พิกัดจุดศูนย์ถ่วงของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล ลักษณะทางเรขาคณิตของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ในทางปฏิบัติทางวิศวกรรมจำเป็นต้องคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงแบนที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบอย่างง่ายซึ่งทราบตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง งานนี้เป็นส่วนหนึ่งของงานกำหนด...

ลักษณะทางเรขาคณิตของส่วนตัดขวางของคานและแท่ง บ่อยครั้งที่วิศวกรออกแบบของแม่พิมพ์เจาะต้องเผชิญกับคำถามดังกล่าวเมื่อกำหนดพิกัดของจุดศูนย์กลางของแรงกดผู้พัฒนาโครงร่างการโหลดสำหรับยานพาหนะต่าง ๆ เมื่อวางของบรรทุกผู้ออกแบบโครงสร้างอาคารโลหะเมื่อเลือกส่วนขององค์ประกอบและแน่นอนนักเรียนเมื่อเรียน สาขาวิชา "กลศาสตร์เชิงทฤษฎี" และ "ความแข็งแกร่งของวัสดุ"

ห้องสมุดตัวเลขเบื้องต้น

สำหรับตัวเลขระนาบสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงจะตรงกับจุดศูนย์กลางสมมาตร กลุ่มสมมาตรของวัตถุพื้นฐานประกอบด้วย: วงกลม สี่เหลี่ยมผืนผ้า (รวมถึงสี่เหลี่ยมจัตุรัส) สี่เหลี่ยมด้านขนาน (รวมถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน) รูปหลายเหลี่ยมปกติ

จากตัวเลขสิบตัวที่แสดงในภาพด้านบน มีเพียงสองร่างเท่านั้นที่เป็นพื้นฐาน นั่นคือ การใช้รูปสามเหลี่ยมและส่วนของวงกลม คุณสามารถรวมตัวเลขที่น่าสนใจในทางปฏิบัติได้เกือบทุกรูปแบบ เส้นโค้งใดๆ ก็ตามสามารถแบ่งออกเป็นส่วนๆ และแทนที่ด้วยส่วนโค้งของวงกลม

ส่วนที่เหลืออีกแปดร่างเป็นตัวเลขที่พบบ่อยที่สุด ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงรวมไว้ในห้องสมุดประเภทนี้ ในการจัดหมวดหมู่ของเรา องค์ประกอบเหล่านี้ไม่ใช่พื้นฐาน สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน และสี่เหลี่ยมคางหมู สามารถประกอบขึ้นจากสามเหลี่ยมสองรูป หกเหลี่ยมเป็นผลรวมของสามเหลี่ยมสี่รูป ส่วนของวงกลมคือส่วนต่างระหว่างส่วนของวงกลมกับสามเหลี่ยม ภาควงแหวนของวงกลมคือความแตกต่างระหว่างสองส่วน วงกลมคือเซกเตอร์ของวงกลมที่มีมุม α=2*π=360˚ ครึ่งวงกลมคือเซกเตอร์ของวงกลมที่มีมุม α=π=180˚ ตามลำดับ

การคำนวณใน Excel ของพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของรูปประกอบ

การส่งและรับรู้ข้อมูลโดยพิจารณาจากตัวอย่างง่ายกว่าเสมอกว่าการศึกษาประเด็นเรื่องการคำนวณเชิงทฤษฎีล้วนๆ พิจารณาวิธีแก้ปัญหา "จะหาจุดศูนย์ถ่วงได้อย่างไร" ในตัวอย่างของรูปประกอบที่แสดงในรูปด้านล่างข้อความนี้

ส่วนประสมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (มีมิติ เอ1 =80 มม. ข1 \u003d 40 มม.) ซึ่งเพิ่มสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ด้านบนซ้าย (ด้วยขนาดของฐาน เอ2 =24 มม. และความสูง ชม2 \u003d 42 มม.) และจากที่ครึ่งวงกลมถูกตัดจากด้านบนขวา (กึ่งกลางที่จุดที่มีพิกัด x03 =50 มม. และ y03 =40 มม. รัศมี r3 =26 มม.)

เพื่อช่วยคุณในการคำนวณ เราจะให้โปรแกรมมีส่วนร่วม MS Excel หรือโปรแกรม Oo Calc . พวกเขาจะรับมือกับงานของเราได้อย่างง่ายดาย!

ในเซลล์ด้วย สีเหลือง เติมได้ เบื้องต้นเบื้องต้น การคำนวณ .

ในเซลล์ที่มีการเติมสีเหลืองอ่อน เราจะนับผลลัพธ์

สีฟ้า แบบอักษรคือ ข้อมูลเบื้องต้น .

สีดำ แบบอักษรคือ ระดับกลาง ผลการคำนวณ .

สีแดง แบบอักษรคือ สุดท้าย ผลการคำนวณ .

เราเริ่มแก้ปัญหา - เราเริ่มค้นหาพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วน

ข้อมูลเบื้องต้น:

1. ชื่อของตัวเลขเบื้องต้นที่ประกอบเป็นส่วนประกอบจะถูกป้อนตามนั้น

ไปยังเซลล์ D3: สี่เหลี่ยมผืนผ้า

ไปยังเซลล์ E3: สามเหลี่ยม

ไปยังเซลล์ F3: ครึ่งวงกลม

2. การใช้ "ห้องสมุดตัวเลขเบื้องต้น" ที่นำเสนอในบทความนี้ เราจะกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงขององค์ประกอบของส่วนประกอบ xciและ yciหน่วยเป็นมม. เทียบกับแกนที่เลือกโดยพลการ 0x และ 0y และเขียน

ไปยังเซลล์ D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = เอ 1 /2

ไปยังเซลล์ D5: =40/2 =20,000

yc 1 = ข 1 /2

ไปยังเซลล์ E4: =24/2 =12,000

xc 2 = เอ 2 /2

ไปยังเซลล์ E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = ข 1 + ชม 2 /3

ไปยังเซลล์ F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

ไปยังเซลล์ F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. คำนวณพื้นที่ขององค์ประกอบ F 1 , F 2 , F3 ใน mm2 ใช้สูตรอีกครั้งจากส่วน "ห้องสมุดของตัวเลขเบื้องต้น"

ในเซลล์ D6: =40*80 =3200

F1 = เอ 1 * ข1

ในเซลล์ E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

ในเซลล์ F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-พาย/2*r3 ^2

พื้นที่ขององค์ประกอบที่สาม - ครึ่งวงกลม - เป็นค่าลบเพราะช่องเจาะนี้เป็นพื้นที่ว่าง!

การคำนวณพิกัดจุดศูนย์ถ่วง:

4. มากำหนดกัน พื้นที่ทั้งหมดรูปสุดท้าย F0 ในหน่วย mm2

ในเซลล์ที่ผสาน D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. คำนวณโมเมนต์คงที่ของรูปประกอบ Sxและ ซิในหน่วย mm3 เทียบกับแกนที่เลือก 0x และ 0y

ในเซลล์ที่ผสาน D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

ในเซลล์ที่ผสาน D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

ซิ = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. และสุดท้าย เราคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนคอมโพสิต Xcและ Ycหน่วยเป็นมม. ในระบบพิกัดที่เลือก 0x - 0y

ในเซลล์ที่ผสาน D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = ซิ / F0

ในเซลล์ที่ผสาน D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc=Sx/F0

งานได้รับการแก้ไขการคำนวณใน Excel เสร็จสมบูรณ์ - พบพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนซึ่งรวบรวมโดยใช้องค์ประกอบง่าย ๆ สามอย่าง!

บทสรุป.

ตัวอย่างในบทความได้รับเลือกให้เรียบง่ายมากเพื่อให้เข้าใจวิธีการคำนวณจุดศูนย์ถ่วงของส่วนที่ซับซ้อนได้ง่ายขึ้น วิธีการนี้อยู่ในความจริงที่ว่าตัวเลขที่ซับซ้อนใด ๆ ควรแบ่งออกเป็นองค์ประกอบง่าย ๆ ด้วยตำแหน่งที่รู้จักของจุดศูนย์ถ่วงและการคำนวณขั้นสุดท้ายควรทำสำหรับส่วนทั้งหมด

หากส่วนนี้ประกอบด้วยโปรไฟล์แบบม้วน - มุมและช่อง ก็ไม่จำเป็นต้องแบ่งเป็นสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมที่มีส่วนที่ตัดเป็นวงกลม "π / 2" - ส่วน พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของโปรไฟล์เหล่านี้มีอยู่ในตาราง GOST นั่นคือทั้งมุมและช่องจะเป็นองค์ประกอบพื้นฐานพื้นฐานในการคำนวณส่วนคอมโพสิตของคุณ (มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะพูดถึง I-beams, ท่อ , แท่งและรูปหกเหลี่ยม - เป็นส่วนสมมาตรจากส่วนกลาง)

ตำแหน่งของแกนพิกัดบนตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงของรูปนั้นแน่นอนไม่ส่งผลกระทบ! ดังนั้น เลือกระบบพิกัดที่ทำให้การคำนวณของคุณง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น หากฉันหมุนระบบพิกัด 45˚ ตามเข็มนาฬิกาในตัวอย่างของเรา จากนั้นการคำนวณพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม และครึ่งวงกลมจะกลายเป็นขั้นตอนการคำนวณที่แยกจากกันและยุ่งยากอีกขั้นตอนหนึ่งซึ่งคุณไม่สามารถทำได้ “ ในหัวของคุณ".

ไฟล์การคำนวณ Excel ต่อไปนี้ใน กรณีนี้ไม่ใช่โปรแกรม แต่เป็นภาพร่างของเครื่องคิดเลข อัลกอริธึม เทมเพลตที่ตามมาในแต่ละกรณี สร้างลำดับสูตรของคุณเองสำหรับเซลล์ด้วยการเติมสีเหลืองสดใส.

ตอนนี้คุณรู้วิธีหาจุดศูนย์ถ่วงของส่วนใด ๆ แล้ว! การคำนวณที่สมบูรณ์ของลักษณะทางเรขาคณิตทั้งหมดของส่วนคอมโพสิตที่ซับซ้อนโดยพลการจะได้รับการพิจารณาในบทความถัดไปในหัวข้อ "" ติดตามข่าวสารได้ที่บล็อก

สำหรับ รับ ข้อมูลเกี่ยวกับการเปิดตัวบทความใหม่ และสำหรับ ดาวน์โหลดไฟล์โปรแกรมที่ใช้งานได้ ฉันขอให้คุณสมัครรับข่าวสารในหน้าต่างที่อยู่ท้ายบทความหรือในหน้าต่างที่ด้านบนของหน้า

หลังจากป้อนที่อยู่ของคุณ อีเมลและคลิกที่ปุ่ม "รับประกาศบทความ" อย่าลืม ยืนยันการสมัคร โดยคลิกที่ลิงค์ ในจดหมายที่จะถึงคุณทันทีที่จดหมายที่ระบุ (บางครั้ง - ในโฟลเดอร์ « สแปม » )!

คำสองสามคำเกี่ยวกับแก้ว เหรียญ และส้อมสองอัน ซึ่งอธิบายไว้ใน "ภาพประกอบไอคอน" ในตอนต้นของบทความ พวกคุณหลายคนคงคุ้นเคยกับ "กลอุบาย" นี้อย่างแน่นอนซึ่งกระตุ้นให้เด็กและผู้ใหญ่ที่ไม่ได้ฝึกหัดมองด้วยความชื่นชม หัวข้อของบทความนี้เป็นจุดศูนย์ถ่วง มันคือเขาและจุดศูนย์กลางที่เล่นด้วยจิตสำนึกและประสบการณ์ของเรา หลอกความคิดของเรา!

จุดศูนย์ถ่วงของระบบ "ส้อม + เหรียญ" อยู่เสมอ แก้ไขแล้วระยะทาง แนวตั้งลงจากขอบเหรียญซึ่งเป็นจุดศูนย์กลาง นี่คือตำแหน่งสมดุลที่มั่นคง!หากคุณเขย่าส้อม จะเห็นได้ทันทีว่าระบบพยายามใช้ตำแหน่งเดิมที่มั่นคง! ลองนึกภาพลูกตุ้ม - จุดยึด (= จุดรองรับเหรียญที่ขอบแก้ว), แกนแกนของลูกตุ้ม (= ในกรณีของเรา แกนเป็นเสมือน เนื่องจากมวลของงาทั้งสองเป็น แยกจากกันในทิศทางต่าง ๆ ของอวกาศ) และน้ำหนักที่ด้านล่างของแกน (= จุดศูนย์ถ่วงของระบบ "ส้อม" ทั้งหมด + เหรียญ") หากคุณเริ่มเบี่ยงเบนลูกตุ้มจากแนวตั้งไปในทิศทางใดๆ (ไปข้างหน้า ถอยหลัง ซ้าย ขวา) จากนั้นลูกตุ้มจะกลับสู่ตำแหน่งเดิมอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง สภาวะสมดุลที่มั่นคง(เช่นเดียวกันกับส้อมและเหรียญของเรา)!

ใครไม่เข้าใจแต่อยากเข้าใจ - คิดออกเอง เป็นเรื่องที่น่าสนใจมากที่จะ "เข้าถึง" ตัวเอง! ฉันจะเพิ่มว่าหลักการเดียวกันของการใช้เครื่องชั่งที่เสถียรนั้นถูกนำมาใช้ในของเล่น Roly-Get Up ด้วย เฉพาะจุดศูนย์ถ่วงของของเล่นชิ้นนี้เท่านั้นที่อยู่เหนือจุดศูนย์กลาง แต่อยู่ใต้ศูนย์กลางของซีกโลกของพื้นผิวรองรับ

ความคิดเห็นของคุณยินดีต้อนรับผู้อ่านที่รักเสมอ!

ฉันขอ, เคารพ ผลงานของผู้เขียน ดาวน์โหลดไฟล์ หลังจากสมัครสมาชิก สำหรับการประกาศบทความ

เทคนิคทางคณิตศาสตร์ในการคำนวณหาจุดศูนย์กลางมวลเป็นของสาขาวิชาคณิตศาสตร์ มีปัญหาดังกล่าวเป็นตัวอย่างที่ดีในแคลคูลัสปริพันธ์ แต่แม้ว่าคุณจะรู้วิธีผสานรวม ก็มีประโยชน์ที่จะรู้เคล็ดลับในการคำนวณตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล หนึ่งในกลอุบายเหล่านี้ขึ้นอยู่กับการใช้ทฤษฎีบท Pappus ที่เรียกว่าซึ่งทำงานดังนี้ หากเราเอาร่างที่ปิดและสร้างร่างที่แข็งกระด้างโดยการหมุนรูปนี้ในอวกาศเพื่อให้แต่ละจุดเคลื่อนที่ในแนวตั้งฉากกับระนาบของรูป จากนั้นปริมาตรของวัตถุที่เกิดขึ้นในกรณีนี้จะเท่ากับผลคูณของพื้นที่ของ ​​ตัวเลขและระยะทางที่จุดศูนย์ถ่วงเดินทาง! แน่นอน ทฤษฎีบทนี้ก็เป็นจริงเช่นกันในกรณีที่ร่างแบนเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตั้งฉากกับพื้นที่ของมัน แต่ถ้าเราเคลื่อนมันตามวงกลมหรืออย่างอื่น

โค้งแล้วได้ร่างกายที่น่าสนใจมากขึ้น เมื่อเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางโค้ง รูปด้านในจะเคลื่อนไปข้างหน้าน้อยกว่าด้านนอก และเอฟเฟกต์เหล่านี้จะตัดกันออกจากกัน ดังนั้นถ้าเราต้องการกำหนด จุดศูนย์กลางมวลของรูปทรงแบนที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอแล้วต้องจำไว้ว่าปริมาตรที่เกิดจากการหมุนรอบแกนนั้นเท่ากับระยะทางที่จุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่คูณด้วยพื้นที่ของ รูป.
ตัวอย่างเช่น หากเราจำเป็นต้องหาจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีฐาน D และความสูง H (รูปที่ 19.2) ให้ทำดังนี้ ลองนึกภาพแกนตามแนว H แล้วหมุนสามเหลี่ยม 360° รอบแกนนั้น นี่ทำให้เรามีกรวย ระยะทางที่พิกัด x ของจุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่คือ 2πx และพื้นที่ของพื้นที่ที่เคลื่อนที่ นั่นคือ พื้นที่ของสามเหลี่ยม เท่ากับ l/2 HD ผลคูณของระยะทางที่จุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่และพื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับปริมาตรของกรวย นั่นคือ 1/3 πD 2 H. ดังนั้น (2πх) (1/2HD) = 1/3D 2 H หรือ x= D/Z ในทำนองเดียวกันโดยการหมุนรอบขาที่สองหรือเพียงเพื่อเหตุผลสมมาตรเราพบว่า y \u003d H / 3 โดยทั่วไปแล้ว จุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมเอกพันธ์ใดๆ จะอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐานทั้งสาม (เส้นที่เชื่อมด้านบนของรูปสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม) ซึ่งอยู่ห่างจากฐานเท่ากับ 1/ 3 ของความยาวของแต่ละค่ามัธยฐาน
จะดูได้อย่างไร? ตัดสามเหลี่ยมที่มีเส้นขนานกับฐานเป็นหลายแถบ สังเกตว่าค่ามัธยฐานแบ่งแต่ละแถบ ดังนั้นจุดศูนย์กลางมวลต้องอยู่บนค่ามัธยฐาน
ทีนี้ลองหาตัวเลขที่ซับซ้อนกว่านี้กัน สมมติว่าจำเป็นต้องหาตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของครึ่งวงกลมที่เป็นเนื้อเดียวกัน นั่นคือ วงกลมที่ผ่าครึ่ง ในกรณีนี้จุดศูนย์กลางมวลจะอยู่ที่ไหน? สำหรับวงกลมที่สมบูรณ์ จุดศูนย์กลางมวลจะอยู่ที่จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต แต่สำหรับครึ่งวงกลม การหาตำแหน่งของมันทำได้ยากกว่า ให้ r เป็นรัศมีของวงกลม และ x คือระยะห่างของจุดศูนย์กลางมวลจากขอบเส้นตรงของครึ่งวงกลม หมุนรอบขอบนี้เหมือนกับรอบแกน เราได้ลูกบอล ในกรณีนี้ จุดศูนย์กลางมวลเดินทางเป็นระยะทาง 2πx และพื้นที่ของครึ่งวงกลมคือ 1/2πr 2 (ครึ่งหนึ่งของพื้นที่วงกลม) เนื่องจากปริมาตรของทรงกลมนั้นแน่นอน 4πg 3 /3 จากที่นี่เราจึงพบ

หรือ

มีอีกทฤษฎีบทหนึ่งของ Pappus ซึ่งจริงๆ แล้วเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทที่กล่าวไว้ข้างต้น และดังนั้นจึงใช้ได้ สมมติว่าแทนที่จะเป็นครึ่งวงกลมทึบ เราได้นำครึ่งวงกลมมาแทน ตัวอย่างเช่น ชิ้นส่วนของลวดในรูปของครึ่งวงกลมที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ และเราต้องการหาจุดศูนย์กลางมวลของมัน ปรากฎว่าพื้นที่ที่ "กวาด" ด้วยเส้นโค้งเรียบเมื่อมันเคลื่อนที่ คล้ายกับที่อธิบายไว้ข้างต้น เท่ากับระยะทางที่จุดศูนย์กลางมวลเดินทาง คูณด้วยความยาวของเส้นโค้งนี้ (เส้นโค้งสามารถมองได้ว่าเป็นแถบที่แคบมากและใช้ทฤษฎีบทก่อนหน้านี้)

จากสูตรทั่วไปที่ได้รับข้างต้น เป็นไปได้ที่จะระบุวิธีการเฉพาะในการกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย

1. สมมาตร.หากวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกันมีระนาบ แกน หรือจุดศูนย์กลางสมมาตร (รูปที่ 7) จุดศูนย์ถ่วงของมันจะอยู่ตามลำดับในระนาบสมมาตร แกนสมมาตร หรือในศูนย์กลางของสมมาตร

รูปที่ 7

2. แยก.ร่างกายถูกแบ่งออกเป็นส่วน ๆ อย่าง จำกัด (รูปที่ 8) ซึ่งแต่ละส่วนจะทราบตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงและพื้นที่

รูปที่ 8

3.วิธีการลบพื้นที่กรณีพิเศษของวิธีการแบ่งพาร์ติชัน (รูปที่ 9) ใช้กับวัตถุที่มีช่องเจาะหากทราบจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายโดยไม่มีช่องเจาะและช่องเจาะ ร่างกายในรูปแบบของแผ่นคัตเอาท์จะแสดงด้วยการรวมกันของแผ่นแข็ง (ไม่มีการตัดออก) ที่มีพื้นที่ S 1 และพื้นที่ของส่วนที่ตัดออก S 2 .

รูปที่ 9

4.วิธีการจัดกลุ่มเป็นส่วนเสริมที่ดีในสองวิธีสุดท้าย หลังจากแบ่งร่างออกเป็นองค์ประกอบที่เป็นส่วนประกอบแล้ว จะสะดวกที่จะรวมบางส่วนเข้าด้วยกันอีกครั้ง เพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นโดยคำนึงถึงความสมมาตรของกลุ่มนี้

จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกันบางส่วน

1) จุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งวงกลมพิจารณาส่วนโค้ง ABรัศมี Rด้วยมุมตรงกลาง เนื่องจากความสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งนี้จึงอยู่บนแกน วัว(รูปที่ 10).

รูปที่ 10

หาพิกัดโดยใช้สูตรกัน เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เลือกบนส่วนโค้ง ABองค์ประกอบ มม'ความยาว ซึ่งตำแหน่งถูกกำหนดโดยมุม ประสานงาน Xองค์ประกอบ มม'จะ . แทนค่าเหล่านี้ Xและ d lและจำไว้ว่าอินทิกรัลต้องขยายตลอดความยาวทั้งหมดของส่วนโค้ง เราจะได้:

ที่ไหน หลี่- ความยาวส่วนโค้ง AB, เท่ากับ .

จากที่นี่ ในที่สุดเราก็พบว่าจุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งวงกลมอยู่บนแกนสมมาตรที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลาง อู๋เท่ากับ

โดยที่มุมวัดเป็นเรเดียน

2) จุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่สามเหลี่ยมพิจารณาสามเหลี่ยมนอนอยู่บนระนาบ Oxyซึ่งทราบพิกัดจุดยอด: ฉัน(x ฉัน,ฉัน), (ผม= 1,2,3). แบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นเส้นแคบ ๆ ขนานกับด้านข้าง อา 1 อา 2 เราได้ข้อสรุปว่าจุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยมต้องอยู่ในค่ามัธยฐาน อา 3 เอ็ม 3 (รูปที่ 11) .

รูปที่ 11

แบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นแถบขนานกับด้านข้าง อา 2 อา 3 คุณสามารถมั่นใจได้ว่าจะต้องอยู่บนค่ามัธยฐาน อา 1 เอ็มหนึ่ง . ทางนี้, จุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐานซึ่งอย่างที่คุณทราบ แยกส่วนที่สามออกจากแต่ละค่ามัธยฐาน นับจากด้านที่สอดคล้องกัน

โดยเฉพาะสำหรับค่ามัธยฐาน อา 1 เอ็ม 1 เราได้รับ โดยที่พิกัดของจุด เอ็ม 1 คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดจุดยอด อา 2 และ อา 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x เอ็ม 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

ดังนั้นพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมจึงเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดยอด:

x ค =(1/3)Σ x ฉัน ; y ค =(1/3)Σ ฉัน.

3) จุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่เซกเตอร์วงกลมพิจารณาเซกเตอร์ของวงกลมรัศมี Rด้วยมุมศูนย์กลาง 2α ซึ่งอยู่รอบแกนสมมาตร วัว(รูปที่ 12) .

เห็นได้ชัดว่า y ค = 0 และระยะทางจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่เซกเตอร์นี้ถูกตัดจนถึงจุดศูนย์ถ่วงสามารถกำหนดได้โดยสูตร:

รูปที่ 12

วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณอินทิกรัลนี้คือการแบ่งโดเมนการรวมเป็นส่วนพื้นฐานด้วยมุม dฟาย มากถึงขนาดที่เล็กที่สุดของลำดับแรก เซกเตอร์ดังกล่าวสามารถแทนที่ด้วยสามเหลี่ยมที่มีฐานเท่ากับ R× dφและส่วนสูง R. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมดังกล่าว dF=(1/2)R 2 ∙dφ และจุดศูนย์ถ่วงอยู่ที่ระยะ 2/3 Rจากด้านบน ดังนั้นใน (5) เราใส่ x = (2/3)R∙cosφ. เปลี่ยนเป็น (5) F= α R 2 เราได้รับ:

โดยใช้สูตรสุดท้ายคำนวณโดยเฉพาะระยะห่างจากจุดศูนย์ถ่วง ครึ่งวงกลม.

แทนที่ใน (2) α = π/2 เราจะได้: x ค = (4R)/(3π) ≅ 0.4 R .

ตัวอย่างที่ 1ให้เรากำหนดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกันดังแสดงในรูปที่ สิบสาม

รูปที่ 13

ร่างกายเป็นเนื้อเดียวกัน ประกอบด้วยสองส่วนที่มีรูปร่างสมมาตร พิกัดของจุดศูนย์ถ่วง:

ปริมาณของพวกเขา:

ดังนั้นพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย

ตัวอย่าง 2หาจุดศูนย์ถ่วงของจานที่งอเป็นมุมฉาก ขนาด - บนภาพวาด (รูปที่ 14)

รูปที่ 14

พิกัดศูนย์ถ่วง:

สี่เหลี่ยม:

ข้าว. 6.5.

ตัวอย่างที่ 3รูสี่เหลี่ยม ซม. ถูกตัดออกจากแผ่นสี่เหลี่ยม ซม. (รูปที่ 15) หาจุดศูนย์ถ่วงของแผ่น.

รูปที่ 15

ในปัญหานี้ จะสะดวกกว่าในการแบ่งร่างกายออกเป็นสองส่วน: สี่เหลี่ยมขนาดใหญ่และรูสี่เหลี่ยม ควรพิจารณาเฉพาะพื้นที่ของหลุมเป็นลบ จากนั้นพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของแผ่นที่มีรู:

ประสานกันเนื่องจากลำตัวมีแกนสมมาตร (แนวทแยง)

ตัวอย่างที่ 4โครงลวด (รูปที่ 16) ประกอบด้วยสามส่วนที่มีความยาวเท่ากัน l.

รูปที่ 16

พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนต่างๆ:

ดังนั้น พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของวงเล็บทั้งหมด:

ตัวอย่างที่ 5กำหนดตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงของโครงถัก แท่งทั้งหมดที่มีความหนาแน่นเชิงเส้นเท่ากัน (รูปที่ 17)

จำได้ว่าในฟิสิกส์ ความหนาแน่นของร่างกาย ρ และความถ่วงจำเพาะ g สัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์: γ= ρ g, ที่ไหน g- ความเร่งของแรงโน้มถ่วง ในการหามวลของวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกันนั้น คุณต้องคูณความหนาแน่นด้วยปริมาตรของมัน

รูปที่ 17

คำว่าความหนาแน่น "เชิงเส้น" หรือ "เชิงเส้น" หมายความว่าในการกำหนดมวลของโครงนั่งร้าน ความหนาแน่นเชิงเส้นจะต้องคูณด้วยความยาวของแกนนี้

ในการแก้ปัญหา คุณสามารถใช้วิธีการแบ่งพาร์ติชันได้ แทนมัดที่กำหนดเป็นผลรวมของแท่งเดี่ยว 6 อัน เราได้รับ:

ที่ไหน หลี่ระยะเวลา ผม-คันที่หนึ่งของฟาร์มและ x ฉัน, ฉันคือพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของมัน

วิธีแก้ปัญหานี้สามารถลดความซับซ้อนได้โดยการจัดกลุ่มโครงนั่งร้าน 5 อันสุดท้าย มันง่ายที่จะเห็นว่าพวกมันก่อตัวเป็นรูปที่มีจุดศูนย์กลางสมมาตรซึ่งอยู่ตรงกลางของแท่งที่สี่ซึ่งมีจุดศูนย์ถ่วงของแท่งกลุ่มนี้

ดังนั้น มัดที่กำหนดสามารถแสดงโดยการรวมกันของแท่งสองกลุ่มเท่านั้น

กลุ่มแรกประกอบด้วยคันแรกสำหรับมัน หลี่ 1 = 4 เมตร x 1 = 0 ม. y 1 = 2 ม. กลุ่มที่สองของแท่งประกอบด้วยห้าแท่งซึ่ง หลี่ 2 = 20 ม. x 2 = 3 เมตร y 2 = 2 ม.

พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของฟาร์มหาได้จากสูตร:

x ค = (หลี่ 1 ∙x 1 +หลี่ 2 ∙x 2)/(หลี่ 1 + หลี่ 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 เมตร;

y ค = (หลี่ 1 ∙y 1 +หลี่ 2 ∙y 2)/(หลี่ 1 + หลี่ 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 ม.

โปรดทราบว่าศูนย์ กับอยู่บนเส้นเชื่อมต่อ กับ 1 และ กับ 2 และแบ่งส่วน กับ 1 กับ 2 เกี่ยวกับ: กับ 1 กับ/SS 2 = (x ค - x 1)/(x 2 - x ค ) = หลี่ 2 /หลี่ 1 = 2,5/0,5.

คำถามสำหรับการตรวจสอบตนเอง

จุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนานคืออะไร?

พิกัดของจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนานถูกกำหนดอย่างไร?

วิธีการหาจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน ผลลัพธ์ที่ได้คือศูนย์?

อะไรคือคุณสมบัติของจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน?

สูตรใดใช้คำนวณพิกัดจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน

จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายคืออะไร?

ทำไมแรงดึงดูดของโลกที่กระทำต่อจุดของร่างกายจึงกลายเป็นระบบของแรงคู่ขนานได้?

เขียนสูตรการกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันและเป็นเนื้อเดียวกัน สูตรสำหรับกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนแบน?

เขียนสูตรกำหนดตำแหน่งจุดศูนย์ถ่วงของง่าย รูปทรงเรขาคณิต: สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู และครึ่งวงกลม?

อะไรเรียกว่าโมเมนต์สถิตของพื้นที่?

ยกตัวอย่างของร่างกายที่มีจุดศูนย์ถ่วงอยู่นอกร่างกาย

คุณสมบัติสมมาตรใช้เพื่อกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายอย่างไร

สาระสำคัญของวิธีการชั่งน้ำหนักติดลบคืออะไร?

จุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งวงกลมอยู่ที่ไหน?

โครงสร้างกราฟิกแบบใดที่ใช้หาจุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยมได้

เขียนสูตรที่กำหนดจุดศูนย์ถ่วงของเซกเตอร์วงกลม

ใช้สูตรที่กำหนดจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมและเซกเตอร์วงกลม ได้สูตรที่คล้ายกันสำหรับส่วนที่เป็นวงกลม

สูตรใดใช้ในการคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกัน ตัวเลขระนาบ และเส้น

อะไรคือสิ่งที่เรียกว่าโมเมนต์คงที่ของพื้นที่ของรูปทรงแบนที่สัมพันธ์กับแกน มันคำนวณอย่างไรและมีมิติอะไร?

จะกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่ได้อย่างไรหากทราบตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของแต่ละส่วน

ทฤษฎีบทเสริมใดบ้างที่ใช้กำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง

6.1. ข้อมูลทั่วไป

ศูนย์กลางของกองกำลังคู่ขนาน
พิจารณาแรงคู่ขนานที่มุ่งไปในทิศทางเดียวกัน และ นำไปใช้กับร่างกายที่จุด อา 1 และ อา 2 (fig.6.1) ระบบแรงนี้มีผลลัพธ์ซึ่งเป็นแนวการกระทำที่ผ่านจุดหนึ่ง กับ. ตำแหน่งจุด กับสามารถพบได้โดยใช้ทฤษฎีบทของ Varignon:

หากคุณหมุนแรงและใกล้จุด อา 1 และ อา 2 ในทิศทางเดียวและในมุมเดียวกัน เราจะได้ ระบบใหม่ไขมันคู่ขนานที่มีโมดูลเดียวกัน ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ก็จะผ่านจุดนั้นด้วย กับ. จุดดังกล่าวเรียกว่าจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน
พิจารณาระบบของแรงขนานและขนานกันที่ใช้กับวัตถุแข็งเกร็งที่จุดต่างๆ ระบบนี้มีผลลัพธ์
หากแรงแต่ละแรงของระบบหมุนใกล้กับจุดที่ใช้งานในทิศทางเดียวกันและในมุมเดียวกัน ระบบใหม่ที่มีแรงขนานที่กำกับอย่างเท่าเทียมกันด้วยโมดูลและจุดใช้งานเดียวกันจะได้รับ ผลลัพธ์ของระบบดังกล่าวจะมีโมดูลัสเท่ากัน Rแต่แต่ละครั้งไปในทิศทางที่ต่างกัน วางกำลังลง F 1 และ F 2 พบว่าผลลัพธ์ของพวกเขา R 1 ซึ่งจะผ่านจุดเสมอ กับ 1 ซึ่งตำแหน่งถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน เพิ่มมากขึ้น R 1 และ F 3 หาผลลัพธ์ซึ่งจะผ่านจุดเสมอ กับ 2 นอนอยู่บนเส้น อา 3 กับ 2. เมื่อนำกระบวนการเพิ่มกำลังมาจนสุดทางแล้ว ก็สรุปได้ว่าผลของแรงทั้งหมดย่อมผ่านจุดเดิมเสมอ กับซึ่งตำแหน่งที่สัมพันธ์กับคะแนนจะไม่เปลี่ยนแปลง
Dot กับซึ่งแนวการกระทำของระบบผลลัพธ์ของแรงคู่ขนานผ่านสำหรับการหมุนของแรงเหล่านี้ใกล้กับจุดที่ใช้งานในทิศทางเดียวกันในมุมเดียวกันเรียกว่าจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน (รูปที่ 6.2)

รูปที่ 6.2

ให้เรากำหนดพิกัดของจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนานกัน เนื่องจากตำแหน่งของจุด กับในส่วนที่เกี่ยวกับร่างกายนั้นไม่เปลี่ยนแปลงพิกัดของมันจะไม่ขึ้นอยู่กับทางเลือกของระบบพิกัด หมุนแรงทั้งหมดที่อยู่ใกล้การใช้งานเพื่อให้ขนานกับแกน OUและใช้ทฤษฎีบทของ Varignon กับแรงที่หมุนรอบตัว เพราะ อาร์"เป็นผลลัพธ์ของแรงเหล่านี้ ดังนั้น ตามทฤษฎีบทวาริกนอน เรามี , เพราะ , , เราได้รับ

จากตรงนี้เราจะพบพิกัดของจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน zc:

เพื่อกำหนดพิกัด xcเขียนนิพจน์สำหรับโมเมนต์ของแรงรอบแกน ออนซ์.

เพื่อกำหนดพิกัด ycหมุนแรงทั้งหมดให้ขนานกับแกน ออนซ์.

ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนานที่สัมพันธ์กับแหล่งกำเนิด (รูปที่ 6.2) สามารถกำหนดได้โดยเวกเตอร์รัศมี:

6.2. จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่แข็งกระด้าง

จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่แข็งกระด้างเป็นจุดที่เกี่ยวข้องกับร่างกายนี้อย่างสม่ำเสมอ กับซึ่งแนวการกระทำของผลลัพธ์ของแรงโน้มถ่วงของร่างกายที่กำหนดจะผ่านไปสำหรับตำแหน่งใดของร่างกายในอวกาศ
จุดศูนย์ถ่วงใช้ในการศึกษาความเสถียรของตำแหน่งสมดุลของร่างกายและสื่อต่อเนื่องภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงและในบางกรณี กล่าวคือ: ในความต้านทานของวัสดุและในกลศาสตร์โครงสร้าง - เมื่อใช้กฎ Vereshchagin
มีสองวิธีในการพิจารณาจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย: การวิเคราะห์และการทดลอง วิธีวิเคราะห์คำจำกัดความของจุดศูนย์ถ่วงติดตามโดยตรงจากแนวคิดของจุดศูนย์กลางของแรงคู่ขนาน
พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงซึ่งเป็นศูนย์กลางของแรงคู่ขนานนั้นถูกกำหนดโดยสูตร:

ที่ไหน R- น้ำหนักของร่างกายทั้งหมด pk- น้ำหนักของอนุภาคในร่างกาย xk , yk , zk- พิกัดของอนุภาคในร่างกาย
สำหรับร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกัน น้ำหนักของทั้งตัวและส่วนใดส่วนหนึ่งของร่างกายจะเป็นสัดส่วนกับปริมาตร P=Vγ, pk = vk γ, ที่ไหน γ - น้ำหนักต่อหน่วยปริมาตร วี- ปริมาณของร่างกาย แทนนิพจน์ พี, pkลงในสูตรกำหนดพิกัดจุดศูนย์ถ่วงและลดลงตามปัจจัยร่วม γ , เราได้รับ:

Dot กับซึ่งพิกัดถูกกำหนดโดยสูตรที่ได้รับเรียกว่า จุดศูนย์ถ่วงของปริมาตร.
หากร่างกายเป็นแผ่นบาง ๆ ที่เป็นเนื้อเดียวกันจุดศูนย์ถ่วงจะถูกกำหนดโดยสูตร:

ที่ไหน ส- พื้นที่ของจานทั้งหมด sk- พื้นที่ของส่วนนั้น xk, yk- พิกัดจุดศูนย์ถ่วงของชิ้นส่วนจาน
Dot กับในกรณีนี้เรียกว่า จุดศูนย์ถ่วงพื้นที่.
ตัวเศษของนิพจน์ที่กำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของตัวเลขระนาบเรียกว่าด้วย ช่วงเวลาคงที่ของพื้นที่เกี่ยวกับแกน ที่และ X:

จากนั้นจุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่สามารถกำหนดได้โดยสูตร:

สำหรับวัตถุที่มีความยาวมากกว่าขนาดของหน้าตัดหลายเท่า ให้กำหนดจุดศูนย์ถ่วงของเส้น พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของเส้นถูกกำหนดโดยสูตร:

ที่ไหน หลี่- ความยาวสาย ลค- ความยาวของชิ้นส่วน xk , yk , zk- พิกัดจุดศูนย์ถ่วงของส่วนเส้น

6.3. วิธีการกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย

จากสูตรที่ได้รับ เป็นไปได้ที่จะเสนอวิธีปฏิบัติในการกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย
1. สมมาตร. หากร่างกายมีจุดศูนย์กลางสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงจะอยู่ที่ศูนย์กลางสมมาตร
หากร่างกายมีระนาบสมมาตร ตัวอย่างเช่นระนาบ XOU จากนั้นจุดศูนย์ถ่วงจะอยู่ในระนาบนี้
2. แยกออก. สำหรับเนื้อหาที่ประกอบด้วยเนื้อหาที่เรียบง่ายจะใช้วิธีการแยก ร่างกายถูกแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ซึ่งจุดศูนย์ถ่วงพบได้โดยวิธีสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายทั้งหมดถูกกำหนดโดยสูตรสำหรับจุดศูนย์ถ่วงของปริมาตร (พื้นที่)

ตัวอย่าง. กำหนดจุดศูนย์ถ่วงของแผ่นที่แสดงในรูปด้านล่าง (รูปที่ 6.3) เพลตสามารถแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมได้หลายวิธีและสามารถกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของสี่เหลี่ยมแต่ละอันและพื้นที่ของพวกมันได้

รูปที่ 6.3

ตอบ: xค=17.0ซม.; yค=18.0ซม.

3. ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. วิธีนี้เป็นกรณีพิเศษของวิธีการแบ่งพาร์ติชัน ใช้เมื่อร่างกายมีรอยบาก รอยบาด ฯลฯ หากทราบพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่ไม่มีรอยบาก

ตัวอย่าง. หาจุดศูนย์ถ่วงของแผ่นกลมที่มีช่องเจาะที่มีรัศมี r = 0,6 R(รูปที่ 6.4)

รูปที่ 6.4

แผ่นกลมมีจุดศูนย์กลางสมมาตร ให้วางที่มาของพิกัดไว้ตรงกลางจาน พื้นที่จานไม่มีรอยบาก พื้นที่บาก พื้นที่แผ่นหยัก ; .
แผ่นบากมีแกนสมมาตร O1 x, เพราะฉะนั้น, yc=0.

4. บูรณาการ. หากร่างกายไม่สามารถแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ได้จำนวน จำกัด ซึ่งทราบตำแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายจะถูกแบ่งออกเป็นปริมาตรเล็ก ๆ ตามอำเภอใจซึ่งสูตรที่ใช้วิธีการแบ่งพาร์ติชั่นจะอยู่ในรูปแบบ: .
นอกจากนี้ ยังผ่านไปยังขีดจำกัด โดยทำให้ปริมาณเบื้องต้นเป็นศูนย์ กล่าวคือ ปริมาณการหดตัวเป็นจุด ผลรวมจะถูกแทนที่ด้วยอินทิกรัลที่ขยายไปยังปริมาตรทั้งหมดของร่างกาย จากนั้นสูตรสำหรับกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของปริมาตรจะอยู่ในรูปแบบ:

สูตรกำหนดพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่:

พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของพื้นที่จะต้องถูกกำหนดเมื่อศึกษาสมดุลของแผ่นเปลือกโลกเมื่อคำนวณอินทิกรัล Mohr ในกลศาสตร์โครงสร้าง

ตัวอย่าง. กำหนดเซนทรอยด์ของส่วนโค้งวงกลมของรัศมี Rมีมุมตรงกลาง AOB= 2α (รูปที่ 6.5)

ข้าว. 6.5

ส่วนโค้งของวงกลมสมมาตรกับแกน โอ้ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งจึงอยู่บนแกน โอ้, yc = 0.
ตามสูตรจุดศูนย์ถ่วงของเส้น:

6.วิธีทดลอง. จุดศูนย์ถ่วงของวัตถุที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันของโครงสร้างที่ซับซ้อนสามารถกำหนดได้โดยการทดลอง: โดยการแขวนและการชั่งน้ำหนัก วิธีแรกคือการที่ร่างกายถูกแขวนไว้บนสายเคเบิลตามจุดต่างๆ ทิศทางของเชือกที่ตัวห้อยลงมาจะเป็นตัวกำหนดทิศทางของแรงโน้มถ่วง จุดตัดของทิศทางเหล่านี้กำหนดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกาย
วิธีการชั่งน้ำหนักประกอบด้วยการกำหนดน้ำหนักของร่างกายก่อน เช่น รถยนต์ จากนั้นบนเครื่องชั่งจะกำหนดความดันของเพลาล้อหลังของรถในส่วนรองรับ โดยการรวบรวมสมการสมดุลที่สัมพันธ์กับจุดใดจุดหนึ่ง เช่น แกนของล้อหน้า คุณสามารถคำนวณระยะทางจากแกนนี้ถึงจุดศูนย์ถ่วงของรถได้ (รูปที่ 6.6)

รูปที่ 6.6

บางครั้งในการแก้ปัญหา จำเป็นต้องใช้วิธีการที่แตกต่างกันในการกำหนดพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง

6.4. จุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงเรขาคณิตบางรูป

ในการกำหนดจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุที่มีรูปร่างทั่วไป (สามเหลี่ยม, ส่วนโค้งวงกลม, เซกเตอร์, ส่วน) จะสะดวกที่จะใช้ข้อมูลอ้างอิง (ตารางที่ 6.1)

ตาราง 6.1

พิกัดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกันบางส่วน

№	ชื่อรูป	การวาดภาพ
	ส่วนโค้งของวงกลม: จุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งของวงกลมที่เป็นเนื้อเดียวกันอยู่บนแกนสมมาตร (พิกัด yc=0). Rคือรัศมีของวงกลม
	ภาควงกลมที่เป็นเนื้อเดียวกัน yc=0). โดยที่ α คือครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลาง Rคือรัศมีของวงกลม
	เซ็กเมนต์: จุดศูนย์ถ่วงอยู่บนแกนสมมาตร (พิกัด yc=0). โดยที่ α คือครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลาง Rคือรัศมีของวงกลม
	ครึ่งวงกลม:
	สามเหลี่ยม: จุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยมที่เป็นเนื้อเดียวกันอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐาน ที่ไหน x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3- พิกัดของจุดยอดของสามเหลี่ยม
	กรวย: จุดศูนย์ถ่วงของกรวยทรงกลมที่เป็นเนื้อเดียวกันอยู่ที่ความสูงและอยู่ห่างจากฐานของกรวย 1/4 ของความสูง

จุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้งวงกลม

ส่วนโค้งมีแกนสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงอยู่บนแกนนี้ กล่าวคือ y ค = 0 .

ดล– องค์ประกอบอาร์ค ดล = Rdφ, Rคือรัศมีของวงกลม x = Rcosφ, ล= 2อาร์,

เพราะฉะนั้น:

x ค = R(ซินα/α).

จุดศูนย์ถ่วงของเซกเตอร์วงกลม

ภาครัศมี Rด้วยมุมศูนย์กลาง2 α มีแกนสมมาตร วัวซึ่งจุดศูนย์ถ่วงตั้งอยู่

เราแบ่งเซกเตอร์ออกเป็นภาคพื้นฐานซึ่งถือได้ว่าเป็นสามเหลี่ยม จุดศูนย์ถ่วงของภาคประถมศึกษาอยู่ที่ส่วนโค้งของวงกลมรัศมี (2/3) R.

จุดศูนย์ถ่วงของเซกเตอร์ตรงกับจุดศูนย์ถ่วงของส่วนโค้ง AB:

ครึ่งวงกลม:

37. จลนศาสตร์. จลนศาสตร์จุด วิธีการระบุการเคลื่อนที่ของจุด

จลนศาสตร์- สาขากลศาสตร์ที่มีการศึกษาการเคลื่อนไหวของวัตถุจากมุมมองทางเรขาคณิตโดยไม่คำนึงถึงมวลและแรงที่กระทำต่อพวกมัน วิธีการระบุการเคลื่อนที่ของจุด: 1) ธรรมชาติ 2) พิกัด 3) เวกเตอร์

จลนศาสตร์จุด- ส่วนของจลนศาสตร์ที่ศึกษา คำอธิบายทางคณิตศาสตร์การเคลื่อนไหวของจุดวัสดุ งานหลักของจลนศาสตร์คือการอธิบายการเคลื่อนไหวโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์โดยไม่ค้นหาสาเหตุที่ทำให้เกิดการเคลื่อนไหวนี้

สปาธรรมชาติ. มีการระบุวิถีของจุด กฎของการเคลื่อนที่ตามวิถีนี้ จุดเริ่มต้นและทิศทางของพิกัดส่วนโค้ง: s=f(t) – กฎของการเคลื่อนที่ของจุด สำหรับการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง: x=f(t)

พิกัด sp. ตำแหน่งของจุดในอวกาศถูกกำหนดโดยสามพิกัดการเปลี่ยนแปลงที่กำหนดกฎการเคลื่อนที่ของจุด: x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t)

ถ้าการเคลื่อนที่อยู่ในระนาบ สมการการเคลื่อนที่จะมีสองสมการ สมการการเคลื่อนที่อธิบายสมการวิถีโคจรในรูปแบบพาราเมตริก การลบพารามิเตอร์ t ออกจากสมการ เราจะได้สมการวิถีในรูปแบบปกติ: f (x, y) = 0 (สำหรับระนาบ)

สปาเวกเตอร์. ตำแหน่งของจุดถูกกำหนดโดยเวกเตอร์รัศมีที่ลากจากจุดศูนย์กลางบางส่วน เส้นโค้งที่วาดโดยจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ เรียกว่า โฮโดกราฟเวกเตอร์นี้ เหล่านั้น. วิถีคือโฮโดกราฟของเวกเตอร์รัศมี

38. การเชื่อมต่อระหว่างพิกัดและเวกเตอร์ พิกัดและวิธีธรรมชาติในการระบุการเคลื่อนที่ของจุด

ความสัมพันธ์ของวิธีการเวกเตอร์กับการประสานงานและธรรมชาติแสดงโดยความสัมพันธ์:

โดยที่เวกเตอร์หน่วยของเส้นสัมผัสของเส้นโคจรที่จุดที่กำหนด มุ่งสู่การอ่านระยะทาง เป็นเวกเตอร์หน่วยของเส้นปกติไปยังวิถีโคจรที่จุดที่กำหนด มุ่งตรงไปยังจุดศูนย์กลางของความโค้ง (ดูรูปที่ 3)

ความสัมพันธ์ของวิธีการประสานงานกับธรรมชาติ. สมการวิถี f(x, y)=z; f 1 (x, z)=y ได้มาจากสมการการเคลื่อนที่ในรูปแบบพิกัดโดยกำจัดเวลา t การวิเคราะห์เพิ่มเติมของค่าที่สามารถใช้พิกัดของจุดจะกำหนดส่วนของเส้นโค้งนั้นซึ่งเป็นวิถี ตัวอย่างเช่น ถ้าการเคลื่อนที่ของจุดถูกกำหนดโดยสมการ: x=sin t; y=sin 2 t=x 2 จากนั้นวิถีของจุดคือส่วนของพาราโบลา y=x 2 ซึ่ง -1≤x≤+1, 0≤x≤1 จุดเริ่มต้นและทิศทางของการนับระยะทางจะถูกเลือกโดยพลการ ซึ่งจะกำหนดเครื่องหมายของความเร็วและขนาดและเครื่องหมายของระยะทางเริ่มต้น s 0 เพิ่มเติม

กฎการเคลื่อนที่ถูกกำหนดโดยการพึ่งพา:

เครื่องหมาย + หรือ - ถูกกำหนดขึ้นอยู่กับทิศทางการนับระยะทางที่ยอมรับได้

ความเร็วจุดเป็นการวัดจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่ เท่ากับอนุพันธ์เวลาของเวกเตอร์รัศมีของจุดนี้ในกรอบอ้างอิงที่กำลังพิจารณา เวกเตอร์ความเร็วถูกกำกับในแนวสัมผัสไปยังวิถีของจุดในทิศทางของการเคลื่อนที่

เวกเตอร์ความเร็ว (v)คือระยะทางที่ร่างกายเคลื่อนที่ไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่งต่อหน่วยเวลา โปรดทราบว่าคำจำกัดความ เวกเตอร์ความเร็วคล้ายกันมากกับการกำหนดความเร็ว ยกเว้นความแตกต่างที่สำคัญอย่างหนึ่ง: ความเร็วของวัตถุไม่ได้ระบุทิศทางของการเคลื่อนไหว แต่เวกเตอร์ความเร็วของร่างกายบ่งบอกถึงทั้งความเร็วและทิศทางของการเคลื่อนที่ ดังนั้น จำเป็นต้องมีตัวแปรสองตัวที่อธิบายเวกเตอร์ความเร็วของร่างกาย: ความเร็วและทิศทาง ปริมาณทางกายภาพที่มีความหมายและทิศทางเรียกว่าปริมาณเวกเตอร์

เวกเตอร์ความเร็วร่างกายอาจเปลี่ยนแปลงเป็นครั้งคราว หากความเร็วหรือทิศทางเปลี่ยนไป ความเร็วของร่างกายก็เปลี่ยนไปด้วย เวกเตอร์ความเร็วคงที่หมายถึงความเร็วคงที่และทิศทางคงที่ ในขณะที่คำว่า "ความเร็วคงที่" หมายถึงค่าคงที่เท่านั้นโดยไม่คำนึงถึงทิศทาง คำว่า "เวกเตอร์ความเร็ว" มักใช้แทนกันได้กับคำว่า "ความเร็ว" ทั้งคู่แสดงระยะทางที่ร่างกายเดินทางต่อหน่วยเวลา

จุดเร่งเป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงความเร็ว เท่ากับอนุพันธ์เวลาของความเร็วของจุดนี้หรืออนุพันธ์อันดับสองของเวกเตอร์รัศมีของจุดในเวลา การเร่งกำหนดลักษณะการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์ความเร็วในขนาดและทิศทาง และมุ่งไปที่ความเว้าของวิถี

เวกเตอร์การเร่งความเร็ว

คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อช่วงเวลาที่การเปลี่ยนแปลงนี้เกิดขึ้น ความเร่งเฉลี่ยสามารถกำหนดได้โดยสูตร:

ที่ไหน - เวกเตอร์การเร่งความเร็ว.

ทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว Δ = - 0 (ในที่นี้ 0 คือความเร็วเริ่มต้น นั่นคือความเร็วที่ร่างกายเริ่มเร่งความเร็ว)

ณ เวลา t1 (ดูรูป 1.8) ร่างกายมีความเร็วเป็น 0 . ณ เวลา t2 ร่างกายมีความเร็ว ตามกฎการลบเวกเตอร์ เราพบเวกเตอร์ของการเปลี่ยนแปลงความเร็ว Δ = - 0 . จากนั้นความเร่งสามารถกำหนดได้ดังนี้: