Calcule a integral de linha do ponto de conexão. Cálculo de integrais curvilíneas: teoria e exemplos. Encontramos a massa do arco usando a fórmula

Lar

Folha ondulada

Aula 5 Integrais curvilíneas de 1ª e 2ª espécie, suas propriedades.

Problema de massa curva. Integral curvilínea de 1ª espécie.

Problema de massa curva. Deixe em cada ponto de uma curva de material suave por partes L: (AB) sua densidade ser especificada. Determine a massa da curva.

Procedamos da mesma forma que fizemos na determinação da massa de uma região plana (integral dupla) e de um corpo espacial (integral tripla).

1. Organizamos a partição da região do arco L em elementos - arcos elementares para que esses elementos não tenham pontos internos comuns e( condição A )

3. Construa a soma integral , onde é o comprimento do arco (geralmente a mesma notação é introduzida para o arco e seu comprimento). Este é um valor aproximado para a massa da curva. A simplificação é que assumimos que a densidade do arco é constante em cada elemento e consideramos um número finito de elementos.

Movendo-se para o limite fornecido (condição B ), obtemos integral de linha do primeiro tipo como o limite de somas integrais:

Teorema da existência.

Deixe a função ser contínua em um arco suave por partes L. Então uma integral de linha do primeiro tipo existe como o limite das somas integrais.

Comentário. Este limite não depende

Propriedades de uma integral curvilínea de primeiro tipo.

1. Linearidade
a) propriedade de superposição

b) propriedade de homogeneidade .

Prova. Vamos anotar as somas integrais das integrais nos lados esquerdos das igualdades. Como a soma integral tem um número finito de termos, passamos para as somas integrais para os membros direitos das igualdades. Depois passamos ao limite, utilizando o teorema da passagem ao limite em igualdade, obtemos o resultado desejado.

2. Aditividade.
Se , Que = +

3. Aqui está o comprimento do arco.

4. Se a desigualdade for satisfeita no arco, então

Prova. Vamos escrever a desigualdade para as somas integrais e passar para o limite.

Observe que, em particular, é possível

5. Teorema de estimativa.

Se existem constantes isso, então

Prova. Integrando a desigualdade (propriedade 4), obtemos . Pela propriedade 1, as constantes podem ser retiradas das integrais. Usando a propriedade 3, obtemos o resultado desejado.

6. Teorema do valor médio(o valor da integral).

Há um ponto , O que

Prova. Como a função é contínua em um conjunto fechado e limitado, então seu ínfimo existe e borda superior . A desigualdade é satisfeita. Dividindo ambos os lados por L, obtemos . Mas o número delimitado entre os limites inferior e superior da função. Como a função é contínua em um conjunto fechado e limitado L, então em algum ponto a função deve assumir esse valor. Por isso, .

Cálculo de uma integral curvilínea de primeiro tipo.

Vamos parametrizar o arco L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Deixe t 0 corresponder ao ponto A, e t 1 corresponder ao ponto B. Então a integral de linha do primeiro tipo é reduzida a uma integral definida ( - fórmula conhecida desde o 1º semestre para cálculo do diferencial do comprimento do arco):

Exemplo. Calcule a massa de uma volta de uma hélice homogênea (densidade igual a k): .

Integral curvilínea de 2ª espécie.

O problema do trabalho da força.

Quanto trabalho a força produz?F(M) ao mover um pontoMao longo de um arcoAB?

Se o arco AB fosse um segmento de linha reta e a força fosse constante em magnitude e direção ao mover o ponto M ao longo do arco AB, então o trabalho poderia ser calculado usando a fórmula , onde é o ângulo entre os vetores. No caso geral, esta fórmula pode ser usada para construir uma soma integral, assumindo uma força constante sobre um elemento de um arco de comprimento suficientemente pequeno. Em vez do comprimento do pequeno elemento do arco, pode-se tomar o comprimento da corda que o contrai, pois essas grandezas são quantidades infinitesimais equivalentes na condição (primeiro semestre).

1. Organizamos a divisão do arco-região AB em elementos - arcos elementares para que esses elementos não tenham pontos internos comuns e( condição A )

2. Vamos marcar os “pontos marcados” M i nos elementos da partição e calcular os valores da função neles

3. Vamos construir a soma integral , onde está o vetor direcionado ao longo da corda que subentende o -arc .

4. Indo até o limite previsto (condição B ), obtemos uma integral curvilínea de segundo tipo como o limite das somas integrais (e do trabalho da força):

. Muitas vezes denotado

Teorema da existência.

Seja a função vetorial contínua em um arco suave por partes L. Então existe uma integral curvilínea de segundo tipo como o limite das somas integrais.

Comentário. Este limite não depende

Método para escolher uma partição, desde que a condição A seja satisfeita

Selecionando “pontos marcados” nos elementos da partição,

Um método para refinar a partição, desde que a condição B seja satisfeita

Propriedades de uma integral curvilínea de 2ª espécie.

1. Linearidade
a) propriedade de superposição

b) propriedade de homogeneidade .

Prova. Vamos anotar as somas integrais das integrais nos lados esquerdos das igualdades. Como o número de termos em uma soma integral é finito, usando a propriedade do produto escalar, passamos para somas integrais para os lados direitos das igualdades. Depois passamos ao limite, utilizando o teorema da passagem ao limite em igualdade, obtemos o resultado desejado.

2. Aditividade.
Se , Que = + .

Prova. Vamos escolher uma partição da região L de modo que nenhum dos elementos da partição (inicialmente e ao refinar a partição) contenha simultaneamente os elementos L 1 e os elementos L 2 . Isso pode ser feito usando o teorema da existência (observação ao teorema). A seguir, a prova é realizada através de somas integrais, como no parágrafo 1.

3. Orientabilidade.

= -

Prova. Integral sobre o arco –L, ou seja, na direção negativa de percorrer o arco, há um limite de somas integrais em cujos termos existe (). Tirando o “menos” do produto escalar e da soma de um número finito de termos e passando ao limite, obtemos o resultado requerido.

Uma integral curvilínea de 2º tipo é calculada da mesma forma que uma integral curvilínea de 1º tipo por redução ao definido. Para isso, todas as variáveis sob o sinal integral são expressas através de uma variável, utilizando a equação da reta ao longo da qual a integração é realizada.

a) Se a linha ABé dado por um sistema de equações então

(10.3)

Para o caso plano, quando a curva é dada pela equação a integral curvilínea é calculada usando a fórmula: . (10.4)

Se a linha ABé dado por equações paramétricas então

(10.5)

Para um caso plano, se a linha AB dado por equações paramétricas , a integral curvilínea é calculada pela fórmula:

, (10.6)

onde estão os valores dos parâmetros t, correspondendo aos pontos inicial e final do caminho de integração.

Se a linha AB suave por partes, então devemos usar a propriedade de aditividade da integral curvilínea dividindo AB em arcos suaves.

Exemplo 10.1 Vamos calcular a integral curvilínea ao longo de um contorno que consiste em parte de uma curva a partir de um ponto para e arcos de elipse do ponto para .

Como o contorno consiste em duas partes, usamos a propriedade de aditividade da integral curvilínea:

. Vamos reduzir ambas as integrais a definidas. Parte do contorno é dada por uma equação relativa à variável

. Vamos usar a fórmula (10.4 ), em que trocamos os papéis das variáveis. Aqueles.

. Após o cálculo obtemos .

Para calcular a integral do contorno Sol Vamos passar para a forma paramétrica de escrever a equação da elipse e usar a fórmula (10.6).

Preste atenção aos limites da integração. Apontar corresponde ao valor e ao ponto corresponde Responder:
.

Exemplo 10.2. Vamos calcular ao longo de um segmento de linha reta AB, Onde A(1,2,3), B(2,5,8).

Solução. Uma integral curvilínea de 2º tipo é dada. Para calculá-lo, você precisa convertê-lo em um específico. Vamos compor as equações da reta. Seu vetor de direção tem coordenadas .

Equações canônicas da reta AB: .

Equações paramétricas desta reta: ,

No
.

Vamos usar a fórmula (10.5) :

Tendo calculado a integral, obtemos a resposta: .

5. Trabalho de força durante o movimento ponto material massa unitária de ponto a ponto ao longo de uma curva .

Deixe em cada ponto de uma curva suave por partes é dado um vetor que possui funções de coordenadas contínuas: . Vamos quebrar esta curva em pequenas partes com pontos de modo que nos pontos de cada parte significado das funções
poderia ser considerado constante, e a própria parte pode ser confundido com um segmento reto (ver Fig. 10.1). Então . O produto escalar de uma força constante, cujo papel é desempenhado por um vetor , por vetor de deslocamento retilíneo é numericamente igual ao trabalho realizado pela força ao mover um ponto material ao longo . Vamos fazer uma soma integral . No limite, com aumento ilimitado do número de partições, obtemos uma integral curvilínea de 2ª espécie

. (10.7) Assim, o significado físico da integral curvilínea de 2º tipo - este é um trabalho feito à força ao mover um ponto material de UM Para EM ao longo do contorno eu.

Exemplo 10.3. Vamos calcular o trabalho realizado pelo vetor ao mover um ponto ao longo de uma porção de uma curva de Viviani definida como a intersecção de um hemisfério e cilindro , rodando no sentido anti-horário quando visto da parte positiva do eixo BOI.

Solução. Vamos construir a curva dada como a linha de intersecção de duas superfícies (ver Fig. 10.3).

Para reduzir o integrando a uma variável, vamos para sistema cilíndrico coordenadas: .

Porque um ponto se move ao longo de uma curva , então é conveniente escolher como parâmetro uma variável que muda ao longo do contorno para que . Então obtemos as seguintes equações paramétricas desta curva:

.Ao mesmo tempo
.

Vamos substituir as expressões resultantes na fórmula de cálculo da circulação:

( - o sinal + indica que o ponto se move ao longo do contorno no sentido anti-horário)

Vamos calcular a integral e obter a resposta: .

Lição 11.

A fórmula de Green para uma região simplesmente conectada. Independência da integral curvilínea do caminho de integração. Fórmula de Newton-Leibniz. Encontrar uma função a partir da sua diferencial total utilizando uma integral curvilínea (casos planos e espaciais).

OL-1 capítulo 5, OL-2 capítulo 3, OL-4 capítulo 3 § 10, cláusulas 10.3, 10.4.

Prática : OL-6 nº 2318 (a, b, d), 2319 (a, c), 2322 (a, d), 2327, 2329 ou OL-5 nº 10.79, 82, 133, 135, 139.

Construção de casas para a lição 11: OL-6 nº 2318 (c, d), 2319 (c, d), 2322 (b, c), 2328, 2330 ou OL-5 nº 10.80, 134, 136, 140

Fórmula de Green.

Deixe entrar no avião dado um domínio simplesmente conectado limitado por um contorno fechado suave por partes. (Uma região é chamada simplesmente conectada se qualquer contorno fechado nela puder ser contraído até um ponto nesta região).

Teorema. Se as funções e suas derivadas parciais G, Que

Figura 11.1

- Fórmula de Green . (11.1)

Indica direção de bypass positiva (sentido anti-horário).

Exemplo 11.1. Usando a fórmula de Green, calculamos a integral ao longo de um contorno composto por segmentos O.A., O.B. e maior arco de círculo , conectando os pontos UM E B, Se , , .

Solução. Vamos construir um contorno (ver Fig. 11.2). Vamos calcular as derivadas necessárias.

Figura 11.2

;

. As funções e suas derivadas são contínuas em uma região fechada limitada por um determinado contorno. De acordo com a fórmula de Green, esta integral é.

Depois de substituir as derivadas calculadas, obtemos

. Calculamos a integral dupla passando para coordenadas polares:
.

Vamos verificar a resposta calculando a integral diretamente ao longo do contorno como uma integral curvilínea de 2º tipo.
.

Responder:
.

2. Independência da integral curvilínea do caminho de integração.

Deixar E - pontos arbitrários de uma região simplesmente conectada pl. . Integrais curvilíneas calculadas a partir de várias curvas que conectam esses pontos geralmente têm significados diferentes. Mas se certas condições forem atendidas, todos esses valores podem acabar sendo iguais. Então a integral não depende da forma do caminho, mas depende apenas dos pontos inicial e final.

Os seguintes teoremas são válidos.

Teorema 1. Para que a integral
não dependia da forma do caminho que liga os pontos e , é necessário e suficiente que esta integral ao longo de qualquer contorno fechado seja igual a zero.

Teorema 2.. Para que a integral
ao longo de qualquer contorno fechado é igual a zero, é necessário e suficiente que a função e suas derivadas parciais eram contínuos em uma região fechada G e de modo que a condição ( 11.2)

Assim, se as condições para a integral ser independente da forma do caminho forem atendidas (11.2) , basta especificar apenas os pontos inicial e final: (11.3)

Teorema 3. Se a condição for satisfeita em um domínio simplesmente conexo, então existe uma função tal que. (11.4)

Esta fórmula é chamada de fórmula Newton-Leibniz para a integral de linha.

Comentário. Lembre-se de que a igualdade é uma condição necessária e suficiente para que a expressão
.

Então, dos teoremas acima segue-se que se as funções e suas derivadas parciais contínuo em uma região fechada G, em que os pontos são dados E , e então

a) existe uma função , tal que ,

não depende da forma do caminho, ,

c) a fórmula é válida Newton-Leibniz .

Exemplo 11.2. Vamos ter certeza de que a integral
não depende do formato do caminho, e vamos calculá-lo.

Solução. .

Figura 11.3

Vamos verificar se a condição (11.2) é satisfeita.

. Como podemos ver, a condição foi atendida. O valor da integral não depende do caminho de integração. Vamos escolher o caminho de integração. Maioria

uma maneira simples de calcular é uma linha quebrada DIA, conectando os pontos inicial e final de um caminho. (Ver Fig. 11.3)

Então .

3. Encontrar uma função pelo seu diferencial total.

Usando uma integral curvilínea, que não depende da forma do caminho, podemos encontrar a função , conhecendo todo o seu diferencial. Este problema é resolvido da seguinte maneira.

Se as funções e suas derivadas parciais contínuo em uma região fechada G e , então a expressão é diferencial completo alguma função . Além disso, a integral
, em primeiro lugar, não depende da forma do caminho e, em segundo lugar, pode ser calculado usando a fórmula de Newton-Leibniz.

Vamos calcular
de duas maneiras.

Figura 11.4

a) Selecione um ponto na região

com coordenadas específicas e um ponto com coordenadas arbitrárias. Vamos calcular a integral curvilínea ao longo de uma reta tracejada composta por dois segmentos de reta conectando esses pontos, sendo um dos segmentos paralelo ao eixo e outro ao eixo. Então . (Ver Fig. 11.4)

Equação.

Obtemos: Tendo calculado ambas as integrais, obtemos alguma função na resposta.

b) Agora calculamos a mesma integral usando a fórmula de Newton-Leibniz.

Agora vamos comparar dois resultados do cálculo da mesma integral. A parte funcional da resposta no ponto a) é a função necessária , e a parte numérica é o seu valor no ponto .

Exemplo 11.3. Vamos ter certeza de que a expressão
é o diferencial total de alguma função e nós a encontraremos. Vamos verificar os resultados do cálculo do exemplo 11.2 usando a fórmula de Newton-Leibniz.

Solução. Condição para a existência de uma função (11.2) foi verificado no exemplo anterior. Vamos encontrar esta função, para a qual usaremos a Figura 11.4, e tomaremos como apontar . Vamos compor e calcular a integral ao longo da linha tracejada DIA, Onde :

Conforme mencionado acima, a parte funcional da expressão resultante é a função desejada
.

Vamos verificar o resultado dos cálculos do Exemplo 11.2 usando a fórmula de Newton–Leibniz:

Os resultados foram os mesmos.

Comentário. Todas as afirmações consideradas também são verdadeiras para caso espacial, mas com muitas condições.

Deixe uma curva suave por partes pertencer a uma região no espaço . Então, se as funções e suas derivadas parciais são contínuas no domínio fechado em que os pontos são dados e , e
(11.5 ), Que

a) a expressão é o diferencial total de alguma função ,

b) integral curvilínea do diferencial total de alguma função não depende da forma do caminho e,

c) a fórmula é válida Newton-Leibniz .(11.6 )

Exemplo 11.4. Vamos ter certeza de que a expressão é a diferencial completa de alguma função e nós a encontraremos.

Solução. Para responder à questão de saber se uma determinada expressão é uma diferencial completa de alguma função , vamos calcular as derivadas parciais das funções, , . (Cm. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

Essas funções são contínuas junto com suas derivadas parciais em qualquer ponto do espaço.

Vemos que as condições necessárias e suficientes para a existência estão satisfeitas : , , , etc.

Para calcular uma função Aproveitemos o fato de que a integral linear não depende do caminho de integração e pode ser calculada pela fórmula de Newton-Leibniz. Deixe o ponto - o início do caminho, e algum ponto - fim da estrada . Vamos calcular a integral

ao longo de um contorno que consiste em segmentos retos paralelos aos eixos coordenados. (ver Fig. 11.5).

Figura 11.5

Equações das partes do contorno: ,

Então

, x corrigido aqui, então ,

Gravado aqui sim, É por isso .

Como resultado obtemos: .

Agora vamos calcular a mesma integral usando a fórmula de Newton-Leibniz.

Vamos comparar os resultados: .

Da igualdade resultante segue que, e

Lição 12.

Integral de superfície de primeiro tipo: definição, propriedades básicas. Regras para calcular uma integral de superfície de primeiro tipo usando uma integral dupla. Aplicações da integral de superfície de primeiro tipo: área superficial, massa de uma superfície material, momentos estáticos em relação a planos coordenados, momentos de inércia e coordenadas do centro de gravidade. OL-1 cap.6, OL 2 cap.3, OL-4§ 11.

Prática: OL-6 nº 2347, 2352, 2353 ou OL-5 nº 10.62, 65, 67.

Lição de casa para a lição 12:

OL-6 nº 2348, 2354 ou OL-5 nº 10.63, 64, 68.

1º tipo.

1.1.1. Definição de uma integral curvilínea de 1º tipo

Deixe entrar no avião Oxi dada curva (EU). Deixe para qualquer ponto da curva (EU) determinado função contínua f(x;y). Vamos quebrar o arco AB linhas (EU) pontos UMA=P 0, P 1, P n = B sobre n arcos arbitrários P eu -1 P eu com comprimentos ( eu = 1, 2, n) (Fig. 27)

Vamos escolher em cada arco P eu -1 P eu ponto arbitrário M eu (x eu ; y eu) , vamos calcular o valor da função f(x;y) no ponto Eu. Vamos fazer uma soma integral

Deixe onde.

λ→0 (n→∞), independente do método de particionamento da curva ( eu)às partes elementares, nem à escolha dos pontos Eu integral curvilínea de 1ª espécie da função f(x;y)(integral curvilínea ao longo do comprimento do arco) e denotar:

Comentário. A definição da integral curvilínea da função é introduzida de forma semelhante f(x;y;z) ao longo da curva espacial (EU).

Significado físico Integral curvilínea de 1ª espécie:

Se (L)- curva plana com um plano linear, então a massa da curva é encontrada pela fórmula:

1.1.2. Propriedades básicas de uma integral curvilínea de 1º tipo:

3. Se o caminho de integração dividido em partes de modo que, e tenha um único ponto comum, Que .

4. Integral curvilínea de 1º tipo não depende da direção de integração:

5. , onde é o comprimento da curva.

1.1.3. Cálculo de uma integral curvilínea de 1ª espécie.

O cálculo de uma integral curvilínea se reduz ao cálculo de uma integral definida.

1. Deixe a curva (EU)é dado pela equação. Então

Ou seja, o diferencial do arco é calculado pela fórmula.

Exemplo

Calcule a massa de um segmento de reta a partir de um ponto UMA(1;1) ao ponto B(2;4), Se .

Solução

Equação de uma reta que passa por dois pontos: .

Então a equação da reta ( AB): , .

Vamos encontrar a derivada.

Então . = .

2. Deixe a curva (EU) especificado parametricamente: .

Então, ou seja, o diferencial do arco é calculado pela fórmula.

Para o caso espacial de especificação de uma curva: Então

Ou seja, o diferencial do arco é calculado pela fórmula.

Exemplo

Encontre o comprimento do arco da curva, .

Solução

Encontramos o comprimento do arco usando a fórmula: .

Para fazer isso, encontramos o diferencial do arco.

Vamos encontrar as derivadas , , . Então o comprimento do arco: .

3. Deixe a curva (EU) especificado no sistema de coordenadas polares: . Então

Ou seja, o diferencial do arco será calculado pela fórmula.

Exemplo

Calcule a massa do arco de linha, 0≤ ≤ if.

Solução

Encontramos a massa do arco usando a fórmula:

Para fazer isso, encontramos o diferencial do arco.

Vamos encontrar a derivada.

1.2. Integral curvilínea de 2ª espécie

1.2.1. Definição de uma integral curvilínea de 2º tipo

Deixe entrar no avião Oxi dada curva (EU). Vamos lá (EU) uma função contínua é dada f(x;y). Vamos quebrar o arco AB linhas (EU) pontos UMA = P 0 , P 1 , P n = B na direção do ponto UM ao ponto EM sobre n arcos arbitrários P eu -1 P eu com comprimentos ( eu = 1, 2, n) (Fig. 28).

Vamos escolher em cada arco P eu -1 P eu ponto arbitrário M eu (x eu ; y eu), vamos calcular o valor da função f(x;y) no ponto Eu. Vamos fazer uma soma integral, onde - comprimento de projeção do arco P i -1 P i por eixo Oh. Se a direção do movimento ao longo da projeção coincidir com a direção positiva do eixo Oh, então a projeção dos arcos é considerada positivo, de outra forma - negativo.

Deixe onde.

Se houver um limite para a soma integral em λ→0 (n→∞), independente do método de particionamento da curva (EU) em partes elementares, nem da escolha dos pontos Eu em cada parte elementar, então esse limite é chamado integral curvilínea de 2ª espécie da função f(x;y)(integral curvilínea sobre a coordenada X) e denotar:

Comentário. A integral curvilínea sobre a coordenada y é introduzida de forma semelhante:

Comentário. Se (EU)é uma curva fechada, então a integral sobre ela é denotada

Comentário. Se ligado ( eu) três funções são dadas de uma vez e dessas funções existem integrais , , ,

então a expressão: + + é chamada integral curvilínea geral de 2ª espécie e anote:

1.2.2. Propriedades básicas de uma integral curvilínea de 2º tipo:

3. Quando a direção da integração muda, a integral curvilínea de 2º tipo muda de sinal.

4. Se o caminho de integração for dividido em partes tais que e tiver um único ponto comum, então

5. Se a curva ( eu) encontra-se no avião:

Eixo perpendicular Oh, então =0;

Eixo perpendicular Oi, Que ;

Eixo perpendicular onça, então =0.

6. Uma integral curvilínea de 2º tipo sobre uma curva fechada não depende da escolha do ponto de partida (depende apenas da direção de deslocamento da curva).

1.2.3. Significado físico de uma integral curvilínea de 2ª espécie.

Trabalho A forças ao mover um ponto material de massa unitária de um ponto M ao ponto N junto ( Minnesota) é igual a:

1.2.4. Cálculo de uma integral curvilínea de 2ª espécie.

O cálculo de uma integral curvilínea de 2ª espécie se reduz ao cálculo de uma integral definida.

1. Deixe a curva ( eu) é dado pela equação .

Exemplo

Calcule onde ( eu) - linha quebrada OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4).

Solução

Desde (Fig. 29), então

1)Equação (OA): , ,

2) Equação de uma reta (AB): .

2. Deixe a curva (EU) especificado parametricamente: .

Comentário. No caso espacial:

Exemplo

Calcular

Onde ( AB)- segmento de UMA(0;0;1) para B(2;-2;3).

Solução

Vamos encontrar a equação da reta ( AB):

Vamos passar para o registro paramétrico da equação da reta (AB). Então .

Apontar UMA(0;0;1) corresponde ao parâmetro t igual: portanto, t=0.

Apontar B(2;-2;3) corresponde ao parâmetro t, igual: portanto, t=1.

Ao passar de UM Para EM,parâmetro t muda de 0 para 1.

1.3. Fórmula de Green. eu) incl. M(x;y;z) com eixos Boi, Oi, Oz

Departamento " Matemática superior»

Integrais curvilíneas

Diretrizes

Volgogrado

UDC 517.373(075)

Revisor:

Professor Sênior do Departamento de Matemática Aplicada N.I. Koltsova

Publicado por decisão do conselho editorial e editorial

Universidade Técnica Estadual de Volgogrado

Integrais curvilíneas: método. instruções / comp. M.I. Andreeva,

O.E. Grigorieva; Universidade Técnica do Estado do Volga. – Volgogrado, 2011. – 26 p.

As diretrizes são um guia para a conclusão de tarefas individuais sobre o tema “Integrais curvilíneas e suas aplicações à teoria de campos”.

A primeira parte das diretrizes contém o material teórico necessário para a realização de tarefas individuais.

A segunda parte examina exemplos de execução de todos os tipos de tarefas incluídas nas tarefas individuais sobre o tema, o que contribui para uma melhor organização trabalho independente alunos e domínio bem-sucedido do tema.

As diretrizes são destinadas aos alunos do primeiro e do segundo ano.

universidade técnica, 2011

INTEGRAL CURVILINEAR DE 1º TIPO

Definição de uma integral curvilínea de 1º tipo

Deixe È AB– arco de um plano ou curva espacial suave por partes eu, f(P) é uma função contínua definida neste arco, UM 0 = UM, UM 1 , UM 2 , …, Um – 1 , Um = B AB E P eu– pontos arbitrários em arcos parciais È Um eu – 1 Um eu, cujos comprimentos são D eu eu (eu = 1, 2, …, n

no n®¥ e máx. D eu eu® 0, que não depende do método de particionamento do arco È AB pontos Um eu, nem da escolha dos pontos P eu em arcos parciais È Um eu – 1 Um eu (eu = 1, 2, …, n). Este limite é chamado de integral curvilínea do 1º tipo da função f(P) ao longo da curva eu e é designado

Cálculo de uma integral curvilínea de 1º tipo

O cálculo de uma integral curvilínea de 1º tipo pode ser reduzido ao cálculo de uma integral definida em de maneiras diferentes definindo a curva de integração.

Se arco È AB curva plana é dada parametricamente pelas equações onde x(t) E sim(t t, e x(t 1) = xA, x(t 2) = x B, Que

Onde - diferencial do comprimento do arco da curva.

Uma fórmula semelhante ocorre no caso de uma especificação paramétrica de uma curva espacial eu. Se arco È AB torto eué dado pelas equações, e x(t), sim(t), z(t) – funções continuamente diferenciáveis do parâmetro t, Que

onde é o diferencial do comprimento do arco da curva.

V Coordenadas cartesianas

Se arco È AB curva plana eu dado pela equação Onde sim(x

e a fórmula para calcular a integral curvilínea é:

Ao especificar um arco È AB curva plana eu na forma x= x(sim), sim Î [ sim 1 ; sim 2 ],
Onde x(sim) é uma função continuamente diferenciável,

e a integral curvilínea é calculada pela fórmula

(1.4)

Definindo uma curva de integração por uma equação polar

Se a curva for plana eu dado pela equação no sistema de coordenadas polares R = R(j), j О , onde R(j) é uma função continuamente diferenciável, então

(1.5)

Aplicações da integral curvilínea de 1º tipo

Utilizando uma integral curvilínea de 1º tipo, calcula-se: o comprimento do arco da curva, a área da peça superfície cilíndrica, massa, momentos estáticos, momentos de inércia e coordenadas do centro de gravidade de uma curva de material com uma determinada densidade linear.

1. Comprimento eu curva plana ou espacial eué encontrado pela fórmula

2. Área de uma parte de uma superfície cilíndrica paralela ao eixo OZ geratriz e localizada no plano XOY guia eu, encerrado entre o plano XOY e a superfície dada pela equação z = f(x; sim) (f(P) ³ 0 em P Î eu), é igual a

(1.7)

3. Peso eu curva de materiais eu com densidade linear m( P) é determinado pela fórmula

(1.8)

4. Momentos estáticos em relação aos eixos Boi E Oi e coordenadas do centro de gravidade de uma curva de material plano eu com densidade linear m( x; sim) são respectivamente iguais:

(1.9)

5. Momentos estáticos em relação aos aviões Oxi, Oxz, Oyz e coordenadas do centro de gravidade de uma curva espacial de material com densidade linear m( x; sim; z) são determinados pelas fórmulas:

(1.11)

6. Para uma curva de material plana eu com densidade linear m( x; sim) momentos de inércia em torno dos eixos Boi, Oi e a origem das coordenadas são respectivamente iguais:

(1.13)

7. Momentos de inércia de uma curva material espacial eu com densidade linear m( x; sim; z) em relação aos planos de coordenadas são calculados usando as fórmulas

(1.14)

e os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados são iguais a:

(1.15)

2. INTEGRAL CURVILINEAR DE 2º TIPO

Definição de uma integral curvilínea de 2º tipo

Deixe È AB– arco de uma curva orientada suave por partes eu, = (um x(P); sim(P); uma z(P)) – definido neste arco é contínuo função vetorial, UM 0 = UM, UM 1 , UM 2 , …, Um – 1 , Um = B– divisão arbitrária do arco AB E P eu– pontos arbitrários em arcos parciais Um eu – 1 Um eu. Seja um vetor com coordenadas D x eu, D sim, eu, D z eu(eu = 1, 2, …, n), e é o produto escalar de vetores e ( eu = 1, 2, …, n). Então há um limite da sequência de somas integrais

no n® ¥ e max ÷ ç ® 0, que não depende do método de divisão do arco AB pontos Um eu, nem da escolha dos pontos P eu em arcos parciais È Um eu – 1 Um eu
(eu = 1, 2, …, n). Este limite é chamado de integral curvilínea do 2º tipo da função ( P) ao longo da curva eu e é designado

No caso em que a função vetorial é especificada em uma curva plana eu, da mesma forma temos:

Quando a direção da integração muda, a integral curvilínea de 2º tipo muda de sinal.

Integrais curvilíneas de primeiro e segundo tipo estão relacionadas pela relação

(2.2)

onde é o vetor unitário da tangente à curva orientada.

Usando uma integral curvilínea de 2º tipo, você pode calcular o trabalho de uma força ao mover um ponto material ao longo de um arco de curva eu:

Direção positiva de percorrer uma curva fechada COM, delimitando uma região simplesmente conectada G, o percurso no sentido anti-horário é considerado.

Integral curvilínea de 2ª espécie sobre uma curva fechada COMé chamado de circulação e é denotado

(2.4)

Cálculo de uma integral curvilínea de 2º tipo

O cálculo de uma integral curvilínea de 2ª espécie se reduz ao cálculo de uma integral definida.

Definição paramétrica da curva de integração

Se é AB curva plana orientada é dada parametricamente pelas equações onde X(t) E sim(t) – funções continuamente diferenciáveis do parâmetro t, e então

Uma fórmula semelhante ocorre no caso de uma especificação paramétrica de uma curva orientada espacialmente eu. Se arco È AB torto eué dado pelas equações, e – funções continuamente diferenciáveis do parâmetro t, Que

Especificando explicitamente uma curva de integração plana

Se arco È AB eué dado em coordenadas cartesianas pela equação onde sim(x) é uma função continuamente diferenciável, então

(2.7)

Ao especificar um arco È AB curva orientada plana eu na forma
x= x(sim), sim Î [ sim 1 ; sim 2], onde x(sim) é uma função continuamente diferenciável, a fórmula é válida

(2.8)

Deixe as funções são contínuos junto com suas derivadas

em uma região plana e fechada G, delimitado por uma curva autodisjunta, fechada, lisa e por partes, orientada positivamente COM+ . Então a fórmula de Green é válida:

Deixar G– região simplesmente conectada à superfície, e

= (um x(P); sim(P); uma z(P))

– campo vetorial especificado nesta área. Campo ( P) é chamado de potencial se tal função existir Você(P), O que

(P) = graduação Você(P),

Necessário e condição suficiente potencialidade do campo vetorial ( P) tem a forma:

podridão( P) = , onde (2.10)

(2.11)

Se o campo vetorial for potencial, então a integral curvilínea de 2º tipo não depende da curva de integração, mas depende apenas das coordenadas de início e fim do arco M 0 M. Potencial Você(M) do campo vetorial é determinado até um termo constante e é encontrado pela fórmula

(2.12)

Onde M 0 M– uma curva arbitrária conectando um ponto fixo M 0 e ponto variável M. Para simplificar os cálculos, uma linha tracejada pode ser escolhida como caminho de integração M 0 M 1 M 2 M com links paralelos aos eixos coordenados, por exemplo:

3. exemplos de conclusão de tarefas

Tarefa 1

Calcule uma integral curvilínea de primeiro tipo

onde L é o arco da curva, 0 ≤ x ≤ 1.

Solução. Usando a fórmula (1.3) para reduzir uma integral curvilínea de primeiro tipo a uma integral definida no caso de uma curva plana lisa explicitamente definida:

Onde sim = sim(x), x 0 ≤ x ≤ x 1 – equação do arco eu curva de integração. No exemplo em consideração Encontre a derivada desta função

e o diferencial de comprimento de arco da curva eu

então, substituindo nesta expressão em vez de sim, obtemos

Vamos transformar a integral curvilínea em uma integral definida:

Calculamos esta integral usando substituição. Então
t 2 = 1 + x, x = t 2 – 1, dx = 2t dt; no x = 0 t= 1; UM x= 1 corresponde a . Após as transformações obtemos

Tarefa 2

Calcule uma integral curvilínea de 1º tipo ao longo de um arco eu torto eu:x= cos 3 t, sim= pecado 3 t, .

Solução. Porque eué um arco de uma curva plana suave, dado na forma paramétrica, então usamos a fórmula (1.1) para reduzir uma integral curvilínea de 1º tipo a uma definida:

No exemplo em consideração

Vamos encontrar o diferencial do comprimento do arco

Substituímos as expressões encontradas na fórmula (1.1) e calculamos:

Tarefa 3

Encontre a massa do arco da linha eu com plano linear m.

Solução. Peso eu arcos eu com densidade m( P) é calculado usando a fórmula (1.8)

Esta é uma integral curvilínea de 1º tipo sobre um arco suave definido parametricamente de uma curva no espaço, portanto é calculada usando a fórmula (1.2) para reduzir uma integral curvilínea de 1º tipo a uma integral definida:

Vamos encontrar derivadas

e diferencial de comprimento de arco

Substituímos essas expressões na fórmula da massa:

Tarefa 4

Exemplo 1. Calcular integral curvilínea de 2º tipo

ao longo de um arco eu curva 4 x + sim 2 = 4 do ponto UM(1; 0) para apontar B(0; 2).

Solução. Arco plano eué especificado implicitamente. Para calcular a integral, é mais conveniente expressar x através sim:

e encontre a integral usando a fórmula (2.8) para transformar uma integral curvilínea de 2º tipo em uma integral definida sobre uma variável sim:

Onde um x(x; sim) = xy – 1, sim(x; sim) = xy 2 .

Levando em consideração a atribuição da curva

Usando a fórmula (2.8) obtemos

Exemplo 2. Calcular integral curvilínea de 2º tipo

Onde eu– linha quebrada abc, UM(1; 2), B(3; 2), C(2; 1).

Solução. Pela propriedade de aditividade de uma integral curvilínea

Cada um dos termos integrais é calculado usando a fórmula (2.7)

Onde um x(x; sim) = x 2 + sim, sim(x; sim) = –3xy.

Equação de um segmento de linha AB: sim = 2, sim¢ = 0, x 1 = 1, x 2 = 3. Substituindo essas expressões na fórmula (2.7), obtemos:

Para calcular a integral

vamos fazer uma equação de uma linha reta a.C. de acordo com a fórmula

Onde x B, e B, xC, yC– coordenadas do ponto B E COM. Nós conseguimos

sim – 2 = x – 3, sim = x – 1, sim¢ = 1.

Substituímos as expressões resultantes na fórmula (2.7):

Tarefa 5

Calcule uma integral curvilínea de 2º tipo ao longo de um arco eu

0 ≤ t ≤ 1.

Solução. Como a curva de integração é dada parametricamente pelas equações x = x(t), s = s(t), t Î [ t 1 ; t 2], onde x(t) E sim(t) – funções continuamente diferenciáveis t no t Î [ t 1 ; t 2], então para calcular a integral curvilínea de segundo tipo utilizamos a fórmula (2.5) reduzindo a integral curvilínea àquela definida para uma curva plana dada parametricamente

No exemplo em consideração um x(x; sim) = sim; sim(x; sim) = –2x.

Levando em consideração a configuração da curva eu obtemos:

Substituímos as expressões encontradas na fórmula (2.5) e calculamos a integral definida:

Tarefa 6

Exemplo 1. C + Onde COM : sim 2 = 2x, sim = x – 4.

Solução. Designação C+ indica que o circuito é percorrido no sentido positivo, ou seja, anti-horário.

Verifiquemos que para resolver o problema podemos usar a fórmula de Green (2.9)

Já que as funções um x (x; sim) = 2sim – x 2 ; sim (x; sim) = 3x + sim e suas derivadas parciais contínuo em uma região plana e fechada G, limitado pelo contorno C, então a fórmula de Green é aplicável.

Para calcular a integral dupla, representamos a região G, tendo previamente determinado os pontos de intersecção dos arcos de curvas sim 2 = 2x E
sim = x– 4, formando o contorno C.

Encontraremos os pontos de intersecção resolvendo o sistema de equações:

A segunda equação do sistema é equivalente à equação x 2 – 10x+ 16 = 0, de onde x 1 = 2, x 2 = 8, sim 1 = –2, sim 2 = 4.

Então, os pontos de intersecção das curvas: UM(2; –2), B(8; 4).

Desde a área G– corrigir na direção do eixo Boi, então para reduzir a integral dupla a uma repetida, projetamos a região G por eixo OI e use a fórmula

Porque um = –2, b = 4, x 2 (sim) = 4+sim, Que

Exemplo 2. Calcule uma integral curvilínea de 2º tipo ao longo de um contorno fechado Onde COM– contorno de um triângulo com vértices UM(0; 0), B(1; 2), C(3; 1).

Solução. A designação significa que o contorno do triângulo é percorrido no sentido horário. No caso em que a integral curvilínea é obtida sobre um contorno fechado, a fórmula de Green assume a forma

Vamos representar a área G, limitado por um determinado contorno.

Funções e derivadas parciais e contínua na região G, então a fórmula de Green pode ser aplicada. Então

Região G não está correto na direção de nenhum dos eixos. Vamos desenhar um segmento de reta x= 1 e imagine G na forma G = G 1º G 2 onde G 1 e G 2 áreas corretas na direção do eixo Oi.

Então

Para informações de cada integrais duplas Por G 1 e G 2 para repetir usaremos a fórmula

Onde [ um; b] – projeção de área D por eixo Boi,

sim = sim 1 (x) – equação da curva limite inferior,

sim = sim 2 (x) – equação da curva limite superior.

Vamos escrever as equações dos limites do domínio G 1 e encontre

AB: sim = 2x, 0 ≤ x ≤ 1; ANÚNCIO: , 0 ≤ x ≤ 1.

Vamos criar uma equação para o limite a.C. região G 2 usando a fórmula

a.C.: onde 1 ≤ x ≤ 3.

CC: 1 ≤ x ≤ 3.

Tarefa 7

Exemplo 1. Encontre o trabalho da força eu: sim = x 3 do ponto M(0; 0) para apontar N(1; 1).

Solução. Trabalho realizado por uma força variável ao mover um ponto material ao longo de um arco de curva eu determinado pela fórmula (2.3) (como uma integral curvilínea do segundo tipo de função ao longo da curva eu) .

Como a função vetorial é dada pela equação e o arco da curva orientada ao plano é definido explicitamente pela equação sim = sim(x), x Î [ x 1 ; x 2], onde sim(x) é uma função continuamente diferenciável, então pela fórmula (2.7)

No exemplo em consideração sim = x 3 , , x 1 = x M = 0, x 2 = x N= 1. Portanto

Exemplo 2. Encontre o trabalho da força ao mover um ponto material ao longo de uma linha eu: x 2 + sim 2 = 4 do ponto M(0; 2) para apontar N(–2; 0).

Solução. Usando a fórmula (2.3), obtemos

No exemplo em consideração, o arco da curva eu(È Minnesota) é um quarto do círculo especificado equação canônica x 2 + sim 2 = 4.

Para calcular uma integral curvilínea de segundo tipo, é mais conveniente passar à definição paramétrica de um círculo: x = R porque t, sim = R pecado t e use a fórmula (2.5)

Porque x= 2 cos t, sim= 2 pecado t, , , obtemos

Tarefa 8

Exemplo 1. Calcule o módulo de circulação do campo vetorial ao longo do contorno G:

Solução. Para calcular a circulação de um campo vetorial ao longo de um contorno fechado G vamos usar a fórmula (2.4)

Como um campo vetorial espacial e um circuito fechado espacial são dados G, então passando da forma vetorial de escrita da integral curvilínea para a forma de coordenadas, obtemos

Curva G definido como a intersecção de duas superfícies: um parabolóide hiperbólico z = x 2 – sim 2 + 2 e cilindros x 2 + sim 2 = 1. Para calcular a integral curvilínea, é conveniente ir às equações paramétricas da curva G.

A equação de uma superfície cilíndrica pode ser escrita como:
x=porque t, sim= pecado t, z = z. Expressão para z nas equações paramétricas da curva é obtida substituindo x=porque t, sim= pecado t na equação de um parabolóide hiperbólico z = 2 + cos 2 t– pecado 2 t= 2 + cos 2 t. Então, G: x=porque t,
sim= pecado t, z= 2 + cos 2 t, 0 ≤ t≤ 2h.

Uma vez que aqueles incluídos nas equações paramétricas da curva G funções
x(t) = porque t, sim(t) = pecado t, z(t) = 2 + cos 2 t são funções continuamente diferenciáveis do parâmetro t no tО , então encontramos a integral curvilínea usando a fórmula (2.6)

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