1. As coordenadas cilíndricas representam a conexão das coordenadas polares no plano xy com a aplicação cartesiana usual z (Fig. 3).

Seja M(x, y, z) um ponto arbitrário no espaço xyz, P seja a projeção do ponto M no plano xy. O ponto M é determinado exclusivamente por um triplo de números - coordenadas polares do ponto P, z - aplicado do ponto M. As fórmulas que os conectam com as cartesianas têm a forma

Mapeamento Jacobiano (8)

Exemplo 2.

Calcular integral

onde T é a área limitada pelas superfícies

Solução. Vamos passar da integral para coordenadas esféricas usando as fórmulas (9). Então o domínio de integração pode ser especificado pelas desigualdades

E isso significa

Exemplo 3 Encontre o volume do corpo limitado por:

x 2 +y 2 +z 2 =8,

Temos: x 2 +y 2 +z 2 =8 - esfera de raio R= v8 com centro no ponto O(000),

A parte superior do cone z 2 =x 2 +y 2 com o eixo de simetria Oz e o vértice no ponto O (Fig. 2.20).

Vamos encontrar a linha de intersecção da esfera e do cone:

E já que de acordo com a condição z? 0, então

Círculo R=2 situado no plano z=2.

Portanto, de acordo com (2.28)

onde a região U é limitada acima

(parte da esfera),

(parte de um cone);

a região U é projetada no plano Oxy na região D - um círculo de raio 2.

Portanto, é aconselhável passar às coordenadas cilíndricas na integral tripla usando as fórmulas (2.36):

Os limites de mudança em q, r são encontrados na área D v do círculo completo R = 2 com centro no ponto O, assim: 0 q? Assim, a região U em coordenadas cilíndricas é dada pelas seguintes desigualdades:

Observe que

Integrais triplas. Cálculo do volume corporal.
Integral tripla em coordenadas cilíndricas

Durante três dias o morto ficou no gabinete do reitor, vestido com as calças de Pitágoras,
Nas mãos de Fichtenholtz ele segurava um volume que o trouxera deste mundo,
Uma integral tripla foi amarrada às pernas e o cadáver foi envolto em uma matriz,
E em vez de orar, alguma pessoa atrevida leu o teorema de Bernoulli.

Integrais triplas são algo que você não precisa ter medo =) Porque se você está lendo este texto, então, provavelmente, você tem um bom entendimento de teoria e prática de integrais “comuns”, e também integrais duplas. E onde há um duplo, perto há um triplo:

E realmente, o que há para temer? A integral é menor, a integral é maior....

Vejamos a gravação:

– ícone triplo integral;
– integrando função de três variáveis;
– produto de diferenciais.
– área de integração.

Concentremo-nos especialmente áreas de integração. Se em integral dupla representa figura plana, então aqui - corpo espacial, que, como se sabe, é limitado pelo conjunto superfícies. Assim, além do acima exposto, você deve navegar principais superfícies do espaço e ser capaz de fazer desenhos tridimensionais simples.

Alguns estão deprimidos, eu entendo... Infelizmente, o artigo não pode ser intitulado “integrais triplas para manequins” e há algumas coisas que você precisa saber/ser capaz de fazer. Mas tudo bem - todo o material é apresentado de forma extremamente acessível e pode ser dominado no menor tempo possível!

O que significa calcular uma integral tripla e o que é par?

Para calcular a integral tripla significa encontre o NÚMERO:

No caso mais simples, quando a integral tripla é numericamente igual ao volume do corpo. E de fato, de acordo com significado geral de integração, o produto é igual infinitamente o volume de um “tijolo” elementar do corpo. E a integral tripla é apenas une tudo isso partículas infinitesimais sobre a área, resultando no valor integral (total) do volume do corpo: .

Além disso, a integral tripla tem importantes aplicações físicas. Mas falaremos mais sobre isso mais tarde - na 2ª parte da lição, dedicada a cálculos de integrais triplas arbitrárias, para o qual a função no caso geral é diferente de uma constante e é contínua na região. Neste artigo consideraremos detalhadamente o problema de encontrar o volume, que na minha opinião avaliação subjetiva ocorre 6 a 7 vezes mais frequentemente.

Como resolver uma integral tripla?

A resposta segue logicamente do parágrafo anterior. Precisa determinar ordem de passagem do corpo e vá para integrais iteradas. Em seguida, lide com três integrais simples sequencialmente.

Como você pode ver, toda a cozinha lembra muito, muito integrais duplas, com a diferença de que agora adicionamos uma dimensão adicional (grosso modo, altura). E, provavelmente, muitos de vocês já adivinharam como as integrais triplas são resolvidas.

Vamos dissipar quaisquer dúvidas remanescentes:

Exemplo 1

Por favor, escreva em uma coluna no papel:

E responda às seguintes perguntas. Você sabe quais superfícies definem essas equações? Você entende o significado informal dessas equações? Você pode imaginar como essas superfícies estão localizadas no espaço?

Se você está inclinado à resposta geral “mais não do que sim”, então certifique-se de trabalhar na lição, caso contrário você não progredirá mais!

Solução: usamos a fórmula.

Para descobrir ordem de passagem do corpo e vá para integrais iteradas você precisa (tudo que é engenhoso é simples) entender que tipo de corpo é esse. E em muitos casos, os desenhos contribuem muito para essa compreensão.

Pela condição, o corpo é limitado por várias superfícies. Por onde começar a construir? Sugiro o seguinte procedimento:

Primeiro vamos retratar paralelo ortogonal projeção do corpo no plano de coordenadas. Primeira vez eu falei como se chama essa projeção, haha ​​=)

Como a projeção é realizada ao longo do eixo, é aconselhável antes de tudo lidar com superfícies, que são paralelos a este eixo. Deixe-me lembrá-lo de que as equações de tais superfícies não contém a letra "z". Existem três deles no problema em consideração:

– a equação especifica o plano de coordenadas que passa pelo eixo;
– a equação especifica o plano de coordenadas que passa pelo eixo;
– os conjuntos de equações avião linha reta "plana" paralelo ao eixo.

Muito provavelmente, a projeção desejada é o seguinte triângulo:

Talvez nem todos tenham entendido completamente do que estávamos falando. Imagine que um eixo sai da tela do monitor e gruda diretamente na ponte do seu nariz ( aqueles. acontece que você está olhando para um desenho tridimensional de cima). O corpo espacial em estudo está localizado em um “corredor” triédrico sem fim e sua projeção em um plano provavelmente representa um triângulo sombreado.

Gostaria de chamar especial atenção para o facto de que, embora tenhamos manifestado apenas uma suposição de projeção e as cláusulas “mais provável” e “mais provável” não foram acidentais. O fato é que nem todas as superfícies foram analisadas ainda e pode acontecer que uma delas “corte” parte do triângulo. Como um exemplo claro, isso sugere esfera com centro na origem de raio menor que um, por exemplo, uma esfera – sua projeção no plano (círculo ) não “cobrirá” completamente a área sombreada e a projeção final do corpo não será um triângulo (o círculo irá “cortar” seus cantos agudos).

Na segunda etapa, descobrimos como o corpo é limitado por cima e por baixo e realizamos um desenho espacial. Voltemos à definição do problema e vejamos quais superfícies permanecem. A equação especifica o próprio plano de coordenadas, e a equação - cilindro parabólico, localizado sobre plano e passando pelo eixo. Assim, a projeção do corpo é verdadeiramente um triângulo.

Aliás, encontrei aqui redundância condições - não foi necessário incluir a equação do plano, pois a superfície, tocando o eixo das abcissas, já fecha o corpo. É interessante notar que neste caso não conseguiríamos desenhar imediatamente a projeção – o triângulo só “desenharia” após analisar a equação.

Vamos representar cuidadosamente um fragmento de um cilindro parabólico:

Depois de completar os desenhos com a ordem de andar ao redor do corpo sem problemas!

Primeiro, determinamos a ordem de passagem da projeção (ao mesmo tempo, é MUITO MAIS CONVENIENTE navegar através de um desenho bidimensional). Está feito EXATAMENTE IGUAL, como em integrais duplas! Pense em um ponteiro laser escaneando uma área plana. Vamos escolher o primeiro método de bypass “tradicional”:

A seguir, pegamos uma lanterna mágica, olhamos o desenho tridimensional e estritamente de baixo para cima Iluminamos o paciente. Os raios entram no corpo através de um plano e saem pela superfície. Assim, a ordem de passagem do corpo é:

Vamos passar para integrais iteradas:

1) Você deve começar com a integral “zeta”. Nós usamos Fórmula de Newton-Leibniz:

Vamos substituir o resultado na integral do “jogo”:

O que aconteceu? Essencialmente, a solução foi reduzida a uma integral dupla, e precisamente à fórmula volume da viga cilíndrica! O que se segue é familiar:

2)

Preste atenção à técnica racional para resolver a 3ª integral.

Responder:

Os cálculos sempre podem ser escritos em “uma linha”:


Mas tenha cuidado com esse método - o ganho de velocidade acarreta perda de qualidade e, quanto mais complexo o exemplo, maior a chance de cometer um erro.

Vamos responder a uma pergunta importante:

É necessário fazer desenhos se as condições da tarefa não exigirem a sua implementação?

Você pode ir de quatro maneiras:

1) Desenhe a projeção e o próprio corpo. Esta é a opção mais vantajosa - se você tiver a oportunidade de fazer dois desenhos decentes, não tenha preguiça, faça os dois desenhos. Eu recomendo primeiro.

2) Desenhe apenas o corpo. Adequado quando o corpo tem uma projeção simples e óbvia. Assim, por exemplo, no exemplo desmontado, bastaria um desenho tridimensional. No entanto, há também um ponto negativo - é inconveniente determinar a ordem de passagem da projeção a partir de uma imagem 3D, e eu recomendaria esse método apenas para pessoas com um bom nível de treinamento.

3) Desenhe apenas a projeção. Isso também não é ruim, mas são necessários comentários adicionais por escrito, o que limita a área de vários lados. Infelizmente, a terceira opção é muitas vezes forçada - quando o corpo é muito grande ou sua construção está repleta de outras dificuldades. E também consideraremos esses exemplos.

4) Faça sem desenhos. Neste caso, você precisa imaginar o corpo mentalmente e comentar sua forma/localização por escrito. Adequado para corpos muito simples ou tarefas onde a execução de ambos os desenhos é difícil. Mas ainda é melhor fazer pelo menos um desenho esquemático, pois uma solução “nua” pode ser rejeitada.

O seguinte órgão é para trabalho independente:

Exemplo 2

Usando uma integral tripla, calcule o volume de um corpo limitado por superfícies

EM nesse caso o domínio da integração é definido principalmente pelas desigualdades, e isto é ainda melhor - muitas desigualdades define o primeiro octante, incluindo planos coordenados, e a desigualdade - meio espaço, contendo a origem (verificar)+ o próprio avião. O plano “vertical” corta o parabolóide ao longo da parábola, sendo aconselhável construir esta seção no desenho. Para fazer isso, você precisa encontrar um ponto de referência adicional, a maneira mais fácil é o vértice da parábola (consideramos os valores e calcule o “zet” correspondente).

Vamos continuar o aquecimento:

Exemplo 3

Usando uma integral tripla, calcule o volume do corpo limitado pelas superfícies indicadas. Execute o desenho.

Solução: A expressão “executar um desenho” nos dá alguma liberdade, mas muito provavelmente implica a execução de um desenho espacial. No entanto, a projeção também não fará mal, principalmente porque aqui não é das mais simples.

Mantemos as táticas comprovadas anteriormente - primeiro lidaremos com superfícies, que são paralelos ao eixo do aplicativo. As equações de tais superfícies não contêm explicitamente a variável “ze”:

– a equação especifica o plano de coordenadas que passa pelo eixo ( que no plano é determinado pela equação “de mesmo nome”);
– os conjuntos de equações avião, passando pelo “epônimo” linha reta "plana" paralelo ao eixo.

O corpo desejado é limitado por um plano abaixo e cilindro parabólico acima:

Vamos criar uma ordem de travessia do corpo, enquanto os limites de integração “X” e “Y”, lembro, é mais conveniente descobrir usando um desenho bidimensional:

Por isso:

1)

Ao integrar sobre “y”, “x” é considerado uma constante, por isso é aconselhável retirar imediatamente a constante do sinal de integral.

3)

Responder:

Sim, quase esqueci, na maioria dos casos é de pouca utilidade (e até prejudicial) verificar o resultado obtido com um desenho tridimensional, pois com grande probabilidade ilusão de volume, sobre o qual falei na aula Volume de um corpo de revolução. Assim, avaliando o corpo do problema considerado, pareceu-me pessoalmente que tinha muito mais que 4 “cubos”.

O exemplo a seguir é para decisão independente:

Exemplo 4

Usando uma integral tripla, calcule o volume do corpo limitado pelas superfícies indicadas. Faça desenhos deste corpo e sua projeção em um plano.

Um exemplo aproximado de tarefa no final da lição.

Não é incomum quando a execução de um desenho tridimensional é difícil:

Exemplo 5

Usando uma integral tripla, encontre o volume de um corpo dado por suas superfícies delimitadoras

Solução: a projeção aqui não é complicada, mas é preciso pensar na ordem de percorrê-la. Se você escolher o 1º método, então o valor terá que ser dividido em 2 partes, o que ameaça seriamente o cálculo da soma dois integrais triplas. A este respeito, o segundo caminho parece muito mais promissor. Vamos expressar e retratar a projeção deste corpo no desenho:

Peço desculpas pela qualidade de algumas fotos, cortei-as diretamente de meus próprios manuscritos.

Escolhemos uma ordem mais vantajosa de percorrer a figura:

Agora é com o corpo. De baixo é limitado pelo plano, de cima - pelo plano que passa pelo eixo das ordenadas. E tudo ficaria bem, mas o último plano é muito íngreme e construir a área não é tão fácil. A escolha aqui é nada invejável: ou uma joalheria trabalha em pequena escala (já que o corpo é bem magro), ou um desenho de cerca de 20 centímetros de altura (e mesmo assim, se couber).

Mas existe um terceiro método nativo russo para resolver o problema - pontuar =) E em vez de um desenho tridimensional, contente-se com uma descrição verbal: “Este corpo é limitado por cilindros e um avião de lado, um avião de baixo e um avião de cima.”

Os limites “verticais” de integração são obviamente:

Vamos calcular o volume do corpo, não esquecendo que contornamos a projeção de uma forma menos comum:

1)

Responder:

Como você notou, os corpos propostos em problemas que não custam mais do que cem dólares são frequentemente limitados pelo plano abaixo. Mas isso não é uma regra, então você precisa estar sempre atento - você pode se deparar com uma tarefa onde o corpo está localizado e sob plano Assim, por exemplo, se no problema analisado considerarmos o plano, então o corpo examinado será mapeado simetricamente no semi-espaço inferior e será limitado pelo plano de baixo e pelo plano de cima!

É fácil ver que você obtém o mesmo resultado:

(lembre-se que o corpo precisa ser percorrido estritamente de baixo para cima!)

Além disso, o plano “favorito” não pode ser usado de forma alguma, o exemplo mais simples: uma bola localizada acima do plano - ao calcular seu volume, não será necessária nenhuma equação.

Consideraremos todos esses casos, mas por enquanto existe uma tarefa semelhante para você resolver sozinho:

Exemplo 6

Usando a integral tripla, encontre o volume de um corpo limitado por superfícies

Uma breve solução e resposta no final da lição.

Vamos para o segundo parágrafo com materiais igualmente populares:

Integral tripla em coordenadas cilíndricas

As coordenadas cilíndricas são, em essência, coordenadas polares no espaço.
EM sistema cilíndrico coordenadas, a posição de um ponto no espaço é determinada pelas coordenadas polares do ponto - a projeção do ponto no plano e a aplicação do próprio ponto.

A transição de um sistema cartesiano tridimensional para um sistema de coordenadas cilíndricas é realizada de acordo com as seguintes fórmulas:

Em relação ao nosso tema, a transformação fica assim:

E, consequentemente, no caso simplificado que estamos considerando neste artigo:

O principal é não esquecer o multiplicador “er” adicional e colocá-lo corretamente limites polares de integração ao atravessar a projeção:

Exemplo 7

Solução: aderimos ao mesmo procedimento: em primeiro lugar, consideramos equações nas quais a variável “ze” está ausente. Há apenas um aqui. Projeção superfície cilíndrica no avião representa o “epônimo” círculo .

Aviões eles limitam o corpo desejado por baixo e por cima (“cortam-no” do cilindro) e o projetam em um círculo:

O próximo é um desenho tridimensional. A principal dificuldade reside na construção de um plano que intersecte o cilindro num ângulo “oblíquo”, resultando em elipse. Vamos esclarecer esta seção analiticamente: para isso, reescrevemos a equação do plano em forma funcional e calcule os valores da função (“altura”) nos pontos óbvios que ficam no limite da projeção:

Marcamos os pontos encontrados no desenho e cuidadosamente (não gosto de mim =)) conecte-os com uma linha:

A projeção de um corpo em um plano é um círculo, e este é um forte argumento a favor da mudança para um sistema de coordenadas cilíndrico:

Vamos encontrar as equações de superfícies em coordenadas cilíndricas:

Agora você precisa descobrir a ordem de passagem do corpo.

Primeiro, vamos lidar com a projeção. Como determinar sua ordem de passagem? EXATAMENTE O MESMO QUE COM calculando integrais duplas em coordenadas polares. Aqui é elementar:

Os limites “verticais” de integração também são óbvios - entramos no corpo pelo plano e saímos dele pelo plano:

Vamos passar para integrais iteradas:

Neste caso, colocamos imediatamente o fator “er” na “nossa” integral.

Como sempre, uma vassoura é mais fácil de quebrar nos galhos:

1)

Colocamos o resultado na seguinte integral:

E aqui não esquecemos que “phi” é considerado uma constante. Mas isso é por enquanto:

Responder:

Uma tarefa semelhante para você resolver sozinho:

Exemplo 8

Calcule o volume de um corpo limitado por superfícies usando uma integral tripla. Faça desenhos deste corpo e sua projeção em um plano.

Uma amostra aproximada do desenho final no final da aula.

Observe que nas condições do problema nem uma palavra é dita sobre a transição para um sistema de coordenadas cilíndricas, e uma pessoa ignorante terá dificuldade com integrais difíceis em Coordenadas cartesianas. ...Ou talvez não - afinal, existe uma terceira maneira russa original de resolver problemas =)

Tudo está apenas começando! ...no bom sentido: =)

Exemplo 9

Usando a integral tripla, encontre o volume de um corpo limitado por superfícies

Modesto e de bom gosto.

Solução: este corpo é limitado superfície cônica E parabolóide elíptico. Leitores que leram atentamente os materiais do artigo Superfícies básicas do espaço, já imaginei como é o corpo, mas na prática muitas vezes há casos mais complexos, por isso farei um raciocínio analítico detalhado.

Primeiro, vamos encontrar as linhas ao longo das quais as superfícies se cruzam. Vamos compor e resolver o seguinte sistema:

Da 1ª equação subtraímos o segundo termo por termo:

O resultado são duas raízes:

Vamos substituir o valor encontrado em qualquer equação do sistema:
, do qual se segue que
Assim, a raiz corresponde a um único ponto – a origem. Naturalmente, porque os vértices das superfícies em consideração coincidem.

Agora vamos substituir a segunda raiz – também em qualquer equação do sistema:

Qual é o significado geométrico do resultado obtido? “Em altura” (no plano) o parabolóide e o cone se cruzam ao longo círculo– raio unitário com centro no ponto .

Neste caso, a “tigela” do parabolóide contém o “funil” do cone, portanto formando A superfície cônica deve ser desenhada com uma linha pontilhada (exceto o segmento da geratriz mais distante de nós, que é visível deste ângulo):

A projeção de um corpo em um plano é círculo com centro na origem do raio 1, que nem me preocupei em retratar devido à obviedade desse fato (no entanto, fornecemos um comentário por escrito!). Aliás, nos dois problemas anteriores, o desenho da projeção também poderia ser pontuado, se não fosse pela condição.

Ao passar para coordenadas cilíndricas usando fórmulas padrão, a desigualdade é escrita em sua forma mais simples e não há problemas com a ordem de passagem da projeção:

Vamos encontrar as equações das superfícies em um sistema de coordenadas cilíndricas:

Como o problema considera a parte superior do cone, expressamos a partir da equação:

“Escaneamos o corpo” de baixo para cima. Raios de luz entram através dele parabolóide elíptico e sai pela superfície cônica. Assim, a ordem “vertical” de percorrer o corpo é:

O resto é uma questão de técnica:

Responder:

Não é incomum que um corpo seja definido não pelas suas superfícies limitantes, mas por um conjunto de desigualdades:

Exemplo 10

Significado geométrico Expliquei as desigualdades espaciais com detalhes suficientes no mesmo artigo de referência - Superfícies básicas do espaço e sua construção.

Embora esta tarefa contenha um parâmetro, ela permite a execução de um desenho preciso que reflete a aparência básica do corpo. Pense em como construir. Uma breve solução e resposta estão no final da lição.

... bem, mais algumas tarefas? Estava pensando em terminar a aula, mas sinto que você quer mais =)

Exemplo 11

Usando uma integral tripla, calcule o volume de um determinado corpo:
, onde é um número positivo arbitrário.

Solução: desigualdade define uma bola com centro na origem do raio , e a desigualdade – o “interior” de um cilindro circular com eixo de simetria de raio . Assim, o corpo desejado é limitado por um cilindro circular nas laterais e segmentos esféricos simétricos em relação ao plano na parte superior e inferior.

Tomando isso como unidade básica de medida, vamos desenhar:

Mais precisamente, deveria ser chamado de desenho, já que não mantive muito bem as proporções ao longo do eixo. No entanto, para ser justo, a condição não exigia desenho algum, e tal ilustração acabou sendo suficiente.

Observe que aqui não é necessário descobrir a altura em que o cilindro corta as “tampas” da bola - se você pegar uma bússola e usá-la para marcar um círculo com centro na origem do raio 2 cm, então os pontos de intersecção com o cilindro aparecerão sozinhos.

Baixe em Depositfiles

Integral triplo.

Perguntas de teste.

Integral tripla, suas propriedades.

Mudança de variáveis ​​em uma integral tripla. Cálculo da integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Cálculo da integral tripla em coordenadas esféricas.

Deixe a função você= f(x,y,z) definido em uma região fechada limitada V espaço R 3. Vamos dividir a área V aleatoriamente em náreas fechadas elementares V 1 , … ,V n, tendo volumes  V 1 , …,  V n respectivamente. Vamos denotar d– o maior dos diâmetros das áreas V 1 , … ,V n. Em todas as áreas V k escolha um ponto arbitrário P k (x k , sim k ,z k) e compõem soma integral funções f(x, sim,z)

S =

Definição.Integral triplo da função f(x, sim,z) por região V chamado de limite da soma integral
, se existir.

Por isso,

(1)

Comentário. Soma cumulativa S depende de como a área está dividida V e selecionando pontos P k (k=1, …, n). Porém, se existe um limite, então não depende da forma como a região está dividida V e selecionando pontos P k. Se compararmos as definições de integrais duplas e triplas, é fácil ver nelas uma analogia completa.

Uma condição suficiente para a existência de uma integral tripla. Integral tripla (13) existe se a função f(x, sim,z) limitado em V e é contínuo em V, com exceção de um número finito de superfícies lisas por partes localizadas em V.

Algumas propriedades da integral tripla.

1) Se COMé uma constante numérica, então

3) Aditividade sobre a área. Se a área V dividido em áreas V 1 E V 2, então

4) Volume corporal Vé igual

(2 )

Cálculo da integral tripla em coordenadas cartesianas.

Deixar D projeção corporal V para o avião xOi, superfícies z=φ 1 (x,sim),z=φ 2 (x, sim) limitar o corpo V abaixo e acima respectivamente.

V = {(x, sim, z): (x, sim)D , φ 1 (x,sim)Isso significa que 2 (x,sim)}.

≤ z ≤ φ z Vamos chamar esse corpo z-cilíndrico. Integral tripla (1) acima V-corpo cilíndrico

(3 )

é calculado passando para uma integral iterada que consiste em uma integral dupla e uma integral definida: z Nesta integral iterada, a integral definida interna sobre a variável é avaliada primeiro x, sim, enquanto D.

são considerados permanentes. Então a integral dupla da função resultante sobre a área é calculada V Se x- cilíndrico ou você-

corpo cilíndrico, então as seguintes fórmulas estão corretas: D  Na primeira fórmula V projeção corporal para o plano coordenado yOz , e no segundo - para o avião

xOz Exemplos. V 1) Calcule o volume do corpo z = 0, x 2 + sim 2 = 4, z = x 2 + sim 2 .

, limitado por superfícies

Solução. Vamos calcular o volume usando a integral tripla de acordo com a fórmula (2)

Deixar D Vamos passar para a integral repetida usando a fórmula (3). x 2 - círculo 2 ≤ 4, φ 1 (x , sim ) = 0, φ 2 (x , sim )= + você 2 - círculo x

2. Então, usando a fórmula (3), obtemos D Para calcular esta integral, vamos passar para as coordenadas polares. Ao mesmo tempo o círculo

D se transforma em um conjunto = { (se transforma em um conjunto , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ se transforma em um conjunto ≤ 2} .

R V 2) Corpo limitado a superfícies , z = y , z= –y 0 , x = 2, x = e =

Aviões 1. Calcule , z = y z = –y z= –y 0 , x = limitar o corpo por baixo e por cima, respectivamente, dos planos x = 2 limitam o corpo por trás e pela frente, respectivamente, e o plano 1 limites à direita.V- z- D corpo cilíndrico, sua projeção para o avião xOi é um retângulo OABC φ 1 (x , sim ) = . Vamos colocar

–você
Vamos ter dois sistemas de coordenadas retangulares no espaço e

(1)

, e um sistema de funções
que estabelecem uma correspondência um a um entre pontos em algumas áreas
E
nestes sistemas de coordenadas. Suponhamos que as funções do sistema (1) tenham

,

derivadas parciais contínuas. O determinante composto por essas derivadas parciais
é chamado de Jacobiano (ou determinante de Jacobi) do sistema de funções (1). Vamos assumir que
.

V

Sob as suposições feitas acima, a seguinte fórmula geral para alterar variáveis ​​em uma integral tripla é válida: integral dupla, singularidade mútua do sistema (1) e condição
podem ser violadas em pontos individuais, em linhas individuais e em superfícies individuais.

Sistema de funções (1) para cada ponto
corresponde a um único ponto
. Esses três números
são chamadas de coordenadas curvilíneas de um ponto . Pontos do espaço
, para os quais uma dessas coordenadas mantém um valor constante, formam os chamados. superfície coordenada.

II Integral tripla em coordenadas cilíndricas

O sistema de coordenadas cilíndricas (CSS) é determinado pelo plano
, no qual um sistema de coordenadas polares é especificado e o eixo
, perpendicular a este plano. Coordenadas cilíndricas de um ponto
, Onde
– coordenadas polares do ponto – projeções t copos para o avião
, Um – estas são as coordenadas da projeção do ponto por eixo
ou
.

No avião
inserimos coordenadas cartesianas da maneira usual, direcionamos o eixo aplicado ao longo do eixo
CSK. Agora não é difícil obter fórmulas conectando coordenadas cilíndricas com cartesianas:

(3)

Essas fórmulas mapeiam a área para todo o espaço
.

As superfícies coordenadas no caso em consideração serão:

1)
– superfícies cilíndricas com geratrizes paralelas ao eixo
, cujas guias são círculos no plano
, centrado no ponto ;

2)

;

3)
– planos paralelos ao plano
.

Jacobiano do sistema (3):

.

A fórmula geral no caso do CSK assume a forma:

Nota 1 . A transição para coordenadas cilíndricas é recomendada no caso em que a área de integração é um cilindro ou cone circular, ou um parabolóide de revolução (ou partes dele), e o eixo deste corpo coincide com o eixo do aplicado
.

Nota 2. As coordenadas cilíndricas podem ser generalizadas da mesma forma que as coordenadas polares em um plano.

Exemplo 1. Calcule a integral tripla de uma função

por região
, representando a parte interna do cilindro
, delimitado por um cone
e parabolóide
.

Solução. Já consideramos esta área no §2, exemplo 6, e obtivemos uma entrada padrão no DPSC. Contudo, calcular a integral nesta região é difícil. Vamos para o CSK:

.

Projeção
corpo
para o avião
- é um círculo
. Portanto, a coordenada varia de 0 a
, Um – de 0 a R. Através de um ponto arbitrário
desenhe uma linha reta paralela ao eixo
. A linha reta entrará
em um cone, mas sairá em um parabolóide. Mas o cone
tem a equação no CSC
, e o parabolóide
– equação
.

Então nós temos

III Integral tripla em coordenadas esféricas
O sistema de coordenadas esféricas (SCS) é determinado pelo plano
, no qual o UCS é especificado, e o eixo
.

, perpendicular ao plano Coordenadas esféricas de um ponto
, Onde o espaço é chamado de triplo de números
,– ângulo polar de projeção de um ponto em um plano
e vetor
que estabelecem uma correspondência um a um entre pontos em algumas áreas
.

No avião
vamos apresentar os eixos de coordenadas cartesianas
que estabelecem uma correspondência um a um entre pontos em algumas áreas
da maneira usual, e o eixo aplicado é compatível com o eixo
. As fórmulas que conectam as coordenadas esféricas às cartesianas são as seguintes:

(4)

Essas fórmulas mapeiam a área para todo o espaço
.

Jacobiano do sistema de funções (4):

.

Existem três famílias de superfícies coordenadas:

1)
– esferas concêntricas com centro na origem;

2)
– semiplanos passando pelo eixo
;

3)
– cones circulares com um vértice na origem das coordenadas, cujo eixo é o eixo
.

Fórmula para transição para SSC em integral tripla:

Nota 3. A transição para o SCS é recomendada quando o domínio da integração é uma bola ou parte dela. Neste caso, a equação da esfera
entra. Tal como o CSK discutido anteriormente, o CSK está “amarrado” ao eixo
. Se o centro da esfera for deslocado por um raio ao longo do eixo de coordenadas, então obteremos a equação esférica mais simples quando deslocado ao longo do eixo
:

Nota 4. É possível generalizar o SSC:

com Jacobiano
. Este sistema de funções traduzirá o elipsóide

para "paralelepípedo"

Exemplo 2. Encontre a distância média dos pontos em uma bola de raio do seu centro.

Solução. Lembre-se de que o valor médio da função
na área
é a integral tripla de uma função sobre uma região dividida pelo volume da região. No nosso caso

Então nós temos

Seja dado um corpo material, que é uma região espacial P preenchida com massa. É necessário encontrar a massa m deste corpo, desde que em cada ponto P € P seja conhecida a densidade de distribuição de massa. Vamos dividir a área P em partes cúbicas não sobrepostas (ou seja, com volume) com volumes, respectivamente. Em cada uma das regiões parciais ft* escolhemos um ponto arbitrário P*. Suponhamos aproximadamente que dentro da região parcial ft* a densidade seja constante e igual a /*(P*). Então a massa Atk desta parte do corpo será expressa pela igualdade aproximada Atpk e a massa de todo o corpo será aproximadamente igual à Integral tripla Propriedades das integrais triplas Cálculo da integral tripla em coordenadas cartesianas Cálculo da integral tripla em coordenadas cilíndricas e esféricas Seja d o maior dos diâmetros das áreas parciais Se em d -* 0 a soma (1) tem um limite finito que não depende nem do método de particionamento do domínio ft em subdomínios parciais, nem do escolha dos pontos P* ∈ ft*, então este limite é tomado como a massa m de um determinado corpo Seja definida uma função limitada em um domínio cúbico fechado ft ft em n partes cúbicas não intersectadas e seus volumes são denotados por respectivamente. . Em cada sub-região parcial P* selecionamos arbitrariamente um ponto Pk(xk, yk, zk) e compomos uma soma integral Seja d o maior dos diâmetros das regiões parciais Definição. Se para d 0 as somas integrais a têm um limite que não depende nem do método de particionamento do domínio A em subdomínios parciais Π*, nem da escolha dos pontos Pk ∈ Π*, então esse limite é chamado de integral triádica de a função f(x) y, z) sobre o domínio Q e é denotada pelo símbolo Teorema 6. Se uma função f(x, y, z) é contínua em um domínio cúbico fechado Π, então ela é integrável neste domínio. Propriedades das integrais triplas As propriedades das integrais triplas são semelhantes às propriedades das integrais duplas. Sejam as funções integráveis ​​no domínio cúbico L. 1. Linearidade. Neste caso, diz-se que a função é integrável no domínio Q. Assim, por definição temos. Voltando ao problema de cálculo da massa de um corpo, notamos que o limite (2) é a integral tripla da função p( P) sobre o domínio P. Isso significa, aqui dx dy dz - elemento de volume dv coordenadas retangulares. onde a e (3 são constantes reais arbitrárias em todo o domínio P, então 3. Se /(P) = 1 no domínio P, então n onde V é o volume do domínio Q. Se a função /(P) é contínuo em um domínio cúbico fechado ft e M e t é o seu maior e menor valor em pés, então onde V é o volume da área em pés. 5. Aditividade. Se o domínio ft é dividido em domínios cúbicos sem pontos interiores comuns e f(P) é integrável no domínio ft, então f(P) é integrável em cada um dos domínios ft| e ft2, com 6. Teorema do valor médio. Teorema 7 (sobre o valor médio). Se a função f(P) é contínua em um domínio cúbico fechado ft, então existe uma tonelada Pc € ft tal que a fórmula é válida: onde V é o volume do domínio ft (lembre-se que o domínio é um conjunto conectado) . § 7. Cálculo de integral tripla em coordenadas cartesianas Tal como acontece com o cálculo de integrais duplas, a questão se resume ao cálculo de integrais repetidas. Suponhamos que a função seja contínua em algum domínio ft. 1º caso. A região ft é um paralelepípedo retangular projetado no plano yOz em um retângulo i2; Então obtemos. Substituindo a integral dupla pela repetida, obtemos finalmente. Assim, no caso em que a região P é um paralelepípedo retangular, reduzimos o cálculo da integral tripla ao cálculo sequencial de três integrais ordinárias. A fórmula (2) pode ser reescrita na forma em que o retângulo é a projeção ortogonal do paralelepípedo P no plano xOy. 2º caso. Consideremos agora uma área Q tal que a superfície 5 que a delimita intercepta qualquer linha reta paralela ao eixo Oz em não mais do que dois pontos ou ao longo de um segmento inteiro (Fig. 22). Seja z = tpi (x, y) a equação da região delimitadora da superfície 5 P vista de baixo, e seja a região delimitadora P da superfície S2 vista de cima tenha a equação z = y). Sejam ambas as superfícies S\ e S2 projetadas na mesma região do plano xOy. Vamos denotá-lo por D, e a curva que o limita por L. O resto da fronteira 5 do corpo Q fica em superfície cilíndrica com geradores, paralelo ao eixo Oz, e com a curva L como guia. Então, por analogia com a fórmula (3), obtemos Se a região D do plano xOy é um trapézio curvilíneo limitado por duas curvas, então a integral dupla na fórmula (4) pode ser reduzida a uma repetida, e finalmente obtemos Esta fórmula é uma generalização da fórmula (2). Exemplo Fig-23. Calcule o volume de um tetraedro limitado por planos. A projeção do tetraedro no plano xOy é um triângulo formado por linhas retas de modo que x varia de 0 a 6, e para um x fixo (0 ^ x ^ 6) y muda de. 0 a 3 - | (Fig. 23). Se xey forem fixos, então o ponto pode se mover verticalmente de plano para plano, mudando no intervalo de 0 a 6 - x - 2y. Usando a fórmula, obtemos §8. Cálculo da integral tripla em coordenadas cilíndricas e esféricas A questão da mudança de variáveis ​​na integral tripla é resolvida da mesma forma que no caso da integral dupla. Seja a função /(x, y, z) contínua em um domínio cúbico fechado ft, e seja as funções contínuas junto com suas derivadas parciais de primeira ordem em um domínio cúbico fechado ft*. Suponhamos que as funções (1) estabeleçam uma correspondência biunívoca entre todos os pontos rj, () do domínio ft*, por um lado, e todos os pontos (zh, y, z) do domínio ft, por o outro. Então a fórmula para alterar variáveis ​​​​em uma integral tripla é válida: onde está o Jacobiano do sistema de funções (1). Na prática, ao calcular integrais triplas, muitas vezes é usada a substituição de coordenadas retangulares por coordenadas cilíndricas e esféricas. 8.1. Integral tripla em coordenadas cilíndricas Em um sistema de coordenadas cilíndricas, a posição do ponto P no espaço é determinada por três números p, onde p e (p são as coordenadas polares da projeção P1 do ponto P no plano xOy, e z é o aplicado do ponto P (Fig. 24). Os números são chamados de pontos de coordenadas cilíndricas R. É claro que no sistema de coordenadas cilíndricas, as superfícies coordenadas da integral tripla Propriedades das integrais triplas Cálculo da integral tripla em coordenadas cartesianas Cálculo da integral tripla em coordenadas cilíndricas e esféricas são descritas respectivamente por: um cilindro circular, cujo eixo coincide com o eixo Oz, um semiplano adjacente ao eixo Oz e um plano paralelo ao plano xOy As coordenadas cilíndricas são. relacionado às seguintes fórmulas cartesianas (ver Fig. 24), mapeando o domínio ft no domínio, também temos a fórmula (2) para a transição da integral tripla em coordenadas retangulares para a integral in. coordenadas cilíndricas assumem a forma (4) A expressão é chamada de elemento de volume em coordenadas cilíndricas. Esta expressão para um elemento de volume também pode ser obtida a partir de considerações geométricas. Vamos dividir a região P em sub-regiões elementares por superfícies coordenadas e calcular os volumes dos prismas curvilíneos resultantes (Fig. 25). Pode-se ver que Rejeitando uma quantidade infinitesimal de ordem superior, obtemos Isso nos permite tomar a seguinte quantidade como um elemento de volume em coordenadas cilíndricas Exemplo 1. Encontre o volume de um corpo limitado por superfícies 4 Em coordenadas cilíndricas, dadas superfícies terá equações (ver fórmulas (3)). Essas superfícies se cruzam ao longo da linha r, que é descrita por um sistema de equações (cilindro), (plano), Fig. 26 e sua projeção no plano xOy pelo sistema. Assim, o volume necessário é calculado pela fórmula (4), em que. Integral tripla em coordenadas esféricas Em um sistema de coordenadas esféricas, a posição do ponto P(x, y, z) no espaço é determinada por três números, onde r é a distância da origem ao ponto, o ângulo entre o eixo do Boi e a projeção do vetor raio OR do ponto P no plano xOy, e c é o ângulo entre o eixo Oz e o vetor raio OR do ponto P, medido a partir do eixo Oz (Fig. 27). Está claro isso. Superfícies coordenadas neste sistema de coordenadas: r = const - esferas com centro na origem; ip = const semiplanos que emanam do eixo Oz; в = const - cones circulares com eixo Oz. Arroz. 27 Pela figura fica claro que as coordenadas esféricas e cartesianas estão relacionadas pelas seguintes relações. Calculemos o Jacobiano das funções (5). Temos Consequentemente, a fórmula (2) também assume a forma Elemento de volume em coordenadas esféricas - A expressão para o elemento de volume também pode ser obtida a partir de considerações geométricas. Consideremos uma região elementar do espaço, delimitada por esferas de raios r e r + dr, cones b e b + d$ e semiplanos. Aproximadamente esta região pode ser considerada um paralelepípedo retangular com dimensões. Então a Integral tripla Propriedades das integrais triplas Cálculo da integral tripla em coordenadas cartesianas Cálculo da integral tripla em coordenadas cilíndricas e esféricas Exemplo 2. Encontre o volume de um corpo convexo Q cortado de um cone por esferas concêntricas -4 Passamos para o sistema de coordenadas esféricas Das duas primeiras equações fica claro isso. A partir da terceira equação encontramos os limites do ângulo alterado 9: de onde