย่างที่ 8.1 ค้นหาผลคูณและผลหารของตัวเลข:
และ
สารละลาย
ซี 1 ∙z 2
∙
=
;
ตัวอย่างที่ 8.2 เขียนตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ
∙
–i) 7 .
สารละลาย
มาแสดงกันเถอะ
และ z 2 =
- ฉัน.
ร 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; ;
1 = หาเรื่อง z 1 = อาร์คแทน
;
ซี 1 =
;
ร 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2; 2 = หาเรื่อง z 2 = อาร์คแทน
;
ซี 2 = 2
) 5
ซี 1 5 = (
- ซี 2 7 = 2 7
ซี = (
=
2 9
) 5 ·2 7
§ 9 การแยกรากของจำนวนเชิงซ้อนคำนิยาม. รากnยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
z (แสดงว่า ) เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน
= 0.
w โดยที่ w n = z ถ้า z = 0 แล้ว
ให้ z 0, z = r(cos + isin) ให้เราแสดงว่า w = (cos + sin) จากนั้นเราเขียนสมการ w n = z ในรูปแบบต่อไปนี้
n (cos(n·) + ไอซิน(n·)) = r(cos + ไอซิน)
=
ดังนั้น n = r
·
.
ดังนั้น wk =
ในบรรดาค่าเหล่านี้มีค่าที่แตกต่างกัน n ประการ
ดังนั้น k = 0, 1, 2, …, n – 1
บนระนาบเชิงซ้อน จุดเหล่านี้คือจุดยอดของเอ็นกอนปกติที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี
โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด O (รูปที่ 12)
รูปที่ 12ตัวอย่างที่ 9.1
.
ค้นหาค่าทั้งหมด
สารละลาย.
ลองแทนตัวเลขนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ ลองหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมันกัน
ว เค =
โดยที่ k = 0, 1, 2, 3
.
w 0 =
.
วิ 1 =
.
วิ 2 =
.
วิ 3 =
บนระนาบเชิงซ้อน จุดเหล่านี้คือจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ในรัศมีวงกลม
โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (รูปที่ 13)
รูปที่ 13 รูปที่ 14ตัวอย่างที่ 9.1
.
ค้นหาค่าทั้งหมด
ตัวอย่างที่ 9.2
ลองแทนตัวเลขนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ ลองหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมันกัน
z = – 64 = 64(cos +isin);
โดยที่ k = 0, 1, 2, 3
โดยที่ k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
;
วิ 1 =
- วิ 1 =
วิ 3 =
ส 4 =
.
บนระนาบเชิงซ้อน จุดเหล่านี้คือจุดยอดของรูปหกเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี 2 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O (0; 0) - รูปที่ 14
§ 10 รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน
สูตรของออยเลอร์
มาแสดงกันเถอะ
= cos + isin และ
= cos - ไอซิน . ความสัมพันธ์เหล่านี้เรียกว่า .
สูตรของออยเลอร์
การทำงาน
มีคุณสมบัติปกติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:
ให้เขียนจำนวนเชิงซ้อน z ในรูปแบบตรีโกณมิติ z = r(cos + isin)
จากสูตรของออยเลอร์ เราสามารถเขียนได้ว่า:
.
ซี = อาร์ รายการนี้เรียกว่าแบบฟอร์มเอ็กซ์โปเนนเชียล
จำนวนเชิงซ้อน. เมื่อใช้มัน เราจะได้กฎสำหรับการคูณ การหาร การยกกำลัง และการแยกราก
ถ้า z 1 = r 1 ·
และ z 2 = r 2 ·
?ที่
;
·
ซี 1 · ซี 2 = อาร์ 1 · อาร์ 2 ·
z n = r n ·
โดยที่ k = 0, 1, … , n – 1ตัวอย่างที่ 10.1
เขียนตัวเลขในรูปแบบพีชคณิต
.
ค้นหาค่าทั้งหมด
ซี =ตัวอย่างที่ 10.2
ค้นหาค่าทั้งหมด
แก้สมการ z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0
สำหรับสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนใดๆ สมการนี้มีสองราก z 1 และ z 1 (อาจตรงกัน) รากเหล่านี้สามารถพบได้โดยใช้สูตรเดียวกันกับในกรณีจริง เพราะ
รับค่าสองค่าที่แตกต่างกันเฉพาะเครื่องหมาย จากนั้นสูตรนี้จะมีลักษณะดังนี้:
เนื่องจาก –9 = 9 e i ดังนั้นค่าต่างๆ
จะมีตัวเลข:
แล้ว
.
และตัวอย่างที่ 10.3 |
ค้นหาค่าทั้งหมด
แก้สมการ z 3 +1 = 0; ซี 3 = – 1.
.
รากที่ต้องการของสมการจะเป็นค่าต่างๆ
ลองแทนตัวเลขนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ ลองหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมันกัน
สำหรับ z = –1 เรามี r = 1, หาเรื่อง(–1) =
, เค = 0, 1, 2
แบบฝึกหัด
9 แสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลัง: |
+ฉัน; |
ช)
10 เขียนตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลังและพีชคณิต: |
ก) |
9 แสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลัง: |
วี) |
ง) 7(cos0 + isin0)
10 เขียนตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลังและพีชคณิต: |
9 แสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลัง: |
ก) |
+ฉัน; |
11 เขียนตัวเลขในรูปแบบพีชคณิตและเรขาคณิต:
จะได้รับ 12 หมายเลข
.
นำเสนอในรูปแบบเลขชี้กำลัง ค้นหา
13 การใช้รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน ให้ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:
ก)
ข)
วี)
ช) | |
. |
ง)กับ และ คำนิยาม. ราก 2 .
จำนวนธรรมชาติ จำนวนเชิงซ้อนซี เรียกว่าคำนิยาม. ราก– รากค จำนวนเชิงซ้อน คำนิยาม. ราก = ราก.
, ถ้า คำนิยาม. ราก–
มาหาค่าทั้งหมดของรูทกัน ง)โอ้ กำลังของจำนวนเชิงซ้อน ราก=|
ราก|·(- อนุญาต
เพราะ
ราก+
เรื่อง·
ฉัน
เพราะบาปกับ),
จำนวนเชิงซ้อน
= |
จำนวนเชิงซ้อนก|·(ด้วย
เพราะ
จำนวนเชิงซ้อน
+
เรื่อง·
ฉัน
เพราะ
จำนวนเชิงซ้อน)
ระบบปฏิบัติการ จำนวนเชิงซ้อน, ที่ไหน คำนิยาม. ราก-
มาหาค่าทั้งหมดของรูทกัน ง)ราก
=
ราก
= |
ราก|·(- อนุญาต
เพราะ
ราก+
เรื่อง·
ฉัน
เพราะ- แล้วมันก็ต้องเป็นเช่นนั้นกับ)
- มันเป็นไปตามนั้น คำนิยาม. ราก·
เพราะ
จำนวนเชิงซ้อน
=
เพราะและ
เพราะ
จำนวนเชิงซ้อน
=
(กับ=0,1,…)
เค จำนวนเชิงซ้อน
=
(- อนุญาต
+
เรื่อง·
ฉัน
),
(กับ=0,1,…)
- เพราะฉะนั้น,
,
(กับ=0,1,…)
- จะเห็นได้ง่ายว่าค่าใดค่าหนึ่ง
,(กับ
= 0,1,…,
คำนิยาม. ราก-1)
แตกต่างจากค่าใดค่าหนึ่งที่สอดคล้องกัน โดยหลายรายการ 2π (กับ
= 0,1,…,
คำนิยาม. ราก-1)
.
- นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม
ตัวอย่าง..
ลองคำนวณรากของ (-1) |-1| = 1, , อย่างชัดเจน (-1) = π
หาเรื่อง- อนุญาต π + เรื่อง· ฉัน π )
, -1 = 1·(
= เรื่อง
(เค = 0, 1)
กำลังที่มีเลขชี้กำลังตรรกศาสตร์ตามอำเภอใจ ง)ลองหาจำนวนเชิงซ้อนใดๆ กัน คำนิยาม. ราก- ถ้า ง) คำนิยาม. ราก
= |
ราก|
คำนิยาม. ราก จำนวนธรรมชาติแล้ว|·(ด้วย
·(กับnArgเรื่อง·
ฉัน
·(กับ- แล้วมันก็ต้องเป็นเช่นนั้นส + คำนิยาม. ราก
= 0
((6) สูตรนี้ก็เป็นจริงในกรณีนี้เช่นกัน)
โอ้ กำลังของจำนวนเชิงซ้อน คำนิยาม. ราก
< 0
ส≠0 คำนิยาม. ราก
จำนวนเชิงซ้อนกับ และส ≠ 0
ง) คำนิยาม. ราก
=
, แล้วง)(เพราะว่า nArgง))
=
, แล้วง)+i·บาป nArgง))
+ ฉันบาป nArg คำนิยาม. ราก.
- ดังนั้น สูตร (6) จึงใช้ได้กับข้อใดข้อหนึ่ง ระบบปฏิบัติการ ลองหาจำนวนตรรกยะกันถาม จำนวนธรรมชาติ และร
เป็นทั้งหมด จากนั้นภายใต้
ราก ระดับเราจะเข้าใจตัวเลข
.
เราเข้าใจแล้ว ,
(กับ = 0, 1, …, ลองหาจำนวนตรรกยะกัน-1). ค่านิยมเหล่านี้ ลองหาจำนวนตรรกยะกันชิ้น ถ้าเศษส่วนไม่สามารถลดได้
การบรรยายครั้งที่ 3 ขีดจำกัดของลำดับจำนวนเชิงซ้อน
เรียกว่าฟังก์ชันที่มีค่าเชิงซ้อนของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ ลำดับของจำนวนเชิงซ้อนและถูกกำหนดไว้ (กับ คำนิยาม. ราก ) หรือ ง) 1 , กับ 2 , ..., กับ คำนิยาม. ราก . ง) คำนิยาม. ราก = ก คำนิยาม. ราก + ข คำนิยาม. ราก · เรื่อง (คำนิยาม. ราก = 1,2, ...) จำนวนเชิงซ้อน
ง) 1 , กับ 2 , … - สมาชิกของลำดับ; กับ คำนิยาม. ราก – สมาชิกสามัญ
จำนวนธรรมชาติ ง)
=
ก+
ข·
เรื่องซี ขีดจำกัดลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (ราก คำนิยาม. ราก )
ระบบปฏิบัติการ ง) คำนิยาม. ราก
= ก คำนิยาม. ราก +
ข คำนิยาม. ราก ·
เรื่อง
(คำนิยาม. ราก
= 1, 2, …)
ที่ไหนก็ได้
ว่าต่อหน้าทุกคน คำนิยาม. ราก
>
เอ็นความไม่เท่าเทียมกันถือ
- ลำดับที่มีขีดจำกัดจำกัดเรียกว่า มาบรรจบกันลำดับ.
ทฤษฎีบท.
เพื่อให้ได้ลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (ด้วย คำนิยาม. ราก ) (กับ คำนิยาม. ราก = ก คำนิยาม. ราก + ข คำนิยาม. ราก · เรื่อง) แปลงเป็นตัวเลขด้วย = ก+ ข· เรื่องมีความจำเป็นและเพียงพอต่อความเท่าเทียมกันลิม ก คำนิยาม. ราก = ก, ลิม ข คำนิยาม. ราก = ข.
การพิสูจน์.
เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยอาศัยอสมการสองเท่าที่เห็นได้ชัดเจนต่อไปนี้
, ที่ไหน จำนวนเชิงซ้อน = x + ย· เรื่อง (2)
ความจำเป็น.อนุญาต ลิม(กับ คำนิยาม. ราก ) = ส- ให้เราแสดงว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริง ลิม ก คำนิยาม. ราก = กกับ ลิม ข คำนิยาม. ราก = ข (3).
แน่นอน (4)
เพราะ
, เมื่อไร คำนิยาม. ราก
→ ∞
จากนั้นจากด้านซ้ายของอสมการ (4) ตามมาด้วย
- มันเป็นไปตามนั้น
, เมื่อไร คำนิยาม. ราก
→ ∞
- ดังนั้นความเท่าเทียมกัน (3) จึงเป็นที่น่าพอใจ ความต้องการได้รับการพิสูจน์แล้ว
ความเพียงพอปล่อยให้ความเท่าเทียมกัน (3) เป็นที่พึงพอใจ จากความเท่าเทียมกัน (3) เป็นไปตามนั้น
- มันเป็นไปตามนั้น
, เมื่อไร คำนิยาม. ราก
→ ∞
ดังนั้นเนื่องจากอสมการทางด้านขวามือ (4) จึงเป็นเช่นนี้
, เมื่อไร คำนิยาม. ราก→∞
, วิธี ลิม(กับ คำนิยาม. ราก )=ค- ความเพียงพอได้รับการพิสูจน์แล้ว
ดังนั้น คำถามเรื่องการลู่เข้าหากันของลำดับจำนวนเชิงซ้อนจึงเทียบเท่ากับการลู่เข้าของลำดับจำนวนจริง 2 ลำดับ ดังนั้น คุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของขีดจำกัดของลำดับจำนวนจริงจึงนำไปใช้กับลำดับของจำนวนเชิงซ้อนได้
ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับของจำนวนเชิงซ้อน เกณฑ์ของ Cauchy นั้นใช้ได้: เพื่อให้ได้ลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (ด้วย คำนิยาม. ราก ) มาบรรจบกันก็จำเป็นและเพียงพอแล้วสำหรับสิ่งใดสิ่งหนึ่ง
นั่นเพื่ออะไรก็ตามคำนิยาม. ราก,
ม
>
เอ็นความไม่เท่าเทียมกันถือ
.
ทฤษฎีบท.
ปล่อยให้ลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (ด้วย คำนิยาม. ราก ) และ (z คำนิยาม. ราก ) มาบรรจบกันที่ c และตามลำดับzแล้วความเท่ากันก็เป็นจริงลิม(กับ คำนิยาม. ราก
z คำนิยาม. ราก )
=
ราก z,
ลิม(กับ คำนิยาม. ราก ·
z คำนิยาม. ราก )
=
ราก·
z- หากรู้แน่ชัดว่าzไม่เท่ากับ 0 แล้วความเท่าเทียมกันเป็นจริง
.