กลุ่มวงจร. โครงสร้างพีชคณิต การสร้างองค์ประกอบของกลุ่มวงจร

• 1. กลุ่ม ซีจำนวนเต็มพร้อมการดำเนินการบวก
• 2. กลุ่มของรากเชิงซ้อนของดีกรีทั้งหมด nจากอันหนึ่งด้วยการดำเนินการคูณ เนื่องจากเลขไซคลิกคือมอร์ฟิซึม

กลุ่มเป็นแบบวนและองค์ประกอบกำลังสร้าง

เราจะเห็นว่ากลุ่มวัฏจักรสามารถเป็นได้ทั้งแบบจำกัดหรืออนันต์

3. ให้เป็นกลุ่มตามอำเภอใจและองค์ประกอบตามอำเภอใจ ชุดนี้เป็นกลุ่มวงจรที่มีองค์ประกอบตัวสร้าง g มันถูกเรียกว่ากลุ่มย่อยแบบวนรอบที่สร้างโดยองค์ประกอบ g และลำดับของมันคือลำดับขององค์ประกอบ g ตามทฤษฎีบทของลากรองจ์ ลำดับขององค์ประกอบเป็นตัวหารของลำดับของกลุ่ม แสดง

ดำเนินการตามสูตร:

เห็นได้ชัดว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมและภาพของมันเกิดขึ้นพร้อมกัน การทำแผนที่เป็นแบบ Surjective ถ้าหากว่าเป็นกลุ่มเท่านั้น ช- วงจรและ กองค์ประกอบที่เป็นส่วนประกอบ ในกรณีนี้ เราจะเรียกโฮโมมอร์ฟิซึมมาตรฐานสำหรับกลุ่มไซคลิก ชด้วยเจเนราทริกซ์ที่คัดสรร ก.

เมื่อใช้ทฤษฎีบทโฮโมมอร์ฟิซึมในกรณีนี้ เราได้รับคุณสมบัติที่สำคัญของกลุ่มไซคลิก: หมู่ไซคลิกทุกกลุ่มเป็นอิมเมจโฮโมมอร์ฟิกของกลุ่ม ซี .

ในกลุ่มใดก็ได้ ชสามารถกำหนดได้ องศาองค์ประกอบที่มีตัวบ่งชี้จำนวนเต็ม:

ทรัพย์สินนั้นถืออยู่

นี่ชัดเจนว่า. . ลองพิจารณากรณีเมื่อ . แล้ว

กรณีที่เหลือจะได้รับการปฏิบัติเช่นเดียวกัน

จาก (6) เป็นไปตามนั้น

นอกจากนี้ตามคำนิยาม ดังนั้นพลังขององค์ประกอบจึงก่อตัวเป็นกลุ่มย่อยในกลุ่ม ช.มันเรียกว่า กลุ่มย่อยแบบวนรอบที่สร้างโดยองค์ประกอบและเขียนแทนด้วย .

เป็นไปได้สองกรณีโดยพื้นฐานที่แตกต่างกัน: องศาขององค์ประกอบทั้งหมดจะแตกต่างกันหรือไม่ ในกรณีแรก กลุ่มย่อยจะไม่มีที่สิ้นสุด ให้เราพิจารณากรณีที่สองโดยละเอียด

อนุญาต ,; แล้ว. จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด ที,ซึ่งในกรณีนี้จะเรียกว่า ตามลำดับองค์ประกอบและเขียนแทนด้วย .

ประโยคที่ 1 ถ้า , ที่

การพิสูจน์- 1) แบ่ง มบน nที่เหลือ:

แล้วตามคำนิยามของคำสั่ง

เนื่องจากก่อนหน้านี้

ผลที่ตามมา ถ้ากลุ่มย่อย mo มี n องค์ประกอบ

การพิสูจน์.จริงหรือ,

และองค์ประกอบทั้งหมดที่ระบุไว้จะแตกต่างกัน

ในกรณีที่ไม่มีธรรมชาติเช่นนั้น ที,(นั่นคือกรณีแรกที่อธิบายไว้ข้างต้นเกิดขึ้น) เป็นที่เชื่อกันว่า . โปรดทราบว่า; ลำดับขององค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดในกลุ่มมีค่ามากกว่า 1

ในกลุ่มสารบวก เราไม่ได้พูดถึงพลังของธาตุ , และเกี่ยวกับเขา ทวีคูณซึ่งแสดงโดย . ตามนี้ลำดับขององค์ประกอบของกลุ่มสารเติมแต่งคือ ช-- เป็นจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด ต(ถ้ามี) ซึ่ง

ตัวอย่างที่ 1คุณลักษณะของฟิลด์คือลำดับขององค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ในกลุ่มการบวก

ตัวอย่างที่ 2- เห็นได้ชัดว่าในกลุ่มจำกัด ลำดับขององค์ประกอบใดๆ ก็มีจำกัด ให้เราแสดงวิธีคำนวณลำดับขององค์ประกอบของกลุ่ม วงจรความยาว และแสดงด้วยการจัดเรียงใหม่แบบวนรอบ

และทิ้งตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมดไว้ที่เดิม แน่นอนว่าลำดับของความยาวรอบจะเท่ากับ ร.วัฏจักรเรียกว่า เป็นอิสระ,หากในบรรดาตัวเลขที่พวกเขาจัดเรียงใหม่จริง ๆ แล้วไม่มีตัวเลขทั่วไป ในกรณีนี้ . สารทดแทนทุกชนิดสามารถสลายตัวเป็นผลคูณของวัฏจักรอิสระได้โดยไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น,

ซึ่งแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนในรูปโดยที่การกระทำการทดแทนมีลูกศรแสดง หากการทดแทนถูกสลายเป็นผลคูณของวงจรความยาวอิสระ , ที่

ตัวอย่างที่ 3ลำดับของจำนวนเชิงซ้อน c ในกลุ่มนั้นมีจำกัดก็ต่อเมื่อจำนวนนี้เป็นรากของพลังแห่งความสามัคคี ซึ่งในทางกลับกันจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ a สมส่วนกับ c กล่าวคือ -

ตัวอย่างที่ 4ให้เราค้นหาองค์ประกอบของลำดับจำกัดในกลุ่มการเคลื่อนที่ของเครื่องบิน ช่างมัน. ไม่ว่าจะจุดไหนก็ตาม

จัดเรียงใหม่ตามการเคลื่อนไหว , ดังนั้นจุดศูนย์ถ่วงของพวกเขา โอค่อนข้างนิ่ง ดังนั้น - ไม่ว่าจะหมุนตามมุมมองรอบจุด โอหรือการสะท้อนสัมพันธ์กับเส้นตรงบางเส้นที่ผ่าน โอ.

ตัวอย่างที่ 5- ลองหาลำดับของเมทริกซ์กัน

เป็นองค์ประกอบของกลุ่ม เรามี

ดังนั้น. แน่นอนว่าตัวอย่างนี้ถูกเลือกมาเป็นพิเศษ ความน่าจะเป็นที่ลำดับของเมทริกซ์ที่เลือกแบบสุ่มจะมีขอบเขตจำกัดคือศูนย์

ข้อเสนอ 2. ถ้า , ที่

การพิสูจน์.อนุญาต

ดังนั้น. เรามี

เพราะฉะนั้น, .

คำจำกัดความ 1 - กลุ่ม ชเรียกว่า วัฏจักร,หากมีองค์ประกอบดังกล่าวอยู่ , อะไร . องค์ประกอบใด ๆ ดังกล่าวเรียกว่า องค์ประกอบการสร้างกลุ่ม ช.

ตัวอย่างที่ 6กลุ่มการบวกของจำนวนเต็มเป็นแบบวนรอบเนื่องจากสร้างโดยองค์ประกอบที่ 1

ตัวอย่างที่ 7กลุ่มโมดูโลเพิ่มเติมของการหักเงิน nเป็นวงจรเพราะมันถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ

ตัวอย่างที่ 8กลุ่มการคูณของรากเชิงซ้อน ระดับที่ nของ 1 เป็นวัฏจักร แท้จริงแล้วรากเหล่านี้เป็นตัวเลข

มันชัดเจนว่า . ดังนั้นกลุ่มจึงถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าในกลุ่มวัฏจักรอนันต์ องค์ประกอบกำเนิดเพียงอย่างเดียวคือ และ ดังนั้น ในกลุ่ม Z องค์ประกอบกำเนิดเดียวคือ 1 และ -- 1

จำนวนองค์ประกอบของกลุ่มสุดท้าย ชโทรหาเธอ ตามลำดับและเขียนแทนด้วย ลำดับของกลุ่มไซคลิกจำกัดจะเท่ากับลำดับขององค์ประกอบกำเนิดของมัน ดังนั้นจากข้อเสนอที่ 2 จึงเป็นไปตามนั้น

ประโยคที่ 3 - องค์ประกอบกลุ่มวงจร ของลำดับ n กำลังสร้างก็ต่อเมื่อเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 9องค์ประกอบการสร้างของกลุ่มเรียกว่า รากดั้งเดิม nยกกำลัง 1 เหล่านี้คือรากของสายพันธุ์ , ที่ไหน. ตัวอย่างเช่น รากดั้งเดิมของดีกรี 12 จาก 1 คือ

กลุ่มแบบวนเป็นกลุ่มที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะจินตนาการได้ (โดยเฉพาะพวกเขาเป็นชาวอาบีเลียน) ทฤษฎีบทต่อไปนี้ให้คำอธิบายที่สมบูรณ์

ทฤษฎีบท 1 หมู่วัฏจักรอนันต์ทุกหมู่จะมีไอโซมอร์ฟิกต่อหมู่หนึ่ง กลุ่มไซคลิกจำกัดทุกกลุ่มของลำดับ n จะเป็นไอโซมอร์ฟิกของกลุ่ม

การพิสูจน์. ถ้า เป็นกลุ่มวัฏจักรอนันต์ ดังนั้นตามสูตร (4) การแมปจึงเป็นมอร์ฟิซึ่ม

อนุญาต เป็นกลุ่มลำดับแบบวนจำกัด พีพิจารณาการทำแผนที่

จากนั้นการแม็ปก็ถูกกำหนดไว้อย่างดีและมีหลักการ คุณสมบัติ

ตามมาจากสูตรเดียวกัน (1) ดังนั้นจึงเป็นมอร์ฟิซึม

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

เพื่อให้เข้าใจโครงสร้างของกลุ่ม ความรู้เกี่ยวกับกลุ่มย่อยมีบทบาทสำคัญ กลุ่มย่อยทั้งหมดของกลุ่มไซคลิกสามารถอธิบายได้อย่างง่ายดาย

ทฤษฎีบท 2. 1) ทุกกลุ่มย่อยของกลุ่มวนเป็นวงกลม

2) ในกลุ่มลำดับแบบวนรอบ n ลำดับของการแบ่งกลุ่มย่อยใดๆ n และสำหรับตัวหาร q ใดๆ ของจำนวนนั้น n มีกลุ่มย่อยของลำดับ q เพียงกลุ่มเดียวเท่านั้น

การพิสูจน์- 1) ให้เป็นกลุ่มวนและ เอ็น-- กลุ่มย่อยของมัน แตกต่างจาก (กลุ่มย่อยของข้อมูลประจำตัวเป็นแบบวนอย่างเห็นได้ชัด) โปรดทราบว่าหากสำหรับอย่างใดอย่างหนึ่ง แล้ว และ . อนุญาต ต-- จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดของจำนวนนั้น . มาพิสูจน์กัน . อนุญาต . มาแบ่งกัน ถึงบน ตที่เหลือ:

ดังนั้นโดยอาศัยนิยามของจำนวน ตเป็นไปตามนั้นและด้วยเหตุนี้ .

2) ถ้า , แล้วใช้เหตุผลก่อนหน้านี้กับ (ในกรณีนี้ ), แสดงให้เห็นว่า . ในเวลาเดียวกัน

และ เอ็นเป็นกลุ่มย่อยเพียงกลุ่มเดียวเท่านั้น ถามในกลุ่ม ช.กลับถ้า ถาม-- ตัวหารตัวเลขใดๆ nและ , แล้วก็เป็นเซตย่อย ยังไม่มีข้อความกำหนดด้วยความเท่าเทียมกัน (9) เป็นกลุ่มย่อยของลำดับ ถาม ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลที่ตามมา - ในกลุ่มแบบวนรอบของลำดับเฉพาะ กลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญใดๆ จะเกิดขึ้นพร้อมกันกับทั้งกลุ่ม

ตัวอย่างที่ 10ในกลุ่มทุกกลุ่มย่อยจะมีรูปแบบอยู่ที่ไหน

ตัวอย่างที่ 11ในกลุ่ม รากที่ nยกกำลังของ 1 หมู่ย่อยใด ๆ คือหมู่ของราก คิว-ระดับ 1 ที่ไหน

ให้ M เป็นเซตย่อยของกลุ่ม G เซตของผลิตภัณฑ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดขององค์ประกอบจาก M และอินเวอร์สขององค์ประกอบเหล่านั้นคือกลุ่มย่อย เรียกว่ากลุ่มย่อยที่สร้างโดยเซตย่อย M และเขียนแทนด้วย hMi โดยเฉพาะอย่างยิ่ง M จะสร้างกลุ่ม G ถ้า G = hMi ข้อความง่ายๆ ต่อไปนี้มีประโยชน์:

กลุ่มย่อย H ถูกสร้างขึ้นโดยเซตย่อย M จากนั้น และ

ถ้า G = hMi และ |M|< ∞, то G называется แน่นอนสร้างขึ้น.

กลุ่มย่อยที่สร้างโดยองค์ประกอบหนึ่งคือ G เรียกว่า cyclic และเขียนแทนด้วย hai ถ้า G = hai สำหรับ G ตัวใดตัวหนึ่ง G ก็จะเรียกว่าไซคลิก ตัวอย่างของกลุ่มวงจร:

1) กลุ่ม Z ของจำนวนเต็มสัมพันธ์กับการบวก

2) กลุ่ม Z(n) การหักเงินแบบโมดูโล่ n สัมพันธ์กับการบวก;

ของเธอ องค์ประกอบคือเซตของจำนวนเต็มทั้งหมดที่ให้เศษเหลือเท่ากันเมื่อหารด้วยตัวเลขที่กำหนด n Z

ปรากฎว่าตัวอย่างเหล่านี้หมดกลุ่มวงจรทั้งหมด:

ทฤษฎีบท 2.1 1) ถ้า G เป็นกลุ่มวงจรอนันต์ แล้ว

จี ซี

2) ถ้า G เป็นกลุ่มวงวนจำกัดของลำดับ n แล้ว

จีแซด(n)

ลำดับขององค์ประกอบ a G มีค่าน้อยที่สุด จำนวนธรรมชาติ n โดยที่ an = 1; หากไม่มีตัวเลขดังกล่าว ลำดับขององค์ประกอบจะถือเป็นอนันต์ ลำดับขององค์ประกอบ a แสดงด้วย |a| โปรดทราบว่า |hai| = |ก|.

2.1. คำนวณลำดับองค์ประกอบของกลุ่ม S3, D4

2.2. ให้ |G|< ∞, g G. Докажите, что |g| делит |G|.

2.3. ให้ g G, |g| = น. พิสูจน์ว่า gm = e ก็ต่อเมื่อ n หาร m เท่านั้น

2.4. ให้ |G| = น. พิสูจน์ว่า an = e สำหรับ G ทุกตัว

2.5. พิสูจน์ว่ากลุ่มของลำดับคู่มีองค์ประกอบของลำดับที่ 2

2.6. ให้กลุ่ม G มีลำดับคี่ พิสูจน์ว่าทุก ๆ G จะมี b G โดยที่ a = b2

2.7. ตรวจสอบว่า |x| = |yxy−1 |, |ab| = |บริติชแอร์เวย์|, |เอบีซี| = |บีซีเอ| = |รถแท็กซี่|.

2.8. ปล่อยให้ G, |a| = n และ b = อัค พิสูจน์ว่า |b| = n/GCD(n, k);

2.9. ให้ ab = บะ พิสูจน์ว่า LCM(|a|, |b|) หารด้วย |ab| ลงตัว ให้ตัวอย่างเมื่อ LCM(|a|, |b|) 6= |ab|

2.10. ให้ ab = ba, GCD(|a|, |b|) = 1. พิสูจน์ว่า |ab| = |ก||ข|.

2.11. ให้ σ Sn เป็นวัฏจักร ตรวจสอบว่า |σ| เท่ากับความยาว σ

2.12. ให้ σ Sn, σ = σ1 - - σm โดยที่ σ1, . - - , σm เป็นวัฏจักรอิสระ ตรวจสอบว่า |σ| = LCM(|σ1 |, . . . , |σm |)

2.13. กลุ่มเป็นวัฏจักรหรือไม่: a) Sn ;

ข) DN;

c) µn := (z C | zn = 1)?

2.14. พิสูจน์ว่าถ้า |G| = p เป็นจำนวนเฉพาะ จากนั้น G เป็นวงจร

2.15. พิสูจน์ว่ากลุ่มที่ไม่มีตัวตน G ไม่มีกลุ่มย่อยที่เหมาะสม ถ้าหาก |G| = p คือ G คือ isomorphic ของ Z(p) (p คือจำนวนเฉพาะ)

2.16. พิสูจน์ว่าถ้า |G| ≤ 5 แล้ว G คือ Abelian อธิบายกลุ่มลำดับที่ 4

2.17. ให้ G เป็นกลุ่มลำดับ n ที่มีองค์ประกอบตัวสร้าง a ให้ b = อ. พิสูจน์ว่า G = hbi ก็ต่อเมื่อ GCD(n, k) = 1 นั่นคือ จำนวนขององค์ประกอบการสร้างในกลุ่มวงจรของลำดับ n เท่ากับ ϕ(n) โดยที่ ϕ คือฟังก์ชันออยเลอร์:

2.18.* พิสูจน์ว่า

2.19. ให้ G เป็นกลุ่มวงจรของลำดับ n, m|n พิสูจน์ว่า G มีกลุ่มย่อยลำดับ m เพียงกลุ่มเดียวเท่านั้น

2.20. ค้นหาเครื่องกำเนิดทั้งหมดของกลุ่ม: a) Z, b) Z(18)

2.21. พิสูจน์ว่ากลุ่มอนันต์มีจำนวนกลุ่มย่อยไม่สิ้นสุด

2 .22 .* ให้ |G|< ∞. Докажите, что G циклична тогда и только тогда, когда |Gd | ≤ d для всех d N, где Gd = {x G | xd = e}.

2 .23 .* ให้ F เป็นฟิลด์, G เป็นกลุ่มย่อยจำกัดของ F พิสูจน์ว่า G เป็นวัฏจักร

R A Z D E L 3

โฮโมมอร์ฟิซึม กลุ่มย่อยปกติ กลุ่มปัจจัย

การแม็ปกลุ่ม f: G −→ H เรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึม ถ้า f(ab) = f(a)f(b) สำหรับ a, b G ใดๆ (ดังนั้น จะเป็นมอร์ฟิซึ่มม์)

– กรณีพิเศษโฮโมมอร์ฟิซึม) มักใช้โฮโมมอร์ฟิซึมประเภทอื่น:

monomorphism เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบฉีด, epimorphism เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบเร่งด่วน, เอนโดมอร์ฟิซึมเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมในตัวเอง, ออโตมอร์ฟิซึมเป็นไอโซมอร์ฟิซึมในตัวเอง

เซตย่อย

เคอร์ฟ = (ก G | ฉ(ก) = 1) ก

IMF = (b H | f(a) = b สำหรับ G บางตัว) H

เรียกว่าเคอร์เนลและอิมเมจของโฮโมมอร์ฟิซึม f ตามลำดับ แน่นอนว่า Kerf และ IMF เป็นกลุ่มย่อย

กลุ่มย่อย เอ็น< G называется нормальной (это обозначается N C G), если a−1 Na = N для всех a G; это эквивалентно тому, что Na = aN. Группа называется простой , если она не содержит собственных нормальных подгрупп.

เคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมเป็นกลุ่มย่อยปกติ การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน กลุ่มย่อยปกติทุกกลุ่มเป็นแก่นของโฮโมมอร์ฟิซึมบางกลุ่ม เพื่อแสดงสิ่งนี้ ให้เราแนะนำชุดนี้

16 ส่วนที่ 3 โฮโมมอร์ฟิซึม กลุ่มแฟคเตอร์

G/N = (aN | a G) cosets โดยการดำเนินการของกลุ่มย่อย N ปกติ: aN · bN = abN จากนั้น G/N จะกลายเป็นกลุ่ม ซึ่งเรียกว่ากลุ่มผลหารโดยกลุ่มย่อย N การแมป f: G −→ G/N เป็นแบบ epimorphism และ Kerf = N

โฮโมมอร์ฟิซึมทุกตัว f: G −→ H เป็นองค์ประกอบของ epimorphism G −→ G/Kerf, isomorphism G/Kerf −→ IMF และ monomorphism Imf −→ H

3.1. พิสูจน์ว่าการแมปเหล่านี้เป็นโฮโมมอร์ฟิก

กลุ่มแม่และค้นหาแก่นแท้และภาพลักษณ์ของพวกเขา ก) f: R → R, f(x) = อดีต;

b) f: R → C, f(x) = e2πix;

c) f: F → F (โดยที่ F คือสนาม), f(x) = ขวาน, a F ; ง) ฉ: R → R, ฉ(x) = sgnx;

จ) ฉ: R → R, ฉ(x) = |x|; จ) f: C → R, f(x) = |x|;

g) f: GL(n, F) → F (โดยที่ F คือสนาม), f(A) = det A;

h) f: GL(2, F) → G โดยที่ G คือกลุ่มของฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้น (ดูปัญหา 1.8) F คือสนาม

i) f: Sn → (1, −1), f(σ) = sgnσ

3.2. ภายใต้เงื่อนไขใดในกลุ่ม G คือการแมป f: G → G ที่กำหนดโดยสูตร

ก) ก. 7→g2 b) ก. 7→ก−1 ,

มันเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมหรือเปล่า?

3.3. ให้ f: G → H เป็นโฮโมมอร์ฟิซึม และให้ G พิสูจน์ว่า |f(a)| หาร |a|.

3.4. พิสูจน์ว่าภาพโฮโมมอร์ฟิกของกลุ่มไซคลิกเป็นแบบไซคลิก

3.5. พิสูจน์ว่ารูปภาพและรูปภาพผกผันของกลุ่มย่อยภายใต้โฮโมมอร์ฟิซึมเป็นกลุ่มย่อย

3.6. เราเรียกหมู่ G1 และ G2 ว่าต้านไอโซมอร์ฟิก หากมีเส้นโครง f: G1 → G2 โดยที่ f(ab) = f(b)f(a) สำหรับ a, b G1 ทั้งหมด พิสูจน์ว่าหมู่แอนติไอโซมอร์ฟิกเป็นไอโซมอร์ฟิก

3.7.* พิสูจน์ว่าไม่มีโฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่ไม่สำคัญ Q → Z, Q → Q+

3 .8 .* ให้ G เป็นกลุ่ม g G. พิสูจน์ว่าการมีอยู่ของ f Hom(Z(m), G) โดยที่ f(1) = g จำเป็นและเพียงพอที่ gm = e

3.9. อธิบาย

a) หอม(Z(6), Z(18)), b) หอม(Z(18), Z(6)), c) หอม(Z(12), Z(15)), d) หอม(Z (ม.), Z(n))

3.10. ตรวจสอบสิ่งนั้น

α, β R, α2 + β2 6= 0 .

3. 11- (ลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทของเคย์ลีย์) พิสูจน์ว่าการมอบหมายให้กับองค์ประกอบ a G ของการเรียงสับเปลี่ยน xH 7→axH บนเซตของโคเซ็ตเทียบกับกลุ่มย่อย H< G является гомоморфизмом G в группу S(G/H). Чему равно его ядро?

3. 12- ตรวจสอบว่าชุด Aut G ของออโตมอร์ฟิซึมทั้งหมดของกลุ่ม G ก่อให้เกิดกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบ

3. 13- ตรวจสอบว่าการแมป fก. : G → G, f ก (x) = gxg −1 โดยที่ g G คือออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่ม G (เรียกออโตมอร์ฟิซึมดังกล่าวภายใน - ตรวจสอบว่าออโตมอร์ฟิซึมภายในก่อตัวเป็นกลุ่มย่อย Inn G< Aut G.

3.14. ค้นหากลุ่มออโตมอร์ฟิซึม ก) Z;

b) กลุ่มลำดับที่ 4 แบบไม่วนรอบ (ดูปัญหา 2.16) ค) S3;

18 ส่วนที่ 3 โฮโมมอร์ฟิซึม กลุ่มแฟคเตอร์

3.15. เป็นความจริงหรือไม่ที่: ก) G C G, E C G;

b) SL(n, F) C GL(n, F);

c) เมทริกซ์สเกลาร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สร้างกลุ่มย่อยปกติใน GL(n, F)

d) เมทริกซ์แนวทแยง (สามเหลี่ยมบน) ที่มีองค์ประกอบในแนวทแยงที่ไม่เป็นศูนย์จะก่อตัวเป็นกลุ่มย่อยปกติใน

จ) C Sn;

จ) อินน์ G C Aut G?

3.16. ให้ = 2. พิสูจน์ว่า H C G.

3.17. ให้ M, N C G พิสูจน์ว่า M ∩ N, MN C G

3.18. ให้ N C G, H< G. Докажите, что N ∩ H C H.

3.19. ให้ N C G, H< G. Докажите, что NH = HN < G.

3.20. ให้ ฮ< G. Докажите, что xHx−1 C G.

3.21. ให้ ฮ< K < G. Докажите, что H C K тогда и только тогда, когда K NG (H).

3.22. ให้ M, N C G, M ∩ N = E พิสูจน์ว่า M และ N สามารถสับเปลี่ยนตามองค์ประกอบได้

3.23. พิสูจน์ว่า:

ก) รูปภาพของกลุ่มย่อยปกติภายใต้ epimorphism เป็นเรื่องปกติ b) ภาพผกผันที่สมบูรณ์ของกลุ่มย่อยปกติ (สำหรับโฮโม- ใดๆ

morphism) เป็นเรื่องปกติ

3.24. ตรวจสอบว่า G/G E, G/E G.

3.25. พิสูจน์ว่า Z/nZ เป็นกลุ่มวงจรของลำดับ n

3.26.* พิสูจน์ว่า:

ง) R /R (1, −1);

จ) GL(n, F)/SL(n, F) F ;

โดยที่ GL+ (n, R) := (A GL(n, R) | det A > 0)

3.27. พิสูจน์ว่า Q/Z เป็นกลุ่มคาบ (กล่าวคือ ลำดับขององค์ประกอบใดๆ ของมันมีจำนวนจำกัด) ซึ่งมีกลุ่มย่อยเฉพาะของลำดับ n สำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน n แต่ละกลุ่มย่อยดังกล่าวเป็นแบบวนรอบ

3 .28 .* พิสูจน์ว่า: ก) C(G) C G,

b) อินน์ จี จี/ซี(จี)

3.29.* ให้ N C G, H< G. Докажите, что NH/N H/H ∩ N.

3 .30 .* พิสูจน์ว่า ถ้า M C N C G, M C G แล้ว

(G/M)/(N/M) G/N

3.31. พิสูจน์ว่าถ้า G/C(G) เป็นวงจร แล้ว G = C(G) (เช่น G/C(G) = E)

3.32. ให้เราเรียกตัวสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ x และ y ของกลุ่ม G ว่าองค์ประกอบ := x−1 y−1 xy กลุ่มย่อยสับเปลี่ยนของกลุ่ม G คือกลุ่มย่อย G0 ที่สร้างขึ้นโดยสับเปลี่ยนทั้งหมด พิสูจน์ว่า:

ก) G0 C G;

b) กลุ่ม G/G0 คือ Abelian

c) G คือ Abelian ก็ต่อเมื่อ G0 = E

3.33. ให้ N C G พิสูจน์ว่า G/N เป็นชาวอาเบเลียนก็ต่อเมื่อ N G0

3.34. ให้เรากำหนดโดยการเหนี่ยวนำ G(0) = G, G(n) = (G(n−1) )0 . หมู่ G เรียกว่าละลายได้ถ้า G(n) = E สำหรับบาง n N ตรวจสอบว่า:

ก) กลุ่มย่อยและกลุ่มผลหารของกลุ่มที่แก้ไขได้สามารถแก้ไขได้

b) ถ้า N C G มีค่าเท่ากับ N และ G/N แก้ได้ G ก็แก้ได้

3.35. พิสูจน์ว่ากลุ่ม G สามารถแก้ไขได้ก็ต่อเมื่อมีกลุ่มย่อยเป็นสายโซ่เท่านั้น

E = Gn C Gn−1 C . - - ค G1 C G0 = ช

20 ส่วนที่ 3 โฮโมมอร์ฟิซึม กลุ่มแฟคเตอร์

โดยที่กลุ่มผลหาร Gk /Gk+1 ทั้งหมดเป็นชาวอาบีเลียน

3.36. ตรวจสอบว่า ก) เป็นกลุ่มชาวอาบีเลียน; b) กลุ่ม S3 และ S4;

c) กลุ่มย่อยของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนทั้งหมดใน GL(n, F) (โดยที่ F คือสนาม)

สามารถแก้ไขได้

3.37. ให้ G(n) เป็นกลุ่มย่อยของ G ที่สร้างโดยเซต (gn | g G) พิสูจน์ว่า:

ก) G(n) C G;

b) G/G(n) มีคาบ n (นั่นคือ อัตลักษณ์ xn = 1 เป็นที่พอใจ)

c) G มีจุด n ก็ต่อเมื่อ G(n) = E

3.38. ให้ N C G พิสูจน์ว่า G/N มีคาบ n ก็ต่อเมื่อ N G(n)

3.39. ให้ G เป็นกลุ่ม (ที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบ) ของการแมป

φ : R → R ของรูปแบบ x 7→ax + b (a 6= 0), H = (φ G | φ : x 7→x + b) พิสูจน์ว่า H C G. G/H เท่ากับอะไร?

3.40. ให้เรากำหนดการดำเนินการบนเซต G = Z × Z:

(a, b)(c, d) = (a + (−1)b c, b + d)

พิสูจน์ว่า G เป็นกลุ่มและ H = h(1, 0)i C G.

กลุ่มจำกัด

เรียกว่ากลุ่ม (semigroup) สุดยอดถ้ามันประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนจำกัด จำนวนองค์ประกอบของกลุ่มจำกัดเรียกว่าจำนวนของมัน ตามลำดับ- กลุ่มย่อยใดๆ ของกลุ่มที่มีขอบเขตจำกัดจะมีขอบเขตจำกัด และถ้า เอ็นÍ ช– กลุ่มย่อยของกลุ่ม ชแล้วสำหรับองค์ประกอบใดๆ กÎ ชมากมาย เอ็น เอ={เอ็กซ์: x=ชม.◦กเพื่ออะไรก็ตาม ชม.Î ชม) เรียกว่า คอสเซ็ตซ้ายสำหรับ ชค่อนข้าง เอ็น- เป็นที่แน่ชัดว่าจำนวนองค์ประกอบใน เอ็น เอเท่ากับการสั่งซื้อ เอ็น- (คำจำกัดความสามารถกำหนดได้เช่นเดียวกัน หนึ่ง– ชุดที่ถูกต้องด้วยความเคารพ เอ็น).

สิ่งสำคัญคือสำหรับกลุ่มย่อยใดๆ เอ็นกลุ่ม ช coset ซ้าย (ขวา) สองอันใด ๆ ตาม เอ็นตรงกันหรือไม่ตัดกัน ดังนั้น กลุ่มใดๆ จึงสามารถแสดงเป็นกลุ่มของคอสเซตซ้าย (ขวา) ที่แยกจากกันได้โดย เอ็น.

แน่นอนถ้าสองชั้น เอ็น เอและ HB, ที่ไหน ก, ขÎ ชมีองค์ประกอบร่วมกัน เอ็กซ์แล้วก็มี ทีÎ ชมเช่นนั้น x = ที◦ก- แล้วคลาสซ้ายก็มีไว้สำหรับ เอ็กซ์: เอ็น เอ็กซ์={ย: ย=ชม.◦x= ชม.◦(ที◦ก) = (ชม.◦ที)◦ก} Í ฮา, แต่ ก=ที ‑1 ◦xและ เอ็น เอ={ย: ย=ชม.◦ก= ชม.◦(ที ‑1 ◦x) = (ชม.◦ที ‑1)◦x} Í ฮx- จากที่นี่ เอ็น เอ็กซ์=เอ็น เอ- ในทำนองเดียวกันก็สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า เอ็น เอ็กซ์=เอ็นบี- และด้วยเหตุนี้ เอ็น เอ=เอ็นบี- ถ้าเรียน เอ็น เอและ HBไม่มีองค์ประกอบร่วมกัน จึงไม่ตัดกัน

พาร์ติชันของกลุ่มนี้เรียกว่า coset ซ้าย (ขวา) การสลายตัวของกลุ่มออกเป็นกลุ่มย่อย H.

ทฤษฎีบท 2.6.1 ลำดับของกลุ่มจำกัดจะถูกหารด้วยลำดับของกลุ่มย่อยใดๆ

การพิสูจน์. เพราะ ชเป็นกลุ่มที่มีขอบเขตจำกัด ดังนั้นกลุ่มย่อยใดๆ ของมันก็มีเช่นกัน เอ็นมีคำสั่งจำกัด พิจารณาการสลายตัวของกลุ่มออกเป็นกลุ่มย่อย เอ็น- ในแต่ละโคเซ็ตในการสลายตัวนี้ จำนวนองค์ประกอบจะเท่ากันและเท่ากับลำดับ เอ็น- ดังนั้นหาก n– การสั่งซื้อแบบกลุ่ม ช, ก เค– ลำดับกลุ่มย่อย เอ็น, ที่ n=ม× เค, ที่ไหน ม– จำนวนโคเซตตาม เอ็นในการสลายกลุ่ม ช.

ถ้าธาตุใด กÎ ช Þ เอ็น เอ=หนึ่ง(ชุดซ้ายและขวาแยกตามกลุ่มย่อย เอ็นตรงกัน) แล้ว เอ็นเรียกว่า ตัวหารปกติกลุ่ม ช.

คำแถลง: ถ้า ชคือกลุ่มสับเปลี่ยน แล้วก็กลุ่มย่อยใดๆ ของมัน เอ็นเป็นตัวหารปกติ ช.

เนื่องจากลักษณะการเชื่อมโยงกันของการกระทำในกลุ่ม (เซมิกรุ๊ป) เราสามารถพูดถึง "ผลิตภัณฑ์" ขององค์ประกอบทั้งสามได้ ( ก◦ข◦ค) =(ก◦ข)◦ค = ก◦(ข◦ค- ในทำนองเดียวกันแนวคิดของผลิตภัณฑ์ที่ซับซ้อนของ nองค์ประกอบ: ก 1 ◦ก 2 ◦…◦และ n = ◦ และ n = = ◦.

งาน nองค์ประกอบที่เหมือนกันของกลุ่มเรียกว่า ระดับองค์ประกอบและถูกกำหนดไว้ หนึ่ง- คำจำกัดความนี้สมเหตุสมผลสำหรับธรรมชาติ n- สำหรับองค์ประกอบกลุ่มใดๆ กÎ ชแสดงถึง ก 0 =จ– องค์ประกอบที่เป็นกลางของกลุ่ม ช- และพลังลบของธาตุ ก ‑ nกำหนดให้เป็น ( ก ‑1)nหรือ ( หนึ่ง) -1 ที่ไหน ก−1 – องค์ประกอบผกผันถึง ก- ทั้งสองคำจำกัดความ ก ‑ nตรงกันเพราะว่า หนึ่ง◦(ก ‑1)n = (ก◦ก◦ ¼◦ ก)◦(ก ‑1 ◦ก‑1° ¼° ก ‑1) = ก◦ก◦¼◦( ก◦ก ‑1)◦ก‐1 ◦¼○ ก ‑1 =อีเมล =จ- ดังนั้น, ( ก ‑1)n = (หนึ่ง) ‑1 .

ในกลุ่มสารเติมแต่ง ระดับความคล้ายคลึงขององค์ประกอบคือ หนึ่งจะ nทวีคูณของมัน มักจะแสดงแทน นาซึ่งไม่ควรถือเป็นงาน nบน ก, เพราะ nÎℕและบางที nÏ ช- ที่. นา⇋, ที่ไหน nОℕ และ 0 ก=จ⇋0 และ (- n)ก = ‑(นา) = n(‑ก) สำหรับธรรมชาติใดๆ n, ที่ไหน (- ก) – ผกผันกับ กÎ ช.

มันง่ายที่จะแสดงสิ่งนั้นด้วยสัญกรณ์ที่เลือกสำหรับจำนวนเต็มใดๆ มและ nและเพื่อใครก็ตาม กÎ ชมีคุณสมบัติที่ทราบครบถ้วนแล้ว: ก) ในรูปแบบการคูณ หนึ่ง ◦เช้า = ญ + มและ ( หนึ่ง)ม = นาโนเมตร; ข) ในรูปแบบการบวก นา+แม่ = (n+ม)กและ n(แม่)=(นาโนเมตร)ก.

พิจารณาชุดย่อยของกลุ่ม ชประกอบด้วยพลังทั้งหมดขององค์ประกอบตามอำเภอใจ กÎ ช- เรามาแสดงแทนกันเถอะ ก- ดังนั้น, ก ={ก 0 , ก 1 , ก ‑1 , ก 2 , ก−2,¼) อย่างชัดเจน, กเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่ม ช, เพราะ สำหรับองค์ประกอบใดๆ เอ็กซ์,ที่Î กมันเป็นไปตามนั้น ( เอ็กซ์◦ที่)Î กและสำหรับองค์ประกอบใดๆ เอ็กซ์Î กจะมี เอ็กซ์−1 โอ ก, นอกจาก, ก 0 =จÎ ก.

กลุ่มย่อย กเรียกว่า กลุ่มย่อยแบบวนรอบกลุ่ม ชสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ ก- กลุ่มย่อยนี้มีการสลับสับเปลี่ยนเสมอ แม้ว่าจะเป็นกลุ่มย่อยก็ตาม ชไม่ใช่การสับเปลี่ยน ถ้าเป็นหมู่ ชเกิดขึ้นพร้อมกับกลุ่มย่อยแบบวนรอบกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง จากนั้นจึงเรียกว่า กลุ่มวงจรสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ ก.

ถ้าพลังของธาตุทั้งหมด กที่แตกต่างกันออกไปแล้วเป็นกลุ่ม ชเรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุดกลุ่มวงจรและองค์ประกอบ ก- องค์ประกอบ คำสั่งที่ไม่มีที่สิ้นสุด.

หากองค์ประกอบของกลุ่มไซคลิกมีจำนวนเท่ากัน เช่น กรัมเค=กรัม มที่ เค>ม, ที่ ก กม=จ- และการกำหนด กมผ่าน nเราได้รับ จีเอ็น=จ, nÎℕ.

ตัวบ่งชี้ทางธรรมชาติต่ำสุด nเช่นนั้น จีเอ็น=จ, เรียกว่า ลำดับขององค์ประกอบ gและองค์ประกอบนั้นเอง กเรียกว่า องค์ประกอบของลำดับอันจำกัด.

องค์ประกอบดังกล่าวจะพบได้ในกลุ่มที่มีขอบเขตจำกัดเสมอ แต่ก็สามารถอยู่ในกลุ่มที่มีขอบเขตไม่สิ้นสุดได้เช่นกัน

กลุ่มที่องค์ประกอบทั้งหมดมีลำดับจำกัดเรียกว่า เป็นระยะๆ.

เนื่องจากองค์ประกอบใดๆ ของกลุ่มจำกัดมีลำดับจำกัด กลุ่มจำกัดทั้งหมดจึงมีคาบ ยิ่งไปกว่านั้น กลุ่มย่อยแบบวนรอบทั้งหมดของกลุ่มจำกัดนั้นมีคาบ เนื่องจากพวกมันมีจำกัด และทุกองค์ประกอบของลำดับจำกัด nสร้างกลุ่มวนที่มีลำดับเดียวกัน nประกอบด้วยองค์ประกอบ ( ก 0 , ก 1 , ก 2 ¼, จีเอ็น-1) แท้จริงแล้วหากจำนวนองค์ประกอบเท่ากันกับบางส่วน เค<n, แล้ว กรัมเค=จ=จีเอ็นซึ่งขัดแย้งกับการเลือก nในระดับที่น้อยที่สุดเช่นนั้น จีเอ็น=จ- อีกด้านหนึ่ง เค>nเป็นไปไม่ได้เช่นกันเพราะว่า ในกรณีนี้ก็จะมีองค์ประกอบที่เหมือนกัน

คำแถลง: 1) ทุกองศา ก 0 , ก 1 , ก 2 ¼, จีเอ็น-1 แตกต่างเพราะว่า ถ้ามีเท่ากัน เช่น กรัมฉัน=จีเจ (ฉัน>เจ), ที่ ก ฉัน - เจ=จ, แต่ ( ฉัน‑เจ)<nและตามคำนิยาม ไม่มี –ระดับที่เล็กที่สุดเป็นเช่นนั้น จีเอ็น=จ.

2) ปริญญาอื่นใด กบวกหรือลบเท่ากับองค์ประกอบใดองค์ประกอบหนึ่ง ก 0 , ก 1 , ก 2 ¼, จีเอ็น-1 เพราะว่า จำนวนเต็มใดๆ เคสามารถแสดงได้ด้วยนิพจน์: เค=ไม่มี+ร, ที่ไหน ถาม,รÎℤ และ 0£ ร<n, ร– ส่วนที่เหลือและ กรัมเค=กรัม เอ็นคิว + อาร์= กรัม° กรัมอาร์= (จีเอ็น)ถาม° กรัมอาร์= เช่น° กรัมอาร์= กรัมอาร์.

1) ทุกกลุ่มมีองค์ประกอบเฉพาะของลำดับแรก ( จ) สร้างกลุ่มย่อยแบบวนของลำดับแรกที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียว จ.

2) พิจารณากลุ่มการเปลี่ยนตัว ส 3 ประกอบด้วยองค์ประกอบ: , , , , , . คำสั่ง ส 3 = 6 ลำดับองค์ประกอบ กเท่ากับ 2 เพราะว่า - ลำดับองค์ประกอบ ขก็เท่ากับ 2 เช่นกัน เพราะ - ลำดับองค์ประกอบ กับเท่ากับ 3 เพราะว่า และ . ลำดับองค์ประกอบ ฉก็เท่ากับ 3 เช่นกัน เพราะ และ . และสุดท้ายก็สั่ง งเท่ากับ 2 เพราะว่า - ดังนั้นกลุ่มย่อยแบบวนรอบ ส 3 สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ จ, ก, ข, ง, คและ ฉตามลำดับเท่ากับ: ( จ}, {จ, ก}, {จ, ข}, {จ, ง}, {จ, ค, ฉ) และ ( จ, ฉ, ค) โดยที่สองตัวสุดท้ายตรงกัน โปรดทราบว่าลำดับของกลุ่มย่อยแบบวนแต่ละกลุ่มจะแบ่งลำดับของกลุ่มโดยไม่มีเศษ ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง

ทฤษฎีบท 2.7.1 (ลากรองจ์) ลำดับของกลุ่มจำกัดจะถูกหารด้วยลำดับขององค์ประกอบใดๆ ของมัน (เนื่องจากลำดับขององค์ประกอบและลำดับของกลุ่มย่อยแบบวนรอบที่สร้างขึ้นโดยมันตรงกัน)

นอกจากนี้ องค์ประกอบใดๆ ของกลุ่มจำกัด เมื่อยกกำลังตามลำดับของกลุ่ม ก็จะให้หน่วยของกลุ่ม (เพราะ กรัม ม=ก.ค=อีเค=จ, ที่ไหน ม– ลำดับกลุ่ม n– ลำดับองค์ประกอบ ก, เค– จำนวนเต็ม)

กลุ่ม S มี 3 กลุ่มย่อย เอ็น={จ, ค, ฉ) เป็นตัวหารปกติ แต่กลุ่มย่อยลำดับที่ 2 ไม่ใช่ตัวหารปกติ ซึ่งสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายโดยการค้นหาโคเซ็ตด้านซ้ายและขวาโดย เอ็นสำหรับแต่ละองค์ประกอบของกลุ่ม ตัวอย่างเช่น สำหรับองค์ประกอบ กคอสเซ็ตซ้าย เอ็น เอ={จ ◦ ก, กับ◦ ก, ฉ◦ ก} = {ก, ข, ง) และชุดคอสตูมด้านขวา หนึ่ง={ก ◦ จ, ก◦ ค, ก◦ ฉ} = {ก, ง, ข) จับคู่. ในทำนองเดียวกันสำหรับองค์ประกอบอื่น ๆ ทั้งหมด ส 3 .

3) เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดที่มีการบวกจะก่อให้เกิดกลุ่มวงจรอนันต์ที่มีองค์ประกอบสร้าง 1 (หรือ –1) เนื่องจาก จำนวนเต็มใดๆ ที่เป็นจำนวนทวีคูณของ 1

4) พิจารณาชุดของราก n- พลังแห่งความสามัคคี: เอ็น- ชุดนี้เป็นกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการคูณราก อันที่จริงผลคูณขององค์ประกอบทั้งสอง อีเคและ อี มจาก เอ็น, ที่ไหน เค, ม £ n-1 จะเป็นองค์ประกอบด้วย เอ็นเนื่องจาก = = ที่ไหน ร=(เค+ม)สมัย nและ ร £ n-1; องค์ประกอบที่เป็นกลางของการคูณ จ=จ 0 =1 และสำหรับองค์ประกอบใดๆ อีเคมีการย้อนกลับและ กลุ่มนี้เป็นวงจร องค์ประกอบกำเนิดของมันคือรากดั้งเดิม จะเห็นได้ง่ายว่าอำนาจทั้งหมดมีความแตกต่างกัน: , ต่อไปสำหรับ เค³ nรากเริ่มที่จะทำซ้ำตัวเอง บนระนาบเชิงซ้อน รากจะอยู่บนวงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหน่วยและแบ่งออกเป็น nส่วนโค้งเท่ากัน ดังแสดงในรูปที่ 11

สองตัวอย่างสุดท้ายทำให้กลุ่มวงจรทั้งหมดหมดลง เนื่องจากทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง

ทฤษฎีบท 2.7.2 หมู่วัฏจักรอนันต์ทั้งหมดมี isomorphic ซึ่งกันและกัน กลุ่มลำดับแบบวนรอบที่มีขอบเขตจำกัดทั้งหมด nเป็นไอโซมอร์ฟิกซึ่งกันและกัน

การพิสูจน์. อนุญาต ( ช, ∘) เป็นกลุ่มวงจรอนันต์ที่มีองค์ประกอบสร้าง ก- จากนั้นจะมีการทำแผนที่แบบ Bijective ฉ: ℤ ® ชเช่นนั้นสำหรับจำนวนเต็มใดๆ เคและ มภาพของพวกเขา ฉ(เค) และ ฉ(ม) เท่ากันตามลำดับ กรัมเคและ กรัม มเป็นองค์ประกอบ ช- และในเวลาเดียวกัน ฉ(เค+ม)=ฉ(เค)∘ฉ(ม), เพราะ กรัมเค + ม=กรัมเค∘ กรัม ม.

ให้ตอนนี้ ( ช, ∘) คือกลุ่มลำดับแบบวนรอบที่มีขอบเขตจำกัด nด้วยองค์ประกอบกำเนิด ก- แล้วแต่ละองค์ประกอบ กรัมเคÎ ชวิธีเดียวที่จะจับคู่องค์ประกอบคือ อีเคÎ เอ็น(0£ เค<n) ตามกฎ ฉ(กรัมเค)=อีเค- และในขณะเดียวกันสำหรับกรณีใดๆ กรัมเคและ กรัม มÎ ชมันเป็นไปตามนั้น ฉ(กรัมเค∘ กรัม ม)=ฉ(กรัมเค) ∘ฉ(กรัม ม), เพราะ ฉ(กรัมเค∘ กรัม ม)=ฉ(กรัมเค + ม)=ฉ(กรัมอาร์), ที่ไหน ร=(เค+ม)สมัย n, และ ฉ(กรัมอาร์)=เอ่อ=อีเค× อี ม- เป็นที่ชัดเจนว่าการทำแผนที่ดังกล่าวเป็นการทำแผนที่แบบ Bijective

อนุญาต ช– กลุ่มและองค์ประกอบ ก ช- ลำดับขององค์ประกอบ a (แทนด้วย ׀а׀) คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด nเอ็น, อะไร

ก n = ก . . . . ก =1.

หากไม่มีตัวเลขดังกล่าวพวกเขาก็พูดอย่างนั้น ก– องค์ประกอบของลำดับอนันต์

เลมมา 6.2ถ้า ก เค= 1 แล้ว เคแบ่งตามลำดับขององค์ประกอบ ก.

คำนิยาม.อนุญาต ช– กลุ่มและ ก ช- แล้วมากมาย

H = (หรือที่เรียกว่า k ׀ k }

เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่ม G เรียกว่ากลุ่มย่อยแบบวนที่สร้างโดยองค์ประกอบ a (แสดงแทน H =< а >).

เลมมา 6.3กลุ่มย่อยแบบวนซ้ำ เอ็นสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบ กคำสั่ง n, เป็นกลุ่มลำดับจำกัด n, และ

H = (1=a 0 , a, ..., n-1 )

เลมมา 6.4อนุญาต ก– องค์ประกอบของลำดับอนันต์ จากนั้นกลุ่มย่อยแบบวน เอ็น = <ก> – เป็นอนันต์และองค์ประกอบใดๆ จาก เอ็นเขียนในรูปแบบ ก เค , ถึงซีและด้วยวิธีเดียวเท่านั้น

เรียกว่ากลุ่ม วัฏจักรถ้ามันเกิดขึ้นพร้อมกับกลุ่มย่อยแบบวนรอบกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 1- กลุ่มสารเติมแต่ง ซีของจำนวนเต็มทั้งหมดคือกลุ่มวงจรอนันต์ที่สร้างโดยองค์ประกอบ 1

ตัวอย่างที่ 2เซตของรากทั้งหมด nยกกำลัง 1 เป็นกลุ่มของลำดับแบบวนรอบ n.

ทฤษฎีบท 6.2กลุ่มย่อยใดๆ ของกลุ่มไซคลิกจะเป็นแบบไซคลิก

ทฤษฎีบท 6.3หมู่ไซคลิกอนันต์ทุกหมู่จะมีลักษณะไม่เท่ากันกับกลุ่มการบวกของจำนวนเต็ม ซี- ลำดับไซเคิลจำกัดใดๆ n isomorphic ให้กับกลุ่มของรากทั้งหมด n- องศาตั้งแต่ 1

กลุ่มย่อยปกติ กลุ่มปัจจัย

เลมมา 6.5อนุญาต เอ็น– กลุ่มย่อยของกลุ่ม ชซึ่งโคเซตซ้ายทั้งหมดก็เป็นโคเซตขวาด้วย แล้ว

อา = ฮา, ก ช.

คำนิยาม.กลุ่มย่อย เอ็นกลุ่ม ชเรียกว่าปกติค่ะ ช(แสดง เอ็นช) ถ้าโคเซตซ้ายทั้งหมดก็ถูกต้องเช่นกัน

อา = ฮา, กช.

ทฤษฎีบท 6.4. อนุญาต เอ็น
ช, จี/เอ็น– เซตของโคเซตทั้งหมดของกลุ่ม ชตามกลุ่มย่อย เอ็น- หากกำหนดไว้บนชุด จี/เอ็นการดำเนินการคูณดังนี้

(กH)(bH) = (ab)H,

ที่ จี/เอ็นกลายเป็นกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มตัวประกอบของกลุ่ม ชตามกลุ่มย่อย เอ็น.

กลุ่มโฮโมมอร์ฟิซึม

คำนิยาม.อนุญาต ช 1 และ ช 2 – กลุ่ม จากนั้นการทำแผนที่ ฉ: ช 1
ช 2 เรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึม ช 1 นิ้ว ช 2 ถ้า

เอฟ(เกี่ยวกับ) = ฉ(ก)ฉ(ข) , ก,ข ช 1 .

เลมมา 6.6อนุญาต ฉ– โฮโมมอร์ฟิซึมแบบกลุ่ม ช 1 ตัวต่อกลุ่ม ช 2. แล้ว:

1) ฉ(1) – หน่วยกลุ่ม ช 2 ;

2) ฉ(ก -1) = ฉ(ก) -1 ,กช 1 ;

3) ฉ(ช 1) – กลุ่มย่อยของกลุ่ม ช 2 ;

คำนิยาม.อนุญาต ฉ– โฮโมมอร์ฟิซึมแบบกลุ่ม ช 1 ตัวต่อกลุ่ม ช 2. แล้วมากมาย

เคอร์ฉ = {กช 1 ׀ฉ(ก) = 1ช 2 }

เรียกว่าเคอร์เนลโฮโมมอร์ฟิซึม ฉ .

ทฤษฎีบท 6.5 เคเอ่อ ฉ
ช.

ทฤษฎีบท 6.6กลุ่มย่อยปกติใดๆ ของกลุ่ม ชเป็นแก่นแท้ของโฮโมมอร์ฟิซึมบางอย่าง

แหวน

คำนิยาม.ชุดไม่ว่าง ถึงเรียกว่า แหวนหากมีการกำหนดการดำเนินการไบนารีสองรายการไว้ เรียกว่าการบวกและการคูณ และเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ถึง– กลุ่ม Abelian ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการของการเติม

การคูณเป็นแบบเชื่อมโยง

กฎการกระจายเป็นที่พอใจ

x(y+z) = xy+xz;

(x+y)z = xz+yz, x,y,zเค.

ตัวอย่าง 1. ชุด ถามและ ร- แหวน

เรียกว่าแหวน. สับเปลี่ยน, ถ้า

xy = yx, เอ็กซ์, ยเค.

ตัวอย่างที่ 2 (การเปรียบเทียบ- อนุญาต ม– จำนวนธรรมชาติคงที่ กและ ข– จำนวนเต็มใดก็ได้ แล้วเบอร์ กเทียบได้กับตัวเลข ขโมดูโล่ มถ้าความแตกต่าง ก – ขหารด้วย ม(เขียนไว้: กข(รุ่น ม)).

ความสัมพันธ์ของสมการคือความสัมพันธ์ที่เท่ากันบนเซต ซี, แตก ซีออกเป็นคลาสที่เรียกว่าคลาสโมดูโลเรซิดิว มและถูกกำหนดไว้ ซี ม- มากมาย ซี มเป็นวงแหวนสับเปลี่ยนที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว

เขตข้อมูล

คำนิยาม.ฟิลด์เป็นชุดที่ไม่ว่างเปล่า รที่ไม่มีองค์ประกอบ 2 ตัว โดยมีการดำเนินการแบบไบนารี่สองรายการของการบวกและการคูณดังนี้:

ตัวอย่างที่ 1- มากมาย ถามและ รทุ่งนาที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างที่ 2- มากมาย ซี ร– สนามสุดท้าย.

สององค์ประกอบ กและ ขสาขา รต่างจาก 0 เรียกว่า ตัวหารศูนย์ ถ้า เกี่ยวกับ = 0.

เลมมา 6.7ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์ในสนาม

พิจารณากลุ่มการคูณของกำลังจำนวนเต็มทั้งหมดของสอง (2Z, ) โดยที่ 2Z= (2 n | nอี ซี) อะนาล็อกของกลุ่มนี้ในภาษาบวกคือกลุ่มบวกของจำนวนเต็มคู่ (2Z, +), 2Z = (2n | ไม่มีซี) ให้เราให้คำจำกัดความทั่วไปของกลุ่มซึ่งกลุ่มเหล่านี้เป็นตัวอย่างเฉพาะ

คำจำกัดความ 1.8 กลุ่มการคูณ (ก,) (เรียกกลุ่มสารเติมแต่ง (G, +)) วัฏจักร,ถ้ามันประกอบด้วยกำลังจำนวนเต็มทั้งหมด (ตามลำดับ ผลคูณจำนวนเต็มทั้งหมด) ขององค์ประกอบเดียว อีจีเหล่านั้น. ก=(และ | ไม่มี Z) (ตามลำดับ ก - (ป | ไม่มีซี)). การกำหนด: (ก) อ่าน: กลุ่มวงจรที่สร้างโดยองค์ประกอบ a

ลองดูตัวอย่าง

• 1. ตัวอย่างของกลุ่มวงจรการคูณอนันต์คือกลุ่มของจำนวนเต็มยกกำลังของจำนวนเต็มคงที่บางค่า เอฟ±1 ถูกกำหนดไว้ ก.ดังนั้น, ก - (ก)
• 2. ตัวอย่างของกลุ่มวงจรจำกัดการคูณคือกลุ่ม C ของรากที่ n ของเอกภาพ จำได้ว่าพบรากที่ n ของความสามัคคี

ตามสูตร อีเค= cos---hisin^- โดยที่ เค = 0, 1, ..., พี - 1. ติดตาม- พีพี

ดังนั้น C„ = (е x) = (е x = 1, e x, ef = e 2 ,..., e" -1 = ?„_ x) จำจำนวนเชิงซ้อนนั้นได้ เอกเค = 1, ..., n - 1, แสดงด้วยจุดของวงกลมหน่วยที่แบ่งเป็น nส่วนที่เท่ากัน

• 3. ตัวอย่างทั่วไปของกลุ่มวงจรบวกแบบไม่มีที่สิ้นสุดคือกลุ่มการบวกของจำนวนเต็ม Z ซึ่งสร้างขึ้นจากเลข 1 เช่น ซี = (1) ในเชิงเรขาคณิต จะแสดงเป็นจุดจำนวนเต็มบนเส้นจำนวน โดยพื้นฐานแล้ว กลุ่มการคูณจะอธิบายในลักษณะเดียวกัน 2 7 - = (2) โดยทั่วไป az = (ก)จำนวนเต็มอยู่ที่ไหน เอฟ±1 (ดูรูปที่ 1.3) เราจะพูดถึงความคล้ายคลึงกันของรูปภาพนี้ในหัวข้อ 1.6
• 4. ให้เราเลือกในกลุ่มการคูณตามใจชอบ ชองค์ประกอบบางอย่าง ก.จากนั้นพลังจำนวนเต็มทั้งหมดขององค์ประกอบนี้จะสร้างกลุ่มย่อยแบบวนรอบ (a) = (เอ พี พี อีซ) ก.
• 5. ขอให้เราพิสูจน์ว่ากลุ่มบวกของจำนวนตรรกยะ Q ในตัวมันเองไม่ใช่วงจร และองค์ประกอบสองตัวใดๆ ของมันอยู่ในกลุ่มย่อยแบบวน

A. ขอให้เราพิสูจน์ว่าหมู่สารเติมแต่ง Q ไม่เป็นวงจร ให้เราสมมติสิ่งที่ตรงกันข้าม: ให้ Q = (-). มีจำนวนเต็ม ข

ไม่แบ่ง ต.เนื่องจาก - eQ = (-) = sn-|neZ> ดังนั้น

ข เสื้อ/ ( ตเจ

มีจำนวนเต็ม rc 0 ซึ่ง - = n 0 - แต่แล้ว เสื้อ = n 0 กิโลไบต์

ที่ไหน ที:บี- เกิดความขัดแย้ง

B. ขอให้เราพิสูจน์ว่าจำนวนตรรกยะตามอำเภอใจสองตัวคือ

กับ „ /1

และ - อยู่ในกลุ่มย่อยแบบวนรอบ (-) โดยที่ ตมีมากที่สุด วัน/

ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ขและ ง.ที่จริงแล้วให้ ที-บู

และไอ 1 /1 กับพันธุ์ 1 /1

และ m = av, u, v e Z แล้ว - = - = ไอ-e(-)i - = - = CV- อี (-)

b b และ t t/ a dv t t/

ทฤษฎีบท 1.3 ลำดับของกลุ่มไซคลิกเท่ากับลำดับขององค์ประกอบการสร้างของกลุ่มนี้ เช่น|(ก)| = |ก|.

การพิสูจน์. 1. ให้ |a| - ให้เราพิสูจน์ว่าพลังธรรมชาติทั้งหมดขององค์ประกอบ กแตกต่างกัน ให้เราสมมติสิ่งที่ตรงกันข้าม: ปล่อยให้ เค = เสื้อและ 0 ถึงตอนนั้น ต - ถึง- จำนวนธรรมชาติและ เสื้อ ~ k = อีแต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า | ก =°°ดังนั้นพลังธรรมชาติทั้งหมดของธาตุ กต่างกัน ซึ่งหมายถึงอนันต์ของกลุ่ม (a) ดังนั้น | (ก)| = °° = |ก |.

2. ให้ | ก | = n. ลองพิสูจน์ดูสิ (ก) = (อี - 0, ก, 2,..., a" -1) คำจำกัดความของกลุ่มวงจรหมายถึงการรวม (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) เข้ากับ (a) ให้เราพิสูจน์การรวมแบบย้อนกลับ องค์ประกอบใดๆ ของกลุ่มไซคลิก (ก)ดูเหมือนว่า และทีที่ไหน เหล่านั้น Z. แบ่งเหล้ายินกับส่วนที่เหลือ: m-nq + r,โดยที่ 0 หน้า ตั้งแต่ n = อีที่ ที่ = p i + g = a p h? ก ก = ก ก อี(ก 0 , ก, 2,..., a" - 1) ดังนั้น (a) c (a 0, a, a 2,..., ดังนั้น (a) = (a 0, a, a 2,..., a" - 1)

มันยังคงต้องพิสูจน์ว่าองค์ประกอบทั้งหมดของเซต (a 0 , a, 2,..., a” -1 ) แตกต่างกัน สมมติสิ่งที่ตรงกันข้าม: ให้ 0 i พีแต่เป็น" = ก)แล้วเขา - อีและ 0 j - i - ขัดแย้งกับเงื่อนไข | ก | - พีทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว