Resistência ao cubo. Resolvendo problemas de cálculo de resistência elétrica usando modelos Solução de cubo de resistência
Vamos considerar um problema clássico. Dado um cubo cujas arestas representam condutores com alguma resistência idêntica. Este cubo está incluído num circuito elétrico entre todos os seus pontos possíveis. Pergunta: o que é igual resistência ao cubo em cada um desses casos? Neste artigo, um tutor de física e matemática fala sobre como esse problema clássico é resolvido. Há também um vídeo tutorial no qual você encontrará não apenas uma explicação detalhada da solução do problema, mas também uma demonstração física real confirmando todos os cálculos.
Então, um cubo pode ser conectado a um circuito em três de várias maneiras.
Resistência de um cubo entre vértices opostos
Neste caso, a corrente, tendo atingido o ponto UM, está distribuído entre três arestas do cubo. Além disso, uma vez que todas as três arestas são equivalentes em termos de simetria, nenhuma aresta pode receber mais ou menos “significância”. Portanto, a corrente entre essas arestas deve ser distribuída igualmente. Ou seja, a intensidade da corrente em cada aresta é igual a:
O resultado é que a queda de tensão em cada uma dessas três arestas é a mesma e igual a , onde é a resistência de cada aresta. Mas a queda de tensão entre dois pontos é igual à diferença de potencial entre esses pontos. Ou seja, os potenciais dos pontos C, D E E são iguais e iguais. Por razões de simetria, os potenciais pontuais F, G E K também são iguais.
Pontos com o mesmo potencial podem ser conectados por condutores. Isso não mudará nada, porque de qualquer maneira nenhuma corrente fluirá através desses condutores:
Como resultado, descobrimos que as arestas A.C., ANÚNCIO E A.E. T. Da mesma forma as costelas Facebook, GB. E KB conectar em um ponto. Vamos chamar isso de ponto M. Quanto às 6 arestas restantes, todos os seus “começos” serão conectados no ponto T, e todas as extremidades estão no ponto M. Como resultado, obtemos o seguinte circuito equivalente:
Resistência de um cubo entre cantos opostos de uma face
EM nesse caso arestas são equivalentes ANÚNCIO E A.C.. A mesma corrente fluirá através deles. Além disso, equivalentes também são KE E KF. A mesma corrente fluirá através deles. Repitamos mais uma vez que a corrente entre arestas equivalentes deve ser distribuída igualmente, caso contrário a simetria será quebrada:
Assim, neste caso os pontos têm o mesmo potencial C E D, bem como pontos E E F. Isso significa que esses pontos podem ser combinados. Deixe os pontos C E D unir-se em um ponto M, e os pontos E E F- no ponto T. Então obtemos o seguinte circuito equivalente:
Em uma seção vertical (diretamente entre os pontos T E M) não há fluxos de corrente. Na verdade, a situação é semelhante a uma ponte de medição equilibrada. Isto significa que este elo pode ser excluído da cadeia. Depois disso, conte resistência total não será difícil:
A resistência do elo superior é igual a , a resistência do elo inferior é . Então a resistência total é:
Resistência de um cubo entre vértices adjacentes da mesma face
Este é o último opção possível conectando o cubo a um circuito elétrico. Neste caso, as arestas equivalentes através das quais a mesma corrente fluirá são as arestas A.C. E ANÚNCIO. E, consequentemente, os pontos terão potenciais idênticos C E D, bem como pontos simétricos a eles E E F:
Novamente conectamos pontos com potenciais iguais em pares. Podemos fazer isto porque nenhuma corrente fluirá entre estes pontos, mesmo que os liguemos a um condutor. Deixe os pontos C E D unir em um ponto T, e os pontos E E F- direto ao ponto M. Então podemos desenhar o seguinte circuito equivalente:
A resistência total do circuito resultante é calculada usando métodos padrão. Substituímos cada segmento de dois resistores conectados em paralelo por um resistor com resistência . Então a resistência do segmento “superior”, que consiste em resistores conectados em série, e, é igual a.
Este segmento está conectado ao segmento “intermediário”, composto por um resistor com resistência de , em paralelo. A resistência de um circuito que consiste em dois resistores conectados em paralelo com resistência e é igual a:
Ou seja, o esquema é simplificado para uma forma ainda mais simples:
Como você pode ver, a resistência do segmento “superior” em forma de U é igual a:
Bem, a resistência total de dois resistores conectados em paralelo é igual a:
Experimente medir a resistência de um cubo
Para mostrar que tudo isso não é um truque matemático e que por trás de todos esses cálculos existe uma física real, decidi realizar um experimento físico direto para medir a resistência de um cubo. Você pode assistir a esse experimento no vídeo no início do artigo. Aqui postarei fotos da configuração experimental.
Especialmente para este experimento, soldei um cubo cujas bordas eram resistores idênticos. Também tenho um multímetro que liguei no modo de resistência. A resistência de um único resistor é 38,3 kOhm:
Para desenvolver as habilidades criativas dos alunos, são interessantes problemas que envolvem a resolução de circuitos resistores. CC pelo método dos nós equipotenciais. A solução destes problemas é acompanhada por uma transformação sequencial do circuito original. Além disso, sofre maior alteração após a primeira etapa, quando é utilizado este método. Outras transformações envolvem a substituição equivalente de resistores em série ou paralelo.
Para transformar um circuito, eles usam a propriedade de que em qualquer circuito pontos com os mesmos potenciais podem ser conectados em nós. E vice-versa: os nós do circuito podem ser divididos se depois disso os potenciais dos pontos incluídos no nó não mudarem.
EM literatura metodológica frequentemente escrito assim: se um circuito contém condutores com resistências iguais localizados simetricamente em relação a qualquer eixo ou plano de simetria, então os pontos desses condutores, simétricos em relação a este eixo ou plano, têm o mesmo potencial. Mas toda a dificuldade é que ninguém indica tal eixo ou plano no diagrama e não é fácil encontrá-lo.
Proponho outra forma simplificada de resolver tais problemas.
Problema 1. Um cubo de arame (Fig. 1) está incluído no circuito entre os pontos A para B.
Encontre sua resistência total se a resistência de cada aresta for igual R.
Coloque o cubo em sua borda AB(Fig. 2) e “corte” em doismetades paralelas avião AA 1 B 1 B, passando pela borda inferior e superior.
Vejamos a metade direita do cubo. Vamos levar em conta que as costelas inferiores e superiores se partiram ao meio e ficaram 2 vezes mais finas, e sua resistência aumentou 2 vezes e ficou 2 vezes R(Fig. 3).
1) Encontre resistênciaR1três condutores superiores conectados em série:
4) Encontre a resistência total desta metade do cubo (Fig. 6):
Encontre a resistência total do cubo:
Acabou sendo relativamente simples, compreensível e acessível a todos.
Problema 2. O cubo de fio está conectado ao circuito não por uma aresta, mas por uma diagonal AC qualquer borda. Encontre sua resistência total se a resistência de cada aresta for igual R (Fig. 7).
Coloque o cubo na aresta AB novamente. “Vi” o cubo em doismetades paralelaso mesmo plano vertical (ver Fig. 2).
Novamente olhamos para a metade direita do cubo de arame. Levamos em consideração que as costelas superiores e inferiores se partiram ao meio e suas resistências passaram a ser 2 cada R.
Levando em consideração as condições do problema, temos a seguinte ligação (Fig. 8).
Seções: Física
Metas: educacional: sistematizar os conhecimentos e competências dos alunos na resolução de problemas e no cálculo de resistências equivalentes através de modelos, pórticos, etc.
Desenvolvimento: desenvolvimento de habilidades de pensamento lógico, pensamento abstrato, habilidades para substituir esquemas de equivalência, simplificar o cálculo de esquemas.
Educacional: promover um senso de responsabilidade, independência e a necessidade de habilidades adquiridas em sala de aula no futuro
Equipamento: armação de arame de um cubo, tetraedro, malha de uma cadeia infinita de resistência.
PROGRESSO DA LIÇÃO
Atualizar:
1. Professor: “Vamos lembrar a conexão em série das resistências.”
Os alunos desenham um diagrama no quadro.
e anote
U rev =U 1 +U 2
Y rev =Y 1 =Y 2
Professor: vamos lembrar conexão paralela resistência.
Um aluno esboça um diagrama básico no quadro:
Y rev =Y 1 =Y 2
; para para n igual
Professor: Agora vamos resolver problemas de cálculo da resistência equivalente de uma seção do circuito apresentado na forma figura geométrica ou malha metálica.
Tarefa nº 1
Uma estrutura de arame em forma de cubo, cujas arestas representam resistências iguais R. Calcule a resistência equivalente entre os pontos A e B. Para calcular a resistência equivalente de uma determinada estrutura, é necessário substituí-la por um circuito equivalente. Os pontos 1, 2, 3 têm o mesmo potencial, podem ser conectados em um nó. E os pontos (vértices) do cubo 4, 5, 6 podem ser conectados em outro nó pelo mesmo motivo. Os alunos têm esse modelo em cada mesa. Após concluir as etapas descritas, desenhe um circuito equivalente.
Na seção AC a resistência equivalente é; em CD; no banco de dados; e finalmente para a ligação em série de resistências temos: 
Pelo mesmo princípio, os potenciais dos pontos A e 6 são iguais, B e 3 são iguais. Os alunos combinam esses pontos em seu modelo e obtêm um diagrama equivalente:
Calcular a resistência equivalente de tal circuito é simples 
Problema nº 3
O mesmo modelo de cubo, com inclusão no circuito entre os pontos 2 e B. Os alunos conectam pontos com potenciais iguais 1 e 3; 6 e 4. Então o diagrama ficará assim:
Os pontos 1,3 e 6,4 têm potenciais iguais, e nenhuma corrente fluirá pelas resistências entre esses pontos e o circuito é simplificado na forma; cuja resistência equivalente é calculada da seguinte forma:
Problema nº 4
Equilátero pirâmide triangular, cuja borda tem uma resistência R. Calcule a resistência equivalente quando conectado ao circuito.
Os pontos 3 e 4 têm potencial igual, portanto, nenhuma corrente fluirá ao longo da borda 3,4. Os alunos limpam.
Então o diagrama ficará assim:
A resistência equivalente é calculada da seguinte forma:
Problema nº 5
Malha metálica com resistência de ligação igual a R. Calcule a resistência equivalente entre os pontos 1 e 2.
No ponto 0 você pode separar os links, então o diagrama ficará assim:
- a resistência de metade é simétrica em 1-2 pontos. Existe um ramo semelhante paralelo a ele, então 
Problema nº 6
A estrela consiste em 5 triângulos equiláteros, a resistência de cada 
.
Entre os pontos 1 e 2, um triângulo é paralelo a quatro triângulos conectados em série
Tendo experiência no cálculo da resistência equivalente de estruturas de fios, você pode começar a calcular a resistência de um circuito contendo um número infinito de resistências. Por exemplo:
Se você separar o link
de esquema geral, então o circuito não mudará, então ele pode ser representado na forma
ou 
,
resolva esta equação para R eq.
Resumo da lição: aprendemos a representar abstratamente as seções de um circuito e substituí-las por circuitos equivalentes, o que facilita o cálculo da resistência equivalente.
Instruções: Este modelo pode ser representado como:
Resistência elétrica de um cubo
É fornecida uma moldura em forma de cubo feita de arame metálico. A resistência elétrica de cada aresta do cubo é de um ohm. Qual é a resistência de um cubo ao passar corrente elétrica de um vértice a outro se estiver conectado a uma fonte de corrente constante conforme mostrado na figura?
Calculamos a resistência do circuito usando as fórmulas para conexão de resistências em paralelo e em série e obtemos a resposta - a resistência elétrica do cubo é 5/6 Ohms.
Fatos interessantes sobre o problema da resistência de um cubo de resistores
1. Resolvendo o problema da resistência de um cubo em visão geral pode ser lido no site da revista Kvant ou visualizado aqui: “No final dos anos 40, um problema sobre a resistência elétrica de um cubo de fio apareceu nos círculos matemáticos de Moscou. Não sabemos quem o inventou ou o encontrou na antiguidade. livros didáticos. O problema era muito popular e todos aprenderam rapidamente sobre ele. Logo começaram a questioná-la nos exames e ela se tornou...
0 0
Vamos considerar um problema clássico. Dado um cubo cujas arestas representam condutores com alguma resistência idêntica. Este cubo está incluído num circuito elétrico entre todos os seus pontos possíveis. Pergunta: qual é a resistência do cubo em cada um desses casos? Neste artigo, um tutor de física e matemática fala sobre como esse problema clássico é resolvido. Há também um vídeo tutorial no qual você encontrará não apenas uma explicação detalhada da solução do problema, mas também uma demonstração física real confirmando todos os cálculos.
Assim, o cubo pode ser conectado ao circuito de três maneiras diferentes.
Resistência de um cubo entre vértices opostos
Neste caso, a corrente, tendo atingido o ponto A, é distribuída entre as três arestas do cubo. Além disso, uma vez que todas as três arestas são equivalentes em termos de simetria, nenhuma aresta pode receber mais ou menos “significância”. Portanto, a corrente entre essas arestas deve ser distribuída igualmente. Ou seja, força...
0 0
Estranho..
Você respondeu sua própria pergunta...
- Solde e “conecte as pontas de prova do ohmímetro a dois pontos por onde passa a diagonal principal do cubo” “meça”
Em anexo está um desenho: -
Um raciocínio simples será suficiente. Chega de conhecimento escolar de física. A geometria não é necessária aqui, então vamos mover o cubo para um plano e primeiro marcar os pontos característicos.
Em anexo está um desenho: -
Ainda assim, é melhor fornecer raciocínio lógico, e não apenas números aleatórios. No entanto, eles não acertaram!
Eu sugiro que você olhe maneiras originais soluções. Você adivinhou, mas como decidiu? A resposta está absolutamente correta e o tópico pode ser encerrado. A única coisa é que o problema pode ser resolvido desta forma não apenas para R idêntico. Simplesmente, se...
0 0
Deixe-me comentar a declaração do professor
Deixe uma tensão U ser aplicada às bordas opostas do cubo A e C, como resultado da qual uma corrente I flui na seção do circuito externa ao cubo.
A figura mostra correntes fluindo ao longo das faces de um cubo. A partir de considerações de simetria fica claro que as correntes que fluem ao longo das faces AB, AA" e AD são iguais - vamos denotar esta corrente I1; da mesma forma descobrimos que as correntes ao longo das faces DC, DD", BC, BB", A"B", A"D" são iguais a (I2)l; as correntes ao longo das facetas CC, B"C" e D"C" também são iguais a (I3).
Anotamos as leis de Kirchhoff (por exemplo, para os nós A, B, C, C"):
(eu = 3I1
(I1 = 2I2
(2I2 = I3
(3I3 = eu
A partir daqui obtemos I1= I3 = I/3; I2 = I/6
Seja a resistência total do cubo r; então de acordo com a lei de Ohm
(1) U = Ir.
Por outro lado, ao contornar o contorno ABCC obtemos que
(2) você = (I1 + I2 + I3)R
Da comparação (1) e (2) temos:
r = R*(I1 + I2 + I3)/I = R*(1/3 + 1/6 + 1/3) =...
0 0
Estudantes? Estas são tarefas escolares. Lei de Ohm, conexões em série e paralelo de resistências, um problema sobre três resistências e estas ao mesmo tempo.
Claro que não levei em consideração o público do site, onde a maioria dos participantes não só resolve problemas com prazer, mas também prepara eles próprios as tarefas. E, claro, ele conhece problemas clássicos que têm pelo menos 50 anos (eu os resolvi a partir de uma coleção anterior à primeira edição de Irodov - 1979, pelo que entendi).
Mas ainda é estranho ouvir que “os problemas não são das Olimpíadas”. IMHO, as “olimpíadas” dos problemas são determinadas não tanto ou mesmo tanto pela sua complexidade, mas em grande parte pelo fato de que ao resolvê-lo você tem que adivinhar (sobre algo), após o que a tarefa de muito complexa se torna muito simples.
O aluno médio escreverá um sistema de equações de Kirgoff e o resolverá. E ninguém lhe provará que a decisão está errada.
Um aluno inteligente descobrirá a simetria e resolverá problemas mais rapidamente do que o aluno médio.
P.S. No entanto, os “alunos médios” também são diferentes.
P.P.S....
0 0
Usar pacotes matemáticos universais não é aconselhável se você tiver programas de análise de circuitos. Os resultados podem ser obtidos tanto numérica quanto analiticamente (para circuitos lineares).
Tentarei fornecer um algoritmo para derivar a fórmula (R_eq=3/4 R)
Cortamos o cubo em 2 partes ao longo das diagonais das faces horizontais com um plano passando pelos pontos dados. Obtemos 2 metades de um cubo com uma resistência igual ao dobro da resistência desejada (a condutividade da metade do cubo é igual à metade da condutividade desejada). Onde o plano de corte cruza as nervuras, dividimos sua condutividade pela metade (dobramos a resistência). Expanda metade do cubo. Obtemos então um circuito com dois nós internos. Substituímos um triângulo por uma estrela, pois os números são inteiros. Bem, então um pouco de aritmética básica. Pode ser possível e ainda mais fácil de resolver, dúvidas vagas corroem...
PS. No Mapple e/ou Syrup você consegue uma fórmula para qualquer resistência, mas olhando essa fórmula você vai entender que só um computador vai querer com ela...
0 0
Citações engraçadas
xxx: Sim! SIM! Mais rápido, ainda mais rápido! Quero dois de uma vez, não, três! E este também! Oh sim!
yyy: ... cara, o que você está fazendo aí?
xxx: Finalmente ilimitado, baixando torrents: D
type_2: Eu me pergunto, e se ele colocasse um cubo de ferro fundido ali, pintado como um cubo de Rubik? :)
Discussão sobre um robô Lego que resolve um cubo de Rubik em 6 segundos.
type_2: Eu me pergunto e se ele colocasse um cubo de ferro fundido pintado em um cubo de Rubik ali? :)
punky: adivinhe o país pelos comentários...
xxx: você experimentou a calcinha nova?
aaa: Não)
aaa: Amanhã...
0 0
Resolvendo problemas de cálculo resistência elétrica usando modelos
Seções: Física
Objetivos: educacionais: sistematizar os conhecimentos e habilidades dos alunos na resolução de problemas e no cálculo de resistências equivalentes por meio de modelos, referenciais, etc.
Desenvolvimento: desenvolvimento de habilidades de pensamento lógico, pensamento abstrato, habilidades para substituir esquemas de equivalência, simplificar o cálculo de esquemas.
Educacional: promover um senso de responsabilidade, independência e a necessidade de habilidades adquiridas em sala de aula no futuro
Equipamento: armação de arame de um cubo, tetraedro, malha de uma cadeia infinita de resistência.
PROGRESSO DA LIÇÃO
Atualizar:
1. Professor: “Vamos lembrar conexão serial resistência."
Os alunos desenham um diagrama no quadro.
e anote
Professor: lembre-se da conexão paralela de resistências.
Um aluno desenha um desenho elementar...
0 0
Os elétrons voam para um capacitor plano de comprimento L em um ângulo a em relação ao plano das placas e voam para fora em um ângulo β. Determine a energia cinética inicial dos elétrons se a intensidade do campo do capacitor for E.
A resistência de qualquer aresta da estrutura de arame do cubo é igual a R. Encontre a resistência entre os vértices do cubo que estão mais distantes um do outro.
Quando uma corrente de 1,4 A passou por um longo período pelo fio, este aqueceu até 55°C, e com uma corrente de 2,8 A - até 160°C. A que temperatura o fio aquece com uma corrente de 5,6A? A resistência do fio não depende da temperatura. A temperatura ambiente é constante. A transferência de calor é diretamente proporcional à diferença de temperatura entre o fio e o ar.
Um fio condutor com diâmetro d derrete quando a corrente I1 passa por um longo período. A que corrente um fio com diâmetro 2d derreterá? A perda de calor pelo fio em ambos os casos é considerada proporcional à superfície do fio.
Quanto calor será liberado no circuito depois que a chave K for aberta? Os parâmetros do circuito são mostrados na figura.
Um elétron voa para um campo magnético uniforme, cuja direção é perpendicular à direção de seu movimento. Velocidade do elétron v = 4·107 m/s. Indução campo magnético B = 1 mT. Encontre a tangencial aτ e a aceleração normal do elétron em um campo magnético.
No circuito mostrado na figura, a potência térmica liberada no circuito externo é a mesma com a chave K fechada e aberta Determine a resistência interna da bateria r se R1 = 12 Ohm, R2 = 4 Ohm. 
Duas partículas com uma razão de carga q1/q2 = 2 e uma razão de massa m1/m2 = 4 voam em um campo magnético uniforme perpendicular às suas linhas de indução e se movem em círculos com uma razão de raio R1/R2 = 2. Determine a razão entre os raios energias cinéticas W1/W2 dessas partículas.
O circuito oscilatório consiste em um capacitor com capacidade C = 400 pF e uma bobina com indutância L = 10 mH. Encontre a amplitude das oscilações de corrente Im se a amplitude das oscilações de tensão Um = 500 V.
Depois de quanto tempo (em frações do período t/T) no capacitor circuito oscilatório pela primeira vez haverá uma carga igual à metade do valor da amplitude? (a dependência temporal da carga do capacitor é dada pela equação q = qm cos ω0t)
Quantos elétrons são emitidos da superfície do cátodo em 1 s a uma corrente de saturação de 12 mA? q = 1,6·10-19 Cl.
A intensidade da corrente no circuito do fogão elétrico é de 1,4 A. Que carga elétrica passa pela seção transversal de sua espiral em 10 minutos?
Determine a área da seção transversal e o comprimento de um condutor de cobre se sua resistência for 0,2 Ohm e sua massa for 0,2 kg. A densidade do cobre é 8.900 kg/m3, a resistividade é 1,7 * 10-8 Ohm * m.
Na figura da seção do circuito AB, a tensão é de 12 V, as resistências R1 e R2 são iguais a 2 Ohms e 23 Ohms, respectivamente, a resistência do voltímetro é de 125 Ohms. Determine as leituras do voltímetro. 
Determine o valor da resistência do shunt do amperímetro para expandir os limites de medição de corrente de 10 miliamperes (I1) para 10 amperes (I). A resistência interna do amperímetro é 100 Ohms (R1).
Que potência térmica é liberada no resistor R1 do circuito, cujo circuito é mostrado na figura, se o amperímetro mostrar corrente contínua I = 0,4 A? Valores de resistência do resistor: R1 = 5 Ohm, R2 = 30 Ohm, R3 = 10 Ohm, R4 = 20 Ohm. O amperímetro é considerado ideal. 
Duas pequenas bolas de metal idênticas estão carregadas de modo que a carga de uma delas seja 5 vezes maior que a carga da outra. As bolas foram colocadas em contato e afastadas na mesma distância. Quantas vezes a força de sua interação mudou de magnitude se: a) as bolas estão carregadas da mesma forma; b) as bolas têm carga oposta?
O comprimento de um fio de cobre cilíndrico é 10 vezes maior que o comprimento de um fio de alumínio e suas massas são iguais. Encontre a relação de resistência desses condutores.
O anel de fio está incluído em um circuito através do qual passa uma corrente de 9 A. Os contatos dividem o comprimento do anel na proporção de 1:2. Ao mesmo tempo, uma potência de 108 W é liberada no anel. Com a mesma intensidade de corrente no circuito externo, que potência será liberada no anel se os contatos forem colocados ao longo do diâmetro do anel?
Duas bolas do mesmo volume, cada uma com massa de 0,6 ∙ 10 -3 g, são suspensas em fios de seda de 0,4 m de comprimento de modo que suas superfícies se toquem. O ângulo no qual os fios divergiram ao transmitir cargas iguais às bolas é de 60°. Encontre a magnitude das cargas e a força de repulsão elétrica.
Duas bolas idênticas, uma carregada com carga negativa de 1,5 μC e a outra com carga positiva de 25 μC, são colocadas em contato e novamente afastadas a uma distância de 5 cm. Determine a carga de cada bola após o contato e a força. de sua interação.