Derivação da equação para pequenas vibrações longitudinais de uma haste elástica. Ondas longitudinais. Vibrações de barras de seção variável
MECÂNICA
CDU 531.01/534.112
VIBRAÇÕES LONGITUDINAIS DE UM PACOTE DE HASTE
SOU. Pavlov, A.N. Temnov
MSTU im. N.E. Bauman, Moscou, Federação Russa e-mail: [e-mail protegido]; [e-mail protegido]
Em questões de dinâmica de foguetes de propelente líquido, um papel importante é desempenhado pelo problema da estabilidade do movimento do foguete quando ocorrem oscilações elásticas longitudinais. O aparecimento de tais oscilações pode levar ao estabelecimento de auto-oscilações, que, se o foguete for instável na direção longitudinal, podem levar à sua rápida destruição. O problema das oscilações longitudinais de um pacote de foguetes é formulado; um pacote de hastes é usado como modelo de cálculo. É aceito que o líquido nos tanques dos foguetes esteja “congelado”, ou seja, os próprios movimentos do fluido não são levados em consideração. A lei do balanço energético total para o problema em consideração é formulada e sua formulação de operador é dada. É dado um exemplo numérico, para o qual as frequências são determinadas e as formas das oscilações naturais são construídas e analisadas.
Palavras-chave: vibrações longitudinais, frequência e forma das vibrações, pacote de bastonetes, lei do balanço energético total, operador auto-adjunto, espectro de vibrações, POGO.
SISTEMA DE HASTE DE VIBRAÇÕES LONGITUDINAIS A.M. Pavlov, AL. Temnov
Bauman Moscow State Technical University, Moscou, Federação Russa e-mail: [e-mail protegido]; [e-mail protegido]
Em questões de dinâmica de foguetes de combustível líquido o problema de estabilidade de movimento deste foguete tem um papel importante com o aparecimento de vibrações elásticas longitudinais. Uma ocorrência deste tipo de vibrações pode evocar vibrações próprias que podem causar a rápida destruição do foguete em caso de instabilidade do foguete na direção longitudinal. O problema das vibrações longitudinais do foguete de combustível líquido baseado no esquema de pacotes foi formulado usando hastes de pacote como modelo computacional. Supõe-se que o líquido nos tanques do foguete esteja "congelado", ou seja, movimentos adequados do líquido não estão incluídos. Para este problema foi formulado o princípio da conservação de energia e dado o seu estadiamento de operador. Há um exemplo numérico, para o qual as frequências foram determinadas, formas de vibração Eigen foram construídas e analisadas.
Palavras-chave: vibrações longitudinais, modos e frequências próprios, modelo de bastonetes, princípio de conservação de energia, operador autoadjunto, espectro de vibração, POGO.
Introdução. Atualmente, na Rússia e no exterior, veículos de lançamento com layout de pacote com blocos laterais idênticos distribuídos uniformemente em torno do bloco central são frequentemente usados para lançar uma carga útil na órbita necessária.
Os estudos de vibrações de estruturas de embalagens encontram certas dificuldades associadas ao efeito dinâmico dos blocos laterais e centrais. No caso da simetria do layout do veículo lançador, a complexa interação espacial dos blocos do projeto do pacote pode ser dividida em um número finito de tipos de vibrações, uma das quais são as vibrações longitudinais dos blocos central e lateral. Um modelo matemático de vibrações longitudinais de tal estrutura na forma de um pacote de hastes de paredes finas é discutido em detalhes no trabalho. Arroz. 1. Esquema da central- Este artigo apresenta a haste teórica e os resultados computacionais da longitudinal
vibrações de um pacote de varetas, complementando o estudo realizado por A.A. Pena.
Declaração do problema. Consideremos outras vibrações longitudinais de um pacote de hastes constituído por uma haste central de comprimento l0 e N hastes laterais de mesmo comprimento j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, fixadas no ponto A (xA = l) (Fig. 1) com elementos centrais de mola com rigidez k.
Vamos introduzir um referencial fixo OX e assumir que a rigidez das hastes EFj (x), a massa distribuída mj (x) e a perturbação q (x,t) são funções limitadas da coordenada x:
0 0 < mj < mj (x) < Mj; (1) 0 Deixe, durante as vibrações longitudinais, surgirem deslocamentos Uj (x, t) em seções de hastes com coordenada x, determinadas pelas equações mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2) condições de contorno para a ausência de forças normais nas extremidades das hastes 3 =0, x = 0, ^ = 1, 2, 0, x = 0, x = l0; condições de igualdade das forças normais que surgem nas hastes, EF-3 = F x = l forças elásticas de elementos de mola FпPJ = к (ш (ха) - у (¡,)); (4) EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa; condição de igualdade de deslocamentos no ponto xa da haste central Shch (ha-o) = Shch (xa+o) e condições iniciais Shch y (x, 0) - Shch (x); , _ você(x, 0) = você(x), onde você(x, 0) = "d^1(x, 0). Lei do balanço energético total. Vamos multiplicar a equação (2) por u(x,ξ), integrar ao longo do comprimento de cada haste e somar os resultados usando as condições de contorno (3) e a condição de correspondência (4). Como resultado obtemos (( 1 ^ [ (diL 2 TZ (x) "BT" (x+ dt | 2 ^ J 3 w V dt N x „ h 2 .. N „ i. 1 ^ Г „„ , f dп3\ , 1 ^ Гj 1 N /* i dpl 2 1 N fl j EF3 dx +2^Уо И (x - -)(não - Uj)2 dx = / ^ (x, £) eles y (x, £) (x, (6) onde 8 (x - ¡y) é a função delta de Dirac. Na equação (6), o primeiro termo entre colchetes representa a energia cinética T (¿) do sistema, o segundo é a energia potencial Pr (£), causada pela deformação das hastes, e o terceiro é a energia potencial Pk (£) dos elementos de mola, que na presença de deformações elásticas nas hastes podem ser escritos na forma Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu. A equação (6) mostra que a mudança na energia total por unidade de tempo do sistema mecânico em consideração é igual à potência influência externa. Na ausência de perturbação externa q (x,t), obtemos a lei da conservação da energia total: T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0). Cinematografia. A lei do balanço de energia mostra que para qualquer instante t as funções Uj (x, t) podem ser consideradas como elementos do espaço de Hilbert L2j(; m3 (x)), definido no comprimento ¡i pelo produto escalar (us,Vk)j = J mj (x)usVkdx 0 e a norma correspondente. Introduzamos o espaço de Hilbert H igual à soma ortogonal L2j, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N, a função vetorial U = (uo, Ui,..., uN)т e o operador A atuando no espaço H de acordo com a relação AU = diag (A00U0, A11U1,..., Annun). mj(x)dx\jdx" operadores definidos em conjunto B (A33) С Н de funções que satisfazem as condições (3) e (4). O problema original (1)-(5) juntamente com as condições iniciais serão escritos na forma Au = f (*), você (0) = você0, 17 (0) = você1, (7) onde f(*) = (to(*),51(*),..., Yam(¿))t. Lema. 1. Se as duas primeiras condições (1) forem satisfeitas, então o operador A no problema de evolução (7) é um operador definido positivo, autoadjunto e ilimitado no espaço H. (Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i. 2. O operador A gera o espaço de energia HA com norma igual ao dobro do valor energia potencial vibrações de um pacote de hastes 3\^I h)2 = 2П > 0. (8) IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0. < Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно: (AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+ +£ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa))v-(x) dx=... = EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x) J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x) + ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x) J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0 EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) + J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100 + £ / EF.,- (x) você- (x) g?- (x) dx+ o O(xa)- £ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10 + £ / EF- (x) você- (x) v- (x) dx+ -=1 0 - + £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H (AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) J EF0 (x) você"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) + ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x) "J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) = EF0 (x) você"2 (x) dx + / EF0 (x) você"0 (x) dx + S / EFj (x) você"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H Dos resultados acima segue-se que a norma energética do operador A é expressa pela fórmula (8). Solubilidade do problema evolutivo. Vamos formular o seguinte teorema. Teorema 1. Deixe as condições serem satisfeitas U0 £ D (A1/2), U0 £ H, f (t) £ C (; H), então o problema (7) tem uma solução fraca única U(t) no intervalo, definido pela fórmula U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sen (tA1/2) +/sen ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds. 5 na ausência de perturbação externa f (£), a lei da conservação da energia é satisfeita 1 II A 1/2UИ2 = 1 1II A1/2U 0|H. < Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости . Vibrações naturais de um pacote de varetas. Suponhamos que o sistema de hastes não seja afetado pelo campo de forças externas: f (t) = 0. Neste caso, os movimentos das hastes serão chamados de livres. Os movimentos livres das hastes, dependendo do tempo t de acordo com a lei exp (iwt), serão chamados de vibrações naturais. Tomando U (x, t) = U (x) eiWÍ na equação (7), obtemos o problema espectral para o operador A: UA - AEU = 0, L = w2. (9) As propriedades do operador A permitem-nos formular um teorema sobre o espectro e as propriedades das funções próprias. Teorema 2. O problema espectral (9) sobre vibrações naturais de um pacote de varetas tem um espectro positivo discreto 0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то e um sistema de autofunções (Uk (x))^=0, completo e ortogonal nos espaços H e HA, e as seguintes fórmulas de ortogonalidade são satisfeitas: (Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0 (Reino Unido= £/T^) d*+ K (“feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j = eu Estudo do problema espectral no caso de um pacote homogêneo de bastonetes. Apresentando a função deslocamento m- (x, £) na forma m- (x, £) = m- (x), após separar as variáveis obtemos problemas espectrais para cada haste: ^Oi + Lm = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10) que escrevemos em forma de matriz 4 £ + Li = 0, UMA = -,-,-,...,- \ t0 t1 t2 t « você = (u0, u1, u2,..., u«)t. Solução e análise dos resultados obtidos. Denotemos as funções de deslocamento da haste central na seção como u01 e na seção como u02 (g). Neste caso, para a função u02 movemos a origem das coordenadas para o ponto com coordenada /. Para cada haste apresentamos a solução da equação (10) na forma Para encontrar as constantes desconhecidas em (11), usamos as condições de contorno formuladas acima. A partir de condições de contorno homogêneas é possível determinar algumas constantes, a saber: C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... =CN 2 = 0. Como resultado, resta encontrar N + 3 constantes: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Para fazer isso, resolvemos N + 3 equações para N + 3 incógnitas. Vamos escrever o sistema resultante em forma de matriz: (A) (C) = (0) . Aqui (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t é o vetor de incógnitas; (A) - matriz característica, cos (A1) EF0 A sen (A1) + L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000 0 ano 00 00 0 000Y a = k soe ^ ^A-L^ ; em = -k co8((.40-01L)1/2 ^ ; 7 = (A4"-1 l) 1/2 ap ((A"1l) 1/2 + k sov ((A"1l) 1/2; (~ \ 1/2 ~ Л= ^Л] ; A--: 3 = 0. Para encontrar uma solução não trivial, tomamos a constante C01 € M como variável. Temos duas opções: C01 = 0; C01 = 0. Seja C01 = 0, então C03 = C04 = 0. Neste caso, uma solução não trivial pode ser obtida se 7 = 0 de (12) quando a condição adicional for atendida £ s-1 = 0, (13) que pode ser obtido a partir da terceira equação do sistema (12). Como resultado, obtemos uma equação de frequência simples EP (A"1 L)1/2 W ((A"1^1/2 P + zz\V zz K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G , coincidindo com a equação de frequência para uma haste fixada elasticamente em uma extremidade, que pode ser considerada o primeiro sistema parcial. Neste caso, todas as combinações possíveis de movimentos das hastes laterais que satisfaçam a condição (13) podem ser condicionalmente divididas em grupos correspondentes a diferentes combinações de fases (no caso em consideração, a fase é determinada pelo sinal C.d). Se assumirmos que as hastes laterais são idênticas, temos duas opções: 1) Сд = 0, então o número de tais combinações n para diferentes N pode ser calculado usando a fórmula n = N 2, onde é a função de divisão sem resto; 2) qualquer (ou qualquer) das constantes C- são iguais a 0, então o número de combinações possíveis aumenta e pode ser determinado pela fórmula £ [(N - m) divisão 2]. Seja Coi = 0, então Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), onde in e y são os complexos incluídos em (12). Do sistema (12) temos também: C03 = C01 cos (А/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), ou seja, todas as constantes são expressas através de C01. A equação de frequência assume a forma EFo U-o1 L tg A-1 L) " (lo - l)) - K2 porque | í a!-,1 L Como exemplo, considere um sistema com quatro barras laterais. Além do método descrito acima, neste exemplo você pode escrever uma equação de frequência para todo o sistema calculando o determinante da matriz A e igualando-o a zero. Vamos dar uma olhada nisso Y4 (L sen (L (/o - /)) cos (L/) EFoЛ+ L cos (L (/o - /)) (EFoЛ sin (L/) + 4v)) - 4av3L cos (L(/0 - /)) = 0. Gráficos de equações de frequência transcendentais para os casos considerados acima são apresentados na Fig. 2. Foram considerados como dados iniciais: EF = 2.109 N; FE0 = 2,2 109 N; k = 7.107 N/m; m = 5900 kg/m; mês = 6.000 kg/m; / = 23; /о = 33 m. Os valores das três primeiras frequências de oscilação do circuito considerado são dados abaixo: n......................................... e, feliz/s.................................. 1 2 3 20,08 31,53 63,50 Arroz. 2. Gráficos de equações de frequência transcendentais para Coi = 0 (i) e Coi = 0 (2) Apresentamos os modos de vibração correspondentes às soluções obtidas (no caso geral os modos de vibração não são normalizados). As formas de vibração correspondentes à primeira, segunda, terceira, quarta, 13 e 14 frequências são mostradas na Fig. 3. Na primeira frequência de vibração, as hastes laterais vibram com o mesmo formato, mas aos pares em antifase Figura 3. Formas de vibração das hastes lateral (1) e central (2) correspondentes ao primeiro V = 3,20 Hz (a), ao segundo V = 5,02 Hz (b), ao terceiro V = 10,11 Hz (c), ao quarto V = Frequências 13,60 Hz (d), 13º V = 45,90 Hz (d) e 14º V = 50,88 Hz (f) (Fig. 3, a), com a segunda, a haste central oscila, e as laterais oscilam no mesmo formato em fase (Fig. 3, b). Deve-se notar que a primeira e a segunda frequências de oscilação do considerado sistema de haste correspondem às vibrações de um sistema constituído por corpos sólidos. Quando o sistema oscila com a terceira frequência natural, os nós aparecem pela primeira vez (Fig. 3c). A terceira frequência e as subsequentes (Fig. 3d) correspondem às vibrações elásticas do sistema. Com o aumento da frequência das vibrações, associado à diminuição da influência dos elementos elásticos, as frequências e formas das vibrações tendem a ser parciais (Fig. 3, e, f). As curvas de funções, cujos pontos de intersecção com o eixo das abcissas são soluções de equações transcendentais, são apresentadas na Fig. 4. Conforme a figura, as frequências naturais de oscilações do sistema estão localizadas próximas às frequências parciais. Conforme observado acima, com o aumento da frequência, a convergência das frequências naturais com as parciais aumenta. Como resultado, as frequências nas quais todo o sistema oscila são condicionalmente divididas em dois grupos: aquelas próximas às frequências parciais da haste lateral e frequências próximas às frequências parciais da haste central. Conclusões. O problema das vibrações longitudinais de um pacote de hastes é considerado. As propriedades do fornecido problema de valor limite e o espectro de seus autovalores. É proposta uma solução para o problema espectral para um número arbitrário de hastes laterais homogêneas. Para um exemplo numérico, os valores das primeiras frequências de oscilação são encontrados e as formas correspondentes são construídas. Algumas propriedades características dos modos de vibração construídos também foram reveladas. Arroz. 4. As curvas de funções cujos pontos de intersecção com o eixo das abcissas são soluções de equações transcendentais, para CoX = 0 (1), Cox = 0 (2) coincidem com o primeiro sistema parcial (haste lateral fixada ao elástico elemento no ponto x = I) e segundo sistema parcial (5) (haste central fixada em quatro elementos elásticos no ponto A) LITERATURA 1. Kolesnikov K.S. Dinâmica de foguetes. M.: Engenharia Mecânica, 2003. 520 p. 2. Mísseis balísticos e veículos de lançamento / O.M. Alifanov, A. N. Andreev, V. N. Gushchin et al.: Abetarda, 2004. 511 p. 3. Rabinovich B.I. Introdução à dinâmica dos veículos lançadores de naves espaciais. M.: Engenharia Mecânica, 1974. 396 p. 4. Estudo de parâmetros sobre estabilidade POGO de foguetes líquidos / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011. Vol. 48. É. 3. S. 537-541. 5. Balakirev Yu.G. Métodos de análise de vibrações longitudinais de veículos lançadores de propulsão líquida // Cosmonáutica e Ciência de Foguetes. 1995. Nº 5. S. 50-58. 6. Balakirev Yu.G. Características do modelo matemático de um foguete líquido em lote como objeto de controle // Problemas selecionados de resistência da engenharia mecânica moderna. 2008. pp. 7. Dokuchaev L.V. Aprimorar métodos de estudo da dinâmica de um veículo lançador de pacotes, levando em consideração sua simetria // Cosmonáutica e Ciência de Foguetes. 2005. Nº 2. S. 112-121. 8. Pozhalostin A.A. Desenvolvimento de métodos analíticos aproximados para cálculo de vibrações naturais e forçadas conchas elásticas com líquido: dis. ... Dr. Ciência. M., 2005. 220 p. 9. Guindaste S.G. Equações diferenciais lineares em espaços de Banach. M.: Nauka, 1967. 464 p. 10. Kopachevsky I.D. Métodos de operador física matemática. Simferopol: LLC "Forma", 2008. 140 p. Kolesnikov K.S. Raquete Dinamika. Moscou, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 p. Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., eds. Ballisticheskie rakety e rakety-nositeli. Moscou, Drofa Publ., 2003. 511 p. Rabinovich B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh apparatov. Moscou, Mashinostroenie Publ., 1974. 396 p. Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Estudo de parâmetros sobre estabilidade POGO de foguete de combustível líquido. J. Naves espaciais e foguetes, 2011, vol. 48, edição. 3, pp. 537-541. Balakirev Yu.G. Métodos de análise de vibrações longitudinais de veículos lançadores com motor propelente líquido. Cosmo. eu raketostr. , 1995, não. 5, pp. 50-58 (em russo). Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob"ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya". Moscou, Fizmatlit Publ., 2008. 204 p. (citado pp. 4355). Dokuchaev L.V. Aprimoramento de métodos de estudo da dinâmica de veículos lançadores agrupados considerando sua simetria. Cosmo. eu raketostr. , 2005, não. 2, pp. 112-121 (em russo). Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh e vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost"yu. Diss. doct. tekhn. nauk . Kreyn S.G. Lineynye diferencial"nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh. Moscou, Nauka Publ., 1967. 464 p. Kopachevskiy I.D. Operadornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 p. O artigo foi recebido pelo editor em 28 de abril de 2014 Arseniy Mikhailovich Pavlov - estudante do Departamento de Naves Espaciais e Veículos de Lançamento da Universidade Técnica Estadual de Moscou. N.E. Bauman. É especializado na área de foguetes e tecnologia espacial. MSTU im. N.E. Baumash, Federação Russa, 105005, Moscou, 2ª rua Baumanskaya, 5. Pavlov A.M. - estudante do departamento "Naves Espaciais e Veículos de Lançamento" da Universidade Técnica Estadual Bauman de Moscou. Especialista na área de tecnologia de foguetes e espaço. Universidade Técnica Estadual Bauman de Moscou, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moscou, 105005 Federação Russa. Temnov Alexander Nikolaevich - Ph.D. física e matemática Ciências, Professor Associado do Departamento de Naves Espaciais e Veículos de Lançamento, Universidade Técnica Estadual de Moscou. N.E. Bauman. Autor com mais de 20 anos trabalhos científicos na área de mecânica de fluidos e gases e tecnologia de foguetes e espaço. MSTU im. N.E. Baumash, Federação Russa, 105005, Moscou, 2ª rua Baumanskaya, 5. Temnov A.N. - Cand. Ciência. (Física-Matemática), assoc. professor do departamento de "Naves Espaciais e Veículos de Lançamento" da Universidade Técnica Estadual Bauman de Moscou. Autor de mais de 20 publicações na área de mecânica de fluidos e gases e tecnologia de foguetes e espaço. Universidade Técnica Estadual Bauman de Moscou, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moscou, 105005 Federação Russa. Nesta seção consideraremos o problema das vibrações longitudinais de uma haste homogênea. Uma haste é um corpo cilíndrico (em particular, prismático), para esticar ou comprimir o qual deve ser aplicada uma certa força. Assumiremos que todas as forças atuam ao longo do eixo da haste e cada uma das seções transversais da haste (Fig. 23) se move translacionalmente apenas ao longo do eixo da haste. Normalmente, esta suposição é justificada se as dimensões transversais da haste forem pequenas em comparação com o seu comprimento e as forças que atuam ao longo do eixo da haste forem relativamente pequenas. Na prática, as vibrações longitudinais ocorrem mais frequentemente quando a haste é primeiro ligeiramente esticada ou, inversamente, comprimida e depois deixada por conta própria. Neste caso, surgem vibrações longitudinais livres. Vamos derivar as equações para essas oscilações. Direcionemos o eixo das abcissas ao longo do eixo da haste (Fig. 23); em estado de repouso, as extremidades da haste possuem abcissas, respectivamente. - sua abscissa está em repouso. O deslocamento desta seção em qualquer instante t será caracterizado por uma função para descobrir a qual devemos criar uma equação diferencial. Vamos primeiro encontrar o alongamento relativo da seção da barra limitada pelas seções. Se a abcissa da seção estiver em repouso, então o deslocamento desta seção no tempo t, com precisão de infinitesimais de ordem superior, é igual a. Portanto, o alongamento relativo da haste na seção com a abcissa no tempo t é igual a Supondo que as forças que causam esse alongamento obedecem à lei de Hooke, encontraremos o módulo da força de tração T atuando na seção: onde é a área da seção transversal da haste e é o módulo de elasticidade (módulo de Young) do material da haste. A fórmula (5.2) deve ser bem conhecida do leitor do curso sobre resistência de materiais. Assim, a força que atua na seção é igual a Como as forças substituem a ação das partes descartadas da haste, a força resultante é igual à diferença Contando a seção selecionada da haste ponto material com massa onde - densidade aparente haste, e aplicando a segunda lei de Newton a ela, criamos a equação Abreviando e introduzindo a notação obtemos a equação diferencial das vibrações longitudinais livres da haste Se assumirmos adicionalmente que uma força externa calculada por unidade de volume e agindo ao longo do eixo da haste é aplicada à haste, então um termo será adicionado ao lado direito da relação (5 3) e a equação (5.4) assumirá o forma que coincide exatamente com a equação das oscilações forçadas da corda. Passemos agora ao estabelecimento das condições iniciais e de contorno do problema e consideremos o caso praticamente mais interessante, quando uma extremidade da barra está fixa e a outra está livre. Na extremidade livre, a condição de contorno terá uma forma diferente. Como não existem forças externas nesta extremidade, a força T que atua na seção também deve ser igual a zero, ou seja, As oscilações ocorrem porque no momento inicial a haste foi deformada (esticada ou comprimida) e certas velocidades iniciais foram transmitidas às pontas da haste. Portanto, devemos conhecer o deslocamento das seções transversais da barra no momento bem como as velocidades iniciais das pontas da haste Assim, o problema das vibrações longitudinais livres de uma haste fixada em uma extremidade, decorrentes da compressão ou tensão inicial, nos levou à equação com condições iniciais e condições de contorno É a última condição que, do ponto de vista matemático, distingue o problema em consideração do problema das oscilações de uma corda fixada em ambas as extremidades. Resolveremos o problema colocado pelo método de Fourier, ou seja, encontraremos soluções parciais da equação que satisfaçam as condições de contorno (5.8) na forma Como o curso posterior da solução é semelhante ao já descrito no § 3, nos limitaremos a apenas breves instruções. Diferenciando a função, substituindo as expressões resultantes em (5.6) e separando as variáveis, obtemos (Deixamos ao leitor estabelecer de forma independente que, devido às condições de contorno, a constante no lado direito não pode ser um número positivo ou zero.) Solução geral equação tem a forma Devido às condições impostas à função teremos Soluções que não sejam identicamente iguais a zero serão obtidas somente se a condição for atendida, ou seja, para , onde k pode assumir valores Então, os autovalores do problema são os números Cada um tem sua própria função Como já sabemos, multiplicando qualquer uma das autofunções por uma constante arbitrária, obteremos uma solução para a equação com as condições de contorno definidas. É fácil verificar que, ao atribuir ao número k valores negativos, não obteremos novas autofunções (por exemplo, em resultará em uma função que difere da autofunção ) apenas no sinal), Vamos primeiro provar que as autofunções (5.11) são ortogonais no intervalo. Na verdade, quando Se então É possível provar a ortogonalidade das funções próprias de outra forma, não contando com suas expressões explícitas, mas usando apenas equação diferencial e usúvia regional. Sejam e dois autovalores distintos e sejam as autofunções correspondentes. Por definição, essas funções satisfazem as equações e condições de contorno. Vamos multiplicar a primeira equação pela segunda e subtrair uma da outra. Uma haste é um corpo, cujas dimensões, denominadas longitudinais, excedem significativamente suas dimensões em um plano perpendicular à direção longitudinal, ou seja, dimensões transversais. A principal propriedade da haste é a resistência proporcionada à compressão longitudinal (tensão) e à flexão. Esta propriedade distingue fundamentalmente uma haste de uma corda, que não estica e não resiste à flexão. Se a densidade do material da barra for a mesma em todos os seus pontos, então a barra é chamada de homogênea. Normalmente, corpos estendidos delimitados por um circuito fechado são considerados hastes. superfície cilíndrica. Neste caso, a área da seção transversal permanece constante. Estudaremos o comportamento de uma barra uniforme de comprimento eu, assumindo que está sujeito apenas à compressão ou tração, obedecendo à lei de Hooke. Ao estudar pequenas deformações longitudinais de uma haste, as chamadas hipótese de seções planas. Está no fato de que as seções transversais, movendo-se sob compressão ou tensão ao longo da haste, permanecem planas e paralelas entre si. Vamos direcionar o eixo x ao longo do eixo longitudinal da haste (Fig. 19) e assumiremos que no momento inicial as extremidades da haste estão em pontos x=0 E x = eu. Tomemos uma seção arbitrária da barra com a coordenada x. Vamos denotar por você(x,t) deslocamento desta seção no momento t, então o deslocamento da seção com coordenada
no mesmo momento será igual Então o alongamento relativo da haste na seção x será igual A força de resistência a este alongamento de acordo com a lei de Hooke será igual a Onde E– módulo de elasticidade do material da haste (módulo de Young), e S-área transversal. Nos limites de uma seção de uma haste com comprimento dx forças agem sobre ele T x E T x + dx, direcionado ao longo do eixo x. A resultante dessas forças será igual a e a aceleração da seção da haste em consideração é igual a , então a equação de movimento desta seção da haste terá a forma: Onde ρ –
densidade do material da haste. Se esta densidade e o módulo de Young forem constantes, então podemos inserir a quantidade através de e dividindo ambos os lados da equação por Sdx, finalmente consegui equação de vibrações longitudinais da haste na ausência de forças externas Esta equação tem a mesma forma que equação para vibrações transversais das cordas e os métodos de solução para isso são os mesmos, no entanto, o coeficiente um Essas equações representam quantidades diferentes. Na equação das cordas, a quantidade um 2 representa uma fração cujo numerador é a força de tensão constante da corda - T, e no denominador a densidade linear ρ
, e na equação das cordas os numeradores contêm o módulo de Young e o denominador – volumétrico densidade do material da haste ρ
. Por isso significado físico quantidades um nessas equações é diferente. Se para uma corda este coeficiente é a velocidade de propagação de um pequeno deslocamento transversal, então para uma haste é a velocidade de propagação de um pequeno estiramento ou compressão longitudinal e é chamado velocidade do som, pois é nessa velocidade que pequenas vibrações longitudinais, representando o som, se propagarão ao longo da haste. Para a equação (68) definimos condições iniciais, que determinam o deslocamento e a velocidade de deslocamento de qualquer seção da haste no momento inicial: Para uma haste limitada, as condições de fixação ou aplicação de força em suas extremidades são especificadas na forma de condições de contorno de 1º, 2º e 3º tipo. As condições de contorno do primeiro tipo especificam o deslocamento longitudinal nas extremidades da haste: Se as extremidades da haste estiverem fixas e imóveis, então nas condições (6) Nas condições de contorno do segundo tipo, as forças elásticas são especificadas nas extremidades da barra, resultantes da deformação de acordo com a lei de Hooke, dependendo do tempo. De acordo com a fórmula (66), essas forças, até um fator constante, são iguais à derivada você x, portanto, nas extremidades essas derivadas são especificadas como funções do tempo: Se uma extremidade da haste estiver livre, então nesta extremidade você x = 0. As condições de contorno do terceiro tipo podem ser representadas como condições sob as quais uma mola é fixada em cada extremidade da haste, cuja outra extremidade se move ao longo do eixo de acordo com uma determinada lei de tempo. θ
(t), como mostrado na Fig. 20. Estas condições podem ser escritas da seguinte forma Onde k 1 e k 2 – rigidez da mola. Se uma força externa também atua na barra ao longo do eixo p(x,t), calculado por unidade de volume, então em vez da equação (50) devemos escrever não equação homogênea Que, após dividir por, assume a forma Onde Comentário. Deve-se notar que tanto a corda quanto a haste são modelos de corpos reais, que na realidade podem apresentar tanto as propriedades da corda quanto da haste, dependendo das condições em que se encontram. Além disso, as equações resultantes não levam em consideração as forças de resistência ambientais e as forças de atrito interno, pelo que estas equações descrevem oscilações não amortecidas. Para levar em conta o efeito de amortecimento, no caso mais simples, é utilizada uma força dissipativa, proporcional à velocidade e direcionada na direção oposta ao movimento, ou seja, velocidade. Como resultado, a equação (73) assume a forma DEFINIÇÃO Onda longitudinal– trata-se de uma onda, durante a propagação da qual as partículas do meio são deslocadas na direção de propagação da onda (Fig. 1, a). A causa da onda longitudinal é compressão/extensão, ou seja, resistência do meio às mudanças em seu volume. Em líquidos ou gases, tal deformação é acompanhada por rarefação ou compactação das partículas do meio. As ondas longitudinais podem se propagar em qualquer meio - sólido, líquido e gasoso. Exemplos de ondas longitudinais são ondas em uma haste elástica ou ondas sonoras em gases. DEFINIÇÃO Onda transversal– trata-se de uma onda, durante a propagação da qual as partículas do meio são deslocadas na direção perpendicular à propagação da onda (Fig. 1, b). A causa da onda transversal é a deformação por cisalhamento de uma camada do meio em relação a outra. Quando uma onda transversal se propaga através de um meio, formam-se cristas e depressões. Líquidos e gases, diferentemente dos sólidos, não possuem elasticidade em relação ao cisalhamento das camadas, ou seja, não resista a mudar de forma. Portanto, as ondas transversais só podem se propagar em sólidos. Exemplos de ondas transversais são ondas que viajam ao longo de uma corda ou corda esticada. As ondas na superfície de um líquido não são longitudinais nem transversais. Se você jogar uma bóia na superfície da água, verá que ela se move, balançando nas ondas, em um padrão circular. Assim, uma onda na superfície de um líquido possui componentes transversais e longitudinais. Ondas de um tipo especial também podem aparecer na superfície de um líquido - as chamadas ondas de superfície. Eles surgem como resultado da ação e força da tensão superficial. EXEMPLO 1 Desenhemos a superfície da onda próxima ao flutuador após um determinado período de tempo, levando em consideração que durante esse tempo o flutuador afundou, pois estava direcionado para baixo naquele momento. Continuando a linha para a direita e para a esquerda, mostramos a posição da onda no tempo. Tendo comparado a posição da onda no momento inicial (linha contínua) e no momento (linha tracejada), concluímos que a onda se propaga para a esquerda. ISSN: 2310-7081 (on-line), 1991-8615 (impresso) doi: http://dx.doi UDC 517.956.3 PROBLEMA DE VIBRAÇÕES LONGITUDINAIS DE UMA HASTE CARREGADA ELASTICAMENTE FIXA AB Beilin Estado de Samara universidade técnica, Rússia, 443100, Samara, st. Molodogvardeyskaya, 244. Anotação São consideradas vibrações longitudinais unidimensionais de uma haste curta e espessa fixada nas extremidades por meio de massas concentradas e molas. Um problema de valor de contorno inicial com condições de contorno dinâmicas para uma equação hiperbólica de quarta ordem é usado como modelo matemático. A escolha deste modelo particular deve-se à necessidade de ter em conta os efeitos da deformação da barra na direcção transversal, cuja negligência, como mostrado por Rayleigh, conduz a um erro, o que é confirmado pelo moderno conceito não local de estudar vibrações de corpos sólidos. É provada a existência de um sistema de funções próprias do problema em estudo, ortogonais à carga e obtida a sua representação. As propriedades estabelecidas das autofunções permitiram aplicar o método de separação de variáveis e comprovar a existência de uma solução única para o problema proposto. Palavras-chave: condições de contorno dinâmicas, vibrações longitudinais, ortogonalidade com carga, modelo Rayleigh. Introdução. Em qualquer sistema mecânico em funcionamento, ocorrem processos oscilatórios, que podem ser gerados por diversos motivos. Processos oscilatórios podem ser uma consequência recursos de design sistemas ou redistribuição de cargas entre vários elementos de uma estrutura normalmente operacional. A presença de fontes de processos oscilatórios no mecanismo pode dificultar o diagnóstico do seu estado e até levar à perturbação do seu modo de funcionamento e, em alguns casos, à destruição. Vários problemas de precisão e desempenho sistemas mecânicos como resultado da vibração de alguns de seus elementos, na prática muitas vezes são resolvidos experimentalmente. Ao mesmo tempo, os processos oscilatórios podem ser muito úteis, por exemplo, para processamento de materiais, montagem e desmontagem de juntas. As vibrações ultrassônicas permitem não só intensificar os processos de corte (furação, fresagem, retificação, etc.) de materiais de alta dureza (aços contendo tungstênio, aços de carboneto de titânio, etc.), mas também © 2016 Universidade Técnica do Estado de Samara. Modelo de citação Beilin A. B. Problema de vibrações longitudinais de uma haste carregada fixada elasticamente // Vestn. Eu mesmo. estado tecnologia. un-ta. Ser. Física-matemática. Ciências, 2016. T. 20, No. 2. P. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. Informações do autor Alexander Borisovich Beilin (Ph.D., Professor Associado; [e-mail protegido]), professor associado, departamento. sistemas automatizados de máquinas e ferramentas. mas em alguns casos pode tornar-se o único método possível para processar materiais frágeis (germânio, silício, vidro, etc.). O elemento do dispositivo (guia de ondas) que transmite as vibrações ultrassônicas da fonte (vibrador) para a ferramenta é denominado concentrador e pode ter diferentes formatos: cilíndrico, cônico, escalonado, exponencial, etc. Sua finalidade é transmitir vibrações com a amplitude necessária ao instrumento. Assim, as consequências da ocorrência de processos oscilatórios podem ser diferentes, bem como os motivos que os provocam, pelo que surge naturalmente a necessidade de um estudo teórico dos processos oscilatórios. O modelo matemático de propagação de ondas em hastes sólidas relativamente longas e finas, baseado na equação de onda de segunda ordem, foi bem estudado e há muito se tornou um clássico. No entanto, como mostrado por Rayleigh, este modelo não corresponde totalmente ao estudo das vibrações de uma haste curta e grossa, enquanto muitos detalhes de mecanismos reais podem ser interpretados como hastes curtas e grossas. Neste caso, a deformação da haste no sentido transversal também deve ser levada em consideração. Um modelo matemático de vibrações longitudinais de uma haste curta e espessa, que leva em consideração os efeitos do movimento transversal da haste, é chamado de haste Rayleigh e é baseado em uma equação hiperbólica de quarta ordem. ^ ^- IX (a(x) e)- dx (b(x))=; (xL (1) cujos coeficientes têm um significado físico: d(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p (x), onde A(x) é a área da seção transversal, p(x) é a densidade de massa da haste, E(x) é o módulo de Young, V(x) é a razão de Poisson, 1P(x) é o momento polar de inércia , u(x,b) - deslocamentos longitudinais a serem determinados. As ideias de Rayleigh encontraram sua confirmação e desenvolvimento em obras contemporâneas dedicado aos processos de vibração, bem como à teoria da plasticidade. O artigo de revisão comprova as deficiências dos modelos clássicos que descrevem o estado e o comportamento de corpos sólidos sob carga, nos quais a priori o corpo é considerado um continuum ideal. O atual nível de desenvolvimento das ciências naturais exige a construção de novos modelos que descrevam adequadamente os processos em estudo, e os métodos matemáticos desenvolvidos nas últimas décadas proporcionam esta oportunidade. Ao longo deste caminho, no último quartel do século passado, surgiu uma nova abordagem ao estudo de muitos processos físicos, inclusive os mencionados acima, com base no conceito de não localidade (ver artigo e a lista de referências nele contida). Uma das classes de modelos não locais identificadas pelos autores é chamada de “fracamente não local”. Modelos matemáticos, pertencentes a esta classe, podem ser realizados introduzindo derivadas de ordem superior na equação que descreve um determinado processo, que permitem levar em conta, com alguma aproximação, a interação dos elementos internos do objeto de estudo. Assim, o modelo de Rayleigh ainda é relevante hoje. 1. Declaração do problema. Sejam as extremidades da haste x = 0, x = I fixadas a uma base fixa com a ajuda de massas concentradas L\, M2 e molas, cujas rigidezes são K\ e K2. Assumiremos que a haste é um corpo de rotação em torno do eixo 0x e no momento inicial está em repouso em uma posição de equilíbrio. Então chegamos ao seguinte problema de valor de contorno inicial. Tarefa. Encontre na área Qt = ((0,1) x (0, T) : 1,T< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным você(x, 0) = (p(x), você(x, 0) = φ(x) e condições de contorno a(0)ikh(0, r) + b(0)il(0, r) - k^(0, r) - M1ui(0, r) = 0, a(1)ih(1, r) + b(1)uxy(1, r) + K2u(1, r) + M2uy(1, r) = 0. () O artigo examina alguns casos especiais do problema (1)-(2) e dá exemplos em que os coeficientes da equação têm uma forma explícita e M\ = M2 = 0. O artigo prova a fraca solubilidade única do problema no geral caso. As condições (2) são determinadas pelo método de fixação da haste: suas extremidades são fixadas em bases fixas por meio de alguns dispositivos com massas M\, M2 e molas com rigidez K1, K2, respectivamente. A presença de massas e a consideração dos deslocamentos transversais levam a condições da forma (2), contendo derivadas em relação ao tempo. As condições de contorno que incluem derivadas de tempo são chamadas de dinâmicas. Podem surgir em diversas situações, sendo as mais simples descritas no livro didático e as muito mais complexas na monografia. 2. Estudo das vibrações naturais da haste. Consideremos uma equação homogênea correspondente à equação (1). Como os coeficientes dependem apenas de x, podemos separar as variáveis escrevendo u(x,r) = X(x)T(r). Obtemos duas equações: t""(g) + \2t(g) = 0, ((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3) A equação (3) é acompanhada por condições de contorno (a(0) - \2Ъ(0))Х"(0) - (К1 - \2М1)Х(0) = 0, (a(1) - \2Ъ(1))Х"(1) + (К2 - \2М2)Х(I) = 0. (4) Assim, chegamos ao problema de Sturm-Liouville, que difere do clássico porque o parâmetro espectral A está incluído no coeficiente da derivada mais alta da equação, bem como nas condições de contorno. Esta circunstância não nos permite fazer referência a resultados conhecidos da literatura, pelo que o nosso objetivo imediato é estudar o problema (3), (4). Para implementar com sucesso o método de separação de variáveis, precisamos de informações sobre a existência e localização de autovalores, sobre a qualidade qualitativa propriedades das funções próprias: elas têm a propriedade da ortogonalidade? Mostremos que A2 > 0. Suponhamos que não seja esse o caso. Seja X(x) a função própria do problema (3), (4), correspondente ao valor A = 0. Multiplique (3) por X(x) e integre a igualdade resultante no intervalo (0,1). Integrando por partes e aplicando condições de contorno (4), após transformações elementares nós conseguimos 1(0) - L2Ъ(0))(a(1) - L2Ъ(1)) I (dX2 + bX"2)yx+ N\X 2(0) + M2X 2(1) Eu machado"2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo Observe que pelo significado físico das funções a(x), b(x), d(x) são positivas, Kr, Mg são não negativas. Mas então da igualdade resultante segue-se que X"(x) = 0, X(0) = X(1) = 0, portanto, X(x) = 0, o que contradiz a suposição feita. Consequentemente, a suposição de que isso zero é o autovalor do problema (3), (4) está incorreto. A representação da solução da equação (3) depende do sinal da expressão a(x) - - A2b(x). Vamos mostrar que a(x) - A2b(x) > 0 Vx e (0,1). Vamos fixar x e (0,1) arbitrariamente e encontrar os valores das funções a(x), b(x), d(x) neste ponto. Vamos escrever a equação (3) na forma X"(x) + VX(x) = 0, (5) onde designamos no ponto fixo selecionado, e escrevemos as condições (4) na forma Х"(0) - аХ (0) = 0, Х"(1) + вХ (I) = 0, (6) onde a, b são fáceis de calcular. Como é sabido, o problema clássico de Sturm-Liouville (5), (6) tem um conjunto contável de autofunções para V > 0, do qual, como x é arbitrário, segue-se a desigualdade necessária. As autofunções do problema (3), (4) possuem a propriedade de ortogonalidade com a carga expressa pela relação Eu (dХт(х)Хп(х) + БХ"т(х)Х"п(х))<х+ ■)о M1Xt(0)Xn(0) + M2Xt(1)Xn (I) = 0, (7) que pode ser obtido de forma padronizada (ver, por exemplo), cuja implementação no caso do problema em consideração está associada a cálculos elementares mas meticulosos. Vamos apresentar brevemente sua derivação, omitindo o argumento das funções Xr(x) para evitar complicações. Sejam Am, An autovalores diferentes, Xm, Xn as autofunções correspondentes do problema (3), (4). Então ((a - L2tb)X"t)" + L2tdXt = 0, ((a - L2pb)X"p)" + L2pdXp = 0. Multipliquemos a primeira dessas equações por Xn, e a segunda por Xm, e subtraiamos a segunda da primeira. Após transformações elementares, obtemos a igualdade (Lt - Lp)YХtХп = (аХтХП)" - ЛП(БХтХ"п)" - (аХ"тХп)" + Лт(БХтХп)", que integramos no intervalo (0,1). Como resultado, levando em consideração (4) e reduzindo por (Lm - Ln), obtemos a relação (7). As afirmações comprovadas sobre as propriedades dos autovalores e autofunções do problema de Sturm-Liouville (3), (4) nos permitem utilizar o método de separação de variáveis para encontrar uma solução para o problema. 3. Solubilidade do problema. Vamos denotar C(ST) = (u: u e C(St) P C2(St), uikh e C^t)). Teorema 1. Seja a, b e C1, d e C. Então existe no máximo uma solução u e C^t) para o problema (1), (2). Prova. Suponhamos que existam duas soluções diferentes para o problema (1), (2), u1(x,z) e u2(x,z). Então, devido à linearidade do problema, sua diferença u = u1 - u2 é uma solução para o problema homogêneo correspondente a (1), (2). Mostremos que sua solução é trivial. Notemos primeiro que pelo significado físico dos coeficientes da equação e das condições de contorno, as funções a, b, d são positivas em todos os lugares em Qm, e M^, K^ são não negativas. Multiplicando a igualdade (1) por u e integrando na região Qt, onde t e e é arbitrário, após transformações simples obtemos / (di2(x,t) + ai2x(x,t) + biHl(x,t))yx+ ./o K1u2(0, t) + M1u2(0, t) + K2u2(1, t) + M2u2(1, t) = 0, do qual, devido à arbitrariedade de m, segue imediatamente a validade do teorema. □ Provaremos a existência de uma solução para o caso de coeficientes constantes. Teorema 2. Deixe<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, tem uma derivada contínua por partes de terceira ordem em (0,1), φ ε 1, φ(0) = φ(1) = 0 e tem uma derivada contínua por partes de segunda ordem em (0,1) , f e C(C^m), então uma solução para o problema (1), (2) existe e pode ser obtida como uma soma de uma série de autofunções. Prova. Como de costume, procuraremos uma solução para o problema na forma de uma soma onde o primeiro termo é a solução do problema colocado para uma equação homogênea correspondente a (1), o segundo é a solução da equação (1), satisfazendo as condições iniciais e de contorno zero. Utilizemos os resultados da pesquisa realizada no parágrafo anterior e escrevamos a solução geral da equação (3): X(x) = Cr cos A J-+ C2 sen Aw-^rrx. \¡a - A2b \¡ a - A2b Aplicando as condições de contorno (4), chegamos a um sistema de equações para Cj! (a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0, (-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+ Igualando seu determinante a zero, obtemos a equação espectral ctg= (a - A4)A2" - (K - A?Mí)(K2 - A"M). (8) b Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2)) Vamos descobrir se esta equação transcendental tem solução. Para fazer isso, considere as funções nos lados esquerdo e direito e examine seu comportamento. Sem limitar muito a generalidade, coloquemos Mi = M2 = M, Kg = K2 = K, o que simplificará um pouco os cálculos necessários. A equação (8) assume a forma x I q, Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l = a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b" Vamos denotar e escreva a equação espectral em nova notação! aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM) 2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql A análise das funções dos lados esquerdo e direito da última equação permite afirmar que existe um conjunto contável de suas raízes e, portanto, um conjunto contável de autofunções do problema de Sturm-Liouville (3), (4), que, tendo em conta a relação obtida do sistema em relação a c3, pode ser escrita v / l l I q K - x14h. eu eu q Xn(x) = COS XnJ-gutx + ----sin XnJ-gutX. V a - A2b AnVa - ftb^q V a - A2b Agora vamos encontrar uma solução que também satisfaça as condições iniciais. Agora podemos encontrar facilmente a solução do problema para uma equação homogênea na forma de uma série você(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x), cujos coeficientes podem ser encontrados a partir dos dados iniciais, utilizando a propriedade de ortogonalidade das funções Xn(x), cuja norma pode ser obtida a partir da relação (7): ||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Jo O processo de encontrar a função v(x,t) também é essencialmente padrão, mas ainda notamos que, procurando uma solução na forma tradicional v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x), obtemos duas equações. Com efeito, tendo em conta o tipo de autofunções, esclareçamos a estrutura da série sob a forma da qual procuramos uma solução: j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+ Wn(t) K-XnM~ sen X^HAarx). (9) v JXnVa - xnb^q V a - xn " Para satisfazer as condições iniciais zero y(x, 0) = y^x, 0) = 0, exigimos que Vn(0) = Vn(0) = 0, Wn(0) = W(0) = 0. Expandindo f( x,r) na série de Fourier em termos das autofunções Xn(x), encontramos os coeficientes ¡n(b) e dn(b). Substituindo (9) na equação (1), escrita em relação a y(x, b), após uma série de transformações obtemos equações para encontrar Yn(b) e Wn(b): yts® + >&pYu = ™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g Levando em consideração as condições iniciais Vn(0) = Y, (0) = 0, Wn(0) = W, (0) = 0, chegamos aos problemas de Cauchy para cada uma das funções Vn(b) e Wn( b), cuja solubilidade única é garantida pelas condições do teorema. As propriedades dos dados iniciais formulados no teorema não deixam dúvidas sobre a convergência de todas as séries que surgiram no decorrer da nossa pesquisa e, portanto, sobre a existência de uma solução para o problema proposto. □ Conclusão. É provada a existência de um sistema de funções próprias do problema em estudo, ortogonais à carga e obtida a sua representação. As propriedades estabelecidas das autofunções permitiram comprovar a existência de uma solução única para o problema proposto. Note-se que os resultados obtidos no artigo podem ser utilizados tanto para estudos teóricos adicionais de problemas com condições de contorno dinâmicas, como para fins práticos, nomeadamente para cálculo de vibrações longitudinais de uma vasta gama de objetos técnicos. Alexander Borisovich Beilin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 LISTA BIBLIOGRÁFICA 1. Nerubay M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Processamento e montagem mecânica ultrassônica. Samara: Editora de Livros Samara, 1995. 191 p. 2. Khmelev V.N., Barsukov R.V., Tsyganok S.N. Barnaul: Universidade Técnica de Altai em homenagem. Eu. eu. Polzunova, 1997. 120 p. 3. Kumabe D. Corte por vibração. M.: Engenharia Mecânica, 1985. 424 p. 4. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Equações da física matemática. M.: Nauka, 2004. 798 p. 5. Strett J. V. Teoria do som. T. 1. M.: GITTL, 1955. 504 p. 6. Rao J. S. Teoria Avançada de Vibração: Vibração Não Linear e Estruturas Unidimensionais. Nova York: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 pp. 7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Teoria das vibrações livres e forçadas de uma haste sólida baseada no modelo Rayleigh // DAN, 2007. T. 417, No. págs. 56-61. 8. Bazant Z., Jirasek M. Formulações integrais não locais de plasticidade e danos: Pesquisa de progresso // J. Eng. Mec., 2002. vol.128, não. 11. pp. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119). 9. Beilin A. B., Pulkina L. S. Problema de vibrações longitudinais de uma haste com condições de contorno dinâmicas // Vestn. SamSU. Ciências naturais ser., 2014. Nº 3(114). págs. 9-19. 10. Korpusov M. O. Destruição em equações de onda não clássicas. M.: URSS, 2010. 237 p. Recebido pelo editor em 10/II/2016; na versão final – 18/V/2016; aceito para publicação - 27/V/2016. Vest. Samara. Vai. Técnica. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki 2016, v. 20, não. 2, pp. 249-258 ISSN: 2310-7081 (on-line), 1991-8615 (impresso) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474 MSC: 35L35, 35Q74 UM PROBLEMA DE VIBRAÇÃO LONGITUDINAL DE UMA BARRA COM FIXAÇÃO ELÁSTICA Universidade Técnica do Estado de Samara, 244, rua Molodogvardeyskaya, Samara, 443100, Federação Russa. Neste artigo, estudamos a vibração longitudinal em uma barra curta e espessa fixada por forças pontuais e molas. Para o modelo matemático consideramos um problema de valor de contorno com condições de contorno dinâmicas para uma equação diferencial parcial de quarta ordem. A escolha deste modelo depende da necessidade de levar em conta o resultado de uma deformação transversal. Foi demonstrado por Rayleigh que negligenciar uma deformação transversal leva a um erro. Isto é confirmado pela moderna teoria não local de vibração. Provamos a existência de autofunções ortogonais com carga e derivamos a representação delas. As propriedades estabelecidas das autofunções tornam possível usar o método de separação de variáveis e encontrar uma solução única para o problema. Palavras-chave: condições de contorno dinâmicas, vibração longitudinal, ortogonalidade carregada, modelo de Rayleigh. Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860 1. Nerubai M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ul "trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka. Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 pp. (Em russo) 2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ul "trazvukovaia razmernaia obrabotka materialov. Barnaul, 1997, 120 pp. (Em russo) 3. Kumabe J. Corte por vibração. Tóquio, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (em japonês). 4. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki. Moscou, Nauka, 2004, 798 pp. (Em inglês) 5. Strutt JW A teoria do som, vol. 1. Londres, Macmillan and Co., 1945, xi+326 pp. 6. Rao J. S. Teoria Avançada de Vibração: Vibração Não Linear e Estruturas Unidimensionais. Nova York, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 pp. Beylin A.B. Um problema de vibração longitudinal de uma barra com fixação elástica, Vestn. Samara. Vai. Técnica. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2016, vol. 20, não. 2, pp. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (Em russo) Detalhes do autor: Alexander B. Beylin (Cand. Techn. Sci.; [e-mail protegido]), Professor Associado, Dep. de Máquinas-Ferramentas de Automação e Sistemas de Ferramentas. 7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Teoria das vibrações livres e forçadas de uma haste rígida baseada no modelo de Rayleigh, Dokl. Física, 2007, vol.52, não. 11, pp. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080. 8. Bazant Z., Jirasek M. Formulações Integrais Não Locais de Plasticidade e Danos: Pesquisa de Progresso, J. Eng. Mech., 2002, vol.128, não. 11, pp. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119). 9. Beylin A. B., Pulkina L. S. Um problema sobre vibrações longitudinais de uma haste com condições de contorno dinâmicas, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, não. 3(114), pp. 919 (em russo). 10. Korpusov M. O. Razrushenie v neklassicheskikh volnovykh uravneniiakh. Moscou, URSS, 2010, 237 pp. (Em inglês) Recebido em 10/II/2016; recebido em formulário revisado 18/V/2016;
(5.2)
,
, (67)
(68)
. Neste caso, como no problema de oscilação de uma corda presa, aplicamos o método de separação de variáveis.
, (72)
,
, (73)
. A equação (73) é a equação das vibrações longitudinais forçadas da haste, que é resolvida por analogia com a equação das vibrações forçadas da corda.
(74)Ondas transversais
Exemplos de resolução de problemas
Exercício
Determine a direção de propagação da onda transversal se o flutuador em algum momento tiver a direção de velocidade indicada na figura.
Solução
Vamos fazer um desenho. 