Conceito de espaço vetorial de propriedade. Espaço vetorial linear: definição, propriedades. Espaço linear vetorial

Seja P um corpo. Elementos a, b, ... O R nós ligaremos escalares.

Definição 1. Aula V objetos (elementos) , , , ... de natureza arbitrária são chamados espaço vetorial sobre o campo P, e os elementos da classe V são chamados vetores, se V for fechado sob a operação “+” e a operação de multiplicação por escalares de P (ou seja, para qualquer , ОV +О V;"aО Р aОV), e as seguintes condições forem atendidas:

A 1: álgebra - grupo abeliano;

A 2: para qualquer a, bОР, para qualquer ОV, a(b)=(ab) é uma lei associativa generalizada;

A 3: para qualquer a, bОР, para qualquer ОV, (uma+b)= uma+ b;

A 4: para qualquer a de P, para qualquer , de V, a(+)=a+a (leis distributivas generalizadas);

A 5: para qualquer um de V, 1 = é satisfeito, onde 1 é a unidade do campo P - a propriedade da unitariedade.

Chamaremos os elementos do campo P de escalares e os elementos do conjunto V de vetores.

Comentário. A multiplicação de um vetor por um escalar não é uma operação binária no conjunto V, pois é uma aplicação P´V®V.

Vejamos exemplos de espaços vetoriais.

Exemplo 1. Espaço vetorial nulo (dimensional zero) - o espaço V 0 =() - consistindo em um vetor nulo.

E para qualquer aОР a=. Vamos verificar a satisfatibilidade dos axiomas do espaço vetorial.

Observe que o espaço vetorial zero depende essencialmente do campo P. Assim, espaços de dimensão zero sobre o campo números racionais e sobre o corpo dos números reais são considerados diferentes, embora consistam em um único vetor nulo.

Exemplo 2. O próprio campo P é um espaço vetorial sobre o campo P. Seja V=P. Vamos verificar a satisfatibilidade dos axiomas do espaço vetorial. Como P é um corpo, então P é um grupo abeliano aditivo e A 1 é válido. Devido à satisfatibilidade da multiplicação em P, A2 é satisfeito. Os axiomas A 3 e A 4 são satisfeitos devido à viabilidade em P da distributividade da multiplicação em relação à adição. Como existe um elemento unitário 1 no corpo P, a propriedade de unitariedade A 5 é satisfeita. Assim, o campo P é um espaço vetorial sobre o campo P.

Exemplo 3. Espaço vetorial aritmético n-dimensional.

Seja P um corpo. Considere o conjunto V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i О P, i=1,…, n). Introduzimos no conjunto V as operações de adição de vetores e multiplicação de um vetor por um escalar de acordo com as seguintes regras:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + bilhões) (1)

uma=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Os elementos do conjunto V serão chamados vetores n-dimensionais. Dois vetores n-dimensionais são considerados iguais se seus componentes correspondentes (coordenadas) forem iguais. Mostremos que V é um espaço vetorial sobre o corpo P. Da definição das operações de adição de vetores e multiplicação de um vetor por um escalar segue-se que V é fechado sob essas operações. Como a adição de elementos de V se reduz à adição de elementos do corpo P, e P é um grupo abeliano aditivo, então V é um grupo abeliano aditivo. Além disso, =, onde 0 é o zero do campo P, -= (-a 1, -a 2,…, -a n). Assim, A 1 está satisfeito. Visto que multiplicar um elemento de V por um elemento de P se reduz à multiplicação de elementos do corpo P, então:

A 2 é satisfeito devido à associatividade da multiplicação por P;

A 3 e A 4 são satisfeitos devido à distributividade da multiplicação em relação à adição por P;

A 5 é satisfeito, pois 1 Î P é um elemento neutro em relação à multiplicação por P.

Definição 2. O conjunto V= P n com as operações definidas pelas fórmulas (1) e (2) é chamado de espaço vetorial aritmético n-dimensional sobre o corpo P.

No artigo sobre vetores n-dimensionais, chegamos ao conceito de espaço linear gerado por um conjunto de vetores n-dimensionais. Agora temos que considerar conceitos igualmente importantes, como a dimensão e a base de um espaço vetorial. Eles estão diretamente relacionados ao conceito de sistema de vetores linearmente independente, por isso é recomendável lembrar-se adicionalmente dos fundamentos deste tópico.

Vamos apresentar algumas definições.

Definição 1

Dimensão do espaço vetorial– o número correspondente ao número máximo de linearmente não vetores dependentes neste espaço.

Definição 2

Base do espaço vetorial– um conjunto de vetores linearmente independentes, ordenados e em número igual à dimensão do espaço.

Vamos considerar um certo espaço de n vetores. Sua dimensão é correspondentemente igual a n. Vamos pegar um sistema de vetores de n unidades:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Usamos esses vetores como componentes da matriz A: será uma matriz unitária com dimensão n por n. A classificação desta matriz é n. Portanto, o sistema vetorial e (1) , e (2) , . . . , e(n) é linearmente independente. Neste caso, é impossível adicionar um único vetor ao sistema sem violar a sua independência linear.

Como o número de vetores no sistema é n, então a dimensão do espaço de vetores n-dimensionais é n, e os vetores unitários são e (1), e (2), . . . , e (n) são a base do espaço especificado.

Da definição resultante podemos concluir: qualquer sistema de vetores n-dimensionais em que o número de vetores é menor que n não é uma base do espaço.

Se trocarmos o primeiro e o segundo vetores, obteremos um sistema de vetores e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Também será a base de um espaço vetorial n-dimensional. Vamos criar uma matriz tomando os vetores do sistema resultante como suas linhas. A matriz pode ser obtida a partir da matriz identidade trocando as duas primeiras linhas, sua classificação será n. Sistema e (2) , e (1) , . . . , e(n) é linearmente independente e é a base de um espaço vetorial n-dimensional.

Ao reorganizar outros vetores no sistema original, obtemos outra base.

Podemos tomar um sistema linearmente independente de vetores não unitários, e ele também representará a base de um espaço vetorial n-dimensional.

Definição 3

Um espaço vetorial com dimensão n tem tantas bases quantos sistemas linearmente independentes de vetores n-dimensionais de número n.

O plano é um espaço bidimensional - sua base serão quaisquer dois vetores não colineares. A base do espaço tridimensional serão quaisquer três vetores não coplanares.

Consideremos a aplicação desta teoria usando exemplos específicos.

Exemplo 1

Dados iniciais: vetores

uma = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2)

É necessário determinar se os vetores especificados são a base de um espaço vetorial tridimensional.

Solução

Para resolver o problema, estudamos o determinado sistema de vetores para dependência linear. Vamos criar uma matriz, onde as linhas são as coordenadas dos vetores. Vamos determinar a classificação da matriz.

UMA = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ Classificação (A) = 3

Conseqüentemente, os vetores especificados pela condição do problema são linearmente independentes e seu número é igual à dimensão do espaço vetorial - eles são a base do espaço vetorial.

Responder: os vetores indicados são a base do espaço vetorial.

Exemplo 2

Dados iniciais: vetores

uma = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)

É necessário determinar se o sistema de vetores especificado pode ser a base do espaço tridimensional.

Solução

O sistema de vetores especificado na definição do problema é linearmente dependente, porque o número máximo de vetores linearmente independentes é 3. Assim, o sistema de vetores indicado não pode servir de base para um espaço vetorial tridimensional. Mas é importante notar que o subsistema do sistema original a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) é uma base.

Responder: o sistema de vetores indicado não é uma base.

Exemplo 3

Dados iniciais: vetores

uma = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Eles podem ser a base do espaço quadridimensional?

Solução

Vamos criar uma matriz usando as coordenadas dos vetores fornecidos como linhas

UMA = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Usando o método gaussiano, determinamos a classificação da matriz:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ Classificação (A) = 4

Consequentemente, o sistema de determinados vetores é linearmente independente e seu número é igual à dimensão do espaço vetorial - eles são a base de um espaço vetorial quadridimensional.

Responder: os vetores dados são a base do espaço quadridimensional.

Exemplo 4

Dados iniciais: vetores

uma (1) = (1, 2, - 1, - 2) uma (2) = (0, 2, 1, - 3) uma (3) = (1, 0, 0, 5)

Eles formam a base de um espaço de dimensão 4?

Solução

O sistema original de vetores é linearmente independente, mas o número de vetores nele contido não é suficiente para se tornar a base de um espaço quadridimensional.

Responder: não, eles não querem.

Decomposição de um vetor em uma base

Suponhamos que vetores arbitrários e (1) , e (2) , . . . , e (n) são a base de um espaço vetorial n-dimensional. Vamos adicionar a eles um certo vetor n-dimensional x →: o sistema de vetores resultante se tornará linearmente dependente. As propriedades da dependência linear afirmam que pelo menos um dos vetores de tal sistema pode ser expresso linearmente através dos outros. Reformulando esta afirmação, podemos dizer que pelo menos um dos vetores de um sistema linearmente dependente pode ser expandido nos demais vetores.

Assim, chegamos à formulação do teorema mais importante:

Definição 4

Qualquer vetor de um espaço vetorial n-dimensional pode ser decomposto exclusivamente em uma base.

Evidência 1

Vamos provar este teorema:

vamos definir a base do espaço vetorial n-dimensional - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Vamos tornar o sistema linearmente dependente adicionando um vetor n-dimensional x → a ele. Este vetor pode ser expresso linearmente em termos dos vetores originais e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , onde x 1 , x 2 , . . . , x n - alguns números.

Agora provamos que tal decomposição é única. Suponhamos que este não seja o caso e que exista outra decomposição semelhante:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , onde x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - alguns números.

Subtraímos dos lados esquerdo e direito desta igualdade, respectivamente, os lados esquerdo e direito da igualdade x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Nós obtemos:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Sistema de vetores de base e (1) , e (2) , . . . , e(n) é linearmente independente; por definição de independência linear de um sistema de vetores, a igualdade acima só é possível quando todos os coeficientes são (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) será igual a zero. A partir do qual será justo: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . E isto prova a única opção para decompor um vetor numa base.

Neste caso, os coeficientes x 1, x 2, . . . , x n são chamadas de coordenadas do vetor x → na base e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

A teoria comprovada deixa clara a expressão “dado um vetor n-dimensional x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)”: um vetor x → espaço vetorial n-dimensional é considerado, e suas coordenadas são especificadas em um determinada base. Também está claro que o mesmo vetor em outra base do espaço n-dimensional terá coordenadas diferentes.

Considere o seguinte exemplo: suponha que em alguma base do espaço vetorial n-dimensional um sistema de n vetores linearmente independentes seja dado

e também o vetor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) é dado.

Vetores e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) neste caso também são a base deste espaço vetorial.

Suponhamos que seja necessário determinar as coordenadas do vetor x → na base e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , denotado como x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

O vetor x → será representado da seguinte forma:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Vamos escrever esta expressão na forma de coordenadas:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + .

A igualdade resultante é equivalente a um sistema de n linear expressões algébricas com n variáveis ​​​​lineares desconhecidas x ~ 1, x ~ 2,. . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

A matriz deste sistema terá a seguinte forma:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Seja esta uma matriz A, e suas colunas são vetores de um sistema linearmente independente de vetores e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . A classificação da matriz é n e seu determinante é diferente de zero. Isso indica que o sistema de equações possui uma solução única, determinada por qualquer método conveniente: por exemplo, o método de Cramer ou o método da matriz. Desta forma podemos determinar as coordenadas x ~ 1, x ~ 2,. . . , x ~ n vetor x → na base e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Vamos aplicar a teoria considerada a um exemplo específico.

Exemplo 6

Dados iniciais: vetores são especificados com base no espaço tridimensional

e (1) = (1, - 1, 1) e (2) = (3, 2, - 5) e (3) = (2, 1, - 3) x = (6, 2, - 7)

É necessário confirmar o fato de que o sistema de vetores e (1), e (2), e (3) também serve de base para um determinado espaço, e também para determinar as coordenadas do vetor x em uma determinada base.

Solução

O sistema de vetores e (1), e (2), e (3) será a base do espaço tridimensional se for linearmente independente. Vamos descobrir essa possibilidade determinando a classificação da matriz A, cujas linhas são os vetores dados e (1), e (2), e (3).

Usamos o método gaussiano:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

Classificação (A) = 3 . Assim, o sistema de vetores e (1), e (2), e (3) é linearmente independente e é uma base.

Deixe o vetor x → ter coordenadas x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 na base. A relação entre essas coordenadas é determinada pela equação:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Vamos aplicar os valores de acordo com as condições do problema:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Vamos resolver o sistema de equações usando o método de Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1, x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Assim, o vetor x → na base e (1), e (2), e (3) tem coordenadas x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Responder: x = (1, 1, 1)

Relação entre bases

Suponhamos que em alguma base do espaço vetorial n-dimensional sejam dados dois sistemas de vetores linearmente independentes:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Esses sistemas também são bases de um determinado espaço.

Seja c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - coordenadas do vetor c (1) na base e (1) , e (2) , . . . , e (3) , então a relação de coordenadas será dada por um sistema de equações lineares:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

O sistema pode ser representado em forma de matriz da seguinte forma:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Façamos a mesma entrada para o vetor c (2) por analogia:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Vamos combinar as igualdades da matriz em uma expressão:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Determinará a conexão entre os vetores de duas bases diferentes.

Usando o mesmo princípio, é possível expressar todos os vetores de base e(1), e(2), . . . , e (3) através da base c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Vamos dar as seguintes definições:

Definição 5

Matriz c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) é a matriz de transição da base e (1) , e (2) , . . . , e (3)

para a base c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definição 6

Matriz e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) é a matriz de transição da base c (1) , c (2) , . . . , c(n)

para a base e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

A partir dessas igualdades, é óbvio que

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

aqueles. as matrizes de transição são recíprocas.

Vejamos a teoria usando um exemplo específico.

Exemplo 7

Dados iniciais:é necessário encontrar a matriz de transição da base

c (1) = (1, 2, 1) c (2) = (2, 3, 3) ​​c (3) = (3, 7, 1)

e (1) = (3, 1, 4) e (2) = (5, 2, 1) e (3) = (1, 1, - 6)

Você também precisa indicar a relação entre as coordenadas de um vetor arbitrário x → nas bases fornecidas.

Solução

1. Seja T a matriz de transição, então a igualdade será verdadeira:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Multiplique ambos os lados da igualdade por

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

e obtemos:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Defina a matriz de transição:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Vamos definir a relação entre as coordenadas do vetor x → :

Suponhamos que na base c (1) , c (2) , . . . , c (n) vetor x → tem coordenadas x 1 , x 2 , x 3 , então:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

e na base e (1) , e (2) , . . . , e (3) tem coordenadas x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, então:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Porque Se os lados esquerdos dessas igualdades forem iguais, podemos igualar os lados direitos também:

(x 1, x 2, x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 1 - 6

Multiplique ambos os lados à direita por

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

e obtemos:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Do outro lado

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

As últimas igualdades mostram a relação entre as coordenadas do vetor x → em ambas as bases.

Responder: matriz de transição

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

As coordenadas do vetor x → nas bases dadas estão relacionadas pela relação:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

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Vetor(ou linear) espaço- uma estrutura matemática, que é um conjunto de elementos chamados vetores, para os quais são definidas as operações de adição entre si e multiplicação por um número - um escalar.

1)X+y=y+x ( comutatividade de adição)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( associatividade de adição)

3) existe um elemento 0єV tal que x+0=x

4) para qualquer x єV existe um elemento - x єV tal que x+(-x)=0? chamado de vetor, oposto vetor x.

5) α(βx)= (αβ)x ( associatividade da multiplicação por um escalar)

7) (α+β)x=αx+βx

8) α(x+y)=αx+αy

1) Vetores livres no espaço R 3

2) Matrizes de dimensão nxm

3) O conjunto de todos os polinômios cujo grau não excede n

4) Exemplos de espaço linear são:

5) - espaço de números reais.

6) - um conjunto de vetores geométricos no plano.

7) - espaço de matrizes de dimensão fixa.

8) - espaço de soluções de sistemas lineares homogêneos, etc.

Definições básicas

Vetor N-dimensional é chamada de sequência de n números. Esses números são chamados coordenadas vetor. O número de coordenadas vetoriais n é chamado dimensão vetor.

Você só pode adicionar vetores da mesma dimensão

Vetores são iguais, se tiverem a mesma dimensão e suas coordenadas correspondentes forem iguais.

Qualquer vetor n-dimensional A pode ser multiplique por qualquer númeroλ, e todas as suas coordenadas são multiplicadas por este número:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Dois vetores da mesma dimensão podem ser adicionados e suas coordenadas correspondentes são adicionadas:

Como é chamado combinação linear vetores?

Combinação linear de vetores a1,a2,…,an chamada de expressão da forma:

Onde a1,a2,…,um- números arbitrários

Quais vetores são chamados de linearmente dependentes (independentes)?

Vetores diferentes de zero a1,a2,…,um são chamados linearmente dependente, se uma combinação linear não trivial desses vetores for igual ao vetor zero:

Vetores diferentes de zero a1,a2,…,um são chamados linearmente independente, a menos que uma combinação linear trivial desses vetores seja igual ao vetor nulo.

Exemplos de vetores linearmente independentes

Como é resolvida a questão da dependência linear dos vetores?

Teorema 1. Para que um sistema de vetores seja linearmente dependente é necessário e suficiente que pelo menos um deles seja representado como uma combinação linear dos demais.

Teorema 2. No espaço n-dimensional, qualquer sistema contendo mais de n vetores é linearmente dependente.

Teorema 3.Se o determinante composto por coordenadas vetoriais for diferente de zero, então o sistema de vetores é linearmente independente. Se esses teoremas não respondem à questão da dependência linear ou independência dos vetores, então é necessário resolver o sistema de equações para , ou determinar a classificação do sistema de vetores.

Qual é a relação entre as coordenadas de dois vetores linearmente dependentes?

Dê um exemplo de dois vetores linearmente dependentes

: Vetores e colineares quando tal número existe que a igualdade vale:
.

Definição de uma base de espaço linear

Um conjunto de n elementos linearmente independentes em um espaço de dimensão n é chamado de base deste espaço.

Determinação da dimensão do espaço linear.

Definição 3.1. Espaço linear Ré chamado n-dimensional se contém n elementos linearmente independentes e qualquer ( n+1) os elementos já são linearmente dependentes. Neste caso o número n chamada de dimensão do espaço R.

A dimensão do espaço é denotada pelo símbolo dim.

Definição 3.2. Espaço linear Ré chamado de dimensão infinita se contém qualquer número de elementos linearmente independentes.

Teorema 3.4. Deixar espaço linear R tem uma base composta por n elementos. Então a dimensão R igual a n(escuro R=n).

O conceito de espaço n-dimensional

Um espaço linear V é chamado de espaço n-dimensional se contém um sistema de n elementos linearmente independentes e quaisquer n+1 elementos são linearmente dependentes.

Fórmulas que conectam os vetores das bases antigas e novas

Um espaço vetorial (linear) é um conjunto de vetores (elementos) com componentes reais, no qual são definidas as operações de adição de vetores e multiplicação de um vetor por um número que satisfazem certos axiomas (propriedades)

1) x+no=no+X(comutabilidade de adição);

2)(X+no)+z=x+(sim+z) (associatividade de adição);

3) existe um vetor zero 0 (ou vetor nulo) satisfazendo a condição x+ 0 =x: para qualquer vetor x;

4) para qualquer vetor X existe um vetor oposto no tal que X+no = 0 ,

5) 1 x=X,

6) um(bx)=(ab)X(associatividade da multiplicação);

7) (um+b)X=ah+bx(propriedade distributiva relativa ao fator numérico);

8) um(X+no)=ah+sim(propriedade distributiva relativa ao multiplicador vetorial).

Um espaço linear (vetorial) V(P) sobre um campo P é um conjunto não vazio V. Os elementos do conjunto V são chamados de vetores, e os elementos do campo P são chamados de escalares.

As propriedades mais simples.

1. Um espaço vetorial é um grupo Abeliano (um grupo no qual a operação de grupo é comutativa. A operação de grupo em grupos Abelianos é geralmente chamada de “adição” e é denotada pelo sinal +)

2. O elemento neutro é o único que segue das propriedades do grupo para any .

3. Para qualquer um, o elemento oposto é o único que segue das propriedades do grupo.

4.(–1) x = – x para qualquer x є V.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) para qualquer α є P e x є V.

Expressão um 1 e 1+um 2 e 2+ … +um n e n(1) é chamada de combinação linear de vetores e 1 , e 2 ,..., e n com probabilidades um 1, um 2,..., um . A combinação linear (1) é chamada não trivial se pelo menos um dos coeficientes a 1 , a 2 ,..., a n diferente de zero. Vetores e 1 , e 2 ,..., e n são chamados de linearmente dependentes se houver uma combinação não trivial (1), que é um vetor zero. Caso contrário (isto é, se apenas uma combinação trivial de vetores e 1 , e 2 ,..., e n igual ao vetor zero) vetores e 1 , e 2 ,..., e n são chamados linearmente independentes.

A dimensão do espaço é o número máximo de vetores LZ contidos nele.

Espaço vetorialé chamado n-dimensional (ou tem “dimensão n"), se existe n elementos linearmente independentes e 1 , e 2 ,..., e n , e qualquer n+ 1 os elementos são linearmente dependentes (condição generalizada B). Espaço vetorial são chamados de dimensões infinitas se nele houver qualquer natural n existe n vetores linearmente independentes. Qualquer n vetores n-dimensionais linearmente independentes Espaço vetorial formam a base deste espaço. Se e 1 , e 2 ,..., e n- base Espaço vetorial, então qualquer vetor X este espaço pode ser representado exclusivamente como uma combinação linear de vetores de base: x=um 1 e 1+um 2 e 2+... +um n e n.
Ao mesmo tempo, os números uma 1 , uma 2, ..., uma n são chamadas de coordenadas vetoriais X nesta base.

1. O conceito de espaço linear

Definição 1.1. R Muitos elementos x, y, z,

1. ... de qualquer natureza é chamado de espaço linear (ou vetorial) se os três requisitos a seguir forem atendidos: x Existe uma regra pela qual quaisquer dois elementos sim E R o terceiro elemento é correspondido z deste conjunto, chamado de soma dos elementos x Existe uma regra pela qual quaisquer dois elementos sim e designado z=x+y.
2. Existe uma regra pela qual qualquer elemento x E R e qualquer um número real α elemento é correspondido c deste conjunto, denominado produto do elemento x por número α e designado c=αx ou C=xα.
3. As duas regras apresentadas estão sujeitas aos seguintes oito axiomas:
1. x+y=y+x(propriedade comutativa da soma);
2. (x+y)+z=x+(y+z)(propriedade combinativa da soma);
3. existe um elemento zero 0 tal que x+0=x para qualquer elemento x.
4. para qualquer elemento x existe um elemento elemento oposto x" tal que x+x"=0;
5. 1· x=x para qualquer um x;
6. λ(μx)=(λμ)x(propriedade combinativa referente a um fator numérico);
7. (λ+μ )x= λx+μx(propriedade distributiva em relação aos fatores numéricos);
8. λ(x+y)=λx+λy(propriedade distributiva relativa à soma dos elementos).

Os elementos do espaço linear (vetorial) são chamados de vetores.

2. Base do espaço linear

Definição 2.1. R Um conjunto de elementos de espaço linearmente independentes xé chamada de base deste espaço se para cada elemento espaço R existem números reais

tal que a igualdade vale x A igualdade (2.1) é chamada de expansão do elemento x de acordo com a base e os números são chamados de coordenadas do elemento

(em relação à base). x Vamos provar que qualquer elemento R

espaço linear x:

Que haja outra decomposição

(2.3)

Subtraindo (2.1) de (2.2) temos:

Como os elementos de base são linearmente independentes, segue da relação (2.3) que R Portanto, todo elemento do espaço linear

pode ser expandido sobre a base de uma forma única. R Teorema 2.2. R Ao adicionar dois elementos arbitrários do espaço linear x suas coordenadas (em relação a qualquer base espacial α ) somar e ao multiplicar qualquer elemento x para qualquer número α .

todas as coordenadas

multiplicado por

A prova segue dos axiomas 1-8 da Definição 1.1. R.

3. Dimensão do espaço linear Ré chamado n-dimensional se contém n elementos linearmente independentes e qualquer ( n Considere um espaço real arbitrário n Definição 3.1. R.

A dimensão do espaço é denotada pelo símbolo dim.

Espaço linear Ré chamado de dimensão infinita se contém qualquer número de elementos linearmente independentes.

+1) os elementos já são linearmente dependentes. Neste caso o número R chamada de dimensão do espaço n(escuro R=n Definição 3.2. n Espaço linear

Teorema 3.3. R Deixar né um espaço linear de dimensão n). Então qualquer x elementos linearmente independentes deste espaço formam sua base. R Prova. Porque linearmente dependente, ou seja, existem números (nem todos iguais a zero) tal que a igualdade

(3.3)

Da igualdade (3.3) segue-se que qualquer vetor do espaço R podem ser expandidos em elementos e, portanto, formam a base do espaço R. ■

Teorema 3.4. R tem uma base composta por n elementos. Então a dimensão R Deixe o espaço linear n(escuro R=n).

igual a n Prova. Deixe o conjunto R elementos é a base do espaço n. Basta provar que qualquer +1 elementos

deste espaço são linearmente dependentes. Expandindo esses elementos de acordo com a base, obtemos: Onde 11 um 12 , um ,...,um n+1,n

números reais. Deixe os elementos

linearmente independente. Vamos reescrever (3.4) na forma matricial: Como são linearmente independentes, a matriz UM tem uma matriz inversa A-1.

Tendo resolvido a equação matricial (3.5), obtemos: Como pode ser visto na equação (3.9), pode ser representado por uma combinação linear de vetores . Portanto os vetores

linearmente dependente. ■

4. Substituição de base e transformação de coordenadas R Deixe entrar no espaço Junto com a base original existe outra base

. Os vetores desta base podem ser expressos através de uma combinação linear dos vetores da base original como segue: Matriz P chamado matriz de mudança de base .

sobre

Por sua vez, os vetores da base original são expressos através dos vetores da nova pela seguinte relação: De (4.6) segue que QP=E , Onde E é a matriz identidade, e as matrizes P Matriz E

matrizes mutuamente inversas.

Considere como as coordenadas dos vetores mudam quando a base muda. x Deixe o vetor tem coordenadas e coordenadas

(4.7)

. Os vetores desta base podem ser expressos através de uma combinação linear dos vetores da base original como segue: , Então P PT matriz de transformação de coordenadas . É transposto com uma matriz de mudança de base. Matriz inversa(PT) -1

fornece expressões para novas coordenadas em termos das antigas. A matriz inversa à transposta de alguma matriz é chamada contra-gradiente

com ela.

5. Isomorfismo de espaços lineares R Existe uma regra pela qual quaisquer dois elementos Definição 5.1. Dois espaços lineares reais arbitrários R"∈R são chamados de isomórficos se uma correspondência biunívoca puder ser estabelecida entre os elementos desses espaços, de modo que se x, você∊Definição 5.1. responder x", y"∈R consequentemente, então o elemento x+y∈Definição 5.1. elemento responde α x"+y" α x∈R consequentemente, então o elemento α x"∈Definição 5.1..

, e para qualquer real R Existe uma regra pela qual quaisquer dois elementos Definição 5.1., elemento

Teorema 5.2. R Existe uma regra pela qual quaisquer dois elementos Definição 5.1. Se o espaço são isomórficos, então eles têm a mesma dimensão. R Prova. Deixe espaços lineares são isomórficos e deixe os elementos espaço elementos respondem espaço R" respectivamente. Vamos supor elementos Prova. Deixe espaços lineares y no espaço R, e a soma corresponde à soma . Mas este último significa uma dependência linear dos elementos . Por isso linearmente independente. Da dependência linear dos elementos segue uma dependência linear dos elementos . Portanto, o número máximo de vetores linearmente independentes para espaços R Existe uma regra pela qual quaisquer dois elementos Definição 5.1. um e o mesmo, ou seja, esses espaços têm a mesma dimensão. ■

Teorema 5.3. n Quaisquer dois R Existe uma regra pela qual quaisquer dois elementos Definição 5.1. espaços lineares reais dimensionais

são isomórficos. Existe uma regra pela qual quaisquer dois elementos Prova. Vamos escolher bases R Existe uma regra pela qual quaisquer dois elementos Definição 5.1. para espaços Definição 5.1. respectivamente. Então cada elemento do espaço R pode ser representado por uma combinação linear de elementos básicos: . Este elemento no espaço x" são isomórficos, então eles têm a mesma dimensão. Definição 5.1. vamos combinar o elemento com as mesmas coordenadas:. Por sua vez, o elemento x são isomórficos, então eles têm a mesma dimensão. R elemento de correspondência x Existe uma regra pela qual quaisquer dois elementos sim são isomórficos, então eles têm a mesma dimensão. R Prova. Deixe espaços lineares x" Existe uma regra pela qual quaisquer dois elementos . Observe que se os elementos são isomórficos, então eles têm a mesma dimensão. Definição 5.1. você" x", y" são isomórficos, então eles têm a mesma dimensão. R consequentemente, então o elemento x+y são isomórficos, então eles têm a mesma dimensão. Definição 5.1. consequentemente, então, com base no Teorema 2.2, o elemento α x consequentemente, então o elemento α x". ■