จำนวนเชิงซ้อนที่แยกรากระดับที่ 3 กำลังที่มีเลขชี้กำลังตรรกศาสตร์ตามอำเภอใจ
กับและ จำนวนธรรมชาติ n 2 .
จำนวนเชิงซ้อน ซีเรียกว่า รากn– ค, ถ้า ซี n = ค.
มาหาค่าทั้งหมดของรูทกัน n–
โอ้ กำลังของจำนวนเชิงซ้อน กับ- อนุญาต ค=|
ค|·(เพราะ
เรื่อง
ค+
ฉัน·
บาป
เรื่องกับ),ก
ซี
= |
ซี|·(ด้วยระบบปฏิบัติการ
เรื่อง
ซี
+
ฉัน·
บาป
เรื่อง
ซี)
, ที่ไหน ซีราก n-
โอ้ กำลังของจำนวนเชิงซ้อน กับ- แล้วมันก็ต้องเป็นเช่นนั้น
=
ค
= |
ค|·(เพราะ
เรื่อง
ค+
ฉัน·
บาป
เรื่องกับ)- มันเป็นไปตามนั้น 
และ n·
เรื่อง
ซี
=
เรื่องกับ 
เรื่อง
ซี
=
(เค=0,
1,…)
- เพราะฉะนั้น, ซี
=
(เพราะ
+
ฉัน·
บาป
),
(เค=0,
1,…)
- จะเห็นได้ง่ายว่าค่าใดค่าหนึ่ง
,
(เค=0,
1,…)
แตกต่างจากค่าใดค่าหนึ่งที่สอดคล้องกัน
,(เค
= 0,1,…,
n-1)
โดยหลายรายการ 2π- นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม (เค
= 0,1,…,
n-1)
.
ตัวอย่าง.
ลองคำนวณรากของ (-1).
, อย่างชัดเจน |-1|
= 1,
หาเรื่อง
(-1) =
π
-1 = 1·(เพราะ π + ฉัน· บาป π )
,
(เค = 0, 1)
=
ฉัน
กำลังที่มีเลขชี้กำลังตรรกศาสตร์ตามอำเภอใจ
ลองหาจำนวนเชิงซ้อนใดๆ กัน กับ- ถ้า nจำนวนธรรมชาติแล้ว กับ n
= |
ค|
n ·(กับระบบปฏิบัติการ
nArgส +ฉัน·
บาป
nArgกับ)(6) สูตรนี้ก็เป็นจริงในกรณีนี้เช่นกัน n
= 0
(ส≠0)
- อนุญาต n
< 0
และ n
ซีและ ส ≠ 0, แล้ว
กับ n
=
(เพราะว่า nArgกับ+i·บาป nArgกับ)
=
(เพราะว่า nArgกับ+ ฉันบาป nArgกับ)
- ดังนั้น สูตร (6) จึงใช้ได้กับข้อใดข้อหนึ่ง n.
ลองหาจำนวนตรรกยะกัน 
, ที่ไหน ถามจำนวนธรรมชาติ และ รเป็นทั้งหมด
จากนั้นภายใต้ ระดับ
ค รเราจะเข้าใจตัวเลข 
.
เราเข้าใจแล้ว ,
(เค = 0, 1, …, ถาม-1). ค่านิยมเหล่านี้ ถามชิ้น ถ้าเศษส่วนไม่สามารถลดได้
การบรรยายครั้งที่ 3 ขีดจำกัดของลำดับจำนวนเชิงซ้อน
เรียกว่าฟังก์ชันที่มีค่าเชิงซ้อนของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ ลำดับของจำนวนเชิงซ้อนและถูกกำหนดไว้ (กับ n ) หรือ กับ 1 , กับ 2 , ..., กับ n . กับ n = ก n + ข n · ฉัน (n = 1,2, ...) จำนวนเชิงซ้อน
กับ 1 , กับ 2 , … - สมาชิกของลำดับ; กับ n – สมาชิกสามัญ
จำนวนเชิงซ้อน กับ
=
ก+
ข·
ฉันเรียกว่า ขีดจำกัดลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (ค n )
, ที่ไหน กับ n
= ก n +
ข n ·
ฉัน
(n
= 1, 2, …)
ที่ไหนก็ได้ 
ว่าต่อหน้าทุกคน n
>
เอ็นความไม่เท่าเทียมกันถือ 
- ลำดับที่มีขีดจำกัดจำกัดเรียกว่า มาบรรจบกันลำดับ.
ทฤษฎีบท.
เพื่อให้ได้ลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (ด้วย n ) (กับ n = ก n + ข n · ฉัน) แปลงเป็นตัวเลขด้วย = ก+ ข· ฉันมีความจำเป็นและเพียงพอต่อความเท่าเทียมกันลิม ก n = ก, ลิม ข n = ข.
การพิสูจน์.
เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยอาศัยอสมการสองเท่าที่เห็นได้ชัดเจนต่อไปนี้
, ที่ไหน ซี
=
x
+
ย·
ฉัน
(2)
ความจำเป็น.อนุญาต ลิม(กับ n ) = ส- ให้เราแสดงว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริง ลิม ก n = กและ ลิม ข n = ข (3).
แน่นอน (4)
เพราะ 
, เมื่อไร n
→ ∞
จากนั้นจากด้านซ้ายของอสมการ (4) ตามมาด้วย 
และ 
, เมื่อไร n
→ ∞
- ดังนั้นความเท่าเทียมกัน (3) จึงเป็นที่น่าพอใจ ความต้องการได้รับการพิสูจน์แล้ว
ความเพียงพอปล่อยให้ความเท่าเทียมกัน (3) เป็นที่พึงพอใจ จากความเท่าเทียมกัน (3) เป็นไปตามนั้น 
และ 
, เมื่อไร n
→ ∞
ดังนั้นเนื่องจากอสมการทางด้านขวามือ (4) จึงเป็นเช่นนี้ 
, เมื่อไร n→∞
, วิธี ลิม(กับ n )=ค- ความเพียงพอได้รับการพิสูจน์แล้ว
ดังนั้น คำถามเรื่องการลู่เข้าหากันของลำดับจำนวนเชิงซ้อนจึงเทียบเท่ากับการลู่เข้าของลำดับจำนวนจริง 2 ลำดับ ดังนั้น คุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของขีดจำกัดของลำดับจำนวนจริงจึงนำไปใช้กับลำดับของจำนวนเชิงซ้อนได้
ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับของจำนวนเชิงซ้อน เกณฑ์ของ Cauchy นั้นใช้ได้: เพื่อให้ได้ลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (ด้วย n ) มาบรรจบกันก็จำเป็นและเพียงพอแล้วสำหรับสิ่งใดสิ่งหนึ่ง 
นั่นเพื่ออะไรก็ตามn,
ม
>
เอ็นความไม่เท่าเทียมกันถือ 
.
ทฤษฎีบท.
ปล่อยให้ลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (ด้วย n ) และ (z n ) มาบรรจบกันที่ c และตามลำดับzแล้วความเท่ากันก็เป็นจริงลิม(กับ n
z n )
=
ค 
z,
ลิม(กับ n ·
z n )
=
ค·
z- หากรู้แน่ชัดว่าzไม่เท่ากับ 0 แล้วความเท่าเทียมกันเป็นจริง 
.
ตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ
สูตรมูฟวร์
ให้ z 1 = r 1 (cos 1 + isin 1) และ z 2 = r 2 (cos 2 + isin 2)
รูปแบบตรีโกณมิติของการเขียนจำนวนเชิงซ้อนนั้นสะดวกต่อการใช้งานในการดำเนินการคูณ การหาร การยกกำลังจำนวนเต็ม และการแยกรากของระดับ n
z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 + 2) + ฉันบาป( 1 + 2))
เมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อนสองตัวในรูปแบบตรีโกณมิติ โมดูลจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์ เมื่อแบ่งโมดูลจะถูกแบ่งออกและข้อโต้แย้งจะถูกลบออก
ข้อพิสูจน์ของกฎในการคูณจำนวนเชิงซ้อนคือกฎสำหรับการบวกจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง
z = r(cos + ฉันบาป )
z n = r n (cos n + isin n)
อัตราส่วนนี้เรียกว่า สูตรมูฟวร์
ตัวอย่างที่ 8.1 ค้นหาผลคูณและผลหารของตัวเลข:
และ 
สารละลาย
ซี 1 ∙z 2 
∙
=
;
ตัวอย่างที่ 8.2 เขียนตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ
∙
–i) 7 .
สารละลาย
มาแสดงกันเถอะ 
และ z 2 = 
- ฉัน.
ร 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; 
;
1 = หาเรื่อง z 1 = อาร์คแทน 
;
ซี 1 = 
;
ร 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2; 2 = หาเรื่อง z 2 = อาร์คแทน 
;
ซี 2 = 2 
) 5 
ซี 1 5 = ( 
- ซี 2 7 = 2 7 
ซี = ( 
=
2 9 
) 5 ·2 7
§ 9 การแยกรากของจำนวนเชิงซ้อนnคำนิยาม. รากยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน 
z (แสดงว่า 
= 0.
) เป็นจำนวนเชิงซ้อน w โดยที่ w n = z ถ้า z = 0 แล้ว
ให้ z 0, z = r(cos + isin) ให้เราแสดงว่า w = (cos + sin) จากนั้นเราเขียนสมการ w n = z ในรูปแบบต่อไปนี้
n (cos(n·) + ไอซิน(n·)) = r(cos + ไอซิน)
=
ดังนั้น n = r 
·
.
ดังนั้น wk =
ในบรรดาค่าเหล่านี้มีค่าที่แตกต่างกัน n ประการ
ดังนั้น k = 0, 1, 2, …, n – 1 
บนระนาบเชิงซ้อน จุดเหล่านี้คือจุดยอดของเอ็นกอนปกติที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี
โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด O (รูปที่ 12)
รูปที่ 12ตัวอย่างที่ 9.1 
.
ค้นหาค่าทั้งหมด
สารละลาย.
ลองแทนตัวเลขนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ ลองหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมันกัน 
ว เค =
โดยที่ k = 0, 1, 2, 3 
.
w 0 = 
.
วิ 1 = 
.
วิ 2 = 
.
บนระนาบเชิงซ้อน จุดเหล่านี้คือจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ในรัศมีวงกลม 
โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (รูปที่ 13)
รูปที่ 13 รูปที่ 14
ตัวอย่างที่ 9.2ตัวอย่างที่ 9.1 
.
ค้นหาค่าทั้งหมด
z = – 64 = 64(cos +isin);
ลองแทนตัวเลขนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ ลองหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมันกัน 
โดยที่ k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
โดยที่ k = 0, 1, 2, 3 
- วิ 1 = 
;
วิ 1 = 
วิ 3 = 
ส 4 = 
- ส 5 = 
.
บนระนาบเชิงซ้อน จุดเหล่านี้คือจุดยอดของรูปหกเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี 2 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O (0; 0) - รูปที่ 14
§ 10 รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน
สูตรของออยเลอร์
มาแสดงกันเถอะ 
= cos + isin และ 
= cos - ไอซิน . ความสัมพันธ์เหล่านี้เรียกว่า .
สูตรของออยเลอร์ 
การทำงาน
มีคุณสมบัติปกติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:
ให้เขียนจำนวนเชิงซ้อน z ในรูปแบบตรีโกณมิติ z = r(cos + isin)
จากสูตรของออยเลอร์ เราสามารถเขียนได้ว่า: 
.
ซี = อาร์ รายการนี้เรียกว่าแบบฟอร์มเอ็กซ์โปเนนเชียล
จำนวนเชิงซ้อน. เมื่อใช้มัน เราจะได้กฎสำหรับการคูณ การหาร การยกกำลัง และการแยกราก 
ถ้า z 1 = r 1 · 
และ z 2 = r 2 ·
?ที่ 
;
·
ซี 1 · ซี 2 = อาร์ 1 · อาร์ 2 · 
z n = r n ·
โดยที่ k = 0, 1, … , n – 1ตัวอย่างที่ 10.1
เขียนตัวเลขในรูปแบบพีชคณิต 
.
ค้นหาค่าทั้งหมด
ซี =ตัวอย่างที่ 10.2
ค้นหาค่าทั้งหมด
แก้สมการ z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0 
สำหรับสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนใดๆ สมการนี้มีสองราก z 1 และ z 1 (อาจตรงกัน) รากเหล่านี้สามารถพบได้โดยใช้สูตรเดียวกันกับในกรณีจริง เพราะ
รับค่าสองค่าที่แตกต่างกันเฉพาะเครื่องหมาย จากนั้นสูตรนี้จะมีลักษณะดังนี้: 
เนื่องจาก –9 = 9 e i ดังนั้นค่าต่างๆ
จะมีตัวเลข: 
แล้ว 
.
|
และตัวอย่างที่ 10.3 |
ค้นหาค่าทั้งหมด
แก้สมการ z 3 +1 = 0; ซี 3 = – 1. 
.
รากที่ต้องการของสมการจะเป็นค่าต่างๆ
ลองแทนตัวเลขนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ ลองหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมันกัน 
สำหรับ z = –1 เรามี r = 1, หาเรื่อง(–1) =
, เค = 0, 1, 2
แบบฝึกหัด
|
9 แสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลัง: |
+ฉัน; |
ข)
.ช)
|
10 เขียนตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลังและพีชคณิต: |
ก) |
|
9 แสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลัง: |
วี) |
ง) 7(cos0 + isin0)
|
10 เขียนตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลังและพีชคณิต: |
9 แสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลัง: |
ก) |
+ฉัน; |
11 เขียนตัวเลขในรูปแบบพีชคณิตและเรขาคณิต: 
จะได้รับ 12 หมายเลข 
.
นำเสนอในรูปแบบเลขชี้กำลัง ค้นหา
13 การใช้รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน ให้ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้: 
ก) 
ข) 
วี) 
|
ช) |
|
|
|
|
.