Aula 4

Tópico: Fórmula de Green. Condições para a independência de uma integral curvilínea de caminhos de integração.

Fórmula de Green.

A fórmula de Green estabelece uma conexão entre uma integral curvilínea sobre um contorno fechado Г em um plano e integral dupla sobre a área limitada por este contorno.

Uma integral de linha sobre um contorno fechado Г é denotada pelo símbolo Um contorno fechado Г começa em algum ponto B deste contorno e termina no ponto B. A integral de contorno fechado não depende da escolha do ponto B.

Definição 1. O desvio do contorno Г é considerado positivo se, ao contornar o contorno Г, a área D permanecer à esquerda. G + - o circuito G é desviado na direção positiva, G - - o circuito é desviado na direção negativa, ou seja, na direção oposta

.

Da mesma forma está provado que:

Das igualdades (1) e (2) obtemos:

Por isso,

A fórmula de Green sob as suposições feitas foi comprovada.

Nota 1. A fórmula de Green permanece válida se o limite Г da região D cruzar em mais de dois pontos com algumas linhas retas paralelas ao eixo 0X ou 0Y. Além disso, a fórmula de Green também é válida para regiões n-conectadas.

Condições para a independência de uma integral curvilínea do caminho de integração no plano.

Nesta seção esclareceremos as condições sob as quais integral de linha não depende do caminho da integração, mas depende dos pontos inicial e final da integração.

Teorema 1. Para que a integral curvilínea não depende do caminho de integração em um domínio simplesmente conectado, é necessário e suficiente que esta integral tomada sobre qualquer contorno suave por partes fechado neste domínio seja igual a zero.

Prova: Necessidade. Dado: não depende do caminho de integração. É necessário provar que a integral curvilínea sobre qualquer contorno suave por partes fechado é igual a zero.

Seja um contorno fechado arbitrário suave por partes Г no domínio D em consideração. Tomemos os pontos arbitrários B e C no contorno Г.

, ou seja

Adequação. Dado: Integral curvilínea ao longo de qualquer contorno suave por partes fechado é igual a zero.

Precisamos provar que a integral não depende do caminho de integração.

Consideremos uma integral curvilínea sobre dois contornos suaves por partes conectando os pontos B e C. De acordo com a condição:

Aqueles. curvilíneo

a integral não depende do caminho de integração.

Teorema 2. Sejam eles contínuos junto com derivadas parciais em um domínio simplesmente conectado D. Para que a integral curvilínea não depende do caminho de integração, é necessário e suficiente que a identidade se mantenha no domínio D

Prova: Suficiência. Dado: . É necessário provar que não depende do caminho de integração. Para isso basta provar que é igual a zero ao longo de qualquer contorno suave por partes fechado. Pela fórmula de Green temos:

Necessidade. Dado: Pelo Teorema 1, a integral curvilínea não depende do caminho de integração. É necessário provar que

Definição. Uma região G do espaço tridimensional é chamada superficialmente simplesmente conectada. se qualquer contorno fechado situado nesta região puder ser esticado com uma superfície inteiramente situada na região G. Por exemplo, o interior de uma esfera ou todos espaço tridimensional são regiões superficialmente simplesmente conectadas; O interior de um toro ou de um espaço tridimensional no qual uma linha é excluída não são regiões superficialmente simplesmente conectadas. Seja dado um campo vetorial contínuo em um domínio G superficialmente simplesmente conectado. Então o seguinte teorema é válido. Teorema 9. Para que a integral curvilínea no corpo do vetor a não dependa do caminho de integração, mas dependa apenas dos pontos inicial e final do caminho (A e B), é necessário e suficiente que o a circulação do vetor a ao longo de qualquer contorno fechado L localizado na região G era igual a zero. 4 Necessidade. Suponha que t-egral não dependa do caminho de integração. Vamos mostrar que então ao longo de qualquer contorno fechado L é igual a zero. Vamos considerar um contorno fechado arbitrário L no campo do vetor a e tomar pontos arbitrários A e B nele (Fig. 35). Por condição, temos diferentes caminhos conectando os pontos A e B, dos quais é exatamente o contorno fechado L escolhido. Seja para qualquer contorno fechado L. Mostremos que neste caso a integral não depende do caminho de integração. Tomemos dois pontos A e B no corpo do vetor a, conecte-os com retas arbitrárias L1 e L2 e mostre que Para simplificar, nos restringiremos ao caso em que as retas L1 e L2 não se cruzam. Neste caso, a união forma um contorno fechado simples L (Fig. 36). Por condição e pela propriedade de aditividade. Independência da integral curvilínea do caminho de integração Campo potencial Cálculo da integral curvilínea no campo potencial Cálculo do potencial em coordenadas cartesianas Portanto, é aqui que segue a validade da igualdade (2). O Teorema 9 expressa o necessário e independência da integral curvilínea da forma do caminho, no entanto, estas condições são difíceis de verificar. Apresentamos um critério mais eficaz. Teorema 10. Para que a integral curvilínea seja independente do caminho de integração L, é necessário e suficiente que o campo vetorial seja irrotacional. Aqui assume-se que as coordenadas do vetor a(M) possuem derivadas parciais contínuas do. primeira ordem e o domínio de definição do vetor a(M) M) é superficialmente simplesmente conectado. Comentário. Em virtude do Teorema 9, a independência da integral curvilínea do caminho de integração é equivalente à igualdade a zero da circulação do vetor a ao longo de qualquer contorno fechado. Usamos esta circunstância na prova do teorema. Necessidade. Seja a integral curvilínea independente da forma do caminho, ou, o que dá no mesmo, seja a circulação do vetor a ao longo de qualquer contorno fechado L igual a zero. Então, ou seja, em cada ponto do campo a projeção do vetor rot a em qualquer direção é igual a zero. Isso significa que o próprio vetor rot a é igual a zero em todos os pontos do campo. A suficiência da condição (3) segue da fórmula de Stokes, pois se rot a = 0, então a circulação do vetor ao longo de qualquer contorno fechado L é igual a zero: O rotor de um campo plano é igual ao que nos permite formular o seguinte teorema para um corpo plano. Teorema 11. Para que uma integral curvilínea em um campo plano simplesmente conectado seja independente da forma da reta L, é necessário e suficiente que a relação seja idêntica em toda a região em consideração. Se o domínio não for simplesmente conexo, então o cumprimento da condição, em geral, não garante a independência da integral curvilínea da forma da reta. Exemplo. Vamos considerar a integral. É claro que o integrando não faz sentido no ponto 0(0,0). Portanto, vamos excluir este ponto. No resto do plano (esta não será mais uma região simplesmente conectada!) as coordenadas do vetor a são contínuas, têm derivadas parciais contínuas e Considere a integral (6) ao longo de uma curva fechada L - um círculo de raio R com um centro na origem das coordenadas: Então a diferença na circulação em relação a zero mostra que a integral (6) depende da forma do caminho de integração. §10. Definição de campo potencial. O campo do vetor a(M) é chamado potencial se existir u(M) tal que Neste caso, a função u(M) é chamada de potencial de campo; suas superfícies niveladas são chamadas de superfícies equipotenciais. então a relação (1) é equivalente às seguintes três igualdades escalares: Observe que o potencial do campo é determinado até um termo constante: se, portanto, é um número constante. Exemplo 1. O campo do vetor raio r é potencial, pois lembramos que o potencial do campo do vetor raio é, portanto. Exemplo 2. O campo vetorial é potencial. Seja a função tal que seja encontrada. Então e de onde isso significa - o potencial de campo. Teorema 12. Para que um vetor a seja potencial é necessário e suficiente que ele seja irrotacional, ou seja, que seu rotor seja igual a zero em todos os pontos do campo. Neste caso, assumimos a continuidade de todas as derivadas parciais das coordenadas do vetor a e a conexidade superficial simplesmente da região em que o vetor a é dado. Necessidade. A necessidade da condição (2) é estabelecida por cálculo direto: se o campo é potencial, isto é, devido à independência das derivadas mistas da ordem de diferenciação. Adequação. Seja o campo vetorial irrotacional (2). Para provar a potencialidade deste campo, construamos seu potencial u(M). Da condição (2) segue-se que a integral curvilínea não depende da forma da reta L, mas depende apenas de seus pontos inicial e final. Fixamos o ponto inicial e o ponto final Mu, z) mudará. Então a integral (3) será uma função do ponto. Vamos denotar esta função por u(M) e provar que a seguir escreveremos a integral (3), indicando apenas os pontos inicial e final do caminho de integração. A igualdade é equivalente a três igualdades escalares. Independência da integral curvilínea da. caminho de integração Campo potencial Cálculo da integral curvilínea no campo potencial Cálculo do potencial em coordenadas cartesianas Provamos a primeira e a terceira igualdades de forma semelhante; Oh. Neste segmento, podemos tomar a coordenada x como parâmetro: Aplicando o teorema do valor médio à integral do lado direito de (6), obtemos onde o valor £ está entre. Da fórmula (7) segue-se que desde então, devido à continuidade da função, obtemos Da mesma forma, está provado que o Corolário. Um campo vetorial é potencial se e somente se a integral de linha curva nele não depender do caminho. Cálculo de uma integral curvilínea em um campo potencial Teorema 13. Integral em um campo potencial uma(M) valores do potencial e do campo (M) nos pontos final e inicial do caminho de integração Foi provado anteriormente que a função é um potencial de campo. Em um campo potencial, um intefal curvilíneo não depende do puga intefal. Portanto, escolhendo o caminho do ponto M\ até o ponto M2 de forma que passe pelo ponto Afo (Fig. 38), obtemos ou, alterando a orientação do caminho no primeiro intérprete à direita, já que o potencial de campo é determinado até um termo constante, então qualquer potencial dos campos considerados pode ser escrito na forma onde c é uma constante. Fazendo a substituição uc na fórmula (10), obtemos para um potencial arbitrário v(M) a fórmula necessária Exemplo 3. No exemplo 1 foi mostrado que o potencial do campo vetorial de raio r é uma função onde é a distância de o ponto até a origem.

igual à diferença

Considere a integral curvilínea

tomada ao longo de alguma curva plana L conectando os pontos M e N. Assumiremos que as funções têm derivadas parciais contínuas na região D em consideração. Vamos descobrir em que condições a integral curvilínea escrita não depende da forma da curva L. , mas depende apenas da posição dos pontos inicial e final M e N.

Consideremos duas curvas arbitrárias MPN e MQN, situadas na região considerada D e conectando os pontos M e N (Fig. 351). Deixar

Então, com base nas propriedades 1 e 2 das integrais curvilíneas (§ 1), temos

ou seja integral de linha em circuito fechado

Na última fórmula, a integral de linha é assumida sobre um contorno fechado L composto por curvas. Este contorno L pode obviamente ser considerado arbitrário.

Assim, da condição de que para quaisquer dois pontos M e N a integral de linha não depende da forma da curva que os conecta, mas depende apenas da posição desses pontos, segue-se que a integral de linha ao longo de qualquer contorno fechado é igual para zero.

A conclusão inversa também é verdadeira: se uma integral curvilínea sobre qualquer contorno fechado for igual a zero, então esta integral curvilínea não depende da forma da curva que liga quaisquer dois pontos, mas depende apenas da posição desses pontos. Na verdade, igualdade (2) implica igualdade (1).

No exemplo 4 do § 2, a integral curvilínea não depende do caminho de integração, no exemplo 3, a integral curvilínea depende do caminho de integração, pois neste exemplo a integral sobre um contorno fechado não é igual a zero, mas dá; a área delimitada pelo contorno em questão; nos exemplos 1 e 2, as integrais de linha também dependem do caminho de integração.

Teorema. Sejam as funções, juntamente com suas derivadas parciais, contínuas em todos os pontos de algum domínio D. Então, para que a integral curvilínea sobre qualquer contorno fechado L situado na região D seja igual a zero, ou seja, de modo que

é necessário e suficiente para que a igualdade seja satisfeita

em todos os calores da região

Prova. Vamos considerar um contorno fechado arbitrário L no domínio D e escrever a fórmula de Green para ele:

Se a condição (3) for satisfeita, então a integral dupla à esquerda é identicamente igual a zero e, portanto,

Assim, fica comprovada a suficiência da condição (3).

Vamos agora provar a necessidade desta condição, ou seja, provaremos que se a igualdade (2) for satisfeita para qualquer curva fechada L no domínio D, então em cada ponto deste domínio a condição (3) também será satisfeita.

Suponhamos, pelo contrário, que a igualdade (2) seja satisfeita, ou seja,

e a condição (3) não é satisfeita, ou seja,

pelo menos em um ponto. Suponhamos, por exemplo, que em algum momento tenhamos a desigualdade

Como no lado esquerdo da desigualdade existe função contínua, então será positivo e maior que um certo número em todos os pontos de alguma região suficientemente pequena D contendo o ponto . Vamos calcular a integral dupla nesta área da diferença. Terá um significado positivo. Realmente,

Mas, de acordo com a fórmula de Green, o lado esquerdo da última desigualdade é igual à integral curvilínea ao longo do limite da região, que é igual a zero. Consequentemente, a última desigualdade contradiz a condição (2) e, portanto, a suposição de que é diferente de zero pelo menos num ponto é incorreta. Daqui

segue-se que

em todos os pontos desta área

Assim, o teorema está completamente provado.

No § 9 cap. XIII foi comprovado que o cumprimento da condição equivale ao fato de a expressão ser o diferencial total de alguma função, ou seja,

Mas neste caso o vetor

existe um gradiente de uma função cujo gradiente é igual a um vetor é chamado de potencial deste vetor. Vamos provar que neste caso a integral curvilínea

Para qualquer curva L conectando os pontos M e N, (M) é igual à diferença entre os valores da função e nestes pontos:

Prova. Se for diferencial completo função, então a integral curvilínea assume a forma

Para calcular esta integral, escrevemos as equações paramétricas da curva L conectando os pontos M e

integral será reduzida à seguinte integral definida:

A expressão entre parênteses é uma função cuja derivada completa da função Portanto

Como vemos, a integral de linha do diferencial total não depende da forma da curva ao longo da qual a integração é realizada.

Uma afirmação semelhante vale para uma integral curvilínea sobre uma curva espacial (ver § 7 abaixo).

Comentário. Às vezes é necessário considerar integrais curvilíneas ao longo do comprimento de arco L de alguma função

Fórmula Ostrogradsky-Verde

Esta fórmula estabelece uma ligação entre a integral curvilínea sobre um contorno fechado C e a integral dupla sobre a região limitada por este contorno.

Definição 1. Uma região D é chamada de região simples se puder ser dividida em um número finito de regiões do primeiro tipo e, independentemente disso, em um número finito de regiões do segundo tipo.

Teorema 1. Sejam as funções P(x,y) e Q(x,y) definidas em um domínio simples e contínuas junto com suas derivadas parciais e

Então a fórmula vale

onde C é o contorno fechado da área D.

Esta é a fórmula Ostrogradsky-Verde.

Condições para a independência de uma integral curvilínea do caminho de integração

Definição 1. Uma região quadrangular fechada D é simplesmente conectada se qualquer curva fechada l D puder ser continuamente deformada em um ponto de modo que todos os pontos desta curva pertençam à região D (região sem “buracos” - D 1) , se tal deformação for impossível, então a região é chamada de multiplamente conectada (com “buracos” - D 2).

Definição 2. Se o valor de uma integral de curva ao longo de uma curva AB não depende do tipo de curva que conecta os pontos A e B, então esta integral de curva é considerada independente do caminho de integração:

Teorema 1. Sejam definidas as funções contínuas P(x,y) e Q(x,y) em um domínio fechado simplesmente conexo D, juntamente com suas derivadas parciais. Então as 4 condições a seguir são equivalentes:

1) integral curvilínea em circuito fechado

onde C é qualquer circuito fechado em D;

2) a integral curvilínea em circuito fechado não depende do caminho de integração na região D, ou seja,

3) a forma diferencial P(x,y)dx + Q(x,y)dy é o diferencial total de alguma função F no domínio D, ou seja, existe uma função F tal que (x,y) D a igualdade detém

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)

4) para todos os pontos (x,y) D a seguinte condição será satisfeita:

Vamos provar isso usando o diagrama.

Vamos provar isso.

Seja dado 1), ou seja, = 0 pela propriedade 2 §1, que = 0 (pela propriedade 1 §1) .

Vamos provar isso.

É dado que cr.int. não depende do caminho de integração, mas apenas da escolha do início e do fim do caminho

Considere a função

Vamos mostrar que a forma diferencial P(x,y)dx + Q(x,y)dy é a diferencial completa da função F(x,y), ou seja, , O que

Vamos definir o crescimento privado

x F (x,y)= F(x + x, y) -F (x,y)= = == =

(pela propriedade 3 do § 1, BB* Oy) = = P (c,y)x (pelo teorema do valor médio, c -const), onde x

(devido à continuidade da função P). Obtivemos a fórmula (5). A fórmula (6) é obtida de forma semelhante.

Vamos provar isso.

A fórmula é dada

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

Obviamente = P(x,y). Então

De acordo com as condições do teorema, os lados direitos das igualdades (7) e (8) são funções contínuas, então, pelo teorema da igualdade das derivadas mistas, os lados esquerdos também serão iguais, ou seja, que

Vamos provar isso em 41.

Escolhamos qualquer contorno fechado da região D que limita a região D 1 .

As funções P e Q satisfazem as condições de Ostrogradsky-Green:

Em virtude da igualdade (4), no lado esquerdo de (9) a integral é igual a 0, o que significa que o lado direito da igualdade também é igual a

Observação 1. O teorema 1 pode ser formulado na forma de três teoremas independentes

Teorema 1*. Para que um domínio quadrático D simplesmente conectado tenha um int curvo. não dependia do caminho de integração para que a condição (.1) fosse satisfeita, ou seja,

Teorema 2*. Para que um domínio quadrático D simplesmente conectado tenha um int curvo. não dependia do caminho de integração para que a condição (3) fosse satisfeita:

a forma diferencial P(x,y)dx + Q(x,y)dy é o diferencial total de alguma função F no domínio D.

Teorema 3*. Para que um domínio quadrático D simplesmente conectado tenha um int curvo. não dependia do caminho de integração para que a condição (4) fosse satisfeita:

Observação 2. No Teorema 2*, o domínio D também pode ser multiplamente conectado.