สมการคุณลักษณะ รากของสมการคุณลักษณะ ค่าคงที่เวลา เวลาเปลี่ยนผ่าน วิธีการรวบรวมสมการคุณลักษณะ ทำไมคุณจึงต้องมีสมการคุณลักษณะ

สมการลักษณะเฉพาะจะถูกรวบรวมสำหรับวงจรหลังการสวิตชิ่ง สามารถรับได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

• ขึ้นอยู่กับสมการเชิงอนุพันธ์ของรูปแบบ (2) โดยตรง (ดูการบรรยายข้อ 24) เช่น โดยแยกปริมาณที่ไม่ทราบทั้งหมดออกจากระบบสมการที่อธิบายสถานะแม่เหล็กไฟฟ้าของวงจรตามกฎข้อที่หนึ่งและสองของเคอร์ชอฟฟ์ ยกเว้นปริมาณเดียวที่เกี่ยวข้องกับการเขียนสมการ (2)
• โดยใช้นิพจน์สำหรับอินพุทอิมพีแดนซ์ของวงจรกระแสไซน์
• ขึ้นอยู่กับการแสดงออกของปัจจัยหลัก

ตามวิธีแรกในการบรรยายครั้งก่อนได้รับสมการเชิงอนุพันธ์เกี่ยวกับแรงดันไฟฟ้าบนตัวเก็บประจุสำหรับวงจรซีรีย์ R-L-C บนพื้นฐานของการเขียนสมการลักษณะเฉพาะ

ควรสังเกตว่าเนื่องจากวงจรเชิงเส้นถูกครอบคลุมโดยกระบวนการชั่วคราวเดียว รากของสมการคุณลักษณะจึงเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับส่วนประกอบอิสระทั้งหมดของแรงดันและกระแสของกิ่งก้านของวงจร ซึ่งพารามิเตอร์จะรวมอยู่ในสมการลักษณะเฉพาะ ดังนั้น ตามวิธีแรกในการเขียนสมการลักษณะเฉพาะ ตัวแปรใดๆ ก็สามารถเลือกเป็นตัวแปรตามตัวแปรที่เขียนได้

ให้เราพิจารณาการประยุกต์ใช้วิธีที่สองและสามในการเขียนสมการคุณลักษณะโดยใช้ตัวอย่างของวงจรในรูปที่ 1 1.

องค์ประกอบของสมการคุณลักษณะโดยใช้วิธีความต้านทานอินพุตมีดังนี้:

ถูกบันทึกไว้ ความต้านทานอินพุตวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ;

jw ถูกแทนที่ด้วยตัวดำเนินการ p;

นิพจน์ผลลัพธ์จะเท่ากับศูนย์

สมการ

สอดคล้องกับลักษณะอย่างใดอย่างหนึ่ง

ควรเน้นย้ำว่าสามารถเขียนความต้านทานอินพุตโดยสัมพันธ์กับจุดแตกหักของวงจรสาขาใดก็ได้ ในกรณีนี้เครือข่ายสองเทอร์มินัลที่ใช้งานอยู่จะถูกแทนที่ด้วยเครือข่ายแบบพาสซีฟโดยการเปรียบเทียบกับวิธีการสร้างที่เทียบเท่ากัน วิธีการเขียนสมการลักษณะเฉพาะนี้จะถือว่าไม่มีกิ่งก้านคู่ที่มีสนามแม่เหล็กอยู่ในวงจร หากมีก็จำเป็นต้องดำเนินการคลายเบื้องต้น

สำหรับวงจรในรูป 1 สัมพันธ์กับขั้วต่อต้นทาง

.

เราเขียนแทนที่ jw ด้วย p และปรับนิพจน์ผลลัพธ์ให้เป็นศูนย์

.

(1)

เมื่อรวบรวมสมการคุณลักษณะตามนิพจน์ของปัจจัยหลักคือตัวเลข สมการพีชคณิตบนพื้นฐานของการเขียนนั้นมีค่าเท่ากับจำนวนส่วนประกอบกระแสฟรีที่ไม่รู้จัก พีชคณิตของระบบดั้งเดิมของปริพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์, รวบรวม, ตัวอย่างเช่น, บนพื้นฐานของกฎของ Kirchhoff หรือใช้วิธีวนรอบ, จะดำเนินการโดยการแทนที่สัญลักษณ์ของความแตกต่างและปริพันธ์ตามลำดับด้วยการคูณและการหารด้วยตัวดำเนินการ p สมการลักษณะเฉพาะได้มาจากการปรับดีเทอร์มิแนนต์ที่เป็นลายลักษณ์อักษรให้เท่ากับศูนย์ เนื่องจากการแสดงออกของปัจจัยหลักไม่ได้ขึ้นอยู่กับด้านขวามือของระบบสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน จึงสามารถรวบรวมได้บนพื้นฐานของระบบสมการที่เขียนขึ้นสำหรับกระแสทั้งหมด

สำหรับวงจรในรูป 1 ระบบสมการพีชคณิตที่ใช้วิธีกระแสวนรอบมีรูปแบบ

ดังนั้นนิพจน์สำหรับปัจจัยหลักของระบบนี้

เมื่อจัดให้ D เป็นศูนย์ เราจะได้ผลลัพธ์คล้ายกับ (1)

วิธีการทั่วไปสำหรับการคำนวณกระบวนการชั่วคราวโดยใช้วิธีคลาสสิก

โดยทั่วไป วิธีการคำนวณกระบวนการชั่วคราวโดยใช้วิธีคลาสสิกประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

ตัวอย่างการคำนวณกระบวนการชั่วคราวโดยใช้วิธีคลาสสิก

1. กระบวนการชั่วคราวใน โซ่ R-Lเมื่อเชื่อมต่อกับแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า

กระบวนการดังกล่าวเกิดขึ้นเมื่อเชื่อมต่อแม่เหล็กไฟฟ้า หม้อแปลง มอเตอร์ไฟฟ้า ฯลฯ เข้ากับแหล่งพลังงาน

ลองพิจารณาสองกรณี:

ตามวิธีที่พิจารณาสำหรับกระแสไฟฟ้าในวงจรในรูป 2 สามารถเขียนได้

สมการคุณลักษณะ

ดังนั้นเวลาคงที่ .

ดังนั้น,

.

(5)

เราเขียนแทน (4) และ (5) ลงในความสัมพันธ์ (3)

.

ตามกฎข้อที่หนึ่งของการเปลี่ยน แล้ว

,

ดังนั้นกระแสในวงจรระหว่างกระบวนการชั่วคราวจึงถูกอธิบายโดยสมการ

,

และแรงดันไฟฟ้าตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำถูกกำหนดโดย

.

ลักษณะเชิงคุณภาพของเส้นโค้งและสอดคล้องกับโซลูชันที่ได้รับแสดงไว้ในรูปที่ 1 3.

สำหรับแหล่งที่มาประเภทที่สอง ส่วนประกอบบังคับจะถูกคำนวณโดยใช้วิธีสัญลักษณ์:

,

การแสดงออกของส่วนประกอบอิสระไม่ได้ขึ้นอยู่กับประเภทของแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า เพราะฉะนั้น,

.

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ในที่สุดเราก็ได้

.

(6)

การวิเคราะห์นิพจน์ผลลัพธ์ (6) แสดง:

หากมีขนาดที่มีนัยสำคัญ ส่วนประกอบอิสระจะไม่ลดลงอย่างมีนัยสำคัญเกินครึ่งช่วงระยะเวลา ในกรณีนี้ ค่าสูงสุดของกระแสชั่วคราวอาจเกินความกว้างของกระแสในสภาวะคงตัวได้อย่างมาก ดังที่เห็นได้จากรูป 4 ที่ไหน

กระแสสูงสุดจะเกิดขึ้นหลังจากนั้นประมาณ ในวงเงินที่.

ดังนั้น สำหรับวงจรเชิงเส้น ค่าสูงสุดของกระแสชั่วคราวจะต้องไม่เกินสองเท่าของแอมพลิจูดของกระแสบังคับ:

ในทำนองเดียวกันสำหรับวงจรเชิงเส้นที่มีตัวเก็บประจุ: หากในขณะที่เปลี่ยนแรงดันไฟฟ้าบังคับเท่ากับค่าแอมพลิจูดและค่าคงที่เวลาของวงจรมีขนาดใหญ่เพียงพอจากนั้นหลังจากนั้นประมาณครึ่งระยะเวลาแรงดันไฟฟ้าบนตัวเก็บประจุจะถึงค่าสูงสุด ซึ่งต้องไม่เกินสองเท่าของแอมพลิจูดของแรงดันไฟฟ้าบังคับ: .

2. กระบวนการชั่วคราวเมื่อตัดการเชื่อมต่อตัวเหนี่ยวนำจากแหล่งพลังงาน

เมื่อกุญแจถูกเปิดอยู่ในวงจรดังรูป 5 ส่วนประกอบบังคับของกระแสผ่านตัวเหนี่ยวนำ

สมการคุณลักษณะ

,

ที่ไหน และ .

ตามกฎข้อที่หนึ่งของการเปลี่ยน

.

ดังนั้นการแสดงออกของกระแสชั่วคราวคือ

และแรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

.

(7)

การวิเคราะห์ (7) แสดงให้เห็นว่าเมื่อมีการเปิดวงจรที่มีองค์ประกอบอุปนัย แรงดันไฟฟ้าเกินขนาดใหญ่อาจเกิดขึ้นได้ ซึ่งหากไม่มีมาตรการพิเศษ อาจทำให้อุปกรณ์เสียหายได้ จริงๆ แล้วเมื่อไร. โมดูลแรงดันไฟฟ้าบนตัวเหนี่ยวนำในขณะที่เปลี่ยนจะสูงกว่าแรงดันไฟฟ้าต้นทางหลายเท่า: . ในกรณีที่ไม่มีตัวต้านทานดับ R แรงดันไฟฟ้าที่ระบุจะถูกนำไปใช้กับหน้าสัมผัสการเปิดของกุญแจซึ่งเป็นผลมาจากการที่ส่วนโค้งเกิดขึ้นระหว่างพวกเขา

3. การชาร์จและการคายประจุตัวเก็บประจุ

เมื่อกุญแจถูกย้ายไปยังตำแหน่ง 1 (ดูรูปที่ 6) กระบวนการชาร์จตัวเก็บประจุจะเริ่มต้นขึ้น:

.

ส่วนประกอบแรงดันไฟฟ้าบังคับบนตัวเก็บประจุ

จากสมการคุณลักษณะ

รากถูกกำหนด - ดังนั้นเวลาคงที่

โหมดอิสระของวงจรไม่ได้ขึ้นอยู่กับแหล่งพลังงาน แต่จะถูกกำหนดโดยโครงสร้างของวงจรและพารามิเตอร์ขององค์ประกอบเท่านั้น จากนี้ไปรากของสมการคุณลักษณะ p1, p2, …, pn จะเหมือนกันสำหรับทุกคน ฟังก์ชั่นตัวแปร(กระแสและแรงดันไฟฟ้า)

สามารถสร้างสมการคุณลักษณะได้หลายวิธี วิธีแรกเป็นแบบคลาสสิก เมื่อมีการรวบรวมสมการคุณลักษณะอย่างเคร่งครัดตามสมการเชิงอนุพันธ์ตามแบบแผนคลาสสิก เมื่อคำนวณกระบวนการชั่วคราวใน โครงการที่ซับซ้อนระบบสมการเชิงอนุพันธ์ "m" ถูกรวบรวมตามกฎของ Kirchhoff สำหรับแผนภาพวงจรหลังจากการสลับ เนื่องจากรากของสมการคุณลักษณะเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับตัวแปรทุกตัว การแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์จึงดำเนินการด้วยความเคารพต่อตัวแปรใดๆ (เป็นทางเลือก) จากผลของการแก้ปัญหา จะได้สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์ที่มีตัวแปรหนึ่งตัว เขียนสมการลักษณะเฉพาะตามสมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้และหารากของมัน

ตัวอย่าง. วาดสมการคุณลักษณะและหารากของตัวแปรในแผนภาพในรูป 59.1. พารามิเตอร์ขององค์ประกอบระบุไว้ในรูปแบบทั่วไป

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ตามกฎของเคอร์ชอฟฟ์:

ให้เราแก้ระบบสมการสำหรับตัวแปร i3 ผลที่ได้คือสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน:

วิธีที่สองในการรวบรวมสมการคุณลักษณะคือการทำให้ดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบสมการ Kirchhoff เท่ากับศูนย์สำหรับตัวแปรองค์ประกอบอิสระ

ปล่อยให้ส่วนประกอบอิสระของกระแสไฟฟ้าตามอำเภอใจมีรูปแบบ iksv = Аkept จากนั้น:

ระบบสมการสำหรับส่วนประกอบอิสระได้มาจากระบบสมการเชิงอนุพันธ์ของ Kirchhoff โดยการแทนที่อนุพันธ์ของตัวแปรด้วยตัวประกอบ p และอินทิกรัลด้วย 1/p สำหรับตัวอย่างที่พิจารณา ระบบสมการสำหรับส่วนประกอบอิสระมีรูปแบบดังนี้

สมการคุณลักษณะและรากของมัน:

วิธีที่สามในการรวบรวมสมการลักษณะเฉพาะ (ทางวิศวกรรม) คือการถือเอาความต้านทานของตัวดำเนินการอินพุตของวงจรให้เป็นศูนย์เมื่อเทียบกับกิ่งก้านใดๆ ของมัน

ความต้านทานตัวดำเนินการขององค์ประกอบได้มาจากความต้านทานที่ซับซ้อนของมันโดยเพียงแค่แทนที่ตัวประกอบ jω ด้วย p ดังนั้น

สำหรับตัวอย่างที่เป็นปัญหา:

วิธีที่สามเป็นวิธีที่ง่ายและประหยัดที่สุดดังนั้นจึงมักใช้ในการคำนวณกระบวนการชั่วคราวในวงจรไฟฟ้า

รากของสมการคุณลักษณะแสดงถึงกระบวนการชั่วคราวอิสระในวงจรที่ไม่มีแหล่งพลังงาน กระบวนการนี้เกิดขึ้นพร้อมกับการสูญเสียพลังงานและสลายตัวไปตามกาลเวลา

ในกรณีทั่วไป ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายกระบวนการชั่วคราวในวงจร และด้วยเหตุนี้ ระดับของสมการลักษณะเฉพาะและจำนวนรากของมันจะเท่ากับจำนวนค่าอิสระ เงื่อนไขเริ่มต้นหรือจำนวนอุปกรณ์กักเก็บพลังงานอิสระ (คอยล์ L และตัวเก็บประจุ C)

หากแผนภาพวงจรมีตัวเก็บประจุที่เชื่อมต่อแบบขนาน C1, C2,... หรือขดลวดที่เชื่อมต่อแบบอนุกรม L1, L2,... ดังนั้นเมื่อคำนวณกระบวนการชั่วคราว จะต้องแทนที่องค์ประกอบที่เทียบเท่าหนึ่งองค์ประกอบ SE = C1 + C2+... หรือ LE = L1 + L2+... ดังนั้น,มุมมองทั่วไป

วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวแปรใด ๆ เมื่อคำนวณกระบวนการชั่วคราวสามารถรวบรวมได้จากการวิเคราะห์แผนภาพวงจรเท่านั้นโดยไม่ต้องรวบรวมและแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์

) สำหรับตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น = ||ก||ไอคิ n

1 โดยลบค่า lam ออกจากองค์ประกอบในแนวทแยง ดีเทอร์มิแนนต์นี้เป็นพหุนามเทียบกับ X ซึ่งเป็นพหุนามลักษณะเฉพาะ เมื่อเปิดแล้ว X.u. เขียนดังนี้: ที่ไหน = ส 1 + 11 +... 22แอน - ที่เรียกว่า การติดตามเมทริกซ์เอส 2 ไอคิ- ผลรวมของผู้เยาว์รายใหญ่ทั้งหมดของลำดับที่ 2 เช่น ผู้เยาว์ในรูปแบบ i k) ฯลฯ และ S สำหรับตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น- ปัจจัยกำหนดเมทริกซ์ ไอคิ- รากของ H. u. แล 1 , แล 2 ,..., แลม สำหรับตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้นเรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ - สำหรับเมทริกซ์สมมาตรจริง เช่นเดียวกับเมทริกซ์เฮอร์มิเทียน ล้วนเป็น แลเค - สำหรับเมทริกซ์สมมาตรจริง เช่นเดียวกับเมทริกซ์เฮอร์มิเทียน ล้วนเป็น แลเป็นจริง เมทริกซ์เอียงสมมาตรจริงจะมี แล ทั้งหมด - สำหรับเมทริกซ์สมมาตรจริง เช่นเดียวกับเมทริกซ์เฮอร์มิเทียน ล้วนเป็น แล| = 1.

ตัวเลขจินตภาพล้วนๆ ในกรณีของเมทริกซ์มุมตั้งฉากจริง เช่นเดียวกับเมทริกซ์หน่วยเดียว ทั้งหมดจะเป็น |γ

ฮู พบได้ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ กลศาสตร์ ฟิสิกส์ และเทคโนโลยีที่หลากหลาย ในทางดาราศาสตร์ เมื่อพิจารณาการรบกวนทางโลกของดาวเคราะห์ พวกมันยังต้องคำนึงถึงสมการทางเคมีด้วย ดังนั้นชื่อที่สองของ X. u. - สมการเก่าแก่

2) คุณ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่λ 0 (ย) + n (1 ปี) +... + n-1 + n-1 y" = 0

ใดๆ สมการพีชคณิตที่ได้มาจากสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดหลังจากเปลี่ยนฟังก์ชันที่

2) คุณ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่λ ไอคิ + และอนุพันธ์ของมันด้วยกำลังที่สอดคล้องกันของ λ นั่นคือสมการλ 1 + ... + n-1 n-1 + n-1 y" = 0.

คุณ" สมการพีชคณิตที่ได้มาจากสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดหลังจากเปลี่ยนฟังก์ชัน = สมการนี้ได้มาจากการหาคำตอบเฉพาะของแบบฟอร์ม λ เซเอ็กซ์

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด สำหรับระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

ฮู เขียนโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ ฮู เมทริกซ์ =

ก ใหญ่สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

- - ม.: สารานุกรมโซเวียต

ดูว่า "สมการคุณลักษณะ" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร: ในหลายกรณีที่เกิดขึ้นในระบบอธิบายโดยระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ซึ่งในกรณีทั่วไปที่ค่อนข้างสามารถลดลงเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ ... สารานุกรมเทคโนโลยี

สมการพีชคณิตในรูปแบบ: ดีเทอร์มิแนนต์ในสูตรนี้ได้มาจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยการลบค่า x ออกจากองค์ประกอบในแนวทแยง มันแทนพหุนามใน x และเรียกว่าพหุนามลักษณะเฉพาะ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

สมการลักษณะเฉพาะ- - [วี.เอ. เซเมนอฟ. พจนานุกรมภาษาอังกฤษ - รัสเซียเกี่ยวกับการป้องกันการถ่ายทอด] หัวข้อการป้องกันการถ่ายทอด EN สมการคุณลักษณะ ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

สมการพีชคณิตของแบบฟอร์ม ดีเทอร์มิแนนต์ในสูตรนี้ได้มาจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ x ขององค์ประกอบในแนวทแยง มันคือพหุนามใน x และเรียกว่าพหุนามลักษณะเฉพาะ * * * ลักษณะ… … พจนานุกรมสารานุกรม

สมการลักษณะเฉพาะ- būdingoji lygtis สถานะเป็น T sritis automatika atitikmenys: engl สมการคุณลักษณะ สมการสมรรถนะ charakteristische Gleichung, f; Stammgleichung, f rus. สมการคุณลักษณะ n pranc équation caractéristique, f … Automatikos สิ้นสุด žodynas

สมการลักษณะเฉพาะ- būdingoji lygtis สถานะ T sritis fizika atitikmenys: engl สมการคุณลักษณะ สมการสมรรถนะ Charakteristische Gleichung, f rus. สมการคุณลักษณะ n pranc équation caractéristique, f … Fizikos สิ้นสุด žodynas

สมการลักษณะเฉพาะ สารานุกรม "การบิน"

สมการลักษณะเฉพาะ- สมการคุณลักษณะ ในหลายกรณี กระบวนการทางกายภาพที่เกิดขึ้นในระบบถูกอธิบายโดยระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ซึ่งในกรณีทั่วไปที่ค่อนข้างสามารถลดลงได้... สารานุกรม "การบิน"

สมการทางโลก ดูข้อ พหุนามลักษณะเฉพาะ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

พหุนามลักษณะเฉพาะคือพหุนามที่กำหนดค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ ความหมายอื่น: พหุนามลักษณะเฉพาะของการเกิดซ้ำเชิงเส้นคือพหุนาม สารบัญ 1 คำจำกัดความ ... Wikipedia

หนังสือ

• ลักษณะเฉพาะของวงแหวนโกหกและสมการปริพันธ์ไม่เชิงเส้น, Zhiber A.V. หนังสือเล่มนี้อุทิศให้กับการนำเสนอแนวทางพีชคณิตอย่างเป็นระบบเพื่อศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์ย่อยแบบไม่เชิงเส้นเชิงปริพันธ์และอะนาลอกที่แยกกันของพวกมันโดยอิงจากแนวคิด...

สมการคุณลักษณะมีรูปแบบ:

ในการกำหนดประเภทของส่วนประกอบอิสระจำเป็นต้องเขียนและแก้สมการคุณลักษณะ: z(p) = 0 ในการเขียนสมการคุณลักษณะจำเป็นต้องวาดไดอะแกรมที่ควรแทนที่แหล่งที่มาของแรงเคลื่อนไฟฟ้าและกระแสทั้งหมด โดยภายในของพวกเขาเอง ความต้านทานและการต่อต้านรับค่าความเหนี่ยวนำและความจุตามลำดับเท่ากับ Pl และ จากนั้นมีความจำเป็นต้องแยกสาขาใด ๆ ของวงจรนี้เขียนความต้านทานเริ่มต้นเทียบกับจุดแตกหักให้เท่ากับศูนย์แก้และกำหนดรากของ p ถ้าราก กลายเป็นลบจริงจากนั้นองค์ประกอบอิสระของฟังก์ชันที่ต้องการ:

โดยที่ m คือจำนวนรากของสมการ

ราก; - บูรณาการอย่างถาวร

หากรากของสมการอักขระกลายเป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อน สถานะอิสระจะมีรูปแบบ:

ความถี่ของการสั่นสะเทือนอิสระอยู่ที่ไหน

ระยะเริ่มต้นของการแกว่งอิสระ

8.เวลาการเปลี่ยนแปลง การกำหนดในทางปฏิบัติ t pp การคำนวณเวลากระบวนการเปลี่ยนแปลง

เวลาของกระบวนการชั่วคราวขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน ค่าผกผันเรียกว่าค่าคงที่เวลาและเป็น เวลาในระหว่างโดยค่าขององค์ประกอบอิสระของกระบวนการชั่วคราวจะลดลง e=2.72 เท่า ค่าจะขึ้นอยู่กับวงจรและพารามิเตอร์ ดังนั้น สำหรับวงจรที่มี การเชื่อมต่อแบบอนุกรม r และ L = และในการเชื่อมต่อแบบอนุกรม

3. กระบวนการเปลี่ยนแปลงเสร็จสมบูรณ์ 95%

วิธีที่ง่ายที่สุดในการสร้างเส้นโค้งของส่วนประกอบอิสระของกระบวนการชั่วคราวคือการตั้งเวลา t เป็น 0, ,2.....หากมีรากจริงหลายอัน เส้นโค้งผลลัพธ์จะได้โดยการรวม การกำหนดเงื่อนไขของแต่ละบุคคล (รูปที่ 1)

รูปที่ 1:

9.10 กระบวนการทรานเซียนท์ในวงจร r, C เมื่อต่อกับแหล่งกำเนิด แรงดันไฟฟ้ากระแสตรง- ทำการวิเคราะห์โดยใช้วิธีดั้งเดิม ให้นิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับ U C (t); ไอซี(t); กราฟิก (วิธีคลาสสิก)

สมการสถานะของวงจร rC หลังจากการสลับมีดังนี้:

(1) หรืออาร์ซี (2)

วิธีแก้ปัญหาของเขา:

ความจุ C หลังจากปิดคีย์ที่ t จะถูกเรียกเก็บเงินเป็นค่าคงที่

เนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์ตามกฎการสับเปลี่ยน ที่ t=0 หรือ 0=A โดยที่ A=-E

การแก้สมการ (2) จะอยู่ในรูปแบบ:

กระแสวงจร i(t)=C

รูปที่ 1.

รูปที่ 2.

กราฟการเปลี่ยนแปลงของแรงดันและกระแส i(t) แสดงในรูปที่ 1 และ 2 จากตัวเลขจะเห็นได้ว่าแรงดันไฟฟ้าบนตัวเก็บประจุเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณจาก 0 ถึง E ในขณะที่ความแรงของกระแส ณ เวลาที่เปลี่ยนอย่างกะทันหันถึง ค่า E/r แล้วลดลงเหลือศูนย์

11.12 กระบวนการทรานเซียนท์ในวงจร r, C เมื่อต่อเข้ากับแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าไซนูซอยด์ ทำการวิเคราะห์โดยใช้วิธีดั้งเดิม ให้นิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับ U C (t); ไอซี(t); กราฟิก (วิธีคลาสสิก)

สมการสถานะของวงจร rC ในโหมดชั่วคราวมีดังนี้

อาร์ซี .

คำตอบของสมการนี้:

ส่วนประกอบฟรี

โดยที่ =rC

เนื่องจากวงจรเป็นแบบเส้นตรงจากนั้นจึงมีผลไซน์ซอยด์และอยู่ในสภาวะคงตัวแรงดันไฟฟ้าบนตัวเก็บประจุจะเปลี่ยนตามกฎไซน์ซอยด์ด้วยความถี่ของเอฟเฟกต์อินพุตดังนั้นเพื่อกำหนด = เราจะใช้วิธีการของแอมพลิจูดที่ซับซ้อน : :

;

เมื่อพิจารณาว่า j= เราได้รับ:

ค่าคงที่การรวม A ของส่วนประกอบอิสระ

ให้เราค้นหาจากเงื่อนไขเริ่มต้นในวงจรโดยคำนึงถึงกฎการเปลี่ยน:

.ที่ t=0 นิพจน์สุดท้ายจะมีรูปแบบ

A=- อยู่ไหน

การเพิ่มส่วนประกอบ และ เราได้รับนิพจน์สุดท้ายสำหรับแรงดันไฟฟ้าทั่วตัวเก็บประจุในโหมดชั่วคราว:

= + = - (1)

การวิเคราะห์การแสดงออก (1) แสดงให้เห็นว่ากระบวนการชั่วคราวในวงจร rC ภายใต้อิทธิพลของไซน์ซอยด์นั้นขึ้นอยู่กับเฟสเริ่มต้นของแรงเคลื่อนไฟฟ้าแหล่งกำเนิด ณ เวลาที่สวิตช์และค่าคงที่เวลาของวงจร rC

ถ้า แล้ว =0 และจะมีสถานะคงตัวในวงจรทันทีหลังจากเปลี่ยนสวิตช์ กล่าวคือ

เมื่อแรงดันไฟฟ้า = - เช่น แรงดันไฟฟ้าตกคร่อมตัวเก็บประจุทันทีหลังจากสวิตช์สามารถไปถึงค่าของเครื่องหมายบวกได้เกือบสองเท่า จากนั้นค่อย ๆ เข้าใกล้ =

ผลต่างเฟสจะนำสมการ (1) ไปสู่รูปแบบ:

ความแตกต่างระหว่างโหมดนี้กับโหมดก่อนหน้าคือแรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่อมตัวเก็บประจุทันทีหลังจากสวิตช์สามารถเข้าถึงค่าลบได้เกือบสองเท่า

สำหรับวงจร Rc ที่พิจารณาซึ่งมีแหล่งกำเนิดกระแสไซน์ซอยด์ในสภาวะคงตัวคือเฟสเริ่มต้น แรงดันไฟฟ้าขาเข้าไม่ได้มีบทบาทใดๆ แต่ในกระบวนการเปลี่ยนผ่านอิทธิพลของมันมีความสำคัญมาก

13. กระบวนการชั่วคราวใน r, L, C – วงจรเมื่อเชื่อมต่อกับแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าคงที่ กระบวนการแบทช์ นิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับ i(t) กราฟิก (วิธีคลาสสิก)

รากมีจริง เป็นลบ แตกต่าง

I(t)=ฉัน ปาก +A1e p 1 t +A2e p 2 t

กระบวนการนี้เป็นระยะ:

t=0 (i(0)=A1+A2; A1=-A2

{

t=0 ผม ลิตร (0)*r+L +Uc(0)=E A1=-A2= ()

ฉัน l (t)= ( )

14. กระบวนการชั่วคราวใน r, L, C – วงจรเมื่อเชื่อมต่อกับแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าคงที่ กระบวนการที่สำคัญ นิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับ i(t) กราฟิก (วิธีคลาสสิก)

ฉัน l (t)=ฉัน ปาก +(B1+B2*t)*

เสื้อ=0: ผม ล. (0)=β1=0

หากรากกลายเป็นของจริง เป็นลบ และเท่ากัน แสดงว่ากระบวนการนี้มีความสำคัญ

15. กระบวนการชั่วคราวใน r, L, C – วงจรเมื่อเชื่อมต่อกับแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าคงที่ กระบวนการสั่น นิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับ i(t) กราฟิก (วิธีคลาสสิก)

P เสื้อ = -δ±j*ω เซนต์ ω เซนต์ =

รากนั้นเป็นจำนวนจริงที่เป็นลบ มีคอนจูเกตที่ซับซ้อนอยู่บ้าง

ฉัน l (t)=ฉัน ปาก A1e - δt *sin(ω St t+ψ)

ฉัน l (t)=ฉัน ปาก +(M*cos ω แสง t+N*sin ω แสง t)*

ฉัน l (t)= * = *

16. กระบวนการภาวะชั่วครู่ใน r, L, C – วงจรเมื่อต่อเข้ากับแหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้าแบบไซนูซอยด์ กระบวนการเป็นระยะ นิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับ i(t) กราฟิก (วิธีคลาสสิก)

R(t)=E สูงสุด *บาป(ωt+ψ)

2.

ในจำนวนสมการคลาสสิกในกรณีนี้จะเท่ากับจำนวนสาขาของวงจร

วิธีการหาคำตอบในรูปของผลรวมของผลรวมและผลเฉลยเฉพาะ การคำนวณกระบวนการชั่วคราวอธิบายโดยระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่รวบรวมโดยวิธีการคำนวณวิธีใดวิธีหนึ่งสำหรับค่าฟังก์ชันเวลาทันที ผลเฉลยของตัวแปรแต่ละตัวของระบบนี้จะพบได้ในรูปของผลรวมของผลรวมและผลเฉลยเฉพาะ ในการรวบรวมสมการ สามารถใช้วิธีต่อไปนี้: วิธีการที่อยู่บนพื้นฐานของการประยุกต์ใช้กฎของ Kirchhoff, วิธีการของศักย์ไฟฟ้าที่สำคัญ, วิธีของกระแสลูป ฯลฯ ตัวอย่างเช่น ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่รวบรวมหลังจากการสับเปลี่ยนตามกฎข้อที่หนึ่งและสองของ Kirchhoff มีรูปแบบ:

ตัวอย่างเช่น,

จำนวนสมการในกรณีนี้เท่ากับจำนวนสาขาของวงจร ปล่อยให้จำเป็นต้องค้นหากระแส i k ในสาขาที่มีหมายเลข K กำจัดกระแสของกิ่งก้านตามลำดับเป็นผลให้เราได้รับกระแส i k และอนุพันธ์ของมันตามลำดับ n:

ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ n ถูกกำหนดโดยจำนวนองค์ประกอบปฏิกิริยาอิสระของวงจร (m) โดยปกติแล้ว n=m แต่ขึ้นอยู่กับวิธีการเชื่อมต่อ อาจเป็นได้ว่า n

องค์ประกอบ capacitive ที่เชื่อมต่อแบบอนุกรมสามารถถูกแทนที่ด้วยองค์ประกอบเดียวได้ เช่นเดียวกับองค์ประกอบอุปนัยที่เชื่อมต่อแบบขนานสามารถถูกแทนที่ด้วยองค์ประกอบที่เทียบเท่ากัน รูปที่ 9.5 แสดงการเปลี่ยนตัวเก็บประจุ 2 ตัวที่ต่ออนุกรมกันด้วยตัวที่เทียบเท่ากันหนึ่งตัว

โดยทั่วไป ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ n เท่ากับ: n=n lc -n ce -n lj โดยที่ n lc คือจำนวนองค์ประกอบที่เกิดปฏิกิริยา (L และ C) ในวงจร n ce คือจำนวนประจุไฟฟ้า วงจร n lj คือจำนวนโหนดหรือส่วนอุปนัย

โดย capacitive หมายถึงวงจรที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ capacitive หรือองค์ประกอบ capacitive และแหล่งกำเนิดแรงเคลื่อนไฟฟ้าในอุดมคติ รูปที่ 9.6.a โดยอุปนัยหมายถึงโหนดที่สาขาอุปนัยหรือสาขาอุปนัยและแหล่งที่มาปัจจุบันมาบรรจบกัน (รูปที่ 9.6.b) หรือ ส่วนที่ตัดกันเฉพาะกิ่งอุปนัยหรือกิ่งอุปนัยและแหล่งที่มาปัจจุบันเท่านั้น

โปรดทราบว่าขั้นตอนการวาดสมการเชิงอนุพันธ์นั้นไม่จำเป็น และสามารถหากระแสทรานซิชันหรือแรงดันไฟฟ้าได้โดยไม่ต้องสร้างสมการ ตามที่ระบุไว้ในวิธีการคลาสสิกของการคำนวณกระบวนการชั่วคราวเพื่อแก้สมการ แสดงเป็นผลรวมของผลเฉลยทั่วไปและเฉลยเฉพาะ

วิธีแก้ปัญหาเฉพาะเจาะจงอธิบายถึงระบอบการปกครองที่เรียกว่าการบังคับ การแก้สมการเอกพันธ์ (ด้านขวาเป็นศูนย์) อธิบายกระบวนการในกรณีที่ไม่มี EMF ภายนอกและแหล่งที่มาปัจจุบัน และเรียกว่าอิสระ กระแส แรงดันไฟฟ้า และประจุที่เป็นอิสระและถูกบังคับจะได้รับการพิจารณาตามนั้น

ดังนั้นกระแสในสาขาที่มีหมายเลข K จึงแสดงเป็นผลรวม

คำนิยาม.สมการคุณลักษณะของตัวดำเนินการเชิงเส้น f คือสมการของรูปแบบ โดยที่ γ คือจำนวนจริงใดๆ A คือเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีลำดับเดียวกัน

พหุนาม เรียกว่า พหุนามลักษณะเฉพาะเมทริกซ์ A (ตัวดำเนินการเชิงเส้น f) ในรูปแบบเมทริกซ์ สมการคุณลักษณะมีรูปแบบดังนี้

หรือ

.

ดังนั้น เมื่อทำให้พหุนามคุณลักษณะเท่ากับศูนย์ เราก็จะได้สมการของดีกรี ยโดยที่ lam คือไม่ทราบ เราจะได้ค่าของรากของมัน - ตัวเลขเฉพาะของเมทริกซ์นี้ รากลักษณะเฉพาะมีบทบาทสำคัญในหลายด้านของคณิตศาสตร์ ลองพิจารณาการใช้งานรูตคุณลักษณะอย่างหนึ่งซึ่งเป็นเครื่องมือที่สำคัญมากในการศึกษาปริภูมิเชิงเส้นตลอดจนในการแก้ปัญหาพีชคณิตเชิงเส้นที่ประยุกต์มากมาย

เซตของรากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะเรียกว่าสเปกตรัมของตัวดำเนินการ ฉ(แต่ละรากจะพิจารณาด้วยหลายหลากที่มีอยู่ในสมการลักษณะเฉพาะ)

ตัวอย่าง.ค้นหารากที่เป็นลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์

เรามาสร้างเมทริกซ์กันดีกว่า

เมื่อทำให้พหุนามคุณลักษณะเท่ากับศูนย์ เราจะได้สมการกำลังสอง

แล้วรากของสมการจะเท่ากัน .

คำนิยาม.ให้ f เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นของปริภูมิ และปล่อยให้เป็นเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งมีความเท่าเทียมกัน

จำนวนจริงอยู่ที่ไหน จากนั้นเวกเตอร์จะเรียกว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการและเมทริกซ์ของตัวดำเนินการ ค่าลักษณะเฉพาะ หรือค่าลักษณะเฉพาะของการแปลง ในกรณีนี้ eigenvector หมายถึงค่าลักษณะเฉพาะ

ไอเกนเวคเตอร์มีบทบาทสำคัญในทั้งในด้านคณิตศาสตร์และการประยุกต์ ตัวอย่างเช่น เสียงสะท้อนซึ่งความถี่ธรรมชาติของการสั่นสะเทือนของระบบตรงกับความถี่ของการสั่นสะเทือนของแรงภายนอก ในทางคณิตศาสตร์ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะมีประโยชน์ในการแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์

ทฤษฎีบท. ถ้าตัวดำเนินการเชิงเส้น f มีเมทริกซ์ A อยู่ในฐาน (ฐานแรก) และเมทริกซ์ B อยู่ในฐาน (ฐานที่สอง) ความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่:

ดังนั้น เมื่อส่งผ่านไปยังฐานใหม่ พหุนามคุณลักษณะของตัวดำเนินการเชิงเส้นจะไม่เปลี่ยนแปลง

◌ ถ้า T เป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากฐานแรกไปฐานที่สอง แล้ว จากนั้นเราจะเปลี่ยนด้านขวาของความเท่าเทียมกัน ●

ทฤษฎีบท- เพื่อให้ตัวเลข แล 0 จากสนาม P เป็นค่าลักษณะเฉพาะของเวกเตอร์ของปริภูมิ L n ส่วน P จำเป็นและเพียงพอที่ตัวเลข แล 0 จะเป็นรากลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ f

หมอ ฉัน.ความจำเป็น. อนุญาต λ 0 ค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ ฉแล้วเข้า แอลมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเช่นนั้น

อนุญาต คือเส้นพิกัดของมันในระดับหนึ่งแล้ว

ในทางกลับกันเพราะว่า โดยที่ คือเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้นบนพื้นฐานที่กำหนด

การเท่ากันทางด้านขวาของ (1) และ (2) เราจะได้:

(3)

ความเท่าเทียมกัน (3) หมายถึงเวกเตอร์ตัวเลขที่มีพิกัด เป็นการแก้ระบบสมการต่อไปนี้ (4)

(4)

เวกเตอร์แตกต่างจากศูนย์ (เนื่องจากเป็นเวกเตอร์ของมันเอง) ดังนั้น ระบบ (4) จึงมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นดีเทอร์มีแนนต์ของมันคือ 0

(5)

และดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ที่สามารถเปลี่ยนตำแหน่งได้จึงเท่ากับ 0

(6)

หากแผนภาพวงจรมีตัวเก็บประจุที่เชื่อมต่อแบบขนาน C1, C2,... หรือขดลวดที่เชื่อมต่อแบบอนุกรม L1, L2,... ดังนั้นเมื่อคำนวณกระบวนการชั่วคราว จะต้องแทนที่องค์ประกอบที่เทียบเท่าหนึ่งองค์ประกอบ SE = C1 + C2+... หรือ LE = L1 + L2+... λ 0 – รากของสมการคุณลักษณะ

ครั้งที่สองความเพียงพอ อนุญาต λ 0 – ลักษณะเฉพาะของรากของตัวดำเนินการในบางพื้นฐาน - มาพิสูจน์กัน λ 0 คือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ A

จริงๆ แล้วถ้า. λ 0 คือรากที่มีลักษณะเฉพาะ จากนั้นความเท่าเทียมกัน (6) จะเป็นที่น่าพอใจ และด้วยเหตุนี้จึงมีความเท่าเทียมกัน (5) และนี่จะหมายความว่าระบบ (4) มีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์

ให้เราเลือกวิธีแก้ปัญหาของระบบที่ไม่เป็นศูนย์ (4): เวกเตอร์ตัวเลข - จากนั้นความเท่าเทียมกัน (3) จะเป็นที่น่าพอใจ

ลองพิจารณาเวกเตอร์และสำหรับมัน ความเท่าเทียมกัน (2) จะได้รับการตอบสนอง และโดยอาศัยสูตร ความเท่าเทียมกัน (1) นั้นใช้ได้ โดยที่เมทริกซ์ของตัวดำเนินการอยู่ที่ไหนบนพื้นฐาน ใน- นี่แสดงถึงความเท่าเทียมกัน ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการซึ่งค่าลักษณะเฉพาะสอดคล้องกัน λ 0 - นี่คือสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ความคิดเห็นเพื่อที่จะหาค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ จำเป็นต้องเขียนและแก้สมการ (5) ในการค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ คุณต้องสร้างระบบสมการ (4) และค้นหาชุดคำตอบพื้นฐานของระบบนี้

เพื่อควบคุมความถูกต้องของการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะ (อาจเกิดขึ้นพร้อมกันหรือซับซ้อนได้) จะใช้ข้อเท็จจริงสองประการ:

1) โดยที่ผลรวมสุดท้ายของเมทริกซ์การติดตามคือผลรวมขององค์ประกอบในแนวทแยง

2) .

ตัวอย่าง.ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ .

เท่ากับศูนย์ที่เราได้รับ -

3) . , .

อนุญาต เป็นตัวแปรอิสระ แล้วเราจะได้เวกเตอร์ .

ออกกำลังกาย. ตรวจสอบเวกเตอร์

.