Vamos descobrir como a velocidade e a aceleração de um ponto são calculadas se o movimento for dado pelas equações (3) ou (4). A questão da determinação da trajetória neste caso já foi considerada no § 37.

As fórmulas (8) e (10), que determinam os valores de v e a, contêm as derivadas temporais dos vetores. Nas igualdades contendo derivadas de vetores, a transição para dependências entre projeções é realizada utilizando o seguinte teorema: a projeção da derivada de um vetor sobre um eixo fixado em um determinado sistema de referência é igual à derivada da projeção do vetor diferenciável no mesmo eixo, ou seja,

1. Determinação da velocidade de um ponto. Vetor velocidade de um ponto A partir daqui, com base nas fórmulas (I), levando em consideração que encontramos:

onde o ponto acima da letra é um símbolo de diferenciação em relação ao tempo. Assim, as projeções da velocidade do ponto nos eixos coordenados são iguais às primeiras derivadas das coordenadas correspondentes do ponto em relação ao tempo.

Conhecendo as projeções da velocidade, encontraremos sua magnitude e direção (ou seja, os ângulos que o vetor v forma com os eixos coordenados) usando as fórmulas

2. Determinação da aceleração de um ponto. Vetor de aceleração de um ponto A partir daqui, com base nas fórmulas (11), obtemos:

ou seja as projeções da aceleração de um ponto nos eixos coordenados são iguais às primeiras derivadas das projeções de velocidade ou às segundas derivadas das coordenadas correspondentes do ponto em relação ao tempo. A magnitude e a direção da aceleração podem ser encontradas nas fórmulas

onde estão os ângulos formados pelo vetor aceleração com os eixos coordenados.

Então, se o movimento de um ponto é dado em cartesiano coordenadas retangulares equações (3) ou (4), então a velocidade do ponto é determinada pelas fórmulas (12) e (13), e a aceleração pelas fórmulas (14) e (15). Além disso, no caso de movimento ocorrendo em um plano, a projeção no eixo deve ser descartada em todas as fórmulas

Deixe a função agora ser conhecida. Na Fig. 5.10
E
 vetores velocidade de um ponto móvel em momentos t e  t. Para obter o incremento do vetor de velocidade
mova o vetor paralelo
ao ponto M:

Aceleração média de um ponto durante um período de tempo  t é chamada de razão de incremento do vetor de velocidade
para um período de tempo t:

Por isso, aceleração de um ponto em no momento o tempo é igual à primeira derivada em relação ao tempo do vetor velocidade do ponto ou à segunda derivada do vetor raio em relação ao tempo

. (5.11)

Aceleração de ponto esta é uma grandeza vetorial que caracteriza a taxa de variação do vetor velocidade ao longo do tempo.

Vamos construir um hodógrafo de velocidade (Fig. 5.11). Por definição, o hodógrafo de velocidade é a curva desenhada no final do vetor velocidade quando um ponto se move, se o vetor velocidade for traçado a partir do mesmo ponto.

Determinar a velocidade de um ponto usando o método de coordenadas para especificar seu movimento

Deixe o movimento de um ponto ser especificado pelo método de coordenadas em Sistema cartesiano coordenadas

X = x(t), sim = sim(t), z = z(t)

O vetor raio de um ponto é igual a

.

Como os vetores unitários
são constantes, então por definição

. (5.12)

Vamos denotar as projeções do vetor velocidade no eixo Oh, Oh E onça através V x , V sim , V z

(5.13)

Comparando as igualdades (5.12) e (5.13) obtemos

(5.14)

A seguir, a derivada em relação ao tempo será denotada pelo ponto acima, ou seja,

.

O módulo de velocidade de um ponto é determinado pela fórmula

. (5.15)

A direção do vetor velocidade é determinada pelos cossenos de direção:

Determinar a aceleração de um ponto usando o método de coordenadas para especificar seu movimento

O vetor velocidade no sistema de coordenadas cartesianas é igual a

.

Por definição

Denotemos as projeções do vetor aceleração no eixo Oh, Oh E onça através UM x , UM sim , UM z Assim, expandimos o vetor velocidade ao longo dos eixos:

. (5.17)

Comparando as igualdades (5.16) e (5.17) obtemos

O módulo do vetor de aceleração pontual é calculado de forma semelhante ao módulo do vetor velocidade pontual:

, (5.19)

e a direção do vetor aceleração é por cossenos de direção:

Determinar a velocidade e aceleração de um ponto usando o método natural de especificação de seu movimento

Orty E deitar em plano osculante, vetores unitários E V plano normal, vetores unitários E - em avião de endireitamento.

O triedro resultante é chamado natural.

Deixe a lei do movimento do ponto ser dada é = é(t).

Vetor de raio pontos M em relação a qualquer ponto fixo será uma função complexa do tempo
.

Da geometria diferencial são conhecidas as fórmulas de Serre-Frenet, estabelecendo conexões entre os vetores unitários dos eixos naturais e a função vetorial da curva

onde  é o raio de curvatura da trajetória.

Utilizando a definição de velocidade e a fórmula de Serre-Frenet, obtemos:

. (5.20)

Denotando a projeção da velocidade na tangente e levando em consideração que o vetor velocidade é direcionado tangencialmente, temos

. (5.21)

Comparando as igualdades (5.20) e (5.21), obtemos fórmulas para determinar o vetor velocidade em magnitude e direção

Magnitude positivo se o ponto M move-se na direção positiva da referência do arco é e negativo no caso oposto.

Usando a definição de aceleração e a fórmula de Serre-Frenet, obtemos:

Vamos denotar a projeção da aceleração do ponto em uma tangente , principal normal e binormal
respectivamente.

Então a aceleração é

Das fórmulas (5.23) e (5.24) segue-se que o vetor aceleração sempre está no plano de contato e se expande nas direções E :

(5.25)

Projeção de aceleração em uma tangente
chamado tangente ou aceleração tangencial. Caracteriza a mudança na velocidade.

Projeção de aceleração na normal principal
chamado aceleração normal.

Caracteriza a mudança no vetor velocidade na direção.
.

A magnitude do vetor aceleração é igual a E Se

A magnitude do vetor aceleração é igual a E do mesmo sinal, então o movimento do ponto será acelerado.

sinais diferentes, então o movimento do ponto será lento. As fórmulas básicas da cinemática são fornecidas ponto material

Contente Veja também:

Um exemplo de resolução de um problema (método de coordenadas para especificar o movimento de um ponto)

Fórmulas básicas para a cinemática de um ponto material

Apresentamos as fórmulas básicas da cinemática de um ponto material. Após o que daremos a conclusão e apresentação da teoria.
,
Vetor raio do ponto material M no sistema de coordenadas retangulares Oxyz:

onde estão os vetores unitários (orts) na direção dos eixos x, y, z.
;
.
.
Velocidade do ponto:
.

Vetor unitário na direção tangente à trajetória de um ponto:
;
;
;
; ;

Ponto de aceleração:
;
;
.

Aceleração tangencial (tangencial):
;
;
.

Aceleração normal:
.

Vetor unitário direcionado ao centro de curvatura da trajetória do ponto (ao longo da normal principal):

Vetor de raio e trajetória de ponto Consideremos o movimento do ponto material M. Vamos escolher um sistema de coordenadas retangular fixo Oxyz com centro em algum ponto fixo O.

Então a posição do ponto M é determinada exclusivamente por suas coordenadas
,
(x, y, z)

.
(1)
Essas coordenadas são componentes do vetor raio do ponto material.

O vetor raio de um ponto M é um vetor desenhado da origem de um sistema de coordenadas fixas O até um ponto M.

Se o ponto se mover em um plano, então os eixos e sistemas de coordenadas podem ser selecionados para que fiquem neste plano. Então a trajetória é determinada por duas equações

Em alguns casos, o tempo pode ser eliminado destas equações. Então a equação da trajetória terá:
,
dependência da forma

onde está alguma função. Esta dependência contém apenas as variáveis ​​e . Não contém o parâmetro.

A velocidade de um ponto material é a derivada de seu vetor raio em relação ao tempo.

De acordo com a definição de velocidade e a definição de derivada:
,
Em mecânica, as derivadas em relação ao tempo são indicadas por um ponto acima do símbolo. Vamos substituir aqui a expressão do vetor raio:

,
onde indicamos claramente a dependência das coordenadas no tempo. Nós obtemos:
,
,

Onde
.

- projeções de velocidade nos eixos coordenados. Eles são obtidos diferenciando as componentes do vetor raio em relação ao tempo
.
Por isso
.

Módulo de velocidade:

Tangente ao caminho Do ponto de vista matemático, o sistema de equações (1) pode ser considerado como a equação de uma reta (curva) definida por equações paramétricas. O tempo, nesta consideração, desempenha o papel de parâmetro. Do curso análise matemática
.
sabe-se que o vetor diretor da tangente a esta curva possui as seguintes componentes: Mas estas são as componentes do vetor velocidade do ponto. Aquilo é.

a velocidade do ponto material é direcionada tangencialmente à trajetória
Tudo isso pode ser demonstrado diretamente. Deixe no momento o ponto estar em uma posição com o vetor raio (ver figura). E no momento - em posição com o vetor raio.
;
;
.
Vamos traçar uma linha reta passando pelos pontos.

Por definição, uma tangente é uma linha reta para a qual a linha reta tende como .
.
Vamos introduzir a seguinte notação:
Então o vetor é direcionado ao longo da linha reta.

Ao tender, a linha reta tende para a tangente e o vetor tende para a velocidade do ponto no momento: Como o vetor é direcionado ao longo da reta, e a reta em , o vetor velocidade é direcionado ao longo da tangente.:
.
Ou seja, o vetor velocidade de um ponto material é direcionado ao longo da tangente à trajetória.
Vamos apresentar
.

vetor de direção tangente de comprimento unitário
.

Vamos mostrar que o comprimento deste vetor é igual a um. Na verdade, desde

Então o vetor velocidade do ponto pode ser representado como:
;
;
;
.
Aceleração de um ponto material
.

A aceleração de um ponto material é a derivada de sua velocidade em relação ao tempo.

Agora considere a questão da direção do vetor aceleração em relação à trajetória. Para fazer isso aplicamos a fórmula:
.
Nós o diferenciamos em relação ao tempo usando a regra de diferenciação do produto:
.

O vetor é direcionado tangencialmente à trajetória. Em que direção está direcionada sua derivada temporal?

Para responder a esta questão, utilizamos o facto de que o comprimento do vetor é constante e igual à unidade. Então o quadrado do seu comprimento também é igual a um:
.
Aqui e abaixo, dois vetores entre parênteses denotam o produto escalar dos vetores. Vamos diferenciar a última equação em relação ao tempo:
;
;
.
Como o produto escalar dos vetores e é igual a zero, esses vetores são perpendiculares entre si. Como o vetor é direcionado tangente à trajetória, o vetor é perpendicular à tangente.

O primeiro componente é chamado de aceleração tangencial ou tangencial:
.
O segundo componente é chamado de aceleração normal:
.
Então a aceleração total é:
(2) .
Esta fórmula representa a decomposição da aceleração em duas componentes perpendiculares entre si - tangente à trajetória e perpendicular à tangente.

Desde então
(3) .

Aceleração tangencial (tangencial)

Vamos multiplicar ambos os lados da equação (2) escalar para:
.
Porque, então.
;
.
Então
.
Aqui colocamos:

Disto podemos ver que a aceleração tangencial é igual à projeção da aceleração total na direção da tangente à trajetória ou, o que dá no mesmo, na direção da velocidade do ponto.

A aceleração tangencial (tangencial) de um ponto material é a projeção de sua aceleração total na direção da tangente à trajetória (ou na direção da velocidade).

Usamos o símbolo para denotar o vetor de aceleração tangencial direcionado ao longo da tangente à trajetória. Então é uma quantidade escalar igual à projeção da aceleração total na direção da tangente. Pode ser positivo e negativo.
.

Substituindo, temos:
.
Vamos colocar na fórmula:
.
Então: Ou seja, a aceleração tangencial é igual à derivada temporal da velocidade absoluta do ponto. Por isso, a aceleração tangencial leva a uma mudança no valor absoluto da velocidade do ponto

. À medida que a velocidade aumenta, a aceleração tangencial é positiva (ou direcionada ao longo da velocidade). À medida que a velocidade diminui, a aceleração tangencial é negativa (ou na direção oposta à velocidade).

Considere um vetor unitário tangente à trajetória.
.

Vamos colocar sua origem na origem do sistema de coordenadas. Então o final do vetor estará em uma esfera de raio unitário. Quando um ponto material se move, a extremidade do vetor se moverá ao longo desta esfera. Ou seja, ele irá girar em torno de sua origem. Seja a velocidade angular instantânea de rotação do vetor no momento. Então sua derivada é a velocidade do final do vetor. É direcionado perpendicularmente ao vetor. Vamos aplicar a fórmula do movimento rotativo. Módulo vetorial:
.
Agora considere a posição do ponto para dois momentos próximos no tempo. Deixe o ponto estar em posição no momento e em posição no momento.

Sejam e vetores unitários direcionados tangencialmente à trajetória nesses pontos. Através dos pontos e desenhamos planos perpendiculares aos vetores e .
.
Let Ser uma linha reta formada pela intersecção desses planos. De um ponto baixamos uma perpendicular a uma linha reta.

Se as posições dos pontos forem suficientemente próximas, então o movimento do ponto pode ser considerado como uma rotação ao longo de um círculo de raio em torno do eixo, que será o eixo instantâneo de rotação do ponto material. Como os vetores e são perpendiculares aos planos e , então o ângulo entre esses planos

Se as posições dos pontos forem suficientemente próximas, então o movimento do ponto pode ser considerado como uma rotação ao longo de um círculo de raio em torno do eixo, que será o eixo instantâneo de rotação do ponto material. Como os vetores e são perpendiculares aos planos e , então o ângulo entre esses planos

igual ao ângulo
entre vetores e .
;
.
Então a velocidade instantânea de rotação do ponto em torno do eixo é igual à velocidade instantânea de rotação do vetor:
.

Aqui está a distância entre os pontos e . (2) Assim, encontramos o módulo da derivada temporal do vetor:
(4) .
Como indicamos anteriormente, o vetor é perpendicular ao vetor. (3) Do raciocínio acima fica claro que ele está direcionado para o centro de curvatura instantâneo da trajetória. Essa direção é chamada de normal principal.
.

Vamos multiplicar ambos os lados da equação (2) escalar para:
(2) .
.
Porque, então.
;
.
Aceleração normal

direcionado ao longo do vetor.

Como descobrimos, este vetor é direcionado perpendicularmente à tangente, em direção ao centro de curvatura instantâneo da trajetória.
.
Ou seja, a aceleração normal provoca uma mudança na direção da velocidade de um ponto e está relacionada ao raio de curvatura da trajetória.

A partir daqui você pode encontrar o raio de curvatura da trajetória:
.

E para concluir, notamos que a fórmula (4) pode ser reescrito da seguinte forma:
.
Aqui aplicamos a fórmula para o produto vetorial de três vetores:
,
que eles enquadraram
.

Então nós temos:
;
.
Vamos igualar os módulos das partes esquerda e direita:
.
Mas os vetores também são mutuamente perpendiculares. É por isso
.
Então
.
Esta é uma fórmula bem conhecida da geometria diferencial para a curvatura de uma curva.

Introduzamos um vetor unitário τ associado ao ponto móvel A e direcionado tangencialmente à trajetória na direção crescente da coordenada do arco (Fig. 1.6). É óbvio que τ é um vetor variável: depende de l. O vetor velocidade v do ponto A é direcionado tangencialmente à trajetória, portanto pode ser representado da seguinte forma

onde v τ =dl/dt é a projeção do vetor v na direção do vetor τ, e v τ é uma quantidade algébrica. Além disso, |v τ |=|v|=v.

Aceleração de ponto

Vamos diferenciar (1.22) em relação ao tempo

(1.23)

Vamos transformar o último termo desta expressão

(1.24)

Vamos determinar o incremento do vetor τ por dl (Fig. 1.7).

Como pode ser visto na Fig. 1,7, ângulo , de onde , e em .

Ao introduzir um vetor unitário n da normal à trajetória no ponto 1, direcionado ao centro de curvatura, escrevemos a última igualdade na forma vetorial

Substituamos (1.23) em (1.24) e a expressão resultante em (1.22). Como resultado encontraremos

(1.26)

Aqui o primeiro termo é chamado tangencial uma τ , segundo - normal um.

Assim, a aceleração total a de um ponto pode ser representada como a soma geométrica das acelerações tangencial e normal.

Módulo de aceleração de ponto completo

(1.27)

É direcionado para a concavidade da trajetória em um ângulo α com o vetor velocidade, e .

Se o ângulo α for agudo, então tanα>0, portanto, dv/dt>0, já que v 2 /R>0 é sempre.

EM nesse caso a magnitude da velocidade aumenta com o tempo - o movimento é chamado acelerado(Fig. 1.8).

No caso em que a velocidade diminui de magnitude ao longo do tempo, o movimento é denominado lento(Fig. 1.9).

Se o ângulo α=90°, tanα=∞, ou seja, dv/dt=0. Neste caso, a velocidade não muda de magnitude ao longo do tempo, e a aceleração total será igual à centrípeta

(1.28)

Em particular, a aceleração total do movimento rotacional uniforme (R=const, v=const) é uma aceleração centrípeta, igual em valor a n =v 2 /R e direcionada o tempo todo em direção ao centro.

No movimento linear, ao contrário, a aceleração total do corpo é igual à tangencial. Neste caso, a n =0, pois uma trajetória retilínea pode ser considerada um círculo de raio infinitamente grande, e com R→∞; v 2 /R=0; a n =0; uma=uma τ .

Trajetória de movimento de um ponto material através do vetor raio

Tendo esquecido um pouco esta seção da matemática, na minha memória as equações do movimento de um ponto material sempre foram representadas usando a dependência familiar a todos nós você(x), e olhando o texto do problema, fiquei um pouco surpreso ao ver os vetores. Descobriu-se que existe uma representação da trajetória de um ponto material usando vetor de raio— um vetor que especifica a posição de um ponto no espaço em relação a algum ponto pré-fixado, chamado origem.

A fórmula da trajetória de um ponto material, além do vetor raio, é descrita da mesma forma orts- vetores unitários eu, j, k no nosso caso, coincidindo com os eixos do sistema de coordenadas. E, finalmente, considere um exemplo de equação para a trajetória de um ponto material (no espaço bidimensional):

O que há de interessante neste exemplo? A trajetória do movimento de um ponto é dada por senos e cossenos. Como você acha que será o gráfico na representação familiar y(x)? “Provavelmente algo assustador”, você pensou, mas nem tudo é tão complicado quanto parece! Vamos tentar construir a trajetória do ponto material y(x), se ele se mover de acordo com a lei apresentada acima:

Aqui notei o quadrado do cosseno, se em algum exemplo você vê o quadrado do seno ou cosseno, isso significa que você precisa aplicar a identidade trigonométrica básica, que foi o que fiz (segunda fórmula) e transformei a fórmula das coordenadas sim, de modo que, em vez do seno, substitua a fórmula de mudança nele x:

Como resultado, a terrível lei do movimento de um ponto revelou-se comum parábola, cujos ramos são direcionados para baixo. Espero que você entenda o algoritmo aproximado para construir a dependência y(x) a partir da representação do movimento através do vetor raio. Agora vamos passar para nossa questão principal: como encontrar o vetor de velocidade e aceleração de um ponto material, bem como seus módulos.

Vetor de velocidade de um ponto material

Todo mundo sabe que a velocidade de um ponto material é a distância percorrida pelo ponto por unidade de tempo, ou seja, a derivada da fórmula da lei do movimento. Para encontrar o vetor velocidade, você precisa derivar em relação ao tempo. Vamos dar uma olhada exemplo concreto encontrar o vetor velocidade.

Um exemplo de como encontrar o vetor velocidade

Temos a lei do movimento de um ponto material:

Agora você precisa tirar a derivada desse polinômio, se você esqueceu como fazer isso, aqui está. Como resultado, o vetor velocidade terá a seguinte forma:

Tudo acabou sendo mais simples do que você pensava, agora vamos encontrar o vetor aceleração de um ponto material usando a mesma lei apresentada acima.

Como encontrar o vetor aceleração de um ponto material

Vetor de aceleração de ponto esta é uma grandeza vetorial que caracteriza a mudança ao longo do tempo na magnitude e direção da velocidade de um ponto. Para encontrar o vetor aceleração de um ponto material em nosso exemplo, você precisa derivar a derivada, mas a partir da fórmula do vetor velocidade apresentada acima:

Módulo do vetor velocidade pontual

Agora vamos encontrar a magnitude do vetor velocidade do ponto material. Como você sabe desde o 9º ano, o módulo de um vetor é o seu comprimento, em coordenadas cartesianas retangulares igual à raiz quadrada da soma dos quadrados de suas coordenadas. E onde podemos obter suas coordenadas do vetor velocidade que obtivemos acima, você pergunta? É muito simples:

Agora basta substituir o tempo especificado no problema e obter um valor numérico específico.

Módulo de vetor de aceleração

Como você entendeu pelo que foi escrito acima (e a partir do 9º ano), encontrar o módulo do vetor aceleração ocorre da mesma forma que o módulo do vetor velocidade: tiramos a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas do vetor , é simples! Bem, aqui está um exemplo para você, é claro:

Como você pode ver, a aceleração de um ponto material de acordo com a lei dada acima não depende do tempo e tem magnitude e direção constantes.

Mais exemplos de soluções para o problema de encontrar o vetor velocidade e aceleração

E aqui você pode encontrar exemplos de soluções para outros problemas de física. E para quem não entende muito bem como encontrar o vetor velocidade e aceleração, aqui estão mais alguns exemplos da rede sem explicações desnecessárias, espero que ajudem.

Se você tiver alguma dúvida, pode perguntar nos comentários.