Convertendo Expressões. Teoria detalhada (2019). Como simplificar expressões algébricas revisando as propriedades das raízes quadradas

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Uma expressão algébrica em que, junto com as operações de adição, subtração e multiplicação, também utiliza a divisão em expressões de letras, é chamada de expressão algébrica fracionária. Estas são, por exemplo, as expressões

Chamamos uma fração algébrica de expressão algébrica que tem a forma de um quociente da divisão de duas expressões algébricas inteiras (por exemplo, monômios ou polinômios). Estas são, por exemplo, as expressões

A terceira das expressões).

As transformações idênticas de expressões algébricas fracionárias visam principalmente representá-las na forma de uma fração algébrica. Para encontrar o denominador comum, utiliza-se a fatoração dos denominadores das frações - termos para encontrar seu mínimo múltiplo comum. Ao reduzir frações algébricas, a identidade estrita das expressões pode ser violada: é necessário excluir valores de quantidades em que o fator pelo qual a redução é feita torna-se zero.

Damos exemplos de transformações idênticas de expressões algébricas fracionárias.

Exemplo 1: Simplifique uma expressão

Todos os termos podem ser reduzidos a um denominador comum (é conveniente mudar o sinal do denominador do último termo e o sinal que o precede):

Nossa expressão é igual a um para todos os valores, exceto esses valores, é indefinida e reduzir a fração é ilegal).

Exemplo 2. Represente a expressão como uma fração algébrica

Solução. A expressão pode ser tomada como um denominador comum. Encontramos sequencialmente:

Exercícios

1. Encontre os valores das expressões algébricas para os valores dos parâmetros especificados:

2. Fatore.

§ 1º O conceito de simplificação de uma expressão literal

Nesta lição conheceremos o conceito de “termos semelhantes” e, a partir de exemplos, aprenderemos como realizar a redução de termos semelhantes, simplificando assim expressões literais.

Vamos descobrir o significado do conceito “simplificação”. A palavra “simplificação” é derivada da palavra “simplificar”. Simplificar significa tornar simples, mais simples. Portanto, simplificar uma expressão alfabética é torná-la mais curta, com um número mínimo de ações.

Considere a expressão 9x + 4x. Esta é uma expressão literal que é uma soma. Os termos aqui são apresentados como produtos de um número e uma letra. O fator numérico de tais termos é chamado de coeficiente. Nesta expressão, os coeficientes serão os números 9 e 4. Observe que o fator representado pela letra é o mesmo nos dois termos desta soma.

Vamos relembrar a lei distributiva da multiplicação:

Para multiplicar uma soma por um número, você pode multiplicar cada termo por esse número e adicionar os produtos resultantes.

Em geral escreve-se assim: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Esta lei é verdadeira em ambas as direções ac + bc = (a + b) ∙ c

Vamos aplicá-lo à nossa expressão literal: a soma dos produtos de 9x e 4x é igual a um produto cujo primeiro fator é igual à soma de 9 e 4, o segundo fator é x.

9 + 4 = 13, isso é 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

Em vez de três ações na expressão, resta apenas uma ação - multiplicação. Isso significa que tornamos nossa expressão literal mais simples, ou seja, simplificou.

§ 2º Redução de prazos similares

Os termos 9x e 4x diferem apenas em seus coeficientes - tais termos são chamados de semelhantes. A parte da letra de termos semelhantes é a mesma. Termos semelhantes também incluem números e termos iguais.

Por exemplo, na expressão 9a + 12 - 15 termos semelhantes serão os números 12 e -15, e na soma do produto de 12 e 6a, o número 14 e o produto de 12 e 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) os termos iguais representados pelo produto de 12 e 6a.

É importante notar que termos cujos coeficientes são iguais, mas cujos fatores alfabéticos são diferentes, não são semelhantes, embora às vezes seja útil aplicar-lhes a lei distributiva da multiplicação, por exemplo, a soma dos produtos 5x e 5y é igual ao produto do número 5 e a soma de x e y

5x + 5y = 5(x + y).

Vamos simplificar a expressão -9a + 15a - 4 + 10.

Termos semelhantes neste caso são os termos -9a e 15a, uma vez que diferem apenas em seus coeficientes. O multiplicador de letras deles é o mesmo, e os termos -4 e 10 também são semelhantes, pois são números. Some termos semelhantes:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Obtemos: 6a + 6.

Ao simplificar a expressão, encontramos as somas de termos semelhantes em matemática, isso é chamado de redução de termos semelhantes;

Se for difícil adicionar esses termos, você pode criar palavras para eles e adicionar objetos.

Por exemplo, considere a expressão:

Para cada letra pegamos nosso próprio objeto: b-apple, c-pear, então obtemos: 2 maçãs menos 5 peras mais 8 peras.

Podemos subtrair peras de maçãs? Claro que não. Mas podemos adicionar 8 peras a menos 5 peras.

Apresentamos termos semelhantes -5 peras + 8 peras. Termos semelhantes possuem a mesma parte alfabética, portanto ao trazer termos semelhantes basta somar os coeficientes e adicionar a parte alfabética ao resultado:

(-5 + 8) peras - você ganha 3 peras.

Voltando à nossa expressão literal, temos -5 s + 8 s = 3 s. Assim, após trazer termos semelhantes, obtemos a expressão 2b + 3c.

Portanto, nesta lição você conheceu o conceito de “termos semelhantes” e aprendeu como simplificar expressões de letras reduzindo termos semelhantes.

Lista de literatura usada:

1. Matemática. 6ª série: planos de aula para o livro didático de I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-compilador L.A. Topilina. Mnemósine 2009.
2. Matemática. 6ª série: livro didático para alunos de instituições de ensino geral. I.I. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matemática. 6ª série: livro didático para instituições de ensino geral/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov e outros/editado por G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Academia Russa de Ciências, Academia Russa de Educação. M.: “Iluminismo”, 2010.
4. Matemática. 6ª série: estudo para instituições de ensino geral/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
5. Matemática. 6ª série: livro didático/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Abetarda, 2014.

Imagens usadas:

Você vai precisar

• - o conceito de monômio de um polinômio;
• - fórmulas de multiplicação abreviadas;
• - operações com frações;
• - identidades trigonométricas básicas.

Instruções

Se a expressão contiver monômios com , encontre a soma de seus coeficientes e multiplique pelo mesmo fator para eles. Por exemplo, se houver uma expressão 2 a-4 a+5 a+a=(2-4+5+1)∙a=4∙a.

Se a expressão for uma fração natural, selecione o fator comum do numerador e denominador e reduza a fração por ele. Por exemplo, se você precisar reduzir a fração (3 a²-6 a b+3 b²)/(6∙a²-6∙b²), retire os fatores comuns do numerador e o denominador no numerador será 3, em o denominador 6. Obtenha a expressão (3 ( a²-2 a b+b²))/(6∙(a²-b²)). Reduza o numerador e o denominador em 3 e aplique as fórmulas de multiplicação abreviadas às expressões restantes. Para o numerador é o quadrado da diferença, e para o denominador é a diferença dos quadrados. Obtenha a expressão (ab)²/(2∙ (a+b)∙(ab)) reduzindo-a pelo fator comum a-b, você obtém a expressão (ab)/(2∙ (a+b)), que é muito mais fácil para valores específicos da contagem de variáveis.

Se os monômios têm fatores idênticos elevados a uma potência, então, ao somá-los, certifique-se de que as potências são iguais, caso contrário é impossível reduzir semelhantes. Por exemplo, se houver uma expressão 2∙m²+6 m³-m²-4 m³+7, então quando outras semelhantes forem combinadas, o resultado será m²+2 m³+7.

Ao simplificar identidades trigonométricas, use fórmulas para transformá-las. Identidade trigonométrica básica sin²(x)+cos²(x)=1, sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x), fórmulas para soma e diferença de argumentos , argumento duplo, triplo e outros. Por exemplo, (sin(2∙x)- cos(x))/ctg(x). Escreva a fórmula para argumento duplo e cotangente como a razão entre cosseno e seno. Obtenha (2∙ sen(x) cos(x)- cos(x)) sen(x)/cos(x). Retire o fator comum, cos(x) e cancele a fração cos(x) (2∙ sin(x) - 1) sin(x)/cos(x)= (2∙ sin(x) - 1) sin( x).

Vídeo sobre o tema

Fontes:

• fórmula de simplificação de expressão

A brevidade, como dizem, é irmã do talento. Todo mundo quer mostrar seu talento, mas a irmã dele é uma coisa complicada. Por alguma razão, pensamentos brilhantes assumem naturalmente a forma de frases complexas com muitas frases adverbiais. Porém, cabe a você simplificar suas frases e torná-las compreensíveis e acessíveis a todos.

Instruções

Para facilitar para o destinatário (seja ouvinte ou leitor), tente substituir frases participiais e participiais por orações subordinadas curtas, especialmente se houver muitas das frases acima em uma frase. “Um gato que chegou em casa, acabando de comer um rato, ronronou alto, acariciou seu dono, tentando olhar em seus olhos, na esperança de implorar pelo peixe trazido da loja” - isso não vai funcionar. Divida essa estrutura em várias partes, não tenha pressa e não tente dizer tudo em uma frase, você ficará feliz.

Se você concebeu uma declaração brilhante, mas ela tem muitas orações subordinadas (especialmente com uma), então é melhor dividir a declaração em várias frases separadas ou omitir algum elemento. “Decidimos que ele contaria a Marina Vasilievna, que Katya contaria a Vita que...” - podemos continuar indefinidamente. Pare no tempo e lembre-se de quem vai ler ou ouvir isso.

No entanto, as armadilhas não residem apenas na estrutura da frase. Preste atenção ao vocabulário. Palavras estrangeiras, termos longos, palavras tiradas da ficção do século XIX - tudo isso só complicará a percepção. É necessário esclarecer para qual público você está redigindo o texto: os técnicos, é claro, entenderão tanto termos complexos quanto palavras específicas; mas se você oferecer as mesmas palavras a uma professora de literatura, é improvável que ela o compreenda.

Talento é uma coisa ótima. Se você é talentoso (e não existem pessoas sem habilidades), muitos caminhos se abrem diante de você. Mas o talento não reside na complexidade, mas na simplicidade, por incrível que pareça. Mantenha a simplicidade e seus talentos serão claros e acessíveis a todos.

Vídeo sobre o tema

Aprender a simplificar expressões em matemática é simplesmente necessário para resolver problemas e equações diversas de maneira correta e rápida. Simplificar uma expressão envolve reduzir o número de etapas, o que facilita os cálculos e economiza tempo.

Instruções

Aprenda a calcular potências de c. Ao multiplicar potências c, obtém-se um número cuja base é a mesma, e os expoentes são somados b^m+b^n=b^(m+n). Ao dividir potências com as mesmas bases, obtém-se a potência de um número cuja base permanece a mesma, e os expoentes são subtraídos, e o expoente do divisor b^m é subtraído do expoente do dividendo: b^ n = b ^ (mn). Ao elevar uma potência a uma potência, obtém-se a potência de um número, cuja base permanece a mesma, e os expoentes são multiplicados (b^m)^n=b^(mn) Ao elevar a uma potência, cada fator é elevado a esta potência.

Fatorar polinômios, ou seja, imagine-os como um produto de vários fatores - polinômios e monômios. Retire o fator comum dos colchetes. Aprenda as fórmulas básicas de multiplicação abreviada: diferença de quadrados, soma quadrada, diferença quadrada, soma de cubos, diferença de cubos, cubo de soma e diferença. Por exemplo, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Essas fórmulas são as principais na simplificação de expressões. Use o método de isolar um quadrado perfeito em um trinômio da forma ax^2+bx+c.

Abrevie as frações sempre que possível. Por exemplo, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Mas lembre-se de que você só pode reduzir os multiplicadores. Se o numerador e o denominador de uma fração algébrica forem multiplicados pelo mesmo número diferente de zero, o valor da fração não mudará. Existem duas maneiras de transformar expressões racionais: por cadeia e por ações. O segundo método é preferível porque é mais fácil verificar os resultados das ações intermediárias.

Muitas vezes é necessário extrair raízes em expressões. Raízes pares são extraídas apenas de expressões ou números não negativos. Raízes ímpares podem ser extraídas de qualquer expressão.

Fontes:

• simplificação de expressões com potências

Uma "expressão" em matemática geralmente se refere a um conjunto de operações aritméticas e algébricas envolvendo números e valores de variáveis. Por analogia com o formato de escrita dos números, tal conjunto é denominado “fracionário” no caso em que contém a operação de divisão. As operações de simplificação aplicam-se a expressões fracionárias, bem como a números em formato fracionário.

Instruções

Comece encontrando o fator comum para , no numerador e - isso é o mesmo para proporções numéricas e aquelas que contêm variáveis ​​desconhecidas. Por exemplo, se o numerador for 45*X e o denominador for 18*Y, então o maior fator comum é 9. Depois de concluir esta etapa, o numerador pode ser escrito como 9*5*X e o denominador como 9*2* E.

Se as expressões no numerador e no denominador contiverem uma combinação de operações matemáticas básicas (divisão, adição e subtração), primeiro você terá que fatorar o fator comum para cada uma delas separadamente e, em seguida, isolar o maior fator comum destes números. Por exemplo, para a expressão 45*X+180, que está no numerador, o fator 45 deve ser retirado dos colchetes: 45*X+180 = 45*(X+4). E a expressão 18+54*Y no denominador deve ser reduzida à forma 18*(1+3*Y). Então, como na etapa anterior, encontre o máximo divisor comum dos fatores retirados dos colchetes: 45*X+180 / 18+54*Y = 45*(X+4) / 18*(1+3*Y) = 9*5* (X+4) / 9*2*(1+3*Y). Neste exemplo também é igual a nove.

Reduza o fator comum das expressões no numerador e denominador da fração encontrada nas etapas anteriores. Para o exemplo da primeira etapa, toda a operação de simplificação pode ser escrita da seguinte forma: 45*X / 18*Y = 9*5*X / 9*2*Y = 5*X / 2*Y.

Ao simplificar, o divisor comum a ser reduzido não precisa ser um número, também pode ser uma expressão contendo uma variável. Por exemplo, se o numerador de uma fração for (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) e o denominador for (X*Y + 3*Y - 7*X - 21), então o máximo comum divisor será a expressão X+ 3, que deve ser reduzida para simplificar a expressão: (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) / (X*Y + 3*Y - 7*X - 21) = ( X+3)*(4 +Y) / (X+3)*(Y-7) = (4+Y) / (Y-7).

No início da lição, revisaremos as propriedades básicas das raízes quadradas e, em seguida, veremos vários exemplos complexos de expressões simplificadas contendo raízes quadradas.

Assunto:Função. Propriedades da raiz quadrada

Lição:Convertendo e simplificando expressões mais complexas com raízes

1. Revisão das propriedades das raízes quadradas

Vamos repetir brevemente a teoria e relembrar as propriedades básicas das raízes quadradas.

Propriedades das raízes quadradas:

1. portanto,;

3. ;

4. .

2. Exemplos de simplificação de expressões com raízes

Vejamos exemplos de uso dessas propriedades.

Exemplo 1: Simplifique uma expressão .

Solução. Para simplificar, o número 120 deve ser fatorado em fatores primos:

Revelaremos o quadrado da soma usando a fórmula apropriada:

Exemplo 2: Simplifique uma expressão .

Solução. Levemos em consideração que esta expressão não faz sentido para todos os valores possíveis da variável, pois esta expressão contém raízes quadradas e frações, o que leva a um “estreitamento” da faixa de valores permitidos. ODZ: ().

Vamos trazer a expressão entre colchetes para o denominador comum e escrever o numerador da última fração como a diferença dos quadrados:

Responder. no.

Exemplo 3: Simplifique uma expressão .

Solução. Percebe-se que o segundo colchete do numerador tem uma aparência inconveniente e precisa ser simplificado, vamos tentar fatorá-lo usando o método de agrupamento;

Para poder derivar um fator comum, simplificamos as raízes fatorando-as. Vamos substituir a expressão resultante na fração original:

Depois de reduzir a fração, aplicamos a fórmula da diferença de quadrados.

3. Um exemplo de como se livrar da irracionalidade

Exemplo 4. Liberte-se da irracionalidade (raízes) no denominador: a) ; b).

Solução. a) Para se livrar da irracionalidade no denominador, utiliza-se o método padrão de multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo fator conjugado ao denominador (a mesma expressão, mas com sinal oposto). Isso é feito para complementar o denominador da fração à diferença dos quadrados, o que permite eliminar as raízes do denominador. Vamos fazer isso no nosso caso:

b) realizar ações semelhantes:

4. Um exemplo de prova e de isolamento de um quadrado completo em um radical complexo

Exemplo 5. Prove igualdade .

Prova. Vamos usar a definição de raiz quadrada, da qual segue que o quadrado da expressão à direita deve ser igual à expressão radical:

. Vamos abrir os colchetes usando a fórmula do quadrado da soma:

, obtivemos a igualdade correta.

Comprovado.

Exemplo 6. Simplifique a expressão.

Solução. Esta expressão é geralmente chamada de radical complexo (raiz sob raiz). Neste exemplo, você precisa adivinhar para isolar um quadrado completo da expressão radical. Para isso, observe que dos dois termos, ele é candidato ao papel do dobro do produto na fórmula da diferença quadrada (diferença, pois há menos). Vamos escrevê-lo na forma do seguinte produto: , então 1 afirma ser um dos termos do quadrado completo e 1 afirma ser o segundo.

Vamos substituir esta expressão na raiz.