Reduzindo um monômio à forma padrão, exemplos, soluções. Definição de um monômio, conceitos relacionados, exemplos Como representar um monômio na forma padrão

Objectivo: - Conhecer o conceito de monômio;

Desenvolva a capacidade de dar exemplos de monômios

Determine se uma expressão é um monômio

Indique seu coeficiente e parte alfabética.

Familiarize-se com o conceito de “forma padrão de monômio”

Insira um algoritmo para reduzir um monômio a uma forma padrão;

Desenvolva habilidades práticas no uso do algoritmo

trazendo um monômio para a forma padrão.

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Legendas dos slides:

TÓPICO: O conceito de monômio. Forma padrão de um monômio Objetivo: - Familiarizar-se com o conceito de monômio; -Desenvolver a capacidade de dar exemplos de monômios; -Determinar se uma expressão é um monômio; -Indicar seu coeficiente e parte da letra; -Conhecer o conceito de “forma padrão de um monômio” -Introduzir um algoritmo para trazer um monômio para uma forma padrão; Desenvolver competências práticas na aplicação do algoritmo de redução de um monômio a uma forma padrão.

UM ÚNICO TERMO É UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA QUE É O PRODUTO DE NÚMEROS E VARIÁVEIS ELEVADOS A UMA POTÊNCIA COM EXPOENTE NATURAL. 2av, - 4а⁴в⁵, 1,7с⁸в⁴ 0; 2; -0,6; X; UM; x ⁶ Não são monômios de uma expressão da forma: a+b; 2x⁴+ 3y⁹; а⁴⁄с ⁸ CONCEITO DE MONOMIAL

Considere o monômio: 3a∙4 a²b⁵c²bac⁵=3∙4aa²b⁵bc²c=12a³b⁶c³ A matemática busca clareza, brevidade e ordem. Reduzimos o monômio a uma notação mais curta, ou seja, para a visualização padrão.

Algoritmo. Reduza o monômio à forma padrão e nomeie o coeficiente do monômio. 3х⁴ yz ∙(-2) xy⁴z ⁸= 3∙(- 2) x⁴∙ x ∙ y⁴∙ y∙z∙z ⁸ = = -6х⁵∙ y⁵∙z ⁹ ¼ab⁴c4c=¼∙4ab⁴(c ∙c)=ab⁴c² ( 3/10) av Para trazer um monômio para a forma padrão, você precisa: 1) Multiplicar todos os fatores numéricos e colocar seu produto em primeiro lugar; 2) Multiplique todas as potências disponíveis com a mesma base de letras; 3) Multiplique todas as potências disponíveis por outra base alfabética, etc. O fator numérico de um monômio escrito na forma padrão é chamado de coeficiente do monômio

Reduza o monômio à forma padrão. Opção 1 a) 7с⁴·4с³·8 c⁶ b) 8х²·4 y³·(- 2х ³) Opção 2 a) 6 n²·3n³·9n⁶ b) 15 q⁴·2p²·(-5p⁵)

Vamos verificar as respostas para trabalhos independentes. Opção 1 a) 244 s¹³ b) -64 x ⁸ y³ Opção 2 a) 162 n ¹¹ b) - 150 q ⁴ p⁷

Sobre o tema: desenvolvimentos metodológicos, apresentações e notas

Apresentação em matemática sobre o tema "O conceito de monômio. A forma padrão de um monômio." A apresentação foi compilada para considerar um novo tópico em matemática na 7ª série "O conceito de monômio. A forma padrão de um monômio...

conceito de monômio. forma padrão de monômio

apresentação para aula de álgebra do 7º ano sobre o tema “O conceito de monômio. A forma padrão de um monômio”. Os conceitos de monômio, grau de monômio, coeficiente de monômio e forma padrão de monômio são fornecidos....

Existem muitas expressões matemáticas diferentes na matemática, e algumas delas têm seus próprios nomes. Estamos prestes a nos familiarizar com um desses conceitos - este é um monômio.

Um monômio é uma expressão matemática que consiste em um produto de números, variáveis, cada uma das quais pode aparecer até certo ponto no produto. Para entender melhor o novo conceito, você precisa se familiarizar com vários exemplos.

Exemplos de monômios

Expressões 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 são monômios. Como você pode ver, apenas um número ou variável (com ou sem potência) também é um monômio. Mas, por exemplo, as expressões 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 já estão não são monômios, uma vez que não se enquadram nas definições. A primeira expressão usa “soma”, o que é inaceitável, a segunda usa “divisão” e a terceira usa diferença.

Vamos considerar mais alguns exemplos.

Por exemplo, a expressão 2*a^3*b/3 também é um monômio, embora haja divisão envolvida. Mas neste caso, a divisão ocorre por um número e, portanto, a expressão correspondente pode ser reescrita da seguinte forma: 2/3*a^3*b. Outro exemplo: Qual das expressões 2/x e x/2 é um monômio e qual não é? A resposta correta é que a primeira expressão não é um monômio, mas a segunda é um monômio.

Forma padrão de monômio

Observe as duas expressões monomiais a seguir: ¾*a^2*b^3 e 3*a*1/4*b^3*a. Na verdade, estes são dois monômios idênticos. Não é verdade que a primeira expressão parece mais conveniente que a segunda?

A razão para isto é que a primeira expressão é escrita na forma padrão. A forma padrão de um polinômio é um produto composto por um fator numérico e potências de diversas variáveis. O fator numérico é chamado de coeficiente do monômio.

Para trazer um monômio à sua forma padrão, basta multiplicar todos os fatores numéricos presentes no monômio e colocar o número resultante em primeiro lugar. Em seguida, multiplique todas as potências que tenham a mesma base de letras.

Reduzindo um monômio à sua forma padrão

Se em nosso exemplo na segunda expressão multiplicarmos todos os fatores numéricos 3*1/4 e depois multiplicarmos a*a, obteremos o primeiro monômio. Esta ação é chamada de redução de um monômio à sua forma padrão.

Se dois monômios diferem apenas por um coeficiente numérico ou são iguais entre si, então esses monômios são chamados de semelhantes em matemática.

Nesta lição, daremos uma definição estrita de monômio e veremos vários exemplos do livro didático. Lembremos as regras para multiplicar potências com as mesmas bases. Vamos definir a forma padrão de um monômio, o coeficiente do monômio e sua parte alfabética. Consideremos duas operações típicas principais sobre monômios, a saber, a redução a uma forma padrão e o cálculo de um valor numérico específico de um monômio para determinados valores das variáveis ​​​​literais nele incluídas. Vamos formular uma regra para reduzir um monômio à forma padrão. Vamos aprender como resolver problemas padrão com quaisquer monômios.

Assunto:Monômios. Operações aritméticas em monômios

Lição:O conceito de monômio. Forma padrão de monômio

Considere alguns exemplos:

3. ;

Vamos encontrar características comuns para as expressões fornecidas. Nos três casos, a expressão é o produto de números e variáveis ​​elevadas a uma potência. Com base nisso damos definição de monômio : Um monômio é uma expressão algébrica que consiste no produto de potências e números.

Agora damos exemplos de expressões que não são monômios:

Vamos encontrar a diferença entre essas expressões e as anteriores. Consiste no fato de que nos exemplos 4 a 7 existem operações de adição, subtração ou divisão, enquanto nos exemplos 1 a 3, que são monômios, não existem essas operações.

Aqui estão mais alguns exemplos:

A expressão número 8 é um monômio porque é o produto de uma potência e um número, enquanto o exemplo 9 não é um monômio.

Agora vamos descobrir ações sobre monômios .

1. Simplificação. Vejamos o exemplo nº 3 ;e exemplo nº 2 /

No segundo exemplo vemos apenas um coeficiente - , cada variável ocorre apenas uma vez, ou seja, a variável " UM" é representado em uma única cópia, como "", da mesma forma, as variáveis ​​"" e "" aparecem apenas uma vez.

No exemplo nº 3, ao contrário, existem dois coeficientes diferentes - e , vemos a variável “” duas vezes - como “” e como “”, da mesma forma, a variável “” aparece duas vezes. Ou seja, esta expressão deve ser simplificada, assim chegamos a a primeira ação realizada em monômios é reduzir o monômio à forma padrão . Para isso, reduziremos a expressão do Exemplo 3 à forma padrão, depois definiremos esta operação e aprenderemos como reduzir qualquer monômio à forma padrão.

Então, considere um exemplo:

A primeira ação na operação de redução à forma padrão é sempre multiplicar todos os fatores numéricos:

;

O resultado desta ação será chamado coeficiente do monômio .

Em seguida, você precisa multiplicar os poderes. Vamos multiplicar as potências da variável " X"de acordo com a regra de multiplicação de potências com as mesmas bases, que afirma que na multiplicação os expoentes são somados:

Agora vamos multiplicar as potências" no»:

;

Então, aqui está uma expressão simplificada:

;

Qualquer monômio pode ser reduzido à forma padrão. Vamos formular regra de padronização :

Multiplique todos os fatores numéricos;

Coloque o coeficiente resultante em primeiro lugar;

Multiplique todos os graus, ou seja, obtenha a parte da letra;

Ou seja, qualquer monômio é caracterizado por um coeficiente e uma parte alfabética. Olhando adiante, notamos que monômios que possuem a mesma parte alfabética são chamados de semelhantes.

Agora precisamos trabalhar técnica para reduzir monômios à forma padrão . Considere exemplos do livro didático:

Tarefa: traga o monômio para a forma padrão, nomeie o coeficiente e a parte da letra.

Para completar a tarefa, usaremos a regra para reduzir um monômio a uma forma padrão e as propriedades dos poderes.

1. ;

3. ;

Comentários sobre o primeiro exemplo: Primeiro vamos determinar se esta expressão é realmente um monômio para fazer isso, vamos verificar se ela contém operações de multiplicação de números e potências e se contém operações de adição, subtração ou divisão; Podemos dizer que esta expressão é um monômio desde que a condição acima seja satisfeita. A seguir, de acordo com a regra para reduzir um monômio a uma forma padrão, multiplicamos os fatores numéricos:

- encontramos o coeficiente de um determinado monômio;

; ; ; isto é, obtém-se a parte literal da expressão:;

Vamos anotar a resposta: ;

Comentários sobre o segundo exemplo: Seguindo a regra que realizamos:

1) multiplique fatores numéricos:

2) multiplique as potências:

As variáveis ​​​​são apresentadas em uma única cópia, ou seja, não podem ser multiplicadas por nada, são reescritas sem alterações, o grau é multiplicado:

Vamos anotar a resposta:

;

Neste exemplo, o coeficiente do monômio é igual a um e a parte da letra é .

Comentários sobre o terceiro exemplo: um Semelhante aos exemplos anteriores, realizamos as seguintes ações:

1) multiplique fatores numéricos:

;

2) multiplique as potências:

;

Vamos anotar a resposta: ;

Neste caso, o coeficiente do monômio é “”, e a parte da letra .

Agora vamos considerar segunda operação padrão em monômios . Como um monômio é uma expressão algébrica que consiste em variáveis ​​literais que podem assumir valores numéricos específicos, temos uma expressão numérica aritmética que deve ser avaliada. Ou seja, a próxima operação em polinômios é calculando seu valor numérico específico .

Vejamos um exemplo. Monômio dado:

este monômio já foi reduzido à forma padrão, seu coeficiente é igual a um, e a parte da letra

Anteriormente dissemos que uma expressão algébrica nem sempre pode ser calculada, ou seja, as variáveis ​​​​que nela estão incluídas não podem assumir nenhum valor. No caso de um monômio, as variáveis ​​incluídas nele podem ser quaisquer; esta é uma característica do monômio.

Portanto, no exemplo dado, você precisa calcular o valor do monômio em,,,,.

Poder de um monômio

Para um monômio existe o conceito de seu grau. Vamos descobrir o que é.

Definição.

Poder de um monômio a forma padrão é a soma dos expoentes de todas as variáveis ​​incluídas em seu registro; se não houver variáveis ​​na notação de um monômio e ele for diferente de zero, então seu grau é considerado igual a zero; o número zero é considerado um monômio cujo grau é indefinido.

Determinar o grau de um monômio permite dar exemplos. O grau do monômio a é igual a um, pois a é 1. A potência do monômio 5 é zero, pois é diferente de zero e sua notação não contém variáveis. E o produto 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 é um monômio de oitavo grau, pois a soma dos expoentes de todas as variáveis ​​a, xey é igual a 2+1+3+2=8.

A propósito, o grau de um monômio não escrito na forma padrão é igual ao grau do monômio correspondente na forma padrão. Para ilustrar isso, vamos calcular o grau do monômio 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Este monômio na forma padrão tem a forma −6·x 8 ·y 4, seu grau é 8+4=12. Assim, o grau do monômio original é 12.

Coeficiente monômio

Um monômio na forma padrão, que possui pelo menos uma variável em sua notação, é um produto com um único fator numérico - um coeficiente numérico. Este coeficiente é chamado de coeficiente monômio. Formulemos os argumentos acima na forma de uma definição.

Definição.

Coeficiente monômioé o fator numérico de um monômio escrito na forma padrão.

Agora podemos dar exemplos de coeficientes de vários monômios. O número 5 é o coeficiente do monômio 5·a 3 por definição, da mesma forma o monômio (−2,3)·x·y·z tem um coeficiente de −2,3.

Os coeficientes dos monômios, iguais a 1 e −1, merecem atenção especial. A questão aqui é que eles geralmente não estão explicitamente presentes na gravação. Acredita-se que o coeficiente dos monômios da forma padrão que não possuem fator numérico em sua notação seja igual a um. Por exemplo, monômios a, x·z 3, a·t·x, etc. têm coeficiente 1, pois a pode ser considerado como 1·a, x·z 3 - como 1·x·z 3, etc.

Da mesma forma, o coeficiente dos monômios, cujas entradas na forma padrão não possuem um fator numérico e começam com um sinal de menos, é considerado menos um. Por exemplo, monômios −x, −x 3 y z 3, etc. tem um coeficiente −1, já que −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 etc.

A propósito, o conceito de coeficiente de monômio é frequentemente referido como monômios da forma padrão, que são números sem fatores alfabéticos. Os coeficientes de tais números monômios são considerados esses números. Assim, por exemplo, o coeficiente do monômio 7 é considerado igual a 7.

Referências.

• Álgebra: livro didático para a 7ª série educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 17ª edição. - M.: Educação, 2008. - 240 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G.Álgebra. 7ª série. Em 2 horas Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino / A. G. Mordkovich. - 17ª ed., add. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: il. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para quem ingressa nas escolas técnicas): Proc. subsídio.- M.; Mais alto escola, 1984.-351 p., il.

As informações básicas sobre monômios contêm o esclarecimento de que qualquer monômio pode ser reduzido a uma forma padrão. No material abaixo consideraremos esta questão com mais detalhes: delinearemos o significado desta ação, definiremos as etapas que nos permitem definir a forma padrão de um monômio e também consolidaremos a teoria resolvendo exemplos.

O significado de reduzir um monômio à forma padrão

Escrever um monômio no formato padrão torna mais conveniente trabalhar com ele. Freqüentemente, os monômios são especificados em uma forma não padronizada e, então, torna-se necessário realizar transformações idênticas para trazer o monômio dado para uma forma padrão.

Definição 1

Reduzindo um monômio à forma padrãoé a realização de ações apropriadas (transformações idênticas) com um monômio para escrevê-lo na forma padrão.

Método para reduzir um monômio à forma padrão

Da definição segue-se que um monômio de forma não padronizada é um produto de números, variáveis ​​​​e suas potências, e sua repetição é possível. Por sua vez, um monômio da forma padrão contém em sua notação apenas um número e variáveis ​​não repetitivas ou suas potências.

Para trazer um monômio não padrão para a forma padrão, você deve usar o seguinte regra para reduzir um monômio à forma padrão:

• o primeiro passo é agrupar fatores numéricos, variáveis ​​idênticas e suas potências;
• o segundo passo é calcular os produtos dos números e aplicar a propriedade das potências com as mesmas bases.

Exemplos e suas soluções

Dado um monômio 3 x 2 x 2 . É necessário trazê-lo para um formulário padrão.

Solução

Vamos agrupar fatores numéricos e fatores com variável x, como resultado o monômio dado terá a forma: (3 2) (x x 2) .

O produto entre parênteses é 6. Aplicando a regra de multiplicação de potências com mesmas bases, apresentamos a expressão entre colchetes como: x 1 + 2 = x 3. Como resultado, obtemos um monômio da forma padrão: 6 x 3.

Uma versão resumida da solução é assim: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3 .

Responder: 3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Exemplo 2

O monômio é dado: a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b . É necessário trazê-lo para um formulário padrão e indicar seu coeficiente.

Solução

o monômio dado possui um fator numérico em sua notação: - 1, vamos movê-lo para o início. Depois agruparemos os fatores com a variável a e os fatores com a variável b. Não há nada para agrupar a variável m, então a deixamos em sua forma original. Como resultado das ações acima obtemos: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.

Vamos realizar operações com graus entre colchetes, então o monômio assumirá a forma padrão: (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m. A partir desta entrada podemos facilmente determinar o coeficiente do monômio: é igual a -1. É perfeitamente possível substituir menos um simplesmente por um sinal de menos: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.

Um breve registro de todas as ações é assim:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m

Responder:

a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = - a 8 · b 3 · m, o coeficiente do monômio dado é - 1.

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