Resolvendo equações diferenciais ordinárias. Método de Picard. Exemplos de resolução de problemas no método Maple Picard para resolução de equações diferenciais
Este é um método de solução aproximada, que é uma generalização do método de aproximações sucessivas (ver Capítulo V, § 2). Considere o problema de Cauchy para uma equação de primeira ordem
Integrando a equação diferencial, substituímos este problema por uma equação integral equivalente do tipo Volterra
Resolvendo esta equação integral pelo método de aproximações sucessivas, obtemos o processo iterativo de Picard
(denotaremos a solução aproximada, em contraste com a exata, por y). A cada iteração deste processo, a integração é realizada de forma exata ou utilizando os métodos numéricos descritos no Capítulo IV.
Vamos provar a convergência do método, assumindo que em alguma região limitada o lado direito é contínuo e satisfaz a variável e a condição de Lipschitz
Como a área é limitada, as relações são satisfeitas. Denotemos o erro da solução aproximada subtraindo (8) de (9) e usando a condição de Lipschitz, obtemos.
Resolvendo esta relação de recorrência e levando em conta que encontramos sequencialmente
Isso implica a estimativa de erro
Pode-se observar que para, ou seja, a solução aproximada converge uniformemente para a solução exata em toda a região.
Exemplo. Apliquemos o método de Picard ao problema de Cauchy para a equação (3), cuja solução não é expressa em termos de funções elementares
Neste caso, as quadraturas (9) são calculadas com exatidão e obtemos facilmente
É claro que essas aproximações convergem rapidamente e permitem calcular a solução com alta precisão,
A partir deste exemplo fica claro que o método de Picard é vantajoso se as integrais (9) puderem ser calculadas por meio de funções elementares. Se o lado direito da equação (7) for mais complexo, de modo que essas integrais tenham que ser encontradas por métodos numéricos, então o método de Picard torna-se não muito conveniente.
O método de Picard é facilmente generalizado para sistemas de equações da maneira descrita no parágrafo 2. Porém, na prática, quanto maior a ordem do sistema, menos frequentemente é possível calcular com precisão as integrais em (9), o que limita o uso do método neste caso.
Existem muitos outros métodos aproximados. Por exemplo, S.A. Chaplygin propôs um método que é uma generalização do método algébrico de Newton para o caso equações diferenciais. Outra forma de generalizar o método de Newton foi proposta por L. V. Kantorovich em 1948. Em ambos os métodos, assim como no método de Picard, as iterações são realizadas usando quadraturas. No entanto, as quadraturas neles têm muito mais aparência complexa, do que (9), e raramente são considerados em funções elementares. Portanto, esses métodos quase nunca são usados.
Objetivo do trabalho: formar nos alunos uma ideia da aplicação do controle remoto em diversas áreas; incutir a capacidade de resolver o problema de Cauchy para controle remoto no" = f(x,sim) no segmento [ um, b] para uma determinada condição inicial no 0 = f(x 0) métodos de Picard, Euler, Runge – Kutta, Adams; desenvolver competências para verificar os resultados obtidos através de programas aplicativos.
Método Picard
Exemplo 5.1.
: no h= 0,1 pelo método Picard com etapas h.
No relatório apresentar: andamento do trabalho, programa - função, erro, ilustração gráfica da solução.
Solução.
1. Insira os dados (Fig. 5.1)
um= 1,7 b = 2,7
h = 0,1
sim 0 = 5,3 eu = 0..n
Figura 5.1. Configurando os dados iniciais
2. Defina uma função que retorne os valores da primeira derivada em relação à variável no(Fig. 5.2).
f derivar ( sim) = 
Figura 5.2. Função que retorna o valor da primeira derivada de uma função
3. Vamos criar uma função que retorne a solução para o DE usando o método
Picara. Aqui: f- função original; derivação –
Derivada de uma função em relação a no; um,b– extremidades do segmento; h- etapa; no 0 –
valor inicial da variável no.
4. Vamos encontrar a solução da equação diferencial usando o método de Picard (Fig. 5.3).
fnPikan(fn, fn deriva, a, b, h, y0)=
Arroz. 5.3. Especificando uma função que retorna a solução para um controle remoto
Método Picard (arquivo fnPikar.mcd)
fnPikar(f, f deriva, a, b, 0,1, y0) =
| 7.78457519486 10 -11 | |
| 5,3 | |
| 5,46340155616 | |
| 5,62650688007 | |
| 5,78947945853 | |
| 5,95251650231 | |
| 6,11584391144 | |
| 6,27971330675 | |
| 6,44440084325 | |
| 6,61020759752 | |
| 6,77746140952 | |
| 6,94652015221 |
Arroz. 5.4. Encontrando uma solução numérica para o DE usando o método Picard
Método de Euler e suas modificações
Exemplo 5.2.
no(1.7) = 5,3 e etapa de integração h= 0,1 Método de Euler e método de Euler aprimorado com etapas h E h/2.
Solução.
O progresso da resolução do problema usando o método de Euler é mostrado na Fig. 5,5 – 5,7.
a = 1,7 b = 2,7 y0 = 5,3
y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0,05
Figura 5.5. Fragmento de uma planilha Mathcad com uma solução
equações pelo método de Euler com passo h E h/2 e gráfico
visualização do método de Euler.
1. Vamos criar um programa que implemente o método de Euler (Fig.
Figura 5.6. Listagem de um programa que implementa o método de Euler
2. Obtenha a solução do DE usando o método de Euler (Fig. 5.7.).
ES h = eyler(f, a, b, h, y0)
ES h2 = eyler(f, a, b, , y0)
Arroz. 5.7. Encontrando uma solução numérica para uma equação diferencial usando o método de Euler
Observação
Você mesmo pode compor uma função que retorne a solução para o DE usando o método de Euler aprimorado.
Arroz. 5.8. Resolvendo DE usando um método aprimorado
Euler com passos h E h/2
5.3. Método Runge-Kutta
Na prática, o método Runge-Kutta de quarta ordem é mais frequentemente usado.
Exemplo 5.3.
Resolva o problema de Cauchy para um controle remoto em um segmento de um determinado sistema operacional no(1.7) = 5,3 e etapa de integração h= 0,1 pelo método Runge – Kutta de quarta ordem com etapas h e 2 h.
No relatório apresentar: o andamento do trabalho, a função do programa, o erro, uma ilustração gráfica da solução e uma avaliação do erro de aproximação.
Solução.
1. Insira os dados da tarefa (Fig. 5.9).
um = 1,7 b = 2,7
h = 0,1
sim 0 = 5,3
eu= 0..n
Figura 5.9. Configurando os dados iniciais
2. Vamos compor uma função que retorne uma solução para um DE de primeira ordem usando o método Runge – Kutta. Aqui: fn – dada função; um, b– extremidades do segmento; h- etapa; sim 0 – valor inicial da função.
3. Vamos encontrar uma solução para o DE de primeira ordem usando as funções integradas do Mathcad (Fig. 5.10).
RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)
RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)
Arroz. 5.10. Listagem de uma função que retorna um número numérico
resolvendo o DE usando o método Runge – Kutta
Método Adams
Exemplo 5.4.
Resolva o problema de Cauchy para um controle remoto em um segmento de um determinado sistema operacional no(1.7) = 5,3 e etapa de integração h= 0,1 pelo método Adams em etapas h.
No relatório apresentar: cálculo manual, programa - função, erro, ilustração gráfica da solução e avaliação do erro de aproximação.
Solução.
1. Encontre os primeiros quatro números usando a fórmula de Runge-Kutta (Fig. 5.11).
y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) i
Arroz. 5.11. Cálculo dos primeiros quatro valores da solução numérica usando a fórmula de Runge – Kutta
2. Vamos criar uma função que implemente o método Adams (Fig. 2.10.3). Aqui um, b– extremidades do segmento; sim 1 – valor inicial da função; h- etapa.
Arroz. 5.12. Função que retorna uma solução numérica
DE pelo método Adams
3. Uma ilustração gráfica da resolução do DE usando diferentes métodos é apresentada na Fig. 5.13.
Arroz. 5.13. Visualização da solução DE usando diferentes métodos
Perguntas sobre o tema
1. O que significa resolver o problema de Cauchy para equações diferenciais de primeira ordem?
2. Interpretação gráfica da solução numérica do DE.
3. Quais métodos existem para resolver DE dependendo de
Formulários para apresentação de solução?
4. Qual é a essência do princípio da compressão
exibe?
5. Fórmula recorrente do método Picard.
6. Qual é a essência do método das linhas tracejadas de Euler?
7. Aplicação de quais fórmulas permitem obter valores
a função desejada usando o método de Euler?
8. Interpretação gráfica do método de Euler e
método de Euler aprimorado. Qual é a diferença deles?
9. Qual é a essência do método Runge-Kutta?
10. Como determinar o número de dígitos corretos em um número,
que é uma solução para a equação diferencial pelo método de Euler,
método melhorado de Euler, Picard, Runge–
Trabalho de laboratório nº 5
Tarefa 5.1.
Resolva o problema de Cauchy para controle remoto sim’ = f(x, sim) no segmento [ um, b] para um determinado NU no(UM) = Com e etapa de integração h(os parâmetros iniciais são fornecidos na Tabela 2.10.1):
1) Método de Euler e método de Euler aprimorado com etapas h E h/2;
2) Método Runge – Kutta com etapa h e 2 h;
3) Método de Adams;
4) Método de Picard.
A solução deve conter: andamento do trabalho, programa de método, solução gráfica equações e estimativa do erro de aproximação. Deixe 5 dígitos após a vírgula nos números.
Tabela 5.1. Opções de tarefas a serem concluídas trabalho independente
| № | f( x, sim) | [um, b] | e 0 | h |
| 3X 2 + 0,1xy | no(0) = 0,2 | 0,1 | ||
| 0,185(x 2 + cos(0,7 x)) + 1,843sim | no(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| no(1,6) = 4,6 | 0,1 | |||
 | no(0,2) = 1,1 | 0,1 | ||
| no(1,4) = 2,5 | 0,1 | |||
 | no(1,7) = 5,3 | 0,1 | ||
 | no(2,6) = 3,5 | 0,2 | ||
 | no(2) = 2,3 | 0,1 | ||
| 1,6 + 0,5 anos 2 | no(0) = 0,3 | 0,1 | ||
 | no(1,8) = 2,6 | 0,1 | ||
 | no(2,1) = 2,5 | 0,1 | ||
| e 2x + 0,25sim 2 | no(0) = 2,6 | 0,05 | ||
| [- 2; -1] | no(-2) = 3 | 0,1 | ||
| 0,133·( x 2+ pecado (2 x)) + 0,872sim | no(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| pecado( x + sim) +1,5 | no(1,5) = 4,5 | 0,1 | ||
 | no(0,4) = 0,8 | 0,1 | ||
| 2,5x+cos( sim + 0,6) | no(1) = 1,5 | 0,2 | ||
| cos(1,5 sim +x) 2 + 1,4 | no(1) = 1,5 | 0,1 | ||
 | no(1,5) = 2,1 | 0,05 | ||
| porque sim + 3x | no(0) = 1,3 | 0,1 | ||
| cos(1,5 x – sim 2) – 1,3 | [-1; 1] | no(-1) = 0,2 | 0,2 | |
| no(1,6) = 4,6 | 0,1 | |||
| e -(sim – 1) + 2x | no(0) = 0,3 | 0,05 | ||
| 1 + 2sim pecado x – sim 2 | no(1) = 0 | 0,1 | ||
 | no(0) = 0 | 0,1 | ||
| 0,166(x 2 + pecado(1,1 x)) + 0,883sim | no(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| no(1,7) = 5,6 | 0,1 | |||
| no(1,4) = 2,5 | 0,1 | |||
| no(0,6) = 0,8 | 0,1 | |||
| no(1) = 5,9 | 0,1 | |||
| 1 + 0,8sim pecado x - 2sim 2 | no(0) = 0 | 0,1 | ||
 | no(0,5) = 1,8 | 0,1 | ||
| no(1,2) = 1,8 | 0,1 | |||
| 1 + 2,2 pecado x + 1,5sim 2 | no(0) = 0 | 0,1 | ||
| no(0) = 0 | 0,1 | |||
 | no(0) = 0 | 0,1 | ||
 | no(0) = 0 | 0,1 | ||
| 0,2x 2 + sim 2 | no(0) = 0,8 | 0,1 | ||
| x 2 + você | no(0) = 0,4 | 0,1 | ||
| xy + 0,1sim 2 | no(0) = 0,5 | 0,1 |
Literatura
Literatura básica:
Alekseev G.V., Voronenko B.A., Lukin N.I. Métodos matemáticos em
engenharia de alimentos: livro didático. – São Petersburgo: “Lan”, 2012. – 212 p.
Alekseev G.V. Métodos matemáticos em engenharia: Método educacional. mesada. – São Petersburgo: NRU ITMO; IHBT. 2012. – 39 p.
Alekseev G.V., Kholyavin I.I. Modelagem e otimização econômico-matemática numérica: manual de treinamento para universidades, Instituto Estadual de Economia e Tecnologia, 2011, 211 p.
Makarov E.G. Mathcad: Curso de treinamento. – São Petersburgo: Peter, 2009. - 384 p.
Porshnev S.V., Belenkova I.V. Métodos numéricos baseados em Mathcad. –
São Petersburgo: BHV-Petersburgo, 2005. – 464 p.
Agapev B.D., Belov V.N., Kesamanly F.P., Kozlovsky V.V., Markov S.I. Processamento de dados experimentais: Livro didático. subsídio / Universidade Técnica do Estado de São Petersburgo. São Petersburgo, 2001.
GorelovaG.V. Teoria das probabilidades e estatística matemática em exemplos e problemas em Excel. – M.: Phoenix, 2005. – 476 p.
Adler Yu.P., Markova E.V., Granovsky Yu.V. Planejando um experimento em busca de condições ótimas - M.: Nauka, 1976.
Asaturyan V.I. A teoria do planejamento de experimentos.-M.: Rádio e comunicação, 1983
Brodsky V.Z. Introdução ao planejamento fatorial de experimentos.-M.: Nauka, 1976
Demidenko E.Z. Regressão linear e não linear.-M.: Finanças e Estatística, 1981
Krasovsky G.I., Filaretov G.F. Planejando um experimento.-Minsk: BSU, 1982
Markova E.V., Lisenkov A.N. Planos combinatórios em problemas de experimento multifatorial - M.: Nauka, 1979.
Frolkis V.A. Otimização linear e não linear.-SPb. 2001. 306 pág.
Kuritsky B.Ya. Procurar soluções ideais usando Excel 7.0.-SPb.: BHV, 1997, 384c
programas e recursos da Internet:
http://www.open-mechanics.com/journals - Processos e aparelhos para produção de alimentos
http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - Mecânica de fluidos e gases, hidráulica e máquinas hidráulicas
http://elibrary.ru/defaultx.asp - biblioteca eletrônica científica "Elibrary"
Introdução
1.Trabalho de laboratório Nº 1: Teoria da Computação Aproximada
1.1. Erros absolutos e relativos
1.2. Erro de número arredondado
1.3. Erros aritméticos
1.4. Erros funções elementares
1.5. Método de fronteira
1.6. Problema inverso da teoria do erro
1.7. Perguntas sobre o tema
1.8. Tarefas para trabalho de laboratório nº 1
2. Trabalho de laboratório nº 2: Métodos numéricos de solução
equações escalares
1.1. Método de acordes
1.2. Método tangente
1.3. Método de iteração simples
1.4. Perguntas sobre o tema
1.5. Tarefas para trabalho de laboratório nº 2
3. Trabalho de laboratório nº 3: Métodos numéricos para resolução de sistemas
equações não lineares
3.1. Método de Newton
3.2. Perguntas sobre o tema
3.3. Trabalho de laboratório nº 3
4. Trabalho laboratorial nº 4: Integração numérica
4.1. Método retângulo
4.2. Método Simpson
4.3. Método trapézio
4 .4. Método Monte Carlo
4.5. Perguntas sobre o tema
4.6. Trabalho de laboratório nº 4
5. Trabalho de laboratório nº 5: Resolvendo equações diferenciais ordinárias
5.1. Método Picard
5.2. Método de Euler e suas modificações
5.3. Método Runge-Kutta
Este método é representativo da classe de métodos aproximados
A ideia do método é extremamente simples e se resume a um procedimento sequencial
aproximações específicas para resolver a equação integral à qual
a equação diferencial original é dada.
Deixe o problema de Cauchy ser colocado
,
Vamos integrar a equação escrita
.
(5.2)
O procedimento para aproximações sucessivas do método Picard é implementado de acordo com o seguinte esquema
,
(5.3)
Exemplo . Resolva a equação usando o método Picard
,
A solução desta equação não é expressa em termos de funções elementares.
,
Pode-se ver que a série converge rapidamente. O método é conveniente se as integrais puderem ser obtidas analiticamente.
Vamos provar a convergência do método de Picard. Deixe entrar algum limitado
região, o lado direito é contínuo e, além disso, satisfaz a condição de Lipschitz em relação à variável, ou seja,
onde está alguma constante.
Devido à área limitada, ocorrem desigualdades
Subtraindo a fórmula (5.2) de (5.3), obtemos para os módulos direito e esquerdo
,
.
Finalmente, usando a condição de continuidade de Lipschitz, obtemos
,
(5.4)
onde está o erro da solução aproximada.
A aplicação consistente da fórmula (5.4) fornece a seguinte cadeia de relacionamentos, levando em consideração o fato de que
,
,
.
Porque , então temos
.
Substituindo pela fórmula de Stirling, finalmente obtemos uma estimativa do erro da solução aproximada
.
(5.5)
De (5.4) segue-se que quando o módulo de erro, ou seja,
a solução aproximada converge uniformemente para a exata.
5.2.2. Métodos Runge-Kutta
Esses métodos são numéricos.
Na prática, são utilizados métodos de Runge-Kutta, proporcionando resultados pós-
desenvolvimento de esquemas de diferenças (métodos) de várias ordens de precisão. Maioria
são utilizados esquemas (métodos) de segunda e quarta ordens. Eles nós e
Vejamos abaixo.
Vamos primeiro apresentar alguns conceitos e definições.
Grade ativada
um segmento é um conjunto fixo de pontos nesse segmento.
A função definida nesses pontos é chamada de função de grade.
As coordenadas dos pontos satisfazem as condições
,
,
Os pontos são nós da grade. Uma grade uniforme é um conjunto de pontos
onde está o passo da grade. 
Ao resolver equações diferenciais usando um método aproximado, a questão principal é a convergência. Em relação aos métodos de diferenças, o conceito de convergência é tradicionalmente mais comum. Denotamos os valores da função de grade como os valores da solução exata da equação diferencial (5.1) no nó - (são valores aproximados). Convergência significa o seguinte. Fixamos um ponto e construímos um conjunto de grades de tal forma que 
(ao mesmo tempo). Então considera-se que o método numérico converge em um ponto se 
no ,. Um método converge em um segmento se convergir em todos os pontos. Diz-se que um método tem a ordem de precisão se puder encontrar um número tal que
no.
,
.
Vamos introduzir ainda o conceito de discrepância ou erro de aproximação de uma equação de diferença que substitui uma dada equação diferencial na solução da equação original, ou seja, o resíduo é o resultado da substituição da solução exata da equação (5.1) na equação de diferenças. Por exemplo, (5.1) pode ser substituído pela seguinte equação de diferença mais simples
.
Então a discrepância é determinada pela seguinte expressão 
.
A solução aproximada geralmente não coincide com, portanto a discrepância no ponto não é igual a zero. A seguinte definição é introduzida: o método numérico aproxima a equação diferencial original se, e tem a ordem de precisão se
Está provado que a ordem de precisão do método numérico para resolver uma equação diferencial coincide com a ordem de aproximação sob suposições bastante gerais.
Agora vamos passar à análise dos esquemas de Runge-Kutta. Vamos primeiro nos voltar para
esquemas de precisão de segunda ordem.
Usando a fórmula de Taylor, resolvendo a equação diferencial
, (5.6)
(5.1) pode ser representado como 
,
.
onde indicado, 
,.
Observe que de acordo com (5.1)
,
derivada como segue
onde estão atualmente quantidades desconhecidas. Deixar
Denotemos o valor aproximado da solução no nó numerado por (esta é a solução que será obtida após limitarmos a série a termos de ordem não superior à segunda).
Os parâmetros inseridos aqui estão sujeitos a definição.
Expandindo o lado direito de uma série de Taylor e introduzindo termos semelhantes, obtemos
sequencialmente
A condição para a escolha dos parâmetros i será a proximidade da expressão
,
,
.
Um parâmetro permanece livre. Deixe ser então
,
,
e finalmente de (5.7) levando em consideração as relações encontradas para e
A relação (5.8) descreve uma família de um parâmetro de fórmulas binomiais de Runge-Kutta.
Na literatura especializada está comprovado que se for contínua e limitada juntamente com suas segundas derivadas, então a solução aproximada do esquema (5.8) converge uniformemente para a solução exata com erro 
, ou seja o esquema (5.8) tem precisão de segunda ordem.
Na prática de cálculo, as fórmulas (5.8) são utilizadas para valores de parâmetros.
De (5.8) deduzimos
A aplicação da fórmula (5.9) é reduzida à seguinte sequência de etapas:
1. Calcule aproximadamente o valor da função (de acordo com o diagrama de polilinha)
2. Determine a inclinação da curva integral no ponto ()
3. Encontre o valor médio da derivada da função na etapa
4. O valor da função no ()º nó é calculado
Este esquema tem um nome especial “preditor - corretor”.
De acordo com (5.8) obtemos
O problema é resolvido através das seguintes etapas:
1. O valor da função no meio nó é calculado
.
2. O valor da derivada no nó é determinado
.
3. O valor da função é encontrado no ()º nó
Além dos esquemas binomiais discutidos acima, os esquemas Runge-Kutta de quarta ordem de precisão são amplamente utilizados na prática de cálculo. As fórmulas correspondentes são fornecidas abaixo sem derivação
(5.10)
Esquemas com grande número de membros praticamente não são utilizados.
Cinco-
as fórmulas de termos fornecem a quarta ordem de precisão, as fórmulas de seis termos têm uma sexta ordem, mas sua forma é muito complicada.
Os erros dos esquemas Runge-Kutta fornecidos são determinados pelo máximo
quaisquer valores das derivadas correspondentes.
Estimativas de erro podem ser facilmente obtidas para o caso especial do direito
.
partes da equação diferencial
Neste caso, a solução da equação pode ser reduzida à quadratura e
todos os esquemas de solução de diferenças se transformam em fórmulas de integração numérica
,
itinerante. Por exemplo, o esquema (5.9) assume a forma
isto é, tem a forma de uma fórmula trapezoidal, e o esquema (5.10) entra no esquema
que é a fórmula de Simpson com um degrau.
As estimativas de erros majorantes para as fórmulas trapezoidal e de Simpson são conhecidas (ver Seção 3.2). De (3.4) e (3.5) fica claro que a precisão dos esquemas de Runge-Kutta é bastante elevada.
A escolha de um ou outro dos esquemas fornecidos para resolver um problema específico
dacha é determinada pelas seguintes considerações. Se a função em
o lado direito da equação é contínuo e limitado, bem como contínuo e
suas quartas derivadas são limitadas, então o melhor resultado é alcançado -
não possui as derivadas acima mencionadas, limitando (quarta) ordem
esquema (5.10) não pode ser alcançado, e acaba sendo aconselhável
uso de esquemas mais simples.
Além dos esquemas de Runge-Kutta, os métodos de múltiplas etapas são de interesse prático, que podem ser descritos pelo seguinte sistema de equações
Onde 
, a - coeficientes numéricos, 
,.
De acordo com esta equação, o cálculo começa com . Neste caso, obtemos uma relação da forma
aqueles. Para começar a contar você precisa ter valores iniciais. Esses valores devem ser calculados por algum outro método, por exemplo, o método Runge-Kutta.
Entre os métodos de múltiplas etapas, o mais comum é o método de Adams, cujo esquema de implementação segue de (5.11) com 
para 
:
.
Quando o método Adams acaba sendo explícito, mas implícito.