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Área de superfície da pirâmide. Neste artigo veremos problemas com pirâmides regulares. Deixe-me lembrá-lo que uma pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular, o topo da pirâmide é projetado no centro deste polígono.

A face lateral dessa pirâmide é um triângulo isósceles.A altura deste triângulo desenhado a partir do vértice pirâmide regular, chamado apótema, SF – apótema:

No tipo de problema apresentado a seguir, é necessário encontrar a área da superfície de toda a pirâmide ou a área de sua superfície lateral. O blog já discutiu vários problemas com pirâmides regulares, onde foi levantada a questão de encontrar elementos (altura, aresta da base, aresta lateral).

EM Tarefas do Exame Estadual Unificado Via de regra, são consideradas pirâmides triangulares, quadrangulares e hexagonais regulares. Não vi nenhum problema com pirâmides pentagonais e heptagonais regulares.

A fórmula para a área de toda a superfície é simples - você precisa encontrar a soma da área da base da pirâmide e a área de sua superfície lateral:

Vamos considerar as tarefas:

Os lados da base de uma pirâmide quadrangular regular são 72, as arestas laterais são 164. Encontre a área da superfície desta pirâmide.

A área da superfície da pirâmide é igual à soma das áreas da superfície lateral e da base:

*A superfície lateral consiste em quatro triângulos de áreas iguais. A base da pirâmide é um quadrado.

Podemos calcular a área do lado da pirâmide usando:

Assim, a área da superfície da pirâmide é:

Resposta: 28224

Os lados da base de uma pirâmide hexagonal regular são iguais a 22, as arestas laterais são iguais a 61. Encontre a área da superfície lateral desta pirâmide.

A base de uma pirâmide hexagonal regular é um hexágono regular.

A área da superfície lateral desta pirâmide consiste em seis áreas de triângulos iguais com lados 61,61 e 22:

Vamos encontrar a área do triângulo usando a fórmula de Heron:

Assim, a área da superfície lateral é:

Resposta: 3240

*Nos problemas apresentados acima, a área da face lateral poderia ser encontrada usando outra fórmula do triângulo, mas para isso é necessário calcular o apótema.

27155. Encontre a área da superfície de uma pirâmide quadrangular regular cujos lados da base são 6 e cuja altura é 4.

Para encontrar a área da superfície da pirâmide, precisamos conhecer a área da base e a área da superfície lateral:

A área da base é 36 pois é um quadrado de lado 6.

A superfície lateral consiste em quatro faces, que são triângulos iguais. Para encontrar a área desse triângulo, você precisa saber sua base e altura (apótema):

*A área de um triângulo é igual à metade do produto da base pela altura desenhada a esta base.

A base é conhecida, é igual a seis. Vamos encontrar a altura. Vamos considerar triângulo retângulo(está destacado em amarelo):

Uma perna é igual a 4, pois é a altura da pirâmide, a outra é igual a 3, pois é igual à metade da borda da base. Podemos encontrar a hipotenusa usando o teorema de Pitágoras:

Isso significa que a área da superfície lateral da pirâmide é:

Assim, a área da superfície de toda a pirâmide é:

Resposta: 96

27069. Os lados da base de uma pirâmide quadrangular regular são iguais a 10, as arestas laterais são iguais a 13. Encontre a área da superfície desta pirâmide.

27070. Os lados da base de uma pirâmide hexagonal regular são iguais a 10, as arestas laterais são iguais a 13. Encontre a área da superfície lateral desta pirâmide.

Existem também fórmulas para a área da superfície lateral de uma pirâmide regular. Numa pirâmide regular, a base é uma projeção ortogonal da superfície lateral, portanto:

P- perímetro de base, eu- apótema da pirâmide

*Esta fórmula é baseada na fórmula da área de um triângulo.

Se você quiser saber mais sobre como essas fórmulas são derivadas, não perca, acompanhe a publicação dos artigos.Isso é tudo. Boa sorte para você!

Atenciosamente, Alexander Krutitskikh.

P.S: Ficaria muito grato se você me falasse sobre o site nas redes sociais.

é uma figura cuja base é um polígono arbitrário e as faces laterais são representadas por triângulos. Seus vértices estão no mesmo ponto e correspondem ao topo da pirâmide.

A pirâmide pode ser variada - triangular, quadrangular, hexagonal, etc. Seu nome pode ser determinado dependendo do número de cantos adjacentes à base.
A pirâmide certa chamada de pirâmide na qual os lados da base, ângulos e arestas são iguais. Também nessa pirâmide a área das faces laterais será igual.
A fórmula para a área da superfície lateral de uma pirâmide é a soma das áreas de todas as suas faces:
Ou seja, para calcular a área da superfície lateral de uma pirâmide arbitrária, você precisa encontrar a área de cada triângulo individual e somá-los. Se a pirâmide for truncada, suas faces serão representadas por trapézios. Existe outra fórmula para uma pirâmide regular. Nele, a área da superfície lateral é calculada através do semiperímetro da base e do comprimento do apótema:

Consideremos um exemplo de cálculo da área da superfície lateral de uma pirâmide.
Seja dada uma pirâmide quadrangular regular. Lado da base b= 6 cm, apótema um= 8 cm. Encontre a área da superfície lateral.

Na base de uma pirâmide quadrangular regular há um quadrado. Primeiro, vamos encontrar seu perímetro:

Agora podemos calcular a área da superfície lateral da nossa pirâmide:

Para encontrar a área total de um poliedro, você precisará encontrar a área de sua base. A fórmula para a área da base de uma pirâmide pode diferir dependendo de qual polígono está na base. Para fazer isso, use a fórmula da área de um triângulo, área de um paralelogramo etc.

Considere um exemplo de cálculo da área da base de uma pirâmide dada pelas nossas condições. Como a pirâmide é regular, sua base possui um quadrado.
Área quadrada calculado pela fórmula: ,
onde a é o lado do quadrado. Para nós é 6 cm. Isso significa que a área da base da pirâmide é:

Agora só falta encontrar a área total do poliedro. A fórmula da área de uma pirâmide consiste na soma da área de sua base e da superfície lateral.

• Problema 1. Encontre a área total da superfície da pirâmide
• Problema 2. Encontre a área da superfície lateral de uma pirâmide triangular regular

Problema 1. Encontre a área total da superfície de uma pirâmide regular

Solução.

Na base de uma pirâmide triangular regular encontra-se um triângulo equilátero.
Portanto, para resolver o problema, usaremos as propriedades de um triângulo regular:

Conhecemos a altura do triângulo, de onde podemos determinar a sua área.
h = √3/2a
uma = h / (√3/2)
uma = 3 / (√3/2)
uma = 6 / √3

Daí a área da base será igual a:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Para encontrar a área da face lateral, calculamos a altura KM. De acordo com o problema, o ângulo OKM é de 45 graus.
Por isso:
OK / MK = cos 45
Vamos usar a tabela de valores das funções trigonométricas e substituir os valores conhecidos.

OK/MK = √2/2

Levemos em consideração que OK é igual ao raio do círculo inscrito. Então
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Então
OK/MK = √2/2
1/MK = √2/2
MC = 2/√2

A área da face lateral é então igual à metade do produto da altura pela base do triângulo.
Slado = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Assim, a área total da superfície da pirâmide será igual a
S = 3√3 + 3*6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Responder: 3√3 + 18/√6

Problema 2. Encontre a área da superfície lateral de uma pirâmide regular

Solução.

Como a base de uma pirâmide triangular regular é um triângulo equilátero, AO é o raio do círculo circunscrito à base.
(Isso segue de)

Encontramos o raio de um círculo circunscrito a um triângulo equilátero a partir de suas propriedades

Daí o comprimento das arestas de uma pirâmide triangular regular será igual a:
SOU 2 = MO 2 + AO 2
a altura da pirâmide é conhecida pela condição (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
SOU = √(556/3)

Cada lado da pirâmide é um triângulo isósceles. Quadrado triângulo isósceles encontramos a partir da primeira fórmula apresentada abaixo

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 metros quadrados ((556/3) - 64)
S = 8 metros quadrados (364/3)
S = 16 metros quadrados (91/3)

Como todas as três faces de uma pirâmide regular são iguais, a área da superfície lateral será igual a
3S = 48 √(91/3)

Responder: 48 √(91/3)

Problema 3. Encontre a área total da superfície de uma pirâmide regular

O lado de uma pirâmide triangular regular mede 3 cm e o ângulo entre a face lateral e a base da pirâmide é de 45 graus. Encontre a área total da superfície da pirâmide.

Solução.
Como a pirâmide é regular, existe um triângulo equilátero em sua base. Portanto a área da base é


Então = 9 * √3/4

Para encontrar a área da face lateral, calculamos a altura KM. De acordo com o problema, o ângulo OKM é de 45 graus.
Por isso:
OK / MK = cos 45
Vamos aproveitar

A área da superfície lateral de uma pirâmide regular é igual ao produto de seu apótema pela metade do perímetro da base.

Quanto à área total da superfície, simplesmente somamos a área da base à lateral.

A superfície lateral de uma pirâmide regular é igual ao produto do semiperímetro da base pelo apótema.

Prova:

Se o lado da base for a, o número de lados for n, então a superfície lateral da pirâmide é igual a:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

onde l é o apótema e p é o perímetro da base da pirâmide. O teorema foi provado.

Esta fórmula é assim:

A área da superfície lateral de uma pirâmide regular é igual à metade do produto do perímetro da base pelo apótema da pirâmide.

A área total da superfície da pirâmide é calculada pela fórmula:

S completo =S lado +S básico

Se a pirâmide for irregular, então sua superfície lateral será igual à soma das áreas de suas faces laterais.

Volume da pirâmide

Volume pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura.

Prova. Começaremos com um prisma triangular. Vamos desenhar um plano através do vértice A" da base superior do prisma e da aresta oposta BC da base inferior. Este plano cortará a pirâmide triangular A" ABC do prisma. Decomporemos a parte restante do prisma em corpos sólidos, traçando um plano através das diagonais A"C e B"C das faces laterais. Os dois corpos resultantes também são pirâmides. Considerando o triângulo A"B"C" como a base de um deles e C como seu vértice vemos que sua base e altura são iguais às da primeira pirâmide que cortamos portanto as pirâmides A"ABC e CA"B"C" são iguais em tamanho. Além disso, ambas as novas pirâmides CA"B"C" e A"B"BC também são iguais em tamanho - isso ficará claro se tomarmos os triângulos BBC" e B"CC " como suas bases. “Os sóis têm um vértice A comum”, e suas bases estão localizadas no mesmo plano e são iguais, portanto, as pirâmides são iguais em tamanho. Assim, o prisma é decomposto em três pirâmides de igual tamanho; o volume de cada um deles é igual a um terço do volume do prisma então, em geral, o volume de uma pirâmide n-gonal é igual a um terço do volume de um prisma com a mesma altura e o mesmo (. ou igual) recordando a fórmula que expressa o volume de um prisma, V=Sh, obtemos o resultado final: V=1/3Sh.