เงื่อนไขขอบเขตและตั้งต้นของสมการเชิงอนุพันธ์ I. เงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่หนึ่ง ความถูกต้องของการกำหนดเงื่อนไขขอบเขต

ดังที่กล่าวไว้ในบทนำ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับสองมีจำนวนคำตอบไม่จำกัด ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันสองแบบตามอำเภอใจ เพื่อกำหนดฟังก์ชันตามอำเภอใจเหล่านี้ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เพื่อเลือกโซลูชันเฉพาะที่เราต้องการ เราจำเป็นต้องกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมในฟังก์ชันที่ต้องการ ผู้อ่านได้พบปรากฏการณ์ที่คล้ายคลึงกันแล้วเมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดา เมื่อการแยกคำตอบร่วมจากคำตอบทั่วไปประกอบด้วยกระบวนการหาค่าคงที่ตามอำเภอใจสำหรับเงื่อนไขตั้งต้นที่กำหนด

เมื่อพิจารณาถึงปัญหาการสั่นสะเทือนของเชือก เงื่อนไขเพิ่มเติมสามารถเป็นได้สองประเภท: เงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขต (หรือขอบเขต)

เงื่อนไขเริ่มต้นแสดงว่าสตริงนั้นอยู่ในสถานะใดในขณะที่เริ่มการสั่น เป็นการสะดวกที่สุดที่จะพิจารณาว่าสตริงเริ่มสั่นสะเทือนในช่วงเวลาหนึ่ง ตำแหน่งเริ่มต้นของจุดของสตริงถูกกำหนดโดยเงื่อนไข

และความเร็วเริ่มต้น

ฟังก์ชั่นที่กำหนดอยู่ที่ไหน

การเขียนและหมายความว่าฟังก์ชันนั้นใช้ค่าใดก็ได้และที่ซึ่งก็คือในทำนองเดียวกัน รูปแบบการบันทึกนี้ใช้อย่างต่อเนื่องในอนาคต เป็นต้น เป็นต้น

เงื่อนไข (1.13) และ (1.14) คล้ายกับเงื่อนไขเริ่มต้นในปัญหาไดนามิกที่ง่ายที่สุด จุดวัสดุ... เพื่อกำหนดกฎการเคลื่อนที่ของจุดนอกเหนือจาก สมการเชิงอนุพันธ์คุณจำเป็นต้องรู้ตำแหน่งเริ่มต้นของจุดและความเร็วต้นของจุดนั้น

เงื่อนไขขอบเขตมีลักษณะที่แตกต่างกัน จะแสดงสิ่งที่เกิดขึ้นที่ปลายสายระหว่างการสั่นสะเทือนทั้งหมด ในกรณีที่ง่ายที่สุด เมื่อกำหนดจุดสิ้นสุดของสตริง (จุดเริ่มต้นของสตริงอยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด และจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุดหนึ่ง ฟังก์ชันจะปฏิบัติตามเงื่อนไข

ผู้อ่านปฏิบัติตามเงื่อนไขเดียวกันทุกประการในหลักสูตรเกี่ยวกับความต้านทานของวัสดุเมื่อศึกษาการดัดของลำแสงที่วางอยู่บนตัวรองรับสองตัวภายใต้การกระทำของแรงสถิต

ความหมายทางกายภาพของความจริงที่ว่าการกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขตกำหนดกระบวนการอย่างสมบูรณ์นั้นง่ายที่สุดในการปฏิบัติตามในกรณีที่มีการสั่นสะเทือนฟรีของสตริง

สมมติว่าสตริงที่ปลายสายถูกดึงกลับนั่นคือมีการตั้งค่าฟังก์ชัน - สมการของรูปร่างเริ่มต้นของสตริงและปล่อยโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น (ซึ่งหมายความว่า) เป็นที่ชัดเจนว่า สิ่งนี้จะกำหนดลักษณะเพิ่มเติมของการสั่นสะเทือนอย่างสมบูรณ์ และเราจะพบฟังก์ชันเดียวโดยการแก้ไข สมการเอกพันธ์ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม คุณสามารถทำให้สตริงสั่นในวิธีที่ต่างออกไป กล่าวคือ โดยให้ความเร็วเริ่มต้นแก่จุดของสตริง เห็นได้ชัดว่าในกรณีนี้ กระบวนการต่อไปของการแกว่งจะค่อนข้างชัดเจน ความเร็วเริ่มต้นสามารถกำหนดให้กับจุดของสตริงได้โดยการตีสตริง (เช่นกรณีเมื่อเล่นเปียโน) วิธีแรกในการปลุกเร้าสตริงจะใช้เมื่อเล่นเครื่องดนตรีที่ดึงออกมา (เช่น กีตาร์)

ตอนนี้ให้เรากำหนดปัญหาทางคณิตศาสตร์ซึ่งการศึกษาการสั่นสะเทือนอิสระของสตริงที่ปลายทั้งสองนำไปสู่

จำเป็นต้องแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันของลำดับที่สองด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่

กำหนดอุณหภูมิบนพื้นผิวของร่างกายได้ตลอดเวลานั่นคือ

T s = T s (x, y, z, t) (2.15)

ข้าว. 2.4 - เงื่อนไขขอบเขตไอโซเทอร์มอล

ไม่ว่าอุณหภูมิภายในร่างกายจะเปลี่ยนแปลงไปอย่างไร อุณหภูมิของจุดบนพื้นผิวจะเป็นไปตามสมการ (2.15)

เส้นโค้งการกระจายอุณหภูมิในร่างกาย (รูปที่ 2.4) ที่ขอบเขตของร่างกายมีการกำหนด ที ส ซึ่งสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตลอดเวลา กรณีพิเศษเงื่อนไขเขตแดนแบบที่หนึ่งคือ ไอโซเทอร์มอลเงื่อนไขขอบเขตที่อุณหภูมิของพื้นผิวร่างกายคงที่ตลอดกระบวนการถ่ายเทความร้อนทั้งหมด:

T s = ค่าคงที่

ข้าว. 2.5 - เงื่อนไขของชนิดแรก

ในการจินตนาการถึงสภาวะของร่างกายดังกล่าว จำเป็นต้องสันนิษฐานว่าแหล่งความร้อนภายนอกอีกแหล่งหนึ่งที่สมมติขึ้นโดยมีเครื่องหมายลบ (สิ่งที่เรียกว่าแผ่นระบายความร้อน) ทำหน้าที่สมมาตรกับแหล่งความร้อนที่กระทำในร่างกาย นอกจากนี้ คุณสมบัติของฮีตซิงก์นี้ตรงกับคุณสมบัติของแหล่งความร้อนจริงทุกประการ และอธิบายการกระจายอุณหภูมิด้วยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ผลสะสมของแหล่งที่มาเหล่านี้จะนำไปสู่การสร้างอุณหภูมิคงที่บนพื้นผิวของร่างกายโดยเฉพาะกรณี T = 0 8C ในขณะที่ภายในร่างกาย อุณหภูมิของจุดจะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา

เงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่สอง

กำหนดความหนาแน่น การไหลของความร้อนบนพื้นผิวของร่างกายได้ตลอดเวลา กล่าวคือ

ตามกฎของฟูริเยร์ ความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนเป็นสัดส่วนโดยตรงกับการไล่ระดับอุณหภูมิ ดังนั้นสนามอุณหภูมิที่ขอบเขตมีการไล่ระดับสีที่กำหนด (รูปที่ B) ในกรณีเฉพาะค่าคงที่เมื่อ

กรณีพิเศษของเงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่สองคือเงื่อนไขขอบเขตอะเดียแบติกเมื่อฟลักซ์ความร้อนผ่านพื้นผิวของร่างกายเท่ากับศูนย์ (รูปที่ 2.6) เช่น

ข้าว. 2.6 - เงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่สอง

ในการคำนวณทางเทคนิค มักมีกรณีที่กระแสความร้อนจากพื้นผิวของร่างกายมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับฟลักซ์ภายในร่างกาย จากนั้นขอบเขตนี้สามารถใช้เป็นอะเดียแบติกได้ เมื่อทำการเชื่อม กรณีดังกล่าวสามารถแสดงโดยไดอะแกรมต่อไปนี้ (รูปที่ 2.7)

ข้าว. 2.7 - เงื่อนไขของประเภทที่สอง

ณ จุดนั้น โอ มีแหล่งความร้อน เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขที่ขอบเขตไม่ให้ความร้อนผ่านเข้าไป จำเป็นต้องวางแหล่งกำเนิดเดียวกันภายนอกร่างกายอย่างสมมาตรไปยังแหล่งกำเนิดนี้ ณ จุดนั้น เกี่ยวกับ 1 และการไหลของความร้อนจากมันพุ่งตรงไปยังการไหลของแหล่งหลัก พวกเขาถูกทำลายซึ่งกันและกันนั่นคือชายแดนไม่ให้ความร้อนผ่าน อย่างไรก็ตาม อุณหภูมิของขอบร่างกายจะสูงเป็นสองเท่าหากร่างกายนี้ไม่มีที่สิ้นสุด วิธีการชดเชยฟลักซ์ความร้อนนี้เรียกว่าวิธีการสะท้อน เนื่องจากในกรณีนี้ขอบเขตความร้อนแน่นถือได้ว่าเป็นขอบเขตที่สะท้อนฟลักซ์ความร้อนที่มาจากด้านโลหะ

เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่สาม

กำหนดอุณหภูมิของสิ่งแวดล้อมและกฎการถ่ายเทความร้อนระหว่างพื้นผิวของร่างกายกับสิ่งแวดล้อม รูปแบบที่ง่ายที่สุดของเงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่สามจะได้รับหากการถ่ายเทความร้อนที่ขอบเขตถูกกำหนดโดยสมการนิวตันซึ่งแสดงว่าความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนของการถ่ายเทความร้อนผ่านพื้นผิวขอบเขตเป็นสัดส่วนโดยตรงกับอุณหภูมิ ความแตกต่างระหว่างพื้นผิวขอบและสิ่งแวดล้อม

ความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนที่รั่วไปยังพื้นผิวขอบจากด้านข้างของร่างกาย ตามกฎฟูริเยร์ เป็นสัดส่วนโดยตรงกับการไล่ระดับอุณหภูมิบนพื้นผิวขอบเขต:

เท่ากับการไหลของความร้อนที่มาจากด้านข้างของร่างกายกับการไหลของการถ่ายเทความร้อน เราได้รับเงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่สาม:

,

แสดงว่าการไล่ระดับอุณหภูมิบนพื้นผิวขอบเขตเป็นสัดส่วนโดยตรงกับความแตกต่างของอุณหภูมิระหว่างพื้นผิวร่างกายกับสิ่งแวดล้อม เงื่อนไขนี้ต้องการให้เส้นสัมผัสเส้นโค้งการกระจายอุณหภูมิที่จุดขอบเขตผ่านจุดนำทาง โอโดยมีอุณหภูมิภายนอกร่างกายอยู่ห่างจากผิวขอบ (รูปที่ 2.8)

รูปที่ 2.8 - เงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่ 3

จากเงื่อนไขขอบเขตของชนิดที่ 3 เราจะได้เป็น กรณีพิเศษเงื่อนไขขอบเขตไอโซเทอร์มอล หากซึ่งเป็นกรณีที่มีค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อนสูงมากหรือค่าสัมประสิทธิ์การนำความร้อนต่ำมาก ดังนั้น:

และนั่นคือ อุณหภูมิพื้นผิวของร่างกายจะคงที่ตลอดกระบวนการแลกเปลี่ยนความร้อนและเท่ากับอุณหภูมิแวดล้อม

สมการการเคลื่อนที่หนึ่งสมการ (1.116) สำหรับ คำอธิบายทางคณิตศาสตร์กระบวนการทางกายภาพไม่เพียงพอ จำเป็นต้องกำหนดเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับคำจำกัดความที่ชัดเจนของกระบวนการ เมื่อพิจารณาถึงปัญหาการสั่นสะเทือนของเชือก เงื่อนไขเพิ่มเติมสามารถเป็นสองประเภท: เงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขต (ขอบเขต)

ให้เรากำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมสำหรับสตริงที่มีปลายตายตัว เนื่องจากจุดสิ้นสุดของสตริงความยาวได้รับการแก้ไข ค่าเบี่ยงเบนที่จุดและควรเป็นศูนย์สำหรับสิ่งใดสิ่งหนึ่ง:

เงื่อนไข (1.119) เรียกว่า เส้นเขตแดนเงื่อนไข; มันแสดงให้เห็นว่าเกิดอะไรขึ้นที่ปลายสายระหว่างกระบวนการสั่น

เห็นได้ชัดว่ากระบวนการสั่นสะเทือนจะขึ้นอยู่กับวิธีการดึงเชือกออกจากสมดุล จะสะดวกกว่าที่จะสมมติว่าสตริงเริ่มสั่นในช่วงเวลาหนึ่ง ในช่วงเวลาเริ่มต้น การกระจัดและความเร็วบางส่วนจะถูกส่งไปยังจุดทั้งหมดของสตริง:

,

, ,

(1.120)

โดยที่และเป็นฟังก์ชันที่กำหนด

เงื่อนไข (1.120) เรียกว่า อักษรย่อเงื่อนไข.

ดังนั้น ปัญหาทางกายภาพของการสั่นของเชือกจึงลดลงเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้: หาคำตอบของสมการ (1.116) (หรือ (1.117) หรือ (1.118)) ที่จะเป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขต (1.119) และเงื่อนไขเริ่มต้น (1.120) ปัญหานี้เรียกว่าปัญหาค่าขอบเขตผสม เนื่องจากมีเงื่อนไขขอบเขตและเงื่อนไขเริ่มต้น ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าภายใต้ข้อ จำกัด บางประการที่กำหนดไว้สำหรับฟังก์ชันและปัญหาแบบผสมมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร

ปรากฎว่านอกจากปัญหาการสั่นของเชือกแล้ว ปัญหาทางกายภาพอื่นๆ อีกมากก็ลดลงเป็นปัญหา (1.116), (1.119), (1.120): การสั่นสะเทือนตามยาวแท่งยางยืด, การสั่นแบบบิดของเพลา, การสั่นของของเหลวและก๊าซในท่อ ฯลฯ

นอกจาก เงื่อนไขขอบเขต(1.119) เงื่อนไขขอบเขตประเภทอื่น ๆ ที่เป็นไปได้ ที่พบมากที่สุดมีดังต่อไปนี้:

ผม. , ;

ครั้งที่สอง , ;

สาม. , ,

โดยที่ เป็นฟังก์ชันที่ทราบ และ เป็นที่ทราบค่าคงที่

เงื่อนไขขอบเขตข้างต้นเรียกว่าเงื่อนไขขอบเขตของชนิดที่หนึ่ง สอง และสาม ตามลำดับ เงื่อนไขที่ฉันใช้จะเกิดขึ้นหากส่วนปลายของวัตถุ (เชือก ไม้เรียว ฯลฯ) เคลื่อนที่ตามกฎหมายที่กำหนด เงื่อนไข II - ในกรณีที่ใช้แรงที่กำหนดกับปลาย เงื่อนไข III - ในกรณีของการยึดปลายยางยืด

หากฟังก์ชันทางด้านขวามือของความเท่าเทียมกันเท่ากับศูนย์ เงื่อนไขขอบเขตจะเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันดังนั้น เงื่อนไขขอบเขต (1.119) จึงเป็นเนื้อเดียวกัน

เมื่อรวมเงื่อนไขขอบเขตประเภทต่างๆ ที่ระบุไว้ข้างต้น เราได้รับปัญหาค่าขอบเขตที่ง่ายที่สุดหกประเภท

ปัญหาอื่นสามารถนำมาเป็นสมการได้ (1.116) ปล่อยให้เชือกยาวพอและเราสนใจการสั่นของจุดซึ่งอยู่ห่างจากปลายสายพอสมควรและเป็นระยะเวลาสั้น ๆ ในกรณีนี้ ระบอบการปกครองในตอนท้ายจะไม่มีผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญ ดังนั้นจึงไม่นำมาพิจารณา สตริงถือเป็นอนันต์ แทน เสร็จภาระกิจก่อให้เกิดปัญหาจำกัดกับเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับโดเมนที่ไม่มีขอบเขต: หาคำตอบของสมการ (1.116) สำหรับ at, ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น:

, .

พื้นที่ที่พิจารณาเป็นลำดับ

โดยปกติ สมการอนุพันธ์จะไม่ใช่คำตอบเดียว แต่มีคำตอบทั้งครอบครัว เงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขตทำให้สามารถเลือกเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งได้ ซึ่งสอดคล้องกับกระบวนการหรือปรากฏการณ์ทางกายภาพที่แท้จริง ในทฤษฎีสมการอนุพันธ์สามัญ ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกสิทธิ์สำหรับการแก้ปัญหาที่มีเงื่อนไขตั้งต้น (ปัญหาที่เรียกว่า Cauchy) ได้รับการพิสูจน์แล้ว สำหรับสมการอนุพันธ์ย่อยบางส่วน จะได้รับทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์บางประการสำหรับการแก้ปัญหาสำหรับคลาสของปัญหาค่าตั้งต้นและค่าขอบเขต

คำศัพท์

บางครั้งเงื่อนไขเริ่มต้นในปัญหาที่ไม่คงที่ เช่น การแก้สมการไฮเปอร์โบลิกหรือพาราโบลา ก็ถูกเรียกว่าเงื่อนไขขอบเขตเช่นกัน

สำหรับปัญหาคงที่ มีการแบ่งเงื่อนไขขอบเขตเป็น หลักและ เป็นธรรมชาติ.

เงื่อนไขหลักมักจะมีรูปแบบที่ขอบเขตของภูมิภาคอยู่ที่ไหน

สภาพธรรมชาติยังประกอบด้วยอนุพันธ์ของสารละลายตามแนวปกติถึงขอบเขต

ตัวอย่าง

สมการอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุในสนามโน้มถ่วง เป็นที่พอใจโดยฟังก์ชันกำลังสองของแบบฟอร์ม ซึ่งเป็นจำนวนโดยพลการ เพื่อเน้นกฎการเคลื่อนที่เฉพาะ จำเป็นต้องระบุพิกัดเริ่มต้นของร่างกายและความเร็ว นั่นคือ เงื่อนไขเริ่มต้น

ความถูกต้องของการกำหนดเงื่อนไขขอบเขต

งาน ฟิสิกส์คณิตศาสตร์อธิบายจริง กระบวนการทางกายภาพดังนั้นการตั้งค่าจะต้องเป็นไปตามข้อกำหนดตามธรรมชาติดังต่อไปนี้:

1. วิธีแก้ปัญหาควร มีอยู่ในคลาสของฟังก์ชันใด ๆ
2. การแก้ปัญหาต้องเป็น เพียงผู้เดียว, เพียงคนเดียวในคลาสของฟังก์ชันใด ๆ
3. วิธีแก้ปัญหาควร ขึ้นอยู่กับข้อมูลอย่างต่อเนื่อง(เงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขต การสกัดกั้น สัมประสิทธิ์ ฯลฯ)

ข้อกำหนดสำหรับการพึ่งพาอาศัยกันอย่างต่อเนื่องของการแก้ปัญหานั้นเกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าข้อมูลทางกายภาพตามกฎนั้นถูกกำหนดจากการทดลองโดยประมาณ ดังนั้นจึงต้องแน่ใจว่าแนวทางแก้ไขปัญหาภายในกรอบการทำงานที่เลือก แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะไม่ขึ้นอยู่กับข้อผิดพลาดในการวัดอย่างมีนัยสำคัญ ในทางคณิตศาสตร์ ข้อกำหนดนี้สามารถเขียนได้ ตัวอย่างเช่น (เพื่อความเป็นอิสระจากการสกัดกั้น):

ให้สมการอนุพันธ์สองสมการ: ด้วยตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียลเดียวกันและเงื่อนไขขอบเขตเดียวกัน คำตอบของสมการจะขึ้นอยู่กับพจน์ว่างอย่างต่อเนื่องหาก:

ชุดของฟังก์ชันที่เป็นไปตามข้อกำหนดที่ระบุไว้จะเรียกว่า ระดับความถูกต้อง... การกำหนดเงื่อนไขขอบเขตที่ไม่ถูกต้องนั้นแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนจากตัวอย่างของ Hadamard

ดูสิ่งนี้ด้วย

• เงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่ 1 (ปัญหา Dirichlet)
• เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่สอง (ปัญหานอยมันน์)
• เงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่ 3 (ปัญหาของโรบิน), en: เงื่อนไขขอบเขตของโรบิน
• สภาวะสัมผัสทางความร้อนที่สมบูรณ์แบบ

วรรณกรรม

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010.

ดูว่า "เงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขต" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ เงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขตเป็นส่วนเพิ่มเติมของสมการอนุพันธ์พื้นฐาน (อนุพันธ์สามัญหรืออนุพันธ์ย่อยบางส่วน) ซึ่งระบุพฤติกรรมของมันในช่วงเวลาเริ่มต้นหรือที่ขอบเขตของการพิจารณา ... ... วิกิพีเดีย

ปัญหานอยมันน์ในสมการเชิงอนุพันธ์คือปัญหาค่าขอบเขตที่กำหนดเงื่อนไขขอบเขตสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ต้องการบนขอบเขตของโดเมน ซึ่งเรียกว่าเงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่สอง ตามประเภทของพื้นที่ปัญหาของนอยมันน์สามารถแบ่งออกเป็นสอง ... Wikipedia

เงื่อนไขชายแดน- สภาพร่างกายที่เป็นทางการที่ขอบเขตของเขตการเปลี่ยนรูปหรือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้สามารถหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับปัญหาการบำบัดด้วยแรงดันได้ เงื่อนไขขอบเขตแบ่งออกเป็น ...

ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ เงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขตเป็นส่วนเพิ่มเติมของสมการอนุพันธ์พื้นฐาน (อนุพันธ์สามัญหรืออนุพันธ์ย่อยบางส่วน) ซึ่งระบุพฤติกรรมของมันในช่วงเวลาเริ่มต้นหรือที่ขอบเขตของการพิจารณา ... ... วิกิพีเดีย

เงื่อนไขเบื้องต้น- คำอธิบายสภาพร่างกายก่อนการเสียรูป โดยปกติในช่วงเวลาเริ่มต้นออยเลอร์พิกัดของจุด xi0 ของพื้นผิวร่างกาย, ความเครียด, ความเร็ว, ความหนาแน่น, อุณหภูมิ ณ จุดใด ๆ M ของร่างกายจะได้รับ พื้นที่ดิยา ... ... พจนานุกรมสารานุกรมสำหรับโลหะวิทยา

จับเงื่อนไข- อัตราส่วนที่แน่นอนระหว่างการกลิ้ง, การเชื่อมโยงมุมของการจับและค่าสัมประสิทธิ์หรือมุมของแรงเสียดทาน, ซึ่งการยึดหลักของโลหะโดยการม้วนและการเติมโซนการเปลี่ยนรูปจะมั่นใจได้; ดูเพิ่มเติม: สภาพการทำงาน ... พจนานุกรมสารานุกรมของโลหะวิทยา

เงื่อนไข-: ดูเพิ่มเติม: สภาพการทำงาน เงื่อนไขสมดุลส่วนต่าง เงื่อนไขทางเทคนิค (TC) เงื่อนไขเริ่มต้น ... พจนานุกรมสารานุกรมของโลหะวิทยา

สภาพการทำงาน- ชุดคุณสมบัติด้านสุขอนามัยและสุขอนามัย สภาพแวดล้อมภายนอก(อุณหภูมิและความชื้นของอากาศ ฝุ่นละออง เสียง ฯลฯ ) ซึ่งดำเนินการตามกระบวนการทางเทคโนโลยี ควบคุมในรัสเซียโดยแรงงาน ... ... พจนานุกรมสารานุกรมของโลหะวิทยา

ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ เงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขตเป็นส่วนเพิ่มเติมของสมการอนุพันธ์พื้นฐาน (อนุพันธ์สามัญหรืออนุพันธ์ย่อยบางส่วน) ซึ่งระบุพฤติกรรมของมันในช่วงเวลาเริ่มต้นหรือที่ขอบเขตของการพิจารณา ... ... วิกิพีเดีย

หนังสือ

• วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาผกผันในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ Samarskiy AA .. ในหลักสูตรดั้งเดิมเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาทางฟิสิกส์คณิตศาสตร์จะพิจารณาปัญหาโดยตรง ในกรณีนี้ การแก้ปัญหาจะพิจารณาจากสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ซึ่งเสริมด้วย ...

เงื่อนไขเบื้องต้น

สำหรับความเป็นไปได้ในการนับการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิที่จุดต่างๆ ของร่างกายในทิศทางเดียวหรืออีกจุดหนึ่งในเวลาต่อมา จะต้องตั้งค่าสถานะความร้อนเริ่มต้นสำหรับแต่ละจุดของร่างกาย กล่าวอีกนัยหนึ่งต่อเนื่องหรือ การทำงานไม่ต่อเนื่องพิกัด T0 (x, y, z) ซึ่งอธิบายสถานะอุณหภูมิอย่างสมบูรณ์ ณ จุดทุกจุดของร่างกายในเวลาเริ่มต้น t = 0 และฟังก์ชันที่ต้องการ T (x, y, z, t) ซึ่งเป็นวิธีแก้ สมการอนุพันธ์ (1.8) ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขตั้งต้น

T (x, y, z, 0i = o = T0 (x, y, z). (1.11)

เงื่อนไขชายแดน

ตัวนำความร้อนสามารถอยู่ในสภาวะต่างๆ ของการระบายความร้อนจากภายนอกผ่านพื้นผิวของมัน ดังนั้น จากคำตอบทั้งหมดของสมการอนุพันธ์ (1.8) เราต้องเลือกคำตอบที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดบนพื้นผิว S นั่นคือ เงื่อนไขขอบเขตเฉพาะที่กำหนด มีการใช้รูปแบบข้อกำหนดทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไขขอบเขตดังต่อไปนี้

1. อุณหภูมิที่จุดแต่ละจุดของผิวกายสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตลอดเวลาตามกฎที่กำหนด กล่าวคือ อุณหภูมิพื้นผิวร่างกายจะแสดงฟังก์ชันพิกัดและเวลา Ts (x, y, z, i) ที่ต่อเนื่อง (หรือไม่ต่อเนื่อง) ). ในกรณีนี้ ฟังก์ชันที่ต้องการ T (x, y, z, t) ซึ่งเป็นคำตอบของสมการ (1.8) ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขต

T (x, y, z, 0 คือ = Ts (x, y, z, i) (1.12)

ในกรณีที่ง่ายที่สุด อุณหภูมิบนพื้นผิวของร่างกาย 7 (x, y, z, t) อาจเป็นฟังก์ชันของเวลาเป็นระยะหรือคงที่ก็ได้

2. การไหลของความร้อนผ่านพื้นผิวของร่างกายเรียกว่าฟังก์ชันต่อเนื่อง (หรือไม่ต่อเนื่อง) ของพิกัดของจุดพื้นผิวและเวลา qs (x, y, z, I) จากนั้นฟังก์ชัน T (x, y, z, I) ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขต:

X grad T (x, y, z, 0U = Qs (*. Y> z> 0- (1 -13)

3. ให้อุณหภูมิแวดล้อม Ta และกฎการถ่ายเทความร้อนระหว่างสิ่งแวดล้อมกับพื้นผิวของร่างกาย ซึ่งเพื่อความง่ายคือกฎของนิวตัน ตามกฎหมายนี้ ปริมาณความร้อน dQ ที่จ่ายออกไป

ในเวลา dt โดยองค์ประกอบพื้นผิว dS พร้อมอุณหภูมิ

Ts (x, y, z, t) สู่สิ่งแวดล้อมถูกกำหนดโดยสูตร

dQ = k (Ts - Ta) dS dt, (1.14)

โดยที่ k คือสัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อนเป็น cal / cm2 - วินาที- ° C ในทางกลับกัน ตามสูตร (1.6) ปริมาณความร้อนที่เท่ากันจะถูกส่งไปยังองค์ประกอบพื้นผิวจากด้านในและถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน

dQ = - x (grad "7") s dS dt. (1.15)

เท่ากับ (1.14) และ (1.15) เราพบว่าฟังก์ชันที่ต้องการ T (x, y, z, t) ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขต

(gradnr) s = - ± - (Ts-Ta). (1.16)

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น เมื่อเชื่อมต่อสองส่วนของโครงสร้างในการติดตั้ง เงื่อนไขในการเชื่อมจะยากที่สุด เป็นไปไม่ได้อย่างยิ่งที่จะเชื่อมส่วนทั้งหมดพร้อมกันดังนั้นหลังจากใช้ตะเข็บบางส่วน ...

หากการเสียรูปทั่วไปของโครงสร้างที่เชื่อมได้รับอิทธิพลอย่างมากจากลำดับของการวางตะเข็บแต่ละส่วน วิธีการดำเนินการแต่ละรอยต่อจะมีผลอย่างมากต่อการเปลี่ยนรูปในท้องถิ่นและการเสียรูปจากระนาบของแผ่นที่เชื่อม ...

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น เมื่อเชื่อมส่วนและโครงสร้างคอมโพสิตที่ซับซ้อน ลักษณะของการเสียรูปที่เกิดขึ้นจะขึ้นอยู่กับลำดับของตะเข็บ ดังนั้นหนึ่งในวิธีการหลักในการจัดการกับการเสียรูปในการผลิตโครงสร้างเชื่อม ...