การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นของระบบลายู ระบบสมการเชิงเส้น §8 ช่องว่างเวกเตอร์

สองระบบ สมการเชิงเส้นจากหนึ่งชุด x 1 ,..., xn ไม่ทราบ และตามลำดับ จากสมการ m และ p

พวกเขาจะเรียกว่าเทียบเท่าถ้าโซลูชันของพวกเขาตั้งค่าและตรงกัน (นั่นคือเซตย่อยและใน K n ตรงกัน ) ซึ่งหมายความว่า: ไม่ว่าจะเป็นเซตย่อยที่ว่างเปล่าพร้อมกัน (เช่น ทั้งระบบ (I) และ (II) ไม่สอดคล้องกัน) หรือไม่ว่างพร้อมกัน และ (นั่นคือ ทุกวิธีแก้ปัญหาของระบบ I คือคำตอบของระบบ II และทุกระบบโซลูชัน II คือโซลูชันของระบบ I)

ตัวอย่างที่ 3.2.1.

วิธีเกาส์

แผนสำหรับอัลกอริทึมที่ Gauss เสนอนั้นค่อนข้างง่าย:

1. ใช้การแปลงตามลำดับกับระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนชุดของคำตอบ (ดังนั้นเราจึงรักษาชุดของคำตอบของระบบดั้งเดิม) และไปที่ระบบที่เทียบเท่าซึ่งมี "รูปแบบง่าย ๆ" (ขั้นตอนที่เรียกว่าขั้นตอน รูปร่าง);
2. สำหรับ " ประเภทเรียบง่าย" ระบบ (พร้อมเมทริกซ์ขั้นตอน) อธิบายชุดโซลูชันที่สอดคล้องกับชุดโซลูชันของระบบเดิม

โปรดทราบว่าวิธีการที่คล้ายกัน “ฟานเฉิน” เป็นที่รู้จักในคณิตศาสตร์จีนโบราณอยู่แล้ว

การแปลงระบบสมการเชิงเส้นเบื้องต้น (แถวของเมทริกซ์)

คำจำกัดความ 3.4.1 (การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นประเภท 1)- เมื่อบวกสมการ i-th ของระบบเข้ากับสมการ k-th แล้ว ให้คูณด้วยตัวเลข (สัญลักษณ์: (i)"=(i)+c(k) กล่าวคือ มีสมการ i-th เพียงตัวเดียวเท่านั้น (i) จะถูกแทนที่ด้วยสมการใหม่ (i)"=(i)+c(k) ) สมการ I ใหม่มีรูปแบบ (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a ใน +ca kn)x n =b i +cb kหรือเรียกสั้นๆ ว่า

นั่นคือในสมการ i-th ใหม่ a ij "=a ij +ca kj , b i "=b ฉัน +cb k.

คำจำกัดความ 3.4.2 (การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นประเภท 2)- เมื่อสลับสมการ i -th และ k -th สมการที่เหลือจะไม่เปลี่ยนแปลง (สัญลักษณ์: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; สำหรับสัมประสิทธิ์จะหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: สำหรับ j= 1,.. .,น

หมายเหตุ 3.4.3- เพื่อความสะดวกในการคำนวณเฉพาะคุณสามารถใช้การแปลงเบื้องต้นของประเภทที่ 3: สมการที่ i คูณด้วยตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ , (i)"=ค(ฉัน) .

ข้อเสนอที่ 3.4.4- หากเราย้ายจากระบบ I ไปยังระบบ II โดยใช้การแปลงเบื้องต้นของประเภทที่ 1 และ 2 ในจำนวนจำกัด จากนั้นจากระบบ II เราก็สามารถกลับสู่ระบบ I ได้เช่นกัน โดยใช้การแปลงเบื้องต้นของประเภทที่ 1 และ 2

การพิสูจน์.

หมายเหตุ 3.4.5- ข้อความนี้เป็นจริงเช่นกันโดยรวมการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นของประเภทที่ 3 ไว้ในจำนวนการแปลงเบื้องต้น ถ้า และ (i)"=c(i) แล้ว และ (i)=c -1 (i)" .

ทฤษฎีบท 3.4.6.หลังจาก การประยุกต์ใช้ที่สอดคล้องกันการแปลงเบื้องต้นจำนวนจำกัดประเภทที่ 1 หรือ 2 เป็นระบบสมการเชิงเส้นทำให้เกิดระบบสมการเชิงเส้นที่เทียบเท่ากับระบบสมการดั้งเดิม

การพิสูจน์. โปรดทราบว่าการพิจารณากรณีการเปลี่ยนจากระบบ I ไปเป็นระบบ II ก็เพียงพอแล้วโดยใช้การแปลงเบื้องต้นเพียงครั้งเดียว และพิสูจน์การรวมชุดของการแก้ปัญหา (เนื่องจากโดยอาศัยข้อเสนอที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว จากระบบ II เราสามารถกลับสู่ระบบ I ได้ และด้วยเหตุนี้ เราจะมีการบูรณาการ กล่าวคือ จะได้รับการพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน)

อนุญาต – ระบบเวกเตอร์ m จาก . การแปลงเบื้องต้นของระบบเวกเตอร์ เป็น

1. - การเพิ่มเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่ง (เวกเตอร์) เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ตัวอื่น

2. - การคูณเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่ง (เวกเตอร์) ด้วยตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์

3. การจัดเรียงเวกเตอร์สองตัว () ใหม่ในตำแหน่ง ระบบของเวกเตอร์จะถูกเรียกว่าเทียบเท่า (การกำหนด) หากมีสายโซ่ของการแปลงเบื้องต้นที่แปลงระบบแรกเป็นระบบที่สอง

ให้เราสังเกตคุณสมบัติของแนวคิดที่แนะนำเกี่ยวกับความเท่าเทียมของเวกเตอร์

(สะท้อนแสง)

เป็นไปตามนั้น (สมมาตร)

ถ้า และ แล้ว (สกรรมกริยา) ทฤษฎีบท.ถ้าระบบเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น และเทียบเท่ากับระบบนั้น ระบบก็จะเป็นอิสระเชิงเส้น การพิสูจน์.แน่นอนว่า มันก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทของระบบที่ได้จากการใช้การแปลงเบื้องต้นเพียงครั้งเดียว ให้เราถือว่าระบบเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น แล้วมันเป็นไปตามนั้น. ให้ระบบได้มาจากการใช้การแปลงเบื้องต้นเพียงครั้งเดียว แน่นอนว่าการจัดเรียงเวกเตอร์ใหม่หรือการคูณเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งด้วยจำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์จะไม่เปลี่ยนความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ ตอนนี้ให้เราสมมติว่าระบบของเวกเตอร์ได้มาจากระบบโดยการเพิ่มผลรวมเชิงเส้นของส่วนที่เหลือให้กับเวกเตอร์ มีความจำเป็นต้องพิสูจน์ว่า (1) ตามนั้น เนื่องจาก จากนั้นจาก (1) เราได้รับ . (2)

เพราะ ระบบมีความเป็นอิสระเชิงเส้น จากนั้นจาก (2) จะเป็นไปตามนั้นสำหรับทั้งหมด

จากที่นี่เราได้รับ Q.E.D.

57. เมทริกซ์ การบวกเมทริกซ์ การคูณเมทริกซ์ด้วยสเกลาร์ของเมทริกซ์ในรูปปริภูมิเวกเตอร์ มิติของเมทริกซ์

ประเภทเมทริกซ์: สี่เหลี่ยมจัตุรัส

การบวกเมทริกซ์

คุณสมบัติของการบวกเมทริกซ์:

1. การเปลี่ยนแปลง: A+B = B+A;

การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข

การคูณเมทริกซ์ A ด้วยตัวเลข ¥ (การกำหนด: ¥A) ประกอบด้วยการสร้างเมทริกซ์ B ซึ่งองค์ประกอบจะได้รับจากการคูณแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ A ด้วยจำนวนนี้ นั่นคือแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ B เท่ากับ: Bij= ¥ไอจ

คุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข:

2. (γβ)A = แล(βA)

3. (แลม+β)A = แลม + βA

4. แลมบ์(A+B) = แลมบ์ดา + แลมบ์

เวกเตอร์แถวและเวกเตอร์คอลัมน์

เมทริกซ์ขนาด m x 1 และ 1 xn เป็นองค์ประกอบของช่องว่าง K^n และ K^m ตามลำดับ:

เมทริกซ์ขนาด m x1 เรียกว่าเวกเตอร์คอลัมน์และมีสัญลักษณ์พิเศษ:

เมทริกซ์ขนาด 1 xn เรียกว่าเวกเตอร์แถวและมีสัญลักษณ์พิเศษ:

58. เมทริกซ์ การบวกและการคูณเมทริกซ์ เมทริกซ์เป็นวงแหวน คุณสมบัติของวงแหวนเมทริกซ์.

เมทริกซ์คือตารางตัวเลขสี่เหลี่ยมที่ประกอบด้วยแถวที่มีความยาวเท่ากัน m หรือแฟลชที่มีความยาวเท่ากัน n อัน

aij เป็นองค์ประกอบเมทริกซ์ที่อยู่ในแถวที่ i และคอลัมน์ที่ j

ประเภทเมทริกซ์: สี่เหลี่ยมจัตุรัส

เมทริกซ์จตุรัสคือเมทริกซ์ที่มีจำนวนคอลัมน์และแถวเท่ากัน

การบวกเมทริกซ์

การบวกเมทริกซ์ A + B คือการดำเนินการค้นหาเมทริกซ์ C ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมคู่ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันทั้งหมดของเมทริกซ์ A และ B นั่นคือแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์จะเท่ากับ Cij = ไอจ+บีจ

คุณสมบัติของการบวกเมทริกซ์:

1. การเปลี่ยนแปลง: A+B = B+A;

2.การเชื่อมโยง: (A+B)+C =A+(B+C);

3. การบวกด้วยเมทริกซ์ศูนย์: A + Θ = A;

4. การมีอยู่ของเมทริกซ์ตรงข้าม: A + (-A) = Θ;

คุณสมบัติทั้งหมดของการดำเนินการเชิงเส้นจะทำซ้ำสัจพจน์ของปริภูมิเชิงเส้น ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงใช้ได้:

เซตของเมทริกซ์ทั้งหมดที่มีขนาดเท่ากัน mxn โดยมีองค์ประกอบจากสนาม P (สนามของจำนวนจริงหรือทั้งหมดทั้งหมด) จำนวนเชิงซ้อน) สร้างปริภูมิเชิงเส้นเหนือฟิลด์ P (แต่ละเมทริกซ์ดังกล่าวเป็นเวกเตอร์ของปริภูมินี้)

การคูณเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์ (การกำหนด: AB น้อยกว่าด้วยเครื่องหมายคูณ A x B) คือการดำเนินการของการคำนวณเมทริกซ์ C ซึ่งแต่ละองค์ประกอบจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบในแถวที่สอดคล้องกันของปัจจัยแรกและคอลัมน์ของ ที่สอง

จำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์ A ต้องตรงกับจำนวนแถวในเมทริกซ์ B หรืออีกนัยหนึ่ง เมทริกซ์ A จะต้องสอดคล้องกับเมทริกซ์ B หากเมทริกซ์ A มีขนาด m x n, B - n x k ดังนั้นมิติของผลิตภัณฑ์ AB=C คือ mxk

คุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์:

1.ความสัมพันธ์ (AB)C = A(BC);

2. การไม่สับเปลี่ยน (ในกรณีทั่วไป): AB BA;

3. ผลคูณเป็นการสับเปลี่ยนในกรณีของการคูณด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์: AI = IA;

4.การกระจายตัว: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5.ความสัมพันธ์และการสับเปลี่ยนกับการคูณด้วยตัวเลข: (แลมบ์ดา)B = แลม(AB) = A(แลมบ์);

59.*เมทริกซ์ผกผัน การแปลงเบื้องต้นของแถวเมทริกซ์ที่เป็นเอกพจน์และไม่เป็นเอกพจน์ เมทริกซ์เบื้องต้น การคูณด้วยเมทริกซ์เบื้องต้น

เมทริกซ์ผกผัน - เมทริกซ์ดังกล่าว เอ−1เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์เดิม กผลลัพธ์ที่ได้คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ อี:

การแปลงสตริงเบื้องต้นถูกเรียกว่า:

กำหนดไว้เช่นเดียวกัน การแปลงคอลัมน์เบื้องต้น.

การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น ย้อนกลับได้.

สัญกรณ์ระบุว่าเมทริกซ์สามารถได้รับจากการแปลงเบื้องต้น (หรือกลับกัน)

§7 ระบบสมการเชิงเส้น

ระบบที่เท่าเทียมกัน การแปลงเบื้องต้นของระบบสมการเชิงเส้น

อนุญาต กับ– สนามจำนวนเชิงซ้อน สมการของแบบฟอร์ม

ที่ไหน
เรียกว่าสมการเชิงเส้นด้วย nไม่ทราบ
- สั่งชุด
,
เรียกว่าการแก้สมการ (1) ถ้า

ระบบ มสมการเชิงเส้นด้วย nไม่ทราบคือระบบสมการในรูปแบบ:

- ค่าสัมประสิทธิ์ของระบบสมการเชิงเส้น - สมาชิกฟรี

โต๊ะสี่เหลี่ยม

,

เรียกว่าเมทริกซ์ขนาด
- ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้: - ฉัน- แถวที่ 2 ของเมทริกซ์
- เค- คอลัมน์ที่ 3 ของเมทริกซ์ เมทริกซ์ กกำหนดด้วย
หรือ
.

การแปลงแถวเมทริกซ์ต่อไปนี้ กเรียกว่าประถม:
) ข้อยกเว้นแถวว่าง; ) คูณองค์ประกอบทั้งหมดของสตริงด้วยตัวเลข
; ) บวกกับสตริงอื่นๆ คูณด้วย
- การแปลงคอลัมน์เมทริกซ์ที่คล้ายกัน กเรียกว่าการแปลงเมทริกซ์เบื้องต้น ก.

องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวแรก (นับจากซ้ายไปขวา) ของแถวใดๆ ของเมทริกซ์ กเรียกว่าเป็นธาตุนำหน้าของเส้นนั้น

คำนิยาม- เมทริกซ์
เรียกว่าเป็นขั้นตอนหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1) แถวศูนย์ของเมทริกซ์ (ถ้ามี) อยู่ต่ำกว่าแถวที่ไม่ใช่ศูนย์

2) ถ้า
องค์ประกอบนำหน้าของแถวเมทริกซ์แล้ว

เมทริกซ์ A ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ สามารถถูกรีดิวซ์เป็นเมทริกซ์ระดับชั้นได้โดยใช้การแปลงเบื้องต้นแบบแถว

ตัวอย่าง- มานำเสนอเมทริกซ์กัน
ไปที่เมทริกซ์ขั้นตอน:
~
~
.

เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของระบบ สมการเชิงเส้น (2) เรียกว่าเมทริกซ์หลักของระบบ เมทริกซ์
ที่ได้จากการเพิ่มคอลัมน์ของพจน์อิสระเรียกว่าเมทริกซ์ขยายของระบบ

เซตที่ได้รับลำดับจะเรียกว่าคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น (2) หากเป็นคำตอบของสมการเชิงเส้นทุกตัวของระบบนี้

ระบบสมการเชิงเส้นเรียกว่าสอดคล้องกันถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ และไม่สอดคล้องกันหากไม่มีคำตอบ

ระบบสมการเชิงเส้นเรียกว่าระบบแน่นอนหากมีคำตอบเดียว และเรียกว่าระบบไม่แน่นอนหากมีมากกว่าหนึ่งคำตอบ

การแปลงระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้เรียกว่าระดับประถมศึกษา:

) แยกออกจากระบบสมการรูปแบบ;

) คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย
,
;

) บวกสมการอื่นๆ เข้ากับสมการใดๆ คูณด้วย,

ระบบสมการเชิงเส้นสองระบบจาก nสิ่งที่ไม่รู้จักจะถูกเรียกว่าเทียบเท่าหากเข้ากันไม่ได้หรือชุดวิธีแก้ปัญหาตรงกัน

ทฤษฎีบท- หากระบบสมการเชิงเส้นระบบหนึ่งได้รับจากอีกระบบหนึ่งผ่านการแปลงเบื้องต้น เช่น ) ) ระบบนั้นจะเทียบเท่ากับระบบดั้งเดิม

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ (วิธีเกาส์)

ให้ระบบได้รับ มสมการเชิงเส้นด้วย nไม่ทราบ:

ถ้าระบบ (1) มีสมการของแบบฟอร์ม

แล้วระบบนี้เข้ากันไม่ได้

สมมติว่าระบบ (1) ไม่มีสมการในรูปแบบ (2) ให้ในระบบ (1) ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x 1 ในสมการแรก
(หากไม่เป็นเช่นนั้น โดยการจัดเรียงสมการใหม่ เราก็จะได้สิ่งนั้น เนื่องจากไม่ใช่ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดสำหรับ x 1 เท่ากับศูนย์) ให้เราใช้ห่วงโซ่ของการแปลงเบื้องต้นต่อไปนี้กับระบบสมการเชิงเส้น (1):

, เพิ่มเข้าไปในสมการที่สอง;

สมการแรกคูณด้วย
, เพิ่มเข้าไปในสมการที่สามเป็นต้น;

สมการแรกคูณด้วย
ให้บวกเข้ากับสมการสุดท้ายของระบบ

เป็นผลให้เราได้รับระบบสมการเชิงเส้น (ต่อไปนี้เราจะใช้ตัวย่อ CLU สำหรับระบบสมการเชิงเส้น) เทียบเท่ากับระบบ (1) อาจกลายเป็นว่าในระบบผลลัพธ์ไม่ใช่สมการเดียวกับตัวเลข ฉัน, ฉัน 2, ไม่มีสิ่งที่ไม่รู้จัก x 2. อนุญาต เคนี่คือน้อยที่สุด จำนวนธรรมชาตินั่นไม่เป็นที่รู้จัก x เคมีอยู่ในสมการที่มีจำนวนอย่างน้อยหนึ่งสมการ ฉัน, ฉัน 2. จากนั้นระบบสมการผลลัพธ์จะมีรูปแบบ:

ระบบ (3) เทียบเท่ากับระบบ (1) ให้เรานำไปใช้กับระบบย่อยตอนนี้
ระบบสมการเชิงเส้น (3) การใช้เหตุผลที่ใช้กับ SLE (1) และอื่นๆ จากกระบวนการนี้ เราจึงได้ผลลัพธ์หนึ่งในสองประการ

1. ให้เราได้รับ SLE ที่มีสมการของแบบฟอร์ม (2) ในกรณีนี้ SLU (1) ไม่สอดคล้องกัน

2. การแปลงเบื้องต้นที่ใช้กับ SLE (1) ไม่ได้นำไปสู่ระบบที่มีสมการในรูปแบบ (2) ในกรณีนี้ SLE (1) โดยการแปลงเบื้องต้น
ลดลงมาเป็นระบบสมการในรูปแบบ:

(4)

ที่ไหน 1< เค < ล < . . .< ส,

ระบบสมการเชิงเส้นในรูปแบบ (4) เรียกว่าแบบขั้นตอน เป็นไปได้สองกรณีต่อไปนี้ที่นี่

ก) ร= nจากนั้นระบบ (4) จะมีรูปแบบ

(5)

ระบบ (5) มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร ดังนั้นระบบ (1) จึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะเช่นกัน

ข) ร< n- ในกรณีนี้คือสิ่งไม่รู้
ในระบบ (4) เรียกว่าสิ่งไม่รู้หลัก และสิ่งไม่รู้ที่เหลือในระบบนี้เรียกว่าฟรี (จำนวนเท่ากับ n- ร- ให้เรากำหนดค่าตัวเลขตามอำเภอใจให้กับค่าที่ไม่รู้จักฟรี จากนั้น SLE (4) จะมีรูปแบบเดียวกับระบบ (5) จากนั้น สิ่งแปลกปลอมหลักๆ จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน ดังนั้นระบบจึงมีทางแก้ไขคือมีความสม่ำเสมอ เนื่องจากไม่ทราบค่าฟรีได้รับค่าตัวเลขตามอำเภอใจ กับดังนั้นระบบ (4) จึงไม่แน่นอน ดังนั้นระบบ (1) จึงไม่แน่นอนเช่นกัน ด้วยการแสดงสิ่งที่ไม่ทราบหลักใน SLE (4) ในรูปของสิ่งที่ไม่ทราบฟรี เราจะได้ระบบที่เรียกว่าวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ (1)

ตัวอย่าง- แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการ ชออสซา

ลองเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบสมการเชิงเส้น และใช้การแปลงแบบแถวต่อแถวเบื้องต้น ลดขนาดให้เป็นเมทริกซ์ขั้น:

~

~
~
~

- เมื่อใช้เมทริกซ์ผลลัพธ์เราจะคืนค่าระบบสมการเชิงเส้น:
ระบบนี้เทียบเท่ากับระบบเดิม ให้เราถือว่าเป็นสิ่งไม่รู้หลัก
ไม่รู้จักฟรี ให้เราแสดงสิ่งแปลกปลอมหลักเฉพาะในแง่ของสิ่งแปลกปลอมฟรี:

ได้รับ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสหล. ให้แล้ว

(5, 0, -5, 0, 1) – โซลูชันเฉพาะของ SNL

งานสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ

1. ค้นหาคำตอบทั่วไปและคำตอบเฉพาะเจาะจงสำหรับระบบสมการโดยกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบ:

1)
2)

4)
6)

2. ค้นหาได้ที่ ความหมายที่แตกต่างกันพารามิเตอร์ กคำตอบทั่วไปของระบบสมการ:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§8 ช่องว่างเวกเตอร์

แนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์ คุณสมบัติที่ง่ายที่สุด

อนุญาต วี ≠ Ø, ( เอฟ, +,∙) – สนาม เราจะเรียกองค์ประกอบของสเกลาร์สนาม

แสดง φ : เอฟ× วี –> วีเรียกว่าการดำเนินการคูณองค์ประกอบของเซต วีเพื่อสเกลาร์จากสนาม เอฟ- มาแสดงกันเถอะ φ (แล,ก) ผ่าน แลผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบ กเพื่อสเกลาร์ λ .

คำนิยาม.มากมาย วีด้วยการดำเนินการทางพีชคณิตที่กำหนดในการเพิ่มองค์ประกอบของเซต วีและการคูณองค์ประกอบเซต วีเพื่อสเกลาร์จากสนาม เอฟเรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์เหนือสนาม F หากสัจพจน์ต่อไปนี้ยังคงอยู่:

ตัวอย่าง. อนุญาต เอฟสนาม, เอฟ n = {(ก 1 , ก 2 , … ,ก n) | ก ฉัน เอฟ (ฉัน- แต่ละองค์ประกอบของชุด เอฟ nเรียกว่า n-เวกเตอร์เลขคณิตมิติ ให้เราแนะนำการดำเนินการบวก nเวกเตอร์มิติและการคูณ n-มิติเวกเตอร์ลงบนสเกลาร์จากสนาม เอฟ- อนุญาต
. เอาล่ะ = ( ก 1 + ข 1 , … , ก n + ข n), = (λ ก 1 , เล ก 2 , … , เล ก n- มากมาย เอฟ n ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการที่แนะนำคือปริภูมิเวกเตอร์ และมันถูกเรียกว่า n-ปริภูมิเวกเตอร์เลขคณิตเหนือสนาม เอฟ.

อนุญาต วี- สเปซเวกเตอร์เหนือสนาม เอฟ, ,
- คุณสมบัติต่อไปนี้เกิดขึ้น:

1)
;

3)
;

4)
;

หลักฐานแสดงทรัพย์สิน 3.

จากความเท่าเทียมกันตามกฎการลดหย่อนในกลุ่ม ( วี,+) เรามี
.

การพึ่งพาเชิงเส้น ความเป็นอิสระของระบบเวกเตอร์

อนุญาต วี– สเปซเวกเตอร์เหนือสนาม เอฟ,

- เวกเตอร์นี้เรียกว่า การรวมกันเชิงเส้นระบบเวกเตอร์
- เซตของผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดของระบบเวกเตอร์เรียกว่าสแปนเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์นี้ และเขียนแทนด้วย

คำนิยาม.ระบบของเวกเตอร์เรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีสเกลาร์ดังกล่าวอยู่
ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมดนั่น

หากความเท่าเทียมกัน (1) เป็นที่พอใจก็ต่อเมื่อเท่านั้น λ 1 = λ 2 = … = =λ ม=0 ดังนั้นระบบเวกเตอร์จึงเรียกว่าอิสระเชิงเส้น

ตัวอย่าง.ค้นหาว่าระบบเวกเตอร์เป็นอย่างไร = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) ปริภูมิ R 3 ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหรือเป็นอิสระ

สารละลาย.ให้ แล 1, แล 2, แล 3
และ

 |=> (0,0,0) – คำตอบของระบบ ดังนั้น ระบบเวกเตอร์จึงมีความเป็นอิสระเชิงเส้น

คุณสมบัติของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของระบบเวกเตอร์

1. ระบบเวกเตอร์ที่มีเวกเตอร์ศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัวจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

2. ระบบของเวกเตอร์ที่มีระบบย่อยที่ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นนั้นจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

3. ระบบเวกเตอร์ โดยที่
จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงก็ต่อเมื่อเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวของระบบนี้แตกต่างจากเวกเตอร์คือผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่อยู่ข้างหน้า

4. ถ้าระบบเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น และระบบเวกเตอร์
ขึ้นต่อเชิงเส้นแล้วเวกเตอร์ สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ และยิ่งไปกว่านั้น ด้วยวิธีที่ไม่เหมือนใคร

การพิสูจน์.เนื่องจากระบบของเวกเตอร์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง
ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมดนั่น

ในความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ (2) λ ม+1 ≠ 0 สมมุติว่า λ ม+1 =0 จากนั้นจาก (2) => มันจะตามมาว่าระบบของเวกเตอร์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง เนื่องจาก λ 1 , λ 2 , … , λ มไม่ใช่ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ เรามาขัดแย้งกับสภาพ จาก (1) => ที่ไหน
.

ให้เวกเตอร์แสดงในรูปแบบด้วย: จากนั้นจากความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์
เนื่องจากความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์จึงเป็นไปตามนั้น
1 = β 1 , …, ม = β ม .

5. ให้ระบบเวกเตอร์สองระบบได้รับและ
, ม>เค- หากเวกเตอร์แต่ละตัวของระบบเวกเตอร์สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ได้ ระบบของเวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

พื้นฐานอันดับของระบบเวกเตอร์.

ระบบจำกัดของเวกเตอร์อวกาศ วีเหนือสนาม เอฟ แสดงโดย ส.

คำนิยาม.ระบบย่อยอิสระเชิงเส้นใดๆ ของระบบเวกเตอร์ สเรียกว่าพื้นฐานของระบบเวกเตอร์ สถ้าเวกเตอร์ใดๆ ของระบบ สสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ได้

ตัวอย่าง.ค้นหาพื้นฐานของระบบเวกเตอร์ = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) ร 3 . ระบบเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจากตามคุณสมบัติ 5 ระบบเวกเตอร์ได้มาจากระบบเวกเตอร์ ตั้งแต่การศึกษา เบี้ยเลี้ยง พื้นฐานอิเล็กโทรเมคาโนทรอนิกส์: ทางการศึกษาเบี้ยเลี้ยง พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า" ; ...

การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นได้แก่:

1) การบวกส่วนที่ตรงกันของอีกสมการเข้ากับทั้งสองด้านของสมการหนึ่ง คูณด้วยจำนวนเดียวกัน ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์

2) การจัดเรียงสมการใหม่

3) การลบออกจากสมการของระบบที่เป็นอัตลักษณ์ของ x ทั้งหมด

ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี

(เงื่อนไขความเข้ากันได้ของระบบ)

(ลีโอโปลด์ โครเนกเกอร์ (1823-1891) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน)

ทฤษฎีบท: ระบบมีความสอดคล้อง (มีอย่างน้อยหนึ่งวิธีแก้ปัญหา) ถ้าหากอันดับของเมทริกซ์ระบบเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยาย

แน่นอนว่าระบบ (1) สามารถเขียนได้เป็น:

x 1 + x 2 + … + xn

การพิสูจน์.

1) หากมีวิธีแก้ปัญหาอยู่ คอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ของเมทริกซ์ A ซึ่งหมายถึงการเพิ่มคอลัมน์นี้ลงในเมทริกซ์ เช่น การเปลี่ยนแปลง А®А * อย่าเปลี่ยนอันดับ

2) ถ้า RgA = RgA * หมายความว่ามีผู้เยาว์พื้นฐานเหมือนกัน คอลัมน์ของคำศัพท์อิสระคือการรวมกันเชิงเส้นของคอลัมน์ของฐานรอง ดังนั้นสัญกรณ์ข้างต้นจึงถูกต้อง

ตัวอย่าง.กำหนดความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้น:

~ . อาร์จีเอ = 2

ก* = RgA* = 3

ระบบไม่สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง.กำหนดความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้น

ก = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; อาร์จีเอ = 2;

ก* =

RgA* = 2

ระบบมีการทำงานร่วมกัน คำตอบ: x 1 = 1; x 2 = 1/2.

2.6 วิธีเกาส์

(คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (ค.ศ. 1777-1855) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน)

วิธีเกาส์เซียนแตกต่างจากวิธีเมทริกซ์และวิธีการของแครเมอร์ตรงที่สามารถนำไปใช้กับระบบสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนสมการและค่าไม่ทราบจำนวนได้ตามใจชอบ สาระสำคัญของวิธีการนี้คือการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ตามลำดับ

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น:

หารทั้งสองข้างของสมการที่ 1 ด้วย 11 ¹ 0 จากนั้น:

1) คูณด้วย 21 แล้วลบออกจากสมการที่สอง

2) คูณด้วย 31 แล้วลบออกจากสมการที่สาม

, ที่ไหน d 1 j = a 1 j /a 11, j = 2, 3, …, n+1

d ij = a ij – a i1 d 1j i = 2, 3, … , n; เจ = 2, 3, … , n+1.

ตัวอย่าง.แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

จากที่เราได้รับ: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1

ตัวอย่าง.แก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน

เรามาสร้างเมทริกซ์ขยายของระบบกันดีกว่า

ดังนั้น ระบบเดิมจึงสามารถแสดงได้เป็น:

จากที่เราได้รับ: z = 3; ย = 2; x = 1

คำตอบที่ได้รับเกิดขึ้นพร้อมกับคำตอบที่ได้รับสำหรับระบบนี้โดยวิธีแครมเมอร์และวิธีเมทริกซ์

วิธีแก้ไขด้วยตนเอง:

คำตอบ: (1, 2, 3, 4)

หัวข้อ 3. องค์ประกอบของเวกเตอร์พีชคณิต

คำจำกัดความพื้นฐาน

คำนิยาม.เวกเตอร์เรียกว่าส่วนกำกับ (คู่ของจุดเรียงลำดับ) เวกเตอร์ยังรวมถึง โมฆะเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน

คำนิยาม.ความยาว (โมดูล) vector คือระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

คำนิยาม. เวกเตอร์ถูกเรียกว่า คอลลิเนียร์หากอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนาน เวกเตอร์ว่างอยู่ในแนวเดียวกับเวกเตอร์ใดๆ

คำนิยาม. เวกเตอร์ถูกเรียกว่า เครื่องบินร่วมหากมีระนาบที่ขนานกัน

เวกเตอร์คอลลิเนียร์จะเป็นโคพลานาร์เสมอ แต่ไม่ใช่เวกเตอร์โคพลานาร์ทั้งหมดที่เป็นโคพลานาร์

คำนิยาม. เวกเตอร์ถูกเรียกว่า เท่ากันหากเป็นแบบแนวเดียวกัน มีทิศทางเหมือนกันและมีโมดูลเดียวกัน

เวกเตอร์ทั้งหมดสามารถนำมาสู่จุดกำเนิดร่วมได้ เช่น สร้างเวกเตอร์ที่ตามลำดับเท่ากับข้อมูลและมีต้นกำเนิดร่วมกัน จากคำจำกัดความของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ จะได้ว่าเวกเตอร์ใดๆ มีเวกเตอร์จำนวนไม่สิ้นสุดเท่ากับเวกเตอร์นั้น

คำนิยาม.การดำเนินการเชิงเส้นส่วนเวกเตอร์เรียกว่าการบวกและการคูณด้วยตัวเลข

ผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ -

งาน - และเป็นแบบแนวเดียวกัน

เวกเตอร์มีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ ( ) ถ้า a > 0

เวกเตอร์มีทิศทางตรงข้ามกับเวกเตอร์ ( pixel ) ถ้า a< 0.

คุณสมบัติของเวกเตอร์

1) + = + - การสับเปลี่ยน

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – ความเชื่อมโยง

6) (a+b) = a + b - การกระจายตัว

7) ก( + ) = ก + ก

คำนิยาม.

1) พื้นฐานในอวกาศ เราจะเรียกเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบระนาบ 3 ตัวในลำดับที่แน่นอน

2) พื้นฐานบนเครื่องบิน เราจะเรียกเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์ 2 ตัวในลำดับที่แน่นอน

3)พื้นฐานเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ บนเส้นจะถูกเรียก

ด้านล่างเราจะพิจารณาระบบสมการเชิงเส้นเหนือขอบเขตของตัวแปร คำจำกัดความเพิ่มเติม กล่าวกันว่าระบบสมการเชิงเส้นสองระบบมีความเท่าเทียมกันถ้าแต่ละคำตอบของระบบใดระบบหนึ่งเป็นคำตอบของระบบอื่น

ประโยคต่อไปนี้แสดงคุณสมบัติของความเท่าเทียมกันที่ตามมาจากคำจำกัดความของความเท่าเทียมกันและคุณสมบัติของความสม่ำเสมอของระบบที่กล่าวข้างต้น

ข้อเสนอที่ 2.2 สมการเชิงเส้นสองระบบจะเท่ากันก็ต่อเมื่อแต่ละระบบเป็นผลสืบเนื่องมาจากอีกระบบหนึ่ง

ข้อเสนอที่ 2.3 สมการเชิงเส้นสองระบบจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเซตของคำตอบทั้งหมดของระบบหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับเซตของคำตอบทั้งหมดของอีกระบบหนึ่งเท่านั้น

ข้อเสนอที่ 2.4 สมการเชิงเส้นสองระบบจะเท่ากันก็ต่อเมื่อภาคแสดงที่กำหนดโดยระบบเหล่านี้เท่ากันเท่านั้น

คำนิยาม. การแปลงต่อไปนี้เรียกว่าการแปลงเบื้องต้นของระบบสมการเชิงเส้น:

(a) การคูณทั้งสองข้างของสมการของระบบด้วยสเกลาร์ที่ไม่ใช่ศูนย์

(P) การบวก (ลบ) ทั้งสองด้านของสมการของระบบด้วยส่วนที่สอดคล้องกันของสมการอื่นของระบบ คูณด้วยสเกลาร์

การแยกออกจากระบบหรือการบวกออกจากระบบสมการเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์และเทอมอิสระเป็นศูนย์

ทฤษฎีบท 2.5 ถ้าระบบสมการเชิงเส้นระบบหนึ่งได้มาจากระบบสมการเชิงเส้นอีกระบบหนึ่งอันเป็นผลจากห่วงโซ่ของการแปลงเบื้องต้น ทั้งสองระบบนี้จะเท่ากัน

การพิสูจน์. ให้ระบบได้รับ

หากเราคูณสมการตัวใดตัวหนึ่ง เช่น สมการแรก ด้วยสเกลาร์ X ที่ไม่ใช่ศูนย์ เราจะได้ระบบ

ทุกวิธีแก้ปัญหาของระบบ (1) ก็เป็นวิธีแก้ปัญหาของระบบ (2) เช่นกัน

ในทางกลับกัน: ถ้า - วิธีแก้ปัญหาของระบบ (2)

จากนั้น เมื่อคูณความเสมอภาคแรกด้วยและไม่เปลี่ยนความเสมอภาคที่ตามมา เราจะได้ความเท่าเทียมกันซึ่งแสดงว่าเวกเตอร์เป็นคำตอบของระบบ (1) ดังนั้นระบบ (2) จึงเทียบเท่ากับระบบเดิม (1) นอกจากนี้ยังง่ายต่อการตรวจสอบว่าการใช้การแปลงเบื้องต้น (P) กับระบบ (1) เพียงครั้งเดียวนำไปสู่ระบบที่เทียบเท่ากับระบบดั้งเดิม (1) เนื่องจากความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันเป็นแบบสกรรมกริยา การใช้การแปลงเบื้องต้นซ้ำๆ จึงนำไปสู่ระบบสมการที่เทียบเท่ากับระบบดั้งเดิม (1)

ข้อพิสูจน์ 2.6 หากคุณเพิ่มผลรวมเชิงเส้นของสมการอื่นๆ ของระบบเข้ากับสมการของระบบสมการเชิงเส้นตัวใดตัวหนึ่ง คุณจะได้ระบบสมการที่เทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม

ข้อพิสูจน์ 2.7 หากคุณแยกระบบสมการเชิงเส้นออกจากระบบหรือบวกสมการที่เป็นผลรวมเชิงเส้นของสมการอื่นๆ ในระบบ คุณจะได้ระบบสมการที่เทียบเท่ากับระบบดั้งเดิม