สัญญาณของการบรรจบกันที่เพียงพอ สัญญาณของการบรรจบกันของอนุกรมจำนวน ให้อนุกรมเครื่องหมายบวกสองชุดได้รับ

คณิตศาสตร์ขั้นสูง

ชุดตัวเลข

บรรยาย.ชุดตัวเลข

1. คำจำกัดความของชุดตัวเลข การบรรจบกัน

2. คุณสมบัติพื้นฐานของอนุกรมจำนวน

3. ซีรีส์ที่มีเงื่อนไขเชิงบวก สัญญาณของการบรรจบกัน

4. สลับแถว การทดสอบการบรรจบกันของไลบนิซ

5. ซีรีย์สลับกัน

คำถามทดสอบตัวเอง

วรรณกรรม

บรรยาย. ซีรี่ส์ตัวเลข

1. คำจำกัดความของชุดตัวเลข การบรรจบกัน

2. คุณสมบัติพื้นฐานของอนุกรมจำนวน

3. ซีรีส์ที่มีเงื่อนไขเชิงบวก สัญญาณของการบรรจบกัน

4. การสลับแถว การทดสอบการบรรจบกันของไลบนิซ

5. ซีรีย์สลับกัน

1. คำจำกัดความของชุดตัวเลข การบรรจบกัน

ในการประยุกต์ทางคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับในการแก้ปัญหาบางอย่างในเศรษฐศาสตร์ สถิติ และสาขาอื่นๆ จะพิจารณาผลบวกที่มีจำนวนเทอมไม่สิ้นสุด ในที่นี้เราจะให้คำจำกัดความว่าจำนวนเงินดังกล่าวหมายถึงอะไร

ให้ลำดับจำนวนอนันต์ได้รับ

, , …, , …

คำจำกัดความ 1.1. ชุดตัวเลข หรือเพียงแค่ ใกล้เรียกว่านิพจน์ (ผลรวม) ของแบบฟอร์ม

- (1.1) เรียกว่า สมาชิกของตัวเลข, – ทั่วไปหรือ n – มสมาชิกของซีรีส์

ในการกำหนดอนุกรม (1.1) ก็เพียงพอที่จะระบุฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ

การคำนวณเทอมที่ 3 ของอนุกรมด้วยจำนวน

ตัวอย่างที่ 1.1- อนุญาต

- แถว (1.2)

เรียกว่า ซีรีย์ฮาร์มอนิก .

ตัวอย่างที่ 1.2- อนุญาต

, แถว (1.3)

เรียกว่า อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป. ในกรณีพิเศษเมื่อ

ได้รับอนุกรมฮาร์มอนิก

ตัวอย่างที่ 1.3- อนุญาต

- แถว (1.4)

เรียกว่า ใกล้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.

จากเงื่อนไขของอนุกรม (1.1) เราสร้างตัวเลข ลำดับของบางส่วนจำนวนเงินที่ไหน

– ผลรวมของพจน์แรกของอนุกรมซึ่งเรียกว่า n-จำนวนบางส่วน, เช่น. , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

ลำดับหมายเลข

ด้วยจำนวนที่เพิ่มขึ้นไม่จำกัด จึงสามารถ:

1) มีขีดจำกัด;

2) ไม่มีขีดจำกัดจำกัด (ขีดจำกัดไม่มีอยู่หรือเท่ากับอนันต์)

คำจำกัดความ 1.2. ซีรีส์ (1.1) เรียกว่า มาบรรจบกัน,ถ้าลำดับของผลรวมบางส่วน (1.5) มีขีดจำกัดจำกัด เช่น

ในกรณีนี้คือหมายเลข

เรียกว่า จำนวนซีรีส์ (1.1) และถูกเขียน .

คำจำกัดความ 1.3ซีรีส์ (1.1) เรียกว่า แตกต่าง,ถ้าลำดับของผลรวมบางส่วนไม่มีขีดจำกัด.

ไม่มีการกำหนดผลรวมให้กับซีรีส์ไดเวอร์เจนต์

ดังนั้น ปัญหาในการหาผลรวมของอนุกรมลู่เข้า (1.1) จึงเทียบเท่ากับการคำนวณขีดจำกัดของลำดับของผลรวมบางส่วน

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 1.4พิสูจน์ว่าซีรีส์นี้

มาบรรจบกันและหาผลรวมของมัน

เราจะพบ n- ผลรวมบางส่วนของซีรีย์นี้

.

สมาชิกทั่วไป

มาเป็นตัวแทนซีรีย์ในรูปแบบ

จากที่นี่เรามี:

- ดังนั้นอนุกรมนี้มาบรรจบกันและผลรวมเท่ากับ 1:

ตัวอย่างที่ 1.5- ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

(1.6)

สำหรับแถวนี้

- ดังนั้นซีรีย์นี้จึงแตกต่าง

ความคิดเห็น ที่

อนุกรม (1.6) คือผลรวมของจำนวนศูนย์อนันต์และเป็นการลู่เข้ากันอย่างเห็นได้ชัด

ตัวอย่างที่ 1.6ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

(1.7)

สำหรับแถวนี้

ในกรณีนี้ ขีดจำกัดของลำดับของผลรวมบางส่วนคือ

ไม่มีอยู่จริง และซีรีส์ก็แยกออกไป

ตัวอย่างที่ 1.7ตรวจสอบชุดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (1.4) สำหรับการลู่เข้า:

มันง่ายที่จะแสดงสิ่งนั้น n- ผลรวมบางส่วนของอนุกรมความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่

จะได้รับจากสูตร

ลองพิจารณากรณีต่างๆ:

แล้วและ.

ดังนั้นอนุกรมมาบรรจบกันและผลรวมจึงเท่ากับ

บทความนี้มีโครงสร้างและ ข้อมูลรายละเอียดซึ่งจะมีประโยชน์เมื่อวิเคราะห์แบบฝึกหัดและงานต่างๆ เราจะมาดูหัวข้อซีรีส์ตัวเลขกัน

บทความนี้เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความและแนวคิดพื้นฐาน ต่อไปเราจะใช้ตัวเลือกมาตรฐานและศึกษาสูตรพื้นฐาน เพื่อรวมเนื้อหา บทความนี้จะแสดงตัวอย่างและงานพื้นฐาน

วิทยานิพนธ์พื้นฐาน

ก่อนอื่น ลองจินตนาการถึงระบบ: a 1 , a 2 - - , หนึ่ง , . - - โดยที่ k ∈ R, k = 1, 2 - - -

ตัวอย่างเช่น ลองหาตัวเลขเช่น: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, - - -

คำจำกัดความ 1

ชุดตัวเลขคือผลรวมของพจน์ ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + - - + และ + . - - -

เพื่อให้เข้าใจคำจำกัดความได้ดีขึ้น ให้พิจารณากรณีที่กำหนดให้ q = - 0 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . - - = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

คำจำกัดความ 2

a k เป็นค่าทั่วไปหรือ เค –ทสมาชิกของซีรีส์

หน้าตาประมาณนี้ - 16 · - 1 2 k.

คำจำกัดความ 3

ผลรวมบางส่วนของอนุกรมมีลักษณะเช่นนี้ S n = a 1 + a 2 + - - + a n ซึ่งในนั้น n– หมายเลขใดก็ได้ เอส เอ็น คือ nผลรวมของซีรีส์

ตัวอย่างเช่น ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k คือ S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5

เอส 1 , เอส 2 , . - - , เอส เอ็น , . - - สร้างลำดับของตัวเลขที่ไม่สิ้นสุด

สำหรับแถว nผลรวมพบได้จากสูตร S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n เราใช้ลำดับผลรวมบางส่วนต่อไปนี้: 8, 4, 6, 5, . - - , 16 3 · 1 - - 1 2 น , . - - -

คำจำกัดความที่ 4

อนุกรม ∑ k = 1 ∞ a k คือ มาบรรจบกันเมื่อลำดับมีขีดจำกัดจำกัด S = lim S n n → + ∞ หากไม่มีขีดจำกัดหรือลำดับไม่มีที่สิ้นสุด อนุกรม ∑ k = 1 ∞ a k จะถูกเรียกว่า แตกต่าง

คำจำกัดความที่ 5

ผลรวมของอนุกรมลู่เข้า∑ k = 1 ∞ a k คือขีดจำกัดของลำดับ ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S

ในตัวอย่างนี้ lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , แถว ∑ k = 1 ∞ ( - 16) · - 1 2 k มาบรรจบกัน ผลรวมคือ 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างของอนุกรมลู่ออกคือผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วนที่มากกว่า 1: 1 + 2 + 4 + 8 + - - + 2 น - 1 + . - - = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

ผลบวกบางส่วนที่ n ให้ไว้โดย S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1 และขีดจำกัดของผลรวมบางส่วนนั้นไม่มีที่สิ้นสุด: lim n → + ∞ S n = ลิม n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞

อีกตัวอย่างหนึ่งของอนุกรมเลขลู่ออกคือผลรวมของรูปแบบ ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + - - - ในกรณีนี้ ผลรวมส่วนที่ n สามารถคำนวณได้เป็น Sn = 5n ขีดจำกัดของผลรวมบางส่วนคืออนันต์ lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞

คำนิยาม 6

ผลรวมของรูปแบบเดียวกันกับ ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + - - + 1 น + . - - - นี้ ฮาร์มอนิกชุดตัวเลข

คำนิยาม 7

ผลรวม ∑ k = 1 ∞ 1 ks = 1 + 1 2 วินาที + 1 3 วินาที + - - + 1 นส + . - - , ที่ไหน ส– จำนวนจริง คืออนุกรมเลขฮาร์มอนิกทั่วไป

คำจำกัดความที่กล่าวถึงข้างต้นจะช่วยคุณแก้ไขตัวอย่างและปัญหาส่วนใหญ่

เพื่อให้คำจำกัดความสมบูรณ์ จำเป็นต้องพิสูจน์สมการบางประการ

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – ลู่ออก

เราใช้วิธีย้อนกลับ ถ้ามันมาบรรจบกัน แสดงว่าขีดจำกัดนั้นมีจำกัด เราสามารถเขียนสมการได้เป็น lim n → + ∞ S n = S และ lim n → + ∞ S 2 n = S หลังจากการกระทำบางอย่าง เราจะได้ความเท่าเทียมกัน l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0

ขัดต่อ,

ส 2 n - ส n = 1 + 1 2 + 1 3 + . - - + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + . - - + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . - - + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . - - + 1 2 น

อสมการต่อไปนี้ถูกต้อง: 1 n + 1 > 1 2 n, 1 n + 1 > 1 2 n, - - , 1 2 น - 1 > 1 2 น . เราพบว่า S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + - - + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . - - + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . นิพจน์ S 2 n - S n > 1 2 บ่งชี้ว่า lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 ไม่บรรลุผล ซีรีส์มีความแตกต่าง

1. ข 1 + ข 1 คิว + ข 1 คิว 2 + . - - + ข 1 q n + . - - = ∑ k = 1 ∞ ข 1 q k - 1

มีความจำเป็นต้องยืนยันว่าผลรวมของลำดับตัวเลขมาบรรจบกันที่ q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

ตามคำจำกัดความข้างต้นเป็นจำนวนเงิน nเงื่อนไขถูกกำหนดตามสูตร S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

ถ้าถาม< 1 верно

ลิม n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 คิว - 1 = ข 1 คิว - 1

เราได้พิสูจน์แล้วว่าชุดตัวเลขมาบรรจบกัน

สำหรับ q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + . - - ∑ k = 1 ∞ ข 1 . ผลรวมสามารถพบได้โดยใช้สูตร S n = b 1 · n ลิมิตคืออนันต์ lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ ในเวอร์ชันที่นำเสนอ ซีรีส์จะมีความแตกต่างกัน

ถ้า คิว = - 1จากนั้นอนุกรมจะมีลักษณะดังนี้ b 1 - b 1 + b 1 - - - = ∑ k = 1 ∞ ข 1 (- 1) k + 1 . ผลรวมบางส่วนดูเหมือน S n = b 1 สำหรับคี่ nและ S n = 0 สำหรับคู่ n- เมื่อพิจารณากรณีนี้แล้ว เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีขีดจำกัดและซีรีส์นี้แตกต่างออกไป

สำหรับ q > 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = ข 1 · ∞ - 1 q - 1 = ∞

เราได้พิสูจน์แล้วว่าชุดตัวเลขนั้นแตกต่างกัน

1. อนุกรม ∑ k = 1 ∞ 1 k s มาบรรจบกันถ้า ส > 1และแยกออกถ้า s ≤ 1

สำหรับ ส = 1เราได้ ∑ k = 1 ∞ 1 k อนุกรมจะแยกกัน

เมื่อไหร่< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для เคจำนวนธรรมชาติ- เนื่องจากอนุกรมนี้ลู่ออก ∑ k = 1 ∞ 1 k จึงไม่มีขีดจำกัด ต่อไปนี้ ลำดับ ∑ k = 1 ∞ 1 k s ไม่มีขอบเขต เราสรุปได้ว่าซีรีส์ที่เลือกจะแตกต่างเมื่อใด ส< 1 .

จำเป็นต้องแสดงหลักฐานว่าอนุกรม ∑ k = 1 ∞ 1 k s มาบรรจบกัน ส > 1.

ลองนึกภาพ S 2 n - 1 - S n - 1:

ส 2 n - 1 - ส n - 1 = 1 + 1 2 วิ + 1 3 วิ + . - - + 1 (n - 1) วิ + 1 น วิ + 1 (n + 1) ส + . - - + 1 (2 n - 1) วิ - - 1 + 1 2 วิ + 1 3 วิ + . - - + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . - - + 1 (2 น - 1) วิ

สมมติว่า 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

ลองจินตนาการถึงสมการของตัวเลขที่เป็นธรรมชาติและเป็นคู่ n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

เราได้รับ:

∑ k = 1 ∞ 1 k วินาที = 1 + 1 2 วินาที + 1 3 วินาที + 1 4 วินาที + - - + 1 7 วินาที + 1 8 วินาที + . - - + 1 15 วินาที + . - - = = 1 + ส 3 - ส 1 + ส 7 - ส 3 + ส 15 + ส 7 + . - -< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

นิพจน์คือ 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + - - คือผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต q = 1 2 s - 1 ตามข้อมูลเบื้องต้นที่ ส > 1จากนั้น 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при ส > 1เพิ่มขึ้นและถูกจำกัดจากด้านบน 1 1 - 1 2 s - 1 ลองจินตนาการว่ามีขีดจำกัดและอนุกรมมาบรรจบกัน ∑ k = 1 ∞ 1 k s

คำจำกัดความ 8

อนุกรม ∑ k = 1 ∞ a k เป็นบวกในกรณีนั้นถ้าสมาชิกของมัน > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . - - -

อนุกรม ∑ k = 1 ∞ b k การส่งสัญญาณหากสัญญาณของตัวเลขต่างกัน ตัวอย่างนี้แสดงเป็น ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k หรือ ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k โดยที่ k > 0 , เค = 1 , 2 , . - - -

อนุกรม ∑ k = 1 ∞ b k สลับกันเนื่องจากประกอบด้วยตัวเลขหลายจำนวนทั้งลบและบวก

ตัวเลือกแถวที่สองคือ กรณีพิเศษตัวเลือกที่สาม

นี่คือตัวอย่างสำหรับแต่ละกรณี ตามลำดับ:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

สำหรับตัวเลือกที่สาม คุณยังสามารถกำหนดการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์และแบบมีเงื่อนไขได้ด้วย

คำนิยาม 9

อนุกรมสลับ ∑ k = 1 ∞ b k จะลู่เข้าหากันอย่างแน่นอน ในกรณีที่ ∑ k = 1 ∞ b k ก็ถือว่าลู่เข้าเช่นกัน

มาดูรายละเอียดตัวเลือกทั่วไปหลายประการกัน

ตัวอย่างที่ 2

หากแถวเป็น 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + - - และ 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . - - ถูกกำหนดให้เป็นลู่เข้า ดังนั้น จึงถูกต้องที่จะถือว่า 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + - -

คำนิยาม 10

อนุกรมสลับ ∑ k = 1 ∞ b k ถือว่าลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ถ้า ∑ k = 1 ∞ b k ลู่ออก และอนุกรม ∑ k = 1 ∞ b k ถือว่าลู่เข้า

ตัวอย่างที่ 3

ให้เราตรวจสอบรายละเอียดตัวเลือก ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . - - - อนุกรม ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k ซึ่งประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ ถูกกำหนดให้เป็นไดเวอร์เจนต์ ตัวเลือกนี้ถือว่ามาบรรจบกันเนื่องจากง่ายต่อการระบุ จากตัวอย่างนี้ เราเรียนรู้ว่าอนุกรม ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + - - จะถือว่ามาบรรจบกันอย่างมีเงื่อนไข

คุณสมบัติของซีรีย์คอนเวอร์เจนท์

มาวิเคราะห์คุณสมบัติในบางกรณีกัน

1. ถ้า ∑ k = 1 ∞ a k มาบรรจบกัน อนุกรม ∑ k = m + 1 ∞ a k ก็ถือว่าลู่เข้าเช่นกัน สังเกตได้ว่าแถวไม่มี มเงื่อนไขก็ถือว่ามาบรรจบกันเช่นกัน หากเราบวกตัวเลขหลายตัวเข้ากับ ∑ k = m + 1 ∞ ak ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะมาบรรจบกันด้วย
2. ถ้า ∑ k = 1 ∞ a k มาบรรจบกัน และผลรวม = สจากนั้นอนุกรม ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S ก็มาบรรจบกันเช่นกัน โดยที่ ก-คงที่.
3. ถ้า ∑ k = 1 ∞ a k และ ∑ k = 1 ∞ b k มาบรรจบกัน ผลรวม กและ บีอนุกรม ∑ k = 1 ∞ a k + b k และ ∑ k = 1 ∞ a k - b k ก็มาบรรจบกันเช่นกัน จำนวนเงินจะเท่ากัน เอ+บีและ เอ - บีตามลำดับ

ตัวอย่างที่ 4

พิจารณาว่าอนุกรมมาบรรจบกัน ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3

ลองเปลี่ยนนิพจน์ ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . อนุกรม ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 ถือว่าลู่เข้า เนื่องจากอนุกรม ∑ k = 1 ∞ 1 k s มาบรรจบกันเมื่อ ส > 1- ตามคุณสมบัติที่สอง ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3

ตัวอย่างที่ 5

พิจารณาว่าอนุกรม ∑ n = 1 ∞ 3 + n 5 2 มาบรรจบกันหรือไม่

มาแปลงเวอร์ชันดั้งเดิมกัน ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

เราได้ผลรวม ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 และ ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 แต่ละซีรีย์ถือว่ามาบรรจบกันตามคุณสมบัติ ดังนั้นเมื่อซีรีส์มาบรรจบกัน เวอร์ชันดั้งเดิมก็มาบรรจบกันด้วย

ตัวอย่างที่ 6

คำนวณว่าอนุกรม 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + มาบรรจบกัน - - และคำนวณจำนวนเงิน

มาขยายเวอร์ชันดั้งเดิมกันดีกว่า:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . - - = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . - - - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . - - = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

แต่ละชุดมาบรรจบกันเนื่องจากเป็นหนึ่งในสมาชิกของลำดับตัวเลข ตามคุณสมบัติที่สาม เราสามารถคำนวณได้ว่าเวอร์ชันดั้งเดิมมาบรรจบกันด้วย เราคำนวณผลรวม: เทอมแรกของอนุกรม ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 และตัวส่วน = 0 5 ตามด้วย ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 5 = 2 เทอมแรกคือ ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 และตัวส่วนของลำดับจำนวนจากมากไปน้อย = 1 3 เราได้รับ: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

เราใช้นิพจน์ที่ได้รับข้างต้นเพื่อกำหนดผลรวม 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + - - = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการพิจารณาว่าอนุกรมลู่เข้าหรือไม่

คำนิยาม 11

ถ้าอนุกรม ∑ k = 1 ∞ a k มาบรรจบกัน แสดงว่าอนุกรมนั้นมีค่าจำกัด kthเทอม = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

หากเราตรวจสอบตัวเลือกใด ๆ เราต้องไม่ลืมเกี่ยวกับเงื่อนไขที่ขาดไม่ได้ หากไม่เป็นไปตามนั้น ซีรีส์ก็จะแยกออกไป ถ้า lim k → + ∞ a k ≠ 0 แสดงว่าอนุกรมนั้นลู่ออก

ควรชี้แจงว่าเงื่อนไขสำคัญแต่ไม่เพียงพอ หากค่า lim k → + ∞ a k = 0 คงอยู่ ก็ไม่รับประกันว่า ∑ k = 1 ∞ a k จะลู่เข้า

ลองยกตัวอย่าง สำหรับอนุกรมฮาร์มอนิก ∑ k = 1 ∞ 1 k เป็นไปตามเงื่อนไข lim k → + ∞ 1 k = 0 แต่อนุกรมยังคงแตกต่างกัน

ตัวอย่างที่ 7

จงหาการลู่เข้า ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n

เรามาตรวจสอบนิพจน์ดั้งเดิมว่าเป็นไปตามเงื่อนไข lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

ขีดจำกัด nสมาชิกไม่เท่ากับ 0 เราได้พิสูจน์แล้วว่าซีรีส์นี้มีความแตกต่าง

วิธีพิจารณาการบรรจบกันของอนุกรมเชิงบวก

หากคุณใช้คุณลักษณะเหล่านี้เป็นประจำ คุณจะต้องคำนวณขีดจำกัดอย่างต่อเนื่อง ส่วนนี้จะช่วยคุณหลีกเลี่ยงปัญหาเมื่อแก้ไขตัวอย่างและปัญหา เพื่อที่จะหาการบรรจบกันของอนุกรมที่เป็นบวก จึงมีเงื่อนไขบางประการ

สำหรับการลู่เข้าของเครื่องหมายบวก ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , - - จำเป็นต้องกำหนดลำดับผลรวมที่จำกัด

วิธีเปรียบเทียบซีรีย์

มีสัญญาณหลายประการในการเปรียบเทียบซีรีส์ เราเปรียบเทียบซีรีส์ที่มีการเสนอการลู่เข้าเพื่อพิจารณากับซีรีส์ที่รู้จักการลู่เข้า

สัญญาณแรก

∑ k = 1 ∞ a k และ ∑ k = 1 ∞ b k เป็นอนุกรมเครื่องหมายบวก อสมการ a k ≤ b k ใช้ได้ เค = 1, 2, 3, ...จากนี้ไปว่าจากอนุกรม ∑ k = 1 ∞ b k เราจะได้รับ ∑ k = 1 ∞ a k เนื่องจาก ∑ k = 1 ∞ a k ลู่ออก อนุกรม ∑ k = 1 ∞ b k จึงสามารถนิยามได้ว่าลู่ออก

กฎนี้ใช้ในการแก้สมการอย่างต่อเนื่องและเป็นข้อโต้แย้งที่จริงจังซึ่งจะช่วยกำหนดการลู่เข้า ความยากอาจอยู่ที่ว่าไม่สามารถหาตัวอย่างที่เหมาะสมมาเปรียบเทียบได้ในทุกกรณี บ่อยครั้งมีการเลือกซีรีย์ตามหลักการที่ตัวบ่งชี้ kthเทอมจะเท่ากับผลการลบเลขชี้กำลังของทั้งเศษและส่วน kthสมาชิกของซีรีส์ สมมติว่า k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 ผลต่างจะเท่ากับ 2 – 3 = - 1 - ใน ในกรณีนี้สามารถกำหนดได้ว่าสำหรับการเปรียบเทียบซีรีย์ด้วย ค-ธเทอม b k = k - 1 = 1 k ซึ่งเป็นฮาร์มอนิก

เพื่อรวมวัสดุที่ได้รับเราจะพิจารณารายละเอียดตัวเลือกทั่วไปสองสามตัว

ตัวอย่างที่ 8

จงพิจารณาว่าอนุกรม ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 คืออะไร

เนื่องจากขีดจำกัด = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 เราได้ทำไปแล้ว สภาพที่จำเป็น- อสมการจะยุติธรรม 1 k< 1 k - 1 2 для เคซึ่งเป็นธรรมชาติ จากย่อหน้าก่อนๆ เราได้เรียนรู้ว่าอนุกรมฮาร์มอนิก ∑ k = 1 ∞ 1 k นั้นลู่ออก ตามเกณฑ์แรกสามารถพิสูจน์ได้ว่าเวอร์ชันดั้งเดิมแตกต่างออกไป

ตัวอย่างที่ 9

พิจารณาว่าอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1

ในตัวอย่างนี้ เป็นไปตามเงื่อนไขที่จำเป็น เนื่องจาก lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 เราแสดงมันเป็นอสมการ 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения เค- อนุกรม ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 มาบรรจบกัน เนื่องจากอนุกรมฮาร์มอนิก ∑ k = 1 ∞ 1 k s มาบรรจบกันสำหรับ ส > 1- ตามเกณฑ์แรก เราสามารถสรุปได้ว่าชุดตัวเลขมาบรรจบกัน

ตัวอย่างที่ 10

จงพิจารณาว่าอนุกรม ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) คืออะไร ลิม k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

ในตัวเลือกนี้ คุณสามารถทำเครื่องหมายการปฏิบัติตามเงื่อนไขที่ต้องการได้ เรามากำหนดซีรี่ส์เพื่อเปรียบเทียบกัน ตัวอย่างเช่น ∑ k = 1 ∞ 1 ks เพื่อกำหนดว่าระดับคือเท่าใด ให้พิจารณาลำดับ (ln ​​(ln k)) k = 3, 4, 5 - - - สมาชิกของลำดับ ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , . - - เพิ่มขึ้นจนไม่มีที่สิ้นสุด เมื่อวิเคราะห์สมการแล้ว เราจะสังเกตได้ว่าเมื่อรับ N = 1619 เป็นค่า แล้วเทอมของลำดับ > 2 สำหรับลำดับนี้ อสมการ 1 k ln (ln k) จะเป็นจริง< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

สัญญาณที่สอง

สมมติว่า ∑ k = 1 ∞ a k และ ∑ k = 1 ∞ b k เป็นอนุกรมจำนวนบวก

ถ้า lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ แล้วอนุกรม ∑ k = 1 ∞ b k มาบรรจบกัน และ ∑ k = 1 ∞ a k ก็มาบรรจบกันด้วย

ถ้า lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 ดังนั้น เนื่องจากอนุกรม ∑ k = 1 ∞ bk ลู่ออก ดังนั้น ∑ k = 1 ∞ a k ก็ลู่ออกด้วย

ถ้า lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ และ lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 ดังนั้นการลู่เข้าหรือการลู่ออกของอนุกรมหนึ่งหมายถึงการลู่เข้าหรือการลู่ออกของอนุกรมอื่น

พิจารณา ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 โดยใช้เครื่องหมายที่สอง สำหรับการเปรียบเทียบ ∑ k = 1 ∞ b k เราใช้อนุกรมลู่เข้า ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 มากำหนดขีดจำกัดกัน: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

ตามเกณฑ์ที่สอง สามารถระบุได้ว่าอนุกรมลู่เข้า ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 หมายความว่าเวอร์ชันดั้งเดิมมาบรรจบกันด้วย

ตัวอย่างที่ 11

จงพิจารณาว่าอนุกรม ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 คืออะไร

ให้เราวิเคราะห์เงื่อนไขที่จำเป็น lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 ซึ่งเป็นที่พอใจในเวอร์ชันนี้ ตามเกณฑ์ที่สอง ให้ใช้อนุกรม ∑ k = 1 ∞ 1 k . เรากำลังหาขีดจำกัด: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

จากวิทยานิพนธ์ข้างต้น ซีรีส์ Divergent นำมาซึ่งความแตกต่างของซีรีส์ดั้งเดิม

สัญญาณที่สาม

ลองพิจารณาสัญญาณที่สามของการเปรียบเทียบ

สมมติว่า ∑ k = 1 ∞ a k และ _ ∑ k = 1 ∞ b k เป็นอนุกรมจำนวนบวก หากเงื่อนไขเป็นไปตามจำนวนหนึ่ง a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k ดังนั้นการลู่เข้าของอนุกรมนี้ ∑ k = 1 ∞ b k หมายความว่าอนุกรม ∑ k = 1 ∞ a k ก็ลู่เข้าเช่นกัน อนุกรมไดเวอร์เจนต์ ∑ k = 1 ∞ a k ทำให้เกิดไดเวอร์เจนซ์ ∑ k = 1 ∞ b k

สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์

ลองจินตนาการว่า ∑ k = 1 ∞ a k เป็นอนุกรมจำนวนบวก ถ้า lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1 แล้วแยกออก

หมายเหตุ 1

การทดสอบของดาล็องแบร์นั้นใช้ได้หากขีดจำกัดนั้นไม่มีที่สิ้นสุด

ถ้า lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ ดังนั้นอนุกรมจะลู่เข้าหากัน ถ้า lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ ก็จะลู่ออก

ถ้า lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1 ดังนั้นสัญลักษณ์ของ d’Alembert จะไม่ช่วยอะไร และจำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม

ตัวอย่างที่ 12

จงพิจารณาว่าอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k โดยใช้การทดสอบของ d’Alembert

จำเป็นต้องตรวจสอบว่าเป็นไปตามเงื่อนไขการลู่เข้าที่จำเป็นหรือไม่ ลองคำนวณขีดจำกัดโดยใช้กฎของโลปิทัล: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

เราจะเห็นว่าเป็นไปตามเงื่อนไข ลองใช้การทดสอบของดาล็องแบร์: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2< 1

ซีรีส์นี้มาบรรจบกัน

ตัวอย่างที่ 13

จงพิจารณาว่าอนุกรมลู่ออก ∑ k = 1 ∞ k k k ! -

ลองใช้การทดสอบของดาล็องแบร์เพื่อกำหนดความแตกต่างของอนุกรม: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! คิคิ! = ลิม k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k ! ครับ · (k + 1) ! = ลิม k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = อี > 1

ดังนั้นซีรีส์จึงแตกต่าง

สัญลักษณ์ของ Radical Cauchy

สมมติว่า ∑ k = 1 ∞ a k เป็นอนุกรมที่มีเครื่องหมายบวก ถ้า lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1 แล้วแยกออก

หมายเหตุ 2

หาก lim k → + ∞ a k k = 1 แสดงว่าเครื่องหมายนี้ไม่ได้ให้ข้อมูลใด ๆ - จำเป็นต้องมีการวิเคราะห์เพิ่มเติม

คุณลักษณะนี้สามารถใช้ในตัวอย่างที่ง่ายต่อการระบุ กรณีนี้จะเป็นเรื่องปกติเมื่อสมาชิกของชุดตัวเลขเป็นนิพจน์กำลังเลขชี้กำลัง

เพื่อรวบรวมข้อมูลที่ได้รับ เราจะพิจารณาตัวอย่างทั่วไปหลายประการ

ตัวอย่างที่ 14

จงพิจารณาว่าอนุกรมเครื่องหมายบวก ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k ลู่เข้าหรือไม่

เงื่อนไขที่จำเป็นถือว่าสมบูรณ์แล้ว เนื่องจาก lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0

ตามเกณฑ์ที่กล่าวไว้ข้างต้น เราได้ lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.

ตัวอย่างที่ 15

อนุกรมตัวเลข ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 มาบรรจบกันหรือไม่?

เราใช้คุณสมบัติที่อธิบายไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

การทดสอบอินทิกรัลคอชี่

สมมติว่า ∑ k = 1 ∞ a k เป็นอนุกรมที่มีเครื่องหมายบวก จำเป็นต้องแสดงฟังก์ชันของการโต้แย้งต่อเนื่อง ย = ฉ(x)ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับ a n = f (n) ถ้า ย = ฉ(x)มากกว่าศูนย์ ไม่ถูกขัดจังหวะและลดลงด้วย [ a ; + ∞) โดยที่ ≥ 1

จากนั้น หากอินทิกรัลไม่เหมาะสม ∫ a + ∞ f (x) d x มาบรรจบกัน อนุกรมที่พิจารณาก็จะมาบรรจบกันด้วย ถ้ามันแตกต่างออกไป ซีรีย์นั้นก็จะแตกต่างออกไปตามตัวอย่างที่กำลังพิจารณาด้วย

เมื่อตรวจสอบว่าฟังก์ชันลดลงหรือไม่ คุณสามารถใช้เนื้อหาที่กล่าวถึงในบทเรียนก่อนหน้าได้

ตัวอย่างที่ 16

ลองพิจารณาตัวอย่าง ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k สำหรับการลู่เข้า

เงื่อนไขสำหรับการบรรจบกันของอนุกรมนั้นถือว่าพอใจ เนื่องจาก lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 พิจารณา y = 1 x ln x มากกว่าศูนย์ ไม่ถูกขัดจังหวะและลดลง [ 2 ; + ) . สองประเด็นแรกเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว แต่ประเด็นที่สามควรได้รับการพิจารณาในรายละเอียดเพิ่มเติม ค้นหาอนุพันธ์: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2 . มันคือ น้อยกว่าศูนย์บน [ 2 ; + ∞) นี่เป็นข้อพิสูจน์ว่าฟังก์ชันกำลังลดลง

ที่จริงแล้วฟังก์ชัน y = 1 x ln x สอดคล้องกับลักษณะของหลักการที่เราพิจารณาข้างต้น ลองใช้ดู: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

ตามผลลัพธ์ที่ได้ ตัวอย่างดั้งเดิมจะแตกต่างออกไป เนื่องจากอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมนั้นลู่ออก

ตัวอย่างที่ 17

พิสูจน์การบรรจบกันของอนุกรม ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .

เนื่องจาก lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0 จึงถือว่าเงื่อนไขเป็นที่น่าพอใจ

เริ่มต้นด้วย k = 4 นิพจน์ที่ถูกต้องคือ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

หากอนุกรม ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 ถือว่าลู่เข้า ดังนั้นตามหลักการเปรียบเทียบข้อใดข้อหนึ่ง อนุกรม ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 จะถือว่ามาบรรจบกันด้วย วิธีนี้ทำให้เราทราบได้ว่าสำนวนดั้งเดิมมาบรรจบกันด้วย

มาดูการพิสูจน์กันดีกว่า: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

เนื่องจากฟังก์ชัน y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 มากกว่าศูนย์ จึงไม่ถูกขัดจังหวะและลดลง [ 4 ; + ) . เราใช้คุณสมบัติที่อธิบายไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ล n (5 x + 8)) 3 = ลิม A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ล n (5 x + 8)) 3 = = 1 5 ลิม A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 ลิม A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 · ลิม A → + ∞ 1 (ln (5 · A + 8)) 2 - 1 (ln (5 · 4 + 8)) 2 = = - 1 10 · 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · 28 2

ในอนุกรมลู่เข้าที่ได้ ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 เราสามารถระบุได้ว่า ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 มาบรรจบกันด้วย

สัญญาณของราเบ้

สมมติว่า ∑ k = 1 ∞ a k เป็นอนุกรมจำนวนบวก

ถ้า lim k → + ∞ k · a k k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1 แล้วมันก็มาบรรจบกัน

สามารถใช้วิธีการกำหนดนี้ได้หากเทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นไม่ได้ให้ผลลัพธ์ที่มองเห็นได้

การศึกษาการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

สำหรับการศึกษาเราใช้ ∑ k = 1 ∞ b k . เราใช้เครื่องหมายบวก ∑ k = 1 ∞ b k . เราสามารถใช้คุณสมบัติที่เหมาะสมใดๆ ที่เราอธิบายไว้ข้างต้นได้ ถ้าอนุกรม ∑ k = 1 ∞ b k มาบรรจบกัน อนุกรมดั้งเดิมก็จะลู่เข้าหากันอย่างแน่นอน

ตัวอย่างที่ 18

จงหาอนุกรม ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 สำหรับการลู่เข้า ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 เค - 1 .

เป็นไปตามเงื่อนไข lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 เราใช้ ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 และใช้เครื่องหมายที่สอง: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3

อนุกรม ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 มาบรรจบกัน ซีรีส์ต้นฉบับก็มาบรรจบกันอย่างแน่นอน

ความแตกต่างของซีรีย์สลับกัน

ถ้าอนุกรม ∑ k = 1 ∞ b k ลู่ออก ดังนั้นอนุกรมสลับที่สอดคล้องกัน ∑ k = 1 ∞ b k จะเป็นลู่ออกหรือลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

การทดสอบของดาล็องแบร์และการทดสอบคอชีแบบรากเท่านั้นที่จะช่วยในการสรุปเกี่ยวกับ ∑ k = 1 ∞ b k จากความแตกต่างจากโมดูลัส ∑ k = 1 ∞ b k อนุกรม ∑ k = 1 ∞ b k จะแยกออกเช่นกัน หากเงื่อนไขการลู่เข้าที่จำเป็นไม่เป็นที่พอใจ กล่าวคือ ถ้า lim k → ∞ + b k ≠ 0

ตัวอย่างที่ 19

ตรวจสอบความแตกต่าง 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6,. - - -

โมดูล kthเทอมจะแสดงเป็น b k = k ! 7 ก.

ลองตรวจสอบอนุกรมนี้ ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k สำหรับการลู่เข้าโดยใช้เกณฑ์ของดาล็องแบร์: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 ก + 1 ก ! 7 k = 1 7 · ลิม k → + ∞ (k + 1) = + ∞

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k แตกต่างในลักษณะเดียวกับเวอร์ชันดั้งเดิม

ตัวอย่างที่ 20

คือ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) มาบรรจบกัน

ลองพิจารณาเงื่อนไขที่จำเป็น lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = ลิม k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . ไม่เป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้น ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) อนุกรมจึงลู่ออก ขีดจำกัดคำนวณโดยใช้กฎของโลปิตาล

เกณฑ์การบรรจบกันแบบมีเงื่อนไข

บททดสอบของไลบ์นิซ

คำนิยาม 12

หากค่าของเงื่อนไขของอนุกรมสลับลดลง b 1 > b 2 > b 3 > . - - - - - และขีดจำกัดโมดูลัส = 0 เมื่อ k → + ∞ จากนั้นอนุกรม ∑ k = 1 ∞ b k มาบรรจบกัน

ตัวอย่างที่ 17

พิจารณา ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) สำหรับการลู่เข้า

อนุกรมนี้แสดงเป็น ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) เป็นไปตามเงื่อนไขที่จำเป็น: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . พิจารณา ∑ k = 1 ∞ 1 k ตามเกณฑ์การเปรียบเทียบที่สอง lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

เราพบว่า ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) เบี่ยงเบนไป อนุกรม ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) มาบรรจบกันตามเกณฑ์ของไลบนิซ: ลำดับ 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 · 2 · (2 ​​​​+ 1) = 5 30 , 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1 , . - - ลดลงและ lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

ซีรีส์มาบรรจบกันอย่างมีเงื่อนไข

การทดสอบของอาเบล-ดิริชเลต์

คำนิยาม 13

∑ k = 1 + ∞ u k · v k มาบรรจบกันถ้า ( uk ) ไม่เพิ่มขึ้น และลำดับ ∑ k = 1 + ∞ v k มีขอบเขตจำกัด

ตัวอย่างที่ 17

สำรวจ 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + - - เพื่อการบรรจบกัน

ลองจินตนาการดู

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . - - = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ คุณ k v k

โดยที่ (uk) = 1, 1 2, 1 3, . - - ไม่เพิ่มขึ้น และลำดับ (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, - - จำกัด (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0, . - - - ซีรีส์มาบรรจบกัน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

คำนิยาม. ชุดตัวเลข(1.1)เรียกว่าบวกถ้าทุกเงื่อนไขของมันหนึ่ง– ตัวเลขบวกจำนวนเงินบางส่วน ส= ก1+ ก2 + …+กเอ็น ซีรีส์ดังกล่าวสำหรับค่าใด ๆ เอ็นก็เป็นไปในทางบวกโดยธรรมชาติและมีจำนวนเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เอ็นมันเพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อหน่าย ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้เพียงสองประการเท่านั้น:

2) ที่ไหน ส- บาง จำนวนบวก.

ในกรณีแรกซีรีส์จะแยกออก ส่วนกรณีที่สองจะมาบรรจบกัน ความเป็นไปได้ใดในสองสิ่งนี้ที่เกิดขึ้นนั้นขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของเงื่อนไขของซีรี่ส์อย่างชัดเจน เอ็น. หากเงื่อนไขเหล่านี้มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์และดำเนินการอย่างรวดเร็วเพียงพอ อนุกรมก็จะมาบรรจบกัน และถ้าพวกเขาไม่มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์หรือมีแนวโน้มเป็นศูนย์ แต่ไม่เร็วพอ ซีรีส์ก็จะแตกต่างออกไป

ตัวอย่างเช่น ในอนุกรมฮาร์มอนิก (1.16) แม้ว่าพจน์จะลดลงและมีแนวโน้มเป็นศูนย์ แต่ก็ทำได้ค่อนข้างช้า ดังนั้นอนุกรมฮาร์มอนิกจึงแตกต่างออกไป แต่ในชุดค่าบวก (1.6) พจน์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เร็วกว่ามาก ดังนั้นจึงกลายเป็นการบรรจบกัน

อีกตัวอย่างหนึ่ง ดูซีรีย์

(1.18)

เรียกว่า อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป(นี่จะเป็นอนุกรมฮาร์โมนิคธรรมดา) หากคุณตรวจสอบการลู่เข้า - การลู่ออกในลักษณะเดียวกับอนุกรมฮาร์มอนิก (1.16) ที่ได้รับการศึกษา (โดยใช้รูปที่คล้ายกับรูปที่ 7.1) จากนั้นคุณสามารถสร้าง (ลองด้วยตัวเอง) ว่าอนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไปแตกต่างที่ (ผลรวมของมัน) ) และมาบรรจบกันที่ (ปริมาณของมัน ส– จำนวนบวกจำกัด) และนี่เป็นสิ่งที่เข้าใจได้: เมื่อเงื่อนไขของอนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไปลดลงช้ากว่าเงื่อนไขของอนุกรมฮาร์มอนิก และเนื่องจากอนุกรมฮาร์มอนิกแตกต่างออกไป (อัตราการลดลงของเงื่อนไขไม่เพียงพอสำหรับการลู่เข้า) อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป (1.18) ก็จะแตกต่างมากยิ่งขึ้นเช่นกัน และเมื่อเงื่อนไขของอนุกรม (1.18) จะลดลงเร็วกว่าเงื่อนไขของอนุกรมฮาร์มอนิก (1.16) อย่างเห็นได้ชัด และอัตราการลดลงที่เพิ่มขึ้นนี้เพียงพอสำหรับการบรรจบกันของอนุกรม (1.18)

ข้อควรพิจารณาเหล่านี้สามารถนำเสนอได้เคร่งครัดมากขึ้น ในรูปแบบของสิ่งที่เรียกว่า สัญลักษณ์การเปรียบเทียบอนุกรมจำนวนบวก.

สาระสำคัญของมันมีดังนี้ อนุญาต

(1.19)

(1.20)

ชุดจำนวนบวกตามใจชอบสองชุด และปล่อยให้มันเป็นสำหรับทุกคน เอ็น=1,2,… . นั่นคือ (1.20) เป็นอนุกรมที่มีคำศัพท์มากกว่าอนุกรม (1.19) แล้วมันชัดเจนว่า:

1) ถ้าอนุกรมที่มีพจน์ใหญ่กว่ามาบรรจบกัน อนุกรมที่มีพจน์น้อยกว่ามาบรรจบกัน

2) ถ้าอนุกรมที่มีพจน์น้อยกว่าแตกต่างออกไป (ผลรวมเท่ากับ +∞) อนุกรมที่มีพจน์มากกว่าก็จะต่างกันไปด้วย (ผลรวมจะยิ่งเท่ากับ +∞)

3) ถ้าอนุกรมที่มีพจน์ใหญ่กว่ามาบรรจบกัน (ผลรวมคือ +∞) ก็ไม่สามารถพูดถึงอนุกรมที่มีพจน์น้อยกว่าได้

4) ถ้าอนุกรมที่มีพจน์น้อยกว่ามาบรรจบกัน (ผลรวมของมันคือตัวเลข) ก็ไม่สามารถพูดอะไรเกี่ยวกับอนุกรมที่มีพจน์ใหญ่กว่าได้

หมายเหตุ 1.ในการกำหนดเกณฑ์การเปรียบเทียบทั้งสี่จุด สามารถใช้เงื่อนไขได้โดยให้ชุดข้อมูลถูกเปรียบเทียบและเงื่อนไขใดจะต้องเป็นที่พอใจสำหรับทุกคน เอ็น=1,2,3,…, แทนที่ด้วยเงื่อนไขเดิมซึ่งใช้ไม่ได้สำหรับทุกคน เอ็นแต่เริ่มจากจำนวนหนึ่งเท่านั้น เอ็นนั่นคือเพื่อ เอ็น> เอ็นเพราะการทิ้งพจน์จำนวนจำกัดของอนุกรมจะไม่ส่งผลต่อการบรรจบกันของมัน

หมายเหตุ 2เกณฑ์ในการเปรียบเทียบอนุกรมจำนวนบวกช่วยให้สามารถสรุปได้ กล่าวคือ ถ้ามีขีดจำกัดจำกัดและไม่เป็นศูนย์

, (1.21)

นั่นก็คือถ้า

(บีเอ็นเทียบเท่า แลนสำหรับ ) จากนั้นอนุกรมจำนวนบวก (1.19) และ (1.20) มาบรรจบกันหรือแยกออกพร้อมกัน เราทิ้งคำพูดนี้ไว้โดยไม่มีข้อพิสูจน์

ตัวอย่างที่ 5 . แถว

(1.23)

แตกต่าง (ผลรวมคือ +∞) อันที่จริงเมื่อเปรียบเทียบซีรีย์นี้กับฮาร์มอนิก (1.16) เงื่อนไขที่น้อยกว่าเงื่อนไขของซีรีย์ (1.23) ทั้งหมด เอ็น>1 เราจะได้ข้อสรุปนี้ทันทีตามจุดที่ 2 ของเกณฑ์การเปรียบเทียบ ความแตกต่างยังเกิดขึ้นตามข้อเท็จจริงที่ว่านี่คืออนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป (1.18) สำหรับ

ตัวอย่างที่ 6 แถว

(1.24)

นี่เป็นซีรีส์เชิงบวกที่มีน้อยสำหรับทุกคน เอ็น>1 เทอมมากกว่าซีรีส์

(1.25)

แต่อนุกรม (1.25) คือผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ที่มีตัวส่วน อนุกรมดังกล่าวตามข้อ (1.15) มาบรรจบกันและมีผลรวม ส=1. แต่อนุกรมที่เล็กกว่า (1.24) ก็มาบรรจบกันด้วย และผลรวมของมันคือ

ตัวอย่างที่ 7 . อนุกรม - อนุกรมจำนวนบวกที่มีเงื่อนไขเป็น

ที่ .

แต่เป็นจำนวนหนึ่ง แตกต่างโดยอาศัยอำนาจตาม (1.17) ซึ่งหมายความว่าตาม (1.22) ชุดข้อมูลนี้มีข้อกำหนดแตกต่างออกไปด้วย หนึ่ง.

สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์ . ป้ายนี้มีดังนี้ อนุญาต เป็นอนุกรมจำนวนบวก. มาหาขีดจำกัดกัน ถามความสัมพันธ์ของสมาชิกคนต่อไปของซีรีส์กับสมาชิกคนก่อนหน้า:

(1.26)

นักคณิตศาสตร์และช่างเครื่องชาวฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 19 ดาล็องแบร์ ​​ได้พิสูจน์ว่าเมื่อใด ถาม<1 ряд Сходится; при ถาม>1 มันแตกต่าง; ที่ ถาม=1 คำถามเรื่องการบรรจบกัน - ความแตกต่างของซีรีส์ยังคงเปิดอยู่ เราละเว้นการพิสูจน์เกณฑ์ของดาล็องแบร์

ตัวอย่างที่ 8 ตรวจสอบการลู่เข้า - การลู่ออกของชุดจำนวนบวก

. ขอให้เราใช้การทดสอบของดาล็องแบร์กับชุดข้อมูลนี้ ในการทำเช่นนี้เราคำนวณโดยใช้สูตร (1.26) ถาม:

เนื่องจาก ซีรีส์นี้จึงมาบรรจบกัน

การทดสอบอินทิกรัลคอชี่ . ป้ายนี้มีดังนี้ หากสมาชิก หนึ่งอนุกรมบวกลดลงอย่างซ้ำซาก จากนั้นอนุกรมนี้และอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมมาบรรจบกันหรือแยกออกพร้อมกัน นี่คือฟังก์ชันที่ลดลงอย่างซ้ำซากจำเจอย่างต่อเนื่อง เอ็กซ์ = เอ็นค่านิยม หนึ่ง สมาชิกของซีรีส์

ชุดตัวเลข การบรรจบกันและความแตกต่างของอนุกรมจำนวน การทดสอบการลู่เข้าของดาล็องแบร์ ซีรีย์สลับกัน. การบรรจบกันแบบสัมบูรณ์และมีเงื่อนไขของอนุกรม ซีรีย์ฟังก์ชั่น พาวเวอร์ซีรีส์ การสลายตัว ฟังก์ชั่นเบื้องต้นในซีรีส์ Maclaurin

แนวทางสำหรับหัวข้อ 1.4:

ชุดหมายเลข:

ชุดตัวเลขคือผลรวมของแบบฟอร์ม

ตัวเลขอยู่ที่ไหน คุณ 1, คุณ 2, คุณ 3, ไม่มีเรียกว่าสมาชิกของซีรีส์ สร้างลำดับอนันต์ คำว่า un เรียกว่าเป็นคำทั่วไปของอนุกรม

. . . . . . . . .

ที่ประกอบด้วยพจน์แรกของอนุกรม (27.1) เรียกว่าผลบวกบางส่วนของอนุกรมนี้

แต่ละแถวสามารถเชื่อมโยงกับลำดับของผลรวมบางส่วนได้ ส 1, ส 2, ส 3- ถ้าจำนวน n เพิ่มขึ้นอย่างไม่สิ้นสุด ผลรวมบางส่วนของอนุกรม สมีแนวโน้มที่จะถึงขีด จำกัด สแล้วอนุกรมนี้เรียกว่าการลู่เข้าและจำนวน ส-ผลรวมของอนุกรมที่มาบรรจบกัน เช่น

รายการนี้เทียบเท่ากับ

หากเป็นจำนวนเงินบางส่วน สซีรีส์ (27.1) เพิ่มได้ไม่จำกัด nไม่มีขีดจำกัด (โดยเฉพาะมีแนวโน้มที่จะ + ¥ หรือถึง - ¥) ดังนั้นซีรีส์ดังกล่าวจึงเรียกว่าไดเวอร์เจนต์

หากอนุกรมมาบรรจบกันก็จะเป็นค่า สสำหรับ n ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอคือนิพจน์โดยประมาณสำหรับผลรวมของอนุกรม ส.

ความแตกต่าง ร n = ส - ส nเรียกว่าส่วนที่เหลือของซีรีส์ หากอนุกรมมาบรรจบกัน ส่วนที่เหลือจะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ เช่น r n = 0 และในทางกลับกัน ถ้าเศษเหลือเป็นศูนย์ อนุกรมก็จะมาบรรจบกัน

เรียกว่าเป็นอนุกรมของแบบฟอร์ม ชุดเรขาคณิต

เรียกว่า ฮาร์มอนิก

ถ้า เอ็น®¥แล้ว ส®¥ เช่น อนุกรมฮาร์มอนิกจะแตกต่างออกไป

ตัวอย่างที่ 1 เขียนชุดข้อมูลโดยใช้คำศัพท์ทั่วไปที่กำหนด:

1) การใส่ n = 1, n = 2, n = 3 เรามีลำดับของตัวเลขที่ไม่สิ้นสุด: , , , เมื่อบวกเงื่อนไขเข้าไป เราจะได้อนุกรม

2) ทำแบบเดียวกัน เราก็จะได้ซีรีส์

3) ให้ค่า n 1, 2, 3 และพิจารณาว่า 1! = 1, 2! = 1 × 2.3! = 1 × 2 × 3 เราจะได้อนุกรม

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา n- สมาชิกคนที่ 2 ของซีรีส์ตามหมายเลขแรกที่กำหนด:

1) ; 2) ; 3) .

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาผลรวมของเงื่อนไขของอนุกรม:

1) ค้นหาผลรวมบางส่วนของเงื่อนไขของอนุกรม:

ลองเขียนลำดับของผลรวมบางส่วน: …, , … .

คำทั่วไปของลำดับนี้คือ เพราะฉะนั้น,

ลำดับของผลรวมบางส่วนมีขีดจำกัดเท่ากับ ดังนั้น อนุกรมมาบรรจบกันและผลรวมเท่ากับ

2) นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด โดยที่ 1 = , q= เมื่อใช้สูตร เราจะได้: ซึ่งหมายความว่าอนุกรมมาบรรจบกันและผลรวมเท่ากับ 1

การบรรจบกันและความแตกต่างของอนุกรมจำนวน สัญญาณของการบรรจบกันดาล็องแบร์ :

สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกันของซีรีส์ซีรีส์สามารถมาบรรจบกันได้ก็ต่อเมื่อมีคำทั่วไปคือ คุณ n โดยเพิ่มจำนวนได้ไม่จำกัด nมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์:

ถ้า แสดงว่าซีรีส์แตกต่าง - นี่คือ มีหลักฐานเพียงพอชุดการละลาย

สัญญาณที่เพียงพอของการบรรจบกันของอนุกรมที่มีเงื่อนไขเชิงบวก

สัญลักษณ์เปรียบเทียบอนุกรมกับพจน์เชิงบวก ซีรีส์ที่กำลังศึกษามาบรรจบกันหากเงื่อนไขไม่เกินเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องของซีรีส์อื่นที่ลู่เข้าหากันอย่างเห็นได้ชัด ซีรีส์ที่กำลังศึกษาจะมีความแตกต่างกันหากสมาชิกมีมากกว่าสมาชิกที่เกี่ยวข้องของซีรีส์อื่นที่มีความแตกต่างอย่างเห็นได้ชัด

เมื่อศึกษาอนุกรมสำหรับการลู่เข้าและความสามารถในการละลายตามเกณฑ์นี้ มักใช้อนุกรมเรขาคณิต

ซึ่งมาบรรจบกันที่ |q|

มีความแตกต่าง

เมื่อศึกษาอนุกรม ก็จะใช้อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไปด้วย

ถ้า พี= 1 จากนั้นอนุกรมนี้จะกลายเป็นอนุกรมฮาร์มอนิกซึ่งลู่ออก

ถ้า พี< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При พี> 1 เรามีอนุกรมเรขาคณิตโดยที่ | ถาม| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при พี> 1 และแยกออกที่ พี 1 ปอนด์

สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์- หากเป็นซีรีส์ที่มีแง่บวก

(คุณ n >0)

เมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขแล้วอนุกรมก็จะมาบรรจบกันที่ ลล. > 1.

สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์ไม่ได้ให้คำตอบว่า ล= 1. ในกรณีนี้จะใช้เทคนิคอื่นในการศึกษาชุดข้อมูล

ซีรีย์สลับกัน.

การบรรจบกันแบบสัมบูรณ์และมีเงื่อนไขของอนุกรม:

ชุดตัวเลข

คุณ 1 + คุณ 2 + คุณ 3 + คุณ

เรียกว่าสลับกันถ้าในหมู่สมาชิกมีทั้งจำนวนบวกและลบ

ชุดตัวเลขเรียกว่าการสลับกันถ้ามีพจน์สองคำที่อยู่ติดกันมีเครื่องหมายตรงกันข้าม ชุดนี้เป็นกรณีพิเศษของซีรีย์สลับกัน

การทดสอบการบรรจบกันของอนุกรมสลับ- หากเงื่อนไขของอนุกรมสลับกันลดค่าสัมบูรณ์และคำศัพท์ทั่วไปลงอย่างน่าเบื่อ คุณ n มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เช่น n® จากนั้นอนุกรมจะมาบรรจบกัน

ว่ากันว่าซีรีส์จะต้องมาบรรจบกันอย่างแน่นอนหากซีรีส์มาบรรจบกันด้วย หากซีรีส์มาบรรจบกันโดยสิ้นเชิง มันก็คือการมาบรรจบกัน (ในความหมายปกติ) ข้อความย้อนกลับไม่เป็นความจริง อนุกรมหนึ่งเรียกว่าการลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขหากอนุกรมนั้นมาบรรจบกัน และอนุกรมที่ประกอบด้วยโมดูลัสของสมาชิกแยกออกจากกัน ตัวอย่างที่ 4 ตรวจสอบอนุกรมสำหรับการลู่เข้า

ขอให้เราใช้การทดสอบที่เพียงพอของไลบนิซสำหรับการสลับอนุกรมกัน เราได้รับเพราะว่า ดังนั้นซีรีย์นี้จึงมาบรรจบกัน ตัวอย่างที่ 5 ตรวจสอบอนุกรมสำหรับการลู่เข้า

ลองใช้การทดสอบของไลบนิซกัน: จะเห็นได้ว่าโมดูลัสของเทอมทั่วไปไม่มีแนวโน้มเป็นศูนย์เมื่อ n → ∞- ดังนั้นซีรีย์นี้จึงแตกต่าง ตัวอย่างที่ 6 พิจารณาว่าอนุกรมหนึ่งมีการลู่เข้าอย่างแน่นอน การลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข หรือลู่ออก

เมื่อนำการทดสอบของดาล็องแบร์ไปประยุกต์ใช้กับอนุกรมที่ประกอบด้วยโมดูลัสของคำศัพท์ที่สอดคล้องกัน เราพบว่าอนุกรมนี้มาบรรจบกันอย่างแน่นอน

ตัวอย่างที่ 7 ตรวจสอบอนุกรมการสลับสัญญาณสำหรับการลู่เข้า (แบบสัมบูรณ์หรือแบบมีเงื่อนไข):

1) เงื่อนไขของซีรี่ส์นี้ลดลงอย่างน่าเบื่อในค่าสัมบูรณ์และ ดังนั้นตามเกณฑ์ของไลบนิซ ซีรีส์จึงมาบรรจบกัน ให้เราดูว่าซีรีส์นี้มาบรรจบกันโดยสมบูรณ์หรือมีเงื่อนไขหรือไม่

2) เงื่อนไขของซีรี่ส์นี้ลดลงอย่างน่าเบื่อในค่าสัมบูรณ์: และ

แถวการทำงาน:

ชุดตัวเลขปกติประกอบด้วยตัวเลข:

สมาชิกทุกคนในซีรีส์นี้ได้แก่ ตัวเลข

ชุดฟังก์ชันประกอบด้วย ฟังก์ชั่น:

นอกจากพหุนาม แฟกทอเรียล ฯลฯ แล้ว ยังเป็นศัพท์ทั่วไปของอนุกรมอีกด้วย แน่นอนมีตัวอักษร "x" รวมอยู่ด้วย ตัวอย่างเช่น มีลักษณะดังนี้: . เช่นเดียวกับอนุกรมตัวเลข อนุกรมเชิงฟังก์ชันใดๆ สามารถเขียนในรูปแบบขยายได้:

อย่างที่คุณเห็น สมาชิกทั้งหมดของซีรีย์ฟังก์ชั่นนั้นคือ ฟังก์ชั่น.

ซีรีย์ฟังก์ชั่นประเภทที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคือ ซีรีย์พาวเวอร์.

ซีรีย์พาวเวอร์:

ซีรีย์พาวเวอร์เรียกว่าอนุกรมของแบบฟอร์ม

ตัวเลขอยู่ที่ไหน 0, 1, 2, nเรียกว่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรม และคำว่า ไม่มี- สมาชิกทั่วไปของซีรีส์

บริเวณลู่เข้าของอนุกรมกำลังคือเซตของค่าทั้งหมด xซึ่งซีรีย์นี้มาบรรจบกัน

ตัวเลข รเรียกว่ารัศมีการบรรจบกันของอนุกรม ถ้าอยู่ที่ | x| ซีรีส์มาบรรจบกัน

ตัวอย่างที่ 8 กำหนดซีรี่ส์

ตรวจสอบการบรรจบกันที่จุดต่างๆ x= 1 และ เอ็กซ์= 3, x= -2.

เมื่อ x = 1 อนุกรมนี้จะกลายเป็นอนุกรมตัวเลข

ให้เราตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์นี้โดยใช้เกณฑ์ของ D'Alembert เรามี

เหล่านั้น. ซีรีส์มาบรรจบกัน

สำหรับ x = 3 เราจะได้อนุกรม

ซึ่งแตกต่างออกไปเนื่องจากเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมไม่เป็นที่พอใจ

สำหรับ x = -2 เราได้

นี่คือซีรีส์สลับกันซึ่งตามเกณฑ์ของไลบ์นิซมาบรรจบกัน

ดังนั้น ณ จุดต่างๆ x= 1 และ เอ็กซ์= -2. ซีรีส์มาบรรจบกันและตรงประเด็น x= 3 แยกออก

การขยายฟังก์ชันพื้นฐานในซีรีส์ Maclaurin:

ใกล้เทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชั่น ฉ(x)เรียกว่าอนุกรมกำลังในรูป

ถ้า, ก = 0 แล้วเราจะได้กรณีพิเศษของซีรีส์ Taylor

ซึ่งเรียกว่า แมคคลอรินอยู่ใกล้ๆ

อนุกรมกำลังภายในช่วงของการบรรจบกันสามารถแยกความแตกต่างได้ทีละเทอมและบูรณาการได้บ่อยเท่าที่ต้องการ และอนุกรมผลลัพธ์จะมีช่วงเวลาของการลู่เข้าเท่ากันกับอนุกรมดั้งเดิม

อนุกรมกำลังสองชุดสามารถบวกและคูณทีละเทอมได้ตามกฎสำหรับการบวกและการคูณพหุนาม ในกรณีนี้ ช่วงการบรรจบกันของอนุกรมใหม่ที่เกิดขึ้นจะเกิดขึ้นพร้อมกับส่วนทั่วไปของช่วงการบรรจบกันของอนุกรมดั้งเดิม

หากต้องการขยายฟังก์ชันเป็นซีรีส์ Maclaurin จำเป็น:

1) คำนวณค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์ต่อเนื่อง ณ จุดนั้น x= 0 เช่น -

8. ขยายฟังก์ชันเป็นซีรีส์ Maclaurin

ในทางปฏิบัติ การหาผลรวมของอนุกรมมักจะไม่สำคัญเท่ากับการตอบคำถามเรื่องการบรรจบกันของอนุกรม เพื่อจุดประสงค์นี้ เกณฑ์การลู่เข้าจะถูกใช้โดยพิจารณาจากคุณสมบัติของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรม

สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกันของซีรีส์

ทฤษฎีบท 1

ถ้าเป็นแถวมาบรรจบกัน จากนั้นก็เป็นคำทั่วไป มีแนวโน้มเป็นศูนย์เช่น
, เหล่านั้น.
.

สั้นๆ: หากอนุกรมมาบรรจบกัน คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนั้นมีแนวโน้มเป็นศูนย์

การพิสูจน์.ให้อนุกรมมาบรรจบกันและผลรวมเท่ากัน - สำหรับใครก็ตาม จำนวนบางส่วน

.

แล้ว .

จากเกณฑ์ที่จำเป็นที่ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับการบรรจบกันมีดังนี้ สัญญาณที่เพียงพอของความแตกต่างของซีรีส์: ถ้าที่
หากคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมไม่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ แสดงว่าอนุกรมนั้นแยกออกไป

ตัวอย่างที่ 4

สำหรับซีรีส์นี้ คำทั่วไปคือ
และ
.

ดังนั้นซีรีย์นี้จึงแตกต่าง

ตัวอย่างที่ 5ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

เห็นได้ชัดว่าคำศัพท์ทั่วไปของซีรีส์นี้ซึ่งรูปแบบที่ไม่ได้ระบุเนื่องจากความยุ่งยากในการแสดงออกมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เนื่องจาก
, เช่น. เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีย์เป็นที่พอใจ แต่ซีรีย์นี้แตกต่างเนื่องจากผลรวมของมัน มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

ชุดจำนวนบวก

เรียกว่าชุดตัวเลขที่ทุกพจน์เป็นบวก สัญญาณบวก

ทฤษฎีบท 2 (เกณฑ์สำหรับการบรรจบกันของอนุกรมเชิงบวก)

สำหรับอนุกรมที่มีเครื่องหมายบวกที่จะมาบรรจบกัน จำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมบางส่วนของอนุกรมนั้นจะถูกจำกัดขอบเขตจากด้านบนด้วยจำนวนเดียวกัน

การพิสูจน์.เพราะเพื่อใครก็ตาม
แล้วนั่นคือ ลำดับต่อมา
– เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ ดังนั้นสำหรับการมีอยู่ของขีดจำกัด จึงจำเป็นและเพียงพอที่จะจำกัดลำดับจากด้านบนด้วยจำนวนหนึ่ง

ทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญทางทฤษฎีมากกว่าเชิงปฏิบัติ ด้านล่างนี้คือการทดสอบการลู่เข้าอื่นๆ ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายมากขึ้น

สัญญาณที่เพียงพอของการบรรจบกันของอนุกรมเชิงบวก

ทฤษฎีบท 3 (เครื่องหมายเปรียบเทียบแรก)

ให้อนุกรมสัญญาณเชิงบวกสองชุดได้รับ:

(1)

(2)

และเริ่มจากจำนวนหนึ่ง
สำหรับใครก็ตาม
ความไม่เท่าเทียมกันถือ
แล้ว:

สัญกรณ์แผนผังของคุณลักษณะการเปรียบเทียบแรก:

การสืบเชื้อสายมา การรวมตัวกัน

ประสบการณ์ประสบการณ์

การพิสูจน์. 1) เนื่องจากการละทิ้งพจน์จำนวนจำกัดของอนุกรมไม่ส่งผลต่อการบรรจบกัน เราจึงพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับกรณีนี้
- ให้เป็นของใครก็ได้
เรามี

, (3)

ที่ไหน
และ
- ผลรวมบางส่วนของอนุกรม (1) และ (2) ตามลำดับ

ถ้าอนุกรม (2) มาบรรจบกัน ก็จะมีตัวเลข
. เนื่องจากในกรณีนี้ลำดับ
- เพิ่มขึ้น ขีดจำกัดของมันมากกว่าสมาชิกรายใด ๆ เช่น
สำหรับใครก็ตาม . ดังนั้น จากความไม่เท่าเทียมกัน (3) จึงเป็นไปตามนี้
. ดังนั้น ผลรวมบางส่วนของอนุกรม (1) จึงถูกจำกัดไว้ด้านบนด้วยตัวเลข . ตามทฤษฎีบทที่ 2 ชุดนี้มาบรรจบกัน

2) แท้จริงแล้ว ถ้าอนุกรม (2) มาบรรจบกัน เมื่อเปรียบเทียบแล้ว อนุกรม (1) ก็จะมาบรรจบกันด้วย

ในการใช้คุณลักษณะนี้ มักใช้ชุดมาตรฐานดังกล่าว การลู่เข้าหรือความแตกต่างซึ่งทราบล่วงหน้าแล้ว เช่น:

3) - ซีรีส์ Dirichlet (มาบรรจบกันที่
และแตกต่างออกไปที่
).

นอกจากนี้ อนุกรมมักใช้ซึ่งสามารถหาได้โดยใช้อสมการที่เห็นได้ชัดเจนต่อไปนี้:

,

,
,
.

ให้เราพิจารณาโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง โครงการศึกษาชุดข้อมูลเชิงบวกสำหรับการลู่เข้าโดยใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบแรก

ตัวอย่างที่ 6สำรวจแถว
เพื่อการบรรจบกัน

ขั้นตอนที่ 1 ตรวจสอบสัญญาณบวกของซีรีย์:
สำหรับ

ขั้นตอนที่ 2 ตรวจสอบการปฏิบัติตามเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีส์:
- เพราะ
, ที่

(หากคำนวณวงเงินยากสามารถข้ามขั้นตอนนี้ได้)

ขั้นตอนที่ 3 ใช้เครื่องหมายเปรียบเทียบอันแรก ในการดำเนินการนี้ เราจะเลือกซีรีส์มาตรฐานสำหรับซีรีส์นี้ เพราะ
แล้วเราก็สามารถนำซีรี่ส์มาเป็นมาตรฐานได้
, เช่น. ซีรีส์ดีริชเลต์ ชุดนี้มาบรรจบกันเพราะเลขชี้กำลัง
- ดังนั้น ตามเกณฑ์การเปรียบเทียบแรก ชุดข้อมูลที่กำลังศึกษาก็จะมาบรรจบกันด้วย

ตัวอย่างที่ 7สำรวจแถว
เพื่อการบรรจบกัน

1) ซีรีส์นี้เป็นบวก เนื่องจาก
สำหรับ

2) เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของอนุกรมนั้นเป็นที่พอใจเพราะว่า

3) มาเลือกแถวมาตรฐานกัน เพราะ
จากนั้นเราสามารถนำอนุกรมเรขาคณิตมาเป็นมาตรฐานได้

- ซีรีส์นี้มาบรรจบกัน และซีรีส์ที่กำลังศึกษาก็มาบรรจบกันด้วย

ทฤษฎีบทที่ 4 (เกณฑ์การเปรียบเทียบที่สอง)

ถ้าเป็นซีรีย์เชิงบวก และ มีขีดจำกัดอันไม่สิ้นสุด
, ที่ แถวมาบรรจบกันหรือแยกออกพร้อมกัน

การพิสูจน์.ให้ซีรีส์ (2) มาบรรจบกัน; ให้เราพิสูจน์ว่าอนุกรม (1) มาบรรจบกันด้วย มาเลือกเลขกัน , มากกว่า . จากสภาพ
ตามมาว่ามีตัวเลขดังกล่าวอยู่ นั่นสำหรับทุกคน
ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง
, หรือสิ่งที่เหมือนกัน

(4)

ทิ้งอันแรกในแถว (1) และ (2) (ซึ่งไม่ส่งผลกระทบต่อการบรรจบกัน) เราสามารถสรุปได้ว่าความไม่เท่าเทียมกัน (4) นั้นใช้ได้สำหรับทุกคน
แต่เป็นซีรีส์ที่มีสมาชิกร่วมกัน
มาบรรจบกันเนื่องจากการบรรจบกันของอนุกรม (2) ตามเกณฑ์การเปรียบเทียบแรก ความไม่เท่าเทียมกัน (4) หมายถึงการบรรจบกันของอนุกรม (1)

ตอนนี้ให้ซีรีส์ (1) มาบรรจบกัน ให้เราพิสูจน์การบรรจบกันของอนุกรม (2) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เพียงสลับบทบาทของแถวที่กำหนด เพราะ

จากสิ่งที่พิสูจน์แล้วข้างต้น การบรรจบกันของอนุกรม (1) ควรบ่งบอกถึงการบรรจบกันของอนุกรม (2)

ถ้า
ที่
(สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกัน) จากนั้นจากเงื่อนไข
มันเป็นไปตามนั้น และ – ค่าน้อยที่สุดของความเล็กลำดับเดียวกัน (เทียบเท่ากับ
- ดังนั้นหากได้รับเป็นซีรีย์ , ที่ไหน
ที่
จากนั้นสำหรับซีรีส์นี้ คุณสามารถใช้ซีรีส์มาตรฐานได้ ที่ไหนเป็นคำทั่วไป มีลำดับเล็กเหมือนกับคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมที่กำหนด

เมื่อเลือกซีรี่ส์มาตรฐาน คุณสามารถใช้ตารางค่าเล็กน้อยที่เทียบเท่าต่อไปนี้ได้ที่
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

ตัวอย่างที่ 8ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

.

สำหรับใครก็ตาม
.

เพราะ
จากนั้นเราจะนำอนุกรมไดเวอร์เจนต์ฮาร์มอนิกเป็นอนุกรมมาตรฐาน
- เนื่องจากขีดจำกัดของอัตราส่วนของเงื่อนไขทั่วไป และ มีขอบเขตจำกัดและแตกต่างจากศูนย์ (เท่ากับ 1) จากนั้นชุดข้อมูลนี้จะแตกต่างไปตามเกณฑ์การเปรียบเทียบที่สอง

ตัวอย่างที่ 9
ตามเกณฑ์การเปรียบเทียบสองประการ

ซีรีย์นี้เป็นบวกตั้งแต่
, และ
- เพราะ
จากนั้นอนุกรมฮาร์มอนิกก็สามารถใช้เป็นอนุกรมมาตรฐานได้ - ซีรีส์นี้มีความแตกต่าง ดังนั้นตามสัญญาณแรกของการเปรียบเทียบ ซีรีส์ที่กำลังศึกษาจึงแตกต่างไปด้วย

เนื่องจากซีรีส์นี้และซีรีส์มาตรฐานเป็นไปตามเงื่อนไข
(ในที่นี้มีการใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่ 1) จากนั้นจึงยึดตามเกณฑ์การเปรียบเทียบที่สองของซีรีส์
– แตกต่าง.

ทฤษฎีบทที่ 5 (การทดสอบของดาล็องแบร์)

มีขีดจำกัด
แล้วซีรีส์ก็มาบรรจบกันที่
และแตกต่างออกไปที่
.

การพิสูจน์.อนุญาต
- ลองเอาตัวเลขมาบ้าง , สรุประหว่าง และ 1:
- จากสภาพ
เป็นไปตามนั้นโดยเริ่มจากตัวเลขจำนวนหนึ่ง ความไม่เท่าเทียมกันถือ

;
;
(5)

พิจารณาซีรีส์

ตาม (5) เงื่อนไขทั้งหมดของอนุกรม (6) จะต้องไม่เกินเงื่อนไขที่สอดคล้องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์
เพราะ
ความก้าวหน้านี้มาบรรจบกัน จากที่นี่ เนื่องจากเกณฑ์การเปรียบเทียบแรก การบรรจบกันของอนุกรมจะตามมา

กำลังเกิดขึ้น
พิจารณาด้วยตัวคุณเอง

หมายเหตุ :

มันตามมาว่าส่วนที่เหลือของซีรีส์

.

การทดสอบของดาล็องแบร์นั้นสะดวกในทางปฏิบัติเมื่อคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมประกอบด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือแฟกทอเรียล

ตัวอย่างที่ 10ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า ตามป้ายของดาล็องแบร์

ชุดนี้เป็นบวกและ

.

(ในการคำนวณนี้ จะใช้กฎของโลปิตาลสองครั้ง)

จากนั้นตามเกณฑ์ของ d'Alembert ชุดนี้จะมาบรรจบกัน

ตัวอย่างที่ 11.

ชุดนี้เป็นบวกและ
- เพราะ

แล้วซีรีย์นี้ก็มาบรรจบกัน

ทฤษฎีบท 6 (การทดสอบคอชี่)

หากเป็นซีรีส์เชิงบวก มีขีดจำกัด
แล้วเมื่อไร
ซีรีส์จะมาบรรจบกันและเมื่อใด
แถวนั้นแยกออกจากกัน

การพิสูจน์คล้ายกับทฤษฎีบทที่ 5

หมายเหตุ :

ตัวอย่างที่ 12ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า
.

ซีรีย์นี้เป็นบวกตั้งแต่
สำหรับใครก็ตาม
- เนื่องจากการคำนวณวงเงิน
ทำให้เกิดปัญหาบางอย่าง จากนั้นเราจะละเว้นการตรวจสอบความเป็นไปได้ของเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีส์

จากนั้น ตามเกณฑ์ของ Cauchy ซีรีส์นี้จะแตกต่างออกไป

ทฤษฎีบทที่ 7 (การทดสอบอินทิกรัลสำหรับ Maclaurin - การบรรจบกันของ Cauchy)

เลยแจกซีรีย์.

ซึ่งมีเงื่อนไขเป็นบวกและไม่เพิ่มขึ้น:

ให้ต่อไป
- ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้สำหรับของจริงทั้งหมด
, ต่อเนื่องกัน, ไม่เพิ่มขึ้น และ