Estudo de qualquer processo físico está associado ao estabelecimento da relação entre as quantidades que caracterizam um determinado processo. Para processos complexos, que incluem transferência de calor por condutividade térmica, ao estabelecer uma relação entre grandezas, é conveniente utilizar os métodos da física matemática, que considera a ocorrência do processo não em todo o espaço em estudo, mas em um volume elementar de matéria durante um período de tempo infinitesimal. A ligação entre as grandezas envolvidas na transferência de calor por condutividade térmica é estabelecida neste caso pelos chamados equação diferencial de condutividade térmica. Dentro dos limites de um volume elementar selecionado e de um período de tempo infinitamente pequeno, torna-se possível desprezar a mudança em algumas quantidades que caracterizam o processo.

Ao derivar a equação diferencial da condutividade térmica, são feitas as seguintes suposições: quantidades físicas λ, com p E ρ permanente; não há fontes internas de calor; o corpo é homogêneo e isotrópico; É utilizada a lei da conservação da energia, que este casoé formulado da seguinte forma: a diferença entre a quantidade de calor que entrou em um paralelepípedo elementar devido à condutividade térmica durante o tempo dτ e deixando-o ao mesmo tempo, é gasto na mudança da energia interna do volume elementar em consideração. Como resultado, chegamos à equação:

A quantidade é chamada Operador Laplace e geralmente é abreviado como 2 t(a placa diz “nabla”); tamanho λ /cρ chamado coeficiente de difusividade térmica e denotado pela letra UM. Com a notação indicada, a equação diferencial do calor assume a forma

A equação (1-10) é chamada equação diferencial de condutividade térmica; ou a equação de Fourier, para um campo tridimensional de temperatura instável na ausência de fontes internas de calor. É a principal equação no estudo do aquecimento e resfriamento de corpos no processo de transferência de calor por condutividade térmica e estabelece uma conexão entre mudanças temporais e espaciais de temperatura em qualquer ponto do campo.

Coeficiente de difusividade térmica UM= λ/cρé um parâmetro físico de uma substância e possui unidade de medida m 2 / s. Em processos térmicos não estacionários o valor UM caracteriza a taxa de mudança de temperatura. Se o coeficiente de condutividade térmica caracteriza a capacidade dos corpos de conduzir calor, então o coeficiente de difusividade térmica UMé uma medida das propriedades inerciais térmicas dos corpos. Da equação (1-10) segue-se que a mudança na temperatura ao longo do tempo ∂t / ∂τ para qualquer ponto do corpo é proporcional ao valor UM Portanto, nas mesmas condições, a temperatura do corpo que possui maior difusividade térmica aumentará mais rapidamente. Os gases têm coeficientes de difusividade térmica pequenos e os metais têm grandes coeficientes de difusividade térmica.

Equação diferencial a condutividade térmica com fontes de calor dentro do corpo terá a forma

Onde q v- a quantidade de calor liberada por unidade de volume de uma substância por unidade de tempo, Com- capacidade calorífica em massa do corpo, ρ - densidade corporal .

A equação diferencial da condutividade térmica em coordenadas cilíndricas com uma fonte de calor interna terá a forma

Onde r- vetor raio em um sistema de coordenadas cilíndricas; φ - canto.

Página 4

. (2.24)

A equação (2.24) é chamada de equação diferencial do calor (ou equação diferencial de Fourier) para um campo tridimensional de temperatura instável na ausência de fontes internas de calor. É fundamental no estudo do aquecimento e resfriamento de corpos no processo de transferência de calor por condutividade térmica e estabelece uma conexão entre mudanças temporais e espaciais de temperatura em qualquer ponto do campo.

Aplicação de laser em otorrinolaringologia.

A difusividade térmica é um parâmetro físico de uma substância e tem unidade de m2/s. Em processos térmicos não estacionários, a caracteriza a taxa de mudança de temperatura.

Da equação (2.24) segue-se que a mudança na temperatura ao longo do tempo para qualquer ponto do corpo é proporcional ao valor de a. Portanto, nas mesmas condições, a temperatura do corpo que possui maior difusividade térmica aumenta mais rapidamente.

, (2.25)

onde qV é a potência específica da fonte, ou seja, a quantidade de calor liberada por unidade de volume de uma substância por unidade de tempo.

Esta equação está escrita em Coordenadas cartesianas. Nas demais coordenadas, o operador de Laplace tem uma forma diferente, portanto a forma da equação também muda. Por exemplo, em coordenadas cilíndricas A equação diferencial para condutividade térmica com uma fonte de calor interna é:

, (2.26)

onde r é o vetor raio em um sistema de coordenadas cilíndricas;

Ângulo polar.

2.5 Condições limite

A equação diferencial de Fourier resultante descreve os fenômenos de transferência de calor por condutividade térmica no próprio visão geral. Para aplicá-lo a um caso específico é necessário conhecer a distribuição da temperatura no corpo ou as condições iniciais. Além disso, você deve saber:

· forma geométrica e dimensões do corpo,

parâmetros físicos do ambiente e do corpo,

· condições de contorno, caracterizando a distribuição das temperaturas na superfície de um corpo, ou a interação do corpo em estudo com o meio ambiente.

Todas essas características particulares, juntamente com a equação diferencial, dão descrição completa processo específico de condução de calor e são chamadas de condições de unicidade ou condições de contorno.

Normalmente, as condições iniciais da distribuição de temperatura são especificadas para o momento t = 0.

As condições de contorno podem ser especificadas de três maneiras.

Uma condição de contorno do primeiro tipo é especificada pela distribuição de temperatura na superfície do corpo em qualquer momento no tempo.

A condição de contorno do segundo tipo é especificada pela densidade do fluxo de calor superficial em cada ponto da superfície do corpo em qualquer momento no tempo.

A condição de contorno do terceiro tipo é dada pela temperatura do ambiente que circunda o corpo e pela lei da transferência de calor entre a superfície do corpo e o ambiente.

Resolver a equação diferencial da condutividade térmica sob determinadas condições de inequívoca torna possível determinar o campo de temperatura em todo o volume do corpo para qualquer momento no tempo ou encontrar a função .

2.6 Condução térmica através de uma parede esférica

Tendo em conta a terminologia descrita nas secções 2.1 - 2.5, a tarefa deste trabalho do curso pode ser formulado assim. Um fluxo de calor constante é direcionado através da parede esférica, e a fonte de calor é a esfera interna de raio R1. A potência da fonte P é constante. O meio entre as esferas limite é isotrópico, portanto sua condutividade térmica c é função de uma variável - a distância do centro das esferas (raio) r. De acordo com as condições do problema . Como resultado, a temperatura do meio também é, neste caso, uma função de uma variável - o raio r: T = T(r), e as superfícies isotérmicas são esferas concêntricas. Assim, o campo de temperatura desejado é estacionário e unidimensional, e as condições de contorno são condições do primeiro tipo: T(R1) = T1, T(R2) = T2.

Da unidimensionalidade do campo de temperatura segue-se que a densidade do fluxo de calor j, bem como a condutividade térmica e a temperatura, são neste caso funções de uma variável - o raio r. As funções desconhecidas j(r) e T(r) podem ser determinadas de duas maneiras: resolvendo a equação diferencial de Fourier (2.25) ou usando a lei de Fourier (2.11). Neste trabalho optou-se pelo segundo método. A lei de Fourier para o campo de temperatura unidimensional esfericamente simétrico estudado tem a forma: 1 4

1. Equação diferencial de condutividade térmica sem fontes internas de calor ( = 0) :

2. Equação diferencial de condutividade térmica sem fontes internas de calor em coordenadas cilíndricas.

Em coordenadas cilíndricas, em que onde R– vetor raio, – ângulo polar, a equação será semelhante a

Condições de singularidade para processos de condução de calor. A equação diferencial da condutividade térmica descreve não um, mas toda uma classe de fenômenos de condutividade térmica. Para obter uma descrição analítica de um processo específico, é necessário indicar suas características particulares, que, juntamente com a equação diferencial, fornecem a descrição completa descrição matemática processo específico de condução de calor e são chamadas de condições de unicidade ou condições de contorno.

As condições de exclusividade incluem:

Condições geométricas que caracterizam a forma e o tamanho do corpo em que ocorre o processo;

Condições físicas que caracterizam propriedades físicas ambiente e corpo;

Condições temporárias ou iniciais que caracterizam a distribuição da temperatura do corpo no momento inicial;

Condições de contorno que caracterizam as condições de interação entre o organismo em questão e o meio ambiente.

As condições de contorno podem ser especificadas de diversas maneiras.

As condições de contorno do primeiro tipo especificam a distribuição de temperatura na superfície do corpo para cada momento de tempo:

As condições de contorno do segundo tipo especificam os valores do fluxo de calor para cada ponto da superfície do corpo e em qualquer momento:

As condições de contorno do terceiro tipo são especificadas pela temperatura ambiente e pela lei da troca de calor entre o corpo e o meio ambiente, que é usada como a lei da transferência de calor (equação de Newton-Richmann):

De acordo com esta lei, a densidade do fluxo de calor na superfície

corpo é proporcional à diferença de temperatura entre a superfície da parede e o ambiente. O coeficiente de proporcionalidade nesta equação é chamado de coeficiente de transferência de calor e é denotado por a, [W/(m 2 ×K)]. Caracteriza a intensidade da troca de calor entre a superfície do corpo e o meio ambiente.

Por outro lado, a mesma densidade de fluxo de calor pode ser encontrada na equação:

onde o subscrito “c” indica que o gradiente de temperatura é calculado na superfície do corpo. Obtemos uma expressão analítica para condições de contorno de terceiro tipo:

As condições de contorno do quarto tipo consideram o caso quando dois ou mais corpos estão em contato próximo um com o outro. Neste caso, o fluxo de calor que passa pela superfície de um corpo também passará pela superfície de outro corpo (não há perdas de calor no ponto de contato).

Aula 2. Seção 2. Condutividade térmica em modo estacionário

Propagação de calor por condutividade térmica em paredes planas e cilíndricas em modo estacionário (condições de contorno de primeiro tipo)

Parede plana homogênea de camada única. Consideremos a propagação do calor por condutividade térmica em uma parede plana homogênea de camada única de espessura 8 com largura e comprimento ilimitados.

Eixo X direcione-o perpendicularmente à parede (Fig. 7.4). Ao longo de ambas as superfícies da parede como na direção do eixo sim, e na direção do eixo G Graças ao fornecimento e remoção uniformes de calor, as temperaturas são distribuídas uniformemente.

Como a parede na direção desses eixos tem infinitamente tamanhos grandes, então os gradientes de temperatura correspondentes F/yu = (k/(k= = 0, e, portanto, não há influência no processo de condutividade térmica das superfícies finais da parede. Sob estas condições, simplificando o problema, o campo de temperatura estacionário é uma função apenas da coordenada X, aqueles. um problema unidimensional é considerado. Em relação a este caso, a equação diferencial da condutividade térmica assumirá a forma (em d^dh = 0)

As condições de contorno do primeiro tipo são fornecidas:

Arroz. 7.4.

Vamos encontrar a equação da temperatura zero e determinar o fluxo de calor Ф passando por uma seção da parede com área UM(na Fig. 1L a parede não está marcada porque está localizada em um plano perpendicular ao plano do desenho). A primeira integração dá

aqueles. o gradiente de temperatura é constante em toda a espessura da parede.

Após a segunda integração, obtemos a equação do campo de temperatura necessária

Onde UM E b - integrações constantes.

Assim, a mudança de temperatura ao longo da espessura da parede segue uma lei linear, e as superfícies isotérmicas são planos paralelos às faces da parede.

Para determinar constantes de integração arbitrárias, usamos as condições de contorno:

Porque? > ? ST2, então a projeção do gradiente no eixo X negativo como

isso era esperado para a direção do eixo escolhida, que coincide com a direção do vetor de densidade do fluxo de calor superficial.

Substituindo o valor das constantes em (7.24), obtemos a expressão final para a temperatura zero

Linha a-b na Fig. 7.4, chamado curva de temperatura, mostra a mudança de temperatura dependendo da espessura da parede.

Conhecendo o gradiente de temperatura, é possível, usando a equação de Fourier (7.10), encontrar a quantidade de calor 8() que passa durante o tempo t através do elemento de área de superfície??4 perpendicular ao eixo T.

e para uma área de superfície de UM

A fórmula (7.28) para fluxo de calor e densidade de fluxo de calor superficial assumirá a forma

Consideremos a propagação do calor por condutividade térmica em uma parede plana multicamadas que consiste em várias (por exemplo, três) camadas firmemente adjacentes umas às outras (ver Fig. 7.5).

Arroz. 7.5.

Obviamente, no caso de um campo de temperatura estacionário, o fluxo de calor que passa através de superfícies da mesma área UM, será o mesmo para todas as camadas. Portanto, a equação (7.29) pode ser usada para cada uma das camadas.

Para a primeira camada

para a segunda e terceira camadas

Onde X 2, A 3 - condutividade térmica das camadas; 8 1? 8 2, 8 3 - espessura da camada.

As temperaturas nos limites externos da parede de três camadas são consideradas conhecidas? St1 e? ST4. As temperaturas são estabelecidas ao longo dos planos de separação entre as camadas? ST2 E? STs que são considerados desconhecidos. Resolvemos as equações (7.31)-(7.33) relativas às diferenças de temperatura:

e então some-os termo por termo e assim elimine as temperaturas intermediárias desconhecidas:

Generalizando (7.36) para uma parede de camada y, obtemos

Para determinar temperaturas intermediárias? ST2, ? STZ nos planos de seções de camadas usamos fórmulas (7.34):

Finalmente, generalizando a derivação para a parede da camada i, obtemos uma fórmula para a temperatura no limite da i-ésima e (r + 1)-ésima camada:

Às vezes, o conceito de condutividade térmica equivalente R eq é usado. Para a densidade do fluxo de calor superficial que passa através de uma parede plana multicamadas,

onde está a espessura total de todas as camadas da parede multicamadas. Comparando as expressões (7.37) e (7.40), concluímos que

Na Fig. A Figura 7.5 mostra um gráfico das mudanças de temperatura ao longo da espessura de uma parede multicamadas na forma de uma linha tracejada. Dentro da camada, como foi provado acima, a mudança de temperatura segue uma lei linear. Tangente do ângulo de inclinação cp, a linha reta da temperatura com a horizontal

aqueles. é igual valor absoluto gradiente de temperatura ^1"ac1 Assim, de acordo com a inclinação das retas ab, aC e com

Por isso,

aqueles. gradientes de temperatura para camadas individuais de uma parede plana multicamadas são inversamente proporcionais às condutividades térmicas dessas camadas.

Isso significa que para obter grandes gradientes de temperatura (o que é necessário, por exemplo, no isolamento de tubulações de vapor, etc.), são necessários materiais com baixos valores de condutividade térmica.

Parede cilíndrica homogênea de camada única. Vamos encontrar o campo de temperatura para o modo estacionário de condutividade térmica e densidade superficial fluxo de calor para uma parede cilíndrica homogênea de camada única (Fig. 7.6). Para resolver o problema utilizamos a equação diferencial de condução de calor em coordenadas cilíndricas.

O eixo 2 será direcionado ao longo do eixo do tubo. Suponhamos que o comprimento do tubo comparado ao diâmetro seja infinitamente grande. Neste caso, podemos desprezar a influência das extremidades do tubo na distribuição da temperatura ao longo do eixo 2. Suponhamos que, devido ao fornecimento e remoção uniforme de calor, a temperatura na superfície interna seja igual em todos os lugares? ST1, e na superfície externa - ? ST2 (condições de contorno de primeiro tipo). Com essas simplificações (k/ = 0, e devido à simetria do campo de temperatura em relação a qualquer diâmetro?/?/?Ар = 0. As superfícies isotérmicas neste caso serão as superfícies dos cilindros, coaxiais com o eixo do tubo. Assim , o problema se reduz à determinação do campo de temperatura unidimensional = / (d), onde? G- raio atual da parede cilíndrica.

Arroz. 7.6.

Equação diferencial do calor (7.19) sob a condição dt/d t = 0 assumirá a forma

Vamos introduzir uma nova variável

qual é o gradiente de temperatura (grad?).

Substituindo uma variável E em (7.43), obtemos uma equação diferencial de primeira ordem com variáveis ​​separáveis

ou

Integrando, obtemos

Para uma parede cilíndrica, o gradiente de temperatura é um valor variável que aumenta com a diminuição do raio G. Consequentemente, o gradiente de temperatura na superfície interna é maior do que na superfície externa.

Substituindo o valor E de (7,44) a (7,45), obtemos E

Onde um b- integrações constantes.

Consequentemente, a curva de distribuição de temperatura ao longo da espessura da parede é uma curva logarítmica (curva a-b na Fig. 7.6).

Vamos definir constantes UM E b, incluído na equação do campo de temperatura, com base nas condições de contorno do primeiro tipo. Vamos denotar o raio interno da superfície gx, externo - g 2. Denotamos os diâmetros correspondentes (1 litro E (1 2 . Então temos um sistema de equações

Resolvendo este sistema de equações, obtemos

A equação da temperatura zero assumirá a forma O gradiente de temperatura é determinado pela fórmula (7.45):

Porque? ST1 > ? ST2 e r, r 2, então o grau de projeção? no vetor raio tem um valor negativo.

Este último mostra que neste caso o fluxo de calor é direcionado do centro para a periferia.

Para determinar o fluxo de calor que passa por uma área superfície cilíndrica comprimento b, vamos usar a equação

Segue-se de (7.46) que o fluxo de calor que passa por uma superfície cilíndrica depende da razão entre os raios externo e interno r 2 / gx(ou diâmetros s1 2 / (1 {), e não na espessura da parede.

A densidade do fluxo de calor superficial para uma superfície cilíndrica pode ser encontrada relacionando o fluxo de calor Ф com a área da superfície interna Um vice-presidente ou para a área da superfície externa Um np. Nos cálculos, às vezes é usada a densidade linear do fluxo de calor:

De (7.47)-(7.49) segue

Parede cilíndrica multicamadas. Consideremos a distribuição de calor por condutividade térmica em uma parede cilíndrica de três camadas (tubo) de comprimento A (Fig. 7.7) com diâmetro interno c1x e diâmetro externo (1 litro. Diâmetros intermediários de camadas individuais - s1 2 e X 2, X 3.

Arroz. 7.7.

As temperaturas são consideradas conhecidas? ST) interno e temperatura? Superfície externa ST4. O fluxo de calor F e a temperatura devem ser determinados? ST2 E? STz nos limites da camada. Vamos compor para cada camada uma equação da forma (7.46):

Resolvendo (7.51)-(7.53) para diferenças de temperatura e depois somando termo por termo, obtemos

De (7.54) temos uma expressão calculada para determinar o fluxo de calor para uma parede de três camadas:

Vamos generalizar a fórmula (7.55) para a parede do tubo da camada U:
Onde eu- número de série da camada.

De (7.51)-(7.53) encontramos uma expressão para determinar a temperatura nos limites das camadas intermediárias:

Temperatura? Arte. +) na fronteira? (G+ 1)a camada pode ser determinada usando uma fórmula semelhante

A literatura fornece soluções para a equação diferencial do calor para uma bola oca sob condições de contorno do primeiro tipo, bem como soluções para todos os corpos considerados sob condições de contorno do terceiro tipo. Não consideramos esses problemas. As questões da condutividade térmica estacionária em hastes (nervuras) de seções transversais constantes e variáveis, bem como as questões da condutividade térmica não estacionária, também ficaram fora do escopo do nosso curso.

Questão 23 Qual é o calor específico de fusão do gelo?

O calor específico de fusão é encontrado pela fórmula:

onde Q é a quantidade de calor necessária para derreter um corpo de massa m.

ao solidificar, as substâncias liberam a mesma quantidade de calor necessária para derretê-las. As moléculas, perdendo energia, formam cristais, não conseguindo resistir à atração de outras moléculas. E, novamente, a temperatura corporal não diminuirá até que todo o corpo endureça e até que toda a energia que foi gasta em seu derretimento seja liberada. Ou seja, o calor específico de fusão mostra quanta energia deve ser gasta para derreter um corpo de massa m, e quanta energia será liberada quando esse corpo solidificar.

Por exemplo, o calor específico de fusão da água no estado sólido, ou seja, o calor específico de fusão do gelo é 3,4*10^5 J/kg

O calor específico de fusão do gelo é 3,4 vezes 10 elevado à 5ª potência joule/kg

O calor específico de fusão é denotado pela letra grega λ (lambda), e a unidade de medida é 1 J/kg

Questão 24 Denotemos L1 como o calor específico de vaporização e L2 como o calor específico de fusão. O que mais?

Como o corpo recebe energia durante a vaporização, podemos concluir que energia interna um corpo no estado gasoso é maior que a energia interna de um corpo da mesma massa no estado líquido. Portanto, durante a condensação, o vapor libera a quantidade de energia necessária para sua formação

Calor específico de vaporização– uma quantidade física que mostra a quantidade de calor necessária para converter 1 kg de uma substância em vapor sem alterar a sua temperatura. Chances " R

Calor específico de fusão– uma quantidade física que mostra a quantidade de calor necessária para transformar 1 kg de uma substância em líquido sem alterar a sua temperatura. Chances " λ " Para várias substâncias, via de regra, são diferentes. Eles são medidos empiricamente e inseridos em tabelas especiais

O calor específico de vaporização é maior

Questão 25: equação diferencial de calor para um campo bidimensional de temperatura instável em coordenadas cartesianas?

x i = x, y, z – Sistema de coordenadas cartesianas;

Se a temperatura permanecer constante ao longo de uma das coordenadas, então matematicamente esta condição é escrita (por exemplo, para a coordenada z) da seguinte forma: dT/dz=0.

Neste caso, o campo é denominado bidimensional e se escreve:

para modo não estacionário T=T(x, y, t);

para modo estacionário T=T(x, y).

Equações de um campo de temperatura bidimensional para o modo

não estacionário:

Questão 26: equação diferencial de calor para um campo de temperatura não estacionário em coordenadas cilíndricas?

x i = r, φ, z – sistema de coordenadas cilíndricas;

Campo de temperaturaé um conjunto de valores de temperatura em todos os pontos de um determinado domínio computacional e ao longo do tempo.

O campo de temperatura é medido em graus Celsius e Kelvin e é designado da mesma forma que no TTD: , onde x i são as coordenadas do ponto do espaço onde a temperatura é encontrada, em metros [m]; τ – tempo do processo de troca de calor em segundos, [s]. Que. o campo de temperatura é caracterizado pelo número de coordenadas e seu comportamento ao longo do tempo.

Os seguintes sistemas de coordenadas são usados ​​em cálculos térmicos:

x i = r, φ, z – sistema de coordenadas cilíndricas;

O campo de temperatura, que mudanças ao longo do tempo, chamado não estacionário campo de temperatura. E vice-versa, o campo de temperatura, que não muda com o tempo, chamado estacionário campo de temperatura.

cilíndrico coordenadas (r – raio; φ – ângulo polar; z – aplicar), a equação diferencial da condutividade térmica tem a forma

,