Tópico da lição: “Eventos aleatórios, confiáveis e impossíveis. Tópico da lição: “Eventos confiáveis, impossíveis e aleatórios”. Encontre eventos impossíveis entre os eventos ai
Tópico da lição: “Eventos aleatórios, confiáveis e impossíveis”
Local da aula no currículo: “Combinatória. Eventos aleatórios" lição 5/8
Tipo de aula: Lição na formação de novos conhecimentos
Objetivos da lição:
Educacional:
o introduzir uma definição de evento aleatório, confiável e impossível;
o ensinar no processo de uma situação real a definir os termos da teoria das probabilidades: eventos confiáveis, impossíveis, igualmente prováveis;
Educacional:
o promover o desenvolvimento do pensamento lógico,
o interesse cognitivo dos alunos,
o capacidade de comparar e analisar,
Educacional:
o fomentar o interesse em estudar matemática,
o desenvolvimento da visão de mundo dos alunos.
o domínio de habilidades intelectuais e operações mentais;
Métodos de ensino: ditado explicativo e ilustrativo, reprodutivo e matemático.
UMK: Matemática: livro didático para o 6º ano. editado por, etc., editora "Enlightenment", 2008, Mathematics, 5-6: livro. para o professor / [, [ ,]. - M.: Educação, 2006.
Material didático: cartazes no quadro.
Literatura:
1. Matemática: livro didático. para a 6ª série. educação geral instituições/, etc.]; editado por , ; Ross. acadêmico. Ciências, Ross. acadêmico. educação, editora "Iluminismo". - 10ª edição. - M.: Educação, 2008.-302 p.: il. - (Livro escolar acadêmico).
2. Matemática, 5-b: livro. para o professor / [, ]. - M.: Educação, 2006. - 191 p. : doente.
4. Resolução de problemas de estatística, combinatória e teoria das probabilidades. 7-9 séries. /auto - comp. . Ed. 2º, rev. - Volgogrado: Professor, 2006. -428 p.
5. Aulas de matemática com recurso a tecnologias de informação. 5 a 10 séries. Metódico - manual com aplicação eletrônica / etc. 2ª ed., estereótipo. - M.: Editora "Globus", 2010. - 266 p. (Escola moderna).
6. Ensinar matemática em escola moderna. Recomendações metodológicas. Vladivostok: Editora PIPPCRO, 2003.
PLANO DE AULA
I. Momento organizacional.
II. Trabalho oral.
III. Aprendendo novo material.
4. Formação de competências e habilidades.
V. Resumo da lição.
V. Lição de casa.
PROGRESSO DA LIÇÃO
1. Momento organizacional
2. Atualizando conhecimentos
15*(-100) |
Trabalho oral:
3. Explicação do novo material
Professor: Nossa vida consiste em grande parte em acidentes. Existe uma ciência chamada “Teoria da Probabilidade”. Usando sua linguagem, você pode descrever muitos fenômenos e situações.
Comandantes antigos como Alexandre, o Grande ou Dmitry Donskoy, preparando-se para a batalha, confiavam não apenas no valor e na arte dos guerreiros, mas também no acaso.
Muitas pessoas amam a matemática pelas verdades eternas: duas vezes dois é sempre quatro, a soma dos números pares é par, a área de um retângulo é igual ao produto de seus lados adjacentes, etc. obtém a mesma resposta - você só precisa não cometer erros na decisão.
A vida real não é tão simples e direta. O resultado de muitos eventos não pode ser previsto com antecedência. É impossível, por exemplo, dizer com certeza de que lado cairá uma moeda atirada ao ar, quando cairá a primeira neve no próximo ano, ou quantas pessoas na cidade quererão fazer um telefonema na próxima hora. Esses eventos imprevisíveis são chamados aleatório .
Porém, o acaso também tem suas próprias leis, que começam a se manifestar quando fenômenos aleatórios se repetem muitas vezes. Se você jogar uma moeda 1.000 vezes, ela dará cara aproximadamente na metade das vezes, mas isso não pode ser dito de dois ou mesmo dez lançamentos. “Aproximadamente” não significa metade. Geralmente, isso pode ou não ser o caso. A lei não diz nada com certeza, mas dá um certo grau confiança de que algum evento aleatório ocorrerá.
Tais padrões são estudados por um ramo especial da matemática - Teoria da probabilidade . Com sua ajuda, você pode prever com maior grau de confiança (mas ainda sem certeza) tanto a data da primeira nevasca quanto o número de ligações.
A teoria da probabilidade está inextricavelmente ligada à nossa vida cotidiana. Isso nos dá uma oportunidade maravilhosa de estabelecer experimentalmente muitas leis probabilísticas, repetindo experimentos aleatórios muitas vezes. Os materiais para esses experimentos serão, na maioria das vezes, uma moeda comum, um dado, um conjunto de dominó, gamão, roleta ou até mesmo um baralho de cartas. Cada um desses itens está relacionado aos jogos de uma forma ou de outra. O fato é que o caso aparece aqui na sua forma mais frequente. E as primeiras tarefas probabilísticas estavam relacionadas com a avaliação das chances de vitória dos jogadores.
A moderna teoria das probabilidades afastou-se do jogo, mas os seus adereços continuam a ser a fonte mais simples e fiável do acaso. Depois de praticar com uma fita métrica e um dado, você aprenderá a calcular a probabilidade de eventos aleatórios na vida real. situações de vida, que lhe permitirá avaliar suas chances de sucesso, testar hipóteses, aceitar soluções ideais não apenas em jogos e loterias.
Na hora de resolver problemas probabilísticos tenha muito cuidado, tente justificar cada passo que você dá, pois nenhuma outra área da matemática contém tantos paradoxos. Como a teoria da probabilidade. E, talvez, a principal explicação para isso seja a sua ligação com mundo real, em que vivemos.
Muitos jogos utilizam um dado com um número diferente de pontos de 1 a 6 marcados em cada lado. O jogador lança o dado, olha quantos pontos aparecem (no lado que fica no topo) e faz o número de movimentos correspondente. : 1,2,3 ,4,5 ou 6. O lançamento de um dado pode ser considerado uma experiência, um experimento, um teste, e o resultado obtido pode ser considerado um evento. As pessoas geralmente estão muito interessadas em adivinhar a ocorrência deste ou daquele evento e prever seu resultado. Que previsões eles podem fazer ao lançar os dados?
Primeira previsão: um dos números 1,2,3,4,5 ou 6 aparecerá. Você acha que o evento previsto acontecerá ou não? Claro, isso definitivamente virá.
Um evento que certamente ocorrerá em uma determinada experiência é chamado confiável evento.
Segunda previsão : o número 7 aparecerá. Você acha que o evento previsto ocorrerá ou não? Claro que isso não vai acontecer, é simplesmente impossível.
Um evento que não pode ocorrer em uma determinada experiência é chamado impossível evento.
Terceira previsão : o número 1 aparecerá. Você acha que o evento previsto ocorrerá ou não? Para esta pergunta nós total confiança incapaz de responder, uma vez que o evento previsto pode ou não ocorrer.
Eventos que podem ou não ocorrer sob as mesmas condições são chamados aleatório.
Exemplo. A caixa contém 5 bombons em embalagem azul e um em embalagem branca. Sem olhar dentro da caixa, eles tiram um doce ao acaso. É possível saber com antecedência qual será a cor?
Exercício : Descreva os eventos discutidos nas tarefas abaixo. Como certo, impossível ou aleatório.
1. Jogue uma moeda. Um brasão apareceu. (aleatório)
2. O caçador atirou no lobo e o acertou. (aleatório)
3. O aluno sai para passear todas as noites. Enquanto caminhava na segunda-feira, ele conheceu três conhecidos. (aleatório)
4. Façamos mentalmente a seguinte experiência: vire um copo de água de cabeça para baixo. Se esta experiência não for realizada no espaço, mas em casa ou na sala de aula, a água irá derramar. (confiável)
5. Três tiros foram disparados contra o alvo.” Foram cinco acertos." (impossível)
6. Jogue a pedra para cima. A pedra permanece suspensa no ar. (impossível)
Exemplo Petya pensou em um número natural. O evento é o seguinte:
a) pretende-se um número par; (aleatório)
b) pretende-se um número ímpar; (aleatório)
c) concebe-se um número que não é par nem ímpar; (impossível)
d) concebe-se um número par ou ímpar. (confiável)
Eventos que têm chances iguais sob determinadas condições são chamados igualmente provável.
Eventos aleatórios que têm chances iguais são chamados igualmente possível ou igualmente provável .
Coloque um pôster no quadro.
Sobre exame oral o aluno pega um dos ingressos colocados à sua frente. As chances de tirar qualquer uma das fichas do exame são iguais. É igualmente provável que você obtenha qualquer número de pontos de 1 a 6 ao lançar um dado, bem como “cara” ou “coroa” ao lançar uma moeda.
Mas nem todos os eventos são igualmente possível. O alarme pode não tocar, a lâmpada pode queimar, o ônibus pode quebrar, mas condições normais tais eventos improvável. O mais provável é que o despertador toque, a luz acenda e o ônibus comece a se mover.
Alguns eventos chances acontecem mais, o que significa que são mais prováveis - mais perto da certeza. E outros têm menos chances, são menos prováveis – mais próximos do impossível.
Eventos impossíveis não têm chance de acontecer, mas certos eventos têm todas as chances de acontecer, sob certas condições eles definitivamente acontecerão;
Exemplo Petya e Kolya comparam seus aniversários. O evento é o seguinte:
a) seus aniversários não coincidem; (aleatório)
b) seus aniversários coincidem; (aleatório)
d) os aniversários de ambos caem em feriados – Ano Novo(1º de janeiro) e Dia da Independência da Rússia (12 de junho). (aleatório)
3.Formação de competências e habilidades
Problema do livro nº 000. Quais dos seguintes eventos aleatórios são confiáveis e possíveis:
a) a tartaruga aprenderá a falar;
b) a água da chaleira que está no fogão vai ferver;
d) você ganhará participando do sorteio;
e) você não ganhará participando de uma loteria ganha-ganha;
f) você perderá uma partida de xadrez;
g) você encontrará um alienígena amanhã;
h) o tempo vai piorar na próxima semana; i) você apertou a campainha, mas ela não tocou; j) hoje é quinta-feira;
k) depois de quinta-feira será sexta-feira; l) haverá quinta depois de sexta?
As caixas contêm 2 bolas vermelhas, 1 amarela e 4 verdes. Três bolas são retiradas aleatoriamente da caixa. Quais dos seguintes eventos são impossíveis, aleatórios, certos:
R: Serão sorteadas três bolas verdes;
B: serão sorteadas três bolas vermelhas;
C: serão sorteadas bolas de duas cores;
D: serão sorteadas bolas da mesma cor;
E: entre as bolas sorteadas está uma azul;
F: dentre as sorteadas há bolas de três cores;
G: Há duas bolas amarelas entre as sorteadas?
Teste você mesmo. (ditado matemático)
1) Indique quais dos seguintes eventos são impossíveis, quais são confiáveis, quais são aleatórios:
· O jogo de futebol "Spartak" - "Dínamo" terminará empatado (aleatório)
· Você ganhará participando de uma loteria ganha-ganha ( confiável)
A neve cairá à meia-noite e o sol brilhará 24 horas depois (impossível)
· Amanhã haverá prova de matemática. (aleatório)
· Você será eleito Presidente dos Estados Unidos. (impossível)
· Você será eleito presidente da Rússia. (aleatório)
2) Você comprou uma TV em uma loja, para a qual o fabricante oferece garantia de dois anos. Quais dos seguintes eventos são impossíveis, quais são aleatórios e quais são confiáveis:
· A TV não irá quebrar por um ano. (aleatório)
· A TV não quebrará por dois anos . (aleatório)
· Você não terá que pagar por consertos de TV por dois anos. (confiável)
· A TV vai quebrar no terceiro ano. (aleatório)
3) Um ônibus que transporta 15 passageiros tem que fazer 10 paradas. Quais dos seguintes eventos são impossíveis, quais são aleatórios e quais são confiáveis:
· Todos os passageiros descerão do ônibus em paradas diferentes. (impossível)
· Todos os passageiros descerão na mesma parada. (aleatório)
· Em cada parada pelo menos alguém descerá. (aleatório)
· Haverá uma parada onde ninguém desce. (aleatório)
· Um número par de passageiros desembarcará em todas as paradas. (impossível)
· Um número ímpar de passageiros desembarcará em todas as paradas. (impossível)
Resumo da lição
Perguntas para os alunos:
Quais eventos são chamados de aleatórios?
Quais eventos são chamados igualmente prováveis?
Quais eventos são chamados de confiáveis? impossível?
Quais eventos são considerados mais prováveis? menos provável?
Trabalho de casa : cláusula 9.3
Não. 000. Dê três exemplos de eventos confiáveis e impossíveis, bem como de eventos dos quais não se pode dizer que aconteceram definitivamente.
902. Uma caixa contém 10 canetas vermelhas, 1 verde e 2 azuis. Duas canetas são retiradas aleatoriamente da caixa. Quais dos seguintes eventos são impossíveis e certos:
R: Duas alças vermelhas serão retiradas; B: serão retiradas duas alças verdes; C: serão retiradas duas alças azuis; D: Serão retiradas duas alças de cores diferentes;
E: vão tirar dois lápis? 03. Egor e Danila concordaram: se a seta da plataforma giratória (Fig. 205) parar em um campo branco, então Egor pintará a cerca, e se estiver em um campo azul, Danila irá pintá-la. Qual menino tem maior probabilidade de pintar a cerca?
Objetivo da lição:
- Apresente o conceito de eventos confiáveis, impossíveis e aleatórios.
- Desenvolver conhecimentos e habilidades para determinar o tipo de eventos.
- Desenvolver: habilidade em informática; atenção; capacidade de analisar, raciocinar, tirar conclusões;
habilidades de trabalho em grupo.
Progresso da lição
1) Momento organizacional.
Exercício interativo: as crianças devem resolver exemplos e decifrar palavras com base nos resultados, são divididas em grupos (verdadeiros, impossíveis e aleatórios) e determinam o tema da aula;
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
1 cartão.
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
2 cartão
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
3 cartas
2) Atualização do conhecimento aprendido.
Jogo “Clap”: número par - bater palmas, número ímpar - levantar-se. Atribuição: de esta série
os números 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... determinam pares e ímpares.
3) Estudar um novo tópico.
Existem cubos em suas mesas. Vamos dar uma olhada neles. O que você vê?
Onde os dados são usados? Como?
Trabalhe em grupos.
Conduzindo um experimento.
Que previsões você pode fazer ao lançar um dado? Primeira previsão:
um dos números 1,2,3,4,5 ou 6 aparecerá. confiável.
Um evento que certamente ocorrerá em uma determinada experiência é chamado Segunda previsão:
o número 7 aparecerá.
Você acha que o evento previsto acontecerá ou não?
Isso é impossível! Um evento que não pode ocorrer em uma determinada experiência é chamado
impossível. Terceira previsão:
o número 1 aparecerá.
Este evento acontecerá? Um evento que pode ou não ocorrer em uma determinada experiência é chamado.
aleatório
4) Consolidação do material estudado.
-I. Determine o tipo de evento
Amanhã nevará vermelho.
Vai nevar forte amanhã.
Amanhã, mesmo sendo julho, vai nevar.
Amanhã, mesmo sendo julho, não haverá neve.
Amanhã nevará e haverá nevasca.
II. Adicione uma palavra a esta frase de tal forma que o evento se torne impossível.
Kolya recebeu um A em história.
Sasha não completou uma única tarefa no teste.
Oksana Mikhailovna (professora de história) explicará um novo tópico.
III. Dê exemplos de eventos impossíveis, aleatórios e confiáveis.
4. Trabalhe a partir do livro didático (em grupos).
Descreva os eventos discutidos nas tarefas abaixo como confiáveis, impossíveis ou aleatórios.
Nº 959. Petya surgiu com um número natural. O evento é o seguinte:
a) pretende-se um número par;
b) pretende-se um número ímpar;
c) concebe-se um número que não é par nem ímpar;
d) concebe-se um número par ou ímpar.
a) há vogal na grafia da palavra selecionada;
b) a grafia da palavra selecionada contém a letra “o”;
c) não há vogais na grafia da palavra selecionada;
d) há sinal suave na grafia da palavra selecionada.
Resolva nº 961, nº 964.
Discussão de tarefas resolvidas.
5) Reflexão.
1. Que eventos você aprendeu na lição?
2. Indique qual dos seguintes eventos é certo, qual é impossível e qual é aleatório:
a) não haverá férias de verão;
b) o sanduíche cairá com a manteiga voltada para baixo;
c) o ano letivo terminará algum dia.
6) Lição de casa:
Crie dois eventos confiáveis, aleatórios e impossíveis.
Faça um desenho para um deles.
1.1. Algumas informações da combinatória
1.1.1. Canais
Consideremos os conceitos mais simples associados à seleção e disposição de um determinado conjunto de objetos.
Contar o número de maneiras pelas quais essas ações podem ser executadas é frequentemente feito na resolução de problemas probabilísticos.
Definição. Alojamento de n elementos por k (k ≤n) é qualquer subconjunto ordenado de k elementos de um conjunto composto por n vários elementos.
Exemplo. As seguintes sequências de números são colocações de 2 elementos de 3 elementos do conjunto (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Observe que os posicionamentos diferem na ordem dos elementos incluídos neles e em sua composição. As colocações 12 e 21 contêm os mesmos números, mas a ordem é diferente. Portanto, esses posicionamentos são considerados diferentes.
Número de canais diferentes de n elementos por ké designado e calculado pela fórmula:
,
Onde n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(lê " n- fatorial").
O número de números de dois dígitos que podem ser formados a partir dos dígitos 1, 2, 3, desde que nenhum dígito seja repetido igual a: .
1.1.2. Reorganizações
Definição. Permutações de n elementos são chamados de posicionamentos de n elementos que diferem apenas na localização dos elementos.
Número de permutações de n elementos Pn calculado pela fórmula: Pn=n!
Exemplo. De quantas maneiras 5 pessoas podem se alinhar? O número de maneiras é igual ao número de permutações de 5 elementos, ou seja,
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definição. Se entre n elementos k idênticos, então o rearranjo destes n elementos é chamada de permutação com repetições.
Exemplo. Sejam 2 dos 6 livros idênticos. Qualquer disposição de todos os livros numa estante é um rearranjo com repetição.
Número de diferentes permutações com repetições (de n elementos, incluindo k idêntico) é calculado usando a fórmula: .
No nosso exemplo, o número de maneiras pelas quais os livros podem ser organizados numa estante é: .
1.1.3. Combinações
Definição. Combinações de n elementos por k tais posicionamentos são chamados n elementos por k, que diferem entre si em pelo menos um elemento.
Número de combinações diferentes de n elementos por ké designado e calculado pela fórmula: .
Por definição, 0!=1.
As seguintes propriedades se aplicam a combinações:
1.
2.
3.
4.
Exemplo. Existem 5 flores de cores diferentes. 3 flores são selecionadas para o buquê. O número de buquês diferentes de 3 flores em 5 é igual a: .
1.2. Eventos Aleatórios
1.2.1. Eventos
Conhecimento da realidade em ciências naturais ocorre como resultado de testes (experiência, observação, experiência).
Teste
ou experiência é a implementação de um conjunto específico de condições que podem ser reproduzidas conforme desejado grande número uma vez.
Aleatório
é um evento que pode ou não ocorrer como resultado de algum teste (experiência).
Assim, o evento é considerado como resultado do teste.
Exemplo. Jogar uma moeda é um desafio. O aparecimento de uma águia durante um lançamento é um acontecimento.
Os eventos que observamos diferem no grau de possibilidade de sua ocorrência e na natureza de sua inter-relação.
O evento é chamado confiável
, se for certo que ocorrerá como resultado deste teste.
Exemplo. Um aluno que receba uma nota positiva ou negativa num exame é um evento confiável se o exame decorrer de acordo com as regras habituais.
O evento é chamado impossível
, se não puder ocorrer como resultado deste teste.
Exemplo. Remover uma bola branca de uma urna que contém apenas bolas coloridas (não brancas) é um evento impossível. Observe que sob outras condições experimentais o aparecimento de uma bola branca não está excluído; assim, este evento é impossível apenas sob as condições da nossa experiência.
A seguir, os eventos aleatórios serão denotados por letras latinas grandes letras A, B, C... Denotamos um evento confiável pela letra Ω, um evento impossível por Ø.
Dois ou mais eventos são chamados igualmente possível
num determinado teste se houver razão para acreditar que nenhum destes eventos é mais ou menos possível que os outros.
Exemplo. Com um lançamento de um dado, o aparecimento de 1, 2, 3, 4, 5 e 6 pontos são eventos igualmente possíveis. Supõe-se, é claro, que os dados sejam feitos de um material homogêneo e tenham o formato correto.
Os dois eventos são chamados incompatível
em determinado teste, se a ocorrência de um deles exclui a ocorrência do outro, e articulação
de outra forma.
Exemplo. A caixa contém peças padrão e não padrão. Vamos pegar um detalhe para dar sorte. A aparência de uma peça padrão elimina a aparência de uma peça não padronizada. Esses eventos são incompatíveis.
Vários eventos se formam grupo completo de eventos
em um determinado teste, se pelo menos um deles ocorrer com certeza como resultado desse teste.
Exemplo. Os eventos do exemplo formam um grupo completo de eventos igualmente possíveis e incompatíveis entre pares.
Dois eventos incompatíveis que formam um grupo completo de eventos em uma determinada tentativa são chamados eventos opostos.
Se um deles for designado por UM, então o outro é geralmente denotado por (leia “não UM»).
Exemplo. Um acerto e um erro com um tiro no alvo são eventos opostos.
1.2.2. Definição clássica de probabilidade
Probabilidade de evento
– uma medida numérica da possibilidade de sua ocorrência.
Evento UM chamado favorável
evento EM se sempre que um evento ocorrer UM, o evento chega EM.
Eventos UM 1 , UM 2 , ..., UMn forma diagrama de caso
se eles:
1) igualmente possível;
2) pares incompatíveis;
3) formar um grupo completo.
No esquema de casos (e somente neste esquema) a definição clássica de probabilidade ocorre P(UM) eventos UM. Aqui, um caso é cada um dos eventos pertencentes a um grupo completo selecionado de eventos igualmente possíveis e incompatíveis entre pares.
Se né o número de todos os casos no esquema, e eu– número de casos favoráveis ao evento UM, Que probabilidade de um evento
UMé determinado pela igualdade:
As seguintes propriedades decorrem da definição de probabilidade:
1. Probabilidade evento confiável igual a um.
Na verdade, se um acontecimento é certo, então todos os casos no esquema de casos favorecem o acontecimento. Nesse caso eu = n e portanto 
2. A probabilidade de um evento impossível é zero.
Na verdade, se um evento é impossível, então nem um único caso no padrão de casos favorece o evento. É por isso eu=0 e portanto 
A probabilidade de um evento aleatório é um número positivo entre zero e um.
Na verdade, um evento aleatório é favorecido apenas por alguns dos número total casos no diagrama de caso. Portanto 0<eu<n, o que significa 0<eu/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Portanto, a probabilidade de qualquer evento satisfaz as desigualdades
0 ≤ P(UM) ≤ 1.
Atualmente, as propriedades da probabilidade são definidas na forma de axiomas formulados por A.N. Kolmogorov.
Uma das principais vantagens da definição clássica de probabilidade é a capacidade de calcular a probabilidade de um evento diretamente, ou seja, sem recorrer a experimentos, que são substituídos pelo raciocínio lógico.
Problemas de cálculo direto de probabilidades
Problema 1.1. Qual é a probabilidade de ocorrer um número par de pontos (evento A) ao lançar um dado?
Solução. Considere os eventos UMeu- desistiu eu copos, eu= 1, 2,…,6. É óbvio que estes eventos formam um padrão de casos. Então o número de todos os casos n= 6. Os casos favorecem a rolagem de um número par de pontos UM 2 , UM 4 , UM 6, ou seja eu= 3. Então 
.
Problema 1.2. Existem 5 bolas brancas e 10 bolas pretas em uma urna. As bolas são bem misturadas e então 1 bola é retirada aleatoriamente. Qual é a probabilidade de a bola sorteada ser branca?
Solução. Há um total de 15 casos que formam um padrão de caso. Além disso, o evento esperado UM– o aparecimento de uma bola branca é favorecido por 5 deles, portanto 
.
Problema 1.3. Uma criança brinca com seis letras do alfabeto: A, A, E, K, R, T. Encontre a probabilidade de ela conseguir formar aleatoriamente a palavra CARRO (evento A).
Solução. A solução é complicada pelo fato de que entre as letras existem outras idênticas - duas letras “A”. Portanto, o número de todos os casos possíveis em um determinado teste é igual ao número de permutações com repetições de 6 letras:
.
Esses casos são igualmente possíveis, inconsistentes aos pares e formam um grupo completo de eventos, ou seja, formar um diagrama de casos. Apenas uma chance favorece o evento UM. É por isso
.
Problema 1.4. Tanya e Vanya concordaram em comemorar o Ano Novo em uma companhia de 10 pessoas. Os dois realmente queriam sentar um ao lado do outro. Qual a probabilidade de seu desejo ser realizado se for costume distribuir lugares entre os amigos por sorteio?
Solução. Vamos denotar por UM evento “realização dos desejos de Tanya e Vanya”. 10 pessoas podem sentar em uma mesa de 10! de maneiras diferentes. Quantos destes n= 10! maneiras igualmente possíveis são favoráveis para Tanya e Vanya? Tanya e Vanya, sentadas lado a lado, podem assumir 20 posições diferentes. Ao mesmo tempo, oito dos seus amigos podem sentar-se numa mesa de 8! de maneiras diferentes, então eu= 20∙8!. Por isso, 
.
Problema 1.5. Um grupo de 5 mulheres e 20 homens seleciona três delegados. Supondo que cada um dos presentes possa ser escolhido com igual probabilidade, encontre a probabilidade de que duas mulheres e um homem sejam escolhidos.
Solução. O número total de resultados de teste igualmente possíveis é igual ao número de maneiras pelas quais três delegados podem ser selecionados entre 25 pessoas, ou seja, . Vamos agora contar o número de casos favoráveis, ou seja, o número de casos em que ocorre o evento de interesse. Um delegado masculino pode ser selecionado de vinte maneiras. Ao mesmo tempo, os dois delegados restantes devem ser mulheres e você pode escolher duas mulheres entre cinco. Por isso, . É por isso
.
Problema 1.6. Quatro bolas são espalhadas aleatoriamente em quatro buracos, cada bola cai em um ou outro buraco com igual probabilidade e independentemente das outras (não há obstáculos para que várias bolas caiam no mesmo buraco). Encontre a probabilidade de que haja três bolas em um dos buracos, uma no outro e nenhuma bola nos outros dois buracos.
Solução. Número total de casos n=4 4 . O número de maneiras pelas quais se pode escolher um buraco onde haverá três bolas, . O número de maneiras pelas quais você pode escolher um buraco onde haverá uma bola, . O número de maneiras pelas quais três das quatro bolas podem ser selecionadas para serem colocadas no primeiro buraco é . Número total de casos favoráveis. Probabilidade do evento: 
Problema 1.7. Existem 10 bolas idênticas na caixa, marcadas com os números 1, 2, ..., 10. Seis bolas são sorteadas para dar sorte. Encontre a probabilidade de que entre as bolas extraídas existam: a) bola nº 1; b) bolas nº 1 e nº 2.
Solução. a) O número total de resultados elementares possíveis do teste é igual ao número de maneiras pelas quais seis bolas podem ser extraídas de dez, ou seja,
Vamos encontrar o número de resultados que favorecem o evento que nos interessa: entre as seis bolas selecionadas está a bola nº 1 e, portanto, as cinco bolas restantes têm números diferentes. O número de tais resultados é obviamente igual ao número de maneiras pelas quais cinco bolas podem ser selecionadas das nove restantes, ou seja,
A probabilidade exigida é igual à razão entre o número de resultados favoráveis ao evento em questão e o número total de resultados elementares possíveis:
b) O número de resultados favoráveis ao evento que nos interessa (entre as bolas selecionadas estão as bolas nº 1 e nº 2, portanto, quatro bolas têm números diferentes) é igual ao número de maneiras pelas quais quatro bolas podem ser extraído dos oito restantes, ou seja, Probabilidade necessária 
1.2.3. Probabilidade estatística
A definição estatística de probabilidade é usada quando os resultados de um experimento não são igualmente possíveis.
Frequência relativa de eventos
UMé determinado pela igualdade:
,
Onde eu– número de tentativas em que o evento UM chegou n– número total de testes realizados.
J. Bernoulli provou que com um aumento ilimitado no número de experimentos, a frequência relativa de ocorrência de um evento diferirá praticamente tão pouco quanto desejado de algum número constante. Descobriu-se que esse número constante é a probabilidade de ocorrência do evento. Portanto, é natural chamar a frequência relativa de ocorrência de um evento com um número suficientemente grande de tentativas de probabilidade estatística, em contraste com a probabilidade introduzida anteriormente.
Exemplo 1.8. Como determinar aproximadamente o número de peixes no lago?
Deixe entrar no lago X peixe Lançamos uma rede e, digamos, encontramos nela n peixe Marcamos cada um deles e os liberamos de volta. Alguns dias depois, com o mesmo tempo e no mesmo local, lançamos a mesma rede. Suponhamos que nele encontremos m peixes, entre os quais k marcado. Deixe o evento UM- “o peixe capturado está marcado.” Então, por definição de frequência relativa.
Mas se no lago X peixe e nós o soltamos nele n rotulado, então.
Porque R * (UM) » R(UM), Que .
1.2.4. Operações em eventos. Teorema da adição de probabilidade
Quantia, ou união de vários eventos, é um evento que consiste na ocorrência de pelo menos um desses eventos (no mesmo julgamento).
Soma UM 1 + UM 2 + … + UMn denotado da seguinte forma: 
ou 
.
Exemplo. Dois dados são lançados. Deixe o evento UM consiste em rolar 4 pontos em 1 dado, e o evento EM– quando 5 pontos são lançados em outro dado. Eventos UM E EM articulação. Portanto o evento UM +EM consiste em lançar 4 pontos no primeiro dado, ou 5 pontos no segundo dado, ou 4 pontos no primeiro dado e 5 pontos no segundo ao mesmo tempo.
Exemplo. Evento UM– ganhos para 1 empréstimo, evento EM– ganhos no 2º empréstimo. Então o evento A+B– ganhar pelo menos um empréstimo (possivelmente dois de uma vez).
O trabalho ou a intersecção de vários eventos é um evento que consiste na ocorrência conjunta de todos esses eventos (no mesmo julgamento).
Trabalhar EM eventos UM 1 , UM 2 , …, UMn denotado da seguinte forma:
.
Exemplo. Eventos UM E EM consistem na aprovação no primeiro e segundo turnos, respectivamente, no momento da admissão ao instituto. Então o evento UM×B consiste em completar com sucesso ambas as rodadas.
Os conceitos de soma e produto de eventos têm uma interpretação geométrica clara. Deixe o evento UM há um ponto entrando na área UM, e o evento EM– ponto entrando na área EM. Então o evento A+B há um ponto entrando na união dessas áreas (Fig. 2.1), e o evento UMEM há um ponto que atinge a intersecção dessas áreas (Fig. 2.2).
Arroz. 2.1 Fig. 2.2
Teorema. Se os eventos Um eu(eu = 1, 2, …, n) são inconsistentes aos pares, então a probabilidade da soma dos eventos é igual à soma das probabilidades desses eventos: 
.
Deixar UM E Ā
– eventos opostos, ou seja, A + Â= Ω, onde Ω é um evento confiável. Do teorema da adição segue que
Р(Ω) = R(UM) + R(Ā
) = 1, portanto
R(Ā
) = 1 – R(UM).
Se os eventos UM 1 e UM 2 são compatíveis, então a probabilidade da soma de dois eventos simultâneos é igual a:
R(UM 1 + UM 2) = R(UM 1) + R(UM 2) –P( UM 1× UM 2).
Os teoremas de adição de probabilidade nos permitem passar do cálculo direto de probabilidades para a determinação das probabilidades de ocorrência de eventos complexos.
Problema 1.8. O atirador dispara um tiro no alvo. Probabilidade de marcar 10 pontos (evento UM), 9 pontos (evento EM) e 8 pontos (evento COM) são iguais a 0,11, respectivamente; 0,23; 0,17. Encontre a probabilidade de que com um tiro o atirador marque menos de 8 pontos (evento D).
Solução. Vamos passar para o evento oposto - com um tiro o atirador marcará pelo menos 8 pontos. Um evento ocorre se acontecer UM ou EM, ou COM, ou seja . Desde os eventos A, B, COM são inconsistentes aos pares, então, pelo teorema da adição,
, onde .
Problema 1.9. Da equipe da brigada, composta por 6 homens e 4 mulheres, são selecionadas duas pessoas para a conferência sindical. Qual é a probabilidade de que entre os selecionados pelo menos uma mulher (evento UM).
Solução. Se ocorrer um evento UM, então um dos seguintes eventos incompatíveis ocorrerá definitivamente: EM– “um homem e uma mulher são escolhidos”; COM- “duas mulheres foram escolhidas.” Portanto podemos escrever: A=B+C. Vamos encontrar a probabilidade dos eventos EM E COM. Duas em cada 10 pessoas podem ser escolhidas de maneiras diferentes. Duas mulheres em cada 4 podem ser selecionadas de maneiras diferentes. Um homem e uma mulher podem ser selecionados de maneiras 6 × 4. Então . Desde os eventos EM E COM são inconsistentes, então, pelo teorema da adição,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Problema 1.10. Há 15 livros didáticos dispostos aleatoriamente em uma estante da biblioteca, cinco deles encadernados. O bibliotecário pega três livros aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que pelo menos um dos livros retirados seja encadernado (evento UM).
Solução. Primeira maneira. O requisito - pelo menos um dos três livros encadernados retirados - será cumprido se ocorrer algum dos três eventos incompatíveis a seguir: EM– um livro encadernado, COM– dois livros encadernados, D– três livros encadernados.
Evento de nosso interesse UM pode ser representado como uma soma de eventos: A=B+C+D. De acordo com o teorema da adição,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Vamos encontrar a probabilidade dos eventos B, C E D(ver esquemas combinatórios): 
Representando essas probabilidades em igualdade (2.1), obtemos finalmente
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Segunda maneira. Evento UM(pelo menos um dos três livros levados é encadernado) e Ā
(nenhum dos livros levados é encadernado) - oposto, portanto P(A) + P(Ā) = 1 (a soma das probabilidades de dois eventos opostos é igual a 1). Daqui P(A) = 1 – P(Â). Probabilidade de ocorrência do evento Ā
(nenhum dos livros levados é encadernado)
Probabilidade necessária
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.
1.2.5. Probabilidade condicional. Teorema da multiplicação de probabilidade
Probabilidade condicional P(B/UM) é a probabilidade do evento B, calculada sob a suposição de que o evento A já ocorreu.
Teorema. A probabilidade de ocorrência conjunta de dois eventos é igual ao produto das probabilidades de um deles pela probabilidade condicional do outro, calculada assumindo que o primeiro evento já ocorreu:
P(A∙B) = P(UMA)∙P( EM/UM). (2.2)
Dois eventos são chamados de independentes se a ocorrência de qualquer um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro, ou seja,
P(A) = P(A/B) ou P(B) = P(B/UM). (2.3)
Se os eventos UM E EM são independentes, então das fórmulas (2.2) e (2.3) segue
P(A∙B) = P(UMA)∙P(B). (2.4)
A afirmação oposta também é verdadeira, ou seja, se a igualdade (2.4) vale para dois eventos, então esses eventos são independentes. Na verdade, das fórmulas (2.4) e (2.2) segue-se
P(A∙B) = P(UMA)∙P(B) = P(A) × P(B/UM), onde P(A) = P(B/UM).
A fórmula (2.2) pode ser generalizada para o caso de um número finito de eventos UM 1 , UM 2 ,…,Um:
P(A 1 ∙UM 2 ∙…∙Um)=P(A 1)∙P(A 2 /UM 1)∙P(A 3 /UM 1 UM 2)∙…∙Frigideira/UM 1 UM 2 …Um -1).
Problema 1.11. De uma urna contendo 5 bolas brancas e 10 bolas pretas, são sorteadas duas bolas seguidas. Encontre a probabilidade de ambas as bolas serem brancas (evento UM).
Solução. Vamos considerar os eventos: EM– a primeira bola sorteada é branca; COM– a segunda bola sorteada é branca. Então A = BC.
O experimento pode ser realizado de duas maneiras:
1) com retorno: a bola retirada, após fixar a cor, é devolvida à urna. Neste caso os acontecimentos EM E COM independente:
P(UMA) = P(B)∙R(S) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) sem retornar: a bola retirada é posta de lado. Neste caso os acontecimentos EM E COM dependente:
P(UMA) = P(B)∙R(S/EM).
Para um evento EM as condições são as mesmas, e para COM a situação mudou. Ocorrido EM, portanto restam 14 bolas na urna, incluindo 4 brancas.
Então, .
Problema 1.12. Das 50 lâmpadas, 3 não são padronizadas. Encontre a probabilidade de que duas lâmpadas tiradas ao mesmo tempo não sejam padronizadas.
Solução. Vamos considerar os eventos: UM– a primeira lâmpada não é padrão, EM– a segunda lâmpada não é padrão, COM– ambas as lâmpadas não são padronizadas. Está claro que C = UMA∙EM. Evento UM 3 casos em 50 possíveis são favoráveis, ou seja, P(A) = 3/50. Se o evento UM já chegou, então o evento EM dois casos entre 49 possíveis são favoráveis, ou seja, P(B/UM) = 2/49. Por isso,
.
Problema 1.13. Dois atletas atiram no mesmo alvo independentemente um do outro. A probabilidade do primeiro atleta acertar o alvo é de 0,7 e do segundo é de 0,8. Qual é a probabilidade de o alvo ser atingido?
Solução. O alvo será atingido se o primeiro atirador, ou o segundo, ou ambos, o acertarem, ou seja, um evento vai acontecer A+B, onde é o evento UM consiste no primeiro atleta atingir o alvo, e o evento EM- segundo. Então
P(A+EM)=P(A)+P(B)–P(A∙EM)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Problema 1.14. A sala de leitura possui seis livros didáticos sobre teoria das probabilidades, três dos quais são encadernados. O bibliotecário pegou dois livros aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que dois livros didáticos sejam encadernados.
Solução. Vamos apresentar as designações de eventos : Um– o primeiro livro retirado está encadernado, EM– o segundo livro está encadernado. A probabilidade de o primeiro livro estar encadernado é
P(A) = 3/6 = 1/2.
A probabilidade de o segundo livro ser encadernado, desde que o primeiro livro retirado esteja encadernado, ou seja, probabilidade condicional de um evento EM, é assim: P(B/UM) = 2/5.
A probabilidade desejada de que ambos os livros estejam vinculados, de acordo com o teorema da multiplicação das probabilidades de eventos, é igual a
P(AB) = P(A) ∙ P(B/UM)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Problema 1.15. Há 7 homens e 3 mulheres trabalhando na oficina. Três pessoas foram selecionadas aleatoriamente usando seus números pessoais. Encontre a probabilidade de que todas as pessoas selecionadas sejam homens.
Solução. Vamos apresentar as designações de eventos: UM– o homem é selecionado primeiro, EM– o segundo selecionado é um homem, COM - O terceiro selecionado foi um homem. A probabilidade de um homem ser selecionado primeiro é P(A) = 7/10.
A probabilidade de um homem ser selecionado em segundo lugar, desde que um homem já tenha sido selecionado primeiro, ou seja, probabilidade condicional de um evento EM próximo : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
A probabilidade de um homem ser selecionado em terceiro lugar, dado que dois homens já foram selecionados, ou seja, probabilidade condicional de um evento COMé isto: P(C/AB) = 5/8.
A probabilidade desejada de que todas as três pessoas selecionadas sejam homens é P(ABC) = P(UMA) P(B/UM) P(C/AB) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.
1.2.6. Fórmula de Probabilidade Total e Fórmula de Bayes
Deixar B 1 , B 2 ,…, Bn– eventos incompatíveis entre pares (hipóteses) e UM– um evento que só pode acontecer junto com um deles.
Deixe-nos saber também P(B eu) E P(A/B eu) (eu = 1, 2, …, n).
Nestas condições as fórmulas são válidas: 
(2.5)
(2.6)
A fórmula (2.5) é chamada fórmula de probabilidade total
. Calcula a probabilidade de um evento UM(probabilidade total).
A fórmula (2.6) é chamada Fórmula de Bayes
. Permite recalcular as probabilidades das hipóteses se o evento UM ocorrido.
Ao compilar exemplos, é conveniente assumir que as hipóteses formam um grupo completo.
Problema 1.16. A cesta contém maçãs de quatro árvores da mesma variedade. Da primeira - 15% de todas as maçãs, da segunda - 35%, da terceira - 20%, da quarta - 30%. Maçãs maduras têm 99%, 97%, 98%, 95%, respectivamente.
a) Qual é a probabilidade de uma maçã escolhida ao acaso estar madura (evento UM).
b) Dado que uma maçã colhida ao acaso está madura, calcule a probabilidade de que seja da primeira árvore.
Solução. a) Temos 4 hipóteses:
B 1 – uma maçã retirada ao acaso é retirada da 1ª árvore;
B 2 – uma maçã retirada ao acaso é retirada da 2ª árvore;
B 3 – uma maçã retirada ao acaso é retirada da 3ª árvore;
B 4 – uma maçã retirada ao acaso é retirada da 4ª árvore.
Suas probabilidades de acordo com a condição: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Probabilidades condicionais de um evento UM:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
A probabilidade de que uma maçã colhida aleatoriamente esteja madura é encontrada usando a fórmula de probabilidade total:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) A fórmula de Bayes para o nosso caso é semelhante a: 
.
Problema 1.17. Uma bola branca é lançada em uma urna contendo duas bolas, após a qual uma bola é sorteada aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que a bola extraída seja branca se todas as suposições possíveis sobre a composição inicial das bolas (com base na cor) forem igualmente possíveis.
Solução. Vamos denotar por UM evento – uma bola branca é sorteada. As seguintes suposições (hipóteses) sobre a composição inicial das bolas são possíveis: B1– não há bolas brancas, B2– uma bola branca, B3- duas bolas brancas.
Como existem três hipóteses no total e a soma das probabilidades das hipóteses é 1 (já que formam um grupo completo de eventos), então a probabilidade de cada uma das hipóteses é 1/3, ou seja,
P(B 1) = P(B 2)=P(B 3) = 1/3.
A probabilidade condicional de que uma bola branca seja sorteada, dado que inicialmente não havia bolas brancas na urna, P(A/B 1)=1/3. A probabilidade condicional de que uma bola branca seja sorteada, dado que inicialmente havia uma bola branca na urna, P(A/B 2)=2/3. Probabilidade condicional de que uma bola branca seja sorteada, dado que inicialmente havia duas bolas brancas na urna P(A/B 3)=3/ 3=1.
Encontramos a probabilidade necessária de que uma bola branca seja sorteada usando a fórmula de probabilidade total:
R(UM)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Problema 1.18. Duas máquinas produzem peças idênticas que vão para um transportador comum. A produtividade da primeira máquina é o dobro da segunda. A primeira máquina produz em média 60% de peças de excelente qualidade, e a segunda - 84%. A peça retirada aleatoriamente da linha de montagem revelou-se de excelente qualidade. Encontre a probabilidade de que esta peça tenha sido produzida pela primeira máquina.
Solução. Vamos denotar por UM evento - um detalhe de excelente qualidade. Duas suposições podem ser feitas: B1– a peça foi produzida pela primeira máquina, e (já que a primeira máquina produz o dobro de peças que a segunda) P(A/B 1) = 2/3; B 2 – a peça foi produzida pela segunda máquina, e P(B 2) = 1/3.
A probabilidade condicional de que a peça seja de excelente qualidade se for produzida pela primeira máquina, P(A/B 1)=0,6.
A probabilidade condicional de que a peça seja de excelente qualidade se for produzida pela segunda máquina é P(A/B 1)=0,84.
A probabilidade de que uma peça escolhida aleatoriamente seja de excelente qualidade, de acordo com a fórmula da probabilidade total, é igual a
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.
A probabilidade exigida de que a peça excelente selecionada tenha sido produzida pela primeira máquina, de acordo com a fórmula de Bayes, é igual a
Problema 1.19. São três lotes de peças, cada um contendo 20 peças. O número de peças padrão no primeiro, segundo e terceiro lotes é respectivamente 20, 15, 10. Uma peça que se revelou padrão foi removida aleatoriamente do lote selecionado. As peças são devolvidas ao lote e uma peça é retirada aleatoriamente do mesmo lote, o que também acaba sendo padrão. Encontre a probabilidade de as peças terem sido removidas do terceiro lote.
Solução. Vamos denotar por UM evento - em cada uma das duas tentativas (com retorno), foi recuperada uma peça padrão. Três suposições (hipóteses) podem ser feitas: B 1 – as peças são retiradas do primeiro lote, EM 2
– as peças são retiradas do segundo lote, EM 3 – são retiradas peças do terceiro lote.
As peças foram extraídas aleatoriamente de um determinado lote, portanto as probabilidades das hipóteses são as mesmas: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Vamos encontrar a probabilidade condicional P(A/B 1), ou seja a probabilidade de que duas peças padrão sejam removidas sequencialmente do primeiro lote. Este evento é confiável porque no primeiro lote todas as peças são padrão, então P(A/B 1) = 1.
Vamos encontrar a probabilidade condicional P(A/B 2), ou seja a probabilidade de que duas peças padrão sejam removidas (e devolvidas) sequencialmente do segundo lote: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Vamos encontrar a probabilidade condicional P(A/B 3), ou seja a probabilidade de que duas peças padrão sejam removidas (e devolvidas) sequencialmente do terceiro lote: P(A/B 3) = 20/10 · 20/10 = 1/4.
A probabilidade desejada de que ambas as partes padrão extraídas sejam retiradas do terceiro lote, de acordo com a fórmula de Bayes, é igual a 
1.2.7. Testes repetidos
Se vários testes forem realizados e a probabilidade do evento UM em cada teste não depende dos resultados de outros testes, então tais testes são chamados independente em relação ao evento A. Em diferentes ensaios independentes, o evento UM podem ter probabilidades diferentes ou a mesma probabilidade. Consideraremos ainda apenas os testes independentes nos quais o evento UM tem a mesma probabilidade.
Deixe ser produzido n ensaios independentes, em cada um dos quais o evento UM pode ou não aparecer. Vamos concordar em assumir que a probabilidade de um evento UM em cada tentativa é o mesmo, ou seja, igual R. Portanto, a probabilidade do evento não ocorrer UM em cada tentativa também é constante e igual a 1– R. Este esquema probabilístico é chamado Esquema de Bernoulli. Vamos nos propor a tarefa de calcular a probabilidade de que quando n Evento teste de Bernoulli UM se tornará realidade k uma vez ( k– número de sucessos) e, portanto, não se tornará realidade p– uma vez. É importante ressaltar que não é necessário que o evento UM repetido exatamente k vezes em uma determinada sequência. Denotamos a probabilidade desejada R p (k).
Por exemplo, o símbolo R 5(3) significa a probabilidade de que em cinco tentativas o evento ocorra exatamente 3 vezes e, portanto, não ocorra 2 vezes.
O problema colocado pode ser resolvido usando o chamado Fórmulas de Bernoulli, que se parece com: 
.
Problema 1.20. A probabilidade de o consumo de eletricidade durante um dia não ultrapassar a norma estabelecida é igual a R=0,75. Encontre a probabilidade de que nos próximos 6 dias o consumo de eletricidade durante 4 dias não exceda a norma.
Solução. A probabilidade de consumo normal de energia durante cada um dos 6 dias é constante e igual a R=0,75. Consequentemente, a probabilidade de consumo excessivo de energia todos os dias também é constante e igual a q = 1–R=1–0,75=0,25.
A probabilidade exigida de acordo com a fórmula de Bernoulli é igual a
.
Problema 1.21. Dois jogadores de xadrez iguais jogam xadrez. O que é mais provável: vencer dois jogos em quatro ou três jogos em seis (empates não são considerados)?
Solução. Jogadores de xadrez iguais estão jogando, então a probabilidade de ganhar R= 1/2, portanto, a probabilidade de perder q também é igual a 1/2. Porque em todos os jogos a probabilidade de vitória é constante e não importa a sequência em que os jogos são vencidos, então a fórmula de Bernoulli é aplicável.
Vamos encontrar a probabilidade de que dois jogos em quatro sejam vencidos:
Vamos encontrar a probabilidade de que três jogos em seis sejam vencidos:
Porque P 4 (2) > P 6 (3), então é mais provável vencer dois jogos em quatro do que três em seis.
Contudo, pode-se observar que usando a fórmula de Bernoulli para valores grandes n bastante difícil, pois a fórmula requer operações com grandes números e, portanto, os erros se acumulam durante o processo de cálculo; Como resultado, o resultado final pode diferir significativamente do verdadeiro.
Para resolver este problema, existem vários teoremas de limite que são utilizados para o caso de um grande número de testes.
1. Teorema de Poisson
Ao realizar um grande número de testes usando o esquema de Bernoulli (com n=> ∞) e com um pequeno número de resultados favoráveis k(presume-se que a probabilidade de sucesso pé pequeno), a fórmula de Bernoulli se aproxima da fórmula de Poisson 
.
Exemplo 1.22. A probabilidade de defeitos quando uma empresa produz uma unidade de produto é igual a p=0,001. Qual é a probabilidade de que, ao produzir 5.000 unidades de produto, menos de 4 delas sejam defeituosas (evento UM Solução. Porque né grande, usamos o teorema local de Laplace: 
Vamos calcular x:
Função 
– par, então φ(–1,67) = φ(1,67).
Usando a tabela do Apêndice A.1, encontramos φ(1,67) = 0,0989.
Probabilidade necessária P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Teorema integral de Laplace
Se a probabilidade R ocorrência de um evento UM em cada tentativa de acordo com o esquema de Bernoulli é constante e diferente de zero e um, então com um grande número de tentativas n, probabilidade R p (k 1 , k 2) ocorrência do evento UM nestes testes de k 1 para k 2 vezes aproximadamente igual
Rp(k 1 , k 2) =Φ( x"") – Φ ( x"), Onde 
– Função Laplace,
A integral definida na função de Laplace não pode ser calculada na classe de funções analíticas, portanto a tabela é usada para calculá-la. Cláusula 2ª, constante do anexo.
Exemplo 1.24. A probabilidade de um evento ocorrer em cada uma das cem tentativas independentes é constante e igual a p= 0,8. Encontre a probabilidade de o evento ocorrer: a) pelo menos 75 vezes e não mais que 90 vezes; b) pelo menos 75 vezes; c) não mais que 74 vezes.
Solução. Vamos usar o teorema da integral de Laplace:
Rp(k 1 , k 2) =Φ( x"") – Φ( x"), onde Ф( x) – Função Laplace,
a) De acordo com a condição, n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Vamos calcular x"" E x" :
Considerando que a função de Laplace é ímpar, ou seja, F(- x) = –F( x), obtemos
P 100 (75;90) = Ф (2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).
De acordo com a tabela P.2. encontraremos aplicações:
F(2,5) = 0,4938;
Probabilidade necessária
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
F(1,25) = 0,3944. k 1 = 75, k b) A exigência de que um evento apareça pelo menos 75 vezes significa que o número de ocorrências do evento pode ser 75, ou 76, ..., ou 100. Assim, no caso em consideração, deve ser aceito 
.
2 = 100. Então
Probabilidade necessária
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
De acordo com a tabela P.2. aplicação encontramos Ф(1,25) = 0,3944; F(5) = 0,5. UM c) Evento – “ UM apareceu pelo menos 75 vezes" e "
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.
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