Fatore fatores lineares usando o esquema de Horner. Equações em matemática superior. Raízes racionais de polinômios. O esquema de Horner. método de solução gráfica

O site “Tutor Profissional de Matemática” dá continuidade à série de artigos metodológicos sobre ensino. Publico descrições dos métodos do meu trabalho com os temas mais complexos e problemáticos do currículo escolar. Este material será útil para professores e tutores de matemática que trabalham com alunos do 8º ao 11º ano, tanto no programa regular quanto no programa de aulas de matemática.

Um professor de matemática nem sempre pode explicar o que está mal apresentado no livro didático. Infelizmente, esses tópicos estão se tornando cada vez mais numerosos e erros de apresentação por parte dos autores dos manuais estão sendo cometidos em massa. Isto se aplica não apenas a tutores iniciantes de matemática e tutores em tempo parcial (os tutores são estudantes e tutores universitários), mas também a professores experientes, tutores profissionais, tutores com experiência e qualificações. Nem todos os professores de matemática têm o talento de corrigir com competência as arestas dos livros escolares. Nem todos também entendem que essas correções (ou acréscimos) são necessárias. Poucas crianças estão envolvidas na adaptação do material para sua percepção qualitativa pelas crianças. Infelizmente, já passou o tempo em que professores de matemática, juntamente com metodologistas e autores de publicações, discutiam em massa cada letra do livro didático. Anteriormente, antes de lançar um livro didático nas escolas, eram realizadas análises e estudos sérios sobre os resultados da aprendizagem. Chegou a hora dos amadores que se esforçam para tornar os livros didáticos universais, ajustando-os aos padrões de fortes aulas de matemática.

A corrida para aumentar a quantidade de informação só leva à diminuição da qualidade da sua assimilação e, consequentemente, à diminuição do nível de conhecimento real em matemática. Mas ninguém presta atenção a isso. E nossos filhos são obrigados, já na 8ª série, a estudar o que estudamos no instituto: teoria das probabilidades, resolução de equações de alto grau e outras coisas. A adaptação do material dos livros para a plena percepção da criança deixa muito a desejar, e um tutor de matemática é forçado a lidar de alguma forma com isso.

Vamos falar sobre a metodologia para ensinar um tópico tão específico como “dividir um polinômio por um polinômio por um canto”, mais conhecido na matemática adulta como “teorema de Bezout e esquema de Horner”. Há apenas alguns anos, a questão não era tão premente para um professor de matemática, porque não fazia parte do currículo escolar principal. Agora, os respeitados autores do livro, editado por Telyakovsky, fizeram alterações na última edição daquele que é, na minha opinião, o melhor livro e, tendo-o estragado completamente, apenas acrescentaram preocupações desnecessárias ao tutor. Professores de escolas e turmas que não têm status de matemática, focando nas inovações dos autores, passaram a incluir cada vez mais parágrafos adicionais em suas aulas, e crianças curiosas, olhando as belas páginas de seu livro de matemática, perguntam cada vez mais o tutor: “O que é essa divisão por canto? Vamos passar por isso? Como compartilhar um cantinho? Não há mais como se esconder dessas questões diretas. O tutor terá que dizer algo à criança.

Como? Provavelmente eu não teria descrito o método de trabalhar com o tema se ele tivesse sido apresentado corretamente nos livros didáticos. Como vai tudo conosco? Os livros didáticos precisam ser impressos e vendidos. E para isso precisam ser atualizados regularmente. Os professores universitários queixam-se de que as crianças chegam até eles de cabeça vazia, sem conhecimentos e competências? Os requisitos para o conhecimento matemático estão aumentando? Ótimo! Vamos retirar alguns exercícios e inserir tópicos que são estudados em outros programas. Por que nosso livro é pior? Incluiremos alguns capítulos adicionais. Os alunos não conhecem a regra de divisão por canto? Isso é matemática básica. Este parágrafo deveria ser opcional, intitulado “para quem quiser saber mais”. Tutores contra isso? Por que nos preocupamos com os tutores em geral? Metodologistas e professores também são contra? Não complicaremos o material e consideraremos sua parte mais simples.

E é aqui que tudo começa. A simplicidade do tema e a qualidade da sua assimilação residem, antes de mais, na compreensão da sua lógica, e não na realização, de acordo com as instruções dos autores dos livros didáticos, um determinado conjunto de operações que não estão claramente relacionadas entre si . Caso contrário, haverá neblina na cabeça do aluno. Se os autores têm como alvo alunos relativamente fortes (mas que estudam em um programa regular), então você não deve apresentar o tópico em uma forma de comando. O que vemos no livro didático? Filhos, devemos dividir de acordo com esta regra. Obtenha o polinômio sob o ângulo. Assim, o polinômio original será fatorado. No entanto, não está claro por que os termos abaixo do canto são selecionados exatamente dessa maneira, por que eles devem ser multiplicados pelo polinômio acima do canto e depois subtraídos do resto atual. E o mais importante, não está claro por que os monômios selecionados devem ser adicionados e por que os colchetes resultantes serão uma expansão do polinômio original. Qualquer matemático competente colocará um ponto de interrogação em negrito nas explicações dadas no livro didático.

Chamo a atenção de tutores e professores de matemática para minha solução para o problema, o que praticamente torna óbvio para o aluno tudo o que está escrito no livro didático. Na verdade, provaremos o teorema de Bezout: se o número a é a raiz de um polinômio, então esse polinômio pode ser decomposto em fatores, um dos quais é x-a, e o segundo é obtido do original de uma das três maneiras: isolando um fator linear por meio de transformações, dividindo por um canto ou pelo esquema de Horner. É com essa formulação que será mais fácil para um tutor de matemática trabalhar.

O que é metodologia de ensino? Em primeiro lugar, esta é uma ordem clara na sequência de explicações e exemplos com base nos quais são tiradas conclusões matemáticas. Este tópico não é exceção. É muito importante para um tutor de matemática apresentar à criança o teorema de Bezout antes de dividir por um canto. Isto é muito importante! A melhor maneira de alcançar a compreensão é exemplo específico. Vamos pegar um polinômio com raiz selecionada e mostrar a técnica de fatorá-lo em fatores usando o método de transformações de identidade, familiar aos alunos da 7ª série. Com as devidas explicações, ênfases e dicas de um tutor de matemática, é perfeitamente possível transmitir o material sem quaisquer cálculos matemáticos gerais, coeficientes arbitrários e potências.

Conselhos importantes para um professor de matemática- siga as instruções do início ao fim e não altere esta sequência.

Então, digamos que temos um polinômio. Se substituirmos o número 1 em vez de seu X, o valor do polinômio será igual a zero. Portanto x=1 é sua raiz. Vamos tentar decompô-lo em dois termos para que um deles seja o produto de uma expressão linear e algum monômio, e o segundo tenha grau um menor que . Ou seja, vamos representá-lo na forma

Selecionamos o monômio para o campo vermelho de modo que, quando multiplicado pelo termo principal, coincida completamente com o termo principal do polinômio original. Se o aluno não for o mais fraco, então ele será perfeitamente capaz de dizer ao tutor de matemática a expressão exigida: . O tutor deve ser imediatamente solicitado a inseri-lo no campo vermelho e mostrar o que acontecerá quando forem abertos. É melhor assinar este polinômio temporário virtual sob as setas (abaixo da pequena foto), destacando-o com alguma cor, por exemplo, azul. Isso o ajudará a selecionar um termo para o campo vermelho, denominado restante da seleção. Aconselho os tutores a salientar aqui que este resto pode ser encontrado por subtração. Realizando esta operação obtemos:

O tutor de matemática deve chamar a atenção do aluno para o fato de que ao substituir um nesta igualdade, garantimos que obteremos zero no seu lado esquerdo (já que 1 é a raiz do polinômio original), e no lado direito, obviamente, nós também zerará o primeiro termo. Isto significa que sem qualquer verificação podemos dizer que um é a raiz do “resto verde”.

Vamos lidar com isso da mesma forma que fizemos com o polinômio original, isolando dele o mesmo fator linear. O professor de matemática desenha dois quadros na frente do aluno e pede que preencham da esquerda para a direita.

O aluno seleciona para o tutor um monômio para o campo vermelho de modo que, quando multiplicado pelo termo inicial da expressão linear, dê o termo inicial do polinômio em expansão. Colocamos na moldura, abrimos imediatamente o colchete e destacamos em azul a expressão que precisa ser subtraída da dobrada. Realizando esta operação obtemos

E finalmente, fazendo o mesmo com o último resto

finalmente conseguiremos

Agora vamos tirar a expressão do colchete e veremos a decomposição do polinômio original em fatores, um dos quais é “x menos a raiz selecionada”.

Para que o aluno não pense que o último “resto verde” foi acidentalmente decomposto nos fatores requeridos, o tutor de matemática deve apontar uma propriedade importante de todos os restos verdes - cada um deles tem raiz 1. Já que os graus de esses restos diminuem, então qualquer que seja o grau inicial, não importa quanto de um polinômio nos seja dado, mais cedo ou mais tarde obteremos um “resto verde” linear com raiz 1 e, portanto, ele necessariamente se decomporá no produto de um certo número e uma expressão.

Depois disso trabalho preparatório Não será difícil para um professor de matemática explicar a um aluno o que acontece quando se divide por um canto. Este é o mesmo processo, só que de forma mais curta e compacta, sem sinais de igual e sem reescrever os mesmos termos destacados. O polinômio do qual o fator linear é extraído é escrito à esquerda do canto, os monômios vermelhos selecionados são coletados em um ângulo (agora fica claro por que eles devem somar), para obter os “polinômios azuis”, os “vermelhos”. ” uns devem ser multiplicados por x-1 e depois subtraídos dos atualmente selecionados, como isso é feito na divisão usual dos números em uma coluna (aqui está uma analogia com o que foi estudado anteriormente). Os “resíduos verdes” resultantes são sujeitos a novo isolamento e seleção de “monômios vermelhos”. E assim por diante até obter zero “saldo verde”. O mais importante é que o aluno entenda mais destino polinômios escritos acima e abaixo do ângulo. Obviamente, são colchetes cujo produto é igual ao polinômio original.

A próxima etapa do trabalho de um tutor de matemática é a formulação do teorema de Bezout. Na verdade, sua formulação com esta abordagem do tutor torna-se óbvia: se o número a é a raiz de um polinômio, então ele pode ser fatorado, um dos quais é , e o outro é obtido do original de uma das três maneiras :

• decomposição direta (análoga ao método de agrupamento)
• dividindo por um canto (em uma coluna)
• através do circuito de Horner

Deve-se dizer que nem todos os tutores de matemática mostram o diagrama de Horner aos seus alunos, e nem todos os professores da escola (felizmente para os próprios tutores) se aprofundam tanto no assunto durante as aulas. No entanto, para um aluno de matemática, não vejo razão para parar na divisão longa. Além disso, o mais conveniente e rápido A técnica de decomposição baseia-se precisamente no esquema de Horner. Para explicar a uma criança de onde vem, basta traçar, a partir do exemplo da divisão por um canto, o aparecimento de coeficientes mais elevados nos restos verdes. Torna-se claro que o coeficiente principal do polinômio inicial é transportado para o coeficiente do primeiro “monômio vermelho” e posteriormente do segundo coeficiente do polinômio superior atual deduzido o resultado da multiplicação do coeficiente atual do “monômio vermelho” por . Portanto é possível adicionar o resultado da multiplicação por . Depois de focar a atenção do aluno nas especificidades das ações com coeficientes, um tutor de matemática pode mostrar como essas ações normalmente são realizadas sem registrar as próprias variáveis. Para fazer isso, é conveniente inserir a raiz e os coeficientes do polinômio original em ordem de precedência na tabela a seguir:

Se algum grau estiver faltando em um polinômio, seu coeficiente zero será forçado a entrar na tabela. Os coeficientes dos “polinômios vermelhos” são escritos sucessivamente na linha inferior de acordo com a regra do “gancho”:

A raiz é multiplicada pelo último coeficiente vermelho, adicionada ao próximo coeficiente na linha superior e o resultado é anotado na linha inferior. Na última coluna temos a garantia de obter o maior coeficiente do último “resto verde”, ou seja, zero. Após a conclusão do processo, os números imprensado entre a raiz correspondente e o resto zero acabam sendo coeficientes do segundo fator (não linear).

Como a raiz a dá um zero no final da linha inferior, o esquema de Horner pode ser usado para verificar os números quanto ao título da raiz de um polinômio. Se o teorema da seleção especial raiz racional. Todos os candidatos a este título obtidos com sua ajuda são simplesmente inseridos a partir da esquerda no diagrama de Horner. Assim que obtivermos zero, o número testado será uma raiz e ao mesmo tempo obteremos os coeficientes da fatoração do polinômio original em sua reta. Muito conveniente.

Concluindo, gostaria de ressaltar que para apresentar com precisão o esquema de Horner, bem como para consolidar de forma prática o tema, um tutor de matemática deve ter à sua disposição quantidade suficiente horas. Um tutor que trabalha no regime “uma vez por semana” não deve praticar divisão de cantos. No Exame Estadual Unificado de Matemática e na Academia Estadual de Matemática em Matemática, é improvável que na primeira parte você encontre uma equação de terceiro grau que possa ser resolvida por tais meios. Se um tutor está preparando uma criança para um exame de matemática na Universidade Estadual de Moscou, o estudo do tópico torna-se obrigatório. Os professores universitários, ao contrário dos compiladores do Exame de Estado Unificado, gostam muito de testar a profundidade do conhecimento do candidato.

Kolpakov Alexander Nikolaevich, professor de matemática Moscou, Strogino

Ao resolver equações e desigualdades, muitas vezes é necessário fatorar um polinômio cujo grau seja três ou superior. Neste artigo veremos a maneira mais fácil de fazer isso.

Como sempre, vamos recorrer à teoria para obter ajuda.

Teorema de Bezout afirma que o resto ao dividir um polinômio por um binômio é.

Mas o que é importante para nós não é o teorema em si, mas corolário disso:

Se o número for a raiz de um polinômio, então o polinômio é divisível pelo binômio sem resto.

Estamos diante da tarefa de encontrar de alguma forma pelo menos uma raiz do polinômio e depois dividir o polinômio por , onde está a raiz do polinômio. Como resultado, obtemos um polinômio cujo grau é um a menos que o grau do original. E então, se necessário, você pode repetir o processo.

Esta tarefa se divide em duas: como encontrar a raiz de um polinômio e como dividir um polinômio por um binômio.

Vamos dar uma olhada mais de perto nesses pontos.

1. Como encontrar a raiz de um polinômio.

Primeiro verificamos se os números 1 e -1 são raízes do polinômio.

Os seguintes fatos nos ajudarão aqui:

Se a soma de todos os coeficientes de um polinômio for zero, então o número é a raiz do polinômio.

Por exemplo, num polinômio a soma dos coeficientes é zero: . É fácil verificar qual é a raiz de um polinômio.

Se a soma dos coeficientes de um polinômio em potências pares for igual à soma dos coeficientes em potências ímpares, então o número é a raiz do polinômio. O termo livre é considerado um coeficiente de grau par, pois , a é um número par.

Por exemplo, em um polinômio, a soma dos coeficientes para potências pares é: e a soma dos coeficientes para potências ímpares é:. É fácil verificar qual é a raiz de um polinômio.

Se nem 1 nem -1 forem raízes do polinômio, seguimos em frente.

Para um polinômio de grau reduzido (ou seja, um polinômio em que o coeficiente líder - o coeficiente em - é igual à unidade), a fórmula Vieta é válida:

Onde estão as raízes do polinômio.

Existem também fórmulas Vieta relativas aos restantes coeficientes do polinómio, mas estamos interessados ​​nesta.

Desta fórmula Vieta segue-se que se as raízes de um polinômio são inteiros, então são divisores de seu termo livre, que também é um número inteiro.

Com base nisso, precisamos fatorar o termo livre do polinômio em fatores e, sequencialmente, do menor para o maior, verificar qual dos fatores é a raiz do polinômio.

Considere, por exemplo, o polinômio

Divisores do termo livre: ;

;

;

A soma de todos os coeficientes de um polinômio é igual a , portanto, o número 1 não é a raiz do polinômio.

Soma dos coeficientes para potências pares:

Soma dos coeficientes para potências ímpares:

Portanto, o número -1 também não é raiz do polinômio.

Vamos verificar se o número 2 é a raiz do polinômio: portanto, o número 2 é a raiz do polinômio. Isto significa que, de acordo com o teorema de Bezout, o polinômio é divisível por um binômio sem resto.

2. Como dividir um polinômio em um binômio.

Um polinômio pode ser dividido em um binômio por uma coluna.

Divida o polinômio por um binômio usando uma coluna: Existe outra maneira de dividir um polinômio por um binômio - o esquema de Horner.

Assista esse vídeo para entender

como dividir um polinômio por um binômio com coluna e usando o diagrama de Horner.

Observo que se, ao dividir por uma coluna, falta algum grau de incógnita no polinômio original, escrevemos 0 em seu lugar - da mesma forma que ao compilar uma tabela para o esquema de Horner. Então, se precisarmos dividir um polinômio por um binômio e como resultado da divisão obtivermos um polinômio, então podemos encontrar os coeficientes do polinômio usando o esquema de Horner: Também podemos usar

Esquema de Horner

para verificar se um determinado número é raiz de um polinômio: se o número é raiz de um polinômio, então o resto da divisão do polinômio por é igual a zero, ou seja, na última coluna da segunda linha de No diagrama de Horner obtemos 0. Usando o esquema de Horner, “matamos dois coelhos com uma cajadada só”: verificamos simultaneamente se o número é a raiz de um polinômio e dividimos esse polinômio por um binômio.

Exemplo.

Resolva a equação:

1. Vamos anotar os divisores do termo livre e procurar as raízes do polinômio entre os divisores do termo livre.

Divisores de 24:

2. Vamos verificar se o número 1 é a raiz do polinômio.

A soma dos coeficientes de um polinômio, portanto, o número 1 é a raiz do polinômio.

Como falta o termo que o contém, na coluna da tabela em que o coeficiente deve ser escrito escrevemos 0. À esquerda escrevemos a raiz encontrada: o número 1.

B) Preencha a primeira linha da tabela.

Na última coluna, como esperado, obtivemos zero; dividimos o polinômio original por um binômio sem resto. Os coeficientes do polinômio resultante da divisão são mostrados em azul na segunda linha da tabela:

É fácil verificar que os números 1 e -1 não são raízes do polinômio

B) Vamos continuar a tabela. Vamos verificar se o número 2 é a raiz do polinômio:

Assim, o grau do polinômio, obtido como resultado da divisão por um, é menor que o grau do polinômio original, portanto, o número de coeficientes e o número de colunas são um a menos.

Na última coluna obtivemos -40 - um número que não é igual a zero, portanto, o polinômio é divisível por um binômio com resto, e o número 2 não é a raiz do polinômio.

C) Vamos verificar se o número -2 é a raiz do polinômio. Como a tentativa anterior falhou, para evitar confusão com os coeficientes, apagarei a linha correspondente a esta tentativa:

Ótimo! Obtivemos zero como resto, portanto, o polinômio foi dividido em um binômio sem resto, portanto, o número -2 é a raiz do polinômio. Os coeficientes do polinômio obtido pela divisão de um polinômio por um binômio são mostrados em verde na tabela.

Como resultado da divisão, obtemos um trinômio quadrático , cujas raízes podem ser facilmente encontradas usando o teorema de Vieta:

Portanto, as raízes da equação original são:

{}

Responder: ( }

Objetivos da lição:

• ensinar os alunos a resolver equações de graus superiores utilizando o esquema de Horner;
• desenvolver a capacidade de trabalhar em pares;
• criar, em conjunto com as principais secções do curso, uma base para o desenvolvimento das capacidades dos alunos;
• ajudar o aluno a avaliar seu potencial, desenvolver o interesse pela matemática, a capacidade de pensar e falar sobre o assunto.

Equipamento: cartões para trabalho em grupo, pôster com diagrama de Horner.

Método de Ensino: palestra, história, explicação, realização de exercícios de treinamento.

Formulário de controle: verificando tarefas decisão independente, trabalho independente.

Progresso da lição

1. Momento organizacional

2. Atualizar o conhecimento dos alunos

Qual teorema permite determinar se um número é a raiz de uma determinada equação (formular um teorema)?

Teorema de Bezout. O restante da divisão do polinômio P(x) pelo binômio x-c é igual P(c), o número c é chamado de raiz do polinômio P(x) se P(c)=0. O teorema permite, sem realizar a operação de divisão, determinar se um determinado número é a raiz de um polinômio.

Que afirmações tornam mais fácil encontrar raízes?

a) Se o coeficiente líder de um polinômio for igual a um, então as raízes do polinômio devem ser procuradas entre os divisores do termo livre.

b) Se a soma dos coeficientes de um polinômio for 0, então uma das raízes é 1.

c) Se a soma dos coeficientes nas casas pares for igual à soma dos coeficientes nas casas ímpares, então uma das raízes é igual a -1.

d) Se todos os coeficientes forem positivos, então as raízes do polinômio são números negativos.

e) Um polinômio de grau ímpar possui pelo menos uma raiz real.

3. Aprendendo novo material

Ao resolver equações algébricas inteiras, você deve encontrar os valores das raízes dos polinômios. Esta operação pode ser significativamente simplificada se os cálculos forem realizados usando um algoritmo especial denominado esquema de Horner. Este circuito leva o nome do cientista inglês William George Horner. O esquema de Horner é um algoritmo para calcular o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) por xc. Resumidamente como funciona.

Seja dado um polinômio arbitrário P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Dividir este polinômio por x-c é sua representação na forma P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Parcial g(x)=em 0 x n-1 + em n x n-2 +...+em n-2 x + em n-1, onde em 0 =a 0, em n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Restante r(x)= st n-1 +a n. Este método de cálculo é denominado esquema de Horner. A palavra “esquema” no nome do algoritmo se deve ao fato de sua implementação normalmente ser formatada da seguinte forma. Primeiro, desenhe a tabela 2(n+2). Na célula inferior esquerda escreva o número c, e na linha superior os coeficientes do polinômio P(x). Neste caso, a célula superior esquerda fica vazia.

O número que, após a execução do algoritmo, fica escrito na célula inferior direita é o resto da divisão do polinômio P(x) por x-c. Os outros números em 0, em 1, em 2,... na linha inferior são os coeficientes do quociente.

Por exemplo: Divida o polinômio P(x)= x 3 -2x+3 por x-2.

Obtemos que x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Consolidação do material estudado

Exemplo 1: Fatore o polinômio P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 em fatores com coeficientes inteiros.

Procuramos raízes inteiras entre os divisores do termo livre -1:1; -1. Vamos fazer uma tabela:

X = -1 – raiz

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

Vamos verificar 1/2.

Portanto, o polinômio P(x) pode ser representado na forma

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Exemplo 2: Resolva a equação 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Como a soma dos coeficientes do polinômio escrito no lado esquerdo da equação é igual a zero, então uma das raízes é 1. Vamos usar o esquema de Horner:

Obtemos P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Procuraremos raízes entre os divisores do termo livre 2.

Descobrimos que não havia mais raízes intactas. Vamos verificar 1/2; -1/2.

Resposta: 1; -1/2.

Exemplo 3: Resolva a equação 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Procuraremos as raízes desta equação entre os divisores do termo livre 5: 1;-1;5;-5. x=1 é a raiz da equação, pois a soma dos coeficientes é zero. Vamos usar o esquema de Horner:

Vamos apresentar a equação como produto de três fatores: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Resolvendo a equação quadrática 5x 2 -7x+5=0, obtemos D=49-100=-51, não há raízes.

Cartão 1

1. Fatore o polinômio: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Resolva a equação: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Cartão 2

1. Fatore o polinômio: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Resolva a equação: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Cartão 3

1. Fatore em: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Resolva a equação: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Cartão 4

1. Fatore em: 5x 3 -46x 2 +79x-14
2. Resolva a equação: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Resumindo

O teste de conhecimentos na resolução em pares é realizado em sala de aula, reconhecendo o método de ação e o nome da resposta.

Trabalho de casa:

Resolva as equações:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d)x 4 +2x 3 -x-2=0

Literatura

1. N.Ya. Vilenkin et al., Álgebra e os primórdios da análise, 10ª série (estudo aprofundado de matemática): Iluminismo, 2005.
2. UI Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Solução de equações de graus superiores: Volgogrado, 2007.
3. SB Gashkov, Sistemas numéricos e sua aplicação.

Diapositivo 3

Horner Williams George (1786-22.9.1837) - matemático inglês. Nascido em Bristol. Ele estudou e trabalhou lá, depois em escolas de Bath. Trabalhos básicos de álgebra. Em 1819 publicou um método para cálculo aproximado das raízes reais de um polinômio, que agora é chamado de método Ruffini-Horner (este método era conhecido pelos chineses no século XIII. O esquema para dividir um polinômio pelo binômio x-a é nomeado). depois de Horner.

Diapositivo 4

ESQUEMA DE HORNER

Método de divisão enésimo polinômio grau em um binômio linear - a, com base no fato de que os coeficientes do quociente incompleto e do resto estão relacionados aos coeficientes do polinômio divisível e com as fórmulas:

Diapositivo 5

Os cálculos de acordo com o esquema de Horner são colocados na tabela:

Exemplo 1. Divisão O quociente parcial é x3-x2+3x - 13 e o resto é 42=f(-3).

Diapositivo 6

A principal vantagem deste método é a notação compacta e a capacidade de dividir rapidamente um polinômio em um binômio. Na verdade, o esquema de Horner é outra forma de registrar o método de agrupamento, embora, ao contrário deste último, seja completamente não visual. A resposta (fatoração) é obtida aqui por si só, e não vemos o processo de obtenção dela. Não nos empenharemos numa fundamentação rigorosa do esquema de Horner, mas apenas mostraremos como ele funciona.

Diapositivo 7

Exemplo 2.

Vamos provar que o polinômio P(x)=x4-6x3+7x-392 é divisível por x-7 e encontrar o quociente da divisão. Solução. Usando o esquema de Horner, encontramos P(7): A partir daqui obtemos P(7)=0, ou seja, o resto ao dividir um polinômio por x-7 é igual a zero e, portanto, o polinômio P(x) é um múltiplo de (x-7). Além disso, os números na segunda linha da tabela são os coeficientes do. quociente de P(x) dividido por (x-7), portanto P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

Diapositivo 8

Fatore o polinômio x3 – 5x2 – 2x + 16.

Este polinômio possui coeficientes inteiros. Se um número inteiro for a raiz deste polinômio, então ele é um divisor do número 16. Assim, se um determinado polinômio tiver raízes inteiras, então estas só podem ser os números ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Por verificação direta estamos convencidos de que o número 2 é a raiz deste polinômio, ou seja, x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), onde Q(x) é um polinômio de segundo grau

Diapositivo 9

Os números resultantes 1, −3, −8 são os coeficientes do polinômio, que é obtido dividindo o polinômio original por x – 2. Isso significa que o resultado da divisão é: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. O grau de um polinômio resultante da divisão é sempre 1 menor que o grau do original. Então: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

Seja um binômio simples da forma ax + b = 0. Resolvê-lo não é difícil. Você só precisa mover a incógnita para um lado e os coeficientes para o outro. Como resultado, x = - b/uma. A equação em consideração pode ser complicada adicionando o quadrado ax2 + bx + c = 0. Ela é resolvida encontrando o discriminante. Se for maior que zero, haverá duas soluções; se for igual a zero, haverá apenas uma raiz, e quando for menor, não haverá solução alguma.

Deixe o próximo tipo de equação conter a terceira potência ax3 + bx2 + c + d = 0. Essa igualdade causa dificuldades para muitos. Embora existam várias maneiras, permitindo resolver tal equação, por exemplo, a fórmula de Kordan, mas não podem mais ser usadas para potências de quinta ordem e ordens superiores. Portanto, os matemáticos pensaram em um método universal com o qual seria possível calcular equações de qualquer complexidade.

Na escola, costumam sugerir a utilização do método de agrupamento e análise, em que um polinômio pode ser fatorado em pelo menos dois fatores. Para equação cúbica pode ser escrito: (x - x0) (ax2 + bx + c) = 0. Então eles usam o fato de que o produto será igual a zero somente se a equação linear binomial ou quadrática for igual a ele. Então a solução padrão é executada. O problema no cálculo deste tipo de igualdades reduzidas surge durante a busca por x0. É aqui que o esquema de Horner irá ajudar.

O algoritmo proposto por Horner foi descoberto anteriormente pelo matemático e médico italiano Paolo Ruffini. Ele foi o primeiro a provar a impossibilidade de encontrar radical nas expressões de quinto grau. Mas seu trabalho continha muitas contradições que não permitiram que fosse aceito pelo mundo matemático dos cientistas. Com base em seus trabalhos, em 1819 o britânico William George Horner publicou um método para encontrar aproximadamente as raízes de um polinômio. Este trabalho foi publicado pela Royal Scientific Society e foi denominado método Ruffini-Horner.

Depois, o escocês Augustus de Morgan ampliou as possibilidades de utilização do método. O método encontrou aplicação em relações teóricas de conjuntos e teoria de probabilidade. Em essência, o esquema é um algoritmo para calcular o quociente e o resto da relação do registro P (x) para x-c.

Princípio do método

Pela primeira vez, os alunos são apresentados ao método de encontrar raízes usando o diagrama de Horner nas séries superiores. ensino médio nas aulas de álgebra. É explicado usando o exemplo de resolução de uma equação de terceiro grau: x3 + 6x - x - 30 = 0. Além disso, a definição do problema afirma que a raiz desta equação é o número dois. O desafio é identificar outras raízes.

Isso geralmente é feito da seguinte maneira. Se um polinômio p (x) tem raiz x0, então p (x) pode ser representado como o produto da diferença x menos x zero e algum outro polinômio q (x), cujo grau será um a menos. O polinômio necessário geralmente é isolado por divisão. Para o exemplo em consideração, a equação será semelhante a: (x3 + 6x - x - 30) / (x - x2). É melhor fazer a divisão usando um “canto”. A expressão resultante é: x 2 + 8x + 15.

Assim, a expressão desejada pode ser reescrita como (x - 2)* (x 2 + 8x + 15) = 0. Em seguida, para encontrar uma solução, você precisa fazer o seguinte:

• Encontre as raízes do primeiro termo da igualdade, igualando-o a zero: x - 2 = 0. Portanto, x = 2, que também decorre da condição.
• Resolva a equação quadrática igualando o segundo termo do polinômio a zero: x 2 + 8x + 15 = 0. Você pode encontrar as raízes usando o discriminante ou as fórmulas Vieta. Portanto, podemos escrever que (x+3) * (x+5) = 0, ou seja, x um é igual a três e x dois é igual a menos cinco.

Todas as três raízes foram encontradas. Mas aqui surge uma questão razoável: onde o esquema de Horner é usado no exemplo? Portanto, todo esse cálculo complicado pode ser substituído por um algoritmo de solução de alta velocidade. Consiste em ações simples. Primeiro você precisa desenhar uma tabela contendo várias colunas e linhas. A partir da segunda coluna da linha inicial, anote os coeficientes da equação do polinômio original. Na primeira coluna colocam o número pelo qual será realizada a divisão, ou seja, os termos potenciais da solução (x0).

Após a inserção do x0 selecionado na tabela, o preenchimento ocorre de acordo com o seguinte princípio:

• a primeira coluna contém simplesmente o que está no elemento superior da segunda coluna;
• para encontrar o próximo número, você precisa multiplicar o número removido pelo x0 selecionado e adicionar o número permanente na coluna a ser preenchida no topo;
• operações semelhantes são realizadas até que todas as células estejam completamente preenchidas;
• as linhas da última coluna iguais a zero serão a solução desejada.

Para o exemplo em consideração, ao substituir um dois, a linha consistirá na série: 2, 1, 8, 15, 0. Assim, todos os termos são encontrados. Neste caso, o esquema funciona para qualquer ordem da equação de potência.

Exemplo de uso

Para entender como usar o diagrama de Horner, precisa ser considerado em detalhes exemplo típico . Que seja necessário determinar a multiplicidade da raiz x0 do polinômio p (x) = x 5 - 5x 4 + 7x 3 - 2x 2 + 4x - 8. Muitas vezes em problemas é necessário selecionar as raízes por força bruta, mas para economizar tempo, assumiremos que eles já são conhecidos e só precisam ser verificados. Aqui você deve entender que usando o esquema, o cálculo ainda será mais rápido do que usando outros teoremas ou o método de redução.

De acordo com o algoritmo de solução, primeiro você precisa desenhar uma tabela. A primeira linha indica os principais coeficientes. Você precisará desenhar oito colunas para a equação. Depois descubra quantas vezes x0 = 2 caberá no polinômio em estudo. Na segunda linha da segunda coluna, basta somar o coeficiente. Para o caso em consideração, será igual a um. Na célula adjacente, o valor é calculado como 2 * 1 -5 = -3. Na próxima: 2 * (-3) + 7 = 1. As células restantes são preenchidas da mesma forma.

Como você pode ver, pelo menos uma vez um dois é colocado em um polinômio. Agora precisamos verificar se dois é a raiz da expressão mais baixa obtida. Após realizar ações semelhantes, a tabela deverá ter a seguinte linha: 1, -1, -1. -2, 0. Esta é na verdade uma equação quadrática que também precisa ser verificada. Como resultado, a série calculada consistirá em 1, 1, 1, 0.

Na última expressão, dois não pode ser uma solução racional. Ou seja, no polinômio original o número dois é usado três vezes, o que significa que podemos escrever: (x - 2) 3 * (x 2 + x + 1). O fato de dois não ser a raiz de uma expressão quadrada pode ser entendido a partir dos seguintes fatos:

• o coeficiente livre não é divisível por dois;
• todos os três coeficientes são positivos, o que significa que o gráfico da desigualdade aumentará a partir de dois.

Assim, o uso do sistema permite eliminar o uso de numeradores e divisores complexos. Todas as ações se resumem à simples multiplicação de inteiros e destaque de zeros.

Explicação do método

A confirmação da validade da existência do regime de Horner explica-se por uma série de factores. Vamos imaginar que existe um polinômio de terceiro grau: x3 + 5x – 3x + 8. Desta expressão, x pode ser retirado do colchete: x * (x2 + 5x – 3) + 8. Da fórmula resultante, x pode ser retirado novamente: x * (x * (x + 5) – 3) + 8 = x * (x* ((x * 1) + 5) – 3) + 8.

Essencialmente, para calcular a expressão resultante, você pode substituir o valor esperado de x no primeiro colchete interno e realizar operações algébricas de acordo com a precedência. Na verdade, essas são todas as ações executadas no método Horner. Neste caso, os números 8, -3, 5, 1 são os coeficientes do polinômio original.

Seja um polinômio P (x) = an * x n + an -1 * x n-1 + 1x1 + a0 = 0. Se esta expressão tiver uma certa raiz x = x0, isso significa que a expressão em questão pode ser reescrito como: P (x) = (x-x0) * Q(x). Este é um corolário do teorema de Bezout. O importante aqui é que o grau do polinômio Q(x) será um a menos que o de P(x). Portanto, pode ser escrito em uma forma menor: P (x) = (x-x0) * (bn-1 * x n-1 + bn-2 * x n-2 + b0) = 0. As duas construções são identicamente iguais entre si.

Isto significa que todos os coeficientes dos polinômios em consideração são iguais, em particular, (x0)b) = a0. Usando isso, podemos argumentar que quaisquer que sejam os números a0 e b0, x é sempre um divisor, ou seja, a0 sempre pode ser dividido nas raízes do polinômio. Em outras palavras, encontre soluções racionais.

O caso geral que explica o método seria: an * x n + an-1 * x n-1 +… + a1x + a0 = x * (an * x n-1 + an-1 * x n-2 +… + a1 ) + a0 = x * (x * (... (an * x + an -1)+ an-2...an-m)+ a0). Ou seja, o esquema funciona independentemente do grau do polinômio. É universal. Ao mesmo tempo, é adequado para equações incompletas e completas. Esta é uma ferramenta que permite verificar se há raiz em x0. Se não for uma solução, então o número restante no final será o resto da divisão do polinômio em questão.

Em matemática, a notação correta para o método é: Pn(x) = ∑i = 0naixn−i = a0xn + a1xn ​​​​− 1 + a2xn − 2 +…+ an − 1x + an. Nele, o valor de i muda de zero para en, e o próprio polinômio é dividido pelo binômio x – a. Após realizar esta ação, obtém-se uma expressão cujo grau é um a menos que o original. Em outras palavras, definido como n – 1.

Cálculo usando uma calculadora online

É bastante conveniente utilizar recursos que forneçam acesso a cálculos de raízes de potências superiores de polinômios. Para usar esses sites, você não precisa ter nenhum conhecimento especial em matemática ou programação. Tudo o que o usuário precisa é de acesso à Internet e de um navegador que suporte scripts Java.

Existem várias dezenas desses sites. No entanto, alguns deles podem pedir uma recompensa monetária pela solução fornecida. Embora a maioria dos recursos sejam gratuitos e não apenas calculem raízes em equações de potência, mas também forneçam uma solução detalhada com comentários. Além disso, nas páginas das calculadoras, qualquer pessoa pode se familiarizar com um breve material teórico e considerar a solução de exemplos de complexidade variada. Portanto, não devem surgir questões sobre o conceito de onde veio a resposta.

De todo o conjunto de calculadoras online que usam o esquema de Horner, podem ser distinguidas as três seguintes:

• Controlar o trabalho. O serviço é voltado para alunos do ensino médio, mas é bastante funcional em suas capacidades. Com sua ajuda, você pode verificar rapidamente a conformidade das raízes.
• Nauchniestati. O aplicativo permite determinar raízes usando o método Horner em literalmente dois a três segundos. No site você encontra toda a teoria necessária. Para realizar o cálculo, você precisa se familiarizar com as regras de inserção de uma fórmula matemática indicadas diretamente no site.
• Calc. Ao utilizar este site, o usuário poderá receber descrição detalhada soluções com imagem de tabela. Para fazer isso, você precisa inserir a equação em um formulário especial e clicar no botão “solução”.

Os programas utilizados para cálculos possuem interface intuitiva e não contêm publicidade ou códigos maliciosos. Depois de realizar vários cálculos sobre esses recursos, o usuário poderá aprender de forma independente como determinar as raízes usando o método de Horner.

Ao mesmo tempo, as calculadoras online são úteis não apenas para estudantes, mas também para engenheiros que realizam cálculos complexos. Afinal, o cálculo independente requer atenção e concentração. Qualquer pequeno erro acabará por levar a uma resposta incorreta. Ao mesmo tempo, é impossível que ocorram erros ao calcular usando calculadoras online.