ฟังก์ชันคุณสมบัติขนาดใหญ่อนันต์ ฟังก์ชั่นเล็กและใหญ่ไม่สิ้นสุด ฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด

แคลคูลัสของขนาดจิ๋วและขนาดใหญ่

แคลคูลัสไม่สิ้นสุด- การคำนวณดำเนินการด้วยปริมาณที่น้อยมาก ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้จะถือเป็นผลรวมอนันต์ของค่าที่น้อยที่สุด แคลคูลัสขั้นต่ำคือ แนวคิดทั่วไปสำหรับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลซึ่งเป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ระดับสูงสมัยใหม่ แนวคิดเรื่องปริมาณที่น้อยที่สุดมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องขีดจำกัด

ไม่มีที่สิ้นสุด

ลำดับต่อมา ก nเรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุด, ถ้า . ตัวอย่างเช่น ลำดับของตัวเลขนั้นมีน้อยมาก

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า เล็กน้อยในบริเวณใกล้เคียงจุดหนึ่ง x 0 ถ้า .

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุดที่อนันต์, ถ้า หรือ .

ฟังก์ชันที่น้อยที่สุดก็คือค่าความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันกับลิมิตของมัน นั่นคือถ้า , ที่ ฉ(x) − ก = α( x) , .

ปริมาณมากอนันต์

ในสูตรทั้งหมดด้านล่างนี้ ค่าอนันต์ทางด้านขวาของความเสมอภาคจะมีเครื่องหมายที่แน่นอน (อาจเป็น "บวก" หรือ "ลบ") นั่นคือ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน xบาป xไม่จำกัดทั้งสองด้าน มีขนาดไม่ใหญ่เป็นอนันต์ที่

ลำดับต่อมา ก nเรียกว่า ใหญ่อนันต์, ถ้า .

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ใหญ่เป็นอนันต์ใกล้กับจุดหนึ่ง x 0 ถ้า .

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ใหญ่เป็นอนันต์ที่อนันต์, ถ้า หรือ .

คุณสมบัติของขนาดอนันต์เล็กและใหญ่อนันต์

การเปรียบเทียบสิ่งเล็กๆ น้อยๆ

จะเปรียบเทียบปริมาณที่น้อยที่สุดได้อย่างไร?
อัตราส่วนของปริมาณที่น้อยที่สุดก่อให้เกิดสิ่งที่เรียกว่าความไม่แน่นอน

คำจำกัดความ

สมมติว่าเรามีค่าน้อยที่สุดα( x) และ β( x) (หรือลำดับที่ไม่สำคัญสำหรับคำจำกัดความ)

ในการคำนวณขีดจำกัดดังกล่าว จะสะดวกในการใช้กฎของโลปิตาล

ตัวอย่างการเปรียบเทียบ

โดยใช้ เกี่ยวกับ- Symbolism ผลลัพธ์ที่ได้สามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้ x 5 = โอ(x 3). ใน ในกรณีนี้บันทึกถูกต้อง 2x 2 + 6x = โอ(x) และ x = โอ(2x 2 + 6x).

ค่าที่เท่ากัน

คำนิยาม

ถ้า แล้วจึงเรียกปริมาณที่น้อยที่สุด α และ β เทียบเท่า ().
เห็นได้ชัดว่าปริมาณที่เท่ากันเป็นกรณีพิเศษของปริมาณที่น้อยที่สุดและมีลำดับเล็กน้อยเท่ากัน

เมื่อความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ถูกต้อง (ซึ่งเป็นผลมาจากสิ่งที่เรียกว่าขีดจำกัดที่น่าทึ่ง):

ทฤษฎีบท

ขีดจำกัดของผลหาร (อัตราส่วน) ของปริมาณที่น้อยที่สุดสองปริมาณจะไม่เปลี่ยนแปลงหากหนึ่งในนั้น (หรือทั้งสองอย่าง) ถูกแทนที่ด้วยปริมาณที่เท่ากัน.

ทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญในทางปฏิบัติเมื่อค้นหาขีดจำกัด (ดูตัวอย่าง)

ตัวอย่างการใช้งาน

กำลังเปลี่ยน สฉันn 2x ค่าเทียบเท่า 2 xเราได้รับ

ภาพสเก็ตช์ประวัติศาสตร์

แนวคิดเรื่อง "จิ๋ว" ได้รับการกล่าวถึงในสมัยโบราณเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องอะตอมที่แบ่งแยกไม่ได้ แต่ไม่รวมอยู่ในคณิตศาสตร์คลาสสิก ได้รับการฟื้นคืนชีพอีกครั้งด้วยการถือกำเนิดของ "วิธีการแบ่งแยกไม่ได้" ในศตวรรษที่ 16 โดยแบ่งร่างที่กำลังศึกษาออกเป็นส่วนเล็ก ๆ

ในศตวรรษที่ 17 พีชคณิตของแคลคูลัสขนาดเล็กเกิดขึ้น เริ่มถูกกำหนดให้เป็นปริมาณตัวเลขที่น้อยกว่าปริมาณจำกัดใดๆ (ไม่เป็นศูนย์) แต่ยังไม่เท่ากับศูนย์ ศิลปะแห่งการวิเคราะห์ประกอบด้วยการร่างความสัมพันธ์ที่มีขนาดเล็กที่สุด (ดิฟเฟอเรนเชียล) จากนั้นจึงบูรณาการเข้าด้วยกัน

นักคณิตศาสตร์รุ่นเก่าได้นำแนวคิดนี้ไปทดสอบ ไม่มีที่สิ้นสุดการวิจารณ์ที่รุนแรง มิเชล โรลล์ เขียนว่าแคลคูลัสใหม่คือ “ ชุดของข้อผิดพลาดอันชาญฉลาด- วอลแตร์ตั้งข้อสังเกตอย่างเสียดสีว่าแคลคูลัสเป็นศิลปะในการคำนวณและวัดสิ่งต่าง ๆ ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีอยู่จริงอย่างแม่นยำ แม้แต่ Huygens ก็ยอมรับว่าเขาไม่เข้าใจความหมายของส่วนต่างของลำดับที่สูงกว่า

เป็นการเหน็บแนมแห่งโชคชะตา เราสามารถพิจารณาการเกิดขึ้นในช่วงกลางศตวรรษของการวิเคราะห์ที่ไม่ได้มาตรฐาน ซึ่งพิสูจน์ว่ามุมมองดั้งเดิม - สิ่งเล็กๆ น้อยๆ ที่เกิดขึ้นจริง - ก็มีความสอดคล้องกันและสามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการวิเคราะห์ได้

ดูเพิ่มเติม

มูลนิธิวิกิมีเดีย

2010.

ดูว่า "ปริมาณน้อย" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:ปริมาณขนาดเล็กไม่สิ้นสุด - ปริมาณแปรผันในกระบวนการหนึ่ง หากในกระบวนการนี้ปริมาณเข้าใกล้ (มีแนวโน้ม) สู่ศูนย์อย่างไม่สิ้นสุด...

สารานุกรมโพลีเทคนิคขนาดใหญ่ไม่มีที่สิ้นสุด - ■ สิ่งที่ไม่รู้จัก แต่เกี่ยวข้องกับโฮมีโอพาธีย์...

พจนานุกรมความจริงทั่วไป การทำงาน y=ฉ(x) ไม่มีที่สิ้นสุดเรียกว่า ที่ x →ก xหรือเมื่อใด

→∞ ถ้า หรือ เช่น ฟังก์ชันจิ๋วคือฟังก์ชันที่มีขีดจำกัด ณ จุดที่กำหนดเป็นศูนย์

ตัวอย่าง. 1. ฟังก์ชั่น=(xฉ(x) x-1) 2 มีค่าน้อยมากที่

→1 เนื่องจาก (ดูรูป) 1. ฟังก์ชั่น 2. ฟังก์ชั่น x= ทีจี x→0.

3. 1. ฟังก์ชั่น– ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x= บันทึก(1+ x→0.

4. 1. ฟังก์ชั่น = 1/x) – ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x→∞.

– ไม่มีที่สิ้นสุดที่

ให้เราสร้างความสัมพันธ์ที่สำคัญดังต่อไปนี้:ทฤษฎีบท. การทำงานถ้าฟังก์ชั่น ที่เป็นตัวแทนได้ด้วย เป็นผลรวมของจำนวนคงที่ข และขนาดอันไม่สิ้นสุดα(x): ฉ (x)=b+ α(x)

ที่ . ในทางกลับกัน ถ้า แล้วฉ (x)=ข+α(x) , ที่ไหน= ทีจี ขวาน)

x →ก.

1. ให้เราพิสูจน์ส่วนแรกของข้อความนี้ จากความเท่าเทียมกัน ฉ(x)=ข+α(x)ควร |ฉ(x) – ข|=| α|- แต่เนื่องจาก , ที่ไหนมีค่าน้อยมาก ดังนั้นสำหรับ ε โดยพลการ จะมี δ – ย่านใกล้เคียงของจุด ก,ต่อหน้าทุกคน xซึ่งคุณค่าต่างๆ , ที่ไหนตอบสนองความสัมพันธ์ |α(x)|< ε. แล้ว |ฉ(x) – ข|< ε. และนี่ก็หมายความว่า

2. ถ้า แล้วสำหรับ ε ใด ๆ >0 สำหรับทุกคน เอ็กซ์จากบาง δ – ย่านใกล้เคียงของจุด กจะ |ฉ(x) – ข|< ε. แต่ถ้าเราแสดงว่า ฉ(x) – ข= α, ที่ |α(x)|< ε ซึ่งหมายความว่า ก– ไม่มีที่สิ้นสุด

ลองพิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเล็กๆ กัน

ทฤษฎีบท 1ผลบวกเชิงพีชคณิตของ 2, 3 และโดยทั่วไปแล้ว จำนวนอนันต์ใดๆ ที่มีขอบเขตจำกัดถือเป็นฟังก์ชันอนันต์

x →ก- ให้เราพิสูจน์สองเทอม อนุญาต ฉ(x)=α(x)+β(x), ที่ไหน และ . เราต้องพิสูจน์ว่าสำหรับ ε เล็กๆ ใดๆ ก็ตาม > พบ 0 δ> 0 เช่นนั้นสำหรับ x, สนองความเหลื่อมล้ำ |x – ก|<δ , ถูกดำเนินการ |ฉ(x)|< ε.

งั้นมาแก้ไขตัวเลขตามใจชอบกันดีกว่า ε > 0. เนื่องจากตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท α(x)เป็นฟังก์ชันเล็กๆ น้อยๆ แล้วก็มี δ 1 แบบนั้น > 0 ซึ่งก็คือ |x – ก|< δ 1 เรามี |α(x)|< ε / 2. ในทำนองเดียวกันเนื่องจาก เบต้า(x)มีค่าน้อยมาก แล้วก็จะมี δ 2 ดังกล่าว > 0 ซึ่งก็คือ |x – ก|< δ 2 เรามี - β(x)|< ε / 2.

เอาล่ะ δ=นาที(δ 1 , δ2 } .แล้วในบริเวณใกล้จุด กรัศมี δ ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละอย่างก็จะเป็นที่พอใจ |α(x)|< ε / 2 และ - β(x)|< ε / 2. เพราะฉะนั้นในย่านนี้ก็จะมี

|ฉ(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| - β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

เหล่านั้น. |ฉ(x)|< ε ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบท 2ผลคูณของฟังก์ชันอนันต์ , ที่ไหนสำหรับฟังก์ชันที่จำกัด 1. ฟังก์ชั่นเรียกว่า ที่(หรือเมื่อ x→∞) เป็นฟังก์ชันที่เล็กที่สุด

x →ก- ตั้งแต่ฟังก์ชั่น 1. ฟังก์ชั่นมีจำนวนจำกัดก็มีจำนวนจำกัด มเช่นนั้นสำหรับทุกค่า xจากบริเวณใกล้เคียงจุดหนึ่ง ก|ฉ(x)|≤Mนอกจากนี้ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา , ที่ไหนเป็นฟังก์ชันขั้นต่ำที่ ที่จากนั้นสำหรับ ε โดยพลการ > 0 มีพื้นที่ใกล้เคียงของจุด กซึ่งความไม่เท่าเทียมกันจะคงอยู่ |α(x)|< ε /ม- จากนั้นในย่านเล็กๆ เหล่านี้ เราก็มี - อัลฟ|< ε /ม= ε. และนี่หมายความว่า อัฟ– ไม่มีที่สิ้นสุด สำหรับโอกาสนี้ x→∞การพิสูจน์จะดำเนินการในทำนองเดียวกัน

จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วมีดังนี้:

ข้อพิสูจน์ 1.ถ้าและแล้ว

ข้อพิสูจน์ 2.ถ้าและ ค= const แล้ว

ทฤษฎีบท 3อัตราส่วนของฟังก์ชันอนันต์ α(x)ต่อฟังก์ชัน 1. ฟังก์ชั่นลิมิตที่แตกต่างจากศูนย์คือฟังก์ชันที่เล็กที่สุด

x →ก- อนุญาต . จากนั้น 1 /ฉ(x)มีฟังก์ชันจำกัด ดังนั้น เศษส่วนจึงเป็นผลคูณของฟังก์ชันน้อยและฟังก์ชันจำกัด เช่น ฟังก์ชันมีน้อยมาก

คำนิยาม:ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุดที่ ถ้า .

ในสัญกรณ์ “ ” เราจะถือว่าสิ่งนั้น x 0สามารถใช้เป็นค่าสุดท้ายได้: x 0= คอนสตและอนันต์: x 0= ∞.

คุณสมบัติของฟังก์ชันที่เล็กที่สุด:

1) ผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันจำนวนจำกัดคือผลรวมของฟังก์ชันจำนวนไม่สิ้นสุด

2) ผลคูณของฟังก์ชันจำนวนจำกัดคือฟังก์ชันจำนวนจำกัด

3) ผลคูณของฟังก์ชันที่มีขอบเขตและฟังก์ชันขั้นต่ำคือฟังก์ชันที่ไม่สิ้นสุด

4) ผลหารของการหารฟังก์ชันจิ๋วด้วยฟังก์ชันที่มีขีดจำกัดไม่เป็นศูนย์ถือเป็นฟังก์ชันจิ๋ว

ตัวอย่าง: การทำงาน ย = 2 + xมีค่าน้อยมากที่ เพราะ -

คำนิยาม:ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ใหญ่อนันต์ที่ ถ้า .

คุณสมบัติของฟังก์ชันขนาดใหญ่อนันต์:

1) ผลรวมของฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์คือฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์

2) ผลคูณของฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์และฟังก์ชันที่มีขีดจำกัดไม่เป็นศูนย์ถือเป็นฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์

3) ผลรวมของฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์และฟังก์ชันที่มีขอบเขตเป็นฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์

4) ผลหารของการหารฟังก์ชันขนาดใหญ่เป็นอนันต์ด้วยฟังก์ชันที่มีขีดจำกัดจำกัดคือฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์

ตัวอย่าง: การทำงาน ย= มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ที่ เพราะ .

ให้เราสร้างความสัมพันธ์ที่สำคัญดังต่อไปนี้:ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่มีขนาดเล็กเป็นอนันต์และปริมาณมากเป็นอนันต์- ถ้าฟังก์ชันมีค่าน้อยมากที่ แสดงว่าฟังก์ชันจะมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ที่ และในทางกลับกัน ถ้าฟังก์ชันมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ที่ ฟังก์ชันก็จะมีขนาดไม่สิ้นสุดที่

อัตราส่วนของจิ๋วสองตัวมักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ และอัตราส่วนของจิ๋วสองตัวจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ ความสัมพันธ์ทั้งสองนั้นไม่มีกำหนดในแง่ที่ว่าขีดจำกัดอาจมีหรือไม่มีก็ได้ เท่ากับจำนวนหนึ่งหรือเป็นอนันต์ ขึ้นอยู่กับประเภทของฟังก์ชันเฉพาะที่รวมอยู่ในนิพจน์ที่ไม่แน่นอน

นอกจากความไม่แน่นอนของประเภทและความไม่แน่นอนแล้ว สำนวนต่อไปนี้คือ:

ความแตกต่างของสัญลักษณ์เดียวกันที่มีขนาดใหญ่ไม่สิ้นสุด

ผลคูณของสิ่งเล็กๆ น้อยๆ กับสิ่งที่ยิ่งใหญ่อย่างไม่สิ้นสุด

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งมีฐานมีแนวโน้มเป็น 1 และเลขชี้กำลังมีแนวโน้มเป็น ;

ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลซึ่งมีฐานเป็นจำนวนไม่สิ้นสุดและมีเลขชี้กำลังมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานและเลขชี้กำลังมีค่าไม่สิ้นสุด

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์และมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด

ว่ากันว่ามีความไม่แน่นอนของประเภทที่สอดคล้องกัน ในกรณีเหล่านี้จะมีการเรียกการคำนวณขีดจำกัด เผยให้เห็นความไม่แน่นอน- เพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอน สำนวนที่อยู่ใต้เครื่องหมายจำกัดจะถูกแปลงเป็นรูปแบบที่ไม่มีความไม่แน่นอน

เมื่อคำนวณขีด จำกัด จะใช้คุณสมบัติของขีด จำกัด เช่นเดียวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันที่เล็กและใหญ่ไม่สิ้นสุด

ลองดูตัวอย่างการคำนวณขีดจำกัดต่างๆ

1) . 2) .

4) , เพราะ ผลคูณของฟังก์ชันจิ๋วที่ และฟังก์ชันมีขอบเขต มีขนาดเล็กมาก

5) . 6) .

7) = =

- ในกรณีนี้ มีความไม่แน่นอนของประเภท ซึ่งได้รับการแก้ไขโดยการแยกตัวประกอบพหุนามและลดให้เหลือตัวประกอบร่วม

= .

ในกรณีนี้ มีความไม่แน่นอนของประเภท ซึ่งแก้ไขได้โดยการคูณตัวเศษและส่วนด้วยนิพจน์ โดยใช้สูตร แล้วลดเศษส่วนด้วย (+1)

9)
- ในตัวอย่างนี้ ความไม่แน่นอนของประเภทถูกเปิดเผยโดยการหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยกำลังนำ

ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์

ขีด จำกัด แรกที่ยอดเยี่ยม : .

การพิสูจน์.ลองพิจารณาวงกลมหนึ่งหน่วย (รูปที่ 3)

รูปที่ 3 วงกลมหน่วย

อนุญาต เอ็กซ์– การวัดเรเดียนของมุมที่ศูนย์กลาง โมอา(), แล้ว โอเอ = ร= 1, เอ็มเค= บาป x, ที่= ทีจี x- เปรียบเทียบพื้นที่ของสามเหลี่ยม โอมา, โอตะและภาคส่วนต่างๆ โอมาเราได้รับ:

,

.

แบ่งความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายด้วยบาป xเราได้รับ:

.

ตั้งแต่ที่ แล้วตามคุณสมบัติ 5) ขีดจำกัด

นี่คือที่มาของค่าผกผัน ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ความคิดเห็น:หากฟังก์ชันมีค่าไม่สิ้นสุดที่ เช่น จากนั้นขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันแรกจะมีรูปแบบ:

.

ลองดูตัวอย่างการคำนวณขีดจำกัดโดยใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันแรก

เมื่อคำนวณขีดจำกัดนี้ เราใช้สูตรตรีโกณมิติ: .

.

ลองดูตัวอย่างการคำนวณขีดจำกัดโดยใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันที่สอง

2) .

3) - มีความไม่แน่นอนประเภท เรามาทดแทนกัน; ที่ .

ให้คำจำกัดความของลำดับที่ใหญ่เป็นอนันต์ แนวคิดเรื่องย่านใกล้เคียงของจุดที่อนันต์ได้รับการพิจารณา ให้คำจำกัดความสากลของขีดจำกัดของลำดับ ซึ่งใช้กับทั้งขีดจำกัดจำกัดและไม่จำกัด มีการพิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้คำจำกัดความของลำดับที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์

เนื้อหา

ดูเพิ่มเติมที่: การกำหนดขีดจำกัดของลำดับ

คำนิยาม

ลำดับต่อมา (βn) เรียกว่าเป็นลำดับที่ใหญ่เป็นอนันต์ถ้าสำหรับจำนวน M ใดๆ ไม่ว่าจะมากเพียงใด ก็จะมีจำนวนธรรมชาติ N M ขึ้นอยู่กับ M ดังนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด n > N M ความไม่เท่าเทียมกัน
|β n | >ม.
ในกรณีนี้พวกเขาเขียน
.
หรือที่.
พวกเขาบอกว่ามันมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดหรือ บรรจบกันสู่อนันต์.

ถ้าเริ่มจากเลข N บางตัว 0 , ที่
( มาบรรจบกันที่บวกอนันต์).
ถ้าอย่างนั้น
( มาบรรจบกันที่ลบอนันต์).

ให้เราเขียนคำจำกัดความเหล่านี้โดยใช้สัญลักษณ์เชิงตรรกะของการดำรงอยู่และความเป็นสากล:
(1) .
(2) .
(3) .

ลำดับที่มีขีดจำกัด (2) และ (3) เป็นกรณีพิเศษของลำดับที่มีขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุด (1) จากคำจำกัดความเหล่านี้ ถ้าขีดจำกัดของลำดับเท่ากับบวกหรือลบอนันต์ ก็จะเท่ากับอนันต์ด้วย:
.
แน่นอนว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง สมาชิกของลำดับอาจมีเครื่องหมายสลับกัน ในกรณีนี้ ขีดจำกัดอาจเท่ากับอนันต์ แต่ไม่มีเครื่องหมายเฉพาะเจาะจง

โปรดทราบด้วยว่าหากคุณสมบัติบางอย่างเก็บไว้สำหรับลำดับใดลำดับหนึ่งซึ่งมีขีดจำกัดเท่ากับอนันต์ ดังนั้นคุณสมบัติเดียวกันนั้นจะคงไว้สำหรับลำดับซึ่งมีขีดจำกัดเท่ากับบวกหรือลบอนันต์

ในตำราแคลคูลัสหลายเล่ม คำจำกัดความของลำดับขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุดระบุว่าเลข M เป็นบวก: M > 0 - อย่างไรก็ตามข้อกำหนดนี้ไม่จำเป็น ถ้ายกเลิกก็ไม่มีความขัดแย้งเกิดขึ้น เป็นเพียงค่าเล็กน้อยหรือค่าลบที่ไม่น่าสนใจสำหรับเรา เรามีความสนใจในพฤติกรรมของลำดับสำหรับค่าบวกขนาดใหญ่โดยพลการของ M

ดังนั้น หากจำเป็น M อาจถูกจำกัดจากด้านล่างด้วยจำนวน a ใดๆ ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า กล่าวคือ เราสามารถสรุปได้ว่า M > a > 0 เมื่อเรากำหนด ε - พื้นที่ใกล้เคียงของจุดสิ้นสุด ดังนั้นข้อกำหนด ε

เป็นสิ่งสำคัญ สำหรับค่าลบ ไม่สามารถชดเชยความไม่เท่าเทียมกันได้เลย

ย่านของจุดที่อนันต์

เมื่อเราพิจารณาขีดจำกัดอันจำกัด เราได้แนะนำแนวคิดเรื่องย่านใกล้เคียงของจุดหนึ่ง จำได้ว่าบริเวณใกล้เคียงของจุดสิ้นสุดเป็นช่วงเปิดที่มีจุดนี้ เรายังแนะนำแนวคิดเรื่องย่านใกล้เคียงของจุดที่อนันต์ได้ด้วย
ให้ M เป็นจำนวนใดก็ได้ย่านของจุด “อินฟินิตี้”
, , เรียกว่าเซตย่านของจุด “อินฟินิตี้”
ย่านจุด “บวกอินฟินิตี้”ย่านของจุด “อินฟินิตี้”

ในบริเวณใกล้กับจุด “ลบอนันต์”
(4) ,
พูดอย่างเคร่งครัด พื้นที่ใกล้เคียงของจุด "อนันต์" คือฉาก 1 ที่ไหน ม 2 และม

- จำนวนบวกตามอำเภอใจ เราจะใช้คำจำกัดความแรกเนื่องจากง่ายกว่า แม้ว่าทุกสิ่งที่กล่าวด้านล่างนี้จะเป็นจริงเมื่อใช้คำจำกัดความ (4)

ตอนนี้เราสามารถให้คำจำกัดความแบบรวมของขีดจำกัดของลำดับที่ใช้กับทั้งขีดจำกัดจำกัดและไม่จำกัด.
จุด a (จำกัดหรือที่อนันต์) คือขีดจำกัดของลำดับ ถ้าย่านใกล้เคียงใดๆ ของจุดนี้ มีจำนวนธรรมชาติ N โดยที่องค์ประกอบทั้งหมดของลำดับที่มีตัวเลขเป็นของย่านนี้

ดังนั้น หากมีขีดจำกัด ภายนอกย่านใกล้เคียงของจุด a จะมีสมาชิกของลำดับได้เพียงจำนวนจำกัดหรือเซตว่างเท่านั้น เงื่อนไขนี้จำเป็นและเพียงพอ การพิสูจน์คุณสมบัตินี้เหมือนกับการพิสูจน์ขีดจำกัดอันจำกัดทุกประการ

คุณสมบัติของบริเวณใกล้เคียงของลำดับมาบรรจบกัน
เพื่อให้จุด a (จำกัดหรือที่อนันต์) เป็นจุดจำกัดของลำดับ มีความจำเป็นและเพียงพอที่นอกย่านใกล้เคียงใดๆ ของจุดนี้ จะมีเงื่อนไขจำนวนจำกัดของลำดับหรือเซตว่าง
การพิสูจน์ .

บางครั้งก็มีการแนะนำแนวคิดของ ε - ย่านใกล้เคียงของจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด
จำได้ว่า ε-บริเวณใกล้เคียงของจุดจำกัด a คือเซต
มาแนะนำกันดีกว่า การกำหนดครั้งต่อไป- ให้ ε แทนพื้นที่ใกล้เคียงของจุด a
.
แล้วถึงจุดสิ้นสุด
;
;
.
สำหรับจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด:

การใช้แนวคิดของ ε-ย่านใกล้เคียง เราสามารถให้คำจำกัดความสากลอีกประการหนึ่งของขีดจำกัดของลำดับได้: จุด a (เทอร์มินัลหรือที่อนันต์) คือขีดจำกัดของลำดับหากมี ε > 0 จำนวนบวก
.

มีจำนวนธรรมชาติ N ε ขึ้นอยู่กับ ε ซึ่งสำหรับตัวเลขทั้งหมด n > N ε เงื่อนไข x n อยู่ใน ε-บริเวณใกล้เคียงของจุด a:
.

การใช้สัญลักษณ์เชิงตรรกะของการดำรงอยู่และความเป็นสากล คำจำกัดความนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

ตัวอย่างของลำดับที่มีขนาดใหญ่อนันต์

.

.
ตัวอย่างที่ 1
(1) .
ให้เราเขียนคำจำกัดความของลำดับที่ใหญ่เป็นอนันต์:
.

ในกรณีของเรา
.
เราแนะนำตัวเลข และ เชื่อมโยงพวกมันกับอสมการ:
.
ตามคุณสมบัติของอสมการ ถ้า และ แล้ว
โปรดทราบว่าอสมการนี้มีไว้สำหรับ n ใดๆ
ดังนั้นคุณสามารถเลือกได้ดังนี้:

ที่ ;
.
ที่ .

ดังนั้น สำหรับใครก็ตาม เราสามารถหาจำนวนธรรมชาติที่ตรงกับอสมการได้

แล้วสำหรับทุกคน
.

(2) .
ซึ่งหมายความว่า.
.

นั่นคือลำดับมีขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุด
.
.

ตัวอย่างที่ 2
.
ใช้นิยามของลำดับที่ใหญ่เป็นอนันต์แสดงว่า

.

คำศัพท์ทั่วไปของลำดับที่กำหนดมีรูปแบบ:

แล้วสำหรับทุกคน
.

ป้อนตัวเลขและ:
(3) .
ซึ่งหมายความว่า.
.

นั่นคือลำดับมีขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุด
.
จากนั้นสำหรับทุกคนสามารถหาจำนวนธรรมชาติที่ตรงกับอสมการได้ ดังนั้นสำหรับทุกคน
.

เนื่องจากสำหรับสิ่งใดสิ่งหนึ่งจึงเป็นไปได้ที่จะหาจำนวนธรรมชาติที่ตรงกับอสมการได้
.

ให้ไว้ เนื่องจาก N เราสามารถใช้จำนวนธรรมชาติใดๆ ที่เป็นไปตามอสมการต่อไปนี้:
.

ตัวอย่างที่ 4

แล้วสำหรับทุกคน
.

ให้เราเขียนคำศัพท์ทั่วไปของลำดับ:
.
ให้เราเขียนคำจำกัดความของขีดจำกัดของลำดับเท่ากับบวกอนันต์:
(2) .

เนื่องจาก n เป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น n = 1, 2, 3, ... , ที่
;
;
.

เราแนะนำตัวเลขและ M ซึ่งเชื่อมโยงกับความไม่เท่าเทียมกัน:
.
จากนั้นสำหรับทุกคนสามารถหาจำนวนธรรมชาติที่ตรงกับอสมการได้ ดังนั้นสำหรับทุกคน
.

ดังนั้น สำหรับจำนวน M ใดๆ เราสามารถหาจำนวนธรรมชาติที่ตรงกับอสมการได้
.
ใช้นิยามของลำดับที่ใหญ่เป็นอนันต์แสดงว่า

แล้วสำหรับทุกคน
วรรณกรรมที่ใช้: แอล.ดี. คุดรยาฟต์เซฟ. ดีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
- เล่มที่ 1 มอสโก 2546

ซม. นิโคลสกี้. หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 มอสโก 2526

ดูเพิ่มเติมที่:

ฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด ไม่มีที่สิ้นสุดฟังก์ชัน %%f(x)%% ถูกเรียก

(b.m.) ด้วย %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%% ถ้ามีแนวโน้มของอาร์กิวเมนต์นี้ ขีดจำกัดของฟังก์ชันจะเท่ากับศูนย์

แนวคิดของบี.เอ็ม. ฟังก์ชั่นเชื่อมโยงกับคำสั่งในการเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์อย่างแยกไม่ออก เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับ b.m. ฟังก์ชันที่ %%a \to a + 0%% และที่ %%a \to a - 0%% โดยปกติแล้ว ฟังก์ชันจะแสดงด้วยตัวอักษรตัวแรกของอักษรกรีก %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

1. ตัวอย่าง
2. ฟังก์ชัน %%f(x) = x%% คือ b.m ที่ %%x \to 0%% เนื่องจากขีดจำกัดที่จุด %%a = 0%% เป็นศูนย์ ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างลิมิตสองด้านกับลิมิตด้านเดียว ฟังก์ชันนี้คือ b.m ทั้งที่มี %%x \to +0%% และ %%x \to -0%%

ฟังก์ชัน %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. ที่ %%x \to \infty%% (เช่นเดียวกับที่ %%x \to +\infty%% และที่ %%x \to -\infty%%) จำนวนคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ ไม่ว่าจะมีค่าน้อยแค่ไหนก็ตามค่าสัมบูรณ์

ไม่ใช่บีม การทำงาน. สำหรับจำนวนคงที่ ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือศูนย์ เนื่องจากฟังก์ชัน %%f(x) \equiv 0%% มีขีดจำกัดเป็นศูนย์

ทฤษฎีบท

ฟังก์ชัน %%f(x)%% มีที่จุด %%a \in \overline(\mathbb(R))%% ของเส้นจำนวนขยายซึ่งมีขีดจำกัดสุดท้ายเท่ากับตัวเลข %%b%% ถ้าเท่านั้น ถ้าฟังก์ชันนี้เท่ากับผลรวมของตัวเลขนี้ %%b%% และ b.m ฟังก์ชัน %%\alpha(x)%% กับ %%x \to a%% หรือ $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \ลูกศรซ้าย \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right) -

คุณสมบัติของฟังก์ชันอนันต์

1. ตามกฎของการผ่านไปจนถึงขีดจำกัดด้วย %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%% ข้อความต่อไปนี้จะเป็นดังนี้:
2. ผลรวมของจำนวนสุดท้ายข.ม. ฟังก์ชันสำหรับ %%x \to a%% คือ b.m ที่ %%x \ถึง %%

สินค้า b.m. ฟังก์ชันที่ %%x \to a%% และฟังก์ชันที่ล้อมรอบในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุ %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% ของจุด a มี b.m ที่ฟังก์ชัน %%x \to a%%

เห็นได้ชัดว่าผลคูณของฟังก์ชันคงที่และ b.m ที่ %%x \ถึง %% จะมี bm ฟังก์ชันที่ %%x \ถึง a%%

ฟังก์ชันอนันต์ที่เทียบเท่ากัน

ฟังก์ชันจำนวนน้อย %%\alpha(x), \beta(x)%% สำหรับ %%x \to a%% ถูกเรียกว่า เทียบเท่าและเขียน %%\alpha(x) \sim \beta(x)%% ถ้า

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\อัลฟา(x))) = 1. $$

ทฤษฎีบทการแทนที่ข.ม. ฟังก์ชั่นเทียบเท่า

ให้ %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% เป็น b.m. ฟังก์ชั่นสำหรับ %%x \to a%% โดยมี %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%% จากนั้น $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ ลิมิต_(x \ถึงก)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))) -

เทียบเท่ากับข.ม. ฟังก์ชั่น

ให้ %%\alpha(x)%% เป็น b.m ฟังก์ชั่นที่ %%x \to a%% ดังนั้น

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\รูปแบบการแสดงผล 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\อาร์คซิน\อัลฟา(x) \ซิม \อัลฟา(x)%%
5. %%\อาร์คแทน\อัลฟา(x) \ซิม \อัลฟา(x)%%
6. %%\ln(1 + \อัลฟา(x)) \ซิม \อัลฟา(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

ตัวอย่าง

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(อาร์เรย์) $$

ฟังก์ชั่นขนาดใหญ่อนันต์

ฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด ใหญ่อนันต์(b.b.) ด้วย %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%% ถ้ามีแนวโน้มเป็นอาร์กิวเมนต์ ฟังก์ชันจะมีขีดจำกัดไม่สิ้นสุด

แอปที่คล้ายกับ b.m. แนวคิดเกี่ยวกับฟังก์ชันบี.บี. ฟังก์ชั่นเชื่อมโยงกับคำสั่งในการเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์อย่างแยกไม่ออก เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับบี.บี. ฟังก์ชันที่มี %%x \to a + 0%% และ %%x \to a - 0%% คำว่า "ใหญ่เป็นอนันต์" ไม่ได้พูดถึงค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน แต่เกี่ยวกับธรรมชาติของการเปลี่ยนแปลงในบริเวณใกล้เคียงกับจุดที่เป็นปัญหา ไม่มีจำนวนคงที่ ไม่ว่าค่าสัมบูรณ์จะมากเพียงใด ก็จะมีค่ามากเป็นอนันต์

แนวคิดของบี.เอ็ม. ฟังก์ชั่นเชื่อมโยงกับคำสั่งในการเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์อย่างแยกไม่ออก เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับ b.m. ฟังก์ชันที่ %%a \to a + 0%% และที่ %%a \to a - 0%% โดยปกติแล้ว ฟังก์ชันจะแสดงด้วยตัวอักษรตัวแรกของอักษรกรีก %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

1. ฟังก์ชัน %%f(x) = 1/x%% - b.b. ที่ %%x \ถึง 0%%
2. ฟังก์ชัน %%f(x) = x%% - b.b. ที่ %%x \ถึง \infty%%

ถ้าเงื่อนไขของคำจำกัดความ $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f( x)) = -\infty, \end(อาร์เรย์) $$

แล้วพวกเขาก็พูดถึง เชิงบวกหรือ เชิงลบ BB. ที่ฟังก์ชัน %%a%%

ตัวอย่าง

ฟังก์ชัน %%1/(x^2)%% - บวก b.b ที่ %%x \ถึง 0%%

ความเชื่อมโยงระหว่างบี.บี. และบีม ฟังก์ชั่น

ถ้า %%f(x)%% คือ b.b. ด้วยฟังก์ชัน %%x \to a%% จากนั้น %%1/f(x)%% - b.m

ที่ %%x \ถึง %% ถ้า %%\alpha(x)%% - b.m. สำหรับ %%x \to a%% เป็นฟังก์ชันที่ไม่เป็นศูนย์ในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุด %%a%% จากนั้น %%1/\alpha(x)%% จะเป็น b.b ที่ %%x \ถึง %%

คุณสมบัติของฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่อนันต์

ให้เรานำเสนอคุณสมบัติหลายประการของบี.บี. ฟังก์ชั่น คุณสมบัติเหล่านี้เป็นไปตามคำจำกัดความของ b.b. โดยตรง ฟังก์ชันและคุณสมบัติของฟังก์ชันที่มีขีดจำกัดจำกัด ตลอดจนจากทฤษฎีบทเรื่องความสัมพันธ์ระหว่าง b.b. และบีม ฟังก์ชั่น

1. ผลคูณของจำนวนจำกัดของ b.b. ฟังก์ชันสำหรับ %%x \to a%% คือ b.b. ฟังก์ชันที่ %%x \ถึง a%% แน่นอน ถ้า %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% - b.b. ทำงานที่ %%x \to a%% จากนั้นในพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุด %%a%% %%f_k(x) \ne 0%% และ โดยทฤษฎีบทการเชื่อมต่อ b.b. และบีมฟังก์ชั่น %%1/f_k(x)%% - b.m. ฟังก์ชันที่ %%x \ถึง a%% ปรากฎว่า %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% - ฟังก์ชัน b.m สำหรับ %%x \to a%% และ %%\displaystyle\prod^(n )_(k = 1)f_k(x)%% - ข. ฟังก์ชันที่ %%x \ถึง a%%
2. สินค้า บี.บี. ฟังก์ชันสำหรับ %%x \to a%% และฟังก์ชันซึ่งในย่านใกล้เคียงที่ถูกเจาะทะลุของจุด %%a%% ในค่าสัมบูรณ์มากกว่าค่าคงที่บวกคือ b.b ฟังก์ชันที่ %%x \ถึง a%% โดยเฉพาะผลิตภัณฑ์บี.บี. ฟังก์ชันที่มี %%x \to a%% และฟังก์ชันที่มีขีดจำกัดไม่เป็นศูนย์ที่จุด %%a%% จะเป็น b.b ฟังก์ชันที่ %%x \ถึง a%%

ผลรวมของฟังก์ชันที่ขอบเขตอยู่ในบริเวณใกล้เคียงที่เจาะทะลุของจุด %%a%% และ b.b. ฟังก์ชันที่มี %%x \to a%% คือ b.b ฟังก์ชันที่ %%x \ถึง a%%

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน %%x - \sin x%% และ %%x + \cos x%% คือ b.b ที่ %%x \ถึง \infty%%

3. ผลรวมของสอง b.b. ฟังก์ชันที่ %%x \to a%% มีความไม่แน่นอน ลักษณะของการเปลี่ยนแปลงในจำนวนดังกล่าวอาจแตกต่างกันมากทั้งนี้ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของเงื่อนไข

   ตัวอย่าง

   ให้ฟังก์ชัน %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% มาเป็น ฟังก์ชันที่ %%x \to \infty%% แล้ว:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - ข. ฟังก์ชั่นที่ %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. ฟังก์ชั่นที่ %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% ไม่มีขีดจำกัดที่ %%x \to \infty%%