Сравнения их с функциями массовой. Средства массовой информации, виды, функции, роль и влияние. Виды средств массовой информации
Функция. Если каждому значению переменной х из множества Х ставится в соответствие по известному закону некоторое число у, то говорят, что на множестве Х задана функция у=у(х);
Предел функции.
1. Пусть Х и Y – метрические пространства, пусть функция у=у(х) определена в окрестности точки х 0 , говорят, что g – предел функции при х à х 0, если для каждой последовательности {x n } из ε окрестности х 0 , сходящейся к х 0 с членами, отличными от х 0 , соответствующая последовательность f(x) (последовательность значений функции) сходится к числу g.
a. Если для любого ε>0 найдется δ>0, что ρ (f(x),g)<ε, для любых х из Х, для которых ρ(x,х 0)<δ
b. g=f(x 0) ó|f(x)-f(x 0)|<ε для любых х из Х: |x-x 0 |<δ
Необх. и дост. условие существования предела: Для того, чтобы g было пределом f(x) при xàx 0 необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 существовала такая N(x 0), что знания f(x) для всех числе N(x 0) (за искл. быть может, x 0) приближали число g с погрешностью < ε (Док-во от противного)
Теорема. Если f(x) имеет конечный предел при х à x 0, то она ограничена в окрестности x 0 (на основе необх. и дост. признака)
Теорема о сохранении знака: Если при xàx 0 lim f(x)=g; g>0, то найдется α>0, что в окрестности x 0: f(x)>α>0; x!=x 0 (доказательство в соотв. с необх. и дост. условием)
Теорема о предельном переходе в нер-ве: Если lim f 1,2 (x)=g 1,2 , для любого х из N(x 0) имеет место неравенство f 1 (x)≤f 2 (x), тогда g 1 ≤g 2
Теорема о пределе промежуточной переменной: Если lim f 1 (x)=lim f 2 (x)=g (xàx 0), и в некоторой N(x 0) имеет место неравенство f 1 (x) ≤ φ(x) ≤ f 2 (x), то функция φ(x) имеет предел g (Док-во через определение предела)
Функция f (x ) называется непрерывной в точке x=x 0 , если предел
lim f(x)=f(x 0) lim f(x 0 +h)=f(x 0)
Свойства непрерывных функций: Если f,g непрерывны в т. x 0 , то c*f(x) (c-const); f(x)+g(x); f(x)*g(x); f(x)/g(x) (g(x)!=0) тоже непрерывные функции.
Функция α называется бесконечно малой при x→x 0 , если lim α(x)=0 ;
Функция f называется бесконечно большой при xàx 0 , если lim f(x)=∞ ;
Лемма. Конечный предел f(x)=a ó f(x)=a+α(x) (α(x)-беск. малая)
Теорема. Сумма и произведение конечного числа бесконечно мылах функций, а также произведение бесконечно малой на ограниченную дает бесконечно малую.
Теорема. Если f(x)-бесконечно большая, то 1/f(x) – бесконечно малая.
Сравнение функций.
Если для функций f(x) и g(x) существует такое c>0, что для любых ч из окрестности x 0 выполняется неравенство |f(x)| ≤ c|g(x)|, то f называется ограниченной по сравнению с g. В этом случае f(x)=O(g(x), xàx 0)
Лемма. Если f(x) представима в виде f(x)=φ(x)*g(x), х из окрестности х 0 и существует конечный предел lim φ(x)≤ x< ∞, тогда f(x)=O(g(x), xàx 0)
Лемма. Если существует конечный предел f(x)/g(x) не равный нулю, то f и g – функции одного порядка.
f(x) и g(x) называются эквивалентными , если существует φ(x), что в некоторой N(x 0) выполняется равенство f(x) = φ(x)*g(x), причем lim φ(x)=1 . Поскольку существование предела функции в точке – локальное свойства, то поведение φ(x) вне N(x 0) роли не играет. Отношение эквивалентности симметрично, в отличие от отношения порядка.
α(x) называется бесконечно малой при xàx 0 по сравнению с f(x), если существует ε(x), что в некоторой N(x 0) для всех х выполняется равенство: α(x)=ε(x)*f(x); xàx 0 . При этом ε(x) удовлетворяет условию: lim ε(x)=0 . Такие функции обозначаются следующим образом: α (x )= o (f (x ), x à x 0 ).
Если некоторую f(x) заменяем g(x), то f(x)-g(x) будет абсолютной погрешностью, а
(f(x)-g(x))/f(x) будет относительной погрешностью.
Теорема. Для того, чтобы f(x) и g(x) были эквивалентны при xàx 0 , необходимо и достаточно, f(x)=g(x)+o(g(x)); (из определения эквивалентности)
Вычисление пределов с помощью гл. части функции.
Пусть заданы α(x) и β(x). Если для любых x из N(x 0) ф-ию β(x)=α(x)+o(α(x)), то функция α(x) называется главной частью β(x). Главная часть функции определяется однозначно только, если задать вид главной части.
Лемма. Пусть x 0 =limX; Х вложено в R; Если функция β(x):XàR, Обладает при xàx 0 главной частью вида A*(x-x 0) k , А!=0, то среди всех главных частей такого вида она определена единственным образом.
Точки разрыва.
1. Пусть f(x) опред. В N(x 0). Точка x 0 называется точкой разрыва функции, если f не определена в т.x 0 или определена, но не является в ней непрерывной.
Нестерова И.А. Средства массовой информации, виды, функции, роль и влияние // Энциклопедия Нестеровых
Средства массовой информации являются важнейшим инструментом общественного развития в современном мире. Однако, в нечестных руках СМИ превращаются в изощренное орудие пропаганды. Так европейские СМИ много лет внушали жителям ЕС, что беженцы – это хорошо. Последствиями стали рост преступности и потеря моральных принципов.
Виды средств массовой информацииПодход к средствам массовой информации (сокращенно СМИ) как своеобразным выразителям мнений и инструментам получения и распространения общественно значимых сведений нашел свое отражение в Законе РФ "О средствах массовой информации". Виды средств массовой информации определены в законе: Под средством массовой информации понимается периодическое печатное издание, сетевое издание, телеканал, радиоканал, телепрограмма, радиопрограмма, видеопрограмма, кинохроникальная программа, иная форма периодического распространения массовой информации под постоянным наименованием (названием). Закон N 2124-1 является базовым в сфере правового регулирования отношений, возникающих по поводу организации деятельности средств массовой информации, их отношений с гражданами и организациями, порядка распространения массовой информации. |
Даны определения о малого, О большого, эквивалентных (асимптотически равных) функций, функций одного порядка, и их свойства. Приводится доказательство свойств и теорем. Эти свойства и теоремы используются для сравнения функций и вычисления пределов при аргументе, стремящемся к конечной или бесконечно удаленной точке.
СодержаниеОпределения
Определение о малого
Символом о малое
обозначают любую бесконечно малую функцию o(f(x))
по сравнению с заданной функцией f(x)
при аргументе, стремящемся к некоторому конечному или бесконечному числу x 0
.
Функция α
называется бесконечно малой по сравнению с функцией f
при :
при
(читается: « есть о малое от при »),
если существует такая проколотая окрестность точки ,
на которой
при ,
где - бесконечно малая функция при :
.
Свойства о малого, применяемые в степенных рядах
Здесь m
и n
- натуральные числа, .
;
;
,
если ;
;
;
;
,
где ;
,
где c ≠ 0
- постоянная;
.
Для доказательства этих свойств нужно выразить о малое через бесконечно малую функцию:
,
где .
Свойства эквивалентных функций
3)
Если ,
то при .
Теорема о связи эквивалентных функций с о малым
.
Это свойство часто записывают так:
.
При этом говорят, что является главной частью
при .
При этом главная часть определена не однозначно. Любая эквивалентная функция является главной частью к исходной.
В силу свойства симметрии:
.
Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного
Если, при ,
и и существует предел
,
то существует и предел
.
В силу свойства симметрии эквивалентных функций, если не существует один из этих пределов, то не существует и другой.
Поскольку любая функция, определенная на некоторой проколотой окрестности точки ,
эквивалентна самой себе, то существуют пределы
.
Заменив функции g
и g 1
на 1/
g
и 1/
g 1
,
получим аналогичную теорему для произведения.
Если, при ,
и ,
то
.
Это означает, что если существует один предел, то существует и другой. Если не существует один из этих пределов, то не существует и второй.
Лемма. Признак функций одного порядка
(Л1.1)
,
то функции f
и g
одного порядка при :
при .
Доказательство свойств и теорем
Теорема. Свойства о малого
1) Если , то при .
Доказательство
Пусть .
Это означает, что существует такая проколотая окрестность точки ,
на которой определено отношение и поэтому .
Тогда на этой окрестности
,
где .
По условию
.
Тогда .
Свойство 1) доказано.
2)
Если на некоторой проколотой окрестности точки ,
и ,
то
.
Доказательство
Поскольку ,
то на рассматриваемой проколотой окрестности точки ,
.
Поскольку ,
то
.
Свойство 2) доказано.
3.1)
,
где c ≠ 0
- постоянная.
3.2)
;
3.3)
.
Доказательство
3.1).
,
где .
Введем функцию .
Тогда
.
Поскольку ,
то
.
Свойство 3.1) доказано.
3.2).
Докажем, что .
Пусть .
Согласно определению о малого,
,
где .
Тогда ,
где .
Поскольку
,
то
.
Свойство 3.2) доказано.
3.3).
Докажем, что .
Пусть .
Согласно определению о малого,
,
где ,
.
Согласно арифметическим свойствам предела функции,
.
Тогда .
Свойство 3.3) доказано.
Эквивалентные функции
Свойства эквивалентных функций
1) Свойство симметрии. Если, при , , то .
Доказательство
Поскольку при ,
,
то согласно определению эквивалентной функции, существует такая проколотая окрестность точки ,
на которой
,
где .
Поскольку функция имеет отличный от нуля предел, то по теореме об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел, существует такая проколотая окрестность точки ,
на которой .
Поэтому на этой окрестности .
Следовательно, на ней определена функция .
Тогда
.
Согласно теореме о пределе частного двух функций ,
.
Свойство доказано.
2) Свойство транзитивности. Если, при , и , то .
Доказательство
3) Если , то при .
Доказательство
Поскольку существует предел ,
то существует проколотая окрестность точки ,
на которой определено частное и, следовательно, .
Тогда на этой окрестности
.
Поскольку ,
то .
В силу свойства симметрии, .
Свойство доказано.
Теорема о связи эквивалентных функций с о малым
Для того чтобы две функции и были эквивалентными (или асимптотически равными), необходимо и достаточно чтобы при выполнялось условие:
.
Доказательство
1. Необходимость. Пусть функции и являются эквивалентными при .
Тогда
.
Поскольку ,
то
.
Тогда .
Необходимость доказана.
2. Достаточность. Пусть при ,
.
Тогда ,
где .
Отсюда
.
Поскольку ,
то
.
Теорема доказана.
Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного
. Тогда, где
.
Поскольку существует предел , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция определена и отлична от нуля. Поскольку , то, по теореме об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел , существует такая проколотая окрестность точки , на которой и, следовательно, . Тогда существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена и отлична от нуля и, следовательно, определено частное :
.
Применяем арифметические свойства предела функции:
.
Теорема доказана.
Признак функций одного порядка
Лемма
Если существует конечный ненулевой предел
(Л1.1)
,
то функции f
и g
одного порядка при ,
на которой
при .
Преобразуем неравенство и подставим :
;
;
(Л1.2)
.
Из второго неравенства:
,
или .
Из первого неравенства (Л1.2):
,
или .
Лемма доказана.
Использованная литература.
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
На рисунке приведены кривые (и прямые), которые описывают одну из самых важных характеристик в астрономии - звездную начальную функцию масс.
Как хорошо известно, для звезд самым главным параметром является их масса. Вообще, про одиночную звезду почти все можно сказать, зная ее возраст, массу и химический состав. Возраст данной звезды постоянно растет - звезда эволюционирует. Эволюцию одиночной звезды можно предсказать, зная оставшиеся два параметра - массу и состав. Начальный состав звезд примерно одинаков (в том смысле, что не бывает звезд из керосина или шоколада - все они состоят в основном из водорода и гелия). Разница заключается в "приправах" - до нескольких процентов элементов тяжелее гелия. Но, скажем, сейчас в нашей Галактике рождаются звезды примерно солнечного химсостава, так что даже приправлен "звездный суп" примерно одинаково. Остается масса.
Чтобы моделировать большие популяции звезд нужно знать, каковы их свойства в среднем. Самое главное - распределение по массам. Масса звезды может меняться в течение жизни (из-за звездного ветра, из-за сброса оболочки, из-за обмена масс в двойной системе). Это можно промоделировать. Главное знать, какая была масса в начале. Это и есть начальная функция масс.
Начальная функция масс (НФМ) может быть задана по-разному. Т.е. суть-то будет одна - сколько звезд каких масс - но формулу можно записать в нескольких вариантах. Это важно усвоить, чтобы понять, что нарисовано на картинке. А на ней авторы приводят несколько самых популярных функций масс. Однако, здесь мы не будем выписывать формулы (а потому не будем детально пояснять, что отложено по вертикальной оси). По горизонтальной оси отложена масса звезд. По вертикальной - доля массы в логарифмическом бине (интервале) масс. Если бы откладывали число звезд в единичном интервале масс, то кривые круче поднимались бы в сторону меньших масс.
Самая-самая популярная среди астрофизиков функция масс - солпитеровская. Еще в 1955 г. Солпитер определил, что распределение по массам хорошо описывается прямой линией в логарифмическом масштабе. Т.е. степенной функцией. Естественно, чем меньше масса, тем более многочисленны такие звезды. Солпитеровская функция масс применима к объектам с массой от 0.1 до 120 масс Солнца (на рисунке это пунктирная линия).
По сравнению с солпитеровской другие функции масс имеют завалы или на малых массах, или на больших (или и там, и там). Авторы самых известных - Скало и Крупа (см. рисунок). Функцию масс можно определять разными способами: от прямых подсчетов звезд, до использования глобальных характеристик (плюс какая-то модель). Например, можно измерить светимость галактики в разных диапазонах, и смотреть какими распределениями звезд по массам (задав модель излучения для каждой массы на каждой стадии эволюции) это можно описать. Можно определять функцию масс (особенно на маломассивном конце) по данным микролинзирования. Наконец, можно пытаться построить теоретическую кривую, моделируя процесс рождения звезд на компьютере.
Какова истина - мы не знаем. Если речь не идет об очень маломассивных объектах или наоборот о самых массивных звездах, то солпитеровская функция все хорошо описывает. Кстати, Болдри и Глэйзбрук пишут в своей работе, что в интервале масс от 0.5 до 120 масс Солнца все находится в разумном соответствии с солпитеровской функцией (по-крайней мере все можно описать одной прямой с наклоном близким к указанному в работе Солпитера 1955 г.). По всей видимости еще долго будут появляться работы, где будут находить все новые и новые свидетельства в пользу солпитеровской функции масс или в пользу Миллера-Скало, или же будут предлагать новые варианты. Хороший (но довольно специальный) обзор можно найти в работе Шабрие