พิกัดจุดศูนย์กลางมวลของเส้นเอกพันธ์ จะคำนวณจุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงที่มีขอบเขตระนาบโดยใช้อินทิกรัลสองเท่าได้อย่างไร? ตัวอย่างการคำนวณทั่วไป

ขอให้เรายกตัวอย่างการกำหนดจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายโดยการแบ่งมันออกเป็นวัตถุที่แยกจากกันโดยที่ทราบจุดศูนย์กลางมวล

ตัวอย่างที่ 1- กำหนดพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของแผ่นเนื้อเดียวกัน (รูปที่ 9) ขนาดแสดงเป็นมิลลิเมตรในรูปที่ 9

สารละลาย:เราแสดงแกนพิกัดและ เราแบ่งแผ่นออกเป็นส่วน ๆ ซึ่งประกอบขึ้นด้วยสี่เหลี่ยมสามอัน สำหรับแต่ละสี่เหลี่ยมผืนผ้าเราวาดเส้นทแยงมุม จุดตัดซึ่งกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของแต่ละสี่เหลี่ยมผืนผ้า ในระบบพิกัดที่นำมาใช้นั้นง่ายต่อการค้นหาค่าพิกัดของจุดเหล่านี้ กล่าวคือ:

(-1; 1), (1;5), (5;9) พื้นที่ของแต่ละร่างกายเท่ากันตามลำดับ:

; ; .

พื้นที่ทั้งแผ่นเท่ากับ:

ในการหาพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของแผ่นใดแผ่นหนึ่ง เราใช้นิพจน์ (21) เราได้รับค่าของปริมาณที่ทราบทั้งหมดในสมการนี้

ตามค่าที่ได้รับของพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของแผ่นเราระบุจุด C ในรูป อย่างที่คุณเห็น จุดศูนย์กลางมวล (จุดเรขาคณิต) ของแผ่นตั้งอยู่ด้านนอก

วิธีการบวก- วิธีนี้เป็นกรณีบางส่วนของวิธีการแยก สามารถใช้กับร่างกายที่มีช่องเจาะ (ช่องว่าง) ยิ่งไปกว่านั้น หากไม่มีส่วนที่ถูกตัดออก ก็จะทราบตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย พิจารณาการประยุกต์ใช้วิธีการดังกล่าว เป็นต้น

ตัวอย่างที่ 2กำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของแผ่นวงกลมรัศมี R ซึ่งมีรัศมีตัด r (รูปที่ 10) ระยะทาง .

สารละลาย: ดังที่เราเห็น จากรูปที่ 10 จุดศูนย์กลางมวลของแผ่นจะอยู่บนแกนสมมาตรของแผ่นซึ่งก็คือบนเส้นตรง เนื่องจากเส้นตรงนี้คือแกนของสมมาตร ดังนั้นในการกำหนดตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของแผ่นนี้จำเป็นต้องกำหนดพิกัดเดียวเท่านั้นเนื่องจากพิกัดที่สองจะอยู่บนแกนสมมาตรและทำให้สมดุลของศูนย์ ให้เราแสดงแกนพิกัด , . สมมติว่าจานประกอบด้วยสองส่วน - วงกลมเต็ม (ราวกับว่าไม่มีช่องเจาะ) และตัวเครื่องที่ดูเหมือนว่าจะทำด้วยช่องเจาะ ในระบบพิกัดที่นำมาใช้ พิกัดสำหรับวัตถุที่ระบุจะเท่ากับ: .พื้นที่ของวัตถุเท่ากับ: ; - พื้นที่ทั้งหมดของร่างกายทั้งหมดจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของวัตถุที่หนึ่งและที่สองคือ

เพื่อคำนวณปริมาณ ม.และคุณต้องใช้สูตร (4), (5) และ (7) เป็นผลให้เราได้รับ สูตรพิกัดจุดศูนย์กลางมวลของแผ่นบาง :

ตัวอย่างที่ 4 (คำนวณพิกัดจุดศูนย์กลางมวลของแผ่นเนื้อเดียวกัน)

ค้นหาพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลของรูปร่างเนื้อเดียวกันที่ล้อมรอบด้วยเส้น และ

เมื่อสร้างร่างขึ้นมาแล้ว เราสังเกตเห็นว่าในเชิงเรขาคณิตนั้นมีความสมมาตรสัมพันธ์กับเส้นตรง เนื่องจากร่างนั้นทำจากวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกัน จึงไม่เพียงแต่มีรูปทรงเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังมีความสมมาตรทางกายภาพด้วย นั่นคือมวลของชิ้นส่วนซึ่งตั้งอยู่ ทางด้านซ้ายของแกนสมมาตร เท่ากับมวลของส่วนที่อยู่ทางด้านขวา แล้วตามที่ทราบ. คุณสมบัติทางกายภาพจุดศูนย์กลางมวล เราก็สรุปได้ว่าอยู่บนแกนสมมาตรนั่นเอง

ในการคำนวณ เราเขียนโมเมนต์คงที่และใช้สูตร (4) และ (5):

;

คำตอบ: ค.

การประยุกต์อินทิกรัลสามตัว

การประยุกต์อินทิกรัลสามแบบจะคล้ายกับการประยุกต์อินทิกรัลสองชั้น แต่สำหรับของแข็งสามมิติเท่านั้น

หากเราใช้คุณสมบัติอย่างใดอย่างหนึ่งของปริพันธ์สามเท่า (ประมาณค่าของมันจากฟังก์ชันเท่ากับความสามัคคี) เราก็จะได้ สูตรคำนวณปริมาตรของวัตถุเชิงพื้นที่ :

เราเขียนสูตรสำหรับปริมาตรผ่าน อินทิกรัลสามเท่าและคำนวณอินทิกรัลสามตัวในพิกัดทรงกระบอก:

คำตอบ: (หน่วยปริมาตร)

สูตรคำนวณมวลของวัตถุสามมิติที่มีปริมาตร Vมีรูปแบบ:

(13)

นี่มันคือ ความหนาแน่นรวมการกระจายมวล

ตัวอย่างที่ 6 (การคำนวณมวลของวัตถุสามมิติ)

หามวลของลูกบอลรัศมี รถ้าความหนาแน่นเป็นสัดส่วนกับกำลังสามของระยะห่างจากจุดศูนย์กลางและต่อหน่วยระยะทางเท่ากับ เค.

วี: เล่มประถมศึกษา และ .

โปรดทราบว่าเมื่อคำนวณอินทิกรัลสามตัว ผลลัพธ์ที่ได้คือผลคูณของอินทิกรัลภายใน เนื่องจากอินทิกรัลภายในกลายเป็นอิสระจากตัวแปรของอินทิกรัลภายนอก

คำตอบ: (หน่วยมวล)

ลักษณะทางกลของปริมาตร วี(โมเมนต์คงที่ โมเมนต์ความเฉื่อย พิกัดจุดศูนย์กลางมวล) คำนวณโดยใช้สูตรที่ว่า

ถูกรวบรวมโดยการเปรียบเทียบกับสูตรสำหรับวัตถุสองมิติ

โมเมนต์คงที่เบื้องต้นและโมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับแกนพิกัด:

โมเมนต์ความเฉื่อยเบื้องต้นสัมพันธ์กับระนาบพิกัดและที่มาของพิกัด:

ต่อไปเป็นการคำนวณลักษณะทางกลของปริมาตรทั้งหมด วีคุณต้องสรุปเงื่อนไขพื้นฐานของคุณลักษณะนี้ในทุกส่วนของพาร์ติชัน (เนื่องจากคุณลักษณะที่คำนวณได้มีคุณสมบัติของการบวก) จากนั้นไปที่ขีด จำกัด ในผลรวมผลลัพธ์โดยมีเงื่อนไขว่าส่วนพื้นฐานของพาร์ติชันทั้งหมด ลดลงไปเรื่อย ๆ (หดตัวเป็นจุด) การกระทำเหล่านี้ได้รับการอธิบายว่าเป็นการบูรณาการคำศัพท์เบื้องต้นของคุณลักษณะทางกลที่คำนวณไว้เหนือปริมาตร วี.

ผลลัพธ์ที่ได้คือดังต่อไปนี้ สูตรการคำนวณ ช่วงเวลาที่คงที่ M และโมเมนต์ความเฉื่อย I ของวัตถุสามมิติ :

ในทางปฏิบัติ มีประโยชน์ไม่เพียงแต่ในการใช้สูตรเหล่านี้เป็นสูตรสำเร็จรูปเท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาอีกด้วย

ตัวอย่างที่ 7 (การคำนวณลักษณะทางกลของวัตถุสามมิติ)

ค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกเนื้อเดียวกันซึ่งมีความสูงเป็น ชม.และรัศมีฐาน รสัมพันธ์กับแกนที่ตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน

มาหาระยะทางกัน งสำหรับจุดใดก็ได้บนกระบอกสูบ:

ระยะห่างจากจุดที่มีพิกัดถึงแกน – นี่คือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดนี้ถึงแกน . เรามาสร้างระนาบที่ตั้งฉากกับแกนเพื่อให้จุดนั้นอยู่ในระนาบนี้กัน จากนั้นเส้นตรงใดๆ ที่ตัดแกนและเป็นของระนาบนี้จะตั้งฉากกัน . โดยเฉพาะจุดเชื่อมต่อเส้นตรงและจุดจะตั้งฉากกับแกนและระยะห่างระหว่างจุดเหล่านี้จะเป็นระยะทางที่ต้องการ ง- เราคำนวณโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับระยะห่างระหว่างจุดสองจุด

– การคำนวณจุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงที่มีขอบเรียบ- ผู้อ่านหลายคนเข้าใจโดยสัญชาตญาณว่าจุดศูนย์ถ่วงคืออะไร แต่อย่างไรก็ตาม ฉันแนะนำให้ทำซ้ำเนื้อหาจากบทเรียนใดบทเรียนหนึ่ง เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ฉันคิดออกที่ไหน ปัญหาเกี่ยวกับจุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยมและถอดรหัสออกมาในรูปแบบที่เข้าถึงได้ ความหมายทางกายภาพเทอมนี้

ในงานอิสระและงานควบคุม มักจะเสนอวิธีแก้ปัญหา กรณีที่ง่ายที่สุด– แบน จำกัด เป็นเนื้อเดียวกันรูปนั่นคือร่างที่มีความหนาแน่นทางกายภาพคงที่ - แก้ว, ไม้, ดีบุก, ของเล่นเหล็กหล่อ, วัยเด็กที่ยากลำบาก ฯลฯ นอกจากนี้ตามค่าเริ่มต้นเราจะพูดถึงเฉพาะตัวเลขดังกล่าวเท่านั้น =)

กฎข้อแรกและ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด : ถ้ามีรูปร่างแบน ศูนย์กลางของความสมมาตรแล้วมันคือจุดศูนย์ถ่วงของรูปนี้- เช่น จุดศูนย์กลางของแผ่นกลมที่เป็นเนื้อเดียวกัน มันเป็นตรรกะและเข้าใจได้ในชีวิตประจำวัน - มวลของร่างดังกล่าว "กระจายอย่างยุติธรรมในทุกทิศทาง" สัมพันธ์กับศูนย์กลาง ฉันไม่อยากพลิกมัน

อย่างไรก็ตามในความเป็นจริงอันโหดร้าย พวกเขาไม่น่าจะมอบของหวานให้กับคุณ ช็อกโกแลตบาร์รูปไข่ดังนั้นคุณจะต้องเตรียมอุปกรณ์ทำครัวที่จริงจังไว้ให้พร้อม:

พิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของตัวเลขจำกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันแบบแบนคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

, หรือ:

, พื้นที่ของภูมิภาคอยู่ที่ไหน (รูป); หรือสั้นมาก:

, ที่ไหน

ตามอัตภาพ เราจะเรียกอินทิกรัลว่าอินทิกรัล "X" และอินทิกรัลว่า "Y"

ช่วยทราบ : สำหรับแฟลตจำกัด ต่างกันตัวเลขความหนาแน่นที่ระบุโดยฟังก์ชันสูตรมีความซับซ้อนมากขึ้น:
, ที่ไหน – มวลของร่าง;ในกรณีที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ จะลดความซับซ้อนลงตามสูตรข้างต้น

ความแปลกใหม่ทั้งหมดจบลงด้วยสูตร ส่วนที่เหลือเป็นทักษะของคุณ แก้อินทิกรัลสองเท่าอย่างไรก็ตาม ตอนนี้เป็นโอกาสที่ดีในการฝึกฝนและพัฒนาเทคนิคของคุณ และอย่างที่คุณทราบ ความสมบูรณ์แบบไม่มีขีดจำกัด =)

ลองใส่พาราโบลาส่วนที่เติมพลังเข้าไป:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงแบนเนื้อเดียวกันที่ล้อมรอบด้วยเส้น

สารละลาย: เส้นตรงนี้เป็นเส้นพื้นฐาน: มันกำหนดแกน x และสมการ - พาราโบลา ซึ่งสามารถสร้างได้ง่ายและรวดเร็วโดยใช้ การแปลงทางเรขาคณิตของกราฟ:

– พาราโบลาเลื่อนไปทางซ้าย 2 หน่วยและลง 1 หน่วย

ฉันจะวาดภาพทั้งหมดให้เสร็จในคราวเดียวโดยให้จุดศูนย์ถ่วงของรูปเสร็จแล้ว:

กฎข้อที่สอง: ถ้ารูปมี แกนสมมาตรดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงของรูปนี้จึงจำเป็นต้องอยู่บนแกนนี้.

ในกรณีของเรา ตัวเลขจะสมมาตรด้วยความเคารพ โดยตรงที่จริงแล้วคือเรารู้พิกัด "x" ของจุด "em" แล้ว

โปรดทราบด้วยว่าจุดศูนย์ถ่วงในแนวตั้งจะเลื่อนเข้าใกล้แกน x มากขึ้น เนื่องจากจุดศูนย์กลางแรงโน้มถ่วงนั้นมีขนาดใหญ่กว่า

ใช่ บางทีอาจไม่ใช่ทุกคนที่จะเข้าใจอย่างถ่องแท้ว่าจุดศูนย์ถ่วงคืออะไร โปรดยกนิ้วชี้ขึ้นและวางจุด “พื้นรองเท้า” ที่แรเงาไว้ในใจ ตามทฤษฎีแล้วตัวเลขไม่ควรตก

เราค้นหาพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของรูปโดยใช้สูตร , ที่ไหน .

ลำดับการเคลื่อนที่ผ่านพื้นที่ (รูป) เห็นได้ชัดเจนที่นี่:

ความสนใจ!การตัดสินใจเลือกลำดับการแวะที่ได้เปรียบที่สุด ครั้งหนึ่ง- และใช้มัน สำหรับทุกคนปริพันธ์!

1) ก่อนอื่น มาคำนวณพื้นที่ของรูปกันก่อน เนื่องจากความเรียบง่ายของอินทิกรัลจึงสามารถเขียนคำตอบได้อย่างกะทัดรัด สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการคำนวณ:

เราดูภาพวาดและประมาณพื้นที่ตามเซลล์ ปรากฏว่าเกี่ยวกับคดีนี้

2) พบพิกัด X ของจุดศูนย์ถ่วงแล้ว” วิธีการแบบกราฟิก" เพื่อให้คุณสามารถอ้างถึงความสมมาตรและไปยังจุดถัดไปได้ อย่างไรก็ตาม ฉันยังไม่แนะนำให้ทำเช่นนี้ - มีความเป็นไปได้สูงที่โซลูชันจะถูกปฏิเสธด้วยถ้อยคำ "ใช้สูตร"

โปรดทราบว่าที่นี่คุณสามารถใช้การคำนวณทางจิตโดยเฉพาะ - บางครั้งก็ไม่จำเป็นเลยที่จะต้องลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วมหรือทำให้เครื่องคิดเลขทรมาน

ดังนั้น:
ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับ

3) ค้นหาพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง ให้เราคำนวณอินทิกรัล "เกม":

แต่ที่นี่คงยากถ้าไม่มีเครื่องคิดเลข ในกรณีนี้ ฉันจะแสดงความคิดเห็นว่าจากการคูณพหุนาม จะได้คำศัพท์ 9 คำ และบางคำก็คล้ายกัน ฉันให้เงื่อนไขที่คล้ายกันด้วยวาจา (ตามปกติจะทำในกรณีที่คล้ายกัน)และจดจำนวนเงินทั้งหมดทันที

เป็นผลให้:
ซึ่งคล้ายกับความจริงมาก

ในขั้นตอนสุดท้าย ทำเครื่องหมายจุดบนภาพวาด ตามเงื่อนไขนั้น ไม่จำเป็นต้องวาดรูปอะไร แต่ในงานส่วนใหญ่เราถูกบังคับให้วาดรูป แต่มีข้อดีอย่างแน่นอน - การตรวจสอบผลลัพธ์ด้วยภาพและมีประสิทธิภาพ

คำตอบ:

สองตัวอย่างต่อไปนี้มีไว้สำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ.

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงแบนเนื้อเดียวกันที่ล้อมรอบด้วยเส้น

อย่างไรก็ตาม หากคุณจินตนาการว่าพาราโบลาตั้งอยู่อย่างไรและเห็นจุดที่มันตัดกับแกน คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องวาดรูปเลย

และซับซ้อนยิ่งขึ้น:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุแบนเนื้อเดียวกันที่ล้อมรอบด้วยเส้น

หากคุณประสบปัญหาในการสร้างกราฟ ให้ศึกษา (ซ้ำ) บทเรียนเกี่ยวกับพาราโบลาและ/หรือตัวอย่างข้อ 11 ของบทความ อินทิกรัลคู่สำหรับหุ่นจำลอง.

ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาในตอนท้ายของบทเรียน

นอกจากนี้คุณสามารถดูตัวอย่างที่คล้ายกันได้หลายสิบหรือสองตัวอย่างในไฟล์เก็บถาวรที่เกี่ยวข้องบนหน้า โซลูชั่นสำเร็จรูปสำหรับคณิตศาสตร์ระดับสูง.

ฉันอดไม่ได้ที่จะโปรดแฟน ๆ ของคณิตศาสตร์ชั้นสูงที่มักขอให้ฉันวิเคราะห์ปัญหาที่ยาก:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุแบนเนื้อเดียวกันที่ล้อมรอบด้วยเส้น วาดรูปและจุดศูนย์ถ่วงลงบนภาพวาด

สารละลาย: เงื่อนไขของงานนี้ต้องทำให้การวาดเสร็จสมบูรณ์ตามหมวดหมู่แล้ว แต่ข้อกำหนดนั้นไม่เป็นทางการนัก! – แม้แต่คนที่มีระดับการฝึกโดยเฉลี่ยก็สามารถจินตนาการถึงตัวเลขนี้ในใจได้:

เส้นตรงตัดวงกลมออกเป็น 2 ส่วน และประโยคเพิ่มเติม (ซม. อสมการเชิงเส้น) แสดงว่าเรากำลังพูดถึงชิ้นสีเทาเล็กๆ

ตัวเลขมีความสมมาตรสัมพันธ์กับเส้นตรง (แสดงด้วยเส้นประ) ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงควรอยู่บนเส้นนี้ และเห็นได้ชัดว่าพิกัดของมันเท่ากัน โมดูโล่- แนวทางที่ดีเยี่ยมที่แทบจะขจัดความเป็นไปได้ของคำตอบที่ผิดพลาด!

ตอนนี้ข่าวร้าย =) อินทิกรัลที่ไม่พึงประสงค์ของรากกำลังปรากฏบนขอบฟ้าซึ่งเราได้ตรวจสอบอย่างละเอียดในตัวอย่างที่ 4 ของบทเรียน วิธีการที่มีประสิทธิภาพในการแก้อินทิกรัล- และใครจะรู้ว่าจะมีการดึงอะไรอีกที่นั่น ดูเหมือนว่าเนื่องจากการมีอยู่ วงกลมทำกำไรได้ แต่ไม่ใช่ทุกอย่างจะง่ายนัก สมการของเส้นตรงจะเปลี่ยนเป็นรูป และอินทิกรัลจะไม่กลายเป็นน้ำตาลด้วย (แม้ว่าจะเป็นแบบพัดก็ตาม อินทิกรัลตรีโกณมิติจะขอบคุณ) ในเรื่องนี้ ควรให้ความสำคัญกับพิกัดคาร์ทีเซียนมากกว่า

ลำดับการเคลื่อนที่ของรูป:

1) คำนวณพื้นที่ของรูป:

การหาอินทิกรัลอันแรกมีเหตุผลมากกว่า พิจารณาเครื่องหมายส่วนต่าง:

และในอินทิกรัลที่สองเราจะทำการแทนที่แบบมาตรฐาน:

มาคำนวณขีดจำกัดใหม่ของการรวมระบบกัน:

2) มาหากัน .

ที่นี่ในอินทิกรัลที่ 2 มันถูกใช้อีกครั้ง วิธีการรวมฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล- ฝึกฝนและปรับใช้สิ่งเหล่านี้อย่างเหมาะสมที่สุด (ในความเห็นของฉัน)เทคนิคการแก้อินทิกรัลมาตรฐาน

หลังจากการคำนวณที่ยากและใช้เวลานาน เราก็หันความสนใจไปที่การวาดภาพอีกครั้ง (จำจุดนั้นไว้ เรายังไม่รู้! ) และเราได้รับความพึงพอใจทางศีลธรรมอย่างลึกซึ้งจากคุณค่าที่ค้นพบ

3) จากการวิเคราะห์ที่ดำเนินการก่อนหน้านี้ ยังคงต้องแน่ใจว่า .

ยอดเยี่ยม:

ลองวาดจุดกัน บนภาพวาด ตามถ้อยคำของเงื่อนไขเราเขียนไว้เป็นที่สุด คำตอบ:

งานที่คล้ายกันสำหรับคุณในการแก้ไขด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุแบนเนื้อเดียวกันที่ล้อมรอบด้วยเส้น ดำเนินการวาดภาพ

ปัญหานี้น่าสนใจเนื่องจากมีรูปร่างที่มีขนาดค่อนข้างเล็กและหากคุณทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่งก็มีโอกาสสูงที่จะ "ไม่เข้าไปใน" พื้นที่เลย ซึ่งเป็นสิ่งที่ดีอย่างแน่นอนจากมุมมองของการควบคุมการตัดสินใจ

ตัวอย่างการออกแบบในตอนท้ายของบทเรียน

บางครั้งก็สมเหตุสมผล การเปลี่ยนไปใช้พิกัดเชิงขั้วในอินทิกรัลคู่- มันขึ้นอยู่กับรูป ฉันค้นหาและค้นหาตัวอย่างที่ประสบความสำเร็จแล้ว แต่ไม่พบ ดังนั้น ฉันจะสาธิตวิธีแก้ปัญหาในปัญหาการสาธิตครั้งที่ 1 ของบทเรียนข้างต้น:


ฉันขอเตือนคุณว่าในตัวอย่างนี้เราไป พิกัดเชิงขั้วพบลำดับการสัญจรไปมาในพื้นที่ และคำนวณพื้นที่ของมัน

ลองหาจุดศูนย์ถ่วงของรูปนี้กัน โครงการจะเหมือนกัน: - ดูค่าได้โดยตรงจากภาพวาด และพิกัด "x" ควรเลื่อนเข้าใกล้แกนพิกัดมากขึ้นเล็กน้อย เนื่องจากส่วนครึ่งวงกลมที่มีขนาดใหญ่กว่าตั้งอยู่ตรงนั้น

ในปริพันธ์เราใช้สูตรการเปลี่ยนมาตรฐาน:

เป็นไปได้มากว่าพวกเขาจะไม่เข้าใจผิด

3 การประยุกต์ปริพันธ์คู่

3.1 การแนะนำทางทฤษฎี

ลองพิจารณาแอปพลิเคชัน อินทิกรัลสองเท่าเพื่อแก้ปัญหาทางเรขาคณิตและทางกลจำนวนหนึ่ง

3.1.1 การคำนวณพื้นที่และมวลของแผ่นเรียบ

พิจารณาแผ่นวัสดุบางๆ ดีซึ่งอยู่ในเครื่องบิน โอ้โห. สี่เหลี่ยม สของจานนี้สามารถพบได้โดยใช้อินทิกรัลคู่ตามสูตร:

3.1.2 โมเมนต์คงที่ จุดศูนย์กลางมวลของแผ่นเรียบ

ช่วงเวลาคงที่ ม xสัมพันธ์กับแกน วัวจุดวัสดุ ป(x;ย) นอนอยู่ในเครื่องบิน อ็อกซี่และมีมวล มเรียกว่าผลคูณของมวลของจุดและพิกัดของมันนั่นคือ ม x = ของฉัน- โมเมนต์คงที่ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ม ยสัมพันธ์กับแกน เฮ้ย: ­ ­ ­ ม ย = ม.เอ็กซ์. ช่วงเวลาที่คงที่แผ่นเรียบที่มีความหนาแน่นของพื้นผิว γ = γ (เอ็กซ์, ย) คำนวณโดยใช้สูตร:

ดังที่ทราบจากกลศาสตร์แล้วพิกัด x ค , ย คจุดศูนย์กลางมวลของระบบวัสดุแบนถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:

ที่ไหน มคือมวลของระบบ และ ม xและ ม ย– โมเมนต์คงที่ของระบบ มวลแผ่นเรียบ มถูกกำหนดโดยสูตร (1) โมเมนต์คงที่ของแผ่นเรียบสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร (3) และ (4) จากนั้นตามสูตร (5) เราได้นิพจน์สำหรับพิกัดจุดศูนย์กลางมวลของแผ่นเรียบ:

การคำนวณทั่วไปมีสองงาน แต่ละปัญหาจะได้รับจานแบน ดีล้อมรอบด้วยบรรทัดที่ระบุในคำสั่งปัญหา ช(เอ็กซ์, ย) – ความหนาแน่นพื้นผิวของแผ่น ดี- สำหรับจานนี้ ให้ค้นหา: 1. ส- สี่เหลี่ยม; 2. ม- มวล; 3. ม ย , ม x– โมเมนต์คงที่เกี่ยวกับแกน โอ้และ โอ้ตามลำดับ; 4. , – พิกัดจุดศูนย์กลางมวล

3.3 ขั้นตอนการคำนวณทั่วไป

เมื่อแก้ไขปัญหาแต่ละข้อจำเป็น: 1. วาดภาพบริเวณที่กำหนด เลือกระบบพิกัดที่จะคำนวณปริพันธ์คู่ 2. เขียนพื้นที่ในรูปแบบระบบอสมการในระบบพิกัดที่เลือก 3. คำนวณพื้นที่ สและมวล มแผ่นตามสูตร (1) และ (2) 4. คำนวณช่วงเวลาคงที่ ม ย , ม xตามสูตร (3) และ (4) 5. คำนวณพิกัดจุดศูนย์กลางมวลโดยใช้สูตร (6) วาดจุดศูนย์กลางมวลบนภาพวาด ในกรณีนี้จะมีการควบคุมผลลัพธ์ที่ได้รับด้วยภาพ (เชิงคุณภาพ) จะต้องให้คำตอบที่เป็นตัวเลขแก่ตัวเลขสำคัญสามตัว

3.4 ตัวอย่างการคำนวณทั่วไป

ภารกิจที่ 1จาน ดีจำกัดด้วยบรรทัด: ย = 4 – x 2 ; เอ็กซ์ = 0; ย = 0 (x ≥ 0; ย ≥ 0) ความหนาแน่นของพื้นผิว γ 0 = 3. สารละลาย.พื้นที่ที่ระบุในปัญหาถูกจำกัดด้วยพาราโบลา ย = 4 – x 2 ประสานแกนและนอนในไตรมาสแรก (รูปที่ 1) เราจะแก้ปัญหาในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ภูมิภาคนี้สามารถอธิบายได้ด้วยระบบความไม่เท่าเทียมกัน:

ข้าว. 1

สี่เหลี่ยม สจานเท่ากับ (1): เนื่องจากจานเป็นเนื้อเดียวกันจึงมีมวล ม = γ 0 ส= 3· = 16 โดยใช้สูตร (3), (4) เราค้นหาโมเมนต์คงที่ของเพลท: พิกัดของจุดศูนย์กลางมวลพบได้ตามสูตร (6): คำตอบ: ส ≈ 5,33; ม = 16; ม x = 25,6; ม ย = 12; = 0,75; = 1,6.

ภารกิจที่ 2จาน ดีจำกัดด้วยบรรทัด: เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 = 4; เอ็กซ์ = 0, ที่ = เอ็กซ์ (เอ็กซ์ ≥ 0, ที่≥ 0) ความหนาแน่นของพื้นผิว γ (เอ็กซ์, ย) = ที่. สารละลาย.จานถูกจำกัดด้วยวงกลมและเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิดของพิกัด (รูปที่ 2) ดังนั้นในการแก้ปัญหาจึงสะดวกที่จะใช้ระบบพิกัดเชิงขั้ว มุมขั้วโลก φ เปลี่ยนจาก π/4 เป็น π/2 รังสีที่ลากจากขั้วผ่านแผ่นจานจะ “เข้าไป” ที่ ρ = 0 และ “ออกไป” บนวงกลมซึ่งมีสมการดังนี้ เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 = 4 <=>ρ = 2.

ข้าว. 2

ดังนั้น พื้นที่ที่กำหนดสามารถเขียนได้ด้วยระบบอสมการ: เราค้นหาพื้นที่ของแผ่นโดยใช้สูตร (1): เราค้นหามวลของแผ่นโดยใช้สูตร (2) แทน γ (เอ็กซ์, ย) = ย = ρบาป φ :
ในการคำนวณโมเมนต์คงที่ของเพลต เราใช้สูตร (3) และ (4):
เราได้รับพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลโดยใช้สูตร (6): คำตอบ: ส ≈ 1,57; ม ≈ 1,886; ม x = 2,57; ม ย = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 การเตรียมรายงาน

รายงานจะต้องมีการคำนวณทั้งหมดที่ดำเนินการและภาพวาดที่ดำเนินการอย่างระมัดระวัง จะต้องให้คำตอบที่เป็นตัวเลขแก่ตัวเลขสำคัญสามตัว