Expressão do formulário chamado combinação linear de vetores A 1 , A 2 ,...,A n com probabilidades λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Determinação da dependência linear de um sistema de vetores

Sistema vetorial A 1 , A 2 ,...,A n chamado linearmente dependente, se existe um conjunto de números diferente de zero λ 1, λ 2 ,...,λ n, em que combinação linear vetores λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n igual ao vetor zero, ou seja, o sistema de equações: tem uma solução diferente de zero.
Conjunto de números λ 1, λ 2 ,...,λ n é diferente de zero se pelo menos um dos números λ 1, λ 2 ,...,λ n diferente de zero.

Determinação da independência linear de um sistema de vetores

Sistema vetorial A 1 , A 2 ,...,A n chamado linearmente independente, se a combinação linear desses vetores λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n igual ao vetor zero apenas para um conjunto zero de números λ 1, λ 2 ,...,λ n , ou seja, o sistema de equações: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ tem uma solução zero única.

Exemplo 29.1

Verifique se um sistema de vetores é linearmente dependente

Solução:

1. Nós compomos um sistema de equações:

2. Resolvemos usando o método Gauss. As transformações de Jordanano do sistema são apresentadas na Tabela 29.1. Ao calcular, os lados direitos do sistema não são anotados, pois são iguais a zero e não mudam durante as transformações de Jordan.

3. Das últimas três linhas da tabela escreva um sistema resolvido equivalente ao original sistema:

4. Nós conseguimos solução geral sistemas:

5. Tendo definido o valor da variável livre x 3 =1 a seu critério, obtemos uma solução particular diferente de zero X=(-3,2,1).

Resposta: Assim, para um conjunto de números diferente de zero (-3,2,1), a combinação linear de vetores é igual ao vetor zero -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Por isso, sistema vetorial linearmente dependente.

Propriedades de sistemas vetoriais

Propriedade (1)
Se um sistema de vetores é linearmente dependente, então pelo menos um dos vetores é expandido em termos dos outros e, inversamente, se pelo menos um dos vetores do sistema é expandido em termos dos outros, então o sistema de vetores é linearmente dependente.

Propriedade (2)
Se qualquer subsistema de vetores for linearmente dependente, então todo o sistema será linearmente dependente.

Propriedade (3)
Se um sistema de vetores é linearmente independente, então qualquer um dos seus subsistemas é linearmente independente.

Propriedade (4)
Qualquer sistema de vetores contendo um vetor zero é linearmente dependente.

Propriedade (5)
Um sistema de vetores m-dimensionais é sempre linearmente dependente se o número de vetores n for maior que sua dimensão (n>m)

Base do sistema vetorial

A base do sistema vetorial A 1 , A 2 ,..., A n tal subsistema B 1 , B 2 ,...,B r é chamado(cada um dos vetores B 1,B 2,...,B r é um dos vetores A 1, A 2,..., A n), que satisfaz as seguintes condições:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r sistema de vetores linearmente independente;
2. qualquer vetor Um j sistema A 1 , A 2 ,..., A n é expresso linearmente através dos vetores B 1 , B 2 ,..., B r

R— o número de vetores incluídos na base.

Teorema 29.1 Na base unitária de um sistema de vetores.

Se um sistema de vetores m-dimensionais contém m vetores unitários diferentes E 1 E 2 ,..., Em , então eles formam a base do sistema.

Algoritmo para encontrar a base de um sistema de vetores

Para encontrar a base do sistema de vetores A 1 ,A 2 ,...,A n é necessário:

• Crie um sistema homogêneo de equações correspondentes ao sistema de vetores A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Traga este sistema

Seja uma coleção de vetores em um espaço aritmético -dimensional .

Definição 2.1.Conjunto de vetores chamado linearmente independente sistema de vetores, se a igualdade for da forma

executado apenas com valores zero de parâmetros numéricos .

Se a igualdade (2.1) puder ser satisfeita desde que pelo menos um dos coeficientes seja diferente de zero, então tal sistema de vetores será chamado linearmente dependente .

Exemplo 2.1. Verifique a independência linear dos vetores

Solução. Vamos criar uma igualdade da forma (2.1)

O lado esquerdo desta expressão só pode se tornar zero se a condição for atendida , o que significa que o sistema é linearmente independente.

Exemplo 2.1. Haverá vetores? linearmente independente?

Solução.É fácil verificar que a igualdade é verdadeira para os valores , . Isso significa que este sistema de vetores é linearmente dependente.

Teorema 2.1. Se um sistema de vetores é linearmente dependente, então qualquer vetor deste sistema pode ser representado como uma combinação linear (ou superposição) dos demais vetores do sistema.

Prova. Suponhamos que o sistema de vetores linearmente dependente. Então, por definição, existe um conjunto de números , entre os quais pelo menos um número é diferente de zero, e a igualdade (2.1) é válida:

Sem perda de generalidade, assumimos que o coeficiente diferente de zero é, isto é . Então a última igualdade pode ser dividida e expressa como um vetor:

.

Assim, o vetor é representado como uma superposição de vetores . O teorema 1 está provado.

Conseqüência. Se é um conjunto de vetores linearmente independentes, então nenhum vetor deste conjunto pode ser expresso em termos dos outros.

Teorema 2.2. Se o sistema de vetores contém um vetor zero, então tal sistema será necessariamente linearmente dependente.

Prova. Seja o vetor um vetor zero, ou seja .

Então escolhemos constantes ( ) do seguinte modo:

, .

Neste caso, a igualdade (2.1) é satisfeita. O primeiro termo à esquerda é igual a zero devido ao fato de ser um vetor zero. Os termos restantes tornam-se zero quando multiplicados por constantes zero ( ). Por isso,

no , o que significa que os vetores linearmente dependente. O teorema 2.2 está provado.

A próxima pergunta que temos que responder é o que maior número vetores podem formar um sistema linearmente independente V n espaço aritmético tridimensional. No parágrafo 2.1 foi considerada a base natural (1.4):

Foi estabelecido que um vetor arbitrário de espaço dimensional é uma combinação linear de vetores de base natural, ou seja, um vetor arbitrário é expresso em uma base natural como

, (2.2)

onde estão as coordenadas do vetor, que são alguns números. Então igualdade

só é possível para e, portanto, vetores base natural formam um sistema linearmente independente. Se adicionarmos um vetor arbitrário a este sistema , então, com base no corolário do Teorema 1, o sistema será dependente, pois o vetor é expresso em termos de vetores de acordo com a fórmula (2.2).

Este exemplo mostra que em n No espaço aritmético tridimensional existem sistemas que consistem em vetores linearmente independentes. E se adicionarmos pelo menos um vetor a este sistema, obteremos um sistema de vetores linearmente dependentes. Vamos provar que se o número de vetores excede a dimensão do espaço, então eles são linearmente dependentes.

Teorema 2.3.No espaço aritmético dimensional não existe sistema que consista em mais de vetores linearmente independentes.

Prova. Considere vetores de dimensão arbitrária:

………………………

Deixar . Vamos fazer uma combinação linear de vetores (2.3) e igualá-la a zero:

A igualdade vetorial (2.4) é equivalente a igualdades escalares para coordenadas vetores :

(2.5)

Essas igualdades formam um sistema equações homogêneas com pessoas desconhecidas . Como o número de incógnitas é maior que o número de equações ( ), então em virtude do corolário do Teorema 9.3 da Seção 1, o sistema homogêneo (2.5) tem uma solução diferente de zero. Consequentemente, a igualdade (2.4) é válida para alguns valores , entre os quais nem todos são iguais a zero, o que significa que o sistema de vetores (2.3) é linearmente dependente. O teorema 2.3 está provado.

Conseqüência. No espaço tridimensional existem sistemas que consistem em vetores linearmente independentes, e qualquer sistema contendo mais de vetores será linearmente dependente.

Definição 2.2.Um sistema de vetores linearmente independentes é chamado base do espaço, se qualquer vetor no espaço puder ser expresso como uma combinação linear desses vetores linearmente independentes.

2.3. Transformação vetorial linear

Considere dois vetores e um espaço aritmético tridimensional.

Definição 3.1.Se cada vetor Se um vetor do mesmo espaço estiver associado, então dizemos que alguma transformação de um espaço aritmético -dimensional é dada.

Denotaremos essa transformação por . Chamaremos o vetor de imagem. Podemos escrever a igualdade

. (3.1)

Definição 3.2.A transformação (3.1) será chamada linear se satisfizer as seguintes propriedades:

, (3.2)

, (3.3)

onde é um escalar arbitrário (número).

Vamos definir a transformação (3.1) na forma de coordenadas. Deixe as coordenadas dos vetores E preso pelo vício

(3.4)

As fórmulas (3.4) definem a transformação (3.1) na forma de coordenadas. Chances ( ) sistemas de igualdades (3.4) podem ser representados como uma matriz

chamada de matriz de transformação (3.1).

Vamos apresentar vetores de coluna

,

cujos elementos são as coordenadas dos vetores E consequentemente, então E . Doravante chamaremos vetores coluna de vetores.

Então a transformação (3.4) pode ser escrita na forma de matriz

. (3.5)

A transformação (3.5) é linear devido às propriedades das operações aritméticas em matrizes.

Consideremos alguma transformação cuja imagem seja um vetor zero. Na forma de matriz, esta transformação será semelhante a

, (3.6)

e na forma de coordenadas – representam um sistema de equações lineares homogêneas

(3.7)

Definição 3.3.Uma transformação linear é chamada não singular se o determinante da matriz de transformação linear não for igual a zero, ou seja . Se o determinante desaparecer, então a transformação será degenerada .

Sabe-se que o sistema (3.7) possui uma solução trivial (óbvia) – zero. Esta solução é única, a menos que o determinante da matriz seja zero.

Soluções diferentes de zero do sistema (3.7) podem aparecer se a transformação linear for degenerada, ou seja, se o determinante da matriz for zero.

Definição 3.4. A classificação da transformação (3.5) é a classificação da matriz de transformação.

Podemos dizer que o mesmo número é igual ao número de linhas linearmente independentes da matriz.

Passemos à interpretação geométrica da transformação linear (3.5).

Exemplo 3.1. Seja dada uma matriz de transformação linear , Onde Vamos pegar um vetor arbitrário , Onde e encontre sua imagem:
Então o vetor
.

Se , então o vetor mudará de comprimento e direção. Na Fig.1 .

Se , então obtemos a imagem

,

isto é, um vetor
ou , o que significa que só mudará o comprimento, mas não mudará a direção (Fig. 2).

Exemplo 3.2. Deixar , . Vamos encontrar a imagem:

,

aquilo é
, ou .

Vetor como resultado da transformação, mudou sua direção para o oposto, enquanto o comprimento do vetor foi preservado (Fig. 3).

Exemplo 3.3. Considere a matriz transformação linear. É fácil mostrar que neste caso a imagem do vetor coincide completamente com o próprio vetor (Fig. 4). Realmente,

.

Podemos dizer que uma transformação linear de vetores altera o vetor original tanto em comprimento quanto em direção. Porém, em alguns casos existem matrizes que transformam o vetor apenas na direção (exemplo 3.2) ou apenas no comprimento (exemplo 3.1, caso ).

Deve-se notar que todos os vetores situados na mesma linha formam um sistema de vetores linearmente dependentes.

Voltemos à transformação linear (3.5)

e considere a coleção de vetores , para o qual a imagem é um vetor nulo, então .

Definição 3.5. Um conjunto de vetores que são uma solução para a equação , forma um subespaço do espaço aritmético -dimensional e é chamado kernel de transformação linear.

Definição 3.6. Defeito de transformação linear é chamada de dimensão do núcleo desta transformação, ou seja, maior número vetores linearmente independentes que satisfazem a equação .

Como entendemos a classificação de uma matriz pela classificação de uma transformação linear, podemos formular a seguinte afirmação sobre o defeito da matriz: defeito igual à diferença , onde é a dimensão da matriz e é a sua classificação.

Se a classificação da matriz de transformação linear (3.5) for buscada pelo método gaussiano, então a classificação coincide com o número de elementos diferentes de zero na diagonal principal da matriz já transformada, e o defeito é determinado pelo número de zero linhas.

Se a transformação linear for não degenerada, isto é , então seu defeito se torna zero, já que o kernel é o único vetor zero.

Se a transformação linear for degenerada e , então o sistema (3.6) possui outras soluções além da zero, e o defeito neste caso já é diferente de zero.

De particular interesse são as transformações que, embora alterem o comprimento, não alteram a direção do vetor. Mais precisamente, deixam o vetor na reta que contém o vetor original, desde que a reta passe pela origem. Tais transformações serão discutidas no próximo parágrafo 2.4.

Dependência linear e independência linear de vetores.
Base de vetores. Sistema de coordenadas afins

Há um carrinho de chocolates no auditório, e cada visitante hoje receberá um lindo casal - geometria analítica com álgebra linear. Este artigo cobrirá duas seções ao mesmo tempo. matemática superior, e veremos como eles se dão em uma embalagem. Faça uma pausa, coma um Twix! ... caramba, que monte de bobagens. Embora, ok, não vou pontuar, no final, você deve ter uma atitude positiva em relação aos estudos.

Dependência linear de vetores, independência vetorial linear, base de vetores e outros termos não têm apenas uma interpretação geométrica, mas, sobretudo, um significado algébrico. O próprio conceito de “vetor” do ponto de vista da álgebra linear nem sempre é o vetor “comum” que podemos representar em um plano ou no espaço. Você não precisa procurar muito para obter provas, tente desenhar um vetor de espaço pentadimensional . Ou o vetor meteorológico, que acabei de procurar no Gismeteo: temperatura e pressão atmosférica, respectivamente. O exemplo, claro, está incorreto do ponto de vista das propriedades do espaço vetorial, mas, mesmo assim, ninguém proíbe formalizar esses parâmetros como um vetor. Respiração do outono...

Não, não vou aborrecê-lo com teoria, espaços vetoriais lineares, a tarefa é entender definições e teoremas. Os novos termos (dependência linear, independência, combinação linear, base, etc.) aplicam-se a todos os vetores do ponto de vista algébrico, mas serão dados exemplos geométricos. Assim, tudo fica simples, acessível e claro. Além dos problemas de geometria analítica, consideraremos também alguns problemas típicos de álgebra. Para dominar o material, é aconselhável se familiarizar com as aulas Vetores para manequins E Como calcular o determinante?

Dependência linear e independência de vetores planos.
Base plana e sistema de coordenadas afins

Vamos considerar o plano da mesa do seu computador (apenas uma mesa, mesinha de cabeceira, chão, teto, o que você quiser). A tarefa consistirá nas seguintes ações:

1) Selecione a base do plano. Grosso modo, um tampo de mesa tem comprimento e largura, então é intuitivo que serão necessários dois vetores para construir a base. Um vetor claramente não é suficiente, três vetores são demais.

2) Com base na base selecionada definir sistema de coordenadas(grade de coordenadas) para atribuir coordenadas a todos os objetos na mesa.

Não se surpreenda, a princípio as explicações estarão nos dedos. Além disso, no seu. Por favor coloque dedo indicador esquerdo na borda da mesa para que ele olhe para o monitor. Este será um vetor. Agora coloque dedo mindinho direito na borda da mesa da mesma forma - de forma que fique direcionado para a tela do monitor. Este será um vetor. Sorria, você está ótima! O que podemos dizer sobre vetores? Vetores de dados colinear, o que significa linear expressos um através do outro:
, bem, ou vice-versa: , onde está algum número diferente de zero.

Você pode ver uma foto dessa ação em aula. Vetores para manequins, onde expliquei a regra para multiplicar um vetor por um número.

Seus dedos estabelecerão a base no plano da mesa do computador? Obviamente não. Vetores colineares viajam para frente e para trás sozinho direção, e um plano tem comprimento e largura.

Tais vetores são chamados linearmente dependente.

Referência: As palavras “linear”, “linearmente” denotam o fato de que em equações matemáticas, as expressões não contêm quadrados, cubos, outras potências, logaritmos, senos, etc. Existem apenas expressões e dependências lineares (1º grau).

Dois vetores planos linearmente dependente se e somente se eles são colineares.

Cruze os dedos sobre a mesa para que haja entre eles qualquer ângulo diferente de 0 ou 180 graus. Dois vetores planoslinear Não dependente se e somente se eles não são colineares. Então, a base é obtida. Não há necessidade de ficar envergonhado porque a base acabou sendo “distorcida” por vetores não perpendiculares de comprimentos diferentes. Muito em breve veremos que não apenas um ângulo de 90 graus é adequado para sua construção, e não apenas vetores unitários de igual comprimento

Qualquer vetor plano a única maneiraé expandido de acordo com a base:
, onde estão os números reais. Os números são chamados coordenadas vetoriais nesta base.

Também se diz que vetorapresentado como combinação linear vetores de base. Ou seja, a expressão é chamada decomposição vetorialpor base ou combinação linear vetores de base.

Por exemplo, podemos dizer que o vetor é decomposto ao longo de uma base ortonormal do plano, ou podemos dizer que é representado como uma combinação linear de vetores.

Vamos formular definição de base formalmente: A base do aviãoé chamado de par de vetores linearmente independentes (não colineares), , enquanto qualquer um vetor plano é uma combinação linear de vetores de base.

Um ponto essencial da definição é o fato de os vetores serem tomados em uma determinada ordem. Bases – são duas bases completamente diferentes! Como se costuma dizer, você não pode substituir o dedo mínimo da mão esquerda no lugar do dedo mínimo da mão direita.

Descobrimos a base, mas não basta definir uma grade de coordenadas e atribuir coordenadas a cada item da mesa do seu computador. Por que não é suficiente? Os vetores são livres e vagam por todo o plano. Então, como você atribui coordenadas a esses pequenos pontos sujos na mesa que sobraram de um fim de semana agitado? É necessário um ponto de partida. E tal marco é um ponto familiar a todos - a origem das coordenadas. Vamos entender o sistema de coordenadas:

Começarei com o sistema “escolar”. Já na aula introdutória Vetores para manequins Destaquei algumas diferenças entre o sistema de coordenadas retangulares e a base ortonormal. Aqui está a imagem padrão:

Quando eles falam sobre sistema de coordenadas retangulares, na maioria das vezes eles significam a origem, os eixos coordenados e a escala ao longo dos eixos. Tente digitar “sistema de coordenadas retangulares” em um mecanismo de busca e você verá que muitas fontes falarão sobre eixos de coordenadas familiares da 5ª à 6ª série e como plotar pontos em um plano.

Por outro lado, parece que sistema retangular as coordenadas podem ser completamente determinadas através de uma base ortonormal. E isso é quase verdade. A redação é a seguinte:

origem, E ortonormal a base está definida Sistema de coordenadas planas retangulares cartesianas . Ou seja, o sistema de coordenadas retangulares definitivamenteé definido por um único ponto e dois vetores ortogonais unitários. É por isso que você vê o desenho que dei acima - em problemas geométricos, tanto os vetores quanto os eixos coordenados são frequentemente (mas nem sempre) desenhados.

Acho que todo mundo entende que usar um ponto (origem) e uma base ortonormal QUALQUER PONTO no avião e QUALQUER VETOR no avião coordenadas podem ser atribuídas. Falando figurativamente, “tudo em um avião pode ser numerado”.

Os vetores de coordenadas devem ser unitários? Não, eles podem ter um comprimento arbitrário diferente de zero. Considere um ponto e dois vetores ortogonais de comprimento arbitrário diferente de zero:

Tal base é chamada ortogonal. A origem das coordenadas com vetores é definida por uma grade de coordenadas, e qualquer ponto do plano, qualquer vetor tem suas coordenadas em uma determinada base. Por exemplo, ou. A inconveniência óbvia é que os vetores coordenados em caso geral têm comprimentos diferentes além da unidade. Se os comprimentos forem iguais à unidade, então a base ortonormal usual é obtida.

! Observação : na base ortogonal, assim como abaixo nas bases afins do plano e do espaço, são consideradas unidades ao longo dos eixos CONDICIONAL. Por exemplo, uma unidade ao longo do eixo x contém 4 cm, uma unidade ao longo do eixo das ordenadas contém 2 cm. Esta informação é suficiente para, se necessário, converter coordenadas “não padronizadas” em “nossos centímetros usuais”.

E a segunda questão, que na verdade já foi respondida, é se o ângulo entre os vetores da base deve ser igual a 90 graus? Não! Como afirma a definição, os vetores de base devem ser apenas não colinear. Conseqüentemente, o ângulo pode ser qualquer coisa, exceto 0 e 180 graus.

Um ponto no plano chamado origem, E não colinear vetores, , definir sistema de coordenadas planas afins :

Às vezes, esse sistema de coordenadas é chamado oblíquo sistema. Como exemplos, o desenho mostra pontos e vetores:

Como você entende, o sistema de coordenadas afins é ainda menos conveniente; as fórmulas para comprimentos de vetores e segmentos, que discutimos na segunda parte da lição, não funcionam nele; Vetores para manequins, muitas fórmulas deliciosas relacionadas a produto escalar de vetores. Mas são válidas as regras para somar vetores e multiplicar um vetor por um número, fórmulas para dividir um segmento nesta relação, bem como alguns outros tipos de problemas que consideraremos em breve.

E a conclusão é que o caso especial mais conveniente de um sistema de coordenadas afins é o sistema retangular cartesiano. É por isso que você precisa vê-la com mais frequência, meu querido. ...Porém, tudo nesta vida é relativo - há muitas situações em que um ângulo oblíquo (ou algum outro, por exemplo, polar) sistema de coordenadas. E os humanóides podem gostar de tais sistemas =)

Vamos passar para a parte prática. Todos os problemas desta lição são válidos tanto para o sistema de coordenadas retangulares quanto para o caso afim geral. Não há nada complicado aqui; todo o material é acessível até para um aluno.

Como determinar a colinearidade de vetores planos?

Coisa típica. Para que dois vetores planos eram colineares, é necessário e suficiente que suas coordenadas correspondentes sejam proporcionais Essencialmente, este é um detalhamento coordenada por coordenada do relacionamento óbvio.

Exemplo 1

a) Verifique se os vetores são colineares .
b) Os vetores formam uma base? ?

Solução:
a) Vamos descobrir se existe para vetores coeficiente de proporcionalidade, tal que as igualdades sejam satisfeitas:

Com certeza vou falar sobre a versão “afeta” da aplicação desta regra, que funciona muito bem na prática. A ideia é fazer imediatamente a proporção e ver se está correta:

Vamos fazer uma proporção a partir das proporções das coordenadas correspondentes dos vetores:

Vamos encurtar:
, portanto, as coordenadas correspondentes são proporcionais, portanto,

A relação poderia ser feita ao contrário; esta é uma opção equivalente:

Para o autoteste, você pode usar o fato de que os vetores colineares são expressos linearmente entre si. EM nesse caso há igualdades . Sua validade pode ser facilmente verificada através de operações elementares com vetores:

b) Dois vetores planos formam uma base se não forem colineares (linearmente independentes). Examinamos vetores para colinearidade . Vamos criar um sistema:

Da primeira equação segue que, da segunda equação segue que, o que significa o sistema é inconsistente(sem soluções). Assim, as coordenadas correspondentes dos vetores não são proporcionais.

Conclusão: os vetores são linearmente independentes e formam uma base.

Uma versão simplificada da solução é assim:

Vamos fazer uma proporção a partir das coordenadas correspondentes dos vetores :
, o que significa que esses vetores são linearmente independentes e formam uma base.

Normalmente esta opção não é rejeitada pelos revisores, mas surge um problema nos casos em que algumas coordenadas são iguais a zero. Assim: . Ou assim: . Ou assim: . Como trabalhar com proporção aqui? (na verdade, você não pode dividir por zero). É por esta razão que chamei a solução simplificada de “atrevida”.

Responder: a) , b) forma.

Um pequeno exemplo criativo para decisão independente:

Exemplo 2

Em que valor do parâmetro estão os vetores serão colineares?

Na solução amostral, o parâmetro é encontrado por meio da proporção.

Existe uma maneira algébrica elegante de verificar a colinearidade dos vetores. Vamos sistematizar nosso conhecimento e adicioná-lo como o quinto ponto:

Para dois vetores os planos são equivalentes as seguintes afirmações :

2) os vetores formam uma base;
3) os vetores não são colineares;

+ 5) o determinante composto pelas coordenadas desses vetores é diferente de zero.

Respectivamente, as seguintes afirmações opostas são equivalentes:
1) os vetores são linearmente dependentes;
2) os vetores não formam base;
3) os vetores são colineares;
4) os vetores podem ser expressos linearmente entre si;
+ 5) o determinante composto pelas coordenadas desses vetores é igual a zero.

Eu realmente espero que no momento você já entende todos os termos e declarações que encontra.

Vamos dar uma olhada mais de perto no novo quinto ponto: dois vetores planos são colineares se e somente se o determinante composto pelas coordenadas dos vetores dados for igual a zero:. Para aplicar esse recurso, é claro, você precisa ser capaz de encontrar determinantes.

Vamos decidir Exemplo 1 da segunda maneira:

a) Calculemos o determinante formado pelas coordenadas dos vetores :
, o que significa que esses vetores são colineares.

b) Dois vetores planos formam uma base se não forem colineares (linearmente independentes). Vamos calcular o determinante composto por coordenadas vetoriais :
, o que significa que os vetores são linearmente independentes e formam uma base.

Responder: a) , b) forma.

Parece muito mais compacto e bonito do que uma solução com proporções.

Com a ajuda do material considerado, é possível estabelecer não só a colinearidade dos vetores, mas também comprovar o paralelismo de segmentos e retas. Consideremos alguns problemas com formas geométricas específicas.

Exemplo 3

Os vértices de um quadrilátero são dados. Prove que um quadrilátero é um paralelogramo.

Prova: Não há necessidade de criar desenho no problema, pois a solução será puramente analítica. Vamos lembrar a definição de paralelogramo:
Paralelogramo É chamado um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos aos pares.

Assim, é necessário provar:
1) paralelismo de lados opostos e;
2) paralelismo de lados opostos e.

Nós provamos:

1) Encontre os vetores:

2) Encontre os vetores:

O resultado é o mesmo vetor (“de acordo com a escola” – vetores iguais). A colinearidade é bastante óbvia, mas é melhor formalizar a decisão de forma clara, com arranjo. Vamos calcular o determinante composto por coordenadas vetoriais:
, o que significa que esses vetores são colineares e .

Conclusão: Os lados opostos de um quadrilátero são paralelos aos pares, o que significa que é um paralelogramo por definição. QED.

Mais figuras boas e diferentes:

Exemplo 4

Os vértices de um quadrilátero são dados. Prove que um quadrilátero é um trapézio.

Para uma formulação mais rigorosa da prova, é melhor, claro, obter a definição de trapézio, mas basta simplesmente lembrar sua aparência.

Esta é uma tarefa para você resolver sozinho. Solução completa no final da lição.

E agora é hora de passar lentamente do avião para o espaço:

Como determinar a colinearidade de vetores espaciais?

A regra é muito semelhante. Para que dois vetores espaciais sejam colineares é necessário e suficiente que suas coordenadas correspondentes sejam proporcionais.

Exemplo 5

Descubra se os seguintes vetores espaciais são colineares:

UMA) ;
b)
V)

Solução:
a) Vamos verificar se existe um coeficiente de proporcionalidade para as coordenadas correspondentes dos vetores:

O sistema não tem solução, o que significa que os vetores não são colineares.

“Simplificado” é formalizado pela verificação da proporção. Nesse caso:
– as coordenadas correspondentes não são proporcionais, o que significa que os vetores não são colineares.

Responder: os vetores não são colineares.

b-c) Estes são pontos para decisão independente. Experimente de duas maneiras.

Existe um método para verificar a colinearidade de vetores espaciais por meio de um determinante de terceira ordem. Este método é abordado no artigo; Produto vetorial de vetores.

Semelhante ao caso plano, as ferramentas consideradas podem ser utilizadas para estudar o paralelismo de segmentos espaciais e retas.

Bem-vindo à segunda seção:

Dependência linear e independência de vetores no espaço tridimensional.
Base espacial e sistema de coordenadas afins

Muitos dos padrões que examinamos no avião serão válidos para o espaço. Tentei minimizar as notas teóricas, pois a maior parte das informações já foi mastigada. Porém, recomendo que você leia atentamente a parte introdutória, pois novos termos e conceitos irão aparecer.

Agora, em vez do plano da mesa do computador, exploramos o espaço tridimensional. Primeiro, vamos criar sua base. Alguém agora está dentro de casa, alguém está fora, mas em qualquer caso, não podemos escapar das três dimensões: largura, comprimento e altura. Portanto, para construir uma base, serão necessários três vetores espaciais. Um ou dois vetores não bastam, o quarto é supérfluo.

E novamente nos aquecemos nos dedos. Por favor, levante sua mão e espalhe-a em diferentes direções polegar, indicador e dedo médio. Serão vetores, olham em direções diferentes, têm comprimentos diferentes e têm ângulos diferentes entre eles. Parabéns, a base do espaço tridimensional está pronta! Aliás, não há necessidade de demonstrar isso aos professores, por mais que você torça os dedos, mas não há como escapar das definições =)

A seguir, vamos nos fazer uma pergunta importante: quaisquer três vetores formam uma base do espaço tridimensional? Pressione três dedos firmemente na parte superior da mesa do computador. O que aconteceu? Três vetores estão localizados no mesmo plano e, grosso modo, perdemos uma das dimensões - a altura. Tais vetores são coplanar e é bastante óbvio que a base do espaço tridimensional não foi criada.

Deve-se notar que os vetores coplanares não precisam estar no mesmo plano, eles podem estar em planos paralelos (só não faça isso com os dedos, só Salvador Dali fez isso =)).

Definição: vetores são chamados coplanar, se houver um plano ao qual eles sejam paralelos. É lógico acrescentar aqui que se tal plano não existir, então os vetores não serão coplanares.

Três vetores coplanares são sempre linearmente dependentes, isto é, eles são expressos linearmente um através do outro. Para simplificar, imaginemos novamente que eles estão no mesmo plano. Em primeiro lugar, os vetores não são apenas coplanares, mas também colineares, então qualquer vetor pode ser expresso por meio de qualquer vetor. No segundo caso, se, por exemplo, os vetores não são colineares, então o terceiro vetor é expresso através deles de forma única: (e por que é fácil adivinhar a partir dos materiais da seção anterior).

A recíproca também é verdadeira: três vetores não coplanares são sempre linearmente independentes, isto é, eles não são de forma alguma expressos um através do outro. E, obviamente, apenas esses vetores podem formar a base do espaço tridimensional.

Definição: A base do espaço tridimensionalé chamado de triplo de vetores linearmente independentes (não coplanares), tomado em uma determinada ordem, e qualquer vetor de espaço a única maneiraé decomposto em uma determinada base, onde estão as coordenadas do vetor nesta base

Deixe-me lembrá-lo de que também podemos dizer que o vetor é representado na forma combinação linear vetores de base.

O conceito de sistema de coordenadas é introduzido exatamente da mesma maneira que para o caso plano, um ponto e quaisquer três vetores linearmente independentes são suficientes:

origem, E não coplanar vetores, tomado em uma determinada ordem, definir sistema de coordenadas afins do espaço tridimensional :

Claro, a grade de coordenadas é “oblíqua” e inconveniente, mas, mesmo assim, o sistema de coordenadas construído nos permite definitivamente determinar as coordenadas de qualquer vetor e as coordenadas de qualquer ponto no espaço. Semelhante a um plano, algumas fórmulas que já mencionei não funcionarão no sistema de coordenadas afins do espaço.

O caso especial mais familiar e conveniente de um sistema de coordenadas afins, como todos adivinham, é sistema de coordenadas espaciais retangulares:

Um ponto no espaço chamado origem, E ortonormal a base está definida Sistema de coordenadas espaciais retangulares cartesianas . Imagem familiar:

Antes de passarmos às tarefas práticas, vamos sistematizar novamente as informações:

Para três vetores espaciais, as seguintes afirmações são equivalentes:
1) os vetores são linearmente independentes;
2) os vetores formam uma base;
3) os vetores não são coplanares;
4) os vetores não podem ser expressos linearmente entre si;
5) o determinante, composto pelas coordenadas desses vetores, é diferente de zero.

Acho que as afirmações opostas são compreensíveis.

A dependência/independência linear dos vetores espaciais é tradicionalmente verificada usando um determinante (ponto 5). Restante tarefas práticas terá um caráter algébrico pronunciado. É hora de pendurar o bastão de geometria e empunhar o taco de beisebol da álgebra linear:

Três vetores do espaço são coplanares se e somente se o determinante composto pelas coordenadas dos vetores dados for igual a zero: .

Gostaria de chamar a atenção para uma pequena nuance técnica: as coordenadas dos vetores podem ser escritas não apenas em colunas, mas também em linhas (o valor do determinante não mudará por causa disso - veja as propriedades dos determinantes). Mas é muito melhor em colunas, pois é mais benéfico para resolver alguns problemas práticos.

Para aqueles leitores que se esqueceram um pouco dos métodos de cálculo de determinantes, ou talvez tenham pouca compreensão deles, recomendo uma de minhas lições mais antigas: Como calcular o determinante?

Exemplo 6

Verifique se os seguintes vetores formam a base do espaço tridimensional:

Solução: Na verdade, toda a solução se resume ao cálculo do determinante.

a) Vamos calcular o determinante composto por coordenadas vetoriais (o determinante é revelado na primeira linha):

, o que significa que os vetores são linearmente independentes (não coplanares) e formam a base do espaço tridimensional.

Responder: esses vetores formam uma base

b) Este é um ponto para decisão independente. Solução completa e resposta no final da lição.

Existem também tarefas criativas:

Exemplo 7

Em que valor do parâmetro os vetores serão coplanares?

Solução: Os vetores são coplanares se e somente se o determinante composto pelas coordenadas desses vetores for igual a zero:

Essencialmente, você precisa resolver uma equação com um determinante. Descemos até os zeros como pipas nos jerboas - é melhor abrir o determinante na segunda linha e nos livrar imediatamente dos pontos negativos:

Realizamos ainda mais simplificações e reduzimos o assunto ao mais simples equação linear:

Responder: no

É fácil verificar aqui; para fazer isso, você precisa substituir o valor resultante no determinante original e certificar-se de que , abrindo-o novamente.

Concluindo, vejamos outro problema típico, de natureza mais algébrica e tradicionalmente incluído em um curso de álgebra linear. É tão comum que merece um tema próprio:

Prove que 3 vetores formam a base do espaço tridimensional
e encontre as coordenadas do 4º vetor nesta base

Exemplo 8

Vetores são fornecidos. Mostre que os vetores formam uma base no espaço tridimensional e encontre as coordenadas do vetor nesta base.

Solução: Primeiro, vamos lidar com a condição. Por condição, são dados quatro vetores e, como você pode ver, eles já possuem coordenadas em alguma base. O que é essa base não nos interessa. E o seguinte é interessante: três vetores podem muito bem formar uma nova base. E a primeira etapa coincide completamente com a solução do Exemplo 6, é necessário verificar se os vetores são verdadeiramente linearmente independentes:

Vamos calcular o determinante composto por coordenadas vetoriais:

, o que significa que os vetores são linearmente independentes e formam a base do espaço tridimensional.

! Importante : coordenadas vetoriais Necessariamente escreva em colunas determinante, não em strings. Caso contrário, haverá confusão no algoritmo de solução adicional.

Dependência linear de vetores

Ao resolver vários problemas, via de regra, não se trata de um vetor, mas de um determinado conjunto de vetores da mesma dimensão. Tais agregados são chamados sistema de vetores e denotar

Definição.Combinação linear de vetores chamado de vetor da forma

onde estão quaisquer números reais. Diz-se também que um vetor é expresso linearmente em termos de vetores ou decomposto nesses vetores.

Por exemplo, sejam dados três vetores: , , . Sua combinação linear com os coeficientes 2, 3 e 4, respectivamente, é o vetor

Definição. O conjunto de todas as combinações lineares possíveis de um sistema de vetores é chamado de extensão linear deste sistema.

Definição. Um sistema de vetores diferentes de zero é chamado linearmente dependente, se houver números que não sejam simultaneamente iguais a zero, tais que a combinação linear de um determinado sistema com os números indicados seja igual ao vetor zero:

Se a última igualdade para um determinado sistema de vetores só for possível para , então este sistema de vetores é chamado linearmente independente.

Por exemplo, um sistema de dois vetores é linearmente independente; sistema de dois vetores e é linearmente dependente, uma vez que .

Seja o sistema de vetores (19) linearmente dependente. Vamos selecionar o termo na soma (20) em que o coeficiente é , e expressá-lo através dos demais termos:

Como pode ser visto nesta igualdade, um dos vetores do sistema linearmente dependente (19) acabou por ser expresso em termos de outros vetores deste sistema (ou é expandido em termos dos seus restantes vetores).

Propriedades de um sistema vetorial linearmente dependente

1. Um sistema que consiste em um vetor diferente de zero é linearmente independente.

2. Um sistema contendo um vetor zero é sempre linearmente dependente.

3. Um sistema contendo mais de um vetor é linearmente dependente se e somente se entre seus vetores houver pelo menos um vetor que seja expresso linearmente em termos dos demais.

Significado geométrico dependência linear no caso de vetores bidimensionais em um plano: quando um vetor é expresso através de outro, temos, ou seja, esses vetores são colineares, ou o que é o mesmo, localizados em retas paralelas.

EM caso espacial dependência linear de três vetores, eles são paralelos a um plano, ou seja, coplanar. Basta “corrigir” os comprimentos desses vetores com os fatores correspondentes para que um deles se torne a soma dos outros dois ou seja expresso por meio deles.

Teorema. No espaço, qualquer sistema contendo vetores é linearmente dependente em.

Exemplo. Descubra se os vetores são linearmente dependentes.

Solução. Vamos fazer uma igualdade vetorial. Escrevendo na forma vetorial coluna, obtemos

Assim, o problema foi reduzido a resolver o sistema

Vamos resolver o sistema usando o método Gaussiano:

Como resultado, obtemos um sistema de equações:

que possui um número infinito de soluções, entre as quais certamente haverá uma diferente de zero, portanto, os vetores são linearmente dependentes.

Os conceitos de dependência linear e independência de um sistema de vetores são muito importantes no estudo da álgebra vetorial, pois neles se baseiam os conceitos de dimensão e base do espaço. Neste artigo daremos definições, consideraremos as propriedades de dependência e independência linear, obteremos um algoritmo para estudar um sistema de vetores de dependência linear e analisaremos detalhadamente as soluções de exemplos.

Navegação na página.

Determinação da dependência linear e independência linear de um sistema de vetores.

Vamos considerar um conjunto de vetores p n-dimensionais, denotando-os da seguinte forma. Vamos fazer uma combinação linear desses vetores e números arbitrários (real ou complexo): . Com base na definição de operações sobre vetores n-dimensionais, bem como nas propriedades das operações de adição de vetores e multiplicação de um vetor por um número, pode-se argumentar que a combinação linear escrita representa algum vetor n-dimensional, ou seja, .

Foi assim que abordamos a definição da dependência linear de um sistema de vetores.

Definição.

Se uma combinação linear pode representar um vetor zero, então quando entre os números existe pelo menos um diferente de zero, então o sistema de vetores é chamado linearmente dependente.

Definição.

Se uma combinação linear for um vetor zero somente quando todos os números são iguais a zero, então o sistema de vetores é chamado linearmente independente.

Propriedades de dependência e independência linear.

Com base nessas definições, formulamos e provamos propriedades de dependência linear e independência linear de um sistema de vetores.

Se vários vetores forem adicionados a um sistema de vetores linearmente dependente, o sistema resultante será linearmente dependente.

Prova.

Como o sistema de vetores é linearmente dependente, a igualdade é possível se houver pelo menos um número diferente de zero entre os números . Deixar .

Vamos adicionar mais vetores ao sistema de vetores original , e obtemos o sistema . Desde e , então a combinação linear de vetores deste sistema tem a forma

representa o vetor zero e . Consequentemente, o sistema de vetores resultante é linearmente dependente.

Se vários vetores forem excluídos de um sistema de vetores linearmente independente, então o sistema resultante será linearmente independente.

Prova.

Suponhamos que o sistema resultante seja linearmente dependente. Somando todos os vetores descartados a este sistema de vetores, obtemos o sistema de vetores original. Por condição, é linearmente independente, mas devido à propriedade anterior de dependência linear, deve ser linearmente dependente. Chegamos a uma contradição, portanto nossa suposição está incorreta.

Se um sistema de vetores tiver pelo menos um vetor zero, então tal sistema é linearmente dependente.

Prova.

Deixe o vetor neste sistema de vetores ser zero. Suponhamos que o sistema original de vetores seja linearmente independente. Então a igualdade vetorial só é possível quando . Porém, se tomarmos qualquer , diferente de zero, então a igualdade ainda será verdadeira, pois . Consequentemente, a nossa suposição está incorreta e o sistema original de vetores é linearmente dependente.

Se um sistema de vetores é linearmente dependente, então pelo menos um de seus vetores é expresso linearmente em termos dos outros. Se um sistema de vetores for linearmente independente, nenhum dos vetores poderá ser expresso em termos dos outros.

Prova.

Primeiro, vamos provar a primeira afirmação.

Seja o sistema de vetores linearmente dependente, então existe pelo menos um número diferente de zero e a igualdade é verdadeira. Esta igualdade pode ser resolvida em relação a , pois neste caso temos

Consequentemente, o vetor é expresso linearmente através dos demais vetores do sistema, o que precisava ser provado.

Agora vamos provar a segunda afirmação.

Como o sistema de vetores é linearmente independente, a igualdade só é possível para.

Suponhamos que algum vetor do sistema seja expresso linearmente em termos dos outros. Deixe este vetor ser, então. Esta igualdade pode ser reescrita como , no seu lado esquerdo existe uma combinação linear dos vetores do sistema, e o coeficiente na frente do vetor é diferente de zero, o que indica uma dependência linear do sistema de vetores original. Chegamos então a uma contradição, o que significa que a propriedade está comprovada.

Uma afirmação importante segue das duas últimas propriedades:
se um sistema de vetores contém vetores e, onde é um número arbitrário, então é linearmente dependente.

Estudo de um sistema de vetores de dependência linear.

Vamos colocar um problema: precisamos estabelecer uma dependência linear ou independência linear de um sistema de vetores.

A questão lógica é: “como resolver isso?”

Algo útil do ponto de vista prático pode ser aprendido com as definições e propriedades de dependência e independência linear de um sistema de vetores discutidos acima. Estas definições e propriedades permitem estabelecer a dependência linear do sistema de vetores em seguintes casos:

O que fazer nos demais casos, que são a maioria?

Vamos descobrir isso.

Recordemos a formulação do teorema do posto de uma matriz, que apresentamos no artigo.

Teorema.

Deixar r – classificação da matriz A de ordem p por n, . Seja M a base menor da matriz A. Todas as linhas (todas as colunas) da matriz A que não participam da formação da base menor M são expressas linearmente através das linhas (colunas) da matriz geradora da base menor M.

Agora vamos explicar a conexão entre o teorema da classificação de uma matriz e o estudo de um sistema de vetores para dependência linear.

Vamos compor uma matriz A, cujas linhas serão os vetores do sistema em estudo:

O que significaria a independência linear de um sistema de vetores?

Da quarta propriedade da independência linear de um sistema de vetores, sabemos que nenhum dos vetores do sistema pode ser expresso em termos dos outros. Em outras palavras, nenhuma linha da matriz A será expressa linearmente em termos de outras linhas, portanto, a independência linear do sistema de vetores será equivalente à condição Rank(A)=p.

O que significará a dependência linear do sistema de vetores?

Tudo é muito simples: pelo menos uma linha da matriz A será expressa linearmente em termos das demais, portanto, a dependência linear do sistema de vetores será equivalente à condição Rank(A)

.

Assim, o problema de estudar um sistema de vetores para dependência linear se reduz ao problema de encontrar o posto de uma matriz composta pelos vetores desse sistema.

Deve-se notar que para p>n o sistema de vetores será linearmente dependente.

Comentário: ao compilar a matriz A, os vetores do sistema podem ser considerados não como linhas, mas como colunas.

Algoritmo para estudar um sistema de vetores de dependência linear.

Vejamos o algoritmo usando exemplos.

Exemplos de estudo de um sistema de vetores para dependência linear.

Exemplo.

Um sistema de vetores é dado. Examine-o para um relacionamento linear.

Solução.

Como o vetor c é zero, o sistema original de vetores é linearmente dependente devido à terceira propriedade.

Responder:

O sistema vetorial é linearmente dependente.

Exemplo.

Examine um sistema de vetores para dependência linear.

Solução.

Não é difícil perceber que as coordenadas do vetor c são iguais às coordenadas correspondentes do vetor multiplicadas por 3, ou seja, . Portanto, o sistema original de vetores é linearmente dependente.