จำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม ตรรกยะ ไม่ลงตัว พีชคณิต เหนือธรรมชาติ เลขเหนือธรรมชาติ. ข้อความที่ตัดตอนมาแสดงลักษณะหมายเลขทิพย์

อิลยา ชชูรอฟ

นักคณิตศาสตร์ Ilya Shchurov เรื่องเศษส่วนทศนิยม ความมีชัย และความไร้เหตุผลของจำนวน Pi

“หนึ่ง” ช่วยสร้างเมืองแรกๆ และอาณาจักรอันยิ่งใหญ่ได้อย่างไร? คุณสร้างแรงบันดาลใจให้กับจิตใจที่โดดเด่นของมนุษยชาติได้อย่างไร? เธอมีบทบาทอย่างไรในการเกิดขึ้นของเงิน? วิธีที่ "หนึ่ง" รวมทีมกับศูนย์เพื่อปกครอง โลกสมัยใหม่- ประวัติศาสตร์ของหน่วยนี้เชื่อมโยงกับประวัติศาสตร์อารยธรรมยุโรปอย่างแยกไม่ออก เทอร์รี่ โจนส์ร่วมเดินทางสุดฮาเพื่อปะติดปะต่อเรื่องราวอันน่าทึ่งของจำนวนเฉพาะของเรา การใช้คอมพิวเตอร์กราฟิกส์ในโปรแกรมนี้ทำให้ตัวเครื่องมีชีวิตชีวาในรูปแบบต่างๆ ประวัติความเป็นมาของหน่วยนี้ทำให้ชัดเจนว่าตัวเลขสมัยใหม่มาจากไหน และการประดิษฐ์ศูนย์ช่วยให้เราไม่ต้องใช้เลขโรมันในปัจจุบันได้อย่างไร

ฌาคส์ เซเซียโน่

เรารู้เพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับไดโอแฟนทัส ฉันคิดว่าเขาอาศัยอยู่ในอเล็กซานเดรีย นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกไม่มีใครพูดถึงเขาก่อนศตวรรษที่ 4 ดังนั้นเขาจึงน่าจะมีชีวิตอยู่ในช่วงกลางศตวรรษที่ 3 งานที่สำคัญที่สุดของไดโอแฟนทัสคือ เลขคณิต (Ἀριθμητικά) เกิดขึ้นในช่วงเริ่มต้นของ "หนังสือ" 13 เล่ม (βιβλία) เช่น บทต่างๆ วันนี้เรามี 10 เล่ม ได้แก่ 6 เล่มในข้อความภาษากรีกและอีก 4 เล่มในการแปลภาษาอาหรับยุคกลางซึ่งมีที่อยู่ตรงกลางหนังสือภาษากรีก: หนังสือ I-III ในภาษากรีก, IV-VII ในภาษาอาหรับ, VIII-X ในภาษากรีก "เลขคณิต" ของไดโอแฟนตัสเป็นกลุ่มของปัญหาเป็นหลัก รวมประมาณ 260 ปัญหา ไม่มีทฤษฎีใดเลย มีเพียงเท่านั้น คำแนะนำทั่วไปในการแนะนำหนังสือและความคิดเห็นส่วนตัวในปัญหาบางอย่างเมื่อจำเป็น "เลขคณิต" มีคุณลักษณะของบทความเกี่ยวกับพีชคณิตอยู่แล้ว ไดโอแฟนตัสใช้เป็นครั้งแรก สัญญาณที่แตกต่างกันเพื่อแสดงสิ่งที่ไม่รู้และพลังของมัน รวมถึงการคำนวณบางอย่างด้วย เช่นเดียวกับสัญลักษณ์พีชคณิตในยุคกลาง สัญลักษณ์ของมันมาจากคำทางคณิตศาสตร์ จากนั้น ไดโอแฟนทัสจะอธิบายวิธีแก้ปัญหาพีชคณิต แต่ปัญหาของไดโอแฟนตัสไม่ใช่พีชคณิตในความหมายปกติ เพราะปัญหาเกือบทั้งหมดมุ่งไปสู่การแก้สมการหรือระบบสมการที่ไม่แน่นอนของสมการดังกล่าว

จอร์จี้ ชาบัต

โปรแกรมรายวิชา: ประวัติศาสตร์ การประมาณการครั้งแรก ปัญหาความสมดุลของเส้นรอบวงของวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง อนุกรมอนันต์ ผลิตภัณฑ์ และสำนวนอื่นๆ สำหรับ π การบรรจบกันและคุณภาพ นิพจน์ที่มี π ลำดับมาบรรจบกันอย่างรวดเร็วเป็น π วิธีการที่ทันสมัยการคำนวณ π การใช้คอมพิวเตอร์ เรื่องความไร้เหตุผลและความเหนือกว่าของ π และจำนวนอื่นๆ ไม่จำเป็นต้องมีความรู้มาก่อนจึงจะเข้าใจหลักสูตรได้

นักวิทยาศาสตร์จากมหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ดกล่าวว่าการใช้เลข 0 ที่เร็วที่สุดที่ทราบเพื่อบ่งชี้ว่าไม่มีค่าสถานที่ (เช่นในหมายเลข 101) ควรถือเป็นข้อความในต้นฉบับ Bakhshali ของอินเดีย

วาซิลี ปิปาเนน

ใครไม่เล่นเกม "ตั้งชื่อเลขเด็ดสุด" ตอนเด็กๆ บ้าง? เป็นเรื่องยากอยู่แล้วที่จะจินตนาการถึง "-on" นับล้านๆ ล้านๆ และ "-on" อื่นๆ ในใจของคุณ แต่เราจะพยายามเข้าใจ "มาสโตดอน" ในคณิตศาสตร์ - เลขเกรแฮม

วิคเตอร์ เคลพท์ซิน

จำนวนจริงสามารถประมาณได้อย่างแม่นยำตามต้องการด้วยจำนวนตรรกยะ การประมาณดังกล่าวจะดีแค่ไหนเมื่อเทียบกับความซับซ้อนของมัน? เช่น ทำลายเครื่องหมายทศนิยมของ x at หลักที่ kหลังจุดทศนิยม เราจะได้ค่าประมาณ xµa/10^k โดยมีข้อผิดพลาดลำดับที่ 1/10^k และโดยทั่วไป โดยการกำหนดตัวส่วน q ของเศษส่วนโดยประมาณ เราก็สามารถได้ค่าประมาณที่แม่นยำโดยมีข้อผิดพลาดในลำดับ 1/q เป็นไปได้ไหมที่จะทำได้ดีขึ้น? การประมาณค่าที่คุ้นเคย πµ22/7 ให้ค่าคลาดเคลื่อนที่ 1/1000 ซึ่งดีกว่าที่คาดไว้อย่างเห็นได้ชัด ทำไม เราโชคดีไหมที่ π มีการประมาณเช่นนั้น? ปรากฎว่าสำหรับจำนวนอตรรกยะใดๆ จะมีเศษส่วนจำนวนอนันต์ p/q ที่ประมาณค่าได้ดีกว่า 1/q^2 นี่คือสิ่งที่ทฤษฎีบทของดิริชเลต์ระบุไว้ และเราจะเริ่มหลักสูตรนี้ด้วยการพิสูจน์ที่แหวกแนวเล็กน้อย

ในปี 1980 กินเนสส์บุ๊คได้กล่าวซ้ำคำกล่าวอ้างของการ์ดเนอร์ ซึ่งกระตุ้นให้สาธารณชนสนใจตัวเลขนี้มากขึ้น จำนวนของเกรแฮมเป็นจำนวนที่เกินกว่าจะจินตนาการได้ ซึ่งมากกว่าตัวเลขขนาดใหญ่อื่นๆ ที่รู้จักกันดี เช่น googol, googolplex และยังมากกว่าจำนวน Skewes และหมายเลข Moser ด้วยซ้ำ ในความเป็นจริง เอกภพที่สังเกตได้ทั้งหมดมีขนาดเล็กเกินไปที่จะระบุเลขทศนิยมธรรมดาของเลขเกรแฮม

มิทรี อาโนซอฟ

บรรยายโดย Dmitry Viktorovich Anosov แพทย์สาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์ ศาสตราจารย์ นักวิชาการของ Russian Academy of Sciences โรงเรียนภาคฤดูร้อน"คณิตศาสตร์สมัยใหม่" ดุบนา 16-18 กรกฎาคม 2545

ไม่สามารถตอบคำถามนี้ได้อย่างถูกต้องเพราะว่า ชุดตัวเลขไม่มีขีดจำกัดบน ดังนั้น สำหรับตัวเลขใดๆ คุณเพียงแค่ต้องบวกหนึ่งตัวเพื่อให้ได้จำนวนที่มากขึ้น แม้ว่าตัวเลขจะไม่มีที่สิ้นสุด แต่ก็มีชื่อเฉพาะไม่มากนัก เนื่องจากส่วนใหญ่จะพอใจกับชื่อที่ประกอบด้วยตัวเลขที่น้อยกว่า เป็นที่แน่ชัดว่าในชุดตัวเลขสุดท้ายที่มนุษยชาติตั้งชื่อให้ตัวเองนั้น จะต้องมีอยู่บ้าง จำนวนมากที่สุด- แต่มันเรียกว่าอะไรและมันเท่ากับอะไร? ลองคิดดูและในขณะเดียวกันก็ค้นหาว่านักคณิตศาสตร์มีจำนวนเท่าใด

เลขเหนือธรรมชาติ

ตัวเลข (จริงหรือจินตภาพ) ที่ไม่เป็นไปตามข้อกำหนดใดๆ สมการพีชคณิต(ดูสมการพีชคณิต) ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้น ตัวเลขจึงตรงกันข้ามกับตัวเลขพีชคณิต (ดูตัวเลขพีชคณิต) การดำรงอยู่ของ T. ch. ก่อตั้งขึ้นครั้งแรกโดย J. Liouville (1844) จุดเริ่มต้นของลิอูวิลล์คือทฤษฎีบทของเขา ซึ่งลำดับของการประมาณเศษส่วนตรรกยะที่มีตัวส่วนที่กำหนดให้กับจำนวนพีชคณิตที่ไม่ลงตัวที่กำหนดนั้นไม่สามารถสูงตามอำเภอใจได้ กล่าวคือถ้าเป็นตัวเลขพีชคณิต กเป็นไปตามสมการพีชคณิตระดับปริญญาที่ลดไม่ได้ nด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้นสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ c ขึ้นอยู่กับเท่านั้น α - ดังนั้น หากสำหรับจำนวนอตรรกยะที่กำหนด α เราสามารถระบุชุดการประมาณเหตุผลจำนวนอนันต์ที่ไม่เป็นไปตามอสมการที่กำหนดสำหรับค่าใดๆ กับและ n(เหมือนกันสำหรับการประมาณทั้งหมด) จากนั้น α คือ T.h. ตัวอย่างของตัวเลขดังกล่าวให้:

G. Cantor (1874) ให้หลักฐานการมีอยู่ของตัวเลข T. อีกประการหนึ่ง โดยสังเกตว่าเซตของตัวเลขพีชคณิตทั้งหมดสามารถนับได้ (นั่นคือ ทั้งหมด ตัวเลขพีชคณิตอาจมีการกำหนดหมายเลขใหม่ ดูทฤษฎีเซต) ในขณะที่เซตของจำนวนจริงทั้งหมดนับไม่ได้

ต่อจากนั้นจึงทำให้ชุดตัวเลขนับไม่ได้ และยิ่งไปกว่านั้น ตัวเลขยังประกอบกันเป็นกลุ่มของชุดตัวเลขทั้งหมดอีกด้วย งานที่สำคัญที่สุดของทฤษฎีของ T. ch คือการค้นหาว่าค่านิยมของ T. chฟังก์ชั่นการวิเคราะห์

มีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์และการวิเคราะห์บางอย่างสำหรับค่าพีชคณิตของการโต้แย้ง ปัญหาประเภทนี้ถือเป็นปัญหาที่ยากที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ในปี พ.ศ. 2416 ซี. เฮอร์ไมต์ได้พิสูจน์ว่าหมายเลขเนเปโร ในปี ค.ศ. 1882 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เอฟ. ลินเดมันน์ ได้รับผลลัพธ์ที่กว้างกว่านี้: ถ้า α เป็นตัวเลขพีชคณิต แล้วผลลัพธ์ของα - T. h. Lipdemann ได้รับการสรุปอย่างมีนัยสำคัญโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน K. Siegel (1930) ซึ่งพิสูจน์ให้เห็นถึงความเหนือกว่าของค่าของฟังก์ชันทรงกระบอกระดับกว้างสำหรับค่าพีชคณิตของการโต้แย้ง ในปี 1900 ที่การประชุมทางคณิตศาสตร์ในกรุงปารีส ดี. ฮิลแบร์ต หนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังแก้ไม่ได้ 23 ข้อ ชี้ให้เห็นสิ่งต่อไปนี้: เป็นจำนวนทิพย์ α β , ที่ไหน α และ β - ตัวเลขพีชคณิตและ β - จำนวนอตรรกยะและโดยเฉพาะอย่างยิ่งคือจำนวน e π ทิพย์ (ปัญหาของการมีชัยของตัวเลขในรูปแบบ α β จัดแสดงครั้งแรกในรูปแบบส่วนตัวโดยแอล. ออยเลอร์, 1744) วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับปัญหานี้ (ในแง่ที่ยืนยัน) ได้รับในปี 1934 โดย A. O. Gelfond u. จากการค้นพบของเกลฟอนด์ พบว่าลอการิทึมทศนิยมทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติ (ซึ่งก็คือ "ลอการิทึมแบบตาราง") เป็นจำนวนเต็ม วิธีการของทฤษฎีตัวเลขถูกนำไปใช้กับการแก้สมการจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม

ความหมาย: Gelfond A.O., ตัวเลขเหนือธรรมชาติและพีชคณิต, M., 1952.

ใหญ่ สารานุกรมโซเวียต- - ม.: สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

ดูว่า "เลขอดิศัย" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

จำนวนที่ไม่เป็นไปตามสมการพีชคณิตใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม เลขอดิศัย คือ เลข??3.14159...; ลอการิทึมทศนิยมของจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ได้แสดงด้วยเลขศูนย์ตามด้วยศูนย์ เบอร์ e=2.71828...และอื่นๆ... ใหญ่ พจนานุกรมสารานุกรม

- (จาก Lat. transcendere ไปมากกว่า, เกิน) นี่เป็นเรื่องจริงหรือ จำนวนเชิงซ้อนซึ่งไม่ใช่พีชคณิต กล่าวอีกนัยหนึ่งคือตัวเลขที่ไม่สามารถเป็นรากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มได้ สารบัญ 1 คุณสมบัติ 2 ... ... Wikipedia

จำนวนที่ไม่เป็นไปตามสมการพีชคณิตใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ตัวเลขอดิศัย ได้แก่ ตัวเลข π = 3.14159...; ลอการิทึมทศนิยมของจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ได้แสดงด้วยเลขศูนย์ตามด้วยศูนย์ เลข e = 2.71828... ฯลฯ... พจนานุกรมสารานุกรม

จำนวนที่ไม่ตรงกับพีชคณิตใดๆ สมการกับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม รวมไปถึง: หมายเลข PI = 3.14159...; ลอการิทึมทศนิยมของจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ได้แสดงด้วยเลขศูนย์ตามด้วยศูนย์ เลข e = 2.71828... ฯลฯ... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ พจนานุกรมสารานุกรม

จำนวนที่ไม่ใช่รากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ขอบเขตของคำจำกัดความของตัวเลขดังกล่าวคือศูนย์ของจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน และจำนวนรัศมี การมีอยู่และโครงสร้างที่ชัดเจนของชิ้นส่วน T. จริงได้รับการพิสูจน์โดย J. Liouville... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

สมการที่ไม่ใช่พีชคณิต โดยทั่วไปแล้วสมการเหล่านี้ประกอบด้วยฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และตรีโกณมิติผกผัน ตัวอย่างเช่น คำจำกัดความที่เข้มงวดมากขึ้นคือ: สมการเหนือธรรมชาติคือสมการ ... Wikipedia

เป็นตัวเลขประมาณเท่ากับ 2.718 ซึ่งมักพบในวิชาคณิตศาสตร์และ วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ- ตัวอย่างเช่น เมื่อสารกัมมันตภาพรังสีสลายตัวหลังจากเวลา t เศษส่วนเท่ากับ e kt จะคงอยู่ของปริมาณตั้งต้นของสาร โดยที่ k คือตัวเลข... ... สารานุกรมถ่านหิน

E คือค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะและเป็นจำนวนอดิศัย บางครั้งเลข e เรียกว่าเลขออยเลอร์ (อย่าสับสนกับเลขออยเลอร์ชนิดแรก) หรือเลขเนเปียร์ แสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก “e”.... ... Wikipedia

E คือค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะและเป็นจำนวนอดิศัย บางครั้งเลข e เรียกว่าเลขออยเลอร์ (อย่าสับสนกับเลขออยเลอร์ชนิดแรก) หรือเลขเนเปียร์ แสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก “e”.... ... Wikipedia

คำว่า "ทิพย์" มักจะเกี่ยวข้องกับการทำสมาธิทิพย์และความลึกลับต่างๆ แต่หากต้องการใช้อย่างถูกต้อง อย่างน้อยคุณต้องแยกความแตกต่างจากคำว่า "เหนือธรรมชาติ" และอย่างน้อยที่สุดก็จำบทบาทของมันในผลงานของคานท์และนักปรัชญาคนอื่นๆ

แนวคิดนี้มาจากภาษาละตินว่า Transcendens - "การก้าวข้าม" "เหนือกว่า" "ก้าวไปไกลกว่านั้น" โดยทั่วไปหมายถึงบางสิ่งที่โดยพื้นฐานแล้วไม่สามารถเข้าถึงความรู้เชิงประจักษ์หรือไม่ได้ขึ้นอยู่กับประสบการณ์ ข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับคำนี้เกิดขึ้นในปรัชญาของ Neoplatonism - ผู้ก่อตั้งขบวนการ Plotinus ได้สร้างหลักคำสอนของ One - หลักการแรกที่ดีทั้งหมดซึ่งไม่สามารถรับรู้ได้ด้วยความพยายามในการคิดหรือด้วยความช่วยเหลือจากประสาทสัมผัส ประสบการณ์. “สิ่งหนึ่งไม่ใช่สิ่งมีชีวิต แต่เป็นพ่อแม่ของมัน” นักปรัชญาอธิบาย

คำว่า "ผู้อยู่เหนือธรรมชาติ" ได้รับการเปิดเผยอย่างเต็มที่ที่สุดในปรัชญาของอิมมานูเอล คานท์ ซึ่งใช้เพื่ออธิบายลักษณะของสิ่งต่าง ๆ ที่มีอยู่อย่างเป็นอิสระจากจิตสำนึกและกระทำตามประสาทสัมผัสของเรา ในขณะที่ยังคงเป็นสิ่งที่ไม่รู้โดยพื้นฐาน ทั้งในเชิงปฏิบัติและในทางทฤษฎี สิ่งที่ตรงกันข้ามกับความมีชัยคือ: มันหมายถึงการไม่สามารถแบ่งแยกได้ การเชื่อมต่อภายในของคุณภาพใดๆ ของวัตถุกับตัววัตถุนั้นเอง หรือความสามารถในการรับรู้ของวัตถุบน ประสบการณ์ส่วนตัว- ตัวอย่างเช่น ถ้าเราสมมุติว่าจักรวาลถูกสร้างขึ้นตามแผนการที่สูงกว่า แผนนั้นก็เป็นสิ่งที่เหนือธรรมชาติสำหรับเรา เราทำได้เพียงสร้างสมมติฐานเกี่ยวกับมันเท่านั้น แต่ถ้าแผนนี้มีอยู่ในความเป็นจริง ผลที่ตามมาก็ย่อมปรากฏแก่เราโดยแสดงออกมาในนั้น กฎทางกายภาพและสถานการณ์ที่เราพบว่าตัวเอง ดังนั้น ในแนวคิดทางเทววิทยาบางประการ พระเจ้าทรงอยู่เหนือธรรมชาติและอยู่นอกการดำรงอยู่ที่พระองค์สร้างขึ้น

บางสิ่งในตัวเองยังคงเข้าถึงได้ด้วยความรู้เชิงนิรนัย เช่น พื้นที่และเวลา ความคิดเกี่ยวกับพระเจ้า ความดีและความงาม หมวดหมู่เชิงตรรกะ กล่าวคือ วัตถุทิพย์นั้น “ถูกกำหนดไว้เป็นค่าเริ่มต้น” ในใจของเราในเชิงอุปมา

แนวคิดเรื่องการมีชัยก็มีอยู่ในคณิตศาสตร์เช่นกัน จำนวนเหนือธรรมชาติคือตัวเลขที่ไม่สามารถคำนวณโดยใช้พีชคณิตหรือแสดงพีชคณิตได้ (นั่นคือ ไม่สามารถเป็นรากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มที่ไม่เหมือนกับศูนย์ได้) ซึ่งรวมถึงตัวเลข π และ e เป็นต้น

แนวคิดที่ใกล้เคียงกับ "ทิพย์" แต่ความหมายต่างกันคือ "ทิพย์" ในขั้นต้นมันแสดงถึงพื้นที่ของประเภทจิตนามธรรมและต่อมาได้รับการพัฒนาโดยคานท์ซึ่งตกหลุมพรางของเขาเอง: มันเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างระบบปรัชญาจากข้อมูลเชิงประจักษ์เท่านั้นและเขาไม่รู้จักใด ๆ แหล่งประสบการณ์อื่นนอกเหนือจากเชิงประจักษ์ ในการที่จะออกไป นักปรัชญาต้องยอมรับว่าบางสิ่งในตัวเองยังคงเข้าถึงได้ด้วยความรู้เชิงนิรนัย เช่น พื้นที่และเวลา ความคิดเกี่ยวกับพระเจ้า ความดีและความงาม หมวดหมู่เชิงตรรกะ นั่นคือวัตถุทิพย์นั้น "ถูกติดตั้งไว้ล่วงหน้าตามค่าเริ่มต้น" ในใจของเรา - ในขณะที่ข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุเหล่านั้นมีอยู่ในตัวมันเองและไม่ได้ติดตามจากประสบการณ์ของเรา

มีแนวคิดอื่นที่เกี่ยวข้องกันคือความมีชัย ในความหมายที่กว้างที่สุดของคำนี้ หมายถึง การเปลี่ยนแปลงของเขตแดนระหว่างสองพื้นที่ที่แตกต่างกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเปลี่ยนจากทรงกลมของโลกนี้ไปสู่ทรงกลมของอีกโลกหนึ่งซึ่งอยู่เหนือธรรมชาติ เพื่อความง่าย เรามายกตัวอย่างจากนิยายวิทยาศาสตร์: โลกคู่ขนานสำหรับ คนธรรมดา- ปรากฏการณ์เหนือธรรมชาติ แต่เมื่อพระเอกพบว่าตัวเองอยู่ในโลกคู่ขนานนี้หรือสามารถรับรู้มันได้นี่คือความมีชัย หรือตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นจากปรัชญาอัตถิภาวนิยม: Jean-Paul Sartre เชื่อว่ามนุษย์อยู่เหนือธรรมชาติเพราะเขาก้าวไปไกลกว่าประสบการณ์ส่วนตัวใด ๆ ที่เป็นไปได้ เราสามารถศึกษาตัวเองและโลกรอบตัวเราจากมุมที่ต่างกัน แต่เราจะไม่มีวันเข้าใกล้การรู้อย่างถ่องแท้ด้วยซ้ำ ตัวเราเอง. แต่ในขณะเดียวกันบุคคลก็มีความสามารถในการก้าวข้าม: เขาก้าวข้ามสิ่งใดสิ่งหนึ่งโดยให้ความหมายบางอย่างแก่มัน การมีชัยเป็นองค์ประกอบสำคัญในศาสนา: ช่วยให้บุคคลหลุดพ้นจากธรรมชาติทางวัตถุและสัมผัสบางสิ่งที่นอกเหนือไปจากนั้น

จากปรัชญา แนวคิดเรื่องความเป็นเหนือธรรมชาติได้อพยพไปสู่จิตวิทยา: นักจิตวิทยาชาวสวิส คาร์ล จุง ได้แนะนำแนวคิดของ "ฟังก์ชันเหนือธรรมชาติ" ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่รวมจิตสำนึกและจิตใต้สำนึกเข้าด้วยกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักจิตวิเคราะห์สามารถทำหน้าที่เหนือธรรมชาติได้ - เขาช่วยผู้ป่วยวิเคราะห์ภาพของจิตไร้สำนึก (เช่นความฝัน) และเชื่อมโยงภาพเหล่านั้นเข้ากับกระบวนการมีสติในจิตใจของเขา

วิธีการพูด

ไม่ถูกต้อง “ฉันสมัครเข้าร่วมชั้นเรียนสมาธิทิพย์” ถูกต้อง - "เหนือธรรมชาติ"

ถูกต้อง “เมื่อข้าพเจ้าเข้าไปในวัด ข้าพเจ้าสัมผัสได้ถึงความรู้สึกผสานกับสิ่งเหนือธรรมชาติ”

อย่างถูกต้อง “ศิลปะก้าวข้ามวัตถุที่คุ้นเคยจากโลกแห่งวัตถุ เติมเต็มด้วยความหมายที่สูงกว่า”

เลขเหนือธรรมชาติ- จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่พีชคณิต นั่นคือ ไม่ใช่รากของพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะ

การมีอยู่ของตัวเลขเหนือธรรมชาติก่อตั้งขึ้นครั้งแรกโดย J. Liouville ในปี 1844 เขายังได้สร้างตัวอย่างแรกของตัวเลขดังกล่าวด้วย ลิอูวิลล์ตั้งข้อสังเกตว่าตัวเลขเชิงพีชคณิตไม่สามารถประมาณ "ดีเกินไป" ด้วยจำนวนตรรกยะได้ กล่าวคือ ทฤษฎีบทของ Liouville ระบุว่าถ้าจำนวนพีชคณิตเป็นรากของพหุนามของดีกรีที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะ ดังนั้นสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ จะถือว่าอสมการต่อไปนี้:

โดยที่ค่าคงที่ขึ้นอยู่กับเท่านั้น จากคำกล่าวนี้เป็นไปตามนี้ มีหลักฐานเพียงพอความมีชัย: หากตัวเลขเป็นเช่นนั้นสำหรับค่าคงที่ใด ๆ จะมีเซตของจำนวนตรรกยะที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน

นั่นคือสิ่งเหนือธรรมชาติ ต่อมาจึงเรียกตัวเลขดังกล่าวว่าเลขลิอูวิลล์ ตัวอย่างของตัวเลขดังกล่าวคือ

G. Cantor ได้รับข้อพิสูจน์อีกประการหนึ่งเกี่ยวกับการมีอยู่ของจำนวนเหนือธรรมชาติในปี พ.ศ. 2417 บนพื้นฐานของทฤษฎีเซตที่เขาสร้างขึ้น คันทอร์พิสูจน์ว่าเซตของจำนวนพีชคณิตนั้นนับได้ และเซตของจำนวนจริงนั้นนับไม่ได้ ซึ่งหมายความว่าเซตของจำนวนอดิศัยนั้นนับไม่ได้ อย่างไรก็ตาม ไม่เหมือนกับข้อพิสูจน์ของ Liouville ข้อโต้แย้งเหล่านี้ไม่อนุญาตให้เรายกตัวอย่างตัวเลขดังกล่าวอย่างน้อยหนึ่งตัว

งานของ Liouville ก่อให้เกิดทฤษฎีเลขเหนือธรรมชาติทั้งส่วน - ทฤษฎีการประมาณจำนวนพีชคณิตโดยใช้ตรรกยะหรือโดยทั่วไปคือเลขพีชคณิต ทฤษฎีบทของ Liouville มีความเข้มแข็งและแพร่หลายในงานของนักคณิตศาสตร์หลายคน ซึ่งทำให้สามารถสร้างตัวอย่างใหม่ของตัวเลขเหนือธรรมชาติได้ ดังนั้น K. Mahler แสดงให้เห็นว่า if เป็นพหุนามที่ไม่คงที่ซึ่งรับค่าจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด ดังนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ โดยที่ตัวเลขที่เขียนในระบบเลขฐานนั้นถือเป็นค่าทิพย์ แต่เป็น ไม่ใช่เบอร์ลิอูวิลล์ ตัวอย่างเช่น ด้วย และ เราได้รับผลลัพธ์ที่สวยงามดังต่อไปนี้: ตัวเลข

เหนือธรรมชาติ แต่ไม่ใช่หมายเลข Liouville

ในปี พ.ศ. 2416 ซี. เฮอร์ไมต์ได้ใช้แนวคิดอื่นในการพิสูจน์ความเหนือกว่าของจำนวนเนเปอร์ (ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ):

หลังจากพัฒนาแนวคิดของ Hermite แล้ว F. Lindemann ในปี พ.ศ. 2425 ได้พิสูจน์ให้เห็นถึงความเหนือกว่าของจำนวนดังนั้นจึงยุติปัญหาโบราณของการยกกำลังสองวงกลม: การใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากัน (นั่นคือการมี พื้นที่เดียวกัน) ไปยังวงกลมที่กำหนด โดยทั่วไปแล้ว ลินเดมันน์ได้แสดงให้เห็นว่า สำหรับจำนวนเชิงพีชคณิตใดๆ จำนวนหนึ่งถือเป็นจำนวนเหนือธรรมชาติ สูตรที่เทียบเท่า: สำหรับจำนวนพีชคณิตใดๆ ที่ไม่ใช่ และ ลอการิทึมธรรมชาติของมันคือจำนวนอดิศัย

ในปี 1900 ที่การประชุมนักคณิตศาสตร์ในกรุงปารีส ดี. ฮิลแบร์ต ซึ่งเป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังแก้ไม่ได้ 23 ข้อ ได้ชี้ให้เห็นสิ่งต่อไปนี้ ซึ่งคิดค้นขึ้นในรูปแบบเฉพาะโดยแอล. ออยเลอร์:

อนุญาต และ เป็นตัวเลขพีชคณิต และ เหนือธรรมชาติ? โดยเฉพาะตัวเลขที่เหนือธรรมชาติ? และ?

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้ ซึ่งใกล้เคียงกับสูตรดั้งเดิมของออยเลอร์:

อนุญาต และ - ตัวเลขพีชคณิตอื่นที่ไม่ใช่ และยิ่งกว่านั้นคืออัตราส่วนของลอการิทึมธรรมชาติ ไม่มีเหตุผล จะมีเลขไหม. เหนือธรรมชาติ?

วิธีแก้ปัญหาบางส่วนแรกได้รับในปี 1929 โดย A. O. Gelfond ผู้ซึ่งได้พิสูจน์ความมีชัยของจำนวนโดยเฉพาะ ในปี 1930 R. O. Kuzmin ได้ปรับปรุงวิธีการของ Gelfond โดยเฉพาะเขาสามารถพิสูจน์ความมีชัยของตัวเลขได้ การแก้ปัญหาออยเลอร์-ฮิลแบร์ตอย่างสมบูรณ์ (ในแง่ที่ยืนยัน) ได้รับมาโดยอิสระในปี พ.ศ. 2477 โดย A. O. Gelfond และ T. Schneider

ก. เบเกอร์ในปี 1966 ได้สรุปทฤษฎีบทของลินเดมันน์และเกลฟอนด์-ชไนเดอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การพิสูจน์ความเหนือกว่าของผลคูณของตัวเลขจำนวนจำกัดตามอำเภอใจของรูปแบบและกับพีชคณิตภายใต้ข้อจำกัดตามธรรมชาติ

ในปี 1996 ยู.วี. Nesterenko พิสูจน์ความเป็นอิสระทางพีชคณิตของค่าของซีรีส์ Eisenstein และโดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวเลขและ นี่หมายถึงความเหนือกว่าของจำนวนใดๆ ของรูปแบบ โดยที่ฟังก์ชันตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมสัมประสิทธิ์พีชคณิต ตัวอย่างเช่น ผลรวมของอนุกรมจะเป็นแบบเหนือธรรมชาติ

ในปี พ.ศ. 2472-2473 K. Mahler ในชุดผลงานได้เสนอวิธีการใหม่ในการพิสูจน์ความเหนือกว่าของค่าของฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่เป็นไปตามสมการเชิงฟังก์ชันบางประเภท (ต่อมาฟังก์ชันดังกล่าวถูกเรียกว่าฟังก์ชัน Mahler)

วิธีการของทฤษฎีจำนวนทิพย์พบการประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์แขนงอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีสมการไดโอแฟนไทน์