Главная
Утепление фасадов
Решение уравнения теплопроводности. Теплопроводность. математическое описание, частные задачи теплопроводности. Постановка краевых задач

Решение уравнения теплопроводности. Теплопроводность. математическое описание, частные задачи теплопроводности. Постановка краевых задач

Уравнение теплопроводности в однородной среде, как мы видели, имеет вид

Коэффициент внутренней теплопроводности, с - теплоемкость вещества и - плотность. Кроме уравнения (1), нужно иметь в виду начальное условие, дающее начальное распределение температуры и при

Если тело ограничено поверхностью (S), то на этой поверхности мы будем иметь и предельное условие, которое может быть различным, смотря по физическим обстоятельствам. Так, например, поверхность (S) может поддерживаться при определенной температуре, которая может и меняться с течением времени. В этом случае предельное условие сводится к заданию функции U на поверхности (S), причем эта заданная функция может зависеть и от времени t. Если температура поверхности не фиксирована, но имеется лучеиспускание в окружающую среду данной температуры то по закону Ньютона, правда, далеко не точному, поток тепла через поверхность (S) пропорционален разности температур окружающего пространства и поверхности тела (S). Это дает предельное условие вида

где коэффициент пропорциональности h называется коэффициентом внешней теплопроводности.

В случае распространения тепла в теле линейных размеров, т. е. в однородном стержне, который мы считаем расположенным вдоль оси вместо уравнения (1) мы будем иметь уравнение

При такой форме уравнения не учитывается, конечно, тепловой обмен между поверхностью стержня и окружающим пространством.

Уравнение (S) можно получить также из уравнения (1), предполагая U не зависящей от . Начальное условие в случае стержня

Механика сплошных сред
Сплошная среда
См. также: Портал:Физика

Уравнение диффузии представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоёмкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

  • В задачах диффузии или теплопроводности в жидкостях и газах, находящихся в движении, вместо уравнения диффузии применяется уравнение переноса , расширяющее уравнение диффузии на тот случай, когда пренебрежением макроскопическим движением недопустимо.
  • Ближайшим формальным, а во многом и содержательным, аналогом уравнения диффузии является уравнение Шрёдингера , отличающееся от уравнения диффузии множителем мнимая единица перед производной по времени. Многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и даже некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях, однако качественно их решения различаются очень сильно.

Общий вид

Уравнение обычно записывается так:

∂ φ (r , t) ∂ t = ∇ ⋅ [ D (φ , r) ∇ φ (r , t) ] , {\displaystyle {\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\varphi ,\mathbf {r})\ \nabla \varphi (\mathbf {r} ,t){\big ]},}

где φ(r , t ) - плотность диффундирующего вещества в точке r и во время t и D (φ, r ) - обобщённый коэффициент диффузии для плотности φ в точке r ; ∇ - оператор набла . Если коэффициент диффузии зависит от плотности - уравнение нелинейно, в противном случае - линейно.

Если D - симметричный положительно определённый оператор , уравнение описывает анизотропную диффузию:

∂ φ (r , t) ∂ t = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∂ ∂ x i [ D i j (φ , r) ∂ φ (r , t) ∂ x j ] . {\displaystyle {\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left.}

Если D постоянное, то уравнение сводится к линейному дифференциальному уравнению:

∂ ϕ (r , t) ∂ t = D ∇ 2 ϕ (r , t) , {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t),}

История происхождения

Нестационарное уравнение

Нестационарное уравнение диффузии классифицируется как параболическое дифференциальное уравнение . Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствие диффузии или перераспределение температуры тела в результате теплопроводности .

Одномерный случай

В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) D {\displaystyle D} уравнение имеет вид:

∂ ∂ t c (x , t) = ∂ ∂ x D ∂ ∂ x c (x , t) + f (x , t) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}c(x,\;t)={\frac {\partial }{\partial x}}D{\frac {\partial }{\partial x}}{c(x,\;t)}+f(x,\;t).}

При постоянном D {\displaystyle D} приобретает вид:

∂ ∂ t c (x , t) = D ∂ 2 ∂ x 2 c (x , t) + f (x , t) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}c(x,\;t)=D{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{c(x,\;t)}+f(x,\;t),}

где c (x , t) {\displaystyle c(x,\;t)} - концентрация диффундирующего вещества, a f (x , t) {\displaystyle f(x,\;t)} - функция, описывающая источники вещества (тепла).

Трёхмерный случай

В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:

∂ ∂ t c (r → , t) = (∇ , D ∇ c (r → , t)) + f (r → , t) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}c({\vec {r}},\;t)=(\nabla ,\;D\nabla c({\vec {r}},\;t))+f({\vec {r}},\;t),}

где ∇ = (∂ x , ∂ y , ∂ z) {\displaystyle \nabla =(\partial _{x},\;\partial _{y},\;\partial _{z})} - оператор набла , а (,) {\displaystyle (\;,\;)} - скалярное произведение. Оно также может быть записано как

∂ t c = d i v (D g r a d c) + f , {\displaystyle \partial _{t}c=\mathbf {div} \,(D\,\mathbf {grad} \,c)+f,}

а при постоянном D {\displaystyle D} приобретает вид:

∂ ∂ t c (r → , t) = D Δ c (r → , t) + f (r → , t) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}c({\vec {r}},\;t)=D\Delta c({\vec {r}},\;t)+f({\vec {r}},\;t),}

где Δ = ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}} - оператор Лапласа .

n -мерный случай

N {\displaystyle n} -мерный случай - прямое обобщение приведенного выше, только под оператором набла, градиентом и дивергенцией, а также под оператором Лапласа надо понимать n {\displaystyle n} -мерные версии соответствующих операторов:

∇ = (∂ 1 , ∂ 2 , … , ∂ n) , {\displaystyle \nabla =(\partial _{1},\;\partial _{2},\;\ldots ,\;\partial _{n}),} Δ = ∇ 2 = ∂ 1 2 + ∂ 2 2 + … + ∂ n 2 . {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\partial _{1}^{2}+\partial _{2}^{2}+\ldots +\partial _{n}^{2}.}

Это касается и двумерного случая n = 2 {\displaystyle n=2} .

Мотивация

A.

Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности):

Φ = − ϰ ∂ c ∂ x {\displaystyle \Phi =-\varkappa {\frac {\partial c}{\partial x}}} (одномерный случай), j = − ϰ ∇ c {\displaystyle \mathbf {j} =-\varkappa \nabla c} (для любой размерности),

в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии):

∂ c ∂ t + ∂ Φ ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}=0} (одномерный случай), ∂ c ∂ t + d i v j = 0 {\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\mathrm {div} \,\mathbf {j} =0} (для любой размерности),

с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость).

  • Здесь источник вещества (энергии) в правой части опущен, но он, конечно же, может быть легко туда помещён, если в задаче есть приток (отток) вещества (энергии).
  • Также предполагается, что на поток диффундирующего вещества (примеси) не действуют никакие внешние силы, в том числе сила тяжести (пассивная примесь).

B.

Кроме того, оно естественно возникает как непрерывный предел аналогичного разностного уравнения, возникающего в свою очередь при рассмотрении задачи о случайном блуждании на дискретной решётке (одномерной или n {\displaystyle n} -мерной). (Это простейшая модель; в более сложных моделях случайных блужданий уравнение диффузии также возникает в непрерывном пределе). Простейшей интерпретацией функции c {\displaystyle c} в этом случае служит количество (или концентрация) частиц в данной точке (или вблизи неё), причём каждая частица движется независимо от остальных без памяти (инерции) своего прошлого (в несколько более сложном случае - с ограниченной по времени памятью).

Решение

c (x , t) = ∫ − ∞ + ∞ c (x ′ , 0) c f (x − x ′ , t) d x ′ = ∫ − ∞ + ∞ c (x ′ , 0) 1 4 π D t exp ⁡ (− (x − x ′) 2 4 D t) d x ′ . {\displaystyle c(x,\;t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }c(x",\;0)c_{f}(x-x",\;t)\,dx"=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }c(x",\;0){\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {(x-x")^{2}}{4Dt}}\right)\,dx".}

Физические замечания

Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).

Впрочем, если речь идёт о ситуациях, когда могут быть экспериментально измерены столь маленькие концентрации, и это для нас существенно, нужно пользоваться по меньшей мере не дифференциальным, а разностным уравнением диффузии, а лучше - и более подробными микроскопической физической и статистической моделями, чтобы получить более адекватное представление о реальности в этих случаях.

Стационарное уравнение

В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные со временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности , относящееся к классу эллиптических уравнений . Его общий вид:

− (∇ , D ∇ c (r →)) = f (r →) . {\displaystyle -(\nabla ,\;D\nabla c({\vec {r}}))=f({\vec {r}}).} Δ c (r →) = − f (r →) D , {\displaystyle \Delta c({\vec {r}})=-{\frac {f({\vec {r}})}{D}},} Δ c (r →) = 0. {\displaystyle \Delta c({\vec {r}})=0.}

Постановка краевых задач

Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течение небольшого промежутка времени влияние температур на границах практически отсутствует, и температура на рассматриваемом участке зависит лишь от начального распределения температур.

и , удовлетворяющее условию u (x , t 0) = φ (x) (− ∞ < x < + ∞) {\displaystyle u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty , где - заданная функция.

  • Первая краевая задача для полубесконечного стержня

Если интересующий нас участок стержня находится вблизи одного конца и значительно удалён от другого, то мы приходим к краевой задаче, в которой учитывается влияние лишь одного из краевых условий.

Найти решение уравнения теплопроводности в области − ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ {\displaystyle -\infty \leqslant x\leqslant +\infty } и t ⩾ t 0 {\displaystyle t\geqslant t_{0}} , удовлетворяющее условиям

{ u (x , t 0) = φ (x) , (0 < x < ∞) u (0 , t) = μ (t) , (t ⩾ t 0) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u(x,\;t_{0})=\varphi (x),\quad (0

где φ (x) {\displaystyle \varphi (x)} и μ (t) {\displaystyle \mu (t)} - заданные функции.

  • Краевая задача без начальных условий

Если момент времени который нас интересует достаточно удалён от начального, то имеет смысл пренебречь начальными условиями, поскольку их влияние на процесс с течением времени ослабевает. Таким образом, мы приходим к задаче, в которой заданы краевые условия и отсутствуют начальные.

Найти решение уравнения теплопроводности в области 0 ⩽ x ⩽ l {\displaystyle 0\leqslant x\leqslant l} и − ∞ < t {\displaystyle -\infty , удовлетворяющее условиям

{ u (0 , t) = μ 1 (t) , u (l , t) = μ 2 (t) , {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t),\end{array}}\right.}

где и - заданные функции.

  • Краевые задачи для ограниченного стержня

Рассмотрим следующую краевую задачу:

u t = a 2 u x x + f (x , t) , 0 < x < l , 0 < t ⩽ T {\displaystyle u_{t}=a^{2}u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0 - уравнение теплопроводности.

Если f (x , t) = 0 {\displaystyle f(x,\;t)=0} , то такое уравнение называют однородным , в противном случае - неоднородным .

u (x , 0) = φ (x) , 0 ⩽ x ⩽ l {\displaystyle u(x,\;0)=\varphi (x),\quad 0\leqslant x\leqslant l} - начальное условие в момент времени t = 0 {\displaystyle t=0} , температура в точке x {\displaystyle x} задается функцией φ (x) {\displaystyle \varphi (x)} . u (0 , t) = μ 1 (t) , u (l , t) = μ 2 (t) , } 0 ⩽ t ⩽ T {\displaystyle \left.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t),\end{array}}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T} - краевые условия. Функции μ 1 (t) {\displaystyle \mu _{1}(t)} и μ 2 (t) {\displaystyle \mu _{2}(t)} задают значение температуры в граничных точках 0 и l {\displaystyle l} в любой момент времени t {\displaystyle t} .

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай ( α i 2 + β i 2 ≠ 0 , (i = 1 , 2) {\displaystyle \alpha _{i}^{2}+\beta _{i}^{2}\neq 0,\;(i=1,\;2)} ).

α 1 u x (0 , t) + β 1 u (0 , t) = μ 1 (t) , α 2 u x (l , t) + β 2 u (l , t) = μ 2 (t) . {\displaystyle {\begin{array}{l}\alpha _{1}u_{x}(0,\;t)+\beta _{1}u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\\alpha _{2}u_{x}(l,\;t)+\beta _{2}u(l,\;t)=\mu _{2}(t).\end{array}}}

Если α i = 0 , (i = 1 , 2) {\displaystyle \alpha _{i}=0,\;(i=1,\;2)} , то такое условие называют условием первого рода , если β i = 0 , (i = 1 , 2) {\displaystyle \beta _{i}=0,\;(i=1,\;2)} - второго рода , а если α i {\displaystyle \alpha _{i}} и β i {\displaystyle \beta _{i}} отличны от нуля, то условием третьего рода . Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности - первую, вторую и третью краевую.

Принцип максимума

Пусть функция в пространстве D × [ 0 , T ] , D ∈ R n {\displaystyle D\times ,\;D\in \mathbb {R} ^{n}} , удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности ∂ u ∂ t − a 2 Δ u = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=0} , причем D {\displaystyle D} - ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция u (x , t) {\displaystyle u(x,\;t)} может принимать экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области D {\displaystyle D} .

Примечания


Ниже будут рассмотрены несколько задач на определение температурных полей для относительно простых геометрических и физических условий, которые допускают несложные по форме аналитические решения и вместе с тем дают полезную иллюстрацию характерных физических процессов, связанных с теплопередачей в твердом теле.

Рассмотрим стержень с термоизолированной боковой поверхностью (рис. 38). В этом случае теплопередача может осуществляться вдоль стержня. Если совместить стержень с осью декартовой системы координат, то стационарное уравнение теплопроводности будет иметь вид

При постоянных значениях коэффициента теплопроводности объемной мощности тепловыделения последнее уравнение можно дважды проинтегрировать

(75)

Постоянные интегрирования можно найти из граничных условий. Например, если на концах стержня задана температура , . Тогда из (75) имеем

Отсюда найдем постоянные интегрирования и . Решение при указанных граничных условиях получит вид

Из последней формулы видно, что при отсутствии источников тепловыделения . Температура в стержне меняется по линейному закону от одного граничного значения до другого

Рассмотрим теперь другое сочетание граничных условий. Пусть на левом конце стержня внешний источник создает тепловой поток . На правом конце стержня сохраним прежнее условие, таким образом, имеем

Выражая эти условия с помощью общего интеграла (75), получим систему относительно постоянных интегрирования

Найдя из полученной системы неизвестные постоянные, получим решение в виде

Как и в предыдущем примере при отсутствии внутренних источников тепловыделения распределение температуры вдоль стержня будет линейным

При этом температура на левом конце стержня, где расположен внешний источник тепла, будет равна .

В качестве следующего примера найдем стационарное распределение температуры по радиусу в сплошном длинном круговом цилиндре (рис. 39). Существенно упростит задачу в этом случае применение цилиндрической системы координат. В случае цилиндра с большим отношением длины к радиусу и постоянным распределени

ем внутреннего источника тепловыделения, температуру вдали от концов цилиндра можно считать независящей от осевой координаты цилиндрической системы . Тогда стационарное уравнение теплопроводности (71) получит вид

Двукратное интегрирование последнего уравнения (при постоянной ) дает

Условие симметрии распределения температуры на оси цилиндра () дает

Откуда имеем

Последнее условие будет выполнено при . Пусть на поверхности цилиндра () задана температура . Тогда можно найти вторую постоянную интегрирования из уравнения

Отсюда найдем и запишем решение в окончательном виде

В качестве численного примера применения полученного результата рассмотрим распределение температуры в плазме цилиндрического дугового разряда радиусом мм. Граница разрядного канала формируется как область, где прекращаются ионизационные процессы. Выше мы видели, что заметная ионизация газа при нагреве прекращается при K. Поэтому приведенное значение можно принять в качестве граничного K. Объемную плотность мощности тепловыделения в плазме разряда найдем из закона Джоуля–Ленца , где σ - электропроводность плазмы, E - напряженность электрического поля в канале разряда. Характерные для дугового разряда значения составляют 1/Ом м, В/м. Теплопроводность дуговой плазмы выше, чем в нейтральном газе, при температурах порядка 10000 К ее значение может принято равным . Таким образом, параметр . Распределение температуры по радиусу показано на рис. 39. При этом температура на оси разряда () составит 8000 K.

В следующем примере мы рассмотрим тепловое поле, обладающее сферической симметрией. Такие условия возникают, в частности, если источник тепловыделения малого размера размещен в крупном массиве, например межвитковое дуговое замыкание в обмотке крупной электрической машины. В этом случае совмещая центр сферической системы координат с источником тепловыделения мы можем привести стационарное уравнение теплопроводности (64) к виду:

Дважды интегрируя это уравнение, найдем

Возвращаясь к нашему примеру, предположим, что дуговое замыкание имеет место внутри сферической полости радиуса (рис. 40). Примем сопротивление дугового разряда равным Ом, ток разряда А. Тогда мощность, выделяемая в полости составит . Рассмотрим решение вне области действия источника тепловыделения .

Тогда интеграл уравнения теплопроводности упростится

Для вычисления постоянных интегрирования воспользуемся во-первых условием в бесконечно удаленных от места разряда точках , где C - температура окружающей среды. Из последнего выражения находим . Для определения постоянной примем, что выделяющаяся в разряде тепловая энергия равномерно распределяется по поверхности сферической полости радиуса . Поэтому тепловой поток на границе полости составит

Поскольку , то из двух последних уравнений имеем

а решение в окончательном виде

При этом температура на границе полости ( мм) при Вт/мК составит K (рис. 40).

В качестве первого примера этой группы рассмотрим тепловое поле в сечении провода круглого сечения, имеющего канал охлаждения (рис. 41, а ). Провода с каналами охлаждения применяют в обмотках мощных электрических машин и катушек для получения сильных магнитных полей. Для данных устройств характерно длительное протекание токов с амплитудой в сотни и даже тысячи Ампер. Например, прокачивается жидкость, например вода, или газ (водород, воздух), что обеспечивает отбор тепловой энергии с внутренней поверхности канала и охлаждение провода в целом. В данном случае мы имеем дело с принудительным конвективным охлаждением поверхности канала, для которой можно использовать обоснованное выше граничное условие третьего рода (67). Если совместить ось цилиндрической системы координат с осью провода, то температура будет зависеть только от радиальной координаты. Общий интеграл стационарного уравнения теплопроводности для этого случая был получен нами ранее

Объемная плотность мощности тепловыделения находится из закона Джоуля-Ленца: , j - плотность тока, σ - электропроводность,

где R - радиус сечения провода, a - радиус охлаждающего канала. Провод снаружи окружен слоями изоляции, обладающей, по сравнению с проводником, относительно низкой теплопроводностью. Поэтому в первом приближении примем внешнюю поверхность провода теплоизолированной, т. е. тепловой поток на ней

На поверхности охлаждающего канала тепловой поток определяется условием третьего рода

где - коэффициент теплоотдачи, - температура охлаждающего потока. Знак минус в правой части взят вследствие того, что нормаль к внутренней поверхности канала направлена в противоположном к оси направлении.

Подставляя в первое из выписанных граничных условий выражение для температуры (76), получим

откуда . Второе граничное условие дает

откуда находим

Вместе с тем из (76)

Сравнивая последние два выражения, найдем

После подстановки найденных постоянных в общее решение (76) и преобразований получим

Температура на границах сечения провода из полученного решения будет рассчитываться по формулам

Распределение температуры по радиусу сечения для провода с каналом охлаждения с параметрами: A, Вт/мК, 1/Ом м, о С, мм, см показано на рис. 41, б .

Из рис. 41, б следует, что в пределах сечения провода изменение температуры относительно мало по сравнению с ее средней величиной, что объясняется высокой теплопроводностью λ и относительно малыми размерами сечения провода.

Иная ситуация возникает в распределении температуры вдоль провода, состоящего из отдельных участков, контактирующих друг с другом. Ухудшение качества контактов между соединяемыми проводниками приводит к повышению тепловыделения в месте соединения двух проводов по сравнению с самим проводом. Дистанционное измерение температуры провода с помощью тепловизоров или пирометров позволяет диагностировать качество контактных соединений.

Рассчитаем распределение температуры вдоль провода при наличии дефектного контакта. Предыдущий пример показал, что даже в самых жестких условиях изменение температуры в пределах сечения провода весьма мало. Поэтому для нашего расчета можно в первом приближении принять распределение температуры в пределах сечения провода однородным. Распределение тепловыделения вдоль провода зависит от распределения электрического сопротивления вдоль провода, которое однородно вдали от контакта и возрастает при приближении к нему. Совместим ось декартовой системы координат с осью провода, а начало координат - с центром контактной области (рис. 42). В качестве модели распределения сопротивления вдоль провода возьмем следующее распределение погонного сопротивления

где , - параметр, характеризующий линейный размер контактной области . Мощность тепловыделения на единицу длины провода составляет . В расчете на единицу объема мощность тепловыделения равна

где S - сечение провода. Охлаждение провода осуществляется естественной конвекцией с его поверхности. Конвективный тепловой поток с единицы длины провода есть

где α - коэффициент теплоотдачи, - температура окружающего воздуха, p - периметр сечения провода. Теплоотдача в окружающую среду в расчете на единицу объема проводника составит

Стационарное распределение температуры вдоль провода будет подчиняться уравнению теплопроводности

Для дальнейших преобразований полученного уравнения примем постоянным вдоль провода коэффициент теплопроводности , подставим полученные выше выражения для и , а также в качестве искомой функции вместо T возьмем :

придем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению

Решение полученного уравнения будем искать в виде суммы общего решения однородного уравнения

и частного решения в форме правой части

.

Решение алгебраических уравнений методом Ньютона

Достаточно популярным методом решения уравнений является метод касательных , или метод Ньютона . В этом случае уравнение вида f (x ) = 0 решается следующим образом. Сначала выбирается нулевое приближение (точка x 0). В этой точке строится касательная к графику y = f (x ). Точка пересечения этой касательной с осью абсцисс является следующим приближением для корня (точка x 1). В этой точке снова строится касательная и т.д. Последовательность точек x 0 , x 1 , x 2 … должна привести к истинному значению корня. Условием сходимости является .

Так как уравнение прямой, проходящей через точку x 0 , f (x 0) (а это и есть касательная), записывается в виде

а в качестве следующего приближения x 1 для корня исходного уравнения принимается точка пересечения этой прямой с осью абсцисс, то следует положить в этой точке y = 0:

откуда немедленно следует уравнение для нахождения следующего приближения через предыдущее:

На Рис. 3 показана реализация метода Ньютона средствами Excel. В ячейку B3 вводится начальное приближение (x 0 = -3), а затем остальных ячейках столбца вычисляются все промежуточные величины вплоть до вычисления x 1 . Для выполнения второго шага в ячейку C3 вводится значение из ячейки B10 и процесс вычислений повторяется в столбце C. Затем, выделив ячейки C2:C10 можно, потянув за маркер в правом нижнем углу выделенной области, распространить его на столбцы D:F. В итоге в ячейке F6 получено значение 0, т.е. значение в ячейке F3 есть корень уравнения.

Этот же результат можно получить, используя циклические вычисления. Тогда после заполнения первого столбца и получения первого значения x 1 следует ввести в ячейку H3 формулу =H10. При этом вычислительный процесс будет зациклен и для того, чтобы он выполнялся, в меню Сервис | Параметры на вкладке Вычисления необходимо установить флажок Итерации и указать предельное число шагов итерационного процесса и относительную погрешность (установленное по умолчанию число 0,001 явно недостаточно во многих случаях), по достижении которой вычислительный процесс остановится.

Как известно, такие физические процессы, как перенос тепла, перенос массы в процессе диффузии, подчиняются закону Фика

где l - коэффициент теплопроводности (диффузии), а T – температура (концентрация), а – поток соответствующей величины. Из математики известно, что дивергенция потока равна объемной плотности источника Q этой величины, т.е.

или, для двухмерного случая, когда исследуется распределение температуры в одной плоскости, это уравнение может быть записано в виде:

Решение этого уравнения аналитически возможно только для областей простой формы: прямоугольник, круг, кольцо. В остальных ситуациях точное решение этого уравнения невозможно, т.е. невозможно и определить распределение температуры (или концентрации вещества) в сложных случаях. Тогда приходится использовать приближенные методы решения таких уравнений.

Приближенное решение уравнения (4) в области сложной формы состоит из нескольких этапов: 1) построение сетки; 2) построение разностной схемы; 3) решение системы алгебраических уравнений. Рассмотрим последовательно каждый из этапов и их реализацию с помощью пакета Excel.

Построение сетки. Пусть область имеет форму, показанную на рис. 4. При такой форме точное аналитическое решение уравнения (4), например, методом разделения переменных, невозможно. Поэтому будем искать приближенное решение этого уравнения в отдельных точках. Нанесем на область равномерную сетку, состоящую из квадратов со стороной h . Теперь, вместо того, чтобы искать непрерывное решение уравнения (4), определенное в каждой точке области, будем искать приближенное решение, определенное только в узловых точках сетки, нанесенной на область, т.е. в углах квадратов.

Построение разностной схемы. Для построения разностной схемы рассмотрим произвольный внутренний узел сетки Ц (центральный) (рис.5). С ним соседствуют четыре узла: В (верхний), Н (нижний), Л (левый) и П (правый). Напомним, расстояние между узлами в сетке равно h . Тогда, используя выражение (2) для приближенной записи вторых производных в уравнении (4), можно приближенно записать:

откуда легко получить выражение, связывающее значение температуры в центральной точке с ее значениями в соседних точках:

Выражение (5) позволяет нам, зная значения температуры в соседних точках, вычислить ее значение в центральной точке. Такая схема, в которой производные заменяются конечными разностями, а для поиска значений в точке сетки используются только значения в ближайших соседних точках, называется цетрально-разностной схемой, а сам метод – методом конечных разностей.

Нужно понимать, что уравнение, аналогичное (5), мы получаем ДЛЯ КАЖДОЙ точки сетки, которые, таким образом, оказываются связанными друг с другом. То есть мы имеем систему алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу узлов сетки. Решать такую систему уравнений можно различными методами.

Решение системы алгебраических уравнений. Метод итераций. Пусть в граничных узлах температура задана и равна 20, а мощность теплового источника равна 100. Размеры нашей области заданы и равны по вертикали 6, а по горизонтали 8, так что сторона квадрата сетки (шаг) h = 1. Тогда выражение (5) для вычисления температуры во внутренних точках принимает вид


Поставим в соответствие каждому УЗЛУ ячейку на листе Excel. В ячейках, соответствующих граничным точкам, введем число 20 (на рис. 6 они выделены серым цветом). В остальных ячейках запишем формулу (6). Например в ячейке F2 она будет выглядеть следующим образом: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. Записав эту формулу в ячейку F2, можно ее скопировать и вставить в остальные ячейки области, соответствующие внутренним узлам. При этом Excel будет сообщать о невозможности проведения вычислений из-за зацикливания результатов:

Нажмите «Отмена» и перейдите в окно Сервис|Параметры|Вычисления , где установите флажок в разделе «Итерации», указав при этом в качестве относительной погрешности величину 0,00001, а в качестве предельного количества итераций 10000:

Такие значения обеспечат нам малую СЧЁТНУЮ погрешность и гарантируют, что итерационный процесс дойдет до заданной погрешности.

Однако эти значения НЕ ОБЕСПЕЧИВАЮТ малую погрешность самого метода, так как последняя зависит от погрешности при замене вторых производных конечными разностями. Очевидно, что эта погрешность тем меньше, чем меньше шаг сетки, т.е. размер квадрата, на котором строится наша разностная схема. Это означает, что точно ВЫЧИСЛЕННОЕ значение температуры в узлах сетки, представленное на рис. 6, на самом деле может оказаться совсем не соответствующим действительности. Существует единственный метод проверить найденное решение: найти его на более мелкой сетке и сравнить с предыдущим. Если эти решения отличаются мало, то можно считать, что найденное распределение температуры соответствует действительности.

Уменьшим шаг вдвое. Вместо 1 он станет равным ½. Число узлов у нас соответственно изменится. По вертикали вместо 7 узлов (было 6 шагов, т.е. 7 узлов) станет 13 (12 квадратов, т.е. 13 узлов), а по горизонтали вместо 9 станет 17. При этом не следует забывать, что величина шага уменьшилась вдвое и теперь в формуле (6) вместо 1 2 нужно в правой части подставлять (1/2) 2 . В качестве контрольной точки, в которой будем сравнивать найденные решения, возьмем точку с максимальной температурой, отмеченную на рис. 6 желтым цветом. Результат вычислений показан на рис. 9:

Видно, что уменьшение шага привело к существенному изменению значения температуры в контрольной точки: на 4%. Для повышения точности найденного решения следует ещё уменьшить шаг сетки. Для h = ¼ получим в контрольной точке 199,9, а для h = 1/8 соответствующее значение равно 200,6. Можно построить график зависимости найденной величины от величины шага:

Из рисунка можно сделать вывод, что дальнейшее уменьшение шага не приведет к существенному изменению температуры в контрольной точке и точность найденного решения можно считать удовлетворительной.

Используя возможности пакета Excel, можно построить поверхность температуры, наглядно представляющую ее распределение в исследуемой области.

Разделы