Área de um parabolóide. Propriedades de um parabolóide de revolução. Localização da superfície livre na embarcação

Elipsóide- superfície em espaço tridimensional, obtido deformando a esfera ao longo de três eixos perpendiculares entre si. A equação canônica de um elipsóide em Coordenadas cartesianas, coincidindo com os eixos de deformação do elipsóide: .

As quantidades a, b, c são chamadas de semieixos do elipsóide. Um elipsóide também é um corpo limitado pela superfície de um elipsóide. Um elipsóide é uma das formas possíveis de superfícies de segunda ordem.

No caso em que um par de semieixos tem o mesmo comprimento, um elipsóide pode ser obtido girando a elipse em torno de um de seus eixos. Esse elipsóide é chamado de elipsóide de revolução ou esferóide.

Um elipsóide reflete a superfície idealizada da Terra com mais precisão do que uma esfera.

Volume do elipsóide:.

Área de superfície do elipsóide de revolução:

Hiperbolóide- este é um tipo de superfície de segunda ordem no espaço tridimensional, especificada em coordenadas cartesianas pela equação - (hiperbolóide de uma folha), onde aeb são os semieixos reais e c é o semieixo imaginário ; ou - (hiperbolóide de duas folhas), onde aeb são semieixos imaginários e c é o semieixo real.

Se a = b, então tal superfície é chamada de hiperbolóide de revolução. Um hiperbolóide de revolução de uma folha pode ser obtido girando a hipérbole em torno de seu eixo imaginário e um hiperbolóide de duas folhas em torno de seu eixo real. Um hiperbolóide de revolução de duas folhas também é o lugar geométrico dos pontos P, o módulo da diferença nas distâncias de dois pontos dados A e B é constante: | AP − BP | = const. Neste caso, A e B são chamados de focos do hiperbolóide.

Um hiperbolóide de uma folha é uma superfície duplamente regrada; se for um hiperbolóide de revolução, então pode ser obtido girando uma linha em torno de outra linha que a cruza.

Parabolóide— tipo de superfície de segunda ordem. Um parabolóide pode ser caracterizado como uma superfície aberta não central (isto é, sem centro de simetria) de segunda ordem.

Equações canônicas parabolóide em coordenadas cartesianas:

· se aeb têm o mesmo sinal, então o parabolóide é denominado elíptico.

· se a e b sinal diferente, então o parabolóide é chamado de hiperbólico.

· se um dos coeficientes for zero, então o parabolóide é denominado cilindro parabólico.

ü é um parabolóide elíptico, onde a e b têm o mesmo sinal. A superfície é descrita por uma família de parábolas paralelas com ramos direcionados para cima, cujos vértices descrevem uma parábola, com ramos também direcionados para cima. Se a = b então um parabolóide elíptico é uma superfície de revolução formada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo vertical que passa pelo vértice desta parábola.

ü é um parabolóide hiperbólico.

A propriedade comprovada da tangente a uma parábola é muito importante, pois dela decorre que os raios que emanam do foco de um espelho parabólico côncavo, ou seja, um espelho cuja superfície é obtida a partir da rotação da parábola em torno de seu eixo, são refletido por um feixe paralelo, ou seja, eixos de espelho paralelos (Fig.).

Esta propriedade dos espelhos parabólicos é utilizada na construção de holofotes, nos faróis de qualquer carro, bem como em telescópios refletores. Além disso, neste último caso, inversamente, os raios provenientes do corpo celeste; quase paralelos, eles estão concentrados perto do foco do espelho do telescópio, e como os raios vindos de diferentes pontos da luminária são muito não paralelos, eles estão concentrados perto do foco em pontos diferentes, de modo que perto do foco uma imagem do luminária for obtida, quanto maior for o comprimento focal parábolas. Esta imagem já é visualizada através de um microscópio (ocular do telescópio). A rigor, apenas os raios estritamente paralelos ao eixo do espelho são coletados em um ponto (o foco), enquanto os raios paralelos que formam um ângulo com o eixo do espelho são coletados apenas quase em um ponto, e quanto mais longe este ponto é do foco, quanto mais imagem mais desfocada. Esta circunstância limita o “campo de visão do telescópio”.

Deixe sua superfície interna ser uma superfície espelhada; esse espelho parabólico é iluminado por um feixe de raios de luz paralelo ao eixo do amplificador operacional. Todos os raios paralelos ao eixo do amplificador operacional, após reflexão, se cruzarão em um ponto no eixo do amplificador operacional (foco F). O projeto dos telescópios parabólicos é baseado nesta propriedade. Os raios de estrelas distantes chegam até nós na forma de um feixe paralelo. Ao fazer um telescópio parabólico e colocar uma placa fotográfica no seu foco, temos a oportunidade de amplificar o sinal de luz vindo da estrela.

O mesmo princípio está subjacente à criação de uma antena parabólica, que permite a amplificação de sinais de rádio. Se você colocar uma fonte de luz no foco de um espelho parabólico, depois de refletir na superfície do espelho, os raios vindos dessa fonte não serão espalhados, mas serão coletados em um feixe estreito paralelo ao eixo do espelho . Este fato é utilizado na fabricação de holofotes e lanternas, projetores diversos, cujos espelhos são feitos em forma de parabolóides.

A propriedade óptica de um espelho parabólico mencionada acima é usada para criar telescópios espelhados, várias instalações de aquecimento solar e também holofotes. Ao colocar uma poderosa fonte pontual de luz no foco de um espelho parabólico, obtemos um fluxo denso de raios refletidos paralelos ao eixo do espelho.

Quando uma parábola gira em torno de seu eixo, obtém-se uma figura chamada parabolóide. Se a superfície interna do parabolóide for espelhada e um feixe de raios for direcionado a ela, paralelo ao eixo simetria de uma parábola, então os raios refletidos convergirão em um ponto, que é chamado de foco. Ao mesmo tempo, se a fonte de luz for colocada no foco, os raios refletidos na superfície espelhada do parabolóide serão paralelos e não dispersos.

A primeira propriedade permite obter uma temperatura elevada no foco do parabolóide. Segundo a lenda, esta propriedade foi usada pelo antigo cientista grego Arquimedes (287-212 aC). Ao defender Siracusa na guerra contra os romanos, ele construiu um sistema de espelhos parabólicos que permitia que os raios refletidos do sol se concentrassem nos navios romanos. Como resultado, a temperatura nos focos dos espelhos parabólicos revelou-se tão alta que ocorreu um incêndio nos navios e eles queimaram.

A segunda propriedade é utilizada, por exemplo, na fabricação de refletores e faróis de automóveis.

Hipérbole

4. A definição de uma hipérbole nos dá uma maneira simples de construí-la com um movimento contínuo: pegue dois fios, cuja diferença de comprimento é 2a, e prenda uma extremidade desses fios aos pontos F" e F. Se você segurar a outra duas pontas juntas com a mão e mova ao longo dos fios com a ponta de um lápis, tomando cuidado para que os fios fiquem pressionados no papel, esticados e se tocando, partindo da ponta do desenho até o ponto onde as pontas se encontram, a ponta vai desenhar parte de um dos ramos da hipérbole (quanto maior, mais longos são os fios) (Fig.).

Invertendo os papéis dos pontos F" e F, obtemos parte de outro ramo.

Por exemplo, No tópico “curvas de 2ª ordem” você pode considerar o seguinte problema:

Tarefa. Duas estações ferroviárias A e B estão localizadas a uma distância de s km uma da outra. Para qualquer ponto M, a carga pode ser entregue da estação A por transporte rodoviário direto (primeira rota) ou por estrada de ferro até a estação B, e daí de carro (segunda rota). A tarifa ferroviária (preço de transporte de 1 tonelada por 1 km) é de m rublos, a tarifa de transporte rodoviário é de n rublos, n > m, a tarifa de carga e descarga é de k rublos. Determine a área de influência da estação ferroviária B, ou seja, a área onde é mais barato entregar a carga da estação A por meios mistos - ferroviário e depois rodoviário, ou seja, determine a localização geométrica dos pontos para os quais o segundo caminho é mais lucrativo que o primeiro.

Solução. Denotemos AM = r, BM = r, então o custo de entrega (transporte e carga-descarga) ao longo da rota AM é igual a nr + k, e o custo de entrega ao longo do caminho ABM é igual a ms + 2k + não. Então os pontos M, para os quais ambos os valores são iguais, satisfazem a equação nr + k = ms+2k+nг, ou

ms + k = nr - ng

r - r = = const > O,

portanto, a linha que delimita a região é um dos ramos da hipérbole | r-r | = const. Para todos os pontos do plano situados do mesmo lado do ponto A desta hipérbole, o primeiro caminho é mais vantajoso, e para os pontos situados do outro lado - o segundo, portanto o ramo da hipérbole delineia a área de influência da estação B.

Variante deste problema.

Duas estações ferroviárias A e B estão localizadas a uma distância de l km uma da outra. Para o ponto M, a carga pode ser entregue da estação A por transporte rodoviário direto ou por trem até a estação B, e de lá de carro (Fig. 49). Neste caso, a tarifa ferroviária (preço de transporte de 1 tonelada por 1 km) é de m rublos, os custos de carga e descarga são de k rublos (por 1 tonelada) e a tarifa de transporte rodoviário é de n rublos (n > m). Vamos determinar a chamada zona de influência da estação ferroviária B, ou seja, a zona onde é mais barato entregar a carga de A por uma rota mista: ferroviária e depois rodoviária.

Solução. O custo de entrega de 1 tonelada de carga na rota AM é r n, onde r = AM, e na rota ABM será igual a 1m + k + r n. Precisamos resolver a dupla desigualdade r n 1m+ k+ r n e determinar como estão distribuídos os pontos do plano (x, y), para os quais é mais barato entregar a carga pela primeira ou pela segunda rota.

Vamos encontrar a equação da reta que forma a fronteira entre essas duas zonas, ou seja, o lugar geométrico dos pontos para os quais ambos os caminhos são “igualmente benéficos”:

r n = 1m+ k+ r n

A partir desta condição obtemos r - r = = const.

Portanto, a linha divisória é uma hipérbole. Para todos os pontos externos desta hipérbole, o primeiro caminho é mais vantajoso, e para os pontos internos - o segundo. Portanto, a hipérbole delineará a zona de influência da estação B. O segundo ramo da hipérbole delineará a zona de influência da estação A (a carga é entregue da estação B). Vamos encontrar os parâmetros da nossa hipérbole. Seu eixo maior é 2a = , e a distância entre os focos (que são as estações A e B), neste caso, é 2c = l.

Assim, a condição de possibilidade deste problema, determinada pela relação a< с, будет

Esta tarefa conecta o resumo conceito geométrico hipérboles com o problema económico e de transportes.

O lugar geométrico dos pontos requerido é o conjunto de pontos situados dentro do ramo direito da hipérbole contendo o ponto B.

6. Eu sei " Máquinas agrícolas» características operacionais importantes de um trator operando em declive, mostrando sua estabilidade, são o ângulo de inclinação longitudinal e o ângulo de rolamento lateral.

Para simplificar, consideraremos um trator de rodas. A superfície sobre a qual o trator opera (pelo menos uma pequena parte dela) pode ser considerada um plano (plano de movimento). O eixo longitudinal do trator é a projeção de uma linha reta que liga os pontos médios dos eixos dianteiro e traseiro ao plano de movimento. O ângulo de rotação lateral é o ângulo formado com o plano horizontal de uma linha reta, perpendicular ao eixo longitudinal e situado no plano de movimento.

Ao estudar o tema “Retas e planos no espaço” em um curso de matemática, consideramos os seguintes problemas:

a) Encontre o ângulo de inclinação longitudinal de um trator movendo-se ao longo de um declive se o ângulo de inclinação do declive e o ângulo de desvio da trajetória do trator em relação à direção longitudinal forem conhecidos.

b) O ângulo máximo de rotação lateral do trator é o ângulo de inclinação máximo permitido do declive através do qual o trator pode permanecer sem tombar. Quais parâmetros do trator são suficientes para saber para determinar o ângulo máximo de rolamento lateral; como encontrar este
canto?

7. A presença de geratrizes retilíneas é utilizada em equipamentos de construção. O fundador da aplicação prática deste fato é o famoso engenheiro russo Vladimir Grigorievich Shukhov (1853-1939). V. G. Shukhov realizou o projeto de mastros, torres e suportes constituídos por vigas metálicas localizadas ao longo de geratrizes retilíneas hiperbolóide de revolução de folha única. A alta resistência dessas estruturas, aliada à leveza, baixo custo de fabricação e elegância, garantem sua ampla utilização na construção moderna.

8. LEIS DO MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO LIVRE

Para um corpo livre, todos os tipos de movimento são igualmente possíveis, mas isso não significa que o movimento de um corpo livre seja desordenado e não obedeça a nenhuma lei; pelo contrário, o movimento de translação de um corpo rígido, independentemente da sua forma externa, é restringido pela lei do centro de massa e é reduzido ao movimento de um ponto, e o movimento de rotação é pelos chamados eixos principais de inércia ou elipsóide de inércia. Assim, um pedaço de pau jogado no espaço livre, ou um grão voando de um classificador, etc., se move translacionalmente como um ponto (centro de massa) e ao mesmo tempo gira em torno do centro de massa. Em geral, durante o movimento translacional, qualquer corpo rígido, independente de sua forma, ou uma máquina complexa pode ser substituído por um ponto (centro de massa), e durante o movimento rotacional, por um elipsóide de inércia , cujos vetores de raio são iguais a --, onde / é o momento de inércia deste corpo em relação aos eixos que passam pelo centro do elipsóide.

Se o momento de inércia de um corpo mudar por algum motivo durante a rotação, a velocidade de rotação mudará de acordo. Por exemplo, durante um salto acima da cabeça, os acrobatas se comprimem em uma bola, fazendo com que o momento de inércia do corpo diminua e a velocidade de rotação aumente, que é o necessário para o sucesso do salto. Da mesma forma, após escorregar, as pessoas esticam os braços para os lados, o que faz com que o momento de inércia aumente e a velocidade de rotação diminua. Da mesma forma, o momento de inércia do ancinho de colheita em torno do eixo vertical é variável durante a sua rotação em torno do eixo horizontal.

Em torno de seu eixo, você pode obter um aparelho elíptico comum. É um corpo isométrico oco cujas seções são elipses e parábolas. Um parabolóide elíptico é dado por:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Todas as seções principais de um parabolóide são parábolas. Ao cortar os planos XOZ e YOZ, apenas são obtidas parábolas. Se você desenhar uma seção perpendicular em relação ao plano Xoy, poderá obter uma elipse. Além disso, as seções, que são parábolas, são especificadas por equações da forma:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
As seções da elipse são dadas por outras equações:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Um parabolóide elíptico em a=b se transforma em um parabolóide de revolução. A construção de um parabolóide possui uma série de características que precisam ser levadas em consideração. Inicie a operação preparando a base - um desenho do gráfico da função.

Para começar a construir um parabolóide, primeiro você deve construir uma parábola. Desenhe uma parábola no plano Oxz conforme mostrado na figura. Dê ao futuro parabolóide uma certa altura. Para fazer isso, desenhe uma linha reta que toque os pontos superiores da parábola e fique paralela ao eixo do Boi. Em seguida, desenhe uma parábola no plano Yoz e desenhe uma linha reta. Você obterá dois planos parabolóides perpendiculares entre si. Depois disso, no plano Xoy, construa um paralelogramo que ajudará a desenhar uma elipse. Inscreva uma elipse neste paralelogramo de modo que toque todos os seus lados. Após essas transformações, apague o paralelogramo e o que resta é uma imagem tridimensional de um parabolóide.

Existe também um parabolóide hiperbólico, que tem formato mais côncavo que o elíptico. Suas seções também possuem parábolas e, em alguns casos, hipérboles. As seções principais ao longo de Oxz e Oyz, como as de um parabolóide elíptico, são parábolas. Eles são dados por equações da forma:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Se você desenhar uma seção relativa ao eixo Oxy, poderá obter uma hipérbole. Ao construir um parabolóide hiperbólico, use a seguinte equação:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - equação de um parabolóide hiperbólico

Construa inicialmente uma parábola fixa no plano Oxz. Desenhe uma parábola móvel no plano Oyz. Depois disso, defina a altura do parabolóide h. Para isso, marque dois pontos na parábola fixa, que serão os vértices de mais duas parábolas móveis. Em seguida, desenhe outro sistema de coordenadas O"x"y" para traçar as hipérboles. O centro deste sistema de coordenadas deve coincidir com a altura do parabolóide. Após todas as construções, desenhe essas duas parábolas móveis mencionadas acima para que se toquem pontos extremos hipérbole. O resultado é um parabolóide hiperbólico.

A altura de um parabolóide pode ser determinada pela fórmula

O volume do parabolóide tocando o fundo é igual à metade do volume de um cilindro com raio da base R e altura H, o mesmo volume ocupa o espaço W’ sob o parabolóide (Fig. 4.5a)

Figura 4.5. A proporção de volumes em um parabolóide tocando a parte inferior.

Wп – volume do parabolóide, W’ – volume sob o parabolóide, Hп – altura do parabolóide

Figura 4.6. A proporção dos volumes em um parabolóide tocando as bordas do cilindro Hp é a altura do parabolóide., R é o raio do vaso, Wl é o volume sob a altura do líquido no vaso antes do início da rotação, z 0 é a posição do vértice do parabolóide, H é a altura do líquido no recipiente antes do início da rotação.

4.6a, o nível de líquido no cilindro antes do início da rotação é H. O volume de líquido Wl antes e depois da rotação é mantido e é igual à soma do volume Wt do cilindro com altura z 0 mais o volume de líquido sob o parabolóide, que é igual ao volume do parabolóide Wp com altura Hn

Se o parabolóide toca a borda superior do cilindro, a altura do líquido no cilindro antes do início da rotação H divide a altura do parabolóide Hn em duas partes iguais, o ponto mais baixo (vértice) do parabolóide está localizado em relação para a base (Fig. 4.6c)

Além disso, a altura H divide o parabolóide em duas partes (Fig. 4.6c), cujos volumes são iguais a W 2 = W 1. Da igualdade dos volumes do anel parabólico W 2 e do copo parabólico W 1, Fig.

Quando a superfície do parabolóide cruza o fundo do vaso (Fig. 4.7) W 1 =W 2 =0,5W anel

Fig. 4.7 Volumes e alturas quando a superfície de um parabolóide cruza a parte inferior do cilindro

Alturas na Fig. 4.6

volumes na Fig. 4.6.

Localização da superfície livre na embarcação

Figura 4.8. Três casos de repouso relativo durante a rotação

1. Se o vaso estiver aberto, Po = Ratm (Fig. 4.8a). Durante a rotação, o topo do parabolóide cai abaixo do nível inicial-H, e as arestas sobem acima do nível inicial, a posição do topo

2. Se o recipiente estiver completamente cheio, coberto com tampa, não tiver superfície livre, estiver sob excesso de pressão Po>Patm, antes da rotação a superfície (PP) na qual Po=Patm estará acima do nível da tampa em altura h 0i =M/ ρg, H 1 =H+ M/ρg.

3. Se o recipiente estiver completamente cheio, ele estará sob vácuo Po<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. Rotação em alta velocidade angular (Fig. 4.9)

Quando um recipiente contendo líquido gira a uma alta velocidade angular, a força da gravidade pode ser desprezada em comparação com as forças centrífugas. A lei da mudança de pressão em um líquido pode ser obtida a partir da fórmula

(4.22),

As superfícies do nível formam cilindros com um eixo comum em torno do qual a embarcação gira. Se o recipiente não estiver completamente cheio antes do início da rotação, a pressão P 0 atuará ao longo do raio r = r 0 , em vez da expressão (4.22) teremos

em que tomamos g(z 0 - z) = 0,

Arroz. 4.9 Localização das superfícies de revolução na ausência de gravidade.

Raio da superfície interna para H e h conhecidos

Parabolóide elíptico

Parabolóide elíptico com a=b=1

Parabolóide elíptico- superfície descrita por uma função da forma

Onde a E b um sinal. A superfície é descrita por uma família de parábolas paralelas com ramos direcionados para cima, cujos vértices descrevem uma parábola, com ramos também direcionados para cima.

Se a = b então um parabolóide elíptico é uma superfície de revolução formada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo vertical que passa pelo vértice de uma determinada parábola.

Parabolóide hiperbólico

Parabolóide hiperbólico com a=b=1

Parabolóide hiperbólico(chamado “hypar” em construção) é uma superfície em forma de sela descrita em um sistema de coordenadas retangulares por uma equação da forma

A partir da segunda representação fica claro que um parabolóide hiperbólico é uma superfície regrada.

A superfície pode ser formada pelo movimento de uma parábola, cujos ramos são direcionados para baixo, ao longo de uma parábola, cujos ramos são direcionados para cima, desde que a primeira parábola esteja em contato com seu segundo vértice.

Parabolóides no mundo

Em tecnologia

Em arte

Na literatura

O dispositivo descrito no Hiperbolóide do Engenheiro Garin deveria ser parabolóide.

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• Eltang

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